Kinh Doanh - Tiếp Thị - Kinh tế - Quản lý - Quản trị kinh doanh 1 I. ĐẶT VẤN ĐỀ. Khi giải quyết những vấn đề kinh tế, người ta thường gặp các bài toán xác định trị số tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một chỉ tiêu nào đó trong những điều kiện nhất định (chẳng hạn năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí bé nhất ...). Trong toán học, đó chính là bài toán tìm cực tiểu hoặc cực đại của một hàm f(x ) (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong không gian. Bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, trong bài viết này tác giả chỉ giới thiệu về một số ứng dụng của cực trị không có điều kiện (cực trị tự do) của hàm một biến và hai biến số trong các bài toán kinh tế. II. NỘI DUNG 1. Cực trị của hàm một biến Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định trên a,b , và 0x a,b . Điểm0x được gọi là điểm cực đại của hàm số y f x nếu tồn tại khoảng mở I 0x I sao cho 0 0 0f x f x , x I \ x Điểm0x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y f x nếu tồn tại khoảng mở I 0x I sao cho 0 0 0f x f x , x I \ x Điểm0x được gọi là điểm cực trị nếu0x là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu Định lý Nếu điểm0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm0x là điểm cực tiểu của hàm số Nếu điểm0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm0x là điểm cực đại của hàm số Định lý Nếu điểm0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và 0f x 0 thì điểm0x là điểm cực tiểu của hàm số Nếu điểm0x là điểm thỏa mãn 0f x 0 và 0f x 0 thì điểm0x là điểm cực đại của hàm số 2. Cực trị địa phương của hàm hai biến 2.1. Cực trị địa phương của hàm hai biến Định nghĩa: Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền2 D R , M0(x0, y0) D. - Hàm f(x, y) đạt cực đại địa phương tại M0 nếu tồn tại tập 2 0S M(x,y) D d(M ,M) , 0 sao cho: f(x, y) f(x0, y0),(x, y) S D . - Hàm f(x, y) đạt cực tiểu địa phương tại M0 nếu tồn tại tập 0S M(x,y) D d(M ,M) , 0 sao cho: f(x0, y0) f(x, y),(x, y) S D . - Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương. Định lý (Điều kiện cần của cực trị địa phương) Nếu hàm số f(x, y) đạt cực trị tại M0 mà tại đó các đạo hàm riêng tồn tại thì'''' '''' x 0 0 y 0 0f (x , y ) 0;f (x , y ) 0. Những điểm M(x0, y0) thỏa mãn'''' '''' x 0 0 y 0 0f (x , y ) 0;f (x , y ) 0 được gọi là điểm dừng. Định lý (Điều kiện đủ của cực trị địa phương) Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0). Xét ma trận" " xx xy " " yx yy f f H f f gọi là ma trận Hesse. Đặt " 1 xxH f ;" " xx xy 2 " " yx yy f f H f f + Nếu H1(M0) > 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực tiểu. + Nếu H1(M0) < 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực đại. + Nếu H2(M0) < 0 thì điểm M0 là không phải là điểm cực trị. + Nếu H2(M0) = 0 thì ta chưa kết luận được gì về điểm M0. 2.2. Cực trị toàn cục của hàm hai biến Định nghĩa. Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền2 D R , M0(x0, y0) D. + Hàm f(x, y) đạt cực đại toàn cục tại M0 nếu f(x, y) f(x0, y0),(x, y) D . + Hàm f(x, y) đạt cực tiểu toàn cục tại M0 nếu f(x0, y0) f(x, y),(x, y) D . 3 Định lý. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0). + Nếu H1 > 0 và H2 > 0, (x, y) D thì điểm M0 là điểm cực tiểu toàn cục trên D. + Nếu H1 < 0 và H2 > 0, (x, y) D thì điểm M0 là điểm cực đại toàn cục trên D. Các kết quả trên đây tạo cơ sở toán học cho việc giải các bài toán tối ưu. Một trong những tiên đề của kinh tế học thị trường là : Các nhà sản xuất theo đuổi mục tiêu cực tiểu chi phí và tối đa hóa lợi nhuận. Dưới đây là một số ví dụ phân tích hành vi tối đa hóa lợi nhuận của các doanh nghiệp. 3. Ứng dụng trong kinh tế 3.1. Một số ứng dụng cực trị của hàm một biến 3.1.1. Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất Giả sử một doanh nghiệp độc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đó là DQ D P Hàm tổng chi phí C C Q Trong đó : +DQ : Lượng cầu về hàng hóa của doanh nghiệp + P : Giá bán của hàng hóa + C : Chi phí của doanh nghiệp + Q : Sản lượng sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Phương pháp giải Gọi Q là mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thìDQ Q Q D P P P Q Doanh thu của doanh nghiệp R P.Q P Q .Q Chi phí C C Q Lợi nhuận R C P Q .Q C Q Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại 4 Ví dụ : Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng vớiD 1 Q 656 P 2 Hàm chi phí 3 2 C Q Q 77Q 1000Q 100 Giải : Gọi Q là mức sản lượng cần tìm Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì 1 Q Q D 656 P 2 P 1312 2Q Doanh thu của doanh nghiệp 2 R P.Q 1312 2Q .Q 1312Q 2Q Chi phí3 2 C Q 77Q 1000Q 100 Lợi nhuận3 2 R C Q 75Q 312Q 100 Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại2 3Q 150Q 312 Q 2 0 Q 52 6Q 150 + Tại điểm nghi ngờ Q = 26.2 150 138 0 đạt cực tiểu tại Q = 2 (Đây không phải mức sản lượng cần tìm) + Tại điểm nghi ngờ Q = 526.52 150 0 đạt cực đại tại Q = 52 Vậy để có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng Q = 52 3.1.2. Bài toán xác định mức thuế để thu được tổng thuế tối đa Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiêp về loại hàng trên là DQ D P và hàm tổng chi phí C C Q Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất. 5 Phương pháp giải Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thìDQ Q Q D P P P Q Doanh thu của doanh nghiệp R P.Q P Q .Q Chi phí C C Q Tổng thuế doanh nghiệp phải nộpT t.Q Lợi nhuận R C P Q .Q C Q t.Q Trước hết tìm Q Q t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t.Q t đạt cực đại. Ví dụ : Cho D 2 Q 2000 P C Q Q 1000Q 50 Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất. Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợ nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thìDQ QQ 2000 P P 2000 Q Doanh thu của doanh nghiệp 2 R P.Q 2000 Q .Q 2000Q Q Chi phí2 C Q 1000Q 50 6 Tổng thuế doanh nghiệp phải nộpT t.Q Lợi nhuận 2 R C T 2Q 1000 t Q 50 Trước hết tìm Q Q t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại4Q 1000 t 1000 t 0 Q 4 Vì4 0 nên1000 t Q 4 là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Khi đó1000 t T t.Q t. 4 1 T 1000 2t 4 1000 T 0 t 500 2 1 T 0 2 Nên tổng thuế T sẽ đạt cực đại tại t = 500 Vậy t = 500 chính là mức thuế cần tìm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất Khi đó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng1000 500 Q 125 2 3.1.3. Bài toán xác định mức thuế hàng nhập khẩu Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là s D Q S P Q D P Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa kể thuế) cho một đơn vị hàng là0P . Hãy tính mức thuế nhập khẩu t định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để tổng thuế nhập khẩu thu được là lớn nhất. 7 Phương pháp giải Gọi t t 0 là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và Q là lượng hàng doanh nghiệp nhập khẩu Khi đó để tiêu thụ hết lượng hàng nhập khẩu thìD SQ Q Q (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội địa,D SQ Q ) Q D P S P (Sản lượng là hàm số theo biến P) Doanh thu R P.Q P D P S P (Doanh thu là hàm số theo biến P) Chi phí 0 0C P .Q P D P S P Tổng thuế nhập khẩu phải nộp T t.Q t D P S P Lợi nhuận 0R C T D P S P P P t Trước hết tìm P P t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t D P t S P t đạt cực đại. Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa làDQ 4200 P vàSQ 200 P Giá bán trên thị trường quốc tế và chi phí nhập khẩu của một đơn vị hàng là0P 1600 Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để thu được nhiều thuế nhập khẩu nhất Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và Q là lượng hàng cần phải nhập khẩu Để tiêu thu hết hàng nhập khẩu thì D SQ Q Q 4200 P 200 P 4400 2P Doanh thu R P.Q P 4400 2P Chi phí 0C P .Q 1600 4400 2P 8 Tổng thuế nhập khẩu phải nộpT t T t.Q t 4400 2P Lợi nhuận R C T 4400 2P P 1600 t 2 P 1600 t 4400 2P 7600 2t 4P 0 7600 2t 4P 0 t P 1900 2 4 0 nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá t P 1900 2 Khi đó tổng thuế t T t.Q t 4400 2P t 4400 2 1900 t 600 t 2 T 600 2t T 0 t 300 T 2 nên hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 300 Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó là 300 P 1900 2050 2 3.1.4. Bài toán xác định mức thuế xuất khẩu Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là S D Q S P Q D P Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế trừ chi phí xuất khẩu (chưa kể thuế) cho một đơn vị hàng là P0 Hãy tính mức thuế xuất khẩu t định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để tổng thuế xuất khẩu thu được là lớn nhất Phương pháp giải Gọi t (t > 0) là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu Và Q là lượng hàng doanh nghiệp xuất khẩu 9 Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là S DQ Q Q Q S P D P Doanh thu 0 0R P .Q P S P D P Chi phí C P.Q P. S P D P Tổng thuế nhập khẩu phải nộp T t.Q t S P D P Lợi nhuận 0R C T S P D P P P t Trước hết tìm P P t để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t S P t D P t đạt cực đại. Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa làD SQ 4200 P, Q 200 P Giá bán trên thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một đơn vị hàng) là0P 3200 Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để thu được nhiều thuế xuất khẩu nhất. Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu Và Q là lượng hàng xuất khẩu P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng đó để xuất khẩu Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là S DQ Q Q 200 P 4200 P 2P 4400 Doanh thu 0 0R P .Q P 2P 4400 3200 2P 4400 Chi phí C P.Q P 2P 4400 10 Tổng thuế nhập khẩu phải nộp T t.Q t 2P 4400 Lợi nhuận R C T 2P 4400 3200 P t 2 3200 P t 2P 4400 10800 2t 4P 0 10800 2t 4P 0 t P 2700 2 4 0 nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá t P 2700 2 Khi đó tổng thuế t T t.Q t 2P 4400 t 2 2700 4400 t 1000 t 2 T 1000 2t T 0 t 500 T 2 hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 500 Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó sẽ là 500 2700 2450 2 3.1.5. Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi phí lưu kho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt...
I ĐẶT VẤN ĐỀ Khi giải quyết những vấn đề kinh tế, người ta thường gặp các bài toán xác định trị số tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một chỉ tiêu nào đó trong những điều kiện nhất định (chẳng hạn năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí bé nhất ) Trong toán học, đó chính là bài toán tìm cực tiểu hoặc cực đại của một hàm f(x) (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong không gian Bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, trong bài viết này tác giả chỉ giới thiệu về một số ứng dụng của cực trị không có điều kiện (cực trị tự do) của hàm một biến và hai biến số trong các bài toán kinh tế II NỘI DUNG 1 Cực trị của hàm một biến Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định trên a,b , và x0 a,b Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y f x nếu tồn tại khoảng mở I x0 I sao cho f x f x0 , x0 I \ x0 Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y f x nếu tồn tại khoảng mở I x0 I sao cho f x f x0 , x0 I \ x0 Điểm x0 được gọi là điểm cực trị nếu x0 là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu Định lý Nếu điểm x0 là điểm thỏa mãn f x0 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số Nếu điểm x0 là điểm thỏa mãn f x0 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số Định lý Nếu điểm x0 là điểm thỏa mãn f x0 0 và f x0 0 thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số Nếu điểm x0 là điểm thỏa mãn f x0 0 và f x0 0 thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số 2 Cực trị địa phương của hàm hai biến 2.1 Cực trị địa phương của hàm hai biến Định nghĩa: Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền D R2 , M0(x0, y0) D - Hàm f(x, y) đạt cực đại địa phương tại M0 nếu tồn tại tập 1 S M(x, y)D d(M0,M) , 0 sao cho: f(x, y) f(x0, y0), (x, y)S D - Hàm f(x, y) đạt cực tiểu địa phương tại M0 nếu tồn tại tập S M(x, y)D d(M0,M) , 0 sao cho: f(x0, y0) f(x, y), (x, y)S D - Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương Định lý (Điều kiện cần của cực trị địa phương) Nếu hàm số f(x, y) đạt cực trị tại M0 mà tại đó các đạo hàm riêng tồn tại thì f ' (x 0 , y0 ) 0; f ' (x 0 , y0 ) 0 x y Những điểm M(x0, y0) thỏa mãn fx' (x0, y0) 0;fy' (x0, y0) 0 được gọi là điểm dừng Định lý (Điều kiện đủ của cực trị địa phương) Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0) fxx" fxy" Xét ma trận H " " gọi là ma trận Hesse f fyx yy " fxx" fxy" Đặt H1 fxx ; H2 " " fyx fyy + Nếu H1(M0) > 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực tiểu + Nếu H1(M0) < 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực đại + Nếu H2(M0) < 0 thì điểm M0 là không phải là điểm cực trị + Nếu H2(M0) = 0 thì ta chưa kết luận được gì về điểm M0 2.2 Cực trị toàn cục của hàm hai biến Định nghĩa Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền D R2 , M0(x0, y0) D + Hàm f(x, y) đạt cực đại toàn cục tại M0 nếu f(x, y) f(x0, y0), (x, y)D + Hàm f(x, y) đạt cực tiểu toàn cục tại M0 nếu f(x0, y0) f(x, y), (x, y)D 2 Định lý Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0) + Nếu H1 > 0 và H2 > 0, (x, y) D thì điểm M0 là điểm cực tiểu toàn cục trên D + Nếu H1 < 0 và H2 > 0, (x, y) D thì điểm M0 là điểm cực đại toàn cục trên D Các kết quả trên đây tạo cơ sở toán học cho việc giải các bài toán tối ưu Một trong những tiên đề của kinh tế học thị trường là : Các nhà sản xuất theo đuổi mục tiêu cực tiểu chi phí và tối đa hóa lợi nhuận Dưới đây là một số ví dụ phân tích hành vi tối đa hóa lợi nhuận của các doanh nghiệp 3 Ứng dụng trong kinh tế 3.1 Một số ứng dụng cực trị của hàm một biến 3.1.1 Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất Giả sử một doanh nghiệp độc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đó là QD DP Hàm tổng chi phí C CQ Trong đó : + QD : Lượng cầu về hàng hóa của doanh nghiệp + P : + C : Giá bán của hàng hóa Chi phí của doanh nghiệp + Q : Sản lượng sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Phương pháp giải Gọi Q là mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì Q QD Q DP P PQ Doanh thu của doanh nghiệp R P.Q PQ.Q Chi phí C CQ Lợi nhuận R C PQ.Q CQ Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại 3 Ví dụ : Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với QD 656 1 P 2 Hàm chi phí CQ Q3 77Q2 1000Q 100 Giải : Gọi Q là mức sản lượng cần tìm Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì Q QD 656 1 P 2 P 1312 2Q Doanh thu của doanh nghiệp R P.Q 1312 2Q.Q 1312Q 2Q2 Chi phí C Q3 77Q2 1000Q 100 Lợi nhuận R C Q3 75Q2 312Q 100 Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại 3Q2 150Q 312 0 Q 2 Q 52 6Q 150 + Tại điểm nghi ngờ Q = 2 6.2 150 138 0 đạt cực tiểu tại Q = 2 (Đây không phải mức sản lượng cần tìm) + Tại điểm nghi ngờ Q = 52 6.52 150 0 đạt cực đại tại Q = 52 Vậy để có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng Q = 52 3.1.2 Bài toán xác định mức thuế để thu được tổng thuế tối đa Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiêp về loại hàng trên là QD DP và hàm tổng chi phí C CQ Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất 4 Phương pháp giải Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì Q QD Q DP P PQ Doanh thu của doanh nghiệp R P.Q PQ.Q