Kinh Doanh - Tiếp Thị - Kinh tế - Quản lý - Quản trị kinh doanh 1 I. ĐẶT VẤN ĐỀ. Khi giải quyết những vấn đề kinh tế, người ta thường gặp các bài toán xác định trị số tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một chỉ tiêu nào đó trong những điều kiện nhất định (chẳng hạn năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí bé nhất ...). Trong toán học, đó chính là bài toán tìm cực tiểu hoặc cực đại của một hàm f(x ) (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong không gian. Bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, trong bài viết này tác giả chỉ giới thiệu về một số ứng dụng của cực trị không có điều kiện (cực trị tự do) của hàm một biến và hai biến số trong các bài toán kinh tế. II. NỘI DUNG 1. Cực trị của hàm một biến Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định trên a,b , và 0x a,b . Điểm0x được gọi là điểm cực đại của hàm số y f x nếu tồn tại khoảng mở I 0x I sao cho 0 0 0f x f x , x I \ x Điểm0x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y f x nếu tồn tại khoảng mở I 0x I sao cho 0 0 0f x f x , x I \ x Điểm0x được gọi là điểm cực trị nếu0x là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu Định lý Nếu điểm0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm0x là điểm cực tiểu của hàm số Nếu điểm0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm0x là điểm cực đại của hàm số Định lý Nếu điểm0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và 0f x 0 thì điểm0x là điểm cực tiểu của hàm số Nếu điểm0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và 0f x 0 thì điểm0x là điểm cực đại của hàm số 2. Cực trị địa phương của hàm hai biến 2.1. Cực trị địa phương của hàm hai biến Định nghĩa: Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền2 D R , M0(x0, y0) D. - Hàm f(x, y) đạt cực đại địa phương tại M0 nếu tồn tại tập 2 0S M(x,y) D d(M ,M) , 0 sao cho: f(x, y) f(x0, y0),(x, y) S D . - Hàm f(x, y) đạt cực tiểu địa phương tại M0 nếu tồn tại tập 0S M(x,y) D d(M ,M) , 0 sao cho: f(x0, y0) f(x, y),(x, y) S D . - Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương. Định lý (Điều kiện cần của cực trị địa phương) Nếu hàm số f(x, y) đạt cực trị tại M0 mà tại đó các đạo hàm riêng tồn tại thì'''' '''' x 0 0 y 0 0f (x , y ) 0;f (x , y ) 0. Những điểm M(x0, y0) thỏa mãn'''' '''' x 0 0 y 0 0f (x , y ) 0;f (x , y ) 0 được gọi là điểm dừng. Định lý (Điều kiện đủ của cực trị địa phương) Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0). Xét ma trận" " xx xy " " yx yy f f H f f gọi là ma trận Hesse. Đặt " 1 xxH f ;" " xx xy 2 " " yx yy f f H f f + Nếu H1(M0) > 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực tiểu. + Nếu H1(M0) < 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực đại. + Nếu H2(M0) < 0 thì điểm M0 là không phải là điểm cực trị. + Nếu H2(M0) = 0 thì ta chưa kết luận được gì về điểm M0. 2.2. Cực trị toàn cục của hàm hai biến Định nghĩa. Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền2 D R , M0(x0, y0) D. + Hàm f(x, y) đạt cực đại toàn cục tại M0 nếu f(x, y) f(x0, y0),(x, y) D . + Hàm f(x, y) đạt cực tiểu toàn cục tại M0 nếu f(x0, y0) f(x, y),(x, y) D . 3 Định lý. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0). + Nếu H1 > 0 và H2 > 0, (x, y) D thì điểm M0 là điểm cực tiểu toàn cục trên D. + Nếu H1 < 0 và H2 > 0, (x, y) D thì điểm M0 là điểm cực đại toàn cục trên D. Các kết quả trên đây tạo cơ sở toán học cho việc giải các bài toán tối ưu. Một trong những tiên đề của kinh tế học thị trường là : Các nhà sản xuất theo đuổi mục tiêu cực tiểu chi phí và tối đa hóa lợi nhuận. Dưới đây là một số ví dụ phân tích hành vi tối đa hóa lợi nhuận của các doanh nghiệp. 3. Ứng dụng trong kinh tế 3.1. Một số ứng dụng cực trị của hàm một biến 3.1.1. Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất Giả sử một doanh nghiệp độc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đó là DQ D P Hàm tổng chi phí C C Q Trong đó : +DQ : Lượng cầu về hàng hóa của doanh nghiệp + P : Giá bán của hàng hóa + C : Chi phí của doanh nghiệp + Q : Sản lượng sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Phương pháp giải Gọi Q là mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thìDQ Q Q D P P P Q Doanh thu của doanh nghiệp R P.Q P Q .Q Chi phí C C Q Lợi nhuận R C P Q .Q C Q Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại 4 Ví dụ : Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng vớiD 1 Q 656 P 2 Hàm chi phí 3 2 C Q Q 77Q 1000Q 100 Giải : Gọi Q là mức sản lượng cần tìm Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì 1 Q Q D 656 P 2 P 1312 2Q Doanh thu của doanh nghiệp 2 R P.Q 1312 2Q .Q 1312Q 2Q Chi phí3 2 C Q 77Q 1000Q 100 Lợi nhuận3 2 R C Q 75Q 312Q 100 Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại2 3Q 150Q 312 Q 2 0 Q 52 6Q 150 + Tại điểm nghi ngờ Q = 26.2 150 138 0 đạt cực tiểu tại Q = 2 (Đây không phải mức sản lượng cần tìm) + Tại điểm nghi ngờ Q = 526.52 150 0 đạt cực đại tại Q = 52 Vậy để có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng Q = 52 3.1.2. Bài toán xác định mức thuế để thu được tổng thuế tối đa Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiêp về loại hàng trên là DQ D P và hàm tổng chi phí C C Q Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất. 5 Phương pháp giải Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thìDQ Q Q D P P P Q Doanh thu của doanh nghiệp R P.Q P Q .Q Chi phí C C Q Tổng thuế doanh nghiệp phải nộpT t.Q Lợi nhuận R C P Q .Q C Q t.Q Trước hết tìm Q Q t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t.Q t đạt cực đại. Ví dụ : Cho D 2 Q 2000 P C Q Q 1000Q 50 Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất. Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợ nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thìDQ QQ 2000 P P 2000 Q Doanh thu của doanh nghiệp 2 R P.Q 2000 Q .Q 2000Q Q Chi phí2 C Q 1000Q 50 6 Tổng thuế doanh nghiệp phải nộpT t.Q Lợi nhuận 2 R C T 2Q 1000 t Q 50 Trước hết tìm Q Q t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại4Q 1000 t 1000 t 0 Q 4 Vì4 0 nên1000 t Q 4 là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Khi đó1000 t T t.Q t. 4 1 T 1000 2t 4 1000 T 0 t 500 2 1 T 0 2 Nên tổng thuế T sẽ đạt cực đại tại t = 500 Vậy t = 500 chính là mức thuế cần tìm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất Khi đó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng1000 500 Q 125 2 3.1.3. Bài toán xác định mức thuế hàng nhập khẩu Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là s D Q S P Q D P Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa kể thuế) cho một đơn vị hàng là0P . Hãy tính mức thuế nhập khẩu t định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để tổng thuế nhập khẩu thu được là lớn nhất. 7 Phương pháp giải Gọi t t 0 là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và Q là lượng hàng doanh nghiệp nhập khẩu Khi đó để tiêu thụ hết lượng hàng nhập khẩu thìD SQ Q Q (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội địa,D SQ Q ) Q D P S P (Sản lượng là hàm số theo biến P) Doanh thu R P.Q P D P S P (Doanh thu là hàm số theo biến P) Chi phí 0 0C P .Q P D P S P Tổng thuế nhập khẩu phải nộp T t.Q t D P S P Lợi nhuận 0R C T D P S P P P t Trước hết tìm P P t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t D P t S P t đạt cực đại. Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa làDQ 4200 P vàSQ 200 P Giá bán trên thị trường quốc tế và chi phí nhập khẩu của một đơn vị hàng là0P 1600 Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để thu được nhiều thuế nhập khẩu nhất Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và Q là lượng hàng cần phải nhập khẩu Để tiêu thu hết hàng nhập khẩu thì D SQ Q Q 4200 P 200 P 4400 2P Doanh thu R P.Q P 4400 2P Chi phí 0C P .Q 1600 4400 2P 8 Tổng thuế nhập khẩu phải nộpT t T t.Q t 4400 2P Lợi nhuận R C T 4400 2P P 1600 t 2 P 1600 t 4400 2P 7600 2t 4P 0 7600 2t 4P 0 t P 1900 2 4 0 nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá t P 1900 2 Khi đó tổng thuế t T t.Q t 4400 2P t 4400 2 1900 t 600 t 2 T 600 2t T 0 t 300 T 2 nên hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 300 Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó