Bộ đề thi môn toán tuyển sinh vào các lớp 10 trên địa bàn TP Hồ Chí Minh

TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 ĐỀ TOÁN THI VÀO LỚP 10 Mấy năm gần nhu cầu thi vào lớp 10 chuyên học sinh ngày nhiều Điều học sinh quan tâm cách thức đề yêu cầu kiến thức trường Để đáp ứng nhu cầu chúng tơi xin giới thiệu tập tài liệu tham khảo: Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh Đây đề thi mơn tốn tuyển sinh vào lớp 10 trường phổ thông trung học chuyên phạm vi thành phố Trong chủ yếu đề thi vào trường chuyên Lê Hồng Phong, Trần Đại Nghĩa, trường Phổ Thông Năng Khiếu – ĐHQG TPHCM Lớp chuyên toán trường Trung Học Thực Hành – ĐHSP TPHCM Kể từ năm học 2006 – 2007 đề thi vào 10 lớp bình thường lớp chuyên trường LHP TĐN đề thi chung thành phố ra, trường THTH PTNK tuyển riêng Bộ đề gồm đề thi năm học 2001 – 2002 đến Hi vọng tài liệu tham khảo hữu ích cho em học sinh chuẩn bị thi vào lớp 10 chuyên thầy giáo quan tâm đến kì thi GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Thi vào trường Lê Hồng Phong Năm học 2001 – 2002 Đề thi chung Bài 1: Cho phương trình a) Định m để phương trình có nghiệm b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau: với a) b) c) với a, b, c, d, e Bài 3: Giải phương trình sau: a) b) Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O có trực tâm H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC a) Xác định vị trí điểm M cho tứ giác BHCM hình bình hành b) Với M lấy thuộ cung nhỏ BC , gọi N, E điểm đối xứng M qua AB, AC Chứng minh N, H, E thẳng hàng c) Xác định vị trí M thuộc cung nhỏ BC cho NE có độ dài lớn Bài 5: Cho đường trịn cố định tâm O, bán kính Tam giác ABC thay đổi ln ngoại tiếp đường trịn (O) Một đường thẳng qua tâm O cắt cạnh AB, AC M, N Xác định giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Năm học 2002 – 2003 Đề thi chung Bài 1: Rút gọn biểu: b) a) Bài 2: Cho phương trình: a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 3: a) Chứng minh: b) Chứng minh: c) Cho x, y > x + y = Chứng minh rằng: Bài 4: Giải phương trình sau: a) b) Bài 5: Cho đường trịn (O; R) đường thẳng (d) khơng qua O cắt đường tròn (O) hai điểm A, B Từ điểm di động M đường thẳng (d) (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O) (N, P hai tiếp điểm) a) Chứng minh b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định M lưu động đường thẳng (d) c) Xác định vị trí điểm M đường thẳng (d) cho tứ giác MNOP hình vng d) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác MNP lưu động đường cố định M lưu động (d) GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Đề thi vào lớp chun tốn Bài 1: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm tính nghiệm theo m: Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x10 + x5 + Bài 3: Giải phương trình hệ phương trình: Bài 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có AB < AC Lấy điểm M thuộc cuung BC không chứa điểm A đường trịnh (O) Vẽ MH vng góc BC, MK vng góc CA, MI vng góc AB( H thuộc BC, K thuộc AC, I thuộc AB) Chứng minh Bài 6: Cho tam giác ABC, giả sử đường phân giác phân giác ngồi góc A tam giác ABC cắt đường thẳng BC D, E có AD = AE Chứng minh , với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Năm học 2003 – 2004 Đề thi chung Bài 1: Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để có Bài 2: a) Cho Chứng minh: b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 3: Giải hệ phương trình sau: a) Bài 4: Chứng minh nghiệm: Bài 5: b) hai phương trình sau có Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi K trung điểm cung AB , M điểm lưu động cung nhỏ AK ( M khác A K) Lấy điểm N đoạn BM cho: BN = AM a) Chứng minh b) Chứng minh tam giác MNK vuông cân c) Hai đường thẳng AM Ok cắt D Chứng minh MK đường phân giác góc d) Chứng minh đường thẳng vng góc với BM N ln qua điểm cố định Bài 6: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c có R bán kính đường trịn Hãy định dạng tam giác ABC ngoại tiếp thoả mãn hệ thức GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1: a) Rút gọn biểu thức: b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 2: Giải phương trình hệ phương trình sau a) b) Bài 3: Phân tích thành nhân tử: Áp dụng giải phương trình Bài 4: Cho hai phương trình: Chứng minh phương trình hai phương trình vơ nghiệm phương trình sau ln có nghiệm: Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM Vẽ đường trịn tâm H bán kính AH, cắt AB D, cắt AC E ( D E khác điểm A) a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng b) Chứng minh MA vng góc với DE c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E thuộc đường tròn tâm O Tứ giác AMOH hình gì? d) Cho góc AH = a Tính diện tích tam giác AEC theo a Bài 6: Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC BD cạnh đáy lớn AB Tính góc hình thang Gọi M trung điểm CD Cho biết GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Năm học 2004 – 2005 Đề thi chung I Phần tự chọn: Học sinh chọn hai sau đây: Bài 1a: Cho phương trình: x − ( m + 1) x + 2m − 18 = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để có x1 − x2 ≤ Bài 1b Rút gọn biểu thức sau: x2 − x x2 + x − + x +1 a) A = x + x +1 x − x +1 ⎛ 2+ x x − ⎞⎛ x x + x − x − ⎞ − b) B = ⎜ ⎟⎜ ⎟ x ⎝ x + x + x − ⎠⎝ ⎠ I Phần bắt buộc: Bài 2: Giải phương trình: a) 3x + x − = − x b) ( 2x2 − + 2x ) = x+9 Bài 3: a) Cho x ≥ 1, y ≥ Chứng minh rằng: x y − + y x − ≤ xy b) Cho x > 0, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ⎞⎛ ⎞ ⎛ A = ⎜1 − ⎟⎜ − ⎟ y ⎠ ⎝ x ⎠⎝ Bài 4: ⎧ y − x2 − x − ≥ ⎪ Tìm số nguyên x, y thoả hệ: ⎨ ⎪ y − + x +1 −1 ≤ ⎩ Bài 5: Cho đường tròn tâm O Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến MC, MD với (O)( C, D tiếp điểm) Vẽ tuyến MAB không qua tâm O, A nằm M B Tia phân giác góc ACB cắt AB E a) Chứng minh MC = ME b) Chứng minh DE phân giác góc ADB c) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh điểm O, I, C, M, D nằm đường tròn d) Chứng minh IM phân giác CID Bài 6: GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy BC AD(BC > AD) Trên tia đối của tia CA lấy điểm P tuỳ ý Đường thẳng qua P trung điểm I BC cắt AB M, đường thẳng qua P trung điểm J AD cắt CD N Chứng minh MN song song AD Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1: ⎧ ⎪ x − y − x + y = −1 ⎪ Giải hệ phương trình: ⎨ ⎪ − =0 ⎪ 2x − y x + y ⎩ Bài 2: Cho x > thoả x + 1 = Tính x + x x Bài 3: Giải phương trình 3x = 3x + − x + 10 Bài 4: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y − 12 xy + 24 x − 48 y + 82 ⎧x + y + z = b) Tìm số nguyên x, y thoả hệ ⎨ 3 ⎩x + y + z = Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O( AB < BC) Vẽ đường tròn tâm I qua điểm A C cắt đoạn AB, BC M, N Vẽ đường tròn tâm J qua điểm B, N, M cắt đường tròn (O) điểm H Chứng minh a) OB vng góc với MN b) IOBJ hình bình hành c) BH vng góc với IH GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Thi vào trường Trần Đại Nghĩa Năm học: 2001 – 2002 Bài 1: Cho phương trình : mx − ( m + ) x + m = a) Định m để phương trình có nghiệm b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm Bài 2: Giải phương trình: a) x − x + = x − b) − x + = − x Bài 3: Giải hệ phương trình: ⎧ x3 = y − x ⎪ a) ⎨ ⎪ y = 2x − y ⎩ ( ) ⎧ x − y = y − x (1 + xy ) ⎪ b) ⎨ 3 ⎪ x + y = 54 ⎩ Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức: x + y + ≥ xy + x + y Bài 5: Cho đường tròn (O; R) điểm P thuộc (O) Từ P vẽ hai tia Px, Py cắt đường tròn (O) A B Cho góc xPy góc nhọn a) Vẽ hình bình hành APBM Gọi K trực tâm tam giác ABM Chừng minh K thuộc (O) b) Gọi H trực tâm tam giác APC I trung điểm đoạn AB Chứng minh H, I, K thẳng hàng c) Khi hai tia Px, Py quay quanh P cố định cho PX, Py vẩn cắt (O) góc xPy khơng đổi H lưu động đường cố định nào? GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Năm học 2002 – 2003 Đề thi chung Bài 1: Cho phương trình : x + mx − 28 = Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả x1 + x2 = Bài 2: Cho phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả x1 = x2 Chứng minh b3 + a 2c + ac = 3abc Bài 3: Giải phương trình hệ phương trình: a) x − + x + = ⎧( x + y )2 − ( x + y ) = 12 ⎪ b) ⎨ ⎪( x − y ) − ( x − y ) = ⎩ Bài 4: Thu gọn biểu thức sau: A = − 2 + 12 + 18 − Bài 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác a) Chứng minh ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc b) Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: c2 x2 + ( a − b2 − c2 ) x + b2 = Bài 6: Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi (CD không trùng AB) Vẽ tiếp tuyến (d) đường tròn (O) B Các đường thẳng AC, AD cắt (d) P Q a) Chứng minh tứ giác CPQD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh trung tuyến AI tam giác APQ vuông góc với CD c) Gọi E tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CDP Chứng minh E lưu động đường trịn cố định đường kính CD thay đổi GV: Nguyễn Tăng Vũ 10 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh b) Tương tự ta có IA.IB = OI − R Đề thi vào lớp 10 Nhận xét: 1) Qua ta thấy I cố định IA IB ln khơng đổi IA.IB = R − IO Tính chất chứng minh đơn giản có nhiều ứng dụng 2) Ta thấy I, A cố định R − OI khơng đổi suy B cố định Kết cho ta ý tưởng để chứng minh toán họ đường tròn qua điểm cố định 3) Nếu I nằm ngồi đường trịn IP tiếp tuyến (O) Khi ta có IA.IB = IP2 Bài tốn 6: Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo AC BD cắt I, hai cạnh bên AD BC kéo dài cắt O Chứng minh rằng: a) ABCD tứ giác nội tiếp IA.ID = IB.IC b) ABCD tứ giác nội tiếp OA.OC = OB.OD Hướng dẫn giải IX Chiều ⇒) chứng minh toán 5, ta cần chứng minh chiều ngược lại C X Xét tam giác B I A D XI + AIB = CID (đối đỉnh) IA IB + = ( IA.IC = IB.ID ) ID IC Suy ⇒ ΔAIB ~ ΔCID ( c.g c ) ⇒ BAI = DCI , suy tứ giác ABCD nội tiếp(hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) XII b) Chứng minh tương tự câu a XIII Nhận xét: 1) Chiều suy thực chất kết 2) Bài cho ta ý tưởng để chứng minh tứ giác nội tiếp, thực cách để chứng minh tứ giác nội tiếp trình bày khơng sử dụng Nếu ta nghĩ tới việc chứng minh góc khó khăn hạn chế ý tưởng, ta nghĩ tới việc chứng minh hệ thức độ dài có nhiều hướng để chứng minh Sử dụng toán chứng minh toán sau: GV: Nguyễn Tăng Vũ 65 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Bài 18: Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB CD a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b) Đường tròn (H; HA) cắt AB AC P, Q Chứng minh PBCQ nội tiếp c) Chứng minh OA ⊥ PQ với O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 19: Cho đường trịn tâm O có hai đường kính AB CD vng góc M điểm thuộc bán kính OA Kẻ dây DE qua M, tiếp tuyến E cắt AB F, FD cắt (O) N a) Chứng minh