Luận văn thạc sĩ khoa học: Đường đi ngắn nhất trên mặt địa hình và nấm nhầy

Mục lụcLời cảm ơnLời nói đầuChương 1 Kiến thức chuẩn bị1.1 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt địa hình1.2 Dường di và đường đi ngắn nhất trên dãy mặt tam giác...1.

Về tìm đường đi ngắn nhất ít dốc bằng nam nhầy

Trong [5], ta biết rằng ngoài việc nấm nhay có xu hướng co lại thành một tuyến đường vận chuyển chất dinh dưỡng có độ dài tối ưu, ta cũng thấy thêm rằng các tuyến đường của nam nhầy có xu hướng tránh các địa hình quá cao trong quá trình lan truyền và co lại (xem Hình 3.6, 3.7, 3.8, 3.9).

Hình 3.5: (xem [ð]) Đường đi của nấm nhay trên bề mặt địa hình 3D của Đức với mau thức ăn được đặt ở Fiissen.

Hình 3.6: (xem [5]) Đường đi của nấm nhay khi gặp các địa hình quá cao trên mặt dia hình 3D của Đức.

Hình 3.7: (xem [5]) Đường đi của nấm nhay khi gặp các địa hình quá cao trên mặt dia hình 3D của Mỹ.

Hình 3.8: (xem [5]) Đường đi của nam nhay từ Tây sang Dong băng qua dãy núi Ural nối

Hình 3.9: (xem [5]) Đường đi của nấm nhay khi đi qua mô hình địa hình 3D ở miền trung Siberi phía bắc núi Enasimsky, trong khu vực của thành phố Tura.

Qua quan sát, nấm nhay không chỉ giúp xác định đường đi ngắn nhất trên địa hình 3D mà còn có khả năng xây dựng các đường đi ít dốc tối ưu trong 3D Sở dĩ như vậy là do những tuyến đường ít dốc đem lại hiệu quả vận chuyển chất dinh dưỡng tốt hơn so với các tuyến đường có độ dốc lớn (theo [5]).

Ngoài các thí nghiệm kể trên, nhóm nghiên cứu do PGS TS Phan Thành An chủ trì cũng đã tiến hành thực hiện một số thí nghiệm tại trường Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, nghiên cứu về đường đi của nấm nhay trên bề mặt địa hình trong 3D Cụ thể, An và cộng sự sử dụng phần mềm JavaView để tạo ra hai bề mặt địa hình như trong Hình 3.10 và Hình 3.11.

‘Scene Graph: visible and active geometries

El switches scene graph on/off Ê] Geometries

Hình 3.10: Bề mặt địa hình 3D được tạo bởi phần mềm JavaView.

‘Scene Graph: visible and active geometries tabằ switches scene graph on/off Geometries

Hình 3.11: Bề mặt dia hình 3D trơn tương ứng như trong Hình 3.10 được tạo bởi JavaView.

Sau đó, An và cộng sự đã tiến hành in 3D và thực hiện một số thí nghiệm về sự lan truyền của nấm nhay như trong Hình 3.12.

Hình 3.12: Thí nghiệm về sự lan truyền của nấm nhầy trên bề mặt địa hình trong 3D.

Theo bước đầu quan sát, khi tiếp cận được nguồn thức ăn, nấm nhầy có xu hướng co lại thành đường đi ngắn nhất (xem Hình 3.13).

Hình 3.13: Nam nhay có xu hướng tránh các địa hình cao khi lan truyền trên bề mặt địa hình trong 3D.

Tuy nhiên, đến thời điểm hiện tại các kết quả thực nghiệm trên vẫn đang bị gián đoạn, do đó, nghiên cứu trên vẫn cần thêm những thực nghiệm để có được kết luận chính xác về khả năng tìm đường đi ngắn nhất và đường đi ngắn nhất ít dốc trên mặt địa hình kì 4 x của nam nhay.

