MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN EUCLID VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Biểu Mẫu - Văn Bản - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Công nghệ thông tin UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA:TOÁN ---------- THONGSAVATH SILADUANGCHAI MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN EUCLID VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 20170 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA:TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN EUCLID VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Sinh viên thực hiện Thongsavath SILADUANGCHAI MSSV: 2113010143 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2016 – 2017 Cán bộ hướng dẫn ThS. LÊ THI TUYẾT LÊ MSCB: …. Quảng Nam, tháng 5 năm 2017 MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 1 3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................................... 1 4. Mức độ và phạm vi nghiên cứu.......................................................................... 1 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 1 B. NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH ................................................................ 3 1.1. Không gian xạ ảnh .......................................................................................... 3 1.1.1. Định nghĩa .................................................................................................... 3 1.1.2. Các mô hình của không gian xạ ảnh ............................................................ 3 1.2. Tọa độ xạ ảnh và mục tiêu xạ ảnh ................................................................... 7 1.2.1. Vectơ đại diện cho một điểm ....................................................................... 7 1.2.2. Hệ điểm độc lập ........................................................................................... 7 1.2.3. Tọa độ xạ ảnh của một điểm. ....................................................................... 7 1.2.4. Mục tiêu xạ ảnh ............................................................................................ 8 1.2.5. Mối liên hệ giữ mục tiêu xạ ảnh của P ୬ và cơ sở tương ứng thuộc trong V ୬ାଵ ........................................................................................................................ 9 1.3. Vị trí tương đối của các phẳng trong ۾ ܖ ...................................................... 11 CHƯƠNG II: MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN EUCLID ................. 14 2.1. Xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian affine ......................................... 14 2.1.1. Xây dựng mô hình ...................................................................................... 