tứ giác FEMN nội tiếp b) Chứng minh tứ giác FCON nội tiếp Bài 20: (NK 2003 – 2004 CT) c) Cho đường tròn (C ) tâm O điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (C ) M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O d) Cho đường tròn (C ) tâm O đường thẳng (d) nằm ngồi đường trịn I điểm di động (d) Đường trịn đường kính IO cắt (C ) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 21: (NK 2006 – 2007 CT) Cho đường tròn (C )tâm O, AB dây cung ( C) I trung điểm AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1) tâm O bán kính OI P Q Chứng minh tích AP.AQ khơng đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ qua điểm cố định khác B Bài 22: ( HSG Quận Tân Bình 2005 – 2006 ) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến ABC (B, C thuộc (O) ) Chứng minh cát tuyến thay đổi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC thuộc đường thẳng cố định Bài 23: Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Một cát tuyến qua A cắt (O) B C Vẽ tiếp tuyến AP, H hình chiếu P OA Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp Bài toán 7: Cho đường trịn (O) điểm S nằm ngồi đường tròn Dây Một đường thẳng d thay đổi qua S cắt đường tròn A B(A nằm S B) Tiếp tuyển (O) A B cắt D Vẽ DE ⊥ OS ( E ∈ OS ) Vẽ tiếp tuyến SP, SQ với (O) (P, Q hai tiếp điểm) a) Chứng minh tích OE.OS khơng đổi Từ suy E điểm cố định d thay đổi D thuộc đường thẳng cố định d thay đổi 66 www.truonglangtoi.wordpress.com GV: Nguyễn Tăng Vũ TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 b) Chứng minh tứ giác ABEO nội tiếp e) Chứng minh D, P, Q thẳng hàng f) Tìm vị trí d để tứ giác EASQ nội tiếp Khi chứng minh SPA = ASO Hướng dẫn giải: a) Gọi I giao điểm OD AB Khi D ta có OD vng góc AB I I trung điểm AB Xét tam giác OED tam giác OIS có: + SOD chung P B + OED = OIS ( = 90o ) Suy OE OD OD.OI ΔOED ~ ΔOIS ⇒ = ⇒ OE = OI OS OS A S E O Trong tam giác vng OBD có BI đường cao nên: OI OD = OB = R R2 Do OE = khơng đổi Suy E OS điểm cố định Từ suy D thuộc đường Q thẳng qua E vng góc với OS b) Ta chứng minh SA.SB = OS − R Mà R = OE.OS ⇒ OS − R = OS − OE.OS = OS SE ⇒ SA.SB = SE.SO Từ ta có tứ giác AEOB nội tiếp c) Gọi E’ giao điểm PQ OS Trong tam giác vng OPS có PE’ đường cao nên ta có: OE ′.OS = OP = R Suy OE ′.OS = OE.OS ⇒ E ′ ≡ E Khi QP DE vng góc với OS E nên D, P, Q thẳng hàng d) Ta có tứ giác SAEQ nội tiếp SAQ = SEQ = 90o ⇔ BQ đường kính (O) Khi tứ giác SAEB nội tiếp ta có: ASE = AQE mà AQE = SPA nên suy ASE = SPA XIV Nhận xét: a Bài tốn tốn khó, cho ta nhiều kết thú vị Khi S cố định ta có P, Q cố định Khi d thay đổi D ln thuộc đường thẳng PQ Vậy liệu ngược lại, d cố định S thay đổi có điều khơng? Tại sao? b Tứ giác ABEO ln tứ giác nội tiếp Đây tính chất hay nhờ tính chất chứng minh nhiều tốn khác GV: Nguyễn Tăng Vũ 67 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 c Câu d trường hợp đặc biệt, QB đường kính ta có EASQ nội tiếp SPA = ASO ta chứng minh OS tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADS Bài tốn 8: Cho đường trịn (O; R) DC dây cung cố định (O) S điểm thay đổi Trên tia đối tia DC Qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) Gọi E giao điểm OS AB a) Chứng minh góc CED có số đo không đổi b) AB qua điểm cố định F c) Gọi M giao điểm AB CD Chứng minh OM vng góc với SF Hướng dẫn giải a) Ta có SD.SC = SA2 = SE.SO ⇒ tứ giác DEOC nội tiếp, suy DEC = DOC khơng đổi b) Đường thằng qua O vng góc với CD cắt AB F CD H Khi ta có R2 OH OF = OE.OS = R ⇒ OF = OH không đổi, suy F cố định c) Trong tam giác OSF