là 300 P 1900 2050 2 3.1.4. Bài toán xác định mức thuế xuất khẩu Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là S D Q S P Q D P Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế trừ chi phí xuất khẩu (chưa kể thuế) cho một đơn vị hàng là P0 Hãy tính mức thuế xuất khẩu t định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để tổng thuế xuất khẩu thu được là lớn nhất Phương pháp giải Gọi t (t > 0) là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu Và Q là lượng hàng doanh nghiệp xuất khẩu 9 Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là S DQ Q Q Q S P D P Doanh thu 0 0R P .Q P S P D P Chi phí C P.Q P. S P D P Tổng thuế nhập khẩu phải nộp T t.Q t S P D P Lợi nhuận 0R C T S P D P P P t Trước hết tìm P P t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t S P t D P t đạt cực đại. Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa làD SQ 4200 P, Q 200 P Giá bán trên thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một đơn vị hàng) là0P 3200 Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để thu được nhiều thuế xuất khẩu nhất. Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu Và Q là lượng hàng xuất khẩu P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng đó để xuất khẩu Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là S DQ Q Q 200 P 4200 P 2P 4400 Doanh thu 0 0R P .Q P 2P 4400 3200 2P 4400 Chi phí C P.Q P 2P 4400 10 Tổng thuế nhập khẩu phải nộp T t.Q t 2P 4400 Lợi nhuận R C T 2P 4400 3200 P t 2 3200 P t 2P 4400 10800 2t 4P 0 10800 2t 4P 0 t P 2700 2 4 0 nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá t P 2700 2 Khi đó tổng thuế t T t.Q t 2P 4400 t 2 2700 4400 t 1000 t 2 T 1000 2t T 0 t 500 T 2 hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 500 Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó sẽ là 500 2700 2450 2 3.1.5. Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi phí lưu kho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt...
Trang 11
I ĐẶT VẤN ĐỀ Khi giải quyết những vấn đề kinh tế, người ta thường gặp các
bài toán xác định trị số tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một chỉ tiêu nào đó trong những điều kiện nhất định (chẳng hạn năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí bé nhất ) Trong toán học, đó chính là bài toán tìm cực tiểu hoặc cực đại của một hàm f(x) (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong không gian Bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, trong bài viết này tác giả chỉ giới thiệu về một số ứng dụng của cực trị không có điều kiện (cực trị tự do) của hàm một biến và hai biến số trong các bài toán kinh tế
II NỘI DUNG
1 Cực trị của hàm một biến
Định nghĩa
Cho hàm số y f x xác định trên a,b , và x0 a,b Điểm x0 được gọi
là điểm cực đại của hàm số y f x nếu tồn tại khoảng mở I x0Isao cho
f x f x , x I \ x
Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y f x nếu tồn tại khoảng
mở I x0Isao cho f x f x , x0 0 I \ x 0
Điểm x0 được gọi là điểm cực trị nếu x0 là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu
Định lý
Nếu điểm x0 là điểm thỏa mãn f x 0 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số
Nếu điểm x0 là điểm thỏa mãn f x 0 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang
âm thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số
Định lý
Nếu điểm x0 là điểm thỏa mãn f x 0 0 và f x 0 0 thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số
Nếu điểm x0 là điểm thỏa mãn f x 0 0 và f x0 0 thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số
2 Cực trị địa phương của hàm hai biến
2.1 Cực trị địa phương của hàm hai biến
Định nghĩa: Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền D R 2, M0(x0, y0) D
- Hàm f(x, y) đạt cực đại địa phương tại M0 nếu tồn tại tập
Trang 22
S M(x, y) D d(M ,M) , 0 sao cho:
f(x, y) f(x0, y0), (x, y) S D
- Hàm f(x, y) đạt cực tiểu địa phương tại M0 nếu tồn tại tập
S M(x, y) D d(M ,M) , 0 sao cho:
f(x0, y0) f(x, y), (x, y) S D
- Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương
Định lý (Điều kiện cần của cực trị địa phương)
