tính giải được của một số lớp hệ phương trình cặp tích phân fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai d

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Tinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan Fourier

47Wednesday, June 12, 20247:57:27 PM7:57:27 PM47Wednesday, June 12, 20247:57:27 PM7:57:27 PM47Wednesday, June 12, 20247:57:27 PM7:57:27 PM

Tinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierTinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan Fourier

47Tinh giai duoc cua mot so lop he phuong trinh cap tich phan FourierWednesday, June 12, 2024

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Trang 3

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dướisự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Ngân Các tài liệu trong luận vănlà trung thực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bốtrong các luận văn thạc sĩ của tác giả khác.

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận vănnày đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đượcchỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2021

Lê Thị Thủy

TS Nguyễn Thị Ngân

Trang 4

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Ngân Nhândịp này tôi xin cảm ơn Cô về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinhnghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, Phòng Đào tạo, Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Bộ môn Giải tíchvà Toán Ứng dụng và các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Thái Nguyên giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quátrình học tập và nghiên cứu khoa học.

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vìvậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và cácbạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôitrong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2021.

Lê Thị Thủy

472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM

Trang 5

không gian S .41.2Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm 51.2.1Không gian S′ của các hàm suy rộng tăng chậm 51.2.2Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm51.2.3Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong

không gian S′ .61.2.4Biến đổi Fourier của tích chập 71.3Các không gian Sobolev .8123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

1.4.2Phiếm hàm tuyến tính liên tục .13

1.5Toán tử giả vi phân vectơ 16

Trang 7

Kết luận39

Trang 8

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phương trình cặp tích phân và hệ phương trình cặp tích phân thườngxuất hiện trong các bài toán biên trong phương trình vật lý toán, cácbài toán về dị tật trong môi trường, các bài toán về vết nứt, các bài toánvề dải đàn hồi Trong những năm qua đã xuất hiện nhiều nghiên cứuvề những phương pháp hình thức giải các phương trình cặp tích phân,những phương pháp này chưa xét đến tính giải được của các phươngtrình cặp Tính giải được của phương trình cặp tích phân tuy không cónhiều nghiên cứu bằng các nghiên cứu về các phương pháp tìm lời giảihình thức của các phương trình cặp nhưng cũng đã được một số nhàtoán học quan tâm nghiên cứu như Walton J R., Manam S.R., PopovG Ya., Nguyễn Văn Ngọc Gần đây kết quả nghiên cứu về hệ phươngtrình cặp tích phân, tính giải được của một số lớp hệ phương trình cặptích phân với phép biến đổi Fourier cũng được một số nhà toán học quantâm nghiên cứu như Nguyễn Văn Ngọc, Hà Tiến Ngoạn và Nguyễn ThịNgân Đề tài nghiên cứu về tính giải được của một số lớp hệ phươngtrình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier với tiêu đề “Tính giải đượccủa một số lớp hệ phương trình cặp tích phân Fourier”.

472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM

Trang 9

2 Mục đích của luận văn

Nghiên cứu tính giải được của một số lớp hệ phương trình cặptích phân Fourier với các dạng biểu trưng khác nhau A(ξ) ∈P⃗α

+(R),A(ξ) ∈P⃗α

Đưa ra một số ứng dụng của nó vào giải bài toán biên đối vớiphương trình điều hòa và phương trình song điều hòa.

3 Nội dung luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn có 2chương nội dung.

Chương 1 trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về biến đổiFourier, biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh, biến đổiFourier của các hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolev, khônggian Sobolev vectơ, toán tử giả vi phân vectơ.

Chương 2 trình bày về tính giải được của một số lớp hệ phương trìnhcặp tích phân Fourier và một số ứng dụng của nó.

Trang 10

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số kiến thức về biến đổi Fourier củacác hàm cơ bản giảm nhanh, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăngchậm, các không gian Sobolev vectơ, toán tử giả vi phân vectơ Các kếtquả được tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [6].

1.1.1Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh

Định nghĩa 1.1.1 Gọi S = S(R) là tập các hàm khả vi vô hạn φ ∈C∞(R), thỏa mãn điều kiện

dx Dãy {∥φ∥p}k là một họ các nửa chuẩn Dãy{φk} trong S được gọi là hội tụ đến hàm φ trong S, nếu ∥φk − φ∥p → 0,khi k → ∞; p = 0, 1, 2, , m Tập hợp S với chuẩn và hội tụ trên đâygọi là không gian các hàm cơ bản giảm nhanh.

Trang 11

1.1.2Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản

Vì hàm cơ bản trong không gian S là những hàm khả tổng trong R nênbiến đổi Fourier được xác định theo công thức

F [φ](ξ) =

Z +∞−∞

F [f ](ξ)φ(ξ)dξ =

Z +∞−∞

f (x)F [φ]xdx, φ ∈ S.(1.1)

Tính chất 1.1.4 Biến đổi Fourier ngược

φ = F−1[F [φ]] = F [F−1[φ]],

F−1[φ(ξ)](x) =1

(2π)nF [φ(−ξ)](x).