có FE SH đường cao cắt M nên M trực tâm Suy OM ⊥ SF F I A C H D S M E O B XV XVI XVII Nhận xét: 1) Câu a thực áp dụng câu b toán 2) Nếu hiểu rõ tốn ta chứng minh AB qua điểm F, với F giao điểm hai tiếp tuyến C D (O) 3) Bài toán tốn cho ta tính chất hay tiếp tuyến đường trịn Đó tính chất tính thẳng hàng F, A, B Và tính chất nội tiếp tứ giác OECD 4) Từ câu c ta thấy M điểm đường tròn, AB CD hai dây cung qua M Tiếp tuyến A B cắt S, tiếp tuyến C D cắt S Khi OM vng góc với SF Hãy chứng minh khẳng định GV: Nguyễn Tăng Vũ 68 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 XVIII Sử dụng ý tưởng kết hai toán trên, giải toán sau: Bài 24: Cho đường trịn (O; R) điểm A ngồi đường tròn cho OA = 3R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) với B, C hai tiếp điểm a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) điểm D ( khác B) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) Tại E (Khác D) tia BE cắt AC F Chứng minh F trung điểm AC c) Chứng minh tia đối tia EC tia phân giác góc BEA d) Gọi H giao điểm BC OA Chứng minh HB phân giác góc EHD e) Tính diện tích tam giác BDC theo R Bài 25: Từ điểm M nằm đường trịn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tyến MA, MB (A, B hai tiếp điểm) đường thẳng qua M cắt (O) C D Gọi I trung điểm CD Gọi E, F, K giao điểm đường thẳng AB với đường thẳng MO, MD OI a) Chứng minh R = OE.OM = OI OK b) Chứng minh điểm M, A, B, O, I thuộc đường tròn c) Khi CAD nhỏ CBD , chứng minh DEC = DBC Bài 26: Cho đường tròn (O) điểm I nằm đường trịn Dây AB thay đổi qua I khơng phải đường kính Tiếp tuyến A B cắt P Chứng minh P thuộc đường thẳng cố định Bài 27: (THTT 8/2007) Cho đường tròn (O) điểm I nằm đường tròn Dây AB CD thay đổi qua I đường kính Tiếp tuyến A B cắt P, tiếp tuyến C D cắt Q Chứng minh OI vng góc với PQ Bài 28: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai tia tiếp tuyến PE PF tới đường tròn ( E, F hai tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua P, cắt đường tròn hai điểm A, B ( A nằm P B ) cắt EF Q PA QA = (1) PB QB b) Đẳng thức (1) cịn khơng cát tuyến khơng qua O Chứng minh điều a) Khi cát tuyến qua O, chứng minh Bài 29 ( THTT 12/2007) Từ điểm P đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB đường tròn với A, B hai tiếp điểm Gọi M giao điểm OP AB Kẻ dây cung CD qua M 69 www.truonglangtoi.wordpress.com GV: Nguyễn Tăng Vũ TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 (CD khơng qua O) Hai tiếp tuyến đường trịn C D cắt Q Tính độ lớn góc OPQ Bài 30*: Cho tam giác ABC cân A Bên tam giác lấy điểm P cho: ABP = PCB Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh BPM + APC = 180o Bài 31: Cho đường tròn (O) điểm P nằm ngồi đường trịn Từ P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB đường tròn (A, B hai tiếp điểm) PO cắt (O) I K ( K nằm P O) cắt AB H Gọi D điểm đối xứng B qua O, C giao điểm PD (O) a) Chứng minh tức giác BHCP nội tiếp b) Chứng minh AC ⊥ CH c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC M AM cắt IB K Chứng minh M trung điểm AK Bài 32: Cho đường tròn (O; R), qua điểm K bên ngồi đường trịn, kẻ tiếp tuyến KB, KD ( B, D tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC (A nằm K C) a) Chứng minh hai tam giác KDA KCD đồng dạng b) Chứng minh AB CD = AD BC c) Kẻ dây CN song song với BD Chứng minh AN qua trung điểm BD Bài toán 9: Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC, BC D, E, F BI cắt DE K a) Chứng minh tứ giác IEKC nội tiếp, suy CK ⊥ BK b) Chứng minh K, M, N thẳng hàng Trong M, N trung điểm BC