Luận văn thạc sĩ khoa học: Biến đổi tích phân fourier trong các không gian Schwartz L1(Rn) và L2(Rn) và ứng dụng

DAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN VĂN MANH

BIEN DOI TICH PHAN

FOURIER TRONG CAC KHONG GIAN

SCHWARTZ, L'(R") VA L?(R") VA UNG DUNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.TS NGUYEN MINH TUAN

HÀ NỘI - Năm 2013

Mục lục

MỞ ĐẦU 3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 5

1 BIEN DOI TÍCH PHAN FOURIER 6

1.1 Các không gian CƠ SỞ 2 vo 61.117 Không glanÑ” Q Q Q Q Q Q Q Q v 6112 Khong gian LP(R") 2 Ốc 61.1.3 Không gian Schwartz S(Ñ") ĩ

1.2 Biến đổi tích phan Fourier trong không gian Schwartz 7

1.3 Biến đổi tích phan Fourier trong không gian L'(R) 10

1.3.1 Định nghĩa, một vài tính chất đơn giản và vidu 10

1.3.2 Bo đề Riemann - Lebesgue 12

1.3.3 Đạo ham của một hàm và biến đổi tích phân Fourier của nó 141.3.4 Cong thức nghịch đảo 2.0.2 20 16

1.3.5 Chập củahaihàm 0.0040 181.3.6 Tính duy nhất của biến đổi tích phân Fourier 21

13.7 Định lý kha tich 2 0.200.020.0000 0.02004 221.3.8 Khả tích Abel và khả tích Gauss 27

1.4.6 Chuan, tính liên tục, dang thức Parseval 44

1.5 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian /2 44

1.5.1 Phép biến đổi trong không gian Hilbert 44

1.5.2 Định lý Plancherel Ặ 45

15.3 Tong quát về tinh kha tich 52

1.5.4 Biến đổi tích phan Fourier trong /2(Ñ*") 54

1.5.5 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phan Fourier của01101 ee 582 UNG DUNG BIEN ĐỔI TÍCH PHAN FOURIER ĐỀ GIẢICÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 652.1 Bài toán Dirichlet trong nửa mặt phẳng 66

2.2 Bài toán Neumann trong nửa mặt phẳng 68

2.3 Bài toán Cauchy với phương trình khuếch tán 69

2.4 Bài toán Cauchy với phương trình sóng 74

KET LUẬN Quy 77TÀI LIEU THAM KHAO 78

MỞ ĐẦU

Lý thuyết biến đổi tích phan Fourier đã và đang được ứng dụng mạnh mẽ

trong Toán học hiện đại, Vật lý, Cơ học, và nhiều lĩnh vực công nghệ, kỹ thuật

khác Đặc biệt là áp dụng biến đổi tích phan Fourier để giải phương trình đạo

hàm riêng nói chung và bài toán giá trị ban đầu hay bài toán biên nói riêng làmột trong những ứng dụng thú vị đã được nhiều nhà khoa học quan tâm Vì

vậy, biến đổi tích phân Fourier đã được các nhà khoa học nghiên cứu rất nhiều,

các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú và đa dạng.

Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về biến đổi tích phân Fourier vàứng dụng để giải các phương trình đạo hàm riêng Nội dung của luận văn gồm

hai chương.

1 Biến đổi tích phân Fourier

Giới thiệu phép biến đổi tích phân Fourier trong các không gian Schwartz,

phương trình đạo hàm riêng.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn

Minh Tuấn, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, người đã tận

tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thay, thong qua luận văn tác giả cũng xingửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong hội đồng phản biện đã đọc vàđưa ra những ý kiến quý báu giúp bản luận văn hoàn thiện hơn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau Dai học, Khoa

Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc giaHà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại

Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Hành chính tổ chức, KhoaKhoa học cơ bản trường Cao dang Thủy sản và gia đình đã luôn động viên, giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt khóa học.

Do năng lực, kinh nghiệm và thời gian còn nhiều hạn chế nên luận văn chắc

chắn không tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn của tác giả Vì vậy, tác

giả rất mong nhận được nhiều những ý kiến đóng góp của thầy cô, bạn bè và

đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn cả về nội dung và hình thức.Tác giả xin chân thành cảm on!

