Tuyển tập các đề thi môn toán tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Vĩnh Phúc từ năm 1996 đến năm 2012
LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh giỏi trường THCS không muốn dừng lại kết thi đỗ vào trường THPT, dường tất mong muốn bước vào trường chuyên THPT, nơi mà khiếu em phát triển tốt Tuyển tập “Những đề thi vào trường THPT chuyên Vĩnh Phúc” nhằm mục đích góp thêm tư liệu cho em học sinh giỏi lớp đường tự rèn luyện mơn tốn Đặc biệt, giúp em có nhìn tổng quan vấn đề thường gặp đề thi vào lớp 10 trường chuyên Vĩnh Phúc Ngoài ra, tài liệu này, thầy giới thiệu thêm với em quy trình để giải toán (của George Polya, nhà toán học nhà sư phạm Mỹ gốc Hungary tiếng) Quy trình thiết thực cho muốn giỏi tốn Thầy mong tài liệu góp phần giúp em thi vào lớp 10 với kết cao Vì thành cơng em! Xn Hịa, ngày 28 tháng năm 2012 NGUYỄN ĐÌNH PHÚ POLYA: GIẢI BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO? GEORGE POLYA sinh năm 1887 Hungary Ông tốt nghiệp đại học bảo vệ luận án tiến sĩ Đại học tổng hợp Budapest Năm 1940 ông sang Mỹ, từ 1942 ông giáo sư Đại học tổng hợp Stanford Ông năm 1985 California Ngồi cơng trình lí thuyết số, giải tích hàm, tốn thống kê giải tích tổ hợp, G Polya tiếng với nghiên cứu q trình giải tốn q trình sáng tạo toán học, đúc kết ba sách (đã dịch nhiều thứ tiếng giới, có tiếng Việt): How to Solve it? (Giải toán nào?), Mathematical Discovery (Sáng tạo toán học) Mathematics and Plausible Reasoning (Tốn học suy luận có lí) Mặc dù viết cách gần kỉ, sách G Polya đến giữ nguyên giá trị to lớn thầy cô giáo cấp, sinh viên học sinh muốn dạy học toán học (và nhà khoa học khác) cách thông minh sáng tạo Đây viết tóm lược ý sách “Giải tốn nào?” – cần nói thêm từ “Giải toán” theo G Polya khơng đơn dừng lại việc tìm đáp số, nhiều học sinh chí sinh viên thường hay hiểu, “Giải toán” bao qt tồn q trình suy ngẫm, tìm tòi lời giải lý giải nguyên nhân phát sinh toán, cuối phát triển tốn vừa làm được, nêu hướng sở hiểu nguồn gốc từ đâu tốn phát sinh I Tìm hiểu toán: - Đâu ẩn? đâu kiện? đâu điều kiện? thỏa mãn điều kiện tốn? điều kiện có đủ để xác định ẩn? Hay thừa, hay cịn thiếu? Hay có mâu thuẫn? - Vẽ hình - Sử dụng kí hiệu thích hợp, biểu diễn điều kiện, kiện thành công thức không? Phân biệt rõ phần điều kiện Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm II Tìm tịi lời giải tốn: - Bạn gặp toán tương tự chưa? Hay dạng khác? - Bạn có biết định lý, tốn liên quan đến tốn khơng? - Hãy xét kỹ chưa biết, thử nhớ xem có tốn có chưa biết khơng? - Đây tốn mà bạn có lần giải rồi, bạn áp dụng nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào áp dụng được? - Hãy xét kỹ khái niệm có tốn cần quay định nghĩa - Nếu bạn chưa giải toán này, thử giải tốn phụ dễ có liên quan, trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn? Hãy giữ lại phần giả thiết ẩn xác định đến chừng mực nào? Từ điều bạn rút điều có ích cho việc giải tốn? Với giả thiết bạn giải tốn này? - Bạn tận dụng hết giả thiết toán chưa? III Giải toán: Thực lời giải mà bạn đề Bạn có nghĩ bước đúng? Bạn chứng minh đúng? IV Khai thác tốn: - Bạn có nghĩ hướng khác để giải tốn? Lời giải có ngắn hơn, đặc sắc - Bạn áp dụng cách giải cho tốn chưa? - Bạn áp dụng toán để giải toán khác biết? Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1997 - 1998 Ngày thi 10 – - 1997 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu Cho biểu thức P = (x − 2) + 8x2 x2 + ( x −1) − 2x +3 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị ngun Câu Giải phương trình: x − x − x − x − = 12 Câu Cho Parabol (P) có phương trình y = x2 điểm A có hồnh độ thuộc (P) a) Viêt phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) A b) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với trục tọa độ Ox, Oy c) Tính diện tích hình tam giác giới hạn đường thẳng (d), trục Ox trục Oy Câu Tìm tất giá trị tham số a để tất nghiệm x1, x2 phương trình: x2 + ax + = thỏa mãn bất đẳng thức: 2 x1 x2 + >7 x2 x1 Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm cung nhỏ BC Nối M với A, MA lấy điểm D cho MD = MB