Luận văn thạc sĩ khoa học: Vế hình học của công thức vết trên SL (2,IR)

ĐẠI HOC QUỐO GIA HÀ NOL

TRƯỜNG ĐẠI HỌO KHOA HỌO TỰ NHIÊN

HOANG THỊ DUNG

VE HÌNH HỌC

CUA CÔNG THUC VET TREN SZ (2,R)

LUẬN VAN THẠC SI KHOA HOG

Chuyên ngành; LOAN GIẢI LIOH

Mã số: 60460102

Người hướng dẫn khoa học

GS.USKH DO NGOO DIỆP

HÀ NOL 2014

Lời cam ơn 2

1 Kiến thức chuẩn bị hộ

L1 Sơ lượo về SL(2,R) 0 Quy 5

1.1.1 Táo động phan tuyến tinh lên nửa trên cia mặt phẳng phức 51.1.2 Phan tích lwasawa và phân tích Oartan claG 6

1.1.3 Nhóm von dừng Độ đo trên G ee ee v

1.2.2 Liên hợp Ổn định cẶ ee ee 8

1.2.3 Nhóm Weil và nhóm Langlands, L-nhóm 8

1.3 Biếu diễn olla SL(2,R) 2 eee bì

1.3.1 Giá hệ số oủa chuối rời rạo, L- gói lãi

1.3.2 Biến diễn của GI(2,]Ñ) 0 ee eee lãi

1.3.3 Bidu diễn ola 9I(2/R) 12

1.4 Tham số Langlands cho 9E(2,]Ñ)., c s 121.4.1 Tham số Langlands cho G7(2RÑ) 131.4.2 Tham số Langlands cho SL(2,R) 2.0.0.0 000 eee 14

1.5 Nhom con nội sol cta SE(2,R) 2 ee 15

16 Kétludn 2 ee ee 15

2 Vễ hình hoo của công thức vết 16

2.3 Biến đối cong thứo vết theo tích phan quỹ đạo 18

2.3.1 Trường hop + 06 dạng đường chéo khiyol 202.3.2 Trường hợp + =r(6) khi Ø +Ú ee ee ee 21

2.4 Phép chuyển về ota cong thỨo vết 23

Kết luan Quy 27

Lời cam ơn

Hoàn thành đượo luận văn này, ngoài sự nỗ luo cla ban thân, toi đã nhận

được sự chi bảo, giúp đỡ từ nhiều phía của vio thầy giáo, vd giáo, gia đình và

toàn thé bạn bè và người thân đã doug góp ý kiên, giúp đỡ, động viện bôi trong.

qué trình hoo tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này,

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiên thức con hạn chê nên khilàm luận văn không tránh khỏi những han chế và sai sót Kính mong nhậu đượo

ý kiến đóng góp của cáo thầy oO và bạn bè đồng nghiệp để bắn luận văn dude

hoàn chính hon.

416i xin chân thành vam Ơn.

Ha Nội, ngày, 20 thaug 10 năm 2014Học viên

Hoàng Thi Dung

Mở đầu

Giải tích điều hòa trên nhóm Lie nói chung dẫn dén vido phân tích một biểu

diễn bất kỳ ra toug oáo biểu diễn bất khá quy, Biểu diễn chính quy, ota nhóm

trên không gian thương cửa nó theo nhóm con rời rac đóng vai tro quan trong.

Theo lý thuyết biếu diễn hàm vét (theo định nghĩa hàm suy rộng), xáo định duy,nhất lớp tương đương, oủa biểu diễn.

Vét ola phần rời rac ota biểu diễn chính quy, được viết thành chuỗi oáo vôtdứa biếu diễn nhọn và do đó là tong cáo tích phân quỹ đạo tương ứng Oông

thức vết khá phứo tap nhưng khi hạn chỗ xuống nhóm con nội soi thì kết quatrở nên tuong đối đơn gián Đề tài được đặt ra là: V6 hình hee vita dông thứovật trên SL (2,IR) Nội dung oủa luận văn gồm 2 chương;

e Ohương 1: lóm tắt mot sô kiên thứo chuẩn bi.