14 2.1.2. Mục tiêu affine trong mô hình ................................................................... 14 2.1.3. Các phẳng trong mô hình ........................................................................... 15 2.1.4. Thể hiện sự song song của các phẳng trong mô hình ................................ 15 2.1.5. Ý nghĩa affine của tỉ số kép và ý nghĩa xạ ảnh của tỉ số đơn ..................... 17 2.1.6. Áp dụng ...................................................................................................... 18 2.2. Xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Euclid ........................................ 20 2.3. Cái tuyệt đối của không gian Euclid ............................................................. 21 2.4. 2.4. Một số khái niệm cơ bản của hình học Euclid thể hiện trên mô hình... 21 2.4.1. Sự vuông góc của hai đường thẳng ............................................................ 21 2.4.2. Siêu cầu ...................................................................................................... 22 2.4.3. Phép đồng dạng .......................................................................................... 23 2.5. Các mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclid ................................................... 24 2.6. Ứng dụng giải bài toán trong hình học phẳng ............................................... 27 C. KẾT LUẬN ..................................................................................................... 35 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 36 1 A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành toán tại các trường đại học sư phạm trong cả nước. Mục đích của môn này là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan hình học. Đồng thời hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải các bài toán ở trường trung học phổ thông. Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải các bài toán hình học affine và hình học Euclid là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho các sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh. Nhằm tìm hiểu rõ hơn về hình học xạ ảnh đồng thời ứng dụng nó vào việc giải các bài toán hình học affine và hình học Euclid, em đã chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: “ Mô hình xạ ảnh của không gian Euclid và ứng dụng giải các bài toán hình học phẳng” 2. Mục đích nghiên cứu Mục tiêu chính của đề tài là tóm tắt lý thuyết và bài tập vận dụng liên quan đến mô hình xạ ảnh của không gian Euclid và ứng dụng giải các bài toán hình học phẳng. 3. Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này em tìm hiểu xung quanh các vấn đề về Mô hình xạ ảnh của không gian Euclid và ứng dụng giải các bài toán hình học phẳng. 4. Mức độ và phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan về mô hình xạ ảnh của không gian Euclid và ứng dụng giải các bài toán hình học phẳng. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu cách xây dụng mô hình xạ ảnh của không gian Euclid và ứng dụng giải các bài toán hình học phẳng  Tìm hiểu về một số khái niệm cơ bản hình học Euclid thể hiện trên mô hình.  Tìm hiểu mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affin và mặt phẳng Euclid. 2  Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến mô hình xạ ảnh của không gian Euclid và ứng dụng giải các bài toán hình học phẳng để rút ra phương pháp giải bài tập liên quan. 3 B. NỘI DUNG CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 1.1. Không gian xạ ảnh 1.1.1. Định nghĩa Giả sử V ୬ାଵ là không gian vectơ n +1 chiều (n ൒ 0) trên trường K và X là một tập hợp không rỗng tùy ý, ta kí hiệu P(V ୬ାଵ ) là tập hợp tất cả các không gian con một chiều của V ୬ାଵ nghĩa là mỗi phần tử P(V ୬ାଵ) là một không gian con V ଵ của V ୬ାଵ. Nếu có song ánh π : P(V ୬ାଵ) → X thì bộ ba ( X,π, V ୬ାଵ ) được gọi là một không gian xạ ảnh n chiều liên kết với không gian vectơ V ୬ାଵ trên trường K và được kí hiệu là P ୬ . Ta có P ୬ = (X,π, V ୬ାଵ ) Tùy theo V ୬ାଵ là không gian vectơ thực hay phức, ta được không gian xạ ảnh P ୬ thực hay phức. Như vậy mỗi điểm của không gian xạ ảnh P ୬ là ảnh của một không gian con V ଵ được sinh ra bởi một vectơ xሬԦ ് 0ሬԦ của V ୬ାଵ qua song ánh π. Nếu V ୫ାଵ là không gian vectơ con của V ୬ାଵ ( 0 ൑ m ൑ n ) thì tập hợp con π P(V ୫ାଵ ) của X sẽ gọi là m – phẳng xạ ảnh của không gian xạ ảnh P ୬ . Do đó 0 – phẳng còn gọi là điểm, 1 – phẳng còn gọi là đường thẳng, ( n – 1 ) – phẳng còn gọi là siêu phẳng. Giả sử X’ = π P(V ୫ାଵ ) là m – phẳng. Khi đó ta có song ánh π′ : P (V ୫ାଵ) → X’ cảm sinh bởi song ánh π tức là πᇱ= π P(V ୫ାଵ ) Như vậy (X’,π’, V ୫ାଵ ) cũng là một không gian xạ ảnh m chiều và được kí hiệu là P ୫. Ta có P ୫ = (X’,π’, V ୫ାଵ). 1.1.2. Các mô hình của không gian xạ ảnh a. Mô hình vectơ Ta lấy X là chính tập hợp P(V ୬ାଵ) và song ánh π là phép đồng nhất π : P(V ୬ାଵ) → P(V ୬ାଵ) 4 Điểm của không gian xạ ảnh P(V ୬ାଵ),π, V ୬ାଵ = X là các không gian vectơ một chiều V ୬ାଵ . Tập hợp các không gian con một chiều thuộc một không gian con m +1 chiều nào đó là một m – phẳng của không gian xạ ảnh này. b. Mô hình số học. Ta xét một bộ số thực gồm n +1 số (xଵ,x ଶ , … . . , x ୬ାଵ ) trong đó có ít nhất là một số khác 0. Hai bộ số thực (xଵ,x ଶ , … . . , x ୬ାଵ) và (yଵ,y ଶ , … . . , y୬ାଵ ) như vậy sẽ gọi là tương đương khi và chỉ khi có một số thực λ ് 0 sao cho x ୧= λy ୧ với i = 1,2,….,n+1. Tập hợp các bộ số thực nói trên sẽ được phân thành các lớp tương đương. Ta gọi K là tập hợp tất cả các lớp tương đương đó. Bây giờ gọi V ୬ାଵ là một không gian vectơ nào đó và trên đó đã có một cơ sở được chọn. Ta hãy xét song ánh π như sau π ∶ PሺV ୬ାଵ ሻ → K Giả sử V ଵ là một không gian con một chiều của V ୬ାଵ. Ta chọn trên V ଵ một vectơ xሬԦ് 0 ሬԦ và gọi (xଵ,x ଶ , … . . , x ୬ାଵ) là tọa độ của vectơ xሬԦ đối với cơ sở đã chọn. Qua song ánh π, mỗi không gian con V ଵ ta đặt tương ứng với một lớp tương đương các bộ số thực mà phần tử đại diện là (xଵ,x ଶ , … . . , x ୬ାଵ). Như vậy ሺK, π, V ୬ାଵ ሻ là một mô hình của không gian xạ ảnh n chiều và được gọi là mô hình số học của Pn . c. Mô hình bó. Trong không gian affine A୬ାଵ xây dựng trên không gian vectơ V ୬ାଵ ta lấy một điểm O tùy ý. Gọi X là tập hợp tất cả các đường thẳng của A୬ାଵ cùng đi qua điểm O. Và một tập hợp X như vậy được gọi là bó đường thẳng tâm O. Nếu V ଵ là không gian một chiều thuộc V ୬ାଵ thì ta có πሺV ଵ ሻ là đường thẳng đi qua O có phương V ଵ. Ta có song ánh   n 1 π : P V X  A B C O 5 Do đó ሺX, π, V ୬ାଵ ሻ là một mô hình của không gian xạ ảnh n chiều. Mỗi đường thẳng của bó biểu thị một “điểm xạ ảnh”. Hai đường thẳng phân biệt của bó tạo nên một mặt phẳng affine đi qua O biểu thị cho một “đường thẳng xạ ảnh”. Thông qua mô hình này ta nhận thấy rằng tập hợp “các điểm xạ ảnh” cùng thuộc một “đường thẳng xạ ảnh” là một tập hợp các “điểm” khép kín nghĩa là nếu có một điểm C chuyển động theo chiều từ A đến B của đường thẳng AB thì sau khi vượt qua điểm B, điểm đó vẫn đi theo hướng cũ và sẽ trở về A. Như vậy đường thẳng xạ ảnh không giống với đường thẳng affine và đường thẳng Euclid vì nó là một đường khép kín. Trong mô hình này muốn biểu thị một “mặt phẳng xạ ảnh” (là 2 – phẳng) ta cần lấy ba đường thẳng của bó tâm O mà không cùng nằm trong một mặt phẳng affine. Giả sử A, B, C là “ba điểm xạ ảnh” không thẳng hàng mà trên mô hình được biểu thị bằng ba đường thẳng affine cùng đi qua O và không cùng thuộc một mặt phẳng affine. Khi đó trên “mặt phẳng xạ ảnh ABC” ta có các “đường thẳng xạ ảnh AB, BC, CA” từ tính chất khép kín của “các đường thẳng AB, BC, CA” ta tưởng tượng và hình dung ra tính chất khép kín của “mặt phẳng xạ ảnh ABC” một cách thích hợp. d. Mô hình affine sau khi bổ sung các phần tử vô tận. Gọi A୬ାଵ là một không gian affine n + 1 chiều liên kết với không gian vectơ V ୬ାଵ và A୬ là một siêu phẳng của A୬ାଵ có phương là không gian vectơ con V ୬ ⊂ V ୬ାଵ . Ta hãy xét tập hợp A෩୬ ൌ A஠ ∪ P và xây dựng song ánh π: PሺV ୬ାଵ ሻ → A෩୬ như sau. ܯஶ O M ܣ௡ 6 Lấy một điểm cố định O của A୬ାଵ không nằm trên A୬. Giả sử V ଵ là không gian con một chiều của V ୬ାଵ.  Nếu V ଵ  V ୬ thì trên A୬ có một điểm M duy nhất sao cho OMሬሬሬሬሬሬԦ ∈ V ୬ trong trường hợp này ta đặt πሺV ଵ ሻ ൌ M.  Nếu V ଵ ⊂ V ୬ thì đặt πሺV ଵ ሻ ൌ Mஶ. Có thể hiểu rằng điểm πሺV ଵ ሻ là điểm gặp nhau của những đường thẳng song song với nhau trong A୬ có cùng phương V ଵ và ta thường gọi đó là điểm vô tận của các đường thẳng song song đó. Ta dễ dàng chứng minh được π là một song ánh vì mỗi đường thẳng của bó tâm O trong không gian Affine A୬ାଵ có tương ứng 1 – 1 với một điểm của A෩୬ . Như vậy ta có một không gian xạ ảnh n chiều (A෩୬, π, V ୬ାଵ ሻ và gọi đó là mô hình affine có bổ sung thêm các phần tử vô tận. Trên mô hình này, mỗi điểm xạ ảnh là một điểm thông thường của không gian affine A୬ hoặc một không gian con một chiều của V ୬ ( là phương của ảnh A୬ ); mỗi m – phẳng của không gian xạ ảnh sẽ là:  Hoặc là tập hợp A୫ ∪ PሺV ୫ ሻ trong đó A୫ là một m – phẳng affin còn V ୫ là phương của nó và PሺV ୫ ሻ là tập hợp các V ଵ ⊂ V ୫ .  