AC XIX Hướng dẫn giải A a) Ta có KEC = AED = K E D ADE cân A) Và N F M GV: Nguyễn Tăng Vũ 1 180 − BAC ABC + ACB = 2 Do KEC = KIC ⇒ tứ giác IEKC nội tiếp Suy IKC = IEC = 90o KIC = IBC + ICB = I B 180o − BAC (tam giác C o XX b) Ta có MN đường trung bình tam 70 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 giác ABC nên MN//AB Trong tam giác vng BKC có KM đường trung tuyến nên KM = MB, suy tam giác MKB cân M Khi ta có MKC = KBM + BKM = KBM = ABC suy KM // AB Vậy M, N, K thẳng hàng XXI Nhận xét: 1) Bài toán cho ta tính chất đường thẳng DE, BI MN đồng qui điểm Vì đề yêu cầu chứng minh giao điểm hai đường thuộc đường thẳng cịn lại 2) Vì CK ⊥ IK nên gọi K hình chiếu C BI, ta có K thuộc đường thẳng MN DE Hơn gọi J giao điểm CI DE ta có BJ ⊥ CJ , suy tứ giác BHKC nội tiếp 3) Hãy thử chứng minh nhận xét Bài 33: Cho tam giác ABC vng A có A, B cố định C thay đổi Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc AC, BC D E Chứng minh DE qua điểm cố định Bài 34: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E tiếp điểm (I) với AB AC BI, CI cắt DE H, K Chứng minh BI BH + CI CH = BC2 GV: Nguyễn Tăng Vũ 71 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Bài toán 10: Đề thi vào lớp 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung nhỏ BC Gọi H, I, K hình chiếu M BC, AC AB a) Chứng minh rằng:H, I, K thẳng hàng b) Tìm vị trí M cho IK có độ dài lớn XXII Hướng dẫn giải a) Ta có tứ giác KBHM, HMCI nội tiếp nên: KHM = KBM A XXIII HMI + ACM = 180o O B K Mà KBM = ACM ⇒ KHM + IHM = 180o ⇒ K, H, I thẳng hàng I H CXXIV M b)Ta ΔMKI ~ MBC ( g g ) ⇒ có KI MK = ≤ ⇒ KI ≤ BC BC MB XXV Dấu “=” xảy K ≡ B ⇔ MB ⊥ AB tức AM đường kính (O) Vậy KI đạt giá trị lớn BC M điểm đối xứng A qua O XXVI Nhận xét: 1) Kết vẫn M thuộc cung AB, AC 2) Đường thẳng qua điểm H, I, K gọi đường thẳng Simson Đây toán đơn giản có nhiều ứng dụng thú vị Cùng làm toán sau: Bài 35: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm cung nhỏ AC Gọi D, E, F điểm đối xứng M qua BC, AC AB a) Chứng minh D, E, F thẳng hàng b) Chứng minh đường thẳng qua DEF qua điểm cố định M thay đổi cung nhỏ AC Bài 36: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm cung nhỏ AC Gọi I, K hình chiếu M AB BC Gọi P, Q trung điểm IK AB Chứng minh MP ⊥ PQ Bài 37: (NK 2004 – 2005 CT) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) điểm M điểm thay đổi cung nhỏ BC N điểm đối xứng M qua trung điểm I AB 72 www.truonglangtoi.wordpress.com GV: Nguyễn Tăng Vũ TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 a) Chứng minh trực tâm K tam giác NAB thuộc đường cố định b) Giả sử NK cắt AB D, hạ NE vng góc với BC Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh DE qua trung điểm HK Bài 38: (NK 2007 – 2008 CT) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm cung BC không chứa A Hạ AM, AN vng góc với PB, PC a) Chứng minh MN qua điểm cố định P thay đổi b) Xác định vị trí điểm P cho biểu thức AM PB + AN PC đạt giá trị lớn Bài 39: ( 10 chuyên HCM 2005 – 2006 ) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Điểm M lưu động cung nhỏ BC Từ M kẻ đường thẳng MH, MK vng góc với AB, AC ( H thuộc AB, K thuộc AC) a) Chứng minh hai tam giác MBC MHK đồng dạng b) Tìm vị trí M để độ dài HK lớn Bài 40: Cho đường tròn (O) đường thẳng d khơng cắt Điểm M thay đổi đổi d, kẻ tiếp tuyến MT, MH đến đường tròn (O) với T, H tiếp điểm Gọi A hình chiếu vng góc O d E, F hình chiếu A Mt, MH Chứng minh rằng: a) Đường thẳng TH qua điểm cố định b) Đường thẳng EF qua điểm cố định Bài 