— Sơ lược cấu trite cotta SL(2,R).

— Biểu diễn dúa SL(2,R).

— Than số Langlands cho SL(2,R).

— Nhóm con nội soi cla SL(2,R).

e Ohương 2; Trinh bày về về hình hoo của cong thứo vết phan rời rac oúa,

biểu diễn chính quy trên SL(2,R) và thu gọn ota nó brên nhóm con Hội soi

dúa SL(2,R).

— Vất oúa toán tử oó nhân.

— Công thứo tong Poisson.

— Biên đối oông thứo vết theo tích phân quỹ dao.

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị DungDo thời gian thực hiện luận văn không, nhiều, kiên thứo von hạn chê nên khilàm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Lo giả mong nhận

được sự góp ý và những ý kiến phan biện cla quý thầy cd và bạn đọc.

Xin chân thành oắm ơn]

Hà Nột, ngay 20 thang 10 trăn 2014

Học viên

Hoang Thi Dung

1.1.1 Tác động phan tuyến tính lên nửa trên của mặt phẳng phức

Kí hiệu ? = {z = z + iy|z, €R,y> 0} là nửa trên của mặt phẳng phức Lac

động, phân tuyến tính olla G trên H được xáo định như sau:

gz =

Do ad — be = 1 nôn suy, ra:

Im (z)

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị Dung

Phan loại các phần tử của G

Gọi \ là giá tri riêng của phầu tit g € G, xét phương trình đặo trưng, của, g:

tr (g) + 4/tr (g)

NM —tr(g)AF1=06)A= 5

— Nếu |ér(g)| < 2 thì g đượo gọi là elliptic.

— Nếu |tr(g)| = 2 thì g được gọi là parabolic.

— Nếu |tr(g)| > 2 thì g đượo gọi là hyperbolic.

1.1.2 Phau tích lwasawa và phan tích Oartan của G

Phau tích Lwasawa của Œ là phan tích oó dạng G= KAN với

= fu —ep8(X=Y) = ( TÊN al ve an)h,

eb 0

A= {u=eotH = ( " rer},

v= Âm =epsX = Í ¡)| ver}.

Us o6 K S SIAR vAN=R, Cụ thé với mỗi ø = ( 0 j0) © thì phân

tích Lwasawa oửa nó là g = ugayns, trong đó

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị Dung

1.1.3 Nhóm con dừng Độ đo trên G

Định nghĩa 1.1 Choy € G, whém cow dừng ctu phan tử + trong G, kí hiệu

Gy={g€G\ g "yg =7}.

Phần ttyeG là phan tử nửa đơn chính quy, mạnh nếu nhóm con dừng Gy

olla nó là một xuyên oựo đại tite là G, =T = SO(2,R), khi đó ta oũng v6 nhóm

Đối với phan tích lwasawa G = ANK, phần tử x € G ta v6 phâu bích z = ank

(với a€ Ane N,k € K), kí hiệu da, dn, dk tương ứng là độ đo Haar trên A, N, K.

Khi đó độ đo trên G, kí hiệu dx, và ta 06 dx = dadndk.Với ham ƒ xấo định và kha tích trên Œ, ta vd

[re [mm J tonnyn

Đối với phân tích Oartan G = KAK, với mọi z € G ta v6 phan tích x = kịaka,

[ flea - / tal [ YP = 1a),

G AKxK

trong đó kị,kạ € K vaae A.

1.2 Một số kiên thức liên quan

1.2.1 Tich phan quy dao

Oho G = SL(2,R), + € G là phan tử nửa don chính quy mạnh, Gy = 7 là

nhóm con đừng clay, ham ƒ € C@9(G) Lich phan quy đạo cla ham ƒ brồn quy.

mỊ

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị Dung

đạo của + được cho bởi công thức:

Đối với phần tứ chính quy nứa đơn mạnh, ta nói rằng +, +! € G là liên hợp ou

định nếu tồn tại z € SL(2,C) = lỆ } Jlamades d-te=1} sao cho

+ = zyx.

