ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Kinh Tế - Quản Lý - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Quản trị kinh doanh UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- NGUYỄN THỊ KIỀU OANH ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Sinh viên thực hiện NGUYỄN THỊ KIỀU OANH MSSV: 2113010132 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA: 2013 – 2017 Cán bộ hướng dẫn ThS. TRẦN ANH DŨNG MSCB: T34-15.111-14099 Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn ThS. Trần Anh Dũng, đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô trong khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam đã tận tình truyền đạt kiến thức trong những năm em học tập. Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học, không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu mà còn là hành trang quý báu để em bước vào đời vững chắc và tự tin. Mặc dù đã cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh, song do hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên em không thể tránh khỏi những sai sót trong khóa luận mà bản thân em chưa thấy được. Em rất mong có những ý kiến đóng góp của quý thầy cô. Em kính chúc quý thầy, cô dồi dào sức khỏe và thành công trong sự nghiệp trồng người. Trân trọng cảm ơn Quảng Nam, tháng 4, năm 2017 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Kiều Oanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài .........................................................................................................1 2. Mục tiêu của đề tài ......................................................................................................1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...............................................................................1 4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................1 5. Đóng góp của đề tài .....................................................................................................2 6. Cấu trúc đề tài ..............................................................................................................2 CHƯƠNG 1. ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG ......................................3 1.1. Định lý Rolle ............................................................................................................3 1.1.1. Định lí Rolle ..........................................................................................................3 1.1.2. Một số hệ quả ........................................................................................................4 1.2. Một số mở rộng của định lí Rolle .............................................................................6 1.2.1. Định lí Lagrange ....................................................................................................6 1.2.1.1. Định lí Lagrange .................................................................................................6 1.2.1.2. Một số hệ quả .....................................................................................................8 1.2.2. Định lí Cauchy .......................................................................................................9 1.2.3. Định lí Rolle mở rộng ..........................................................................................11 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ ROLLE ...............................13 2.1. Ứng dụng định lí Rolle chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình .............13 2.1.1. Phương pháp chung .............................................................................................13 2.1.2. Một số bài toán ....................................................................................................14 2.1.3. Bài tập đề xuất .....................................................................................................21 2.2. Ứng dụng định lí Rolle giải phương trình ..............................................................22 2.2.1. Phương pháp chung .............................................................................................22 2.2.2. Một số bài toán ....................................................................................................23 2.2.3. Bài tập đề xuất .....................................................................................................29 2.3. Ứng dụng định lí Rolle giải hệ phương trình .........................................................31 2.3.1. Phương pháp chung .............................................................................................31 2.3.2. Một số bài toán ....................................................................................................31 2.3.3. Bài tập đề xuất .....................................................................................................37 2.4. Ứng dụng định lí Rolle chứng minh bất đẳng thức ................................................40 2.4.1. Phương pháp chung .............................................................................................40 2.4.2. Một số bài toán ....................................................................................................40 2.4.3. Bài tập đề xuất .....................................................................................................45 KẾT LUẬN ..................................................................................................................47 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................48 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Rolle (định lí Cauchy, định lí Lagrange, định lí Rolle trên một khoảng không bị chặn) là các định lí về giá trị trung bình. Các định lí này có vai trò đặc biệt quan trọng trong giải tích toán học. Nhờ có định lí này mà nhiều kết quả toán học được chứng minh. Trong môn toán trung học phổ thông, đối với học sinh các định lí này chỉ mang tính lý thuyết mà vận dụng chưa được hệ thống một cách đầy đủ và chưa biết thực hành giải toán. Bên cạnh đó công tác bồi dưỡng học sinh khá giỏi là rất cần thiết và được tiến hành thường xuyên liên tục trong suốt quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng. Với đối tượng học sinh khá giỏi này, người giáo viên ngoài việc dạy cho học sinh cách giải một bài toán, còn phải hướng dẫn cho học sinh cách tìm tòi định hướng phương pháp giải, sáng tạo bài mới và đi tìm lời giải đẹp cho các bài toán. Từ đó tạo cho học sinh sự hứng thú. Định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Rolle là một công cụ mạnh mẽ để giải các bài toán về: Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giải phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức. Thấy được vai trò định lí Rolle và một số mở rộng của định lí, nhằm giúp tôi cũng như học sinh, giáo viên tích lũy kiến thức cần thiết trong học tập, và những ai quan tâm định lí Rolle hiểu sâu sắc hơn, kĩ năng áp dụng của định lí vào việc giải các dạng toán trung học phổ thông. Trong quá trình học tập, tôi chọn đề tài : ‘Định lí Rolle và ứng dụng giải một số bài toán trung học phổ thông’ để làm bài khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục tiêu của đề tài Giúp tôi nắm vững kiến thức định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Rolle. Đề tài đưa ra các ví dụ và bài tập về định lí Rolle và một số mở rộng của định lí như: Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giải phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Về đối tượng nghiên cứu : Định lí Rolle và một số mở rộng của định lí. Nghiên cứu ứng dụng của định lí Rolle vào các dạng toán và ví dụ cụ thể. Về phạm vi nghiên cứu : Nghiên cứu Rolle và ứng dụng giải một số bài toán trung học phổ thông. 4. Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành bài khóa luận này tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp đọc tài liệu tham khảo kết hợp phân tích – tổng hợp tài liệu. - Hệ thống hóa, giải quyết vấn đề và sưu tầm giải quyết bài toán. 2 5. Đóng góp của đề tài Đề tài đưa ra phương pháp giải toán mới trong chương trình toán trung học phổ thông, có thể sử dụng nó để giải các dạng toán nâng cao. Đề tài có thể là một trong những tài liệu tham khảo cho những bạn đọc quan tâm định lí Rolle. 6. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm 2 chương: Chương 1. Định lý Rolle và một số mở rộng Chương 2. Một số ứng dụng của định lý Rolle 3 CHƯƠNG 1. ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 1.1. Định lý Rolle 1.1.1. Định lí Rolle Nếu hàm số ( )f x liên tục trên đoạn  ;a b , có đạo hàm ''''( )f x trên ( ; )a b và ( ) ( )f a f b thì phương trình ''''( ) 0f x  có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( ; )a b . Chứng minh. Vì ( )f x liên tục trên đoạn  ;a b nên nó nhận giá trị lớn nhất và bé nhất tại những điểm nào đó của đoạn  ;a b . Giả sử max ( ), min ( ) M f x m f x Khi đó ( )m f x M   ;x a b  Nếu m M thì ( )M f x M   ;x a b  và f là hằng số và do đó '''' 0f  trên  ;a b và c là điểm bất kì trên  ;a b . Giả sử m M Khi đó vì điều kiện ( ) ( )f a f b suy ra hai điểm mà tại đó hàm đạt giá trị max hoặc min không thể là các đầu mút của  ;a b . Thật vậy, nếu chúng là các đầu mút của  ;a b thì , , max ( ) min ( ) ( ) ( ) a b a b f x f x f a f b   Và do đó f const , mâu thuẫn ''''( ) 0f x  có ı́t nhất một nghiệm trên ( ; )a b . Do đó một trong hai điểm phải thuộc  ;a b và giả sử ( ; ) : ( )c a b f c M   . Như vậy tại điểm c hàm nhận giá trị lớn nhất trên  ;a b . Nhưng khi đó hàm f có cực đại địa phương tại c . Vì hàm f có đạo hàm tại c nên theo định lí Fermat ''''( ) 0f c  . Vậy định lí đã được chứng minh Chú ý: i) Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên  ;a b là một giả thiết không thể bỏ qua đối với định lí Rolle. Ví dụ xét hàm số khi 0 1 ( ) 1 khi 0 x x f x x       Ta có (0) (1)f f nhưng hàm số không liên tục trên  0;1 (vì 0x  là điểm gián đoạn) nên không áp dụng định lí Rolle được. ii) Giả thiết hàm ( )f x có đạo hàm trong khoảng  ;a b cũng là một giả thiết không thể bỏ qua được. Ví dụ xét hàm số  2 3 ( ) 1 , 1;1f x x x    . 4 Ta có hàm số ( )f x liên tục trên  1;1 và ( 1) (1)f f  . Nhưng 3 2 ''''( ) 3 f x x  mà 0 ( 1;1)x    không tồn tại. Suy ra điều này mâu thuẫn với định lí Rolle. iii) Định lí Rolle tương đương với điều kiện khẳng định: Nếu hàm liên tục trên  ;a b nào đó và triệt tiêu tại hai đầu mút a và b , khả vi tại mọi điểm của  ;a b thì tồn tại ( ; )c a b sao cho ''''( ) 0f c  . Nói cách khác: Giữa hai không điểm của hàm khả vi bao giờ cũng có không điểm của đạo hàm của nó. Để chứng minh điều này ta đặt ( ) ( ) ( )F x f x f a  . iv) Về mặt hình học: Nếu các điều kiện của định lí Rolle thỏa mãn thì trên đồ thị của hàm số  ( ); ;y f x x a b  tồn tại điểm  ( ; ( )); ;c f c c a b mà tiếp tuyến tại đó song song với trục Ox . Ta xét ví dụ sau: Vı́ dụ 1.1. Xét hàm        sin khi 0 ( ) 0 khi 0 x x f x x x xác định trên   0;1 Ta chứng minh rằng định lí Rolle áp dụng được cho hàm ( )f x . Thật vậy vì 0 lim sin 0 x x x    nên hàm f liên tục tại 0x  . Do đó hàm f liên tục trên  ;a b . Tiếp đó khi 0x  ta có ''''( ) sin cosf x x x x      Từ đó suy ra hàm f có đạo hàm ( ; )x a b  . Mà (0) (1) 0f f  . Do đó hàm f thỏa mãn định lí Rolle nên tồn tại (0;1)c sao cho      ''''( ) 0 sin cosf c c c c Hay tan c c    Như vậy có vô số điểm (0;1)c  thỏa mãn định lí Rolle. 1.1.2. Một số hệ quả Hệ quả 1: Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm trên  ;a b và ( ) 0f x  có 1n  nghiệm phân biệt ( n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên  ;a b thì ''''( ) 0f x  có ít nhất 5 n nghiệm phân biệt trên  ;a b ( phương trình ( ) 0 k f x  có ít nhất 1n k  nghiệm phân biệt trên  ;a b ). Chứng minh. Thật vậy, nếu phương trình ( ) 0f x  có 1n  nghiệm phân biệt thuộc  ;a b sắp theo thứ tự 1 2 1... nx x x    . Khi đó áp dụng định lí Rolle cho n đoạn      1 2 2 3 1; , ; ,..., ;n nx x x x x x  thì phương trình ''''( ) 0f x  có ít nhất n nghiệm thuộc n khoảng 1 2 2 3 1( ; ),( ; ),...,( ; )n nx x x x x x  Gọi n nghiệm đó là 1 2, ,..., nm m m sao cho 1 2''''( ) ''''( ) ... ''''( ) 0nf m f m f m    Tiếp theo áp dụng cho 1n  khoảng 1 2 2 3 1 ( ; ),( ; ),...,( ; )n n m m m m m m thì phương trình ''''''''( ) 0f x  có ít nhất 1n  nghiệm thuộc trên  ;a b . Tương tự sau k bước phương trình ( ) ( ) 0 k f x  có ít nhất 1n k  nghiệm thuộc  ;a b . Hệ quả 2: Nếu hàm số ( )f x có liên tục trên  ;a b và có đạo hàm trên  ;a b ta có ''''( ) 0f x  có không quá n nghiệm phân biệt ( n là số nguyên dương) trên  ;a b thì ( )f x có không quá 1n  nghiệm phân biệt trên  ;a b . Chứng minh . Giả sử phương trình ( ) 0f x có quá 1n  nghiệm phân biệt trên  ;a b . Chẳng hạn phương trình ( ) 0f x  có 2n  nghiệm phân biệt thuộc  ;a b . Theo hệ quả 1 phương trı̀nh ''''( ) 0f x  có ı́t nhất 1n  nghiệm thuộc ( ; )a b . Điều này trái giả thiết. Vậy phương trı̀nh ( ) 0f x  có không quá 1n  nghiệm phân biệt trên ( ; )a b Hệ quả 3: Nếu hàm số ( )f x liên tục trên  ;a b và có đạo trên  ;a b và ''''( ) 0f x  vô nghiệm trên  ;a b thì ( ) 0f x  có nhiều nhất một nghiệm trên  ;a b . Hệ quả 4: Nếu a , b là hai không điểm kề nhau của hàm ( )f x (tức là ( ) ( ) 0; ( ) 0; ( ; )f a f b f x x a b     ) thì trong  ;a b hàm ''''( )f x có một số lẻ các không điểm. Hệ quả 5: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn đồng thời các tính chất sau đây: i) ( )f x xác định và có đạo hàm cấp ( 1)n n  liên tục trên đoạn  ;a b . ii) ( )f x có đạo hàm cấp 1n  trong khoảng  ;a b . 