41: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P hình chiếu D AB, BC, AC Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp M, N, P thẳng hàng Bài 42: (LHP 2002 – 2003) Cho tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa A Gọi P, Q điểm đối xứng M qua AB, AC d) Chứng minh DE qua trực tâm H tam giác ABC e) Tìm vị trí M để DE đạt giá trị lớn GV: Nguyễn Tăng Vũ 73 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ I CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài tốn 1: Cho đường trịn (O; R) dây cung AB cố định M điểm thay đổi cung lớn AB Tìm vị trí M để MA + MB đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải D' Trên tia đối tia MA ta lấy điểm D cho MD = MB Khi tam giác MBD cân M, suy MBD = MDB D Từ đó: M' AMB = MBD + MDB = 2.MDB ⇒ MDB = AMB M không đổi Suy M di chuyển cung lớn AB D di chuyển cung trịn (C) chứa góc AMB O A B dựng đoạn AB Ta có MA + MB = MA + MD = AD D thuộc (C) Do AD đạt giá trị lớn AD đường kính (C), M trùng với M’ điểm cung AB (O) Vậy MA + MB đạt giá trị lớn M điểm cung AB Từ tốn ta có nhận xét: Bài tốn trướng hợp M thuộc cung nhỏ AB Chu vi tam giác MAB lớn M điểm cung AB Bài tốn 2: Cho đường trịn (O) dây cung AB Tìm điểm M cung lớn AB cho khoảng cách từ M đến AB lớn Hướng dẫn giải M' M O A H I GV: Nguyễn Tăng Vũ B Gọi H I hình chiếu M O AB Khi MH khoảng cách từ M đến AB Ta có MH ≤ MI ≤ OM + OI = R + OI không đổi Dấu xảy : H ≡ I M, O, I thằng hàng Khi M trùng với M’ điểm cung lớn AB Vậy MH đạt giá trị lớn M điểm cung lớn AB 74 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Từ tốn ta có nhận xét: Bài tốn trướng hợp M thuộc cung nhỏ AB Diện tích tam giác MAB lớn M điểm cung AB Bài tốn 3: Cho đường trịn (O) đường thẳng (d) khơng cắt đường trịn Tìm điểm M (O) cho khoảng cách từ M đền (d) nhỏ nhất, lớn Hướng dẫn giải Gọi H I hình chiếu M O (d) OI cắt đường tròn M’ M’’ (M’ nằm M'' O I) MH khoảng cách từ M đến (d) + Ta có MH ≥ OH − OM ≥ OM − OM = OI − R không đổi Dấu “=” xảy M ≡ M ′ Vậy MH đạt giá trị nhỏ A M ≡ M′ + Ta có: MK ≤ MI ≤ OI + OM = OI + R M Dấu “ =” xảy M ≡ M ′′ Vậy khoảng cách từ M đến (d) đạt giá trị M' lớn M ≡ M ′′ H I II CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định Một điểm M thuộc cung lớn AB cho tam giác MAB nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB Tìm vị trí H để chu vi tam giác HAB lớn Hướng dẫn giải M Ta có: EHD + AMB + ADB + AEC = 360o D ( ) ⇒ EHD = 3600 − ADB + AEC − AMB E H = 360o − 180o − AMB = 180o − AMB C A GV: Nguyễn Tăng Vũ ⇒ AHB = EHD = 180o − AMB = const B 75 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Đo M di chuyển cung lớn AB (tam giác ABC nhọn H di chuyển cung chứa góc 180o − AMB (ta đặt cung trịn (c)) Vậy chu vi tam giác HAB lớn H điểm cung (c), tam giác HAB cân, suy tam giác MAB cân, tức M điểm cung AB (O) Vậy M điểm cung AB chu vi tam giác HAB đạt giá trị lớn Ví dụ 2: Chứng minh tất tứ giác nội tiếp đường trịn hình vng có chu vi lớn Hướng dẫn giải C M N B O A D Q P Gọi M, N điểm cung ABC ADC Khi ta có AB + CB ≤ MA + MC AD + CD ≤ AP + CP ⇒ PABCD ≤ PAMCP (1) Gọi P Q điểm cung MCP MAP Khi ta có: MC + PC ≤ MN + PN MA + PA ≤ MQ + PQ ⇒ PAMCP ≤ PMNPQ (2) Từ (1) (2) ta có PABCD ≤ PMNPQ mà MNPQ hình vng nội tiếp đường trịn (O) Vậy tất tứ giác nội tiếp hình vng có chu vi lớn Ví dụ 3: Trong tất tam giác nội tiếp đường trịn tam giác có chu vi lớn Hướng dẫn giải M A Tam giác ABC có góc nhọn, ta giả sử góc A Gọi M trung điểm cung BC, ta có: PABC ≤ PMBC O 76 GV: Nguyễn Tăng Vũ B H C www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 