Qua việc tìm hiểu thuật toán của An, Phú [13] và một số nghiên cứu về nam nhay, luận văn đã đạt được một số kết quả sau: Đầu tiên, luận văn đã hệ thống và trình bày lại một số khái niệm cơ bản về dãy mặt tam giác, đường đi, đường đi ngắn nhất và đường thẳng nhất trên dãy mặt tam giác. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng tìm hiểu các tính chất liên quan đến đường đi ngắn nhất và đường thẳng nhất trong dãy mặt tam giác.

Thứ hai, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt địa hình trong 3D Trong đó, chúng tôi trình bay chi tiết về thuật toán của An, Phú [13] trong việc xác định đường đi ngắn nhất giữa hai điểm dọc theo dãy mặt tam giác tam giác trong 3D bằng phương pháp đường định hướng Đây là cơ sở cho việc tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt địa hình trong 3D Bên cạnh đó, chúng tôi đã sử dung phần mềm JavaView [3] để dua ra các ví dụ minh họa trực quan cho các thuật toán được trình bày trong Chương 2.

Thứ ba, xuất phát từ một xu hướng nghiên cứu gần đây trên thế giới đó là “tính toán lấy cảm hứng từ tự nhiên”, chúng tôi cũng tìm hiểu một xu hướng nghiên cứu về đường đi ngắn nhất đó là tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm bằng nấm nhay Trong đó, luận văn đã trình bày kết quả các thí nghiệm về đường đi của nam nhầy trên bề mặt địa hình trong 3D của Adamatzky và cộng sự [4] và [5].

Bên cạnh đó, trong phần Phụ lục, luận văn cũng trình bày lại một số kết quả sau: Đầu tiên, chúng tôi trình bày lại Thuật toán Xin-Wang để tìm đường đi ngắn nhất chính xác giữa hai điểm trong dãy mặt tam giác.

Thứ hai, chúng tôi trình bày lại thuật toán của Pham- Trong và cộng sự trong việc

73 cập nhật dãy mặt tam giác để xác định dãy mặt chứa đường đi ngắn nhất trên bề mặt địa hình.

Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu phần mềm JavaView để mô phỏng và tính toán cho các đối tượng hình học trong 3D.

Bên cạnh các nội dung đã đạt được ở trên, đến thời điểm hiện tại, vẫn còn những vấn đề mà bản thân học viên cần phải tiếp tục tìm hiểu trong thời gian tới, cụ thể: e Thực thi các thuật toán được trình bay trong luận văn. e Tiếp tục tiến hành các thí nghiệm về đường đi của nam nhay trên bề mặt địa hình trong 3D.

Thuật toán Xin-Wang để tìm đường đi ngắn nhất chính xác giữa hai điểm trên dãy mặt tam giác

Quy trình lật phẳng một dãy mặt tam giác

Giả sử 7 là một dãy mặt tam giác nối điểm đầu s và điểm cuối t Trong quá trình lật phẳng dãy mặt tam giác 7, Xin-Wang thu được ảnh là một dãy mặt tam giác trong 2D. Chang hạn trong Hình A.1 (a), Xin-Wang thực hiện phép quay đối với mặt tam giác 00; quanh trục 0Ăứ; cho đến khi điểm J nằm trong cựng một mặt phẳng VỚI 01020, trong đó A00a0s là một tam giác của 7 Giả sử J’ là ảnh của J qua phép quay quanh trục v1 U2 Mục đích của Xin-Wang là biểu thị các ảnh J và J’ theo một cặp tương ứng.

Goi lL và r_ theo thứ tự là khoảng cách giữa ảnh J với các đỉnh 2, v2 Dầu tiên

Xin-Wang xây dựng một hệ tọa độ phẳng trên mặt phẳng Asus để chứa ảnh nguồn mới J’, như trong Hình A.1(b) Không mất tính tổng quát, họ giả sử 0¡ nằm tại (0,0) và ve nằm tại (b,0), trong đó b là độ dài của cạnh 0s (v3 và I’ phải nằm ở hai phía khác nhau đối với trục x.) Khi đó tọa độ phẳng của I'(x_, y_) và 0z(¿, +) có thể được biểu diễn như sau:

Hình A.1: (xem [41]) (a): Xoay J quanh cạnh 0¡¿ cho đến khi J nằm trên cùng mặt phẳng với tam giác v1, v2, 0s; (b): Xây dựng hệ tọa độ phẳng cho tam giác 00a.