6 iii) ( ) ''''( ) ... ( ) 0, ( ) 0 n f a f a f a f b     Khi đó tồn tại dãy điểm phân biệt 1 2 1, ,..., nb b b  thuộc khoảng  ;a b sao cho: ( ) 0; 1,2,..., 1 k kf b k n   Chứng minh. Ta có ( ) ( ) 0f a f b  . Theo định lí Rolle tồn tại 1 ( ; )b a b sao cho 1''''( ) 0f b  Mà ''''( ) 0f a  suy ra  2 1 ; ( ; )b a b a b   sao cho 2''''''''( ) 0f b  . Mặc khác lại có ''''''''( ) 0f a  và tiếp tục áp dụng định lí Rolle ta có: 3''''''''''''( ) 0f b  với 3 2( ; ) ( ; )b a b a b  . Tương tự đến thứ n , tồn tại 1( ; ) ( ; )n nb a b a b  sao cho ( ) 0 n nf b  với điều kiện ( ) 0 n f a  suy ra 1 ( ; ) ( ; )n nb a b a b   sao cho 1 1( ) 0 n nf b    . Vậy tồn tại dãy điểm phân biệt 1 2 1, ,..., nb b b  phân biệt thuộc  ;a b sao cho: ( ) 0; 1,2,..., 1 k kf b k n   1.2. Một số mở rộng của định lí Rolle 1.2.1. Định lí Lagrange 1.2.1.1. Định lí Lagrange Nếu hàm ( )f x liên tục trên đoạn  ;a b và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng  ;a b thì tồn tại điểm  ;c a b sao cho: ( ) ( ) ''''( ) f b f a f c b a    (1) Chứng minh. Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( ) f b f a F x f x f a x a b a       (  ;x a b  ) Ta thấy rằng F thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle + F liên tục trên  ;a b + F có đạo hàm trên  ;a b ( ) ( ) ''''( ) ''''( ) f b f a F x f x b a     + ( ) ( ) 0F a F b  Theo định lı́ Rolle tồn tại ít nhất một điểm  ;c a b sao cho ''''( ) 0F c  7 Suy ra ( ) ( ) ''''( ) ''''( ) 0 f b f a F c f c b a      Hay ( ) ( ) ''''( ) f b f a f c b a    (đpcm) Chú ý: i) Công thức (1) còn có dạng ( ) ( ) ''''( )( )f b f a f c b a   Tuy xuất phát từ công thức (1) nhưng công thức này có ý nghĩa đặc biệt đóng vai trò rất cơ bản trong nhiều ứng dụng đa dạng trong giải tích: Biến một hiệu số thành một tích số (giống như các hằng đẳng thức đáng thức nhớ quen thuộc trong đại số sơ cấp) 1 2 2 1 ( )( . ... . )n n n n n n a b a b a a b a b b           và thường được dùng để xét dấu của hiệu ( ) ( )f b f a hay để ước lượng ( ) ( )f b f a ii) Định lí Lagrange cũng là định lí về số gia hữu hạn. Bởi vì ( ; )c a b nên ta đặt b a h  thì c a h   với  là một số thuộc  0;1 . Khi đó định lí Lagrange có thể viết dưới dạng ( ) ( ) ''''( )f a h f a f a h h     . Gọi công thức này là số gia hữu hạn. Sở dĩ có tên này vì đây là công thức chính xác và đúng với mọi số gia hữu hạn (có thể lớn) khác với công thức xấp xỉ bằng vi phân ( ) ( ) ''''( ).f a x f a f a x     Chỉ có giá trị số gia x khá bé. iii) Định lí Lagrange như là một hệ quả của định lí Rolle. Thế nhưng chính định lí Rolle (về dạng biểu thức) lại là một trường hợp riêng của định lí Lagrange (ứng với giả thiết ( ) ( )f a f b ) iv) Về mặt hình học, định lí Lagrange chứng tỏ rằng trên đồ thị của hàm số ( )f x (thỏa mãn các điều kiện của định lí Lagrange) tồn tại điểm tại tiếp tuyến với đồ thị song song với dây cung nối điểm ( ; ( ))A a f a với điểm ( ; ( ))B b f b . Thật vậy; đại lượng ( ) ( )f b f a b a   là hệ số góc của các tuyến qua A và B của đường cong. Còn ''''( )f c là hệ số góc tiếp tuyến với đường cong ( )y f x qua điểm ( ; ( ))c f c Ta xét một vài ví dụ Vı́ dụ 1.2. Ta xét hàm ( ) sin( )f x arc x trên  1;1 Ta có hàm ( )f x xác định và liên tục  ;a b . Tiếp theo ta có 2 1 ''''( ) ( 1;1) 1 f x x x      Suy ra hàm ( ) sin( )f x arc x thỏa mãn định lí Lagrange. Ta tìm điểm c . Ta có 8 2 arcsin1 arcsin( 1) 1 1 ( 1) 1 c       2 2 2 2 ( ) 1 2 2 1 c c            Suy ra 2 4 1c    Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng 1 2 1 2sin sinx x x x   (1) Và 1 2 1 2arctgx arctgx x x   (2) Để chứng minh (1) ta áp dụng định lí Lagrange cho hàm ( ) sinf x x trên đoạn  1 2;x x . Ta có 1 2 2 1 1 2sin sin ''''( )( ),x x f x x x x       Mà ''''( ) cosf   và 1 2cos 1, ( ; )x x x     . Vậy từ hệ thức trên ta có 1 2 1 2sin sinx x x x   Tương tự với (2) ta áp dụng định lí Lagrange cho hàm ( ) ( )f x arctg x trên đoạn  1 2;x x . Ta có  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . ''''( ) . , ; 1 arctgx arctgx x x f x x x x x x             1.2.1.2. Một số hệ quả Hệ quả 1: Nếu hàm số ( )f x xác định liên tục trên  ;a b , khả vi trên ( ; )a b và  ''''( ) 0 ;f x x a b   thì  , ;  f const x a b . Chứng minh. Thật vậy giả sử 0 ( ; )x a b là một điểm cố định nào đó, x là điểm tùy ý thuộc ( ; )a b và 0x x nên    0 ; ;x x a b . Do đó f khả vi (do đó f liên tục) khắp nơi trên đoạn  0 ;x x và ta áp dụng định lí Lagrange 0 0( ) ( ) ''''( )( )f x f x f c x x   , 0( ; )c x x . Vı̀  ''''( ) 0; ;f x x a b   nên ''''( ) 0f c  ;  0 ;c x x  ; Từ đó 0( ) ( )f x f x Đẳng thức này khẳng định rằng giá trị của hàm ( )f x tại điểm bất kì ( ; )x a b luôn bằng giá trị của hàm tại một điểm cố định. Do đó f const trên  ;a b . Hệ quả 2: Nếu hai hàm ( )f x và ( )g x có đạo hàm đồng nhất bằng nhau trên một khoảng thì chúng chỉ sai khác nhau bởi hằng số cộng. Chứng minh. 9 Thật vậy ta có  ( ) ( ) '''' ''''( ) ''''( ) 0f x g x f x g x    Áp dụng hệ quả 1 ta có ( ) ( ) ( )f x g x c c const   hay ( ) ( )f x g x c  (đpcm) Hệ quả 3: Giả sử ( )f x liên tục trên  ;a b , khả vi trong ( ; )a b . i) Nếu ''''( ) 0, ( ; )  f x x a b thì ( )f x tăng (chặt) trên ( ; )a b . Nếu ''''( ) 0, ( ; )  f x x a b thì ( )f x không giảm trên ( ; )a b . ii) Nếu ''''( ) 0, ( ; )  f x x a b thì ( )f x giảm (chặt) trên ( ; )a b . Nếu ''''( ) 0, ( ; )  f x x a b thì ( )f x không tăng trên ( ; )a b . Chứng minh. Giả sử 1 2x x là hai điểm bất kì thuộc ( ; )a b theo định lí Lagrange 1 2( ; )c x x  để 2 1 2 1( ) ( ) ''''( )( )f x f x f c x x   vì 2 1 0x x  nên 2 1( ) ( )f x f x cùng dấu với ''''( )f c và bằng 0. Nếu ''''( ) 0f c  từ đây ta suy ra được kết luận của hệ quả. Hệ quả 4: Giả sử f là hàm khả vi trên ( ; )a b . Khi đó nếu f tăng (giảm) trên ( ; )a b thì ''''( ) 0( ''''( ) 0)f x f x  với mọi ( ; )x a b . 1.2.2. Định lí Cauchy Nếu hàm ( )f x , ( )g x liên tục trên đoạn  ;a b và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng  ;a b , ngoài ra ''''( ) 0g x  với mọi ( ; )x a b . Khi đó tồn tại điểm  ;c a b sao cho: ( ) ( ) ''''( ) ( ) ( ) ''''( ) f b f a f c g b g a g c    Chứng minh. Ta có hàm số g thỏa mãn các giả thiết của định lí Lagrange. Do đó tồn tại một điểm  ;c a b sao cho ( ) ( ) ''''( ).