Định lí 1.1.2 Biến đổi Fourier F từ S vào S là tương ứng một- mộtvà liên tục vào chính nó, nghĩa là một đẳng cấu tuyến tính.

Trang 12

1.2Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm1.2.1Không gian S′ của các hàm suy rộng tăng chậm

Định nghĩa 1.2.1 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S được gọilà hàm suy rộng tăng chậm Tập hợp các hàm suy rộng tăng chậm kíhiệu là S′ Giá trị của f ∈ S′ trên phần tử φ ∈ S được kí hiệu là ⟨f, φ⟩,còn trên phần tử liên hợp phức φ , kí hiệu là (f, φ) Dãy {fk} trong S′hội tụ đến f ∈ S′, nếu ⟨fk, φ⟩ → (f, φ), φ ∈ S.

Giả sử f là hàm khả tích địa phương, ngoài ra đối với N > 0 nào đó:Z +∞

|f (x)|(1 + |x|)−Ndx < ∞.

Khi đó, hàm f tương ứng với một phiếm hàm trên S′ theo công thức(f, φ) =R−∞+∞f (x)φ(x)dx Phiếm hàm trên được gọi là hàm suy rộngchính quy Dễ thấy rằng phiếm hàm trên đây là tuyến tính và liên tụctrên S.

Định lí 1.2.1 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S′ là khônggian đầy đủ.

1.2.2Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm

Công thức (1.1) có thể viết lại dưới dạng

⟨F [f ], φ⟩ = ⟨f, F [φ]⟩ , φ ∈ S.

Công thức này là cơ sở của định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.2.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM

Trang 13

f là hàm suy rộng tăng chậm F [f ] được xác định theo công thức

⟨F [f ], φ⟩ = ⟨f, F [φ]⟩ , f ∈ S′, φ ∈ S.(1.2)

Vì phép toán φ → F [φ] là đẳng cấu và liên tục từ S vào S, nên phiếmhàm F [f ] xác định theo công thức (1.2) được hiểu theo nghĩa S′, hơnnữa, phép toán f → F [f ] là tuyến tính và liên tục từ S′ vào S′.

Định nghĩa 1.2.3 Phép biến đổi Fourier F−1 được xác định trong S′theo công thức

F−1[f ] =1

1.2.3Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong khônggian S′

Tính chất 1.2.1 Đạo hàm của biến đổi Fourier

DαF [f ] = F [(ix)αf ], f ∈ S′.(1.5)

Trang 14

Tính chất 1.2.2 Biến đổi Fourier của đạo hàm

|DαF [f ](ξ)| ≤ Cmα(1 + |ξ|2)mα2 .

1.2.4Biến đổi Fourier của tích chập

Định nghĩa 1.2.4 i) Nếu f ∈ S′, η ∈ S thì f ∗ η được xác định theocông thức

f ∗ η = ⟨f (y), η(x − y)⟩ Khi đó

Trang 15

1.3Các không gian Sobolev1.3.1Không gian Hs(R)

Định nghĩa 1.3.1 Cho s ∈ R Kí hiệu Hs(R) là không gian của cáchàm suy rộng u ∈ S′, có biến đổi Fourierbu(ξ) thỏa mãn điều kiện:

∥u∥2s =

Z +∞−∞

(1 + |ξ|)2su(ξ)ˆbv(ξ)dξ.(1.10)

Định lí 1.3.1 Đối ngẫu của không gian Hs(R) là không gian H−s(R).Ngoài ra, tập hơp Co∞(R) của các hàm khả vi vô hạn có giá compact trùmật trong Hs(R), ∀s ∈ R.

1.3.2Các không gian HosΩ, Ho,os (Ω), Hs(Ω)

Định nghĩa 1.3.2 Cho Ω là một khoảng hoặc hệ các khoảng khônggiao nhau trong R Kí hiệu Hos(Ω) là không gian con của không gianHs(R) được định nghĩa như là bao đóng của Co∞(Ω) theo chuẩn củaHs(R) Tập hợp của các hàm trong Hs(R) có giá trong Ω được kí hiệulà Ho,os (Ω).

Như vậy chuẩn trong Hos(Ω) cũng được xác định bởi công thức (1.9)và mọi hàm u ∈ Hos(Ω) có giá supp u ⊂ Ω Thật vậy, giả sử u ∈ Hos(Ω).Khi đó, tồn tại dãy {uk} ∈ Co∞(Ω) hội tụ đến u theo chuẩn của Hs(R).