Hà Nội, ngàu 28 tháng 10 năm 2018Tác giả

Nguyễn Văn Mạnh

6 jal =a, +aa~+ + an.

7 (G1, Ba, ,Bn),a < Ø8 © aj < Bj, với mọi j.

8 2= 211227

9 Dj = 2 là toán tử lấy đạo hàm riêng th dD = Ba, à toán tử lay đạo ham riêng theo 2;.

10 D = (Dị, Dạ, Dn).11 DY = DTM DS D&.

Không gian L?(R"), (1 < p< +œ) là tập hợp tất cả các ham số xác định và

đo được trên R", sao cho

|ire)Pa: < +00 (1.1)

Trong L?(R") hai ham được gọi là đồng nhất với nhau nếu chúng bằng nhauhầu khắp nơi, do đó các phan tử của L?(R”) là lớp tương đương các hàm dođược thỏa mãn (1.1), hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơitrên L?(R”) và f € L?(R"), ƒ = 0 nếu ƒ(z) = 0 hầu khắp nơi trên R” Khi đóI(R") là không gian véc tơ với phép cộng hai hàm số và nhân một số với hàm

số Chuan trong L?(R") được định nghĩa như sau

I| f(x NI )Jfdz | (1.2)

Khi đó /(R") với chuẩn (1.2) là không gian định chuẩn day đủ (Banach).

1.1.3 Không gian Schwartz S(R")

Không gian các hàm giảm nhanh S(R") là tập hợp

5(R") = {¿ C%(R")||z®D”¿()| < cag,V+z € R",a, 9 € Zh},

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau.

Day {¿¿}_¡ trong S(R") được gọi là hội tụ đến ¿ trong S(R") nếulim sup |x° D? pe (x )— x° D”¿(»)| =0,Va, 8€ Zt.

1.2 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian Schwartz

Định nghĩa 1.1 Biến đổi tích phan Fourier #ƒ(£) hay f(€) của ham f(x) €

do e'(*-).r° f(x) c6 tích phân trên R” hội tụ đều theo € Do đó Ff € CTM*(R").

Mặt khác, bằng phép tinh tích phân từng phan ta có

EF(E) = II [eps ravae

Re R"

= (HF (DEF (2))().

Như vậy, với mỗi a, Ø € Z7! ta có

€°D#(Zƒ)(£) = / el) (iD,)°((in)® f(x) de.

Vi vay

Bna 8 Qa II\@+T ¬ ee

sup |£ DEFAE)| <_ sup |De((2)*)F(e))| (1+ lle J ase”

< C sup (1+ |le|?)"* lS ° [D7 F(a).

* +<8

Từ đó, ta có Ff € S(R"), và biến đổi tích phân Fourier là ánh xạ tuyến tính liên

tục trên S(R").

Ví dụ 1.1 Tìm biến đổi Fourier của ham f(x) = e-?llẺ,

Lời giải Theo định nghĩa ta có

Dé tính được tích phân cuôi cùng ta xét ham f(z) = e > của biên phức z và

miền xác định Dr như Hình 1.1 Ta xét hướng dương đi vòng quanh biên 97p.

8

Vì f(z) là hàm chỉnh hình trong miền xác định này nên theo Dinh lý Cauchy ta

F(e 5" )=e “8 T] m= (2z)2e_ ?||KlỦ,

1.3 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian L'(R)

1.3.1 Định nghĩa, một vài tính chat đơn giản và ví dụ

Định nghĩa 1.2 Biến đổi tích phân Fourier #ƒ(a) hay fla) của ham f(z)

được xác định bởi

F f(a) = fla) := / el" f(x)dx

trong đó a là một số thực Lớp hàm đơn giản nhất ta có thể làm quen là lớp

ham Lebesgue trên ”!(R).

Nếu f(x) € L1(R) thì f(a) là tồn tại với mọi a Chúng ta sẽ đưa ra chỉ tiếtmột vài tính chất của ƒ fla ).

Cho e > 0, ta có thé chon R đủ lớn và sau đó y du nhỏ sao cho biểu diễn

cuối cộng lại nhỏ hơn e.