( )g b g a g c b a   . Vì ''''( ) 0g c  nên từ đó suy ra ( ) ( ) 0g b g a  Xét hàm số   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a F x f x f a g x g a g b g a       (  ;x a b ) Hàm số F thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle: + F liên tục trên  ;a b + F có đạo hàm trên  ;a b ( ) ( ) ''''( ) ''''( ) . ''''( ) ( ) ( ) f b f a F x f x g x g b g a     + ( ) ( ) 0F a F b  10 Do đó tồn tại ít nhất một điểm  ;c a b sao cho ''''( ) 0F c  Suy ra ( ) ( ) ''''( ) ''''( ) . ''''( ) 0 ( ) ( ) f b f a F c f c g c g b g a      Hay ( ) ( ) ''''( ) ( ) ( ) ''''( ) f b f a g c g b g a f c    (đpcm) Chú ý: i) Định lí Lagrange là trường hợp riêng của định lí Cauchy với giả thiết ( )g x x ;  ;x a b  ii) Công thức Cauchy đúng cho cả trường hợp a b lẫn trong trường hợp a b iii) Giả thiết ;f g liên tục trên  ;a b thực chất là để đảm bảo ;f g liên tục phải tại a và liên tục trái tại b ( ;f g đã liên tục trên  ;a b do giả thiết về tính khả vi. Giả thiết này cũng như giả thiết ;f g khả vi trên khoảng  ;a b bị vi phạm thì kết luận của định lí cauchy không còn đúng (với các định lí Rolle, Lagrange cũng vậy) Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.3. Cho hàm số 2 ( ) 2 3f x x x   và 3 2 ( ) 7 20 5g x x x x    trên 1;4 . Ta chứng minh ;f g thỏa mãn định lí Cauchy và tìm điểm c . Thật vậy các hàm ;f g thỏa mãn điều kiện liên tục, khả vi tại mọi điểm của   1;4 Ta lại có 2 ''''( ) 3 14 20 0;g x x x x      do đó ''''( ) 0;g x x   . Như vậy f và g thỏa mãn định lí Cauchy. Ta có (4) (1) ''''( ) (4) g(1) ''''( ) f f f c g g c    2 11 2 2 2 27 9 3 14 20 c c c        1 2 2 4 c c      Mà 4c  (loại) vì 4 (1;4) Nhận xét: Nếu đòi hỏi thêm ( ) ( )g a g b thì điều kiện ''''( ) 0g x  có thể thay đổi bằng điều kiện yếu hơn    2 2 ''''( ) ''''( ) 0f x g x  khi ( ; )x a b . Cụ thể ta có Định lí Cauchy: Giả sử i) ( )f x và ( )g x liên tục trên  ;a b 11 ii) ( )f x và ( )g x có đạo hàm hữu hạn trong  ;a b . iii) ( ) ( )g a g b iv)     2 2 ''''( ) ''''( ) 0f x g x  , ( ; )x a b  tức là các đạo hàm không đồng thời bằng không. Khi đó ( ; )c a b  sao cho thỏa mãn ( ) ( ) ''''( ) ( ) ( ) ''''(c) f b f a f c g b g a g    Chứng minh. Xét hàm số    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f b f a g x g b g a f x    Hàm ( )F x thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle. Do đó ( ; )c a b  sao cho ''''( ) 0F c  tức    ( ) ( ) ''''( ) ( ) ( ) ''''( )g b g a f c f b f a g c   Nên ''''( ) 0g c  Thật sự nếu không như vậy thì do ( ) ( )g a g b ta có ''''( ) 0f c  . Nhưng như vậy ''''( )f c và ''''( )g c đồng thời bằng 0 tại ( ; )c a b mâu thuẫn với điều kiện (iv). 1.2.3. Định lí Rolle mở rộng Giả sử ( )f x là một hàm số liên tục trên  ;a  , có đạo hàm trên  ;a  , và giới hạn lim ( ) ( ) x f x f a   . Khi đó tồn tại ít nhất một số thực c a sao cho ''''( ) 0f c  . Chứng minh. Nếu ( ) ( )f x f a với mọi x a thì lấy c là một số bất kì lớn hơn a . Giả sử tồn tại b a sao cho ( ) ( )f b f a (Chẳng hạn ( ) ( )f b f a ).Gọi γ là một số thực bất kì thuộc ( ( ); ( ))f a f b . Theo định lí Bolzano-cauchy tồn tại ( ; )a b   sao cho ( )f   . Vì lim ( ) ( ) x f x f a     nên tồn tại d b sao cho ( )f d  . Do ( )f x liên tục trên  ;a  nên theo định lí Bolzano-cauchy tồn tại ( ; )b d   sao cho ( ) ( )f f     Do đó theo định lí rolle, tồn tại ( ; )c   sao cho ''''( ) 0f c  . Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.4. Giả sử f là hàm liên tục trên  0; , khả vi trên  0; và (0)f a lim ( ) x f x b   . Gọi  là hàm xác định bởi 1 x x    ;  ;x a b . Chứng tỏ rằng tồn tại (0; ), (0;1)   c sao cho ''''( ). ''''( )    f c b a ( ) Thật vậy, xét  0 : 0;1f R   . Dễ thấy rằng 0f  liên tục trên  0;1 và khả vi trên 12  0;1 . Hơn nữa 0 1 1 1 lim ( ) lim ( ) lim ( ) 1x x y x f x f f y b x         Đặt        0 ( ) khi 0;1 ( ) khi 1 f g x x g x b x Khi đó g liên tục trên  0;1 và khả vi trên   0;1 Theo định lí Lagrange tồn tại  ;a b   sao cho (1) (0) ''''( ) ''''( ( )). ''''( ) 1 0 g g b a g f            Do đó ''''( ). ''''( )f c b a     với ( ) (0, )c     Nhận xét: Kết luận () còn đúng (với  0;c   nếu  khả vi liên tục trên  ;   , , R    với lim ( ) x x      và ( ) 0    . 13 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ ROLLE 2.1. Ứng dụng định lí Rolle chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình 2.1.1. Phươ ng pháp chung Xuất phát từ định lý. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên  ;a b và ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trong đoạn đó. Nếu tồn tại số thực  1 2, ;x x a b với 1 2x x sao cho 1 2( ) ( )F x F x thì phương trình ( ) 0f x  có nghiệm trong đoạn  1 2;x x (hay nghiệm trong đoạn  ;a b ). Chứng minh. Giả sử phương trình ( ) 0f x  vô nghiệm trên  1 2;x x .Vì ( )f x liên tục nên phải có hoặc ( ) 0f x  với mọi  1 2;x x x hoặc ( ) 0f x  với mọi  1 2;x x x . Nếu ( ) 0f x  , với mọi  1 2;x x x thì hàm số ( )F x đồng biến trên đoạn  1 2;x x suy ra 1 2( ) ( ).F x F x Nếu ( ) 0f x  , với mọi  1 2;x x x thì hàm số ( )F x nghịch biến trên đoạn  1 2;x x suy ra 1 2( ) ( )F x F x . Như vậy trong cả 2 trường hợp ta đều có 1 2( ) ( )F x F x . Điều này trái với giả thiết 1 2( ) ( )F x F x . Vậy phương trình ( ) 0f x  có nghiệm trong  1 2;x x Từ phát biểu trên đưa ra định lí tương tự sau đây Định lí. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên  ;a b . Nếu tồn tại các số thực  1 2, ;x x a b mà 2 1 ( ) 0 x x f x dx  thì phương trình ( ) 0f x  có nghiệm trong  1 2;x x . Chứng minh. Giả sử ( ) 0f x  không có nghiệm  1 2;x x x . Gọi ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x . Vì ( )f x liên tục trên  1 2;x x nên ( ) 0f x  ,  1 2;x x x  hoặc ( ) 0f x   1 2;x x x  . Nếu ( ) 0f x   1 2;x x x  ''''( ) ( ) 0F x f x   ,  1 2;x x x  thì ( )f x tăng 14 trên  1 2;x x suy ra 1 2( ) ( )F x F x . Vậy 2 1 ( ) 0 x x f x dx  mâu thuẫn giả thiết 2 1 ( ) 0 x x f x dx  Nếu ( ) 0f x  ,  1 2;x x x  ''''( ) ( ) 0F x f x   ,  1 2;x x x  thì ( )F x giảm trên  1 2;x x suy ra 1 2( ) ( )F x F x . Vậy 2 1 ( ) 0 x x f x dx  mâu thuẫn với giả thiết 1 ( ) 0 x x f x dx  . Như vậy trong cả 2 trường hợp đã xét đều mâu thuẫn với giả thiết 2 1 ( ) 0 x x f x dx  . Chứng tỏ phương trình ( ) 0f x  có nghiệm  1 2;x x x . Phương pháp chung. Bài toán: Chứng minh phương trình ( ) 0f x  có nghiệm trong 1 2( ; )x x với ( )f x liên tục trên  1 2;x x và khả vi trong  1 2;x x . Phương pháp: Để áp dụng được định lí Rolle, một số định lí mở rộng của định lí Rolle vào việc giải bài toán, điều quan trọng nhất nhận ra hàm ( )F x (thực chất đó là nguyên hàm của hàm ( )f x ). Cụ thể được thực hiện ở bước sau: Bước 1: Xác định hàm số ( )F x khả vi, liên tục trên  1 2;x x và thỏa mãn i) ''''( ) ( )F x f x ( tức ( ) ( ) ( )F x f x d x  ) ii) 1 2( ) ( ) 0F x F x  Bước 2: Khi đó tồn tại  0 1 2;x x x sao cho 0 0''''( ) ( ) 0F x f x  Vậy phương trình ( ) 0f x  có nghiệm 0 1 2( ; )x x x . 