Chứng minh: a) Tam giác BMD b) MA = MB + MC Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1997 - 1998 Ngày thi 11 – - 1997 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu Cho số nguyên không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: a + 2b + 3c + 4d = 36 2 2a + b − 2d = (1) (2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 + b2 + c2 + d2 Câu 2 a) Giải phương trình: x + x + + x + =2 b) Giải phương trình: x + 97 − x = Câu Chứng minh: x + + y + + z + ≤ , 4 với x, y, z số thực x + y + z = x ≥ − ; y ≥ − ; z ≥ − Câu Cho hình thang vng ABCD có AB đáy nhỏ, CD đáy lớn, M giao điểm hai đường chéo AC BD Biết hình thang ngoại tiếp đường trịn bán kính R Tính diện tích tam giác ADM Câu Cho tam giác ABC, đường phân giác góc A, B, C kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm A1, b1, C1 Chứng minh rằng: AA1 + BB1 + CC1 > AB + BC + AC Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1998 - 1999 Ngày thi 20 – - 1998 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu (2 điểm): Giải phương trình sau: a) x +1 = x −1 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = − b) x + ( ) +1 x + − = x a) Vẽ đồ thị hàm số b) Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(-2; 2) tiếp xúc với đồ thị hàm số Câu (2 điểm): Tìm giá trị p q để hai hệ phương trình sau tương đương: x − 2y =1 x + y = 17 px + qy = 3 px + 2qy = 10 Câu (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, phía ngồi tam giác ta dựng tam giác vuông ABE ACF đỉnh A Chứng minh trung tuyến AI tam giác ABC vng góc với EF AI = EF Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1998 - 1999 Ngày thi 21 – - 1998 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu (2 điểm) x + 3ay = ax − 3ay = a + Giải biện luận hệ phương trình: (1) (2) Câu (1,5 điểm): Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh phương trình: a2x2 + (a2 + b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm Câu (2 điểm): Cho ba số dương phân biệt p0, p1, p2, có tổng Chứng minh phương trình: p2x2 + p1x + p0 = x có nghiệm x0 thỏa mãn điều kiện: < x0 < p1 + 2p2 > Câu (2 điểm) x+ y+ z =5 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = Chứng minh rằng: ≤ x, y , z ≤ Câu (2,5 điểm): Cho góc nhọn xOy điểm M thuộc miền góc Dựng qua M đường thẳng cắt Ox P Oy Q cho: a) OP + OQ bé b) 1 + lớn MP MQ Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1999-2000 Ngày thi 15 – - 1999 Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu Cho biểu thức A = x2 y2 x2 y − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x) (1 + x)(1 − y ) a) Rút gọn biểu thức A b) Giải biện luận phương trình nghiệm nguyên A = -3 Câu Giải biện luận phương trình: x − + − x = 2a Câu Cho x2 + y2 + z2 = 1, chứng minh rằng: xyz + 2(1 + x + y + z + xy + yz + zx) ≥ Câu Cho ΔABC có ba góc nhọn, trực tâm H Người ta dựng hình bình hành BHCD gọi I giao điểm hai đường chéo hình bình hành BHCD a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn b) So sánh BAH , OAC (trong O tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC) c) Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm ΔABC Câu Cho hàm số y = f(x) với f(x) biểu thức đại số lấy giá trị thực với x 1 số thực khác Biết rằng: f ( x ) + f = x với số thực x khác x Tìm giá trị f(2) Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1999-2000 Ngày thi 16 – - 1999 Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – = a) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 3x1 – 4x2 = 11 b) Tìm hệ thức liện hệ hai nghiệm phương trình mà khơng phụ thuộc vào m Câu x +1 + y −1 = a Tìm a để hệ sau có nghiệm: = 2a +1 x+ y Câu Cho a, b, c ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 2abc < Câu Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi K, N trung điểm cạnh AB, BC F trung điểm NC Từ A kẻ đường thẳng song song với KF cắt CD G Chứng minh FG tiếp tuyến đường tròn tâm O nội tiếp hình vng Câu Chứng minh phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = có hai nghiệm 4ac − b thực tích nghiệm khơng nhỏ 4a Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2000-2001 