Nếu hàm số f(x, y) đạt cực trị tại M0 mà tại đó các đạo hàm riêng tồn tại thì
x 0 0 y 0 0
f (x , y )0;f (x , y )0
Những điểm M(x0, y0) thỏa mãn ' '
x 0 0 y 0 0
f (x , y )0;f (x , y )0được gọi là điểm dừng
Định lý (Điều kiện đủ của cực trị địa phương)
Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0)
Xét ma trận
" "
xx xy
" "
yx yy
H
gọi là ma trận Hesse
Đặt "
1 xx
H f ;
" "
xx xy
2 " "
yx yy
H
+ Nếu H1(M0) > 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực tiểu
+ Nếu H1(M0) < 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực đại
+ Nếu H2(M0) < 0 thì điểm M0 là không phải là điểm cực trị
+ Nếu H2(M0) = 0 thì ta chưa kết luận được gì về điểm M0
2.2 Cực trị toàn cục của hàm hai biến
Định nghĩa Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền 2
DR , M0(x0, y0) D
+ Hàm f(x, y) đạt cực đại toàn cục tại M0 nếu f(x, y) f(x0, y0), (x, y) D
+ Hàm f(x, y) đạt cực tiểu toàn cục tại M0 nếu f(x0, y0) f(x, y), (x, y) D
Trang 33
Định lý Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong lân cận
của điểm dừng M0(x0, y0)
+ Nếu H1 > 0 và H2 > 0, (x, y) D thì điểm M0 là điểm cực tiểu toàn cục trên D + Nếu H1 < 0 và H2 > 0, (x, y) D thì điểm M0 là điểm cực đại toàn cục trên D
Các kết quả trên đây tạo cơ sở toán học cho việc giải các bài toán tối ưu Một trong những tiên đề của kinh tế học thị trường là : Các nhà sản xuất theo đuổi mục tiêu cực tiểu chi phí và tối đa hóa lợi nhuận Dưới đây là một số ví dụ phân tích hành vi tối đa hóa lợi nhuận của các doanh nghiệp
3 Ứng dụng trong kinh tế
3.1 Một số ứng dụng cực trị của hàm một biến
3.1.1 Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất
Giả sử một doanh nghiệp độc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh
nghiệp đối với mặt hàng đó là QD D P
Hàm tổng chi phí C C Q
Trong đó :
+ QD : Lượng cầu về hàng hóa của doanh nghiệp
+ P : Giá bán của hàng hóa
+ C : Chi phí của doanh nghiệp
+ Q : Sản lượng sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại
Phương pháp giải
Gọi Q là mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại
Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
D
Q Q
Doanh thu của doanh nghiệp
RP.Q P Q Q Chi phí
C C Q Lợi nhuận
R C P Q Q C Q
Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại
Trang 44
Ví dụ : Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với QD 656 1P
2
Hàm chi phí 3 2
C Q Q 77Q 1000Q 100
Giải : Gọi Q là mức sản lượng cần tìm
Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
2
P 1312 2Q
Doanh thu của doanh nghiệp
RP.Q 1312 2Q Q 1312Q 2Q Chi phí
C Q 77Q 1000Q 100 Lợi nhuận
Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại
2 3Q 150Q 312
0
Q 52 6Q 150
+ Tại điểm nghi ngờ Q = 2
6.2 150 138 0
đạt cực tiểu tại Q = 2 (Đây không phải mức sản lượng cần tìm)
+ Tại điểm nghi ngờ Q = 52
6.52 150 0
đạt cực đại tại Q = 52
Vậy để có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng
Q = 52
3.1.2 Bài toán xác định mức thuế để thu được tổng thuế tối đa
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiêp về loại hàng trên là QD D P và hàm tổng chi phí C C Q
Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất
Trang 55
Phương pháp giải
Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại
Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
D
Q Q
Doanh thu của doanh nghiệp
RP.Q P Q Q Chi phí
C C Q Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp
Tt.Q Lợi nhuận
Trước hết tìm Q Q t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại
Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế Tt.Q t đạt cực đại
Ví dụ : Cho
D 2
Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất
Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng
doanh nghiệp sản xuất để lợ nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại
Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì Q Q D
Q 2000 P
P 2000 Q
Doanh thu của doanh nghiệp
RP.Q 2000 Q Q 2000Q Q Chi phí
2
C Q 1000Q 50
Trang 66
Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp
Tt.Q Lợi nhuận
2
Trước hết tìm Q Q t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại
4Q 1000 t
1000 t
4
Vì nên 4 0 Q 1000 t
4