2.1.2. Một số bài toán Sau đây là một số bài toán minh họa cho dạng bài tập này cụ thể. Với bài toán 1 và bài toán 5 ta đưa ra hai cách giải đại diện để thấy được tính hiệu quả của định lí Rolle. Bài toán 1. Chứng minh rằng với , ,a b c tùy ý, phương trình cos3 cos 2 cos sin 0a x b x c x x    luôn có nghiệm thuộc đoạn  0;2  . (Đề thi tuyển sinh khối A- ĐHQG- năm 1999) Cách 1. Sử dụng định lí Rolle Phân tích Đặt ( ) cos3 cos2 cos sinf x a x b x c x x    15 Ta có hàm số ( )f x liên tục  0;2  và khả vi trên  0;2  Để sử dụng định lí Rolle đầu tiên tìm nguyên hàm của ( )f x ta được ( ) ( cos 3 cos 2 cos sin )f x dx a x b x c x x dx     1 1 sin 3 sin 2 sin cos 3 2 a x b x c x x    Giải. Đặt ( ) cos3 cos 2 cos sinf x a x b x c x x    Xét hàm số 1 1 ( ) sin 3 sin 2 sin cos 3 2 F x a x b x c x x    là một nguyên hàm của ( )f x . Ta có ( )F x khả vi và liên tục trên đoạn  0;2  và (0) (2 ) 1F F    Theo định lí Rolle tồn tại 0 (0; 2 )x  sao cho 0 0''''( ) ( ) 0F x f x  Vậy cos3 cos 2 cos sin 0a x b x c x x    luôn có nghiệm thuộc đoạn 0;2  . Cách 2. Ta có 3 5 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 f f f f        3 9 15 21 2 6 10 14 (cos cos cos cos ) (cos cos cos cos ) 4 4 4 4 4 4 4 4 3 5 7 3 5 7 (cos cos cos cos ) (sin sin sin sin ) 4 4 4 4 4 4 4 4 3 5 7 ( cos cos cos cos ) (cos cos cos cos ) 4 4 4 4 2 2 2 2 (cos cos co 4 4 a b c a b c                                                       s cos ) (sin sin sin sin ) 0 4 4 4 4 4 4             Như vậy 4 giá trị của tổng bằng 0, hoặc cả 4 giá trị đều khác 0, tức phương trình ( ) 0f x  hoặc có ít nhất 1 nghiệm trong  0;2  hoặc tồn tại  , 1,3,5,7k m sao cho ( ) ( ) 0 4 4 f k f m    . Giả sử k m . Do ( )f x là hàm liên tục nên tồn tại ( ; ) 4 4 k m     sao cho ( ) 0f   , tức là phương trình ( ) 0f x  luôn có nghiệm nằm trong khoảng (0;2 )  Vậy trong 2 trường hợp phương trình ( ) 0f x  luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2 )  . 16 Nhận xét: Qua 2 cách giải trên ta thấy cách giải dùng định lí Rolle ngắn gọn hơn so với các phương pháp giải khác mà phải dùng đến tính toán. Bài toán 2. Cho các số thực , ,a b c và số nguyên dương n thỏa hệ thức 2( ) 3 5( 2) c a b n     Chứng minh rằng phương trình cos sin cos 0n n a x b x c x c    có nghiệm trong khoảng 0; 2       . Phân tích Cần chứng minh phương trình cos sin cos 0n n a x b x c x c    có nghiệm trong khoảng 0; 2       Đặt ( ) cos sin cosn n f x a x b x c x c    Hàm số ( )f x liên tục trên 0; 2       . Ta có (0) 2f a c  và ( ) 2 f b c    Ta chưa sử dụng được dấu của tích (0). ( ) 2 f f  . Ta sử dụng định lí Rolle hoặc một số mở rộng của định lí Rolle để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. Nhân 2 vế phương trình cho 2 sin cos 0x x  ta được: 2sin cos ( cos sin cos )n n x x a x b x c x c   Đặt ( ) 2sin cos ( cos sin cos )n n h x x x a x b x c x c    Lấy nguyên hàm của hàm số ( )h x ta có 2 2 3 22 2 2 ( ) ( ) cos sin cos sin ( ) 2 2 3 n na b c h x d x x x x c x F x n n           Vậy cần xét hàm số 2 2 3 22 2 2 ( ) cos sin cos sin 2 2 3 n na b c F x x x x c x n n          Giải. Xét hàm số 2 2 3 22 2 2 ( ) cos sin cos sin 2 2 3 n na b c F x x x x c x n n          Rõ ràng ( )F x liên tục và có khả vi trên và 1 1 2 ''''( ) 2 cos .sin 2 sin .cos 2 cos .sin 2 sin .cosn n F x a x x b x x c x x c x x      sin 2 ( cos sin cos )n n x a x b x c x c    Ta có 17 2 6 4 ( ) 2 2 5( 2) 2 2 6 4 (0) 2 3 5( 2) b a b F c n n a c a b F n n                 Suy ra ( ) (0) 2 F F   Theo định lí Rolle tồn tại 0 (0; ) 2 x   để cho 0''''( ) 0F x  Vì 0 (0; ) 2 x   nên 0sin 2 0x  suy ra 0 0 0cos sin cos 0n n n a x b x c x c    Vậy phương trình cos sin cos 0n n a x b x c x c    có nghiệm trong khoảng 0; 2       . Bài toán 3. Cho n là số thực dương và các số thực , ,a b c thỏa biểu thức 3 2 0 2 1 a b c n n n      Chứng minh rằng phương trình 2 3 2 0ax bx c   có nghiệm thuộc khoảng  0;1 . Phân tích Ta có phương trình 2 3 2 0ax bx c   liên tục và khả vi trên 0;1 . Chứng minh phương trình 2 3 2 0ax bx c   có nghiệm thuộc khoảng  0;1 ta sử dụng định lí Rolle. Điều kiện bài toán 3 2 0 2 1 a b c n n n      Nhân 2 vế của phương trình 1 0 n x   ta được 2 1 (3 2 ). 0 n ax bx c x     Đặt 2 1 ( ) (3 2 ). n f x ax bx c x     Lấy nguyên hàm ta được 2 1 1 1 ( ) (3 2 ). (3 2 )n n n n f x dx ax bx c x dx ax bx cx dx           2 13 2 ( ) 2 1 n n na b c x x x F x n n n         Giải. Xét hàm số 2 13 2 ( ) 2 1 n n na b c F x x x x n n n        18 Rõ ràng hàm số ( )F x liên tục trên  0;1 và khả vi trên  0;1 và theo giả thiết (0) (1)F F . Theo định lí Rolle, tồn tại 0 (0;1)x  sao cho 0''''( ) 0F x  hay 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 2 0 0 3 2 0 (3 2 ) 0 3 2 0 n n n n ax bx cx x ax bx c ax bx c               Suy ra 0 (0;1)x  là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình 2 3 2 0ax bx c   có nghiệm thuộc khoảng  0;1 . Bài toán 4. Chứng minh rằng với 2 0a b c   ( , ,a b c  ) phương trình 8 8 1 4 (8 1) 0a x b x cx x x     luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc  0;1 . Giải. Với 0x  ta có 8 8 1 4 (8 1) 0 8 2 0 2 8 1 2 a x b x cx x x a b cx x x           Đặt 8 ( ) 2 2 8 1 2 a b f x cx x x     với 0x  Khi đó 2 ( ) 8 1F x a x b x cx    là một nguyên hàm của ( )f x . Rõ ràng ( )F x liên tục và khả vi trên  0;1 và (1) (0) (3 ) 2 0F F a b c a a b c         hay (0) (1)F F Theo định lí Rolle tồn tại  0 0;1x  sao cho 0''''( ) 0F x  0 0 0 8 2 0 2 8 1 2 a b cx x x      Vậy với 2 0a b c   ( , ,a b c  ) phương trình 8 8 1 4 (8 1) 0a x b x cx x x     luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc  0;1 . Bài toán 5. Chứng minh rằng phương trình 4 3 2 460 105 6 4 2 0 3 x x x x     có nghiệm thuộc khoảng  0;2 Giải. 19 Cách 1. Sử dụng định lí Rolle Gọi 4 3 2 460 ( ) 105 6 4 2 3 f x x x x x     5 4 3 2 115 ( ) 21 2 2 2 2 3 g x x x x x x      6 5 4 3 27 23 1 2 ( ) 2 2 3 2 3 h x x x x x x x      Khi đó ''''( ) ( )g x f x và ''''( ) ( )h x g x tức ''''''''( ) ( )h x f x ta có (0) 0h  7 23 1 2 (1) 1 2 0 2 3 2 3 h        6 5 4 3 27 23 1 2 (2) .2 .2 .2 .2 2 2.2 0 2 3 2 3 h        Vậy (0) (1) (2) 0h h h   . Theo định lí Rolle tồn tại 1 2;x x thỏa 1 20 1 2x x    Sao cho 1 2''''( ) ''''( ) 0h x h x  suy ra 1 2( ) ( ) 0g x g x  Áp dụng định lí Rolle cho hàm ( )g x trên  1 2;x x , tồn tại 1 2( ; ) (0; 2)x x    sao cho ''''( ) 0g   hay ( ) 0f   . Vậy phương trình 4 3 2 460 105 6 4 2 0 3 x x x x     có nghiệm thuộc khoảng  0;2 . Cách 2. Đặt 4 3 2 460 ( ) 105 6 4 2 3 f x x x x x     Ta có (0) 2 0f   ; 109 (1) 0 3 f    ; 1462 (2) 0 3 f   Như vậy ta có ( )f x liên tục và (0). (1) 0f f  , (1). (2) 0f f  Theo định lí Bolzano-Cauchy tồn tại 1 (0;1)x  , 2 (1;2)x  sao cho 1 2( ) ( ) 0f x f x  Vậy ( ) 0f x  luôn có 2 nghiệm thuộc khoảng (0;2) Nhận xét: Cách 2 của bài toán trên cho ta kết quả mạnh hơn yêu cầu của bài cho. Vì vậy, không nên vận dụng một cách máy móc phương pháp ứng dụng định lí Rolle cho loạt bài toán, vì phương pháp này hay với bài này nhưng chưa phải hay với bài khác. Bài toán 6. Chứng minh phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt với mọi m  20 2017 3 2 4 ( 1) 15 7 0x x m x x      Giải. Xét hàm số 2017 3 2 ( ) 4 ( 1) 15 7f x x x m x x      Hàm số ( )f x liên tục và ta có 2016 2 2015 2014 ''''( ) 2017. 12 2 15 ''''''''( ) 2017.2016. 24 2 ''''''''''''( ) 2017.2016.2015. 24 0( ) f x x x mx f x x x m f x x x             Theo định lí Rolle suy ra phương trình ''''( ) 0f x  có không quá 2 nghiệm phân biệt nên phương trình ( ) 0f x  có không quá 3 nghiệm phân biệt. Mặc khác lim ( ) x f x    và lim ( ) x f x    (1) 3 0f    và ( 1) 17 0f    Suy ra  1 ; 1   x sao cho 1( ) 0f x   2 1;1  x sao cho 2( ) 0f x  ...