Chi phí C CQ Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp T t.Q Lợi nhuận R C PQ.Q CQ t.Q Trước hết tìm Q Qt để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t.Qt đạt cực đại Ví dụ : Cho QD 2000 P CQ Q2 1000Q 50 Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợ nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì Q QD Q 2000 P P 2000 Q Doanh thu của doanh nghiệp R P.Q 2000 Q.Q 2000Q Q2 Chi phí C Q2 1000Q 50 5 Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp T t.Q Lợi nhuận R C T 2Q2 1000 tQ 50 Trước hết tìm Q Qt để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại 4Q 1000 t 0 Q 1000 t 4 Vì 4 0 nên Q 1000 t là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản 4 xuất để lợi nhuận cực đại Khi đó T t.Q t.1000 t 4 T 1 1000 2t 4 T 0 t 1000 500 2 T 1 0 2 Nên tổng thuế T sẽ đạt cực đại tại t = 500 Vậy t = 500 chính là mức thuế cần tìm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất Khi đó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng Q 1000 500 125 2 3.1.3 Bài toán xác định mức thuế hàng nhập khẩu Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là Qs SP QD DP Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa kể thuế) cho một đơn vị hàng là P0 Hãy tính mức thuế nhập khẩu t định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để tổng thuế nhập khẩu thu được là lớn nhất 6 Phương pháp giải Gọi t t 0 là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và Q là lượng hàng doanh nghiệp nhập khẩu Khi đó để tiêu thụ hết lượng hàng nhập khẩu thì Q QD QS (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội địa, QD QS ) Q DP SP (Sản lượng là hàm số theo biến P) Doanh thu R P.Q PDP SP (Doanh thu là hàm số theo biến P) Chi phí C P0.Q P0 DP SP Tổng thuế nhập khẩu phải nộp T t.Q t DP SP Lợi nhuận R C T DP SPP P0 t Trước hết tìm P Pt để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t DPt SPt đạt cực đại Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa là QD 4200 P và QS 200 P Giá bán trên thị trường quốc tế và chi phí nhập khẩu của một đơn vị hàng là P0 1600 Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để thu được nhiều thuế nhập khẩu nhất Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và Q là lượng hàng cần phải nhập khẩu Để tiêu thu hết hàng nhập khẩu thì Q QD QS 4200 P 200 P 4400 2P Doanh thu R P.Q P4400 2P Chi phí C P0.Q 16004400 2P 7 Tổng thuế nhập khẩu phải nộp T t T t.Q t4400 2P Lợi nhuận R C T 4400 2PP 1600 t 2P 1600 t 4400 2P 7600 2t 4P 0 7600 2t 4P 0 P 1900 t 2 4 0 nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá P 1900 t 2 Khi đó tổng thuế t T t.Q t 4400 2P t 4400 21900 t 600 t 2 T 600 2t T 0 t 300 T 2 nên hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 300 Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó là P 1900 300 2050 2 3.1.4 Bài toán xác định mức thuế xuất khẩu Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là QS SP QD DP Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế trừ chi phí xuất khẩu (chưa kể thuế) cho một đơn vị hàng là P0 Hãy tính mức thuế xuất khẩu t định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để tổng thuế xuất khẩu thu được là lớn nhất Phương pháp giải Gọi t (t > 0) là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu Và Q là lượng hàng doanh nghiệp xuất khẩu 8 Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là Q QS QD Q SP DP Doanh thu R P0.Q P0 SP DP Chi phí C P.Q P.SP DP Tổng thuế nhập khẩu phải nộp T t.Q t SP DP Lợi nhuận R C T SP DPP0 P t Trước hết tìm P Pt để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế T t SPt DPt đạt cực đại Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa là QD 4200 P, QS 200 P Giá bán trên thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một đơn vị hàng) là P0 3200 Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để thu được