là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại
Khi đó
1000 t
T t.Q t
4
1
4
1000
2
1
2
Nên tổng thuế T sẽ đạt cực đại tại t = 500
Vậy t = 500 chính là mức thuế cần tìm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất
Khi đó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng Q 1000 500 125
2
3.1.3 Bài toán xác định mức thuế hàng nhập khẩu
Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là
s D
Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa kể thuế) cho một đơn vị hàng là P0 Hãy tính mức thuế nhập khẩu t định trên một đơn
vị hàng nhập khẩu để tổng thuế nhập khẩu thu được là lớn nhất
Trang 77
Phương pháp giải
Gọi t t0 là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và Q là lượng hàng doanh nghiệp nhập khẩu
Khi đó để tiêu thụ hết lượng hàng nhập khẩu thì
D S
QQ Q (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội địa, QDQS)
(Sản lượng là hàm số theo biến P)
Doanh thu
RP.Q P D P S P (Doanh thu là hàm số theo biến P)
Chi phí
C P Q P D P S P Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
Tt.Q t D P S P Lợi nhuận
Trước hết tìm PP t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại
Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế Tt D P t S P t đạt cực đại
Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm
cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa là QD4200 P và S
Q 200 P
Giá bán trên thị trường quốc tế và chi phí nhập khẩu của một đơn vị hàng là 0
P 1600
Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để thu được nhiều thuế nhập khẩu nhất
Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và Q là lượng hàng
cần phải nhập khẩu
Để tiêu thu hết hàng nhập khẩu thì
D S
Q Q Q 4200 P 200 P 4400 2P Doanh thu
RP.Q P 4400 2P Chi phí
0
C P Q 1600 4400 2P
Trang 88
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
Tt Tt.Qt 4400 2P
Lợi nhuận
2 P 1600 t 4400 2P 7600 2t 4P
0 7600 2t 4P 0
t
P 1900
2
4 0
nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá P 1900 t
2
Khi đó tổng thuế
T t.Q t 4400 2P t 4400 2 1900 t 600 t
2
T 600 2t
T nên hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 300 2
Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó là P 1900 300 2050
2
3.1.4 Bài toán xác định mức thuế xuất khẩu
Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là
S D
Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế trừ chi phí xuất khẩu (chưa kể thuế) cho một đơn vị hàng là P0
Hãy tính mức thuế xuất khẩu t định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để tổng thuế xuất khẩu thu được là lớn nhất
Phương pháp giải
Gọi t (t > 0) là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu
Và Q là lượng hàng doanh nghiệp xuất khẩu
Trang 99
Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là
S D
Doanh thu
RP Q P S P D P Chi phí
C P.Q P S P D P Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
Tt.Q t S P D P Lợi nhuận
Trước hết tìm PP t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại
Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế Tt S P t D P t đạt cực đại
Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm
cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa là
Q 4200 P, Q 200 P
Giá bán trên thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một đơn vị hàng) là P03200
Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để thu được nhiều thuế xuất khẩu nhất
Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu
Và Q là lượng hàng xuất khẩu
P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng đó để xuất khẩu
Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là
S D
Q Q Q 200 P 4200 P 2P 4400 Doanh thu
RP Q P 2P 4400 3200 2P 4400 Chi phí
C P.Q P 2P 4400
Trang 1010
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
Tt.Qt 2P 4400 Lợi nhuận
2 3200 P t 2P 4400 10800 2t 4P
0 10800 2t 4P 0
t
P 2700
2
4 0
nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá P 2700 t
2
Khi đó tổng thuế
T t.Q t 2P 4400 t 2 2700 4400 t 1000 t
2
T 1000 2t
T hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 500 2
Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó sẽ là 2700 500 2450