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA: TOÁN

- -

NGUYỄN THỊ KIỀU OANH

ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 4 năm 2017

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

- -

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Sinh viên thực hiện

NGUYỄN THỊ KIỀU OANH

Quảng Nam, tháng 4 năm 2017

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn ThS Trần Anh Dũng, đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô trong khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam đã tận tình truyền đạt kiến thức trong những năm em học tập Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học, không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu mà còn là hành trang quý báu để em bước vào đời vững chắc và tự tin

Mặc dù đã cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh, song do hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên em không thể tránh khỏi những sai sót trong khóa luận mà bản thân em chưa thấy được Em rất mong có những ý kiến đóng góp của quý thầy cô

Em kính chúc quý thầy, cô dồi dào sức khỏe và thành công trong sự nghiệp trồng người

Trân trọng cảm ơn!

Quảng Nam, tháng 4, năm 2017

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Kiều Oanh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1 

1. Lý do chọn đề tài 1 

2 Mục tiêu của đề tài 1 

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1 

4 Phương pháp nghiên cứu 1 

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐI ̣NH LÍ ROLLE 13 

2.1 Ứng dụng định lí Rolle chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình 13 

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Rolle (định lí Cauchy, định lí Lagrange, định lí Rolle trên một khoảng không bị chặn) là các định lí về giá trị trung bình Các định lí này có vai trò đặc biệt quan trọng trong giải tích toán học Nhờ có định lí này mà nhiều kết quả toán học được chứng minh

Trong môn toán trung học phổ thông, đối với học sinh các định lí này chỉ mang tính lý thuyết mà vận dụng chưa được hệ thống một cách đầy đủ và chưa biết thực hành giải toán Bên cạnh đó công tác bồi dưỡng học sinh khá giỏi là rất cần thiết và được tiến hành thường xuyên liên tục trong suốt quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng Với đối tượng học sinh khá giỏi này, người giáo viên ngoài việc dạy cho học sinh cách giải một bài toán, còn phải hướng dẫn cho học sinh cách tìm tòi định hướng phương pháp giải, sáng tạo bài mới và đi tìm lời giải đẹp cho các bài toán Từ đó tạo cho học sinh sự hứng thú Định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Rolle là một công cụ mạnh mẽ để giải các bài toán về: Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giải phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức

Thấy được vai trò định lí Rolle và một số mở rộng của định lí, nhằm giúp tôi cũng như học sinh, giáo viên tích lũy kiến thức cần thiết trong học tập, và những ai quan tâm định lí Rolle hiểu sâu sắc hơn, kĩ năng áp dụng của định lí vào việc giải các

dạng toán trung học phổ thông Trong quá trình học tập, tôi chọn đề tài : ‘Định lí Rolle và ứng dụng giải một số bài toán trung học phổ thông’ để làm bài khóa luận tốt

nghiệp của mình

2 Mục tiêu của đề tài

Giúp tôi nắm vững kiến thức định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Rolle Đề tài đưa ra các ví dụ và bài tập về định lí Rolle và một số mở rộng của định lí như: Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giải phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Về đối tượng nghiên cứu : Định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Nghiên

cứu ứng dụng của định lí Rolle vào các dạng toán và ví dụ cụ thể

Về phạm vi nghiên cứu : Nghiên cứu Rolle và ứng dụng giải một số bài toán

trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thành bài khóa luận này tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp đọc tài liệu tham khảo kết hợp phân tích – tổng hợp tài liệu - Hệ thống hóa, giải quyết vấn đề và sưu tầm giải quyết bài toán

CHƯƠNG 1 ĐỊNH LÍ ROLLE VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 1.1 Định lý Rolle

Vì f x( )liên tục trên đoạn  a b; nên nó nhận giá trị lớn nhất và bé nhất tại

những điểm nào đó của đoạn  a b;

Giả sử M max ( ),f x mmin ( )f x Khi đó

( )

Nếu m M thì M  f x( )M  x  a b; và f là hằng số và do đó f ' 0 trên

 a b; và c là điểm bất kì trên  a b;

Giả sử m M Khi đó vì điều kiện f a( ) f b( ) suy ra hai điểm mà tại đó hàm

đạt giá trị max hoặc min không thể là các đầu mút của  a b; Thật vậy, nếu chúng là các đầu mút của  a b; thì

[ , ][ , ]

phương tại c Vì hàm fcó đạo hàm tại c nên theo định lí Fermatf c'( ) 0 Vậy định lí đã được chứng minh

Ta có f(0) f(1) nhưng hàm số không liên tục trên  0;1 (vì x  là điểm gián 0đoa ̣n) nên không áp dụng định lí Rolle được

ii) Giả thiết hàm f x( ) có đạo hàm trong khoảng  a b; cũng là một giả thiết không thể bỏ qua được Ví dụ xét hàm số f x( ) 1  3 x x2,   1;1

Ta có hàm số f x( ) liên tục trên  1;1 và f( 1)  f(1) Nhưng '( ) 32

f x

 mà x  0 ( 1;1) không tồn tại Suy ra điều này mâu thuẫn với định lí Rolle

iii) Định lí Rolle tương đương với điều kiện khẳng định: Nếu hàm liên tục trên

 a b; nào đó và triệt tiêu tại hai đầu mút a và b , khả vi tại mọi điểm của  a b; thì tồn tại c( ; )a b sao cho f c'( ) 0