.ỜỚợ Ồ y_ =-,/2 — 22, (A.1) va lì — ri )/b+b 2 a ĐJẹ= l3 — z3, (A.2) khi đó ta có thể tinh độ dai của ||J’v3|| Do đó ảnh của nguồn mới cũng có thé được xác định bằng cách thực hiện phép quay J’ quanh cạnh kề tiếp theo của cạnh 0uạ, đó có thể là trục 0a hoặc 0su; Xin-Wang lặp lại quá trình cho đến khi tính toán được tọa độ của tất cả các ảnh nguồn.

Thuật toán Quy xxx và 77 Chương B Lược đồ tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt dia hình 80

Xin và Wang thu được thuật toán sau bằng cách sử dụng Nguyên lý Fermat rằng ánh sáng luôn đi theo đường đi ngắn nhất.

Chang hạn như trong Hình A.2, Xin và Wang thực hiện việc tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên dãy mặt tam giác trong 2D như sau: (1) đặt một nguồn sáng tại nguồn s và để ánh sáng di chuyển về phía trước theo dãy mặt; (2) nếu ánh sáng bị “chặn” hoàn toàn bởi biên, thì đặt một điểm sáng khác ở đỉnh chặn ánh sáng; và (3) lặp lại quá trình cho đến khi nhìn thấy được đích ¿ Trong Hình A.2, các biến a,b € (0, 1] được sử dụng để biểu thị hai điểm cuối của một đoạn hình chiếu trên một cạnh, và vy và v, được sử dung

Hình A.2: Giả sử rằng đường thang v/’ chia cạnh e bởi phần À Với mỗi A khác nhau, cạnh kề tiếp theo với e là e’ có thể nằm trọn trong chùm tia sáng, một phần chùm tia sáng, hoặc cũng có thể không nhận được tia sáng từ nguồn J’. để chỉ định hai đỉnh chặn ánh sáng Khi đó, Xin và Wang [41] đã đưa ra thuật toán sau.

Thuật toán 6 (xem [41]) Đầu tiên, ảnh J nằm ở đỉnh nguồn sáng s, như trong Hình A.2 (a) Gọi e là cạnh đối diện với J, và v và v, là hai điểm cuối của e Đặt a := 0 và b:= 1 Khi đó, thuật toán tiến hành như sau.

Giả sử co là cạnh bên cạnh e Khi đó eo và e xác định một mặt ƒ và có một đỉnh chung Gọi ứ là điểm cuối của e9 khỏc với đỉnh chung Khong mất tớnh tổng quỏt, giả sử ứ là điểm cuối bờn trỏi của eg như Hỡnh A.2 (b) Khi đú, ta xõy dựng một hệ tọa độ phẳng trong mặt phẳng của ƒ.

I Tớnh phần phõn chia \ trờn cạnh eo bằng đường thang 0ẽ.

I Nếu A < a, chẳng hạn như trong Hình A.2 (b), thì

1 Tính phần phân chia mới a,b trên cạnh e’.

Nếu khác a < À < b, chang hạn như trong Hình A.2 (c), thì

2 Tính toán b mới và nguồn sáng J mới.

Nếu khác, chẳng hạn như trong Hình A.2 (đ), thì

II Lap lại quá trình cho đến khi nguồn sáng chiếu đến được điểm cuối t.

Hình A.3: (xem [41]) (a): Một nguồn sáng được đặt tại s tại thời điểm ban đầu; (b): Nguồn sáng đặt tại s chiếu đi xa nhất có thể trong dãy mặt cho đến khi bị chặn lại bởi biên của dãy mặt; (c): Thay thế nguồn sáng ban đầu bởi một nguồn sáng mới đặt tại điểm v; (d): Điểm cuối t được nhìn thấy từ nguồn sáng tại 0, khi đó Thuật toán 6 đưa ra đường đi ngắn nhất từ s đến ¢ (đường in đậm).