nhiều thuế xuất khẩu nhất Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu Và Q là lượng hàng xuất khẩu P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng đó để xuất khẩu Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là Q QS QD 200 P 4200 P 2P 4400 Doanh thu R P0.Q P0 2P 4400 32002P 4400 Chi phí C P.Q P2P 4400 9 Tổng thuế nhập khẩu phải nộp T t.Q t2P 4400 Lợi nhuận R C T 2P 44003200 P t 23200 P t 2P 4400 10800 2t 4P 0 10800 2t 4P 0 P 2700 t 2 4 0 nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá P 2700 t 2 Khi đó tổng thuế t T t.Q t 2P 4400 t 2 2700 4400 t1000 t 2 T 1000 2t T 0 t 500 T 2 hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 500 Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó sẽ là 2700 500 2450 2 3.1.5 Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi phí lưu kho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng (kích thước của mỗi lô hàng) Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số Khi đó tổng chi phí trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số CQ bao gồm hai loại chi phí: Chi phí lưu kho và chi phí các chuyến hàng Chi phí lưu kho: Q h 2 Chi phí cho các chuyến hàng: n P Q Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái trong một năm Để đặt hàng, chi phí cố định là 20$, cộng them 9$ mỗi cái Cửa hàng nên đặt bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất 10 Giải: Ta có n 2500, h 10 Gọi Q là số ti vi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần Khi đó Q1;2500 Khi đó số lượng tivi gửi trong kho trung bình mỗi năm là Q Do đó chi phí 2 lưu kho mỗi năm là 10 Q 5Q 2 Số lần đặt hàng mỗi năm là 2500 Q Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm là 20 9Q 2500 50000 22500 QQ Vậy chi phí của cửa hàng là CQ 5Q 50000 22500 Q Ta có CQ 5 2 50000 Q CQ 0 5Q2 50000 Q2 10000 100 Q 100 Vì Q1;2500 nên Q = 100 CQ 3 100000 0 với Q > 0 nên min CQ C100 23500 Q Q1;2500 Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm là 2500 25 100 Vậy để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì mỗi năm cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi Kết luận: Như vậy, nhiều bài toán kinh tế được đưa về tìm cực trị của hàm một biến y f x Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q QP , hàm doanh thu R P.Q, hàm chi phí C CQ , hàm lợi nhuận R C Trong kinh tế ta thường gặp các bài toán sau: - Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa - Tìm P hoặc Q để doanh thu đạt tối đa - Tìm Q để chi phí đạt tối thiểu 11 3.2 Một số ứng dụng cực trị hàm nhiều biến 3.2.1 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (nhà sản xuất phải bán hết hàng với giá do thị trường quyết định) Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với các mức giá P1,P2, ,Pn Hàm chi phí C CQ1,Q2, ,Qn với Qi i 1,n là mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm các mức sản lượng Q1,Q2, ,Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Phương pháp giải Gọi Q1,Q2, ,Qn là các mức sản lượng cần tìm Doanh thu R P1Q1 P2Q2 n PnQn PiQi i1 Chi phí C CQ1,Q2, ,Qn Lợi nhuận n R C PiQi CQ1,Q2, ,Qn i1 Bài toán trở thành tìm Q1,Q2, ,Qn để hàm đạt cực đại Ví dụ: Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm Gọi Qi là số lượng sản phẩm của mặt hàng thứ i (i 1,2 ); Pi là đơn giá của mặt hàng thứ i ( i 1,2 ) Hàm lợi nhuận của công ty là: R C P1Q1 P2Q2 C Biết P1 = 400; P2 = 600 và hàm tổng chi phí là: C Q12 2Q22 2Q1 4Q2 300 Yêu cầu: Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị max? Giải: Ta có hàm lợi nhuận 400Q1 600Q2 Q12 2Q22 2Q1 4Q2 300 398Q1 596Q2 Q12 2Q22 300 Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (Q1, Q2) là: 12 Q1 ' 2Q1 398 0 Q1 199 ' Q2 4Q2 596 0 Q2 298 Ta có ma trận Hesse: Q Q '' Q Q '' 2 0 H '' '' 1 1 1 2 Q2Q1 Q2Q2 0 4 Vì H1 2 0;H2 8 0,Q1,Q2 do đó hàm đạt cực đại toàn cục tại (Q1, Q2) = (199, 