Nói cách khác: Giữa hai không điểm của hàm khả vi bao giờ cũng có không điểm của đạo hàm của nó Để chứng minh điều này ta đặt F x( ) f x( ) f a( )

iv) Về mặt hình học: Nếu các điều kiện của định lí Rolle thỏa mãn thì trên đồ thị của hàm số y f x x( );  a b; tồn tại điểm ( ; ( ));c f c c a b; mà tiếp tuyến tại đó song song với trục Ox

Ta xét ví dụ sau: Vı́ du ̣ 1.1

Xét hàm

 

sin khi 0( )

0 khi 0

f xxx

xác định trên  0;1 Ta chứng minh rằng định lí Rolle áp dụng được cho hàm f x( )

Thật vậy vì

lim sin 0

xxx

n nghiệm phân biệt trên  a b; ( phương trình fk( ) 0x  có ít nhất n  nghiệm 1 k

phân biệt trên  a b; )

Vâ ̣y phương trı̀nh f x ( ) 0 có không quá n  nghiê ̣m phân biê ̣t trên 1 ( ; )a b

Hệ quả 3: Nếu hàm số f x( ) liên tục trên  a b; và có đạo trên  a b; và

'( ) 0

f x  vô nghiệm trên  a b; thì f x( ) 0 có nhiều nhất một nghiệm trên  a b;

Hệ quả 4: Nếu a , b là hai không điểm kề nhau của hàm f x( ) (tức là

( ) ( ) 0; ( ) 0; ( ; )

f a  f b  f x   xa b ) thì trong  a b; hàm f x'( ) có một số lẻ các không điểm

Hệ quả 5: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn đồng thời các tính chất sau đây:

i) f x( ) xác định và có đạo hàm cấp n n( 1) liên tục trên đoạn  a b; ii) f x( ) có đạo hàm cấp n trong khoảng 1  a b;

iii) ( )f a  f a'( )   f an( ) 0, ( ) 0 f b 

Khi đó tồn tại dãy điểm phân biệt b b1, , ,2 bn1 thuộc khoảng  a b; sao cho:

( ) 0; 1,2, , 1

1( ) 0

f c

b a

 ( x  a b; ) Ta thấy rằng F thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle

+ F liên tục trên  a b;

+ F có đạo hàm trên  a b;

( ) ( )'( ) '( ) f bf a

Theo đi ̣nh lı́ Rolle tồn tại ít nhất một điểm c a b; sao cho F c'( ) 0

Suy ra ( ) ( )'( ) '( ) f bf a 0

ii) Định lí Lagrange cũng là định lí về số gia hữu hạn Bởi vìc( ; )a b

nên ta đặt b a h  thì c a h với  là một số thuộc  0;1

Khi đó định lí Lagrange có thể viết dưới dạng f a h(  ) f a( ) f a'( h h) Gọi công thức này là số gia hữu hạn Sở dĩ có tên này vì đây là công thức chính xác và đúng với mọi số gia hữu hạn (có thể lớn) khác với công thức xấp xỉ bằng vi phân f a(   x) f a( ) f a'( ).x

Chỉ có giá trị số gia x khá bé

iii) Định lí Lagrange như là một hệ quả của định lí Rolle Thế nhưng chính định lí Rolle (về dạng biểu thức) lại là một trường hợp riêng của định lí Lagrange (ứng với giả thiết f a( ) f b( ))

iv) Về mặt hình học, định lí Lagrange chứng tỏ rằng trên đồ thị của hàm số f x( ) (thỏa mãn các điều kiện của định lí Lagrange) tồn tại điểm tại tiếp tuyến với đồ thị song song với dây cung nối điểm A( ; ( ))a f a với điểm B( ; ( ))b f b

Thật vậy; đại lượng f b( ) f a( )

Vı́ du ̣ 1.2 Ta xét hàm f x( )arcsin( )x trên  1;1

Ta có hàm f x( ) xác định và liên tục  a b; Tiếp theo ta có

 

Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng

sinx1sinx2  x1 x2 (1) Và arctgx arctgx1 2  x1 x2 (2)

Để chứng minh (1) ta áp dụng định lí Lagrange cho hàm f x( ) sin x trên đoạn

x x1; 2 Ta có sinx1sinx2  f '( )( x2x x1), 1   x2

Mà f '( ) cos   và cos   1, x ( ; )x x1 2 Vậy từ hệ thức trên ta có sinx1sinx2  x x1 2

Tương tự với (2) ta áp dụng định lí Lagrange cho hàm f x( )arctg x( )trên đoạn

Đẳng thức này khẳng định rằng giá trị của hàm f x( ) tại điểm bất kì x( ; )a b

luôn bằng giá trị của hàm tại một điểm cố định Do đó f const trên  a b;

Hệ quả 2: Nếu hai hàm f x( )và g x( )có đạo hàm đồng nhất bằng nhau trên một khoảng thì chúng chỉ sai khác nhau bởi hằng số cộng

Chứng minh

Thật vậy ta có f x( )g x( ) '  f x'( )g x'( ) 0

Áp dụng hệ quả 1 ta có f x( )g x( )c c const(  ) hay f x( )g x( )c(đpcm)

Hệ quả 3: Giả sử f x( ) liên tục trên  a b; , khả vi trong ( ; )a b i) Nếu f x'( ) 0,  x ( ; )a b thì f x( ) tăng (chặt) trên ( ; )a b

Nếu f x'( ) 0,  x ( ; )a b thì f x( ) không giảm trên ( ; )a b ii) Nếu f x'( ) 0,  x ( ; )a b thì f x( )giảm (chặt) trên ( ; )a b

Nếu f x'( ) 0,  x ( ; )a b thì f x( ) không tăng trên ( ; )a b

Chứng minh

Giả sử x1 x2 là hai điểm bất kì thuộc ( ; )a b theo định lí Lagrange  c ( ; )x x1 2

để f x( )2  f x( )1  f c x'( )( 2x1) vì x2  nên x1 0 f x( )2  f x( )1 cùng dấu với f c'( )

và bằng 0 Nếu f c'( ) 0 từ đây ta suy ra được kết luận của hệ quả

Hệ quả 4: Giả sử f là hàm khả vi trên ( ; )a b Khi đó nếu f tăng (giảm) trên

f bf af cg bg ag c

Chứng minh

Ta có hàm số g thỏa mãn các giả thiết của định lí Lagrange Do đó tồn tại một

điểm c a b; sao cho g b( )g a( )g c b a'( ).(  ) Vì g c'( ) 0 nên từ đó suy ra

 (x a b; ) Hàm số F thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle:

g bg a

+ F a( )F b( ) 0

Do đó tồn tại ít nhất một điểm c a b; sao cho F c'( ) 0

Suy ra '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) 0( ) ( )

f bf aF cf cg c

g bg a

Hay ( ) ( ) '( )

( ) ( ) '( )

f bf ag cg bg af c

a và liên tục trái tại b (f g; đã liên tục trên  a b; do giả thiết về tính khả vi Giả thiết

này cũng như giả thiết f g; khả vi trên khoảng  a b; bị vi phạm thì kết luận của định lí cauchy không còn đúng (với các định lí Rolle, Lagrange cũng vậy)

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.3. Cho hàm số f x( ) x22x3 và g x( ) x37x220x5 trên 1;4 Ta chứng minh f g; thỏa mãn định lí Cauchy và tìm điểm c

Thật vậy các hàm f g; thỏa mãn điều kiện liên tục, khả vi tại mọi điểm của  1;4 Ta lại có g x'( ) 3 x214x20 0;   x do đó g x'( ) 0;  x Như vậy f

và g thỏa mãn định lí Cauchy Ta có

(4) (1) '( )(4) g(1) '( )