Oho f € C#(G), 7 € Gla phan tử chính quy manh, khi đó tích phân quỹ đạo

ou đỉnh của hàm ƒ đối với phan tit + được cho bởi

SO,(f)= So Ø„(7).

đrong đó $(7) là tap hợp cáo phan tit đại diện vita oáo lớp liên hợp trong lớp

liên hợp ou định của +.

1.2.3 Nhom Weil và nhóm: Langlands, L-nhómr

Dinh nghĩa 1.3 Lin bí huệu We là thói Weal cua R cdc định, whu saw:- Nhóm Weel cia C la We = CX.

- Nhi Weil cia R tà whom cow cdc mum tra trong SU(2) được sành, Đi

th am = (1 )

Nhóm SU(2) là một nhóm compact với số chiều 22 biểu diễn bởi oáo ma trận

unitary, với oáo phần tử oó định thứo bằng, 1, đượo gọi là nhóm unitary, dav biệt,Kí hiệu Gal(C/R) là nhóm: Galois oủa mở rộng C/R gồm hai phần ttt: mộtphầu tử là tự đồng cau đồng nhât, phần tử còn lại là tự đồng cấu liên hợp phức.Phau tit w, táo động liên hợp như là phần tử không tầm thường trong nhóm.

Gal(C/R) trên CX Ánh xa We -> Gal(C/R) được xác định bởi ø 4 wz, chú ý

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị Dung

rằng +02 = —1 do đó mở rộng dủa We = C* bởi Gal(C/R) là mớ rong khong tầmthường.

Định nghĩa 1.4 Nhdim Langlands, bí hiệu Lp, Lp = We, nếu trường cơ sở F}là C hoặc R vd Lp = We x SL(2,C), uếu EF p-adic.

Ki hiệu Gla nhóm Lie phứo thu gọn cia G = SL(2,R), khi đó ở = PGL(2,C).

Nhóm Galois Gal(C/R) táo doug trên G qua tu đồng cau chỉnh hình đượo gidthiết gitt nguyên tach Nhóm G là tách nên táo doug do là tầm thường We táo

động tới Gal(C/R) qua ánh xạ tu nhiên của nó.

Định nghĩa 1.5 L-whdm cttw G, bí hiệu ỨŒ = G x WR.

1.3 Biểu diễn của SL(2,R)

Định nghĩa 1.6 Cho Gila mot hót (GL(2,R) hoặc SL(2,R)), ¿ là không gia

Hilbert Một biếu diễn cia Gi trong E là mot đông cau từ Gi uào whdm tu dang

cau tuyéu tinh liêu tực GL(E) ctw bE.

sao cho vdt mot véc tov € E thà định ca từ Gi uào LK uáo dtwh bởi x r(x)u làduh trụ leéw tục.

Biéu diễn œ được gọi là biểu diéw unitu néw r(x) là unita vdt mot x € G.

Định nghĩa 1.7 Cho a biểu diéw ctw whdm G trong không giaw Hilbert k, W.

la mot không gian cow ctu KE La trói VV là G-bat biến nếu m(+)W CW uới mot

Dinh nghĩa 1.8 Mot biểu dién 7: G — GL(E) gọi là bat kha guy nếu EK không

06 không gia cou bat biếu trào khúc ngodt {0} vd LE.

Oho z là biếu diễn gúa Œ trong không gian Hilbert E, giá sit ring

B= Dr.

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị Dung

trong đó £, là không, gian riêng thứ n ola K = | ( ae sin’ ) | @€ (0, 2m}

Phan tử v € # là K-hữu hạn nếu 7(AK)v sinh mot khong gian véo to hữu hanchiều.