Hoặc là tập hợp PሺV ୫ାଵ ሻ trong đó V ୫ାଵ ⊂ V ୬. Ta có thể xem PሺV ୫ାଵ ሻ là giao của hai (m+1) – phẳng affine song song với nhau hoặc gọi đó là m – phẳng vô tận (m – phẳng chứa toàn điểm vô tận) Trên mô hình này nếu a và b là hai đường thẳng song song với nhau có cùng phương V ଵ thì a ∪ π ሺV ଵ ሻ và b ∪ π ሺV ଵ ሻ là hai đường thẳng của không gian xạ ảnh A෩୬, chúng có chung nhau một điểm π ሺV ଵ ሻ. Bởi vậy điểm π ሺV ଵ ሻ được gọi là điểm vô tận. Tập hợp các điểm vô tận này của A෩୬ nằm trên (n – 1) – phẳng được gọi là siêu phẳng vô tận. Ta có thể xem siêu phẳng này chứa toàn bộ các điểm vô tận của A෩୬. Như thế là không gian xạ ảnh của A෩୬ có được bằng cách lấy không gian affine An và bổ sung thêm các điểm vô tận của tất cả các đường thẳng thuộc A n . Chú ý:Ttrên mỗi đường thẳng của An ta chỉ được phép bổ sung thêm một điểm vô tận mà thôi. Trong không gian xạ ảnh các điểm affine thông thường và các điểm vô tận đều có vai trò bình đẳng vì chúng đều là các điểm xạ ảnh như 7 nhau. Vì vậy khi sử dụng mô hình này để minh họa các khái niệm tính chất trong không gian xạ ảnh chúng ta cần phải hiểu rõ bản chất của các điểm vô tận đó để khỏi nhầm lẫn. Cần lưu ý rằng điểm vô tận là một khái niệm không có trong không gian affine và cũng không được nêu tên trong không gian xạ ảnh. 1.2. Tọa độ xạ ảnh và mục tiêu xạ ảnh 1.2.1. Vectơ đại diện cho một điểm Gọi Pn là không gian xạ ảnh liên kết với không gian vectơ V ୬ାଵ qua song ánh. Trong V ୬ାଵ mỗi vectơ aሬԦ് 0 ሬԦ sẽ sinh ra một không gian con một chiều và qua song ánh π không gian này sẽ ứng với một điểm A duy nhất của Pn . Ta nói rằng vectơ aሬԦ đại diện cho điểm A. Ta suy ra hai vectơ aሬԦ và bሬԦ cùng đại diện cho một điểm A khi và chỉ khi aሬԦ ൌ kbሬԦ với k là một số thực khác 0. Như vậy aሬԦ, bሬԦ là hai vectơ cộng tuyến của Vn+1 sẽ cùng đại diện cho một điểm của P n . 1.2.2. Hệ điểm độc lập Ta gọi một hệ gồm r điểm M1, M2,…, Mr của Pn là độc lập nếu trong không gian vectơ Vn+1 liên kết với Pn ta có r vectơ đại diện cho r điểm ấy độc lập tuyến tính. Ta nhận thấy rằng nếu có r điểm độc lập thì bất cứ hệ r vectơ naò đại diện cho chúng cũng độc lập tuyến tính và do đó r điểm M1, M2,…, Mr xác định một (r – 1) – phẳng xạ ảnh. Như vậy muốn xác định một m – phẳng xạ ảnh ta phải biết m+1 điểm độc lập thuộc phẳng đó. Trong Pn muốn có r điểm độc lập thì r < n + 1 và do đó mọi hệ điểm nhiều hơn n + 1 điểm đều không độc lập. 1.2.3. Tọa độ xạ ảnh của một điểm. Cho không gian xạ ảnh Pn liên kết với