Dành cho thí sinh vào lớp chun Tốn, Tin, Lí, Hóa, Sinh Ngày 29 – - 2000 Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu a) Giải phương trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 24 b) Tìm tất số tự nhiên n để số: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n bình phương số nguyên Câu a) Chứng minh với số thực x ta ln có: x2 + x + ≤ ≤3 x2 − x + b) Tìm cá số nguyên x y để giá trị phân thức sau số nguyên: x + xy + y x − xy + y Câu x3 + y = x + 2y + z = 6y + Giải hệ phương trình ẩn x, y, z: 3z + x = z + Câu a) Cho tam giác ABC Gọi O tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC ΔABC, D tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABO Chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn b) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác vuông Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= (a + b)(b + c)(c + a ) abc Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2005-2006 Dành cho tất thí sinh – Hệ số Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— x x − Câu Cho biểu thức x − x x + x − x − : 1 − x + a) Tìm tất giá trị x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm tất giá trị x cho P < Câu Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Khi phương trình có nghiệm x1, x2 tìm hệ thức liên hệ x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Câu Cho phương trình x − x + m + = x −1 (m tham số) a) Giải hệ phương trình m = b) Xác định m để phương trình có nghiệm Câu Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, I trung điểm OA Đường thẳng (d) qua I vng góc với AB cắt nửa đường tròn K Điểm C thuộc đoạn thẳng IK (C không trùng với I K), đường thẳng AC cắt nửa đường tròn M Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt (d) điểm N, đường thẳng BM cắt cắt (d) D a) Chứng minh ΔCMN cân b) Tính độ dài CD theo R trường hợp C trung điểm đoạn IK c) Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp ΔACD ln nằm đường thẳng cố định điểm C di động đoạn IK (C không trùng với I, K) Câu Cho a, b, c ba số dương; x, y, z ba số có giá trị thuộc đoạn 0; 2 Biết a + b + c = x + y + z = Chứng minh ax + by + cz ≥ 8abc Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 15 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2005-2006 Dành cho lớp chuyên tin Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu Cho phương trình x2 – (m – 1)x = m2 + m – = (m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình cho, với giá trị m biểu thức P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ x + my = Câu Cho hệ phương trình (m tham số) mx − y = a) Giải hệ phương trình theo tham số m b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) mà x, y số nguyên Câu a) Chứng minh với x > -2 ta ln có x+3 ≥ x+2 b) Cho a > -2, b > -2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E= (a + 3) (b + 3) + b+2 a+2 Câu Cho góc xAy Một đường trịn (O) cắt tia Ax, Ay điểm M, N, P, Q cho N nằm tia Mx Q nằm tia Py, kẻ dây cung MR song song với PQ a) Chứng minh góc PMR góc MNQ b) Chứng minh ΔANQ đồng dạng với ΔPNR c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp ΔANP ln tiếp xúc với đường thẳng PR −1 ≤ x; y ; z ≤ Câu Cho số thực x, y, z thỏa mãn x+ y+ z ≤3 2 Chứng minh x + y + z ≤ Dấu đẳng thức xảy nào? Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 16 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2005-2006 Dành cho lớp chun tốn Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian giao đề —————————————— Câu Cho phương trình x2 – (m – 1)x = m2 + m – = (m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình cho, với giá trị m biểu thức P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ x + my = Câu Cho hệ phương trình (m tham số) mx − y = a) Giải hệ phương trình theo tham số m b) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x; y) mà x, y số nguyên Câu c) Chứng minh với x > -2 ta ln có x+3 ≥ x+2 d) Cho a > -2, b > -2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E= (a + 3) (b + 3) + b+2 a+2 Câu Cho góc xAy Một đường tròn (O) cắt tia Ax, Ay điểm