Định nghĩa 1.9 Điếu diễu 7 cttw G trong không giuu Hilbert E được got tà

chap whan thược trêu dimE,, hữu han 0ới mot từ.

Xét phan tích lwasawa cla nhóm G = SL(2,R); G — PK (với P — AN), ø làbiểu diễn oúa P trên khong gian Hilbert V Gọi H(c) là không gian áo ánh xa

ƒ:G— V sao cho

flx € L?(K) và f(py) = A(p)”ø(p)f():

trong đó A(p) = a(a) là ham modular trên P.

Định nghĩa 1.10 Điểu diễn 7 ctia G trêu H(ơ) cho bởi tink tiếu phíáu phat trêubiếu, tức là m()ƒ(+) = flay), got là biểu dién can sinh ciao lêu ŒÌ.

Đặt p(a) = a(a)1⁄2, với mỗi số phứu s và 2 = ank € G xáo định

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị Dung1.3.1 Giá hệ số cửa chuỗi rời rac, L - gói

Oho G = SL(2,R), tam oúa, G là Z(G) = {g € G|V+z € G, ga = xg}, 7 là biếu

diễn chuỗi rời rạo cla Œ La nói hàm f e Œ%(G) là một giá hệ sô (chuẩn tắc)

đối với 7 nêu với bất kì biếu diễn bat khá quy băng vừa phải 7! ta oó

1 HỒU 27

t / =

: ,

race T (f) | 0 trường hợp còu lại.

ta kí hiệu ƒ„ là giá hệ số đối với z (uó là không, duy nhất) Lich phan quỹ đạocủa ƒ„ đối với phần tử chính quy nửa don + được xáo định bởi.

0,(f,) = 0,(y~!) nêu +là elliptic,

TMTM 0 trường hợp còn lại,

trong đó ©, là dav trưng volta 7.

Định nghĩa 1.12 Xét ruột biếu diễn chuỗi rời ruc m va kí hiệu fy là giá bộ số

tuong ứng Haa biếu dién chuỗi rời rac 7 var! ctta Œ được gọt là thuộc dừng tuột

L-got trếu uới bat bà phan tử tru dow chính guy mauh + ta có

SØ;(z) = cứn,1)5Ø¿(ƒz').

trong đó c(m,!) là hằng số kháo không.

1.3.2 Biéu diễn của GL(2,R)

TẤt va oáo biểu diễn bất khá quy chấp nhận được ola GL(2,R) đều là thương:con olla chuối chính p(s, ga), trong đó py; là đặo trưng, ola R* Oáo biểu diễn

chuối chính là dude vam sinh bởi cao đặo trưng ttt nhóm con Borel:ø(, đa) là

biểu diễn chính quy phai trong không gian áo ham tron sao cho

af (( 5 3 )) = m(a)0a(0) 8

Giá sứ rằng, bích ga là unita, ta 06 ba loại thương von theo giá tri ola = ma `

Vé hành bọc ctw cơng thức vet trêu SL(2,R) Hồng Thị Dung

hĩa, nếu n=l.

- Biểu diễn chuỗi rời rạo ơ(, 2) khi = x”.sign(x) với n € Z\ {0} Những biển

diễn này là unita hoa.

Những biếu diễn kháo nhau là tương đương khi hốn vị py: m(1, Hạ) > (Ha, H1).

1.3.3 Biéu diễn của SL(2,R)

Bất kì biểu diễn bất khá quy oúa S7(2,IR) đồu là hạn chê của biển diễn bat

kha quy, cla GL(2,IR) Hạn chế này, hoặo oĩ phần oịn lại bat kha quy, (là trường,

hợp biếu diễn chuối chính cĩ giá trị tham số cing loại) hoặc bị tách làm hai

thành phần bat khá quy, mà hợp của nĩ là một L-gĩi cho SL(2,R).