Hình A.3 mô tả cách thức hoạt động của Thuật toán 6 Khi kết thúc thuật toán, ta thu được đường đi ngắn nhất trên dãy mặt nối hai điểm s và Dinh lý sau chỉ ra tính đúng đắn và độ phức tap tính toán của Thuật toán Xin-Wang.

Thuật toán 6 trong sách [41] có thể xác định một đường đi ngắn nhất duy nhất giữa hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng tam giác Độ phức tạp tính toán của thuật toán này là O(k) trong trường hợp tốt nhất và O(k²) trong trường hợp xấu nhất, trong đó k biểu thị số cạnh kề của một cạnh trên mặt phẳng tam giác.

Lược đồ tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt địa hình

Trong Chương 2, chúng tôi đã trình bày thuật toán tìm đường đi ngắn nhất chính xác giữa hai điểm dọc theo dãy mặt tam giác trong 3D bằng phương pháp Đường định hướng. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày thuật toán của Pham-Trong và cộng sự để tìm ra dãy mặt chứa đường đi ngắn nhất chính xác địa phương trên bề mặt địa hình.

Làm mới dãy mặt tam giác trên bề mặt địa hình

Xét một bề mặt địa hình 7, s và £ là hai điểm cố định trên P Sau khi xác định được đường đi ngắn nhất từ s đến £ dọc theo dãy mặt khởi tạo (được xây dựng từ bề mặt địa hình P), Pham-Trong và cộng sự [32] tiến hành việc làm mới dãy mặt đã chọn cho đến khi tim ra day mặt tam giác chứa đường đi ngắn nhất chính xác địa phương trên 7.

Theo Bo đề 1.3.2 trong [32], ta biết rằng tất cả các điểm chuyển của đường đi ngắn nhất P(s,t) bất kỳ trên 7, ngoại trừ điểm đầu s và điểm cuối , là tập con của V, trong đó V là tập của tất cả các đỉnh của dãy mặt 7 đang xét Gọi V’ là tập chứa tất cả các điểm chuyển của P(s,t) Gọi v; là một điểm chuyển của dãy mặt kề nhau mà ta đang xét, và œ¿ là đỉnh tương ứng của mặt tam giác phân và Ty, Ty41, , Tet, là các mặt của dãy mặt đã trải phẳng mà chứa các điểm chuyển v; Suy ra, trong dãy mặt đã được lật phẳng này, đường đi ngắn nhất đi qua mặt 7ÿ, đỉnh vj và mặt Tị,,„.

Khi đó ta ký hiệu 7ÿ, Tị¿q, , Trees Tetrtis > Th+s;(Tš+s+‡i = Tr) tập hợp có thứ tự của tất cả các mặt của khối đa diện chứa đỉnh của V Việc làm mới của dãy mặt đã trải phẳng đối với đỉnh v; dựa trên việc xem xét các mặt bổ sung, cu thể đó là các mặt 11/1

Hình B.1: Trong hình bên trái, ta thấy rằng đường di ngắn nhất (đường màu đỏ) khong đi qua các mặt được tô màu xanh lam Do đó, ta tiến hành làm mới dãy mặt xung quanh điểm v; bằng cách giữa lại các mặt mà đường ngắn nhất (đường màu đỏ) đi qua, bỏ di các mặt mà đường ngắn nhất không đi qua, và thêm vào các mặt còn lại kề với đỉnh 1; trên bề mặt địa hình.

Mệnh đề sau sẽ cho ta biết tại sao việc làm mới dãy mặt xung quanh các điểm chuyển có thể giúp tìm ra được đường đi ngắn nhất địa phương.