không gian vectơ Vn+1 . Ta chọn trong Vn+1 một cơ sở ε = { eଵሬሬሬԦ, eଶሬሬሬԦ,……, e ୬ାଵሬሬሬሬሬሬሬሬԦ }. Gọi X là một điểm tùy ý của Pn và trong Vn+1 ta có XሬሬԦ là vectơ đại diện cho điểm X. Nếu (xଵ , x ଶ , … , x ୬ାଵ ) là tọa độ của vectơ XሬሬԦ đối với ε trong Vn+1 thì ta cũng gọi đó là tọa độ xạ ảnh của điểm X của Pn ứng với ε trong Vn+1 . Khi đó ta kí hiệu: X = ( xଵ, x ଶ,….., x ୬ାଵ) hoặc X( xଵ, x ଶ,….., x ୬ାଵ) 8 Do cách xây dựng như trên tọa độ xạ ảnh của các điểm thuộc Pn có các tính chất sau đây: a) Nếu ( xଵ, x ଶ,….., x ୬ାଵ) là tọa độ xạ ảnh của một điểm thì các x ୧ không đồng thời bằng 0 vì vectơ đại diện cho một điểm phải luôn luôn là vectơ khác vectơ 0ሬԦ. b) Một bộ số có thứ tự gồm n +1 số ( xଵ, x ଶ,….., x ୬ାଵ ) trong đó ít nhất có một số khác 0 xác định một điểm X duy nhất của Pn . Điểm X này nhận bộ số thực đó làm tọa độ xạ ảnh ứng với cơ sở đã cho. c) Nếu ( xଵ, x ଶ,….., x ୬ାଵ ) là tọa độ xạ ảnh của một điểm X thì mọi bộ số có dạng (kxଵ, kx ଶ,….., kx ୬ାଵ) với k ് 0 đều là tọa độ của điểm X đó. Chú ý: Các tính chất trên đây là các tính chất đặc biệt của tọa độ xạ ảnh của một điểm. Thí dụ: െ Trong P ଶ bộ số (0,0,0) không phải là tọa độ của bất cứ điểm xạ ảnh nào nhưng trong Aଷ hoặc trong E ଷ bộ số đó là tọa độ của điểm gốc mục tiêu tọa độ. െ Trong P ଶ hai bộ số (1,0,-2) và (-1,0,2) là tọa độ của cùng một điểm xạ ảnh còn trong Aଷ hoặc trong E ଷ hai bộ số đó là tọa độ của hai điểm hoàn toàn khác nhau. 1.2.4. Mục tiêu xạ ảnh Giả sử không gian xạ ảnh P ୬ liên kết với không gian vectơ V ୬ାଵ. Gọi ϵ = {eሬԦଵ, eሬԦଶ,…., eሬԦ୬ାଵ} là một cơ sở cho trước của V ୬ାଵ. Khi đó trong P ୬ tọa độ xạ ảnh của mỗi điểm đều được xác định đối với cơ sở ϵ đó. Bây giờ trong P ୬ ta gọi A ୧ là các điểm nhận các vectơ eሬԦ ୧ với i=1,2,….,n+1 làm các vectơ đại diện. Ta được tọa độ xạ ảnh của các điểm A ୧ đó là: Aଵ=(1,0,0,….,0,0), A ଶ=(0,1,0..,0,0),…A ୬=(0,0,0,…..,1,0); A ୬ାଵ =(0,0,0,……,0,1) Gọi E là điểm có vectơ đại diện là vectơ eሬԦ, trong đó eሬԦ = eሬሬԦଵ+ eሬԦଶ+….+ eሬԦ ୬ାଵ Như vậy. Điểm E có tọa độ xạ ảnh là E = (1,1,…..,1) Định nghĩa: Một tập hợp gồm n+1 điểm được xây dựng như trên {Aଵ, A ଶ,…., A ୬ାଵ ;E} là một mục tiêu xạ ảnh của không gian xạ ảnh n chiều P ୬ ứng với cơ sở ϵ trong 9 V ୬ାଵ. Ta kí hiệu mục tiêu xạ ảnh đó là {A ୧;E} với i=1,2,….,n+1. Các điểm A ୧ là các đỉnh của mục tiêu và điểm E là điểm đơn vị. Nếu một điểm thuộc P ୬ có tọa độ (xଵ, x ଶ,…., x ୬ାଵ) đối với cơ sở ϵ , và mục tiêu xạ ảnh {A ୧;E} được xây dựng cũng ứng với cơ sở ϵ đó thì ta nói rằng (xଵ, x ଶ,…., x ୬ାଵ) là tọa độ xạ ảnh của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh {A ୧ ;E} với i=1,2,….,n+1. Chú ý: Trong n + 2 điểm {Aଵ, A ଶ,…., A ୬ାଵ ;E} của một mục tiêu xạ ảnh trong P ୬ bất cứ n+1 điểm nào cùng độc lập. 1.2.5. Mối liên hệ giữ mục tiêu xạ ảnh của ۾ ܖ và cơ sở tương ứng thuộc trong ܄ ା૚ܖ Định lý: Gọi P ୬ là không gian xạ ảnh liên