 

i) f x( )và g x( ) liên tục trên  a b;

ii) f x( )và g x( )có đạo hàm hữu hạn trong  a b; iii) g a( )g b( )

f bf af cg bg ag

Nếu f x( ) f a( ) với mọi x a thì lấy c là một số bất kì lớn hơn a

Giả sử tồn tại b a sao chof b( ) f a( ) (Chẳng hạn f b( ) f a( )).Gọi γ là một số thực bất kì thuộc ( ( ); ( ))f a f b Theo định lí Bolzano-cauchy tồn tại ( ; )a b sao cho f( )  Vì lim ( ) ( )

xf xf a 

   nên tồn tại d b sao cho f d( )

Do f x( ) liên tục trên a; nên theo định lí Bolzano-cauchy tồn tại ( ; )b d

sao cho f( )   f( ) Do đó theo định lí rolle, tồn tại c( ; )  sao cho f c'( ) 0

 

 ; x a b;

Chứng tỏ rằng tồn tại c (0; ),(0;1) sao cho f c'( ) '( )   b a ( * )

Thật vậy, xét f0: 0;1 R Dễ thấy rằng f0 liên tục trên  0;1 và khả vi trên

Khi đó g liên tục trên  0;1 và khả vi trên  0;1

Theo định lí Lagrange tồn tại  a b; sao cho (1) (0)

'( ) '( ( )) '( )1 0

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐI ̣NH LÍ ROLLE 2.1 Ứng dụng định lí Rolle chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

trên x x1; 2 suy ra F x( )1 F x( )2 Vậy 2

f x liên tục trên x x1; 2và khả vi trong x x1; 2

Phương pháp: Để áp dụng được định lí Rolle, một số định lí mở rộng của định lí Rolle vào việc giải bài toán, điều quan trọng nhất nhận ra hàm F x( ) (thực chất đó là nguyên hàm của hàm f x( )) Cụ thể được thực hiện ở bước sau:

Bước 1: Xác định hàm số F x( ) khả vi, liên tục trên x x1; 2 và thỏa mãn i) F x'( ) f x( ) ( tức F x( ) f x d x( ) ( ) )

Bài toán 1. Chứng minh rằng với a b c, , tùy ý, phương trình

cos3 cos 2 cos sin 0

ax b x c x x luôn có nghiệm thuộc đoạn 0;2  (Đề thi tuyển sinh khối A- ĐHQG- năm 1999)

Cách 1. Sử dụng định lí Rolle

Phân tích

Đặt f x( )acos3x b cos2x c cosxsinx

Ta có hàm số f x( ) liên tục 0;2  và khả vi trên 0;2

Để sử dụng định lí Rolle đầu tiên tìm nguyên hàm của f x( ) ta được

Ta có F x( ) khả vi và liên tục trên đoạn 0;2  và F(0)F(2 )  1 Theo định lí Rolle tồn tại x0(0;2 ) sao cho F x'( )0  f x( ) 00 

Vậy cos3ax b cos 2x c cosxsinx luôn có nghiệm thuộc đoạn0 0;2 

f   , tức là phương trình f x( ) 0 luôn có nghiệm nằm trong khoảng (0;2 )

Vậy trong 2 trường hợp phương trình f x( ) 0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2 )

Nhận xét: Qua 2 cách giải trên ta thấy cách giải dùng định lí Rolle ngắn gọn hơn so với các phương pháp giải khác mà phải dùng đến tính toán

Bài toán 2 Cho các số thực a b c, , và số nguyên dương n thỏa hệ thức

2( )3 5( 2)

ca bn

 

Nhân 2 vế phương trình cho 2 sin cosxx0 ta được:

2sin cos ( cosxx anx b sinnx c cosx c )Đặt ( ) 2sin cos ( cosh x  xx anx b sinnx c cosx c )

Lấy nguyên hàm của hàm số h x( ) ta có

Ta có

2 6 4( )

x  

nên sin 2x0  suy ra 0 acosnx0bsinnx0ccosnx0 c 0 Vậy phương trình acosnx b sinnx c cosx c 0 có nghiệm trong khoảng 0;

Chứng minh rằng phương trình 3ax22bx c 0 có nghiệm thuộc khoảng

 0;1

Phân tích

Ta có phương trình 3ax22bx c 0 liên tục và khả vi trên 0;1

Chứng minh phương trình 3ax22bx c 0 có nghiệm thuộc khoảng  0;1 ta sử dụng định lí Rolle

Điều kiện bài toán 3 2

abcn n  n

Rõ ràng hàm số F x( ) liên tục trên  0;1 và khả vi trên  0;1 và theo giả thiết

Suy ra x0(0;1) là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình 3ax22bx c 0 có nghiệm thuộc khoảng  0;1

Bài toán 4. Chứng minh rằng với 2a b c   (0 a b c, ,  ) phương trình 8a x b 8x 1 4cx x x(8   1) 0

luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc  0;1

Giải.

Áp dụng định lí Rolle cho hàm g x( ) trên x x1; 2, tồn tại ( ; )x x1 2 (0;2)sao cho

f    ; (2) 1462 03

f   Như vậy ta có f x( ) liên tục và f(0) (1) 0f  , f(1) (2) 0f  Theo định lí Bolzano-Cauchy tồn tại x1(0;1), x2(1;2) sao cho

( ) ( ) 0

f x  f x  Vậy f x( ) 0 luôn có 2 nghiệm thuộc khoảng (0;2)

Nhận xét: Cách 2 của bài toán trên cho ta kết quả mạnh hơn yêu cầu của bài cho Vì vậy, không nên vận dụng một cách máy móc phương pháp ứng dụng định lí Rolle cho loạt bài toán, vì phương pháp này hay với bài này nhưng chưa phải hay với bài khác

Bài toán 6. Chứng minh phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt với mọi m

2017 4 3 ( 2 1) 15 7 0

x  x m x   x 

Giải

Xét hàm số f x( )x20174x3m x( 2 1) 15x 7Hàm số f x( ) liên tục và ta có

'( ) 2017 12 2 15''( ) 2017.2016 24 2

Vậy phương trình x20174x3m x( 2 1) 15x  có đúng 3 nghiệm phân biệt 7 0

Bài toán 7 Chứng minh rằng nếu a thỏa mãn đẳng thức 0

c ann

F xxxc xnn

Bài toán 8. Chứng minh rằng phương trình

( ) (4 3)log

ln 3

xxf xxx

ln 3

xF x  x  xx Ta có F x( ) liên tục và có đạo hàm trên 1

( ;1)2 và

( ) (1) 02

F F  Theo định lí Rolle tồn tại 0 1

( ;1)2

x  sao cho F x'( )0  f x( ) 00  Vậy phương trình

 Chứng minh rằng ( ) lnn 2ln2 1ln 0

2(x  x 2)cos 2x (1 2 )sin 2xx có ít nhất 3 nghiệm trong 1;2

Gợi ý. Xét hàm sốF x( ) ( x2 x 2)sin 2x Áp dụng định lí Rolle trong các khoảng  1;0 , 0; , ;2

1cos 2cos 2 ncos 0

Gợi ý. Áp dụng định lí Rolle cho hàm số ( ) (3F x  x 2x 5 ) tanxx

Bài tập 6. Cho a b c   chứng minh rằng phương trình 0sin 9 sin 3 25 sin 5 0

ax bx cx có ít nhất 4 nghiệm  0;

Gợi ý. Áp dụng định lí Rolle cho hàm số

( ) cos 3 cos3 5 cos5

Bài tập 7. Cho a b c   chứng minh phương trình 0

ax  b x  cx x x luôn có ít nhất một nghiệm thuộc  0;1

Gợi ý. Áp dụng định lí Rolle với hàm số F x( )a x b x 3  1 cx2

Bài tập 8. Cho n nguyên dương ;a bkk k1,2, ,n) Chứng minh rằng

+ Đối với định lí Rolle

- Xét hàm số f x( ) tìm số nghiệm của phương trình f x'( ) 0

Giả sử phương trình f x'( ) 0 có n nghiệm Khi đó theo định lí Rolle phương trình f x( ) 0 có không quá n1 nghiệm

- Chỉ ra nghiệm của phương trình + Đối với định lí Lagrange