MO cắt BC H MH ⊥ BC H trung điểm BC Đặt OH = x Ta có BC = BH = OB − OH = R − x (R Và BM = BM + MH = − x ) + ( R + x ) = R + Rx Khi : PMBC = MB + BC = R − x + 2 R + Rx =2 R+x ( R − x + 2R ) Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có : R − x + R ≤ (1 + )( R − x + R ) = R − x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 R + x R − 3x = 3R + x R − x ≤ ( 3R + x + R − x ) = 3R 3 Do R + x ( ) R + x + R ≤ 3R Vậy PABC ≤ PMBC ≤ 3R Dấu “ = “ xảy tam giác ABC Vậy tất tam giác nội tiếp đường trịn tam giác có chu vi lớn Ví dụ 4: Cho đường trịn (O; R) điểm A cố định nằm đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến AB AC đền (O) (B, C hai tiếp điểm) Tìm vị trí M cung nhỏ BC cho tổng khoảng cách từ M đến AB, AC nhỏ Hướng dẫn giải B H M A O K C Gọi H K hình chiếu M AB AC Ta tìm vị trí M để tồng MH + MK đạt giá trị nhỏ Ta có : 1 S ABC = S AMB + S AMC + S BMC = MH AB + MK AC + S MBC 2 ⇒ S ABC − S MBC = AB ( MH + MK ) ( AB = AC) ( S ABC − S MBC ) AB Vì SABC, AB khơng đổi nên MH + MK đạt giá trị nhỏ SMBC đạt giá trị lớn Theo tốn M điểm cung nhỏ BC Suy MH + MK = GV: Nguyễn Tăng Vũ 77 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 III BÀI TẬP LÀM THÊM Bài 1: Cho đường tròn (O; R) dây cung AB cố định Trên cung lớn AB ta lấy điểm M Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tìm vị trí M để: a) Chu vi tam giác IAB lớn b) Diện tích tam giác IAB lớn c) Tính giá trị lớn chu vi, diện tích tam giác IAB AB = R Bài 2: Cho tam giác ABC cân A P điểm thay đổi cung BC không 1 + + đạt giá trị nhỏ chứa A Tìm vị trí P để PA PB PC Bài 3: Trong tam giác nội tiếp đường trịn tìm tam giác có diện tích lớn Bài 4: Cho đường tròn (O) dây AB cố định, M điểm di động cung lớn AB cho tam giác AMB nhọn Các đường cao tam giác AD, BE CE Tìm vị trí M để chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn AB = R Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm thay đổi cạnh BC Đường tròn (I) qua M tiếp xúc với AB B đường tròn (J) tiếp xúc với AC C cắt P Tìm vị trí M để chu vi tam giác ABP lớn Bài 6: Cho đường tròn (O) nằm góc xOy Tìm vị trí M đường tròn để tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là: a) Nhỏ b) Lớn Bài 7: A B điểm nằm ngồi đường trịn (O) cho đoạn AB khơng cắt (O) Tìm (O) điểm M cho diện tích tam giác MAB là: a) Lớn b) Nhỏ Bài 8: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn (O) Tìm điểm M (O) cho tổng khoảng cách từ M đến cạnh tam giác ABC là: a) Lớn b) Nhỏ Bài 9: Cho đường tròn (O; R) dây cung BC = 3R A điểm thuộc đường trịn đường kính BC (A (O)) AB, AC cắt (O) D E Tìm vị trí A để diện tích tam giác ADE lớn Bài 10: GV: Nguyễn Tăng Vũ 78 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm thay đổi cung BC (không chứa A) Gọi H, K hình chiếu A PB, PC Tìm vị trí P để AH PB + AK.CP đạt giá trị lớn GV: Nguyễn Tăng Vũ 79 www.truonglangtoi.wordpress.com ... Có học sinh chọn thi vào ba lớp Toán, Tý, Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Toán Lý số học sinh thi vào lớp Tốn; Có học sinh chọn thi vào lớp Toán Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Lý lớp Hoá... lần số học sinh chọn thi vào lớp Toán, Lý, Hoá Hỏi số học sinh thi vào lớp GV: Nguyễn Tăng Vũ 28 www.truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Đề thi vào chuyên toán Bài 1:... TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10 Năm học 2007 – 2008 Bắt đầu từ năm học 2007 – 2008 thành phố tổ chức kì thi tuyển sinh vào lớp 10 bao gồm vào trường chuyên Đề thi mơn tốn gồm hai đề: đề thi chung