Hai biểu diễn a và a’ là óng thuộc một L-gĩi nỗu và chí nỗu trên quan hệ tương:

đương ching được liên hợp bởi a:

1~moAd(o) trong dd a= ( " , )

Tà v6 sự phân loại sau đây:

- Biếu diễn chuỗi chính bat khé quy, z(u) thu được bởi hạn chê oúa z(, yg) biên.

SL(2,R) với wp # x” sign(x),n € 2.

- Biểu diễn hữu hạn chiều z(/) thu được bởi hạn chế ctia z(1q, ða) trên SL(2,R)

VỚI = x" sign(x),n # 0.

- Biểu diễn chuỗi rời rạo L-gĩi o(Dj), Dị) thu được bởi hạn ché ctta ø(, 12)

trên SL(2,R) với = #”.sign(z),n € Z \ {0}.

- Gidi hạn cia biểu diễn chuỗi rời rạo L-gĩi ø(Dÿ, Dạ) thu đượo bởi hạn chế vita

(01, na) trên SL(2,IĐ) với up = sign(3).

Oáo L-gĩi oúa biếu diễn đượo chí rõ bởi ốo dao trưng, và po! là tương đương.

1.4 Tham số Langlands cho SL(2,R)

Tham số Langlands là lớp G— liên hợp vita đồng vau chính hình

y: Lp >G,

12

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị Dung

sao cho hợp với phép chiêu tự nhiên cla 4G — We thành

Lp > ỨŒ > Wr,

là phép chiếu tự nhiên oủa Lp lêu trên We sao cho ánh của, oáo phan ttt của Welà nửa, đơn Thaan số được gọi là thích hợp (với G) nêu ảnh oủa y trong G không,nằm trong, nhóm cou parabolic brừ khi nó là G.

1.4.1 Tham số Langlands cho GL(2,R)

Một than số Langlands cho GL(2,R) là lớp liên hợp đồng oẫu oủa We trong

GL(2,C) với anh nửa don.

Với z = p.e, đặt ysn(z) = pee khi đó trêu liên hop viv ánh xa chap nhận được

Giao của hai tap hợp oáo lớp liên hợp vita oáo ánh xa là lớp những tham sỐ 06

nếu và chí nêu ¿ thude lớp ysn với s và n bất kì.

Tương ứng giữa biểu diễn bất khắ quy, và tham số Langlands cho GL(2,R) thu

được như dưới đây, La oó mot song ánh tự nhiệu giữa cáo lớp tương đương dúa,

13

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị Dung

biểu diễn bat khá quy chap nhận được của GL(2, R) và cáo lớp liên hop oúa đồng:

dấu chap nhận được của We trong GL(2,C) như sau:

(H1, l2) > Ps1,m1,82,M2 VỚI pj = |x|" sign(x)

o(L1; ta) > sn VỚI tìHa() = |x|??sign(x)"*"

trong dO gu¿ (2) = x” sign(x) Tham số Langlands tương ứng với biểu diễn

tăng vừa phải nếu ảnh vita ánh xạ bị chặn tứo là s; thuần áo.1.4.2 Tham số Langlands cho SEL(2,R)

Từ song ánh giữa cáo lớp tương đương của biếu diễn và lớp liên hợp oủa tham

số Langlands cho GL(2,R) suy ra song ánh giữa oáo lớp tương đương L-gói của,

biểu diễn bat khá quy chap nhận được ota SL(2,R) và cáo lớp liên hợp vita oáo

doug cấu chap nhận đượo của We trong PGL(2,C).

- Pham số hoa cho z(w) là lớp liên hợp ola tham số hóa phép chiên ys m dude

xáo định bởi ysm,o0 với u(x) = |z|Šsign(z)”".

- Tham số hóa cho D* là lớp liên hợp ota tham số hóa phép chiếu y, xấo định

bởi

Œ0,n-Va thấy, rằng,

Yon ®£ = ayona ! trong đó a= ( n ' )

Nhung ¢ dó một tam ảnh do đó than số hoa phép chiếu xáo định bởi gon và

Yon ®£ là bằng nhau, Điền này, chí ra rằng ảnh phép chiêu vita a thuộc tâm hóa,

của ảnh phép chiêu oửa gon.