kết với không gian V ୬ାଵ , khi đó a) Trong V ୬ାଵ các cơ sở vị tự với nhau xác định một và chỉ một mục tiêu xạ ảnh tương ứng trong P ୬ . b) Trong P ୬ với mục tiêu xạ ảnh {A ୧ ;E}, i=1,2,….,n+1 cho trước , (hoặc n+2 điểm Aଵ, A ଶ,…., A ୬ାଵ , E sao cho bất kì n+1 điểm nào trong chúng đều độc lập) ta có thể tìm được trong V ୬ାଵ một lớp duy nhất các cơ sở vị tự với nhau nhận {A ୧;E} làm mục tiêu xạ ảnh tương ứng. Chứng minh. a) Ta biết rằng trong V ୬ାଵ với một cơ sở ε ൌ {eሬԦଵ, eሬԦ ଶ,…., eሬԦ୬ାଵ } cho trước ta hoàn toàn xác định được một mục tiêu xạ ảnh {A ୧;E} tương ứng của P ୬ . Bây giờ nếu ta chọn một cơ sở khác là ε ᇱ={keሬԦଵ, keሬԦଶ,…., keሬԦ୬ାଵ} trong V ୬ାଵ với số thực k് 0 thì mục tiêu xạ ảnh tương đương với ε ᇱ hoàn toàn trùng với mục tiêu xạ ảnh ứng với cơ sở ε cho trước. khi thay đổi và luôn luôn khác 0 ta sẽ được một tập hợp các cơ sở vị tự với ε. Tất nhiên với hai cơ sở εଵ và εଶ không vị tự với nhau thì chúng sẽ ứng với hai mục tiêu xạ ảnh khác nhau của P ୬ . b) Bây giờ ta giả sử trong P ୬ ta có một mục tiêu xạ ảnh {A ୧ ;E}, i=1,2,….,n+1 Trong V ୬ାଵ ta có các vectơ e నᇱሬሬሬሬԦ đại diện cho các điểm A ୧ với i=1,2,….,n+1 và vectơ eሬԦ đại diên cho điểm E. Vì n+1 điểm Aଵ, A ଶ,…., A ୬ାଵ độc 10 lập nên ta có n+1 vectơ eଵᇱሬሬሬሬሬԦ, e ଶᇱሬሬሬሬሬԦ,….., e ୬ାଵᇱሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ độc lập tuyến tính và do đó chúng tạo thành một cơ sở của V ୬ାଵ. Vì vectơ eሬԦ ∈ V ୬ାଵ nên vectơ đó được biểu thị tuyến tính qua cơ sở {eనᇱሬሬሬሬԦ} nói trên nghĩa là eሬሬԦ= t ଵ eଵᇱሬሬሬሬሬԦ ൅ e ଶᇱሬሬሬሬሬԦ+…..+t ୬ାଵ e୬ାଵᇱሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ Vì điểm E và n điểm A ୧ nào đó là một hệ gồm n+1 điểm độc lập, nên vectơ eሬԦ cùng với n vectơ e న ᇱሬሬሬԦ tương đương là một hệ n+1 vectơ độc lập tuyến tính. Từ đó ta suy ra t ୧് 0 với mọi i vì nếu t ୧=0 thì vectơ eሬԦ được biểu thị thuyến tính qua n vectơ còn lại nghĩa là vectơ eሬԦ và n vectơ e న ᇱሬሬሬԦ còn lại đó không độc lập tuyến tính, điều này trái với giả thiết nêu ở phần kết luận trên đây. Vì t ୧് 0 với mọi i nên ta đặt: e నሬሬሬሬԦ= t ୧ e నᇱሬሬሬሬԦ với i =1,2,…,n+1 Và ta có 1 2 1... ne e e e         Do đó ta có cơ sở ε = ሼeଵሬሬሬԦ, e ଶሬሬሬԦ,….., e ୬ାଵሬሬሬሬሬሬሬሬԦ } của V ୬ାଵ, trong đó mỗi vectơ e నሬሬԦ đại diện cho điểm A ୧ của mục tiêu {A ୧;E}, cho trước với i=1,2,….,n+1 và vectơ eሬԦ=eଵሬሬሬԦ+e ଶሬሬሬԦ+…..+e ୬ାଵሬሬሬሬሬሬሬሬԦ đại diện cho điểm E của mục tiêu xạ ảnh đó. Như vậy ta đã chứng minh được sự tồn tại của cơ sở ε = ሼe ଵ ሬሬሬሬሬԦ,e ଶሬሬሬԦ,…..,e ୬ାଵሬሬሬሬሬሬሬሬԦ } trong V ୬ାଵ sinh ra mục tiêu xạ ảnh {A ୧ ;E} cho trước . Bây giờ chúng ta cần chứng minh rằng có một lớp duy nhất các cơ sở vị tự với ε nhận {A ୧ ;E} làm mục tiêu xạ ảnrh tương ứng. Vì eଵሬሬሬԦ,e ଶሬሬሬԦ,…..,e୬ାଵሬሬሬሬሬሬሬሬԦ là các vectơ lần lượt đại diện cho các điểm A ୧ với i=1,2,…,n+1 nên vectơ a నሬሬሬԦ=k ୧ eଵሬሬሬԦ, k ୧് 0 cũng là các vectơ đại diện cho các điểm A ୧ với i=1,2,…,n+1. Mặt khác vectơ eሬԦ=eଵሬሬሬԦ+e ଶሬሬሬԦ+…..