Luận án tiến sĩ cơ học: Sóng mặt và sóng lamb trong các môi trường dị hướng không nén được

ĐẠI HOC QUỐO GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOO TỰ NHIÊN

LƯƠNG THE THANG

SONG MAT VA SONG LAMB TRONG CAC

MOL TRƯỜNG DỊ HƯỚNG KHONG NEN ĐƯỢC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌO

Hà Nội - 2022

ĐẠI HOC QUỐO GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOO TỰ NHIÊN

LƯƠNG THE THANG

SONG MAT VÀ SONG LAMB TRONG CÁO

MOL TRƯỜNG DI HƯỚNG KHONG NEN DUGO

Ohuyén ngành: Co học vat rắn

Mã số: 9440109.02

LUẬN AN TIEN SĨ OG HOO

Người hướng dẫn khoa học:

1 GS LS Pham Ohi Vinh

2 US Nguyễn hi Khánh Linh

Hà Nội - 2022

LỜI CAM ĐOAN

đồi xin cam đoàn day, là cOng trình nghiên cứu của riêng, tôi Oáo số liệu vàkết quá được trình bay trong luận ấn là trung thực và chưa từng, được ai oông

bồ trong bất kỳ uông trình nào kháo.

Nghiên cứu sinh

Lương Thế hắng

LOL CAM GN

Luận an này đượo thựo hiện và hồn thành dưới sự hướng, dẫn khoa họo ota

GS VS Pham Ohi Vinh và 9S Nguyễn Vhi Khánh Linh, những, người thay, vdda tan tình giúp đỡ tơi trên con dudug khoa hoo TỒi xin bày td lịng biết ơn vơcùng sâu sic đến Thầy Pham Ohi Vĩnh và Oo Nguyễn hị Khánh Lĩnh.

Loi xin chân thành cam ơn áo thay, cơ trong Bộ mơn Oc học, Khoa Loan

-Oo - Lin học, Lrudug Đại hoo Khoa hoo Lu nhiên, Dai họo Quốo gia Hà Nội,oấo anh chi trong, nhĩm sermina của thay Pham Ohi Vinh đã hướng dẫn, chiasố kinh nghiệm, tao mot mơi trường nghiên oứu khoa hoo tốt nhất cho bắn than

Loi xin gửi lời cam ơn đến vac thầy cO Bộ mou Tuấn, ban chú nhiệm Khoa

Oc điện và Oơng, trình, Trường Đại hoc Lam nghiệp da dong viên, khuyến khích,tạo mọi điều kiện cho tơi hồn thành luận ấn.

Ouơi óng, toi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình đã giúp đỡ, dougviện và ủng hộ toi trong suốt quá trình làm luận ấn.

Nghiêu cứu sinh

Luong Thê Thắng,

Øij áo thành phần ứng suất

tị áo thành phần chuyển dịch

c vận too sóngk SỐ song

t thời gian

p mật độ khối lượngấp suất thủy tĩnh

8° Ø2/Øza? a/ar

O1 0/024

+ u/(A+ 2n)

đạo hàm theo biên thời gian

đàn điện là tính chất của cáo vật liệu dau hồi, oó khả năng sinh ra điện khichịu báo dung của trường ứng suất và ngược lại sẽ sinh ra ứng, suất

(biên dạng) khi được đặt trong, một trường điện.

HI

Danh mục các ky hiệu và viẾt ĐẮt cac cà iti

MG đầu ch nh nh kh nà 1

Chương 1 TỐng quan -.‹ chờ 5

1.1 Sóng Raylolgh cece cect e cee e nh nh nh nh nh va 6

1.1.1 Giới thiệu sóng Raylolgh ch nh na 61.1.2 Oáo nghiện otfu về sóng, Rayleigh trong môi trường, đàn hồi di hướng:không HẾH ƯỢC -c Q n e eee ence nee nh nh rà Y1.2 Sóng, SOHOÌOY, ng HH n HH nh nh nner entre tne rntnnene 10

1.2.1 Gidi thiệu sóng SEOHOOY, cu HH HH nh nh nh rà 10

1.2.2 Oáo nghiên oứu về sóng, Stoneley trong môi trường đàn hồi không nén.

s01 II1.3 Sóng SGhOÌfO con HQ nh nh nh nhe reeee eo 121.3.1 GIới thiệu sóng SuhO|f© uc HH nh nh nh ha 12

1.3.2 Odo nghiên oứu về sóng Scholte trong môi trường đàn hồi không nón.500125 131.4 Sóng LaIHD co ng HH n nh HH Hình hình nh nh rà 14

1.4.1 GIới thiệu sóng LuaIHD cece cnn ener nh nh va 14

1.4.2 Oáo nghiên cứu về sóng Lamb troug môi trường đàn hồi khong nén.

1.5 Vì sao 06 ff nghiện ottu về sóng truyền trong cáo môi trường đàn hồi di

hướng không Hón ưỢO ch entree nh nh na 16

1.5.1 Vì ấn số