3 Nếu c¡ và cz là những số thực và F là toán tử tác động lên ƒ vào trong ƒ,

thì ta có

Fler fi + cafe) = a.F fi + c2.F fo,

1~ơ —— =

JI£2)] = Fh), FIF(@)] = ƒ(=a),

ở đó () là biểu thị của số phúc liên hợp.

10

4 Nếu dãy hàm ƒ„(z) + f(x) theo chuẩn trong L', thì day các biến đổi tích

phân Fourier của chúng ?2(a) > fla) đều trong —oo < a < +00.

Lời giải Ta có f € L!(R), và

0 +00

fla) = [coe lar = fetroars [ ám Đau

R —œc 01 1 2

7 It+ia l-ia l+at

Rõ rang f(a) e L!(R) Dé thị của ƒ như Hình 1.3.

'Ta có

Vì vậy

|ứx(a)|< =.lai

Kết quả này cố định với mỗi hàm bậc thang ƒ(z) hàm mà là hằng số trên một

khoảng hữu hạn (bị chặn) và triệt tiêu ngoài khoảng đó, trên phép toán của tính

chất 3 mục 1.3.1 Các hàm bậc thang nay là trù mật trong không gian 7!(R),điều này có nghĩa là, với mỗi e > 0, tồn tại một hàm bậc thang ƒ; thỏa mãn

e Nếu œ€ (—A,A), thi f(a) =1

1.3.3 Đạo hàm của một ham và biến đổi tích phân Fourier của nó

Mục đích của ta là sẽ chứng minh rằng nếu

Nhung trước khi chứng minh, ta có chú ý rằng.

1 Nếu f(x) có biến đổi tích phan Fourier f(a), thì ƒ(z)e“° có biến đổi tích

phan Fourier f(a +h).

2 Nếu f(x) có biến đổi tích phan Fourier f(a), thi f(x +h) có biến đổi tíchphân Fourier f(a)e~®".

Hai tính chat trên chứng tỏ đã biết tính chất của nghịch đảo, từ đó ta kết

eh —1 ƒ(x+h)— ƒ(œ@)

3 #[ƒ@)——] h „VỀ

ath) — fla ~ ve ith _ 1

Cho h — 0 trong (3) va (4) ta nhận được một cách hình thức,

Định lý 1.2 (i) Nếu f(x) € LÌ, va p(x) = izƑ() € Li, thi f (a) ton tai, vapla) = f (a).

(ii) Nếu f(x) € L!, g(x) = ƒ'(+) € L1, thi Gla) = —iaf(a), ngoài ra

#/„(œ)| > Flix f(x)] đều, khi h — 0.

Do đó, tai mọi điểm a, tồn tại đạo hàm f (a) theo hướng thông thường, và

(ii) Nghĩa chính xác của giả thiết là tồn tại một hàm g(r) e L' hàm mà có théchọn để ký hiệu bởi ƒ (x) và một tích phân xác định của nó

Do đó, f(A) — I, tương tự f(—A) + —m Vi f(x) € LI(R) ta phải có 1 = —m =0,

và điều này trước hết chứng minh được

Nhung các giới han tại biên triệt tiêu bởi vi, 1 = —m = 0 Do đó

Go) = —ief (a).

Nhận xét Có một định lý mạnh hơn bắt đầu rang nếu f(x) € L!, va ƒữ)(z) € HÌ,thì /(z), , ƒ/#—Đ(z) € L1 Chúng ta sẽ nói rõ hơn định lý này ở phan sau.

Ta cĩ, Ig = 0 bởi Bo dé Riemann - Lebesgue, và do ool) kha tich tuyét doi trong

(0, 5), từ đĩ suy ra rằng 7 = e(ổ) > 0, khi 6 > 0.

Nhận xét Dinh lý 1.3 chỉ ra rằng nếu f(x) € L(R), thì sự hội tụ của Šp(z) tới

f(x) tại một điểm chỉ phụ thuộc vào dáng điệu của f(x) trong lan cận của điểm

đĩ Điều này là địa phương hĩa của Dinh ly Riemann.

Ví dụ 1.5 Cho f(t) =e74l, ta cĩ fla) = Trà (Ví dụ 1.2.),

Vì ƒ là trơn từng khúc nên suy ra

R

ela i lim / ew da.1 Roe J 1+a?