Mệnh đề B.1.1 (xem [32]) Việc cập nhật một dãy mặt tam giác zung quanh một điểm chuyển làm cho độ dài của đường đi ngắn nhất giảm hoặc không thay đối.

Sau khi thực hiện việc làm mới dãy mặt xung quanh các điểm chuyển của đường di ngắn nhất trên dãy mặt đó, một trong hai trường hợp sau sẽ xảy ra.

1 Đường đi ngắn nhất tìm được trên dãy mặt tam giác sau khi làm mới không có điểm chuyền ‹ 2

2 Các điểm chuyển Ciransfer Ở trong dãy mặt trước đó vẫn là các điểm chuyển trong dãy mặt mới Khi đó, Pham-Trong và cộng sự [32] gọi các điểm đó là điểm critical và không thực hiện việc làm mới dãy mặt xung quanh các điểm này nữa.

Lưu ý rằng, đường đi ngắn nhất giữa hai điểm bất kỳ bề mặt của một khối đa diện lồi không đi qua đỉnh Do đó, trong trường hợp này, đường ngắn nhất địa phương nếu

81 tìm được sẽ không có điểm chuyển nào Xét trường hợp bề mặt địa hình bất kỳ (có thể lồi, có thể không lồi), thì đường đi ngắn nhất có thể đi qua một số đỉnh Bởi vì việc làm mới dãy mặt xung quanh điểm chuyển có thể không làm mất đi điểm chuyển đó khi thực hiện việc tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm cho trước trên dãy mặt mới (xem [32]).

B.2 Lược do tìm đường đi ngăn nhat giữa hai điểm trên mặt địa hình

Việc tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm đã cho trên một mặt địa hình bao gồm: e Thứ nhất là việc xác định đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trên một dãy mặt tam giác. e Thứ hai là việc tìm ra dãy mặt chứa đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt địa hình.

Trong [32], Pham- Trong và cộng sự sử dụng kỹ thuật beam propagation để xác định đường đi ngắn nhất trên từng dãy mặt để từ đó làm cơ sở cho việc làm mới dãy mặt Tất nhiên ta cũng có thể thay thế thuật toán đó bằng Thuật toán 5 để xác định trực tiếp đường đi ngắn nhất giữa hai điểm dọc theo dãy mặt trong không gian 3 chiều mà không cần đến việc lật phẳng dãy mặt Giả sử rằng ta được cho trước hai điểm s € Ty và t € T, trên mặt địa hình 7 Khi đó, ý tưởng của Pham-Trong và cộng sự [32] có thể được mô tả như sau.

1 Chon một dãy mặt ban đầu 7 = {7§,71, , Tn} nối hai mặt tam giác Tp và Th.

2 Ta tiến hành tìm đường đi ngắn nhất từ s € Ty đến f € 7; doc theo dãy mặt kề T bằng Thuật toán 5 Khi đó, đường đi ngắn nhất có thể chứa một số điểm chuyển.

3 Dối với mỗi điểm chuyển, ta làm mới dãy mặt kề xung quanh điểm chuyển đó Sau khi thu được dãy mặt mới, ta tiến hành lặp lại Bước 2 Khi kết thúc quá trình này, đối với các điểm chuyển không thay đổi sau khi làm mới dãy mặt sẽ không cần làm

82 mới dãy mặt quanh điểm đó nữa Cứ như vậy cho đến khi thu được một trong hai trường hợp sau:

— THI: Đường đi ngắn nhất tìm được trên dãy mặt tam giác sau khi làm mới không có điểm chuyển.

— TH2: Các điểm chuyển Ctransfer ở trong dãy mặt trước đó vẫn là các điểm chuyển trong dãy mặt mới Khi đó, Pham-Trong và cộng sự [32] gọi các điểm đó là điểm critical và không thực hiện việc làm mới dãy mặt xung quanh các điểm này nữa.

Khi đó, ta thu được đường đi ngắn nhất địa phương trên mặt địa hình đã được tam giác phân từ s đến t.

B.3 Vi dụ minh họa bằng phần mềm JavaView