2
3.1.5 Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu
Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi phí lưu kho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng (kích thước của mỗi
lô hàng) Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số Khi đó tổng chi phí trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C Q bao gồm hai loại chi phí: Chi phí lưu kho và chi phí các chuyến hàng
Chi phí lưu kho: Q.h
2 Chi phí cho các chuyến hàng: n.P
Q
Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm Chi phí gửi trong kho là
10$ một cái trong một năm Để đặt hàng, chi phí cố định là 20$, cộng them 9$ mỗi cái Cửa hàng nên đặt bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất
Trang 1111
Giải: Ta có n2500, h 10
Gọi Q là số ti vi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần Khi đó Q1;2500
Khi đó số lượng tivi gửi trong kho trung bình mỗi năm là Q
2 Do đó chi phí lưu kho mỗi năm là 10.Q 5Q
2
Số lần đặt hàng mỗi năm là 2500
Q
Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm là 2500 50000
Vậy chi phí của cửa hàng là 50000
Q
Ta có 500002
Q
2
Q 10000
100 Q
100
Vì Q1;2500 nên Q = 100
1000003
Q
với Q > 0 nên
Q 1;2500min C Q C 100 23500
Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm là 2500 25
100 Vậy để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì mỗi năm cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi
Kết luận: Như vậy, nhiều bài toán kinh tế được đưa về tìm cực trị của hàm một biến y f x Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q Q P , hàm doanh thu
RP.Q, hàm chi phí C C Q , hàm lợi nhuận Trong kinh tế ta R C thường gặp các bài toán sau:
- Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa
- Tìm P hoặc Q để doanh thu đạt tối đa
- Tìm Q để chi phí đạt tối thiểu
Trang 1212
3.2 Một số ứng dụng cực trị hàm nhiều biến
3.2.1 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (nhà sản xuất phải bán hết hàng với giá do thị trường quyết định)
Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với các mức giá P ,P ,1 2 ,Pn
Hàm chi phí C C Q ,Q , 1 2 ,Qnvới Q i 1,ni là mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất
Tìm các mức sản lượng Q ,Q ,1 2 ,Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại
Phương pháp giải
Gọi Q ,Q ,1 2 ,Qn là các mức sản lượng cần tìm
Doanh thu
n
1 1 2 2 n n i i
i 1
Chi phí
C C Q ,Q , ,Q Lợi nhuận
n
i 1
Bài toán trở thành tìm Q ,Q ,1 2 ,Qn để hàm đạt cực đại
Ví dụ: Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm Gọi Qi là số lượng sản phẩm của mặt hàng thứ i (i 1, 2 ); Pi là đơn giá của mặt hàng thứ i (i 1, 2 )
Hàm lợi nhuận của công ty là:
1 1 2 2
Biết P1 = 400; P2 = 600 và hàm tổng chi phí là:
CQ 2Q 2Q 4Q 300
Yêu cầu: Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị max?
Giải: Ta có hàm lợi nhuận
398Q 596Q Q 2Q 300
Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (Q1, Q2) là:
Trang 1313
1 2
'
'
2
4Q 596 0
Ta có ma trận Hesse:
1 1 1 2
2 1 2 2
'' ''
Q Q Q Q '' ''
Q Q Q Q
H
Vì H1 2 0;H2 8 0, Q ,Q1 2 do đó hàm đạt cực đại toàn cục tại (Q1, Q2) = (199, 298)
3.2.2 Bài toán sử dụng tối ưu các yếu tố đầu vào
Xét trường hợp một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất một loại sản phẩm Mục tiêu của doanh nghiệp là thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụng hợp lý các yếu tố đầu vào là lao động và tư bản (với giả thiết các yếu tố khác giữ nguyên) Mọi doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy phải chấp nhận giá cả thị trường, kể cả giá đầu vào và giá đầu ra Giả sử hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm là:
R C PQ wL rK
trong đó: là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền lương của một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán
Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng:
1 1
3 3
QL K , w = 1, r = 0,02, P = 3
Khi đó, ta có:
1 1
3 3
PQ wL rK 3L K L 0,02K
Yêu cầu: Tìm L, K sao cho đạt giá trị lớn nhất
Giải: Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (L, K) là:
' 2/3 1/3 L
' 1/3 2/3 K
L K 0,02 0
2
L K 1
LK (0,02)
2
K L
L (0,02) K (0,02) L
K 2500
L 50 (do L 0)