Trong trường hợp này ƒ là khả tích tuyệt đối, và ta cĩ thể viết đơn giản+00

khi nhân bởi z)

1.3.5 Chap của hai hàm

Cho ƒ(+),ø(z) € L!(R), và cho f(a), g(a) là các biến đổi tích phân Fourier

tương ứng Chap của ƒ và g được xác định bởi

Bây giờ, ta sẽ chứng minh một kết quả được xem như là biến đổi tích phân

Fourier của chập của hai hàm là tích của biến đổi tích phan Fourier của chúng.

Định lý 1.4 Nếu f,g € L!(R), thà tích phân xác định h(x) là tồn tại uới moi x,

thuộc L!(R), va

IIh(JJ| < lIƒ(z)||-|lø(z)|l:

Ngoài ra, nếu h(a) là biến đối tích phân Fourier của h(x), thà

h(a) = f(a).G(a).

Chứng minh Trước hết ta chú ý rằng, nêu f(x) là đo được theo z, thi f(x —y)

là đo được theo (x,y) Dé chỉ ra rằng

Vì vậy

[ae -oilaoiae

ton tại Mặt khác bởi Dinh lý Fubini, suy ra rằng

li ~ t)g(t)dt

tồn tại, và h(z) tồn tai hầu khắp nơi, và thuộc L'(R) Hơn nữa,

Re) = [Ne)ear= [ deem fee gel

điều này được suy ra từ Dinh ly Fubini với ƒ(z — g)c'#~=#)g()e?% tương ứng với

vị trí của f(x — y)g(y) trong Dinh lý Fubini.

Lời giải Dat g = ƒ x ƒ Việc tính chập một cách trực tiếp là rất vất va Thay

cho việc này, ta sử dụng Dịnh lý 1.4 Ta bắt đầu từ thực tế rằng fla) = rele

19

(Ví dụ 1.5.), điều này có nghĩa rằng

/ dt = re7!@l, (1.4)1+2

Theo Dinh lý 1.4, ta có G(a) = ( fla)) = 72e-Pl, Bay giờ, trong (1.4) ta thay

a bởi 2a, nhân với z và đổi biến 2t = y, ta có

1.3.6 Tính duy nhất của biến đổi tích phân Fourier

Suy ra Guc(a) = 0 (=) „ khi |a| oo.

Vì vậy, từ ga,-(a) là liên tục va bị chặn, ta có

Gae(a) € L*(R) (1.5)Ngoài ra, ga,-(x) thỏa mãn các điều kiện của Dinh lý 1.3 tại moi điểm —œ < x <

+oo Do đó theo Dinh lý này ta có

lấy tích phan, đã được chứng minh là hội tụ tuyệt đối trong (1.6).

Từ điều kiện f(a) = 0, ta có

[fou = 0, với mọi a và ổ.

Do đó f(x) = 0 với hầu hết mọi z, điều này cho thay f(x) không là hàm của lớpL!(R) hay đúng hơn, không là một phần tử của không gian Banach L!(R).

Chú ý Chúng ta sẽ mở rộng Định lý cho trường hợp nhiều biến trong phần tiếp

K(0) = 1, K(o) là liên tục tai a = 0 (1.9)

K(a/R) có thé kha nghịch tại điểm gốc, nghĩa là 1 = pf Renna (1.10)

trong ký hiệu của mục 1.3.5.

t ft † t/2

25

Dinh ly 1.6 Nếu (1) K(a) € L'(R), (2) K(0) = 1, (3) K(a) là liên tục tai

a=0 tà (4) K(a) = K(-a), nếu (5) H(t) là đơn điệu tăng trong 0 < t < co va

Chú ý rằng H(t) là chan, vì vậy K(qa) là chan, va ta sẽ chứng minh khang

định này ở phần sau trong Định lý 1.11, giả thiết (8) là hệ quả của các giả thiết

\15| < 8L) Hl fn (Rt)dt = _ J mue= 0) khi R + +00, bởi giả thiết (7).ừ (1.18), (1.19) và (1.20) ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.7 Giá thiết (1) K(a) là tương tự như Dinh ly 1.6 va H(t) thỏa mãn

giả thiết (8), (2) Ton tại một hàm Ho(t) thỏa mãn giả thiết (5), (6), (7) của

H(t) trong Dinh ly 1.6, sao cho |H(t)| < Ho(t).

Nhận xét Trong Dinh lý 1.7 giả thiết trên #Z(a) và giả thiết (8) là chỉ cần thiết

để đảm bao cho sự biểu diễn tích phân của SẼ (z).

Dinh lý 1.6 bao gồm cả trường hợp khi K(a) = e"†l# (Albel), và K(a) = e~*

(Gauss) nhưng không (Fejer)

hầu khắp nơi với f(x) € L! bởi định lý co sở trên tính liên tục tuyệt đối của tích

phân xác định, do đó Dịnh lý 1.6 chứng tỏ rằng biến đổi tích phân Fourier của

một hàm trong 7! là khả tích Abel (Gauss) hầu khắp nơi.

26

“eo = = _ se ® YVdydx = se—# [yg

€ 2 [ fe cos axe udz / a y

y=0 z=0 0

/ ` pa? u? va và

= du= | y(uje ° du,0 0Vr du? J

27

trong đó +(u) > 0.Cho a = 0, ta có

Tổng quát hơn, ta có định lý sau.

Dinh lý 1.9 Giá thiết rằng: (1) Cho K(a),A(a) là xác định với 0 < a <

+oo, K(a), A(a) là đương, K(0) = A(0) = 1, ton tại một hệ thúc

Do đó trong (1.21) ta có thể cho R + + vào dưới dẫu tích phân va sau đó làm

trội giới hạn ta được

Do fla) > 0, ta có thể chuyển qua giới hạn khi R + +00 vào dưới dấu tích phan,

1 Nếu f(x) € L!, f(z) là liên tục và f(a) € L1, thì công thức nghịch đảo tồn

tại moi nơi.

2 Nếu f(x) € L!, f(x) là bị chặn và liên tục, và f(a) > 0, thì công thức nghịch

đảo tồn tại mọi nơi.

1.3.10 Tính liên tục theo chuẩn

Plo) € E`, f(ø) = fla +h), ||| = / If(z)|dz = A

thi || fall = |lZ|I Cho

w(h) = ||f(ø) — fala N= [3= fle +h) lax.

Thi w(t) là chan, và bị chặn, 0 < w(h) < 2A, w(h1 + hạ) < w(h1) + (ha), w(0) = 0.

30

Định lý 1.12 w(t) > 0 khí h — 0.Chứng minh Giả sử

và bởi Dinh lý 1.12, w(t) 0 khi t — 0, do đó

|h(z) — h(a + t)| = e(t) =0(1), khi £ — 0.

31

Định lý 1.14 Nếu f(x) là ham bị chặn thuộc L, thi

[ve yae= a5 | ie )Paa,

tích phân nay là xác định.Chứng minh Lập hàm

theo Định lý 1.4 ta thấy rằng,

#[n(z)] = [ƒf(a)l? > 0

Theo Định lý 1.13, h(x) là bị chặn, liên tục và thuộc L! No có biến đổi tích

phân Fourier dương Vì vậy theo Định lý 1.11, công thức nghịch đảo tồn tại mọi

fr fet v)Fo)dy = + [ie ) Pe da.

Cho x = 0, ta có điều phải chứng minh.

Dinh ly 1.15 Nếu f(x), g(x) là các ham bi chăn, thuộc L', thi

Chứng minh Theo Dinh lý 1.14,

/ IFl@)l? < +00, / lậ(a)#< toe.

vi w(t) là bi chặn và w(t) — 0 khi — 0, trong khi tH(t) + 0 khi t > +oœ.

Nhận xét Chúng ta đã chứng minh được rằng dưới điều kiện thích hợp thì

(i) SẼ (z) > f(x) hầu khắp nơi, khi R + +00,(ii) SẼ (z) + f(x) theo chuẩn trong 71.

1.3.12 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier chúng

Chúng ta nhớ lại Định lý 1.2, Định lý nói rằng

(i) Nếu f(x) € L!, và h(x) = iƒ(+) € L', thi h(a) = f(a),

(ii) Nếu ƒ(z) € L', g(x) € L1, va g(x) = f'(2), thi g(a) = —ia f(a),

Bay giờ ta sé chứng minh

Dinh lý 1.17 Nếu f(x) € L', g(x) € LẺ va Gla) = Ở[g] = ~iaf (a), thi g(x) =

f(x) hau khắp noi, điều đó có nghĩa là

33

Chứng minh Trường hợp đặc biệt, giả sử rằng fla), Gla) € L'(R) Trong

trường hợp nay, ta có thể sử dung công thức nghịch đảo và do đó, với hau hết

Mặt khác, ƒp(z) hội tụ hầu khắp nơi tới f(x) bởi Dinh lý 1.6 Do đó, với hầu

Dinh lý 1.18 Nếu f(x) € L!,gø(z) € Lt, va nếu gla) = (—ia)" f(a) ở đó n là số

nguyên dương, thi f có đạo hàm cấp n, tat cả đều thuộc LÌ.

Chú ý rằng kết luận trên hàm ý rằng tất cả (—ia)* f(a), k = 0,1, ,ø là những

biến đổi tích phân Fourier.

Chứng minh Trước hết ta sẽ chỉ ra rằng nếu f(a) € F, và (—ia)" f(a) €#,n >2, thì (—ia) f(a) e Ø (f € F có nghĩa là ƒ là một biến đổi tích phan Fourier).

VỚI, là một biến đổi tích phân Fourier vì vậy theo Dịnh lý 1.4,

(~ia)" Fla) — Ai |e(atari = A+ f(a)

Biểu thức bên trái thuộc F và hai số hạng cuối cùng bên phải cũng thuộc F.

Giả sử K(a) =e", ƒn(z) = ot ice Như trong (1.13) ta có

Cả hai hàm (—ia)"F(a)e~®, f(a)e-®” xuất hiện trong (1.26) và (1.28) đều

thuộc L'(R) và nhờ vào việc thay thé i bởi —¡, hàm 2“ƒ¡(z) xuất hiện như là

biến đổi tích phân Fourier thông thường của cả hai Theo Định lý 1.5 và tính

liên tục theo a, ta kết luận rang chúng là bằng nhau va do đó

(—ia)" Fla) = F(a).

36

1.4 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian /!(R")

1.41 Bồ dé Riemann - Lebesgue, chập của hai hàm

Khi đó ƒ(œ œ„) được gọi là biến đổi tích phan Fourier của f(x, ,2,) Đôi

khi ta ký hiệu hàm và biến đổi tích phan Fourier của nó bởi f(x) và f(a) tương

Do đó fla) tồn tai và bi chặn với moi a.

Chúng ta sẽ chứng minh Dinh ly như trước đó, với một tập con trù mật khắpnơi của lớp hàm thuộc 7! - gọi là ham bậc thang Giả sử g(x) = 1 bên trong hộpn chiều aj; < aj <b; và g(x) = 0 bên ngoài hộp đó Khi đó

— o8 8 .& —— ®š&&83

Theo Bổ đề Riemamn - Lebesgue với hàm một biến, mỗi thừa số là bị chặn và dần

về không khi )> a? + +œ Rõ rang rằng, nếu a; => +00 với mỗi r thi g(a) — 0,

sự hội tụ là hội tụ đều theo a Do đó g(a) + 0 với hàm hộp, do đó cũng dần vềkhông với hàm bậc thang Mở rộng tới mọi hàm thuộc L! được suy ra như mục

1.3.1 Vì mọi hàm trong U!(R*) là một giới hạn của hàm bậc thang của loại vừa

giới thiệu trong L!.

Định lý 1.21 Nếu Ff =f, va Fg =9, trong đó ƒ,g€ LÌ, thi

| roamav.= | s03),

R” R”

Chứng minh là tương tự như trường hợp một biến.

Định lý 1.22 Nếu f,g € L', thi chập của chứng h(x) được xác định như sau

Trong trường hợp một biến, ta đã chứng minh được rằng hai hàm thuộc L!

có cùng biến đổi tích phân Fourier là bằng nhau hầu khắp nơi Bây giờ, ta sẽ

đưa ra chứng minh tương tự với nhiều biến Trước khi chứng minh, ta có vài