+e୬ାଵሬሬሬሬሬሬሬሬԦ là vectơ đại diện cho điểm E nên vectơ aሬԦ=keሬԦ với k് 0 cũng là vectơ đại diện cho điểm E. Ta có n 1 n 1 i i i 1 i 1 a ke k e ke             ሺ1ሻ Mặt khác vì aሬԦ đại diện cho điểm E và các vectơ aሬԦ ୧ đại diện cho các điểm A ୧ với i=1,2,…,n+1 nên Ta có 1 1 ( ) 0 n i i i k k e       (3) 11 Ta có 1 1 1 1 n n i i i i i a a k e           (2) So sánh hai hệ thức (1) và (2) Ta có 1 1 ( ) 0 n i i i k k e       (3) Vì {eଵሬሬሬԦ, eଶሬሬሬԦ,…..,e ୬ାଵሬሬሬሬሬሬሬሬԦ} là hệ vectơ độc lập tuyến tính nên từ (3) ta có ik k với mọi i và do đó i ia k e   Vậy các cơ sở vị tự với nhau tạo thành một lớp duy nhất nhận {A ୧ ; E} cho trước làm mục tiêu xạ ảnh tương đương. 1.3. Vị trí tương đối của các phẳng trong ۾ ܖ Bài toán về xét vị trí tương đối của các m – phẳng trong không gian xạ ảnh đơn giản hơn các bài toán đó khi xét trong không gian affine hoặc không gian Euclid. Trong không gian xạ ảnh, muốn xét vị trí tương đối của các phẳng ta chỉ cần xét sự cắt nhau hoặc chéo nhau của các phẳng đó mà thôi. a) Sự cắt nhau và chéo nhau của các phẳng xạ ảnh  Hai cái phẳng xạ ảnh của P ୬ được gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung nghĩa là chúng có giao khác rỗng. Ta dễ dàng suy ra rằng giao của hai các phẳng là một cái phẳng có số chiều lớn nhất thuộc các phẳng cho trước.  Hai cái phẳng xạ ảnh của P ୬ được gọi là chéo nhau nếu chúng không điểm chung. b) Công thức số chiều của tổng và giao các phẳng xạ ảnh Ta gọi tổng của hai cái phẳng là giao của tất cả cái phẳng chứa đồng thời cả hai phẳng đó. Ta suy ra tổng của hai cái phẳng là cái phẳng có số chiều bé nhất chứa các phẳng cho trước. Chú ý rằng khái niệm tổng của hai cái phẳng khác với khái niệm tổng hiểu theo nghĩa tập hợp. Thí dụ cho hai đường thẳng xạ ảnh phân biệt cắt nhau thì tổng của chúng là mặt phẳng chứa hai đường thẳng ấy. Nếu hai đường thẳng xạ ảnh chéo nhau ( tức là không cắt nhau) thì tổng của hai cái phẳng đó là không gian xạ ảnh P ୬ chứa hai đường thẳng ấy. 12 Để xét vị trí tương dối của hai cái phẳng xạ ảnh ta cần đưa vào các không gian vectơ con liên kết với hai phẳng đó và ta có các công thức về số chiều của tổng và giao của các phẳng như sau:  Nếu hai cái phẳng xạ ảnh P và Q cắt nhau ta có dim (P + Q) = dim P + dim Q – dim (P∩Q)  Nếu hai cái phẳng ảnh P và Q chéo nhau ta có: dim (P + Q) = dim P + dim Q + 1 Chú ý: từ định nghĩa về tổng và giao của hai cái phẳng xạ ảnh bằng phương pháp quy nạp ta suy ra được định nghĩa của tổng và giao một số hữu hạn các phẳng trong P ୬. c) Hệ siêu phẳng độc lập Trong P ୬ với mục tiêu xạ ảnh đã chọn cho m siêu phẳng có tọa độ là ሾu ୧ଵ , u ୧ଶ , … , u୧ଷ ሿ với i = 1,2,…,m và 0 < m ≤ n + 1 m siêu phẳng đó gọi là độc lập nếu tọa độ của chúng làm thành ma trận u୧୨ có hạng bằng m với i = 1,2,…,m và j = 1,2,…,n+1. d) Định lí Giao của m siêu phẳng độc lập (0 < m