M, N, P, Q cho N nằm tia Mx Q nằm tia Py, kẻ dây cung MR song song với PQ a) Chứng minh góc PMR góc MNQ b) Chứng minh ΔANQ đồng dạng với ΔPNR c) Cho MR = PQ gọi I giao điểm MR với NQ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ΔANP tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ΔINR Câu Cho n số nguyên dương Biết 2n + 3n + số phương Chứng minh n chia hết cho 40 Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 17 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2006-2007 Dành cho tất thí sinh Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu Viết vào làm chữ đứng trước phương án đúng: a) Tính + − − ta kết là: A B C b) Đồ thị hàm số y = 2x – đường thẳng: D B Đi qua hai điểm (0; 1) − ;0 A Đi qua gốc tọa độ C Đi qua hai điểm (0; -1) ;0 D Đi qua hai điểm (0; 2) ;0 2 c) Đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác MNP có bán kính tương ứng r R Khi ta có: A R = r B R = 2r C R = r D R = 3r d) Diện tích xung quanh hình trụ 50 cm2 Chiều cao hình trụ 5cm Khi bán kính đáy hình trụ là: A B C D Câu a) Tìm m để phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – = có nghiệm kép b) Chứng minh với giá trị m, hai phương trình sau có nghiệm: x2 – (2m + 1)x + m2 + = (1) - x2 + mx + – 4m = (2) Câu mx + y = x + my = −1 a) Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm: b) Tính giá trị tổng A = + 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2005 20062 Câu Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi K trung điểm cung AB, M điểm di động cung nhỏ AK (M khác A K), hai đường thảng AM OK cắt D Lấy N đoạn BM cho BN = AM a) Chứng minh MK đường phân giác góc DMN b) Chứng minh: AMK = BNK c) Chứng minh đường thẳng (d) vng góc với BM N qua điểm cố định Câu Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + xy + yz + zx x + y + z Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 18 TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2006-2007 Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu x− y =3 3 x − y = Giải hệ phương trình: Cho hai phương trình: x2 – (2m + n)x – 3m = (1) x2 – (m + 3n)x – = (2) Tìm m n để hai phương trình tương đương Câu Giải phương trình + x + − x = Tìm hệ số a > cho đường thẳng: y =ax – 1, y = 1, y = trục tung tạo thành hình thang có diện tích Câu Cho đường trịn (O) Từ điểm M ngồi (O), kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Một đường thẳng qua M khơng qua tâm đường trịn (O) cắt đường tròn (O) hai điểm C, D (C D M) Gọi I trung điểm đoạn CD Chứng minh điểm A, B, I, O, M nằm đường tròn Chứng minh IC phân giác góc AIB Chứng minh ΔIAC đồng dạng với ΔICB Câu Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x y −3 + y x−2 với x ≥ 2; y ≥ xy Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: 1 + + + (a + b + c ) ≥ a b c Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 19 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2007-2008 Dành cho tất thí sinh Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: Cho phương trình: x2 - 2(m-1)x + 2m - = (m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm bình phương nghiệm Câu 2: a) Rút gọn biểu thức: M = b) Cho biểu thức: N = 2008 + 2007 2008 − 2007 + 2008 − 2007 2008 + 2007 x+2 x +1 + − x x −1 x + x +1 x −1 Tìm x để biểu thức N có nghĩa, chứng minh N < Câu 3: a) Hai ôtô xuất phát từ hai địa điểm A B ngược chiều qng đường Ơ tơ xuất phát từ A sau phần ba qng đường tăng vận tốc lên gấp đơi nên hai tơ gặp qng đường Tính vận tốc ban đầu tơ xuất phát từ A vận tốc ô tô xuất phát từ B, biết vận tốc ô tô xuất phát từ B lớn vận tốc ban đầu ô tô xuất phát từ A 10 km/h b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = + với < x < 1− x x Câu 4: Từ điểm M nằm đường tròn tâm O kẻ tiếp tuyến MC MD với đường tròn (C D tiếp điểm); cát tuyến qua M cắt đường tròn tâm O hai điểm A B (B nằm A M) Phân giác góc ACB cắt AB E Gọi I trung điểm đoạn AB a) Chứng minh MC = ME b) Chứng minh DE phân giác góc ADB c) Chứng minh CMI = CDI Câu 5: Cho x, y > thoả mãn điều kiện x2 + y3 ≥ x3 + y4 Chứng minh rằng: x3 + y3 ≤ Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 