Oho yp là thanh số hóa phép chiếu xáo định bởi yon và Sy, là tầm hóa ánh cửa,

Yn và Gy, là thương của Sy, bởi thành phần liêu thông S9 của nó nhân với

tâm Ze cua G:

+ Khi ø 4 0 ta 06 Gy, = Sy, ~ {1,a}.

+ Khi ø =0 nhóm S2, la một xuyên nhưng, Gy, lai được sinh bởi ánh cúa a.

14

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị Dung

1.5 Nhóm con nội soi của SL (2,R)

Dinh nghĩa 1.13 Nhóuy cow wot sot HỆ dứa phó Gi là thói tua ché tụ tràL-thóuw “H là thành phâu liêu thong cia tam hóa cia mot phan tử wita dow củaL-uhdu *G.

Trong tất ca oáo ví dụ ở trên những đối tượng, trong từng, cap được thay thé bdiliên hợp dưới phần tit w = ia trong, chuẩn hóa cia SO(2) trong: SL(2,C).

Lưu ý rằng nêu o là phần tit khong tầm thường dứa nhóm Galois thì phan tử

_ -1 0

to = wo(wyt = ( 0 ¬)

sinh ra một nhóm von vap 2 và oó thé đồng nhất nó với H!(C/R, SO(2)) Dac

trưng, cla 2-nhóim dude gọi là dav trưng, Hội sot, v6 hai whom com HỘI SOI cla

SL(2,R) tương ứng với hai đặc trung này, Nhóm con nội soi tương ứng với đặc

trưng tầm thường, là chính S7(2,IR), trong, khi đó nhóm con Hội soi tuong ứngvới đặo trưng không tầm thường là xuyên compact T(R) = SO(2,R).

Chương 2

Về hình học của công thức vết

Ohương này sẽ trình bày về vết cla toán tit oó nhân, ông thứo tổng Poisson,từ đó ta biến đối oông thite vết theo tích phân quỹ đạo.

2.1 Vét của toán tử có nhân

Oho G là nhóm compact dia phương, T là nhóm con rời rac cla G và, R làbiểu diễn chính quy cia Œ trên L?(P\G)

LR(g)ø]() = o(xg) với g € Œ,z € T\G.

Ứng với biếu diễn unita oủa nhóin G ta 06 biểu diễn tương ứng của đại số Haar

L(G) (đôi với tích chập) cho bởi

@)= [ Fo ateayda = | sles

Giá sứ ƒ e C%(G) Bang oách tách tích phân, ta oó thé việt

Do đó R(f) là một boán tt tích phan với hạt nhân trou

Vé hành bọc ctw công thức vet trêu SL(2,R) Hoàng Thị DungKí hiệu [+] = {äð"!+ä|ð € P+\F}, trong đó Dx là tầm hoa của + trong TP Khi đó,

trace R(f) = » m{®)trace T(ƒ)

trong đó ở là đối us unita của G, (2) là bội số oủa œ vA trace r(ƒ) là v6t oúa,

toán tử z(ƒ) = fo ƒ(œ)x(z)dz Vì vậy, ta 06 oông, thức

" +\G+) )=À m(z) )trace x (f

iy] xcÑ

Lưu ý rằng trong về trái (vê hình họo) thừa số đầu tiên phụ thuộc vào PT nhưngkhong phụ thudc vào ƒ trong, khi đó thừa số thứ hai lại phụ thuộc vào ƒ ma

không phụ thuộo vào F ương tự cho về phái (vê phố) cia cong thức Phan

phôi O,(f) và trace z(ƒ) là bat biên theo nghĩa bất biên dưới liên hợp oủa ƒ bởimột phần tử của G.