298) 3.2.2 Bài toán sử dụng tối ưu các yếu tố đầu vào Xét trường hợp một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất một loại sản phẩm Mục tiêu của doanh nghiệp là thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụng hợp lý các yếu tố đầu vào là lao động và tư bản (với giả thiết các yếu tố khác giữ nguyên) Mọi doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy phải chấp nhận giá cả thị trường, kể cả giá đầu vào và giá đầu ra Giả sử hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm là: R C PQ wL rK trong đó: là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền lương của một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng: 11 Q L3K3 , w = 1, r = 0,02, P = 3 Khi đó, ta có: 11 PQ wL rK 3L3K3 L 0,02K Yêu cầu: Tìm L, K sao cho đạt giá trị lớn nhất Giải: Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (L, K) là: 'L L2/3K1/3 1 0 L2K 1 ' 2 1/3 2/3 3 K L K 0,02 0 LK (0,02) K 2 L 32 34 L (0,02) K (0,02) L K 2500 L 50 (do L 0) 13 Ta có ma trận Hesse: 2 5/3 1/3 1 2/3 2/3 L K LK LL '' 'L' K 3 3 H '' KK '' 1 2/3 2/3 2 1/3 5/3 LK KL LK 3 3 Vì H1 2 5/3 1/3 0, L, K 0; H2 1 4/3 4/3 0, L,K 0 L K LK 3 3 Do đó đạt cực đại toàn cục tại (K, L) = (2500; 50) 3.2.3 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng nhưng bán trên nhiều thị trường Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên n thị trường tách biệt Giả sử hàm cầu trên n thị trường như sau : QD1 D1 P1 QD2 D2 P2 QDn Dn Pn Hàm tổng chi phí C = C(Q) với Q Q1 Q2 Qn Trong đó : Q là sản lượng của doanh nghiệp Qi là lượng hàng phân phối trên thị trường thứ i i 1,n Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại Phương pháp giải Gọi Q1,Q2, ,Qn là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm Để doanh nghiệp bán hết hàng thì Q1 QD1 QD1 D1 P1 P1 P1 Q1 Q2 QD2 QD2 D2 P2 P2 P2 Q2 Qn QDn Q Dn Pn Pn Pn Qn Dn Doanh thu n n R Q1P1 Q2P2 QnPn QiPi QiPi Qi i1 i1 Chi phí C CQ CQ1,Q2, ,Qn vì Q Q1 Q2 Qn 14 Lợi nhuận n R C QiPi Qi CQ1,Q2, ,Qn i1 Bài toán trở thành tìm Q1,Q2, ,Qn để hàm cực đại Ví dụ: Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ tại hai thị trường tách biệt Giả sử các hàm cầu trên hai thị trường lần lượt là: QD1 80 P1 ;QD2 80 P2 3 4 Hàm tổng chi phí: C(Q) = Q2 + 30Q + 10 Và Q = Q1 + Q2 là tổng sản lượng Yêu cầu: Tìm lượng sản phẩm Q1, Q2 mà công ty cung cấp cho các thị trường sao cho lợi nhuận đạt cao nhất? Giải: Giả sử công ty cung cấp cho thị trường 1 là Q1 sản phẩm, thị trường 2 là Q2 sản phẩm Q1 80 P1 ;Q2 80 P2 3 4 và Q = Q1 + Q2 P1 = 240 – 3Q1, P2 = 320 – 4Q2 Do đó doanh thu trên các thị trường lần lượt là: R1 = (240 – 3Q1)Q1 R2 = (320 – 4Q2)Q2 Khi đó tổng lợi nhuận là: = R1 + R2 – C = (240 – 3Q1)Q1 + (320 – 4Q2)Q2 - Q2 + 30Q + 10 (Q = Q1 + Q2) Cực đại toàn cục của hàm là (Q1, Q2) = (20, 25) Vậy công ty cung cấp cho thị trường thứ nhất là Q1 = 20 đơn vị hàng với đơn giá P1 = 240 – 3Q1 = 180 Cung cấp cho thị trường thứ hai là Q2 = 25 đơn vị hàng hóa với đơn giá là P2 = 320 – 4Q2 = 220 15 3.2.4 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong điều kiện độc quyền Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh n loại hàng hóa, biết hàm cầu của các hàng hóa trên là QD1 D1 P1 QD2 D2 P2 QDn Dn Pn Trong đó: QDi : Lượng hàng cầu của loại hàng hóa thứ i P1,P2, ,Pn : Giá bán của loại hàng hóa thứ i Q1,Q2, ,Qn : Sản lượng của loại hàng hóa thứ i Hàm tổng chi phí C CQ CQ1,Q2, ,Qn Tìm mức sản lượng Q1,Q2, ,Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận đạt cực đại Phương pháp giải Gọi Q1,Q2, ,Qn là các mức sản lượng cần tìm Để doanh nghiệp bán hết hàng thì Q1 QD1 QD1 D1 P1, P2, ,Pn P1 P1 Q1,Q2, ,Qn ,Qn Q2 QD2 QD2 D2 P1, P2, ,Qn ,Pn P2 P2 Q1,Q2, Qn QDn Q Dn P1,P2, Dn ,Pn Pn Pn Q1,Q2, Doanh thu n n R Q1P1 Q2P2 QnPn QiPi QiPi Q1,Q2, ,Qn i1 i1 Chi phí C CQ CQ1,Q2, ,Qn 16 Lợi nhuận n R C QiPi Q1,Q2, ,Qn CQ1,Q2, ,Qn i1 Bài toán trở thành tìm Q1,Q2, ,Qn để hàm cực đại Ví dụ: Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh 2 loại hàng, biết hàm cầu của 2 loại hàng hóa đó như sau: QD1 40 2P1 P2 QD2 15 P1 P2 Hàm chi phí C Q12 Q1Q2 Q22 Tìm các mức sản lượng từng loại mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại Giải: Gọi Q1,Q2 là các mức sản lượng cần tìm Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng Q1 QD1 Q1 40 2P1 P2 P1 55 Q1 Q2 Q2 QD2 Q2 15 P1 P2 P2 70 Q1 2Q2 Doanh thu R Q1P1 Q2P2 Q1 55 Q1 Q2 Q2 70 Q1 2Q2 R Q12 2Q22 2Q1Q2 55Q1 70Q2 Chi phí C Q12 Q1Q2 Q22 Lợi nhuận R C 2Q12 3Q22 3Q1Q2 55Q1 70Q2 Bài toán trở thành tìm Q1,Q2 để hàm đạt cực đại Điểm dừng là nghiệm của hệ Q1 0 55 4Q1 3Q2 0 Q1 8 23 Q2 0 70 3Q1 6Q2 0 Q2 3 Xét các đạo hàm riêng cấp hai Q2 4; Q Q 3; Q 2 6 1 QQ 12 21 2 17 Khi đó ma trận Hesse 4 3 H 3 6 H1 4 0 4 3 H2 3 6 15 0 Vậy hàm đạt cực đại tại mức sản lượng Q1 8, Q2 23 3 Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại nếu sản xuất 8 đơn vị hàng hóa thứ nhất và 23 đơn vị hàng hóa thứ hai 3 III KẾT LUẬN Với các kiến thức toán học về cực trị hàm hai biến số ta có thể giải được một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các bài toán kinh tế Sau đây là một số ví dụ mà các bạn có thể tự giải BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản phẩm, chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là 2$, chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng là 10$ Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ nhất Bài 2 Cho hàm cầu Q = 300 – P và hàm chi phí C Q3 19Q2 333Q 10 Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất Bài 3 Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm, biết hàm tổng chi phí C Q2 1000Q 100 và hàm cầu Q 4100 P 2 a Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt cực đại b Muốn công ty sản xuất ít nhất là 200 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu Bài 4 Một nhà máy sản xuất máy tính xác định rằng để bán x sản phẩm mới, giá mỗi sản phẩm phải là p = 1000 – x Nhà sản xuất cũng xác định được tổng giá trị của x sản phẩm làm ra cho bởi Cx 3000 2x a Tìm tổng thu nhập Rx 18 b Tìm tổng lợi nhuận Px c Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu loại sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất Khi đó lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu d Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận lớn nhất Bài 5 Cho hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp như sau: = 80X – X2 – XY - 2Y2 + 60Y – 10 Hãy xác định sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận Tìm lợi nhuận tối đa đó ? Bài 6 Cho hàm tổng doanh thu và tổng chi phí của một doanh nghiệp như sau: R = 26X – X2 + 60Y C = 20X - 2X2 + XY - Y2 + 20Y + 5 Hãy xác định sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận Tìm lợi nhuận tối đa đó ? Bài 7 Cho hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp như sau: C = 40X – X2 – XY - Y2 + 45Y + 6 Hãy xác định sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối thiểu hóa chi phí Tìm chi phí tối thiểu đó? Trong đó: X, Y là số lượng hàng hóa X, Y ; là lợi nhuận R là hàm tổng doanh thu C là hàm tổng chi phí ) Bài 8 Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản phẩm, chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là 2$, chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng là 10$ Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ nhất IV TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quốc Hưng (2009), Toán cao cấp và một số ứng dụng trong kinh doanh, Nxb Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [2] Lê Đình Thúy (2010), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Nxb Giáo dục [3] Nguyễn Huy Hoàng (2010), Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Nxb Đại học Kinh tế Quốc dân 19