20 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2007-2008 Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu 1: Cho phương trình: x2 – mx + m – = (m tham số) 1) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 với m tính giá trị biểu thức P = x1 x2 + theo tham số m x + x2 + 2(1 + x1 x2 ) 2) Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức P ax + y = b (a, b tham số) 2 x − y = Câu 2: Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình a = - 1, b = 2) Tìm a để hệ phương trình cho có nghiệm (x, y) với b Câu 3: 1) Giải phương trình: x ( x + 1) + x ( x + ) = x ( x − ) 2) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: x2 – (2007 + y)x + + y = Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A AC > AB Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC tương ứng P, Q Gọi F trung điểm AC; đường thẳng FI cắt cạnh AB E; đường thẳng PQ cắt đường cao AH tam giác ABC M; đường thẳng AI cắt đường trung trực cạnh AC N 1) Chứng minh tứ giác QICN nội tiếp 2) Chứng minh ba điểm P, Q, N thẳng hàng 3) Chứng minh AE = AM Câu 5: a b3 c + + ≥ ab + bc + ca 1) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh b c a 2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Gọi M điểm di động cung BC khơng chứa điểm A Xác định vị trí điểm M cho 2006.MB + 2007.MC đạt giá trị lớn Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 21 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2008-2009 Dành cho tất thí sinh Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— mx − y = Câu Cho hệ phương trình: ( m tham số) x + my = a) Giải hệ phương trình m = m2 b) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm thoả mãn: x + y = − ⋅ m +3 C©u Cho phương trình bậc hai: x + px + q = (trong p, q tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với p = 1, q = −2 b) Tìm p, q nghiệm (1), biết thêm vào nghiệm (1) chúng trở thành nghiệm phương trình x − p x + pq = Câu Tìm tất giá trị x tho¶ m·n: 2x 7x − = 3x − x + 3x − x + 2 Câu Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm D cạnh AC (sao cho AC > 2DC) làm tâm vẽ đường tròn tiếp xúc với BC E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF, cắt D I cắt AE K Trung tuyến AM tam giác ABC cắt BF N a) Chøng minh r»ng A, B, E, D, F nằm đường tròn b) Chứng minh IF BF = ⋅ IK BK c) Cho AEC = 1300 , tÝnh ANB C©u a) Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: 4( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y )( y + z )( z + x ) x + y + y + z + z + x b) Cho P( x) = x + ax + bx + cx + d tho¶ m·n P (1) = 3, P (3) = 11, P(5) = 27 TÝnh S = P(−2) + P(6) -Hết Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 22 TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2008-2009 Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tốn Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao Câu Cho phương trình bậc hai Èn x : ax − (b − a + 1) x − m − = (1) a) Cho a = 1, b = Tìm m để tổng bình phương hai nghiệm phương trình (1) đạt giá trị nhỏ b) Chứng minh r»ng nÕu 2a + b − 2ab − 6a + 2b + = phương trình (1) có hai nghiệm đối Câu a) Có thể viết thêm chữ số xen chữ số số 1681 để số tạo thành số phương? xy − = − y b) Gi¶i hệ phương trình xy = + x C©u Cho x, y, z > thoả mÃn 3( x + y + z ) + 27 xyz Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = x + y + z C©u Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M N tương ứng trung điểm đoạn thẳng AD BC Đường thẳng CM DN cắt E, đường thẳng BM AN cắt F Gọi diện tích tứ giác MENF S1 , diện tích tam giác DEC S , diện tích tam giác FAB S3 Chứng minh rằng: a) S1 = S + S3 b) AF BF CE DE + + + ≥ FN FM EM EN a1 = , a2 = C©u Cho dãy số ( an ) xác định sau: an+ = 3an+1 − 2an ( ∀n ∈ + ) a − 8an an+1 Chứng minh an+ = n+1 + an + an+1 (Kí hiệu [ x ] số nguyên lớn không vượt số x ) -Hết Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 23 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2010-2011 Dành cho học sinh tất thí sinh Thời gian làm 120 phút, khơng kể thời gian giao đề —————————————— Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = (m – 1)x + ( x biến, m tham số) Tìm tất giá trị m để : 1) Hàm số đồng biến 2) Điểm A(3; 2) thuộc đồ thị hàm số cho Câu (3,0 điểm) Cho phương trình bậc hai : 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 – = (x ẩn, m tham số) 1) Giải phương trình cho với m = 2) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt có nghiệm Câu (3,0 điểm) Cho ΔABC có ba góc nhọn, D chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC Điểm O nằm đoạn AD, dựng đường tròn tâm O cho đường tròn cắt đoạn thẳng AB hai điểm phân biệt K, L cắt đường thẳng AC hai điểm phân biệt M, N Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng MN, KL 1) Chứng minh tứ giác BCPQ nội tiếp 2) Chứng minh AK + AL AM + AN = AC AB 3) Gọi F chân đường cao kẻ từ B xuống CA ; BF cắt AD H Đường thẳng qua H song song với BC cắt đoạn AC điểm G cắt đường tròn ngoại tiếp ΔHDF điểm E Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ΔFBD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ΔFGE Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện ab + bc + ca ≥ Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a + ab + b b + bc + c c + ca + a (a + b + c ) Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 24 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2010-2011 Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu (3 điểm) Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m = (m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x1 x2 − x1 − x2 m thay đổi x + x1 + 2(1 + x1 x2 ) 2 Câu (3 điểm) Giải phương trình: + − x − x = x Tìm cặp số nguyên dương (x ; y ) thoả mãn : xy yx + xy + yx = 5329 Câu (1 điểm) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh : 1+ ≥ a + b + c ab + bc + ca Câu (2 điểm) Cho đường tròn nội tiếp (I) tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Đường thẳng AD cắt đường thẳng EF M Lấy điểm N DF điểm P DE cho tứ giác MNDP hình bình hành ME DE = Chứng minh MF DF Chứng minh tứ giác EFNP nội tiếp Câu (1 điểm) Một bảng hình vng có 10 hàng 10 cột gọi bảng kích thước 10x10 Hỏi điền số 1, 2, 3, 99, 100 vào bảng kích thước 10x10 (mỗi điền số) cho tính chất sau đồng thời thoả mãn: (i) Tổng số hàng, cột (bằng S) (ii) Với số k = 1, 2, 3, , 10, tổng số ô (i; j) (ô hàng i, cột j) với i − j ≡ k (mod 10) có tổng S (Ký hiệu a ≡ b (mod c ) có nghĩa hai số nguyên a, b có số dư chia cho số nguyên c) Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 25 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2010-2011 Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————————— Câu (3 điểm) Cho phương trình x2 – mx + 2m + = (m tham số) Giải phương trình với m = - Tìm tất giá trị tham số m cho phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện 7x1 – 2x2 – = Câu (3 điểm) Giải phương trình: 2− x + =2 2− x +3 Tìm tất cặp hai số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: (x2 + 1)(y2 + 1) + 2(x – y)(1 – xy) = 4(1 + xy) Câu (1 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x + y + z ≥ xy + yz + zx Câu (2 điểm) Lấy điểm P ΔABC cho PBC = PCA < PAB Tia BP cắt lại đường tròn ngoại tiếp ΔABC D, đường thẳng CD cắt đường tròn ngoại tiếp ΔAPD điểm thứ hai E Chứng minh AD // PC SAPDE AC = Chứng minh (Ký hiệu S APDE S ABP diện SABP AB tích tứ giác APDE diện tích tam giác ABP) Câu (1 điểm) Trên bàn có 10 miếng giấy Người ta chọn vài miếng cắt miếng thành mings nhỏ, để tất miếng giấy sau cắt trở lại mặt bàn Tiếp theo, lại chọn vài miếng giấy bàn (trong tổng số miếng giấy) lại cắt miếng thành miếng, lại để tất cá miếng sau cắt trở lại mặt bàn Quá trình tiếp tục vậy, hỏi sau hữu hạn bước, có thu 2010 miếng giấy hay khơng? Nếu có, sau bước? Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 26 TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2011-2012 Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) ———————————— Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (P) hàm số: y = x − (2m + 1) x + m − đường thẳng (D): y = x + m ; m tham số a) Cho m = , tìm hồnh độ giao điểm (P) (D) b) Tìm tất giá trị tham số m để (P) (D) cắt điểm phân biệt có hồnh độ khơng âm Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: 5x = 5x + − 5x + liên hệ với x, y đẳng thức x + xy + 7( x + y ) + y + 10 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = x + y + b) Cho hai số Câu (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương x1 , x2 , , xn , n thỏa mãn: x1 + x2 + + xn = 5n − 1 + + + =1 x1 x2 xn Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm E, D cho DE = DC Giả sử đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC F a) Chứng minh đường thẳng EF chia đơi góc AED b) Chứng minh BFE = CED Câu (1,0 điểm) Trong hộp có 2010 viên sỏi Có hai người tham gia trò chơi, người phải bốc 11 viên sỏi nhiều 20 viên sỏi Người bốc viên sỏi cuối thua Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc người thắng Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 27 TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2011-2012 Dành cho tất thí sinh (Thời gian làm bài: 120 phút) ———————————— Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P( x) = 1 + 1− x 1+ x a) Rút gọn P ( x) b) Tìm giá trị x để P( x) = −2 Câu (3,0 điểm) Cho f ( x) = x − (2m + 1) x + m + ( x biến, m tham số) a) Giải phương trình f ( x) = m = b) Tìm tất giá trị m để đẳng thức f ( x) = (ax + b)2 với số thực x ; a, b số c) Tìm tất giá trị m ∈ x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ) cho biểu thức P = để phương trình f ( x) = có hai nghiệm x1 x2 có giá trị số nguyên x1 + x2 Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O;R) điểm M (điểm M khác điểm A) a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường trịn b) Đường thẳng vng góc với AB điểm O cắt đường thẳng BM điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng OP điểm K, đường thẳng PM cắt đường thẳng ON điểm I; đường thẳng PN đường thẳng OM cắt điểm J Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a + b3 + c > a b + c + b c + a + c a + b Câu (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho tồn cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn hệ: p + = x2 2 p +1 = y Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 28 TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2011-2012 Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề ———————————— Câu (3,0 điểm) Cho phương trình : x − mx + ( m + 1) x − m( m + 1) x + ( m + 1) = (1) (trong x ẩn, m tham số) Giải phương trình (1) với m = −2 Tìm tất giá trị tham số m cho phương trình (1) có bốn nghiệm đơi phân biệt Câu (1,5 điểm) Tìm tất cặp hai số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn x − x3 + = y Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC với BC > CA > AB nội tiếp đường tròn (O ) Trên cạnh BC lấy điểm D tia BA lấy điểm E cho BD = BE = CA Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt cạnh AC điểm P, đường thẳng BP cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai Q Chứng minh tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD Chứng minh BP = AQ + CQ Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a , b , c Chứng minh c (a + b 2 ) 2 + a (b + c 2 ) 2 + b (c + a 2 ) 2 ≥ 54 ( abc ) ( a + b + c ) ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) 4 ⋅ Câu (1,0 điểm) Cho đa giác lồi A1 A2 A100 Tại đỉnh Ak ( k = 1, 2, ,100 ), người ta ghi số thực ak cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số hai đỉnh kề Tìm giá trị lớn giá trị tuyệt đối hiệu hai số ghi cặp đỉnh đa giác cho, biết số ghi đỉnh cho đôi khác Hết Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 29 ... rằng: x3 + y3 ≤ Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 20 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2007-2008 Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời... a (a + b + c ) Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 24 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2010-2011 Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm... 2 p +1 = y Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm 28 TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2011 -2012 Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm