giới hạn đạo hàm riêng các ứng dụng của bài toán cực trị và tích phân suy rộng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓMHỌC PHẦN: ĐSTT BS6001 Giới hạn - Đạo hàm riêngCác ứng dụng của bài toán cực trị và tích phân suy rộn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001

Giới hạn - Đạo hàm riêng Các ứng dụng của bài toán cực trị và tích phân suy rộng Sinh viên thực hiện : - Tạ Duy Anh ( Nhóm trưởng )

Ngô Thị Anh Lưu Hoàng Anh

Đỗ Tuấn anh Nguyễn Xuân Ánh Bùi Văn Hồ Bắc Trần Kim Anh Trần Tuấn Anh Phùng Đức Anh

Tên lớp : DHKTPM 03

Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Thị Quỳnh

Hà Nội , ngày 31 tháng 1 năm 2023

Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm, tổng điểm đánh giá của các thành viên và qui đổi ra hệ số cá nhân

STT Họ tên Nhiệm vụ Thái Độ Đánh giá

(100) Quy đổi về HSCN

1 Đỗ Tuấn Anh

2 Lưu Hoàng Anh

3 Ngô Thị Anh

4 Phùng Đức Anh

5 Tạ Duy Anh

6 Trần Thị Kim Anh

7 Trần Tuấn Anh

8 Nguyễn Xuân Ánh

9 Bùi Văn Hồ Bắc

Mục lục

I Phần mở

đầu………

…………3

II Phần nội dung báo

cáo……… …3 Giới hạn và đạo hàm riêng §1

……… 4

1.1 Các định nghĩa và một số giới hạn cơ bản

………

1.2 Đạo hàm riêng

……… 1.2.1 Định nghĩa ………… ………… ………… …………

………… ………

1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao

………

Ứng dụng của tích phân suy rộng và bài toán cực trị ………9§2 2.1 Tích phân suy

rộng………9 2.1.1 Định

nghĩa……… 2.1.2 Ứng dụng

……… 2.2 Bài toán cực trị

………12 2.2.1 Định

nghĩa……… 2.2.2 Ứng dụng

……… Phần kết luận

……… 23

Kết luận về giới hạn và đạo hàm riêng §1

………

3

§2 Kết luận về ứng dụng của tích phân suy

rộng………

§3 Kết luận về ứng dụng của bài toán cực

trị………

Tài liệu tham khảo

……….…24

I Phần mở đầu

Qua các khái niệm về giới hạn và đạo hàm riêng được đề cập dưới đây chúng ta cũng sẽ đi sâu hơn về một số Bài tập minh họa để có thể hiểu rõ hơn bản chất của vấn đề

Để thấy bản chất của hiện tượng cũng như mở rộng khả năng đi vào cuộc sống của toán học , chúng ta cần nghiên cứu giải tích trong phạm vi cực trị

và tích phân suy rộng

Chúng ta sẽ thấy rất nhiều Bài tập , bài tập liên quan đến thực tiễn cho thấy mảng ứng dụng vô tiền khoáng hậu của lý thuyết , đảm bảo sự trường tồn của toán học

Báo cáo này sẽ cho chúng ta rõ hơn về những ứng dụng thực tế của cực trị

và tích phân suy rộng

II Nội dung báo cáo

1.Giới hạn và đạo hàm riêng

Đặt vấn đề :

Giới hạn và đạo hàm riêng là một trong những phần kiến thức quan trọng tâm và quan trọng trong môn giải tích, là tiền đề cho những nền tảng kiến thức về hàm số trong giải tích

1.1, Giới hạn

Định nghĩa 1 Cho khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên hoặc Ta nói hàm

số có giới hạn là số khi dần tới nếu với dãy số bất kì, , ta có

Kí hiệu: hay khi

Định nghĩa 2 Ta gọi giới hạn là giới hạn phải của tại và giới hạn là giới hạn trái của tại

* Giới hạn tại vô cực

Trong định nghĩa giới hạn, nếu là hoặc ta có giới hạn của tại vô cực, kí hiệu là:

*Giới hạn vô cực

Nếu giá trị có thể lớn tùy ý khi đủ gần ta nói

Nếu giá trị có thể nhỏ tùy ý khi x đủ gần ta nói

* chú ý: Khi gặp các dạng vô định ta phải tìm cách khử dạng vô định khi tính giới hạn Một trong số phương pháp phổ biến là dùng quy tắc Hopital

*Một số giới hạn cơ bản:

Ngoài ra, các còn một số giới hạn ta cần chú ý:

*Bài tập củng cố

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

Ta có:

Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?

Hướng dẫn:

Ta có:

Vậy hay hàm số có giới hạn

Bài 3: Tính giới hạn sau:

Hướng dẫn:

5

Ta thấy khi thì giới hạn trên cũng có dạng Áp dụng quy tắc Hopital, Ta có:

(tới đây vẫn có dạng nên áp dụng tiếp)

(tới đây vẫn có dạng 0/0 nên áp dụng tiếp)

Vậy

Bài 4 Tìm giới hạn

Giới hạn có dạng , áp dụng quy tắc Hopital ta có:

Vậy =1

1.2, Đạo hàm riêng

1.2.1, Định nghĩa

Cho hàm số xác định trong miền Cho biến số một giá trị không đổi , nếu hàm số một biến có đạo hàm tại điểm thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng theo biến của hàm tại điểm và kí hiệu là: hoặc

Như vậy:

Tương tự như vậy với khi biến y đóng vai trò là biến số

*Bài tập củng cố:

Bài 1: Tính đạo hàm riêng của hàm sau:

Giải:

Bài 2: Cho hàm số Tính

Giải:

1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao

Định nghĩa: Cho hàm số hai biến số , có các đạo hàm riêng cấp một là Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một này nếu tồn tại được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số Có bốn đạo hàm riêng cấp hai được định nghĩa và ký hiệu như sau:

*Bài tập củng cố:

Bài 3: Cho hàm số xác định bởi phương trình: Tính:

Ta có:

_Đạo hàm cả 2 vế theo :

_Đạo hàm cả 2 vế theo y :

Khi đó tại Suy ra

Giải: Ta có:

2.Ứng dụng của tích phân suy rộng và bài toán cực trị

2.1 Tích phân suy rộng

Đ t vấấn đềề:ặ

Tích phân là một trong những nội dung khó, có tính trừu tường cao Tuy nhiên, tích phân lại có những ứng dụng cụ thể và rất hiệu quả trong cuộc sống như đo chiều dài của một đường cong, tính diện tích của một hình phẳng, tính diện tích bề mặt, thể tích của một vật thể, Trong phạm vi bài báo cáo, nhóm xin chỉ ra một số ứng dụng của phép toán tính tích phân để người đọc có thể dễ dàng tiếp cận với khái niệm khó và trừu tượng này

Tích phân là một trong những nội dung chính được giảng dạy trong học phần Giải tích của sinh viên trường Đại học Công nghiệp Hà Nội Tích phân bao gồm tích phân đơn, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt đều là nội dung khó tiếp cận và ít gây được hứng thú với sinh viên Tuy nhiên, để tính được chiều dài đường cong, tính diện tích của một đa giác phức tạp, tính thể tích vật thể phi tiêu

7

chuẩn,… một cách chính xác tuyệt đối, chúng ta chỉ có thể sử dụng một công cụ duy nhất đó chính là phép tính tích phân

Trong bài báo cáo này, nhóm xin trình bày một số ứng dụng của tích phân để các bạn sinh viên có thể vận dụng vào ngành học của mình, đồng thời, giúp các bạn thấy được vai trò, ý nghĩa quan trọng của tích phân trong đời sống thực tiễn 2.1 Tích phân suy rộng

2.1.1 Định nghĩa tích phân suy rộng loại 1 và loại 2

a, Tích phân suy rộng loại 1

Cho hàm số xác định trên khả tích trên với mọi Nếu tồn tại thì giới hạn đó gọi

là tích phân suy rộng loại một của trên và kí hiệu là , viết:

Nếu giới hạn trên tồn tại ta nói tích phân hội tụ

Nếu giới hạn bằng hoặc không tồn tại ta nói tích phân phân kỳ

Tương tự với các định nghĩa

b, Tích phân suy rộng loại 2

Cho hàm số xác định trên đoạn , không bị chặn trên đoạn này nhưng khả tích trên mọi đoạn , với Nếu giới hạn

tồn tại thì giới hạn này được gọi là tích phân suy rộng loại hai của hàm trên , ký hiệu là và viết

Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ

Nếu giới hạn trên bằng hoặc không tồn tại ta nói tích

Tương tự với trường hợp không bị chặn tại thì ta định nghĩa

Trường hợp không bị chặn tại thì ta định nghĩa

2.1.2 Ứng dụng của tích phân suy rộng

a, Ứng dụng của tích phân suy rộng trong bài toán tính diện tích hình không giới hạn các cận

VD1: Tính diện tích phần được in đậm trong hình tạo bởi đường cong y=lnx và 2 trục tọa độ

Giải

Phương trình tương giao giữa đường cong với trục hoành là và Hình phẳng được giới hạn (hình 2.13) là một tam giác cong, 2 cạnh góc vuông nằm trên các trục tọa độ, cạnh cong thuộc đồ thị

Đặt:

Theo công thức tích phân từng phần ta có

VD2:Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi , trục hoành

9

b, Ứng dụng của tích phân suy rộng trong bài toán xét hội tụ và phân kì:

VD1: Xét sự hội tụ của tích phân

Lời giải

Với mọi số thực , ta có:

Do đó:

Vậy tích phân hội tụ và

VD2:Chứng minh rằng tích phân suy rộng hội tụ, sau đó tính giá trị của chúng Giải Ta có

Tích phân là tích phân xác định thông thường nên hội tụ Dễ dàng thấy rằng hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Vậy tích phân đã cho hội tụ

2.2 Bài toán cực trị

Đặt vấn đề

Cực trị hàm nhiều biến là một trong những phần kiến thức trọng tâm và quan trọng trong môn học giải tích hàm nhiều biến, những ứng dụng kiến thức từ cực trị hàm nhiều biến cũng vô cùng được chú tâm, ứng dụng nhiều và phổ biến trên các lĩnh vực khác nhau

Khi giải quyết những bài toán về kinh tế, người ta thường gặp các bài toán dạng xác định trị số tối ưu (nhỏ nhất hoặc lớn nhất) của một chỉ tiêu nào đó trong những điều kiện nhất định (chẳng hạn như: năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí

bé nhất ) Trong toán học, đó cũng chính là dạng bài toán tìm cực trị (cực tiểu / cực đại) của một hàm f (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong không gian

Các bài toán về cực trị hàm nhiều biến rất đa dạng và phong phú Trong phần trình bày này, nhóm muốn giới thiệu đến thầy và các bạn một số ứng dụng thông dụng nhất của cực trị của hàm nhiều biến số trong bài toán kinh tế, qua đó để mọi người thấy được một phần mạch ứng dụng của toán học cao cấp vào lĩnh vực kinh tế 2.2.1 Định nghĩa

a, Cực trị tự do

Cho hàm số xác định trên miền là một điểm trong Gọi là lân cận nào đó của điểm , ta nói

Hàm đạt cực đại tại điểm nếu với thì

Giá trị gọi là giá trị cực đại, điểm là điểm cực đại

Hàm đ t c c t u t i đi m nếếu v i thì ạ ự ể ạ ể ớ

Giá tr g i là giá tr c c t u, đi m là đi m c c t uị ọ ị ự ể ể ể ự ể

* Điều kiện cần của cực trị;

Nếu hàm số có cực trị tại và tại điểm này nếu tồn tại các đạo hàm riêng (hữu hạn) thì các đạo hàm riêng này phải bằng không

*Điều kiện đủŽ của cực trị

Giả sử là một điểm dừng của hàm số , hàm có các đạo hàm riêng cấp 2 tại lân cận của điểm

Ta đặt:

Khi đó:

Nếu thì hàm số đạt cực trị tại Đó là điểm cực tiểu nếu , là điểm cực đại nếu Nếu thì hàm số không đạt cực trị tại

Nếu thì hàm số có thể đạt cực trị tại , cũng có thể không đạt cực trị tại còn gọi là điểm nghi ngờ)

b, Cực trị có điều kiện

Định nghĩa 2

Tìm cực trị của hàm số trong đó bị ràng buộc bởi diều kiện (gọi là cực trị có điều kiện)

Trong bài toán trên điều kiện giải được , bài toán cực trị có điều kiện của hàm hai biến trở thành bài toán cực trị của hàm một biến quen thuộc Tuy nhiên trong nhiều trường hợp

ta không thể rút ra từ

Phương pháp nhân tử Lagrange

- Tìm cực trị của hàm số với điều kiện

- Lập hàm số Lagrange

Ta có

- Tính ; Hàm số đạt cực đại và ngược lại Nếu H=0 thì M là điểm đáng ngờ

- Kết luận

2.2.2 Ứng dụng

11

2.1.1 Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất Giả sử một doanh nghiệp độc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đó là

Hàm tổng chi phi

Trong đó :

: Lượng cầu về hàng hóa của doanh nghiệp

: Giá bán cuia hàng hóa

C : Chi phí cua doanh nghiệp

: Sản lượng sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại

Phương pháp giải

Gọi là mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất đề lợi nhuận cực đại để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Doanh thu của doanh nghiệp

Chi phí

Lợi nhuận:

Bài toán trở thành tìm để hàm đạt cực đại

Ví dụ : Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với

Hàm chi phí

Giải : Gọi là mức sản lượng cần tìm

Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Doanh thu của doanh nghiệp

Chi phí

Lợi nhuận

Bài toán trở thành tìm để hàm đạt cực đại

Tại điểm nghi ngờ

đạt cực tiểu tại (Đây không phải mức sản lượng cần tìm) Tại điểm nghi ngờ đạt cực đại tại

Vậy đề có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng

2.1.2 Bài toán xác định mức thuế để thu được tổng thuế tối đa

Gia sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiệp về loại hàng trên là và hàm tổng chi phi

Hãy xác định mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất

Phương pháp giải

Gọi t là mức thuế định trên một đơn vi sản phẩm và là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Doanh thu của doanh nghiệp

Chi phí

Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp

Lợi nhuận

Trước hết tìm để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế đạt cực đại

Ví dụ : Cho

Hãy xác định mức thuế định trên một đơn vì sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất

Giải: Gọi là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và là mức sản lượng doanh nghiệp

13

sản xuất để lợ nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Doanh thu của doanh nghiệp

Chi phí

Tồng thuế doanh nghiệp phải nộp

Lợi nhuận

Trước hết tìm để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Vì nên là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại

Khi đó

Nên tổng thuế sẽ đạt cực đại tại

Vậy chinh là mức thuế cần tìm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất Khi đó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng

2.1.3 Bài toán xác định mức thuế hàng nhập khẩu

Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là

Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế cộng với chi phi nhập khẩu (chưa kể thuế) cho một đơn vị hàng là Hãy tính mức thuế nhập khẩu định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để tổng thuế nhập khẩu thu được là lớn nhất

Phương pháp giải

Gọi là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và là lượng hàng doanh nghiệp nhập khẩu

Khi đó để tiêu thụ hết lượng hàng nhập khẩu thì

(Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội địa, )

(Sản lượng là hàm số theo biến )

Doanh thu

(Doanh thu là hàm số theo biến )

Chi phí

Tổng thuế nhập khẩu phải nộp

Lợi nhuận

Trước hết tìm để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Sau đó tìm mức thuế t để tổng thuế đạt cực đại

Vi dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa là và

Giả bán trên thị trường quốc tế và chi phi nhập khẩu của một đơn vị hàng là

Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để thu được nhiều thuế nhập khẩu nhất

Giải: Gọi là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và là lượng hàng cần phải nhập khẩu

Để tiêu thu hết hàng nhập khẩu thì

Doanh thu

Chi phí

15

Tồng thuế nhập khẩu phải nộp

Lợi nhuận

nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giả

Khi đó tổng thuế

nên hàm đạt cực đại tại mức thuế

Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó là

2.1.4 Bài toán xác định mức thuế xuất khẩu

Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là:

Gia sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế trừ chi phi xuất khẩu (chưa kể thuế) 10 một đơn vị hàng là

Hãy tính mức thuế xuất khẩu định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để tổng thuế xuất khẩu thu được là lởn nhất

phương pháp giải

Gọi là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu

Và là lượng hàng doanh nghiệp xuất khẩu

Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là

Doanh thu

Chi phí

Tổng thuế nhập khẩu phải nộp

Lợi nhuận

Trước hết tỉm để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Sau đó tim múc thuế t để tồng thuế đạt cực đại

Ví dụ : Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hảng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trương nội địa là

Giá bản trên thị trương quốc tế (không bao gồm chi phỉ xuất khẩu của một đon vị hàng)

là

Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để thu được nhiều thuế xuất khẩu nhất

Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu

là lượng hàng xuất khẩu

P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng đó để xuất khẩu

Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là

Doanh thu:

Chi phí:

Tổng thuế nhập khẩu phải nộp:

Lợi nhuận

nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá

Khi đó tổng thuế

2.1.5 Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu

Giả sử là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, là chi phí lưu kho một đơn vị hàng trong một năm, là chi phi cho một chuyến đặt hàng, còn là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng (kích thước của mỗi hàng) Ta xem là những hằng số, còn là biến số Khi đó tổng chi phí trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số bao gồm hai loại chi phí: Chi phí lưu kho và chi phí các chuyến hàng

17