Trang 16

Kí hiệu Ω′ = R \ Ω Như vậy ta có < uk, φ >= 0, ∀φ ∈ Co∞(Ω′) Do tínhliên tục suy ra < u, φ >= 0, ∀φ ∈ Co∞(Ω′) Điều đó chứng tỏ supp u ⊂ Ω.Như vậy ta có bao hàm thức Hos(Ω) ⊂ Ho,os (Ω) Ta có Ω là một miềnchính quy trong R Ta đã chứng minh được rằng nếu Ω là miền chínhquy thì Ho,os (Ω) ⊂ Hos(Ω) Như vậy, khi Ω là miền chính quy thì

∥f ∥Hs(Ω) = inf

trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển lf ∈ Hs(R) của f ∈ Hs(Ω).Định lí 1.3.2 Giả sử (Hos(Ω))∗ là không gian đối ngẫu của Hos(Ω).Khi đó (Hos(Ω))∗ đẳng cấu với H−s(Ω) Ngoài ra giá trị của phiếm hàmf ∈ H−s(Ω) trên phần tử u ∈ Hos(Ω) được xác định bởi công thức

< u, f >= (u, lf ) =Z ∞

u(ξ) blf (ξ),(1.12)trong đó tích phân ở vế phải của (1.12) không phụ thuộc vào việc chọnthác triển lf của phiếm hàm f.

Chứng minh Giả sử l′f ∈ H−s(R) là một thác triển khác của f ∈H−s(Ω) từ Ω ra toàn trục thực R Như vậy ta có

(lf − l′f, φ) = 0, φ ∈ Co∞(Ω).

472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM

Trang 17

Vì Co∞(Ω) trù mật trong Hos(Ω) với mọi s ∈ R, nên đẳng thức trên đâycũng đúng với mọi u ∈ Hos(Ω), tức là

(u, lf ) = (u, l′f )), ∀u ∈ Hos(Ω).

Định lý được chứng minh.

1.3.3Định lý nhúng

Định lí 1.3.3 Kí hiệuCm

o = Cok(R) là tập hợp các hàm thuộc Cm, triệttiêu tại vô cùng với các đạo hàm cấp m Ta có

Hs(R) ⊂ Cm

o , s > 1/2 + m.Phép nhúng là liên tục.

Định lí 1.3.4 Giả sử Ω là một miền giới nội trong R Khi đó khônggian Hos(Ω) nhúng liên tục vào C(Ω) khi và chỉ khi s >1

2.Định lí 1.3.5 Giả sử Ω là một miền giới nội trong R Khi đó

Sn = S × S × · × S, S′n = S′× S′ × · × S′.

Trang 18

o (Ω), Hsj

o,o(Ω), Hsj(Ω) là các không gian Sobolev, trong đój = 1, 2, , n; Ω là một khoảng hoặc hệ khoảng không giao nhau trongR Ta đặt

⃗s = (s1, s2, , sn)T,H⃗ = Hs1 × Hs2 × · · · Hsn,H⃗o(Ω) = Hs1

o (Ω) × Hs2

o (Ω) × · · · × Hsn

o (Ω)H⃗o,o(Ω) = Hs1

o,o(Ω) × Hs2

o,o(Ω) × · · · × Hsn

o,o(Ω)H⃗(Ω) = Hs1(Ω) × Hs2(Ω) × · · · Hsn(Ω),

Tích vô hướng và chuẩn trong H⃗ và H⃗o(Ω) được xác định bởi các côngthức

với ∥uj∥sj và (uj, vj)sj được xác định tương ứng theo các công thức (1.9)472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM

Trang 19

và (1.10) Chuẩn trong H⃗(Ω) được xác định bởi công thức

o(Ω).Ta có

mj, wj = 0∀wj ∈ Co∞(R \ Ω).Do đó

⟨um, w⟩ = 0∀w ∈ (Co∞(R \ Ω))n.(1.16)Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, từ đẳng thức Parserval cho mỗiw ∈ (Co∞(R))n, ta có

|⟨u − um, w⟩| =12π

F [u − um], F (w)E

Z ∞−∞b

uj(ξ) −bumj(ξ)wbj(ξ)dξ

⟨u, w⟩ = 0∀w ∈ (Co∞(R \ Ω))n,

tức là u ∈ H⃗(Ω) Mệnh đề được chứng minh.

Trang 20

Mệnh đề 1.4.2 Tập hợp (Co∞(Ω))n trù mật trong H⃗o(Ω) theo chuẩncủa H⃗o(Ω).

Chứng minh Từ kết quả tập hợp Co∞(Ω) trù mật trong Hsj

o (Ω)(j =1, 2, , n), nên ta có với mọi ε > 0 và hàm uj ∈ Hsj

o (Ω) sẽ tồn tại hàmwj ∈ Co∞(Ω) sao cho

∥uj − wj∥sj <ε√

n.Từ đó suy ra

< ε.

Mệnh đề được chứng minh.

1.4.2Phiếm hàm tuyến tính liên tục

Định lí 1.4.1 Giả sử H⃗s,∗(R) là không gian đối ngẫu của không gianH⃗(R) Khi đó H⃗s,∗(R) đẳng cấu với không gian H−⃗s(R) Ngoài ra, giátrị của phiếm hàm f ∈ H−⃗s(R) trên phần tử u ∈ H⃗(R) được cho bởicông thức

Trang 21

sao cho Φ(u) = (v, u)⃗ và ∥Φ∥ = sup∥u∥s=1∥Φ(u)∥ ≤ ∥v∥⃗ Đặt

bf (ξ) =

f1(ξ), , bfn(ξ)T

:= (1 + |ξ|)2s1b

v1(ξ), , (1 + |ξ|)2snb

vn(ξ)T .(1.19)Ta có

Z ∞−∞

(1 + |ξ|)−2sj| bfj(ξ)|2dξ =Z ∞

Ta thấy, (1.19) thiết lập một đẳng cấu giữa H⃗s,∗(R) và H−⃗s(R) Ngoài racông thức (1.18) xác định giá trị của phiếm hàm f ∈ H−⃗s(R) trên phầntử u ∈ H⃗(R) Định lý được chứng minh.

Định lí 1.4.2 Giả sử Ω ⊂ R, u = (u1, u2, , un)T ∈ H⃗(Ω), f ∈H−⃗s(Ω) và lf = (l1f1, l2f2, , lnfn)T ∈ H−⃗s(Ω) là một thác triển củahàm f từ Ω vào R Khi đó công thức

không phụ thuộc vào cách chọn thác triển lf Do đó công thức này xácđịnh một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H⃗o(Ω) Hơn nữa mọi phiếmhàm tuyến tính liên tục Φ(u) trên H⃗o(Ω) đều tồn tại phần tử f ∈ H−⃗s(Ω)sao cho Φ(u) = [u, f ] và ∥Φ∥ = ∥f ∥H−⃗s(Ω).

Trang 22

Chứng minh Giả sử l′f là một thác triển khác của f Khi đó ta cólf − l′f = 0 trên Ω, nghĩa là

bfo(ξ) = (1 + |ξ|)2s1b

v1(ξ), , (1 + |ξ|)2snb

vn(ξ)T , fo = F−1[ˆfo].

Khi đó, fo ∈ H−⃗s(R), pfo = f ∈ H−⃗s(Ω), trong đó p là toán tử hạnchế trên Ω Ta có Φ(u) = (v, u)⃗ = (fo, u)o và ∥Φ∥ = ∥v∥⃗ = |fo|−⃗s ≥∥f ∥H−⃗s(Ω) Mặt khác, theo (1.22) ta có ∥Φ∥ = sup∥u∥⃗≤1|Φ(u)| ≤ ∥f ∥H−⃗s(Ω).Từ đó suy ra ∥Φ∥ = ∥f |H−⃗s(Ω) Định lý được chứng minh.

472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM472412067:57:27 PM7:57:27 PM

Trang 23

1.5Toán tử giả vi phân vectơ

Trong mục này, trình bày một số tính chất của toán tử giả vi phân vectơdạng

(Au)(x) := F−1[A(ξ)u(ξ)](x),b

trong đó A(ξ) = ∥aij(ξ)∥n×n là ma trận vuông cấp n, u = (u1, , un)Tlà vectơ chuyển vị của vectơ dòng u = (u1, , un), vàu(ξ) := F [u](ξ) =b(F [u1], , F [un])T .

1.5.1Khái niệm

Định nghĩa 1.5.1 Cho α ∈ R Ta nói hàm a(ξ) thuộc vào lớp σα(R),nếu

| a(ξ)| ≤ C1(1 + |ξ|)α,∀ξ ∈ R,và nó thuộc vào lớp σ+α(R), nếu

C2(1 + |ξ|)α ≤ a(ξ) ≤ C1(1 + |ξ|)α,∀ξ ∈ R,(1.23)trong đó C1, C2 là các hằng số dương nào đó.

Mệnh đề 1.5.1 Giả sử a(ξ) > 0 và (1 + |ξ|)−αa(ξ) là hàm liên tục, bịchặn trên R, hàm số (1 + |ξ|)−αa(ξ) có các giới hạn dương khi ξ → ±∞.Khi đó a(ξ) ∈ σ+α(R).

Chứng minh Ta giả thiết rằnglim

ξ→±∞(1 + |ξ|)−αa(ξ) = λ±, λ± > 0.

Khi đó, với mỗi số dương đủ bé ϵ < λ+ tồn tại số Ro > 0 sao cho

λ− ≤ (1 + |ξ|)−αa(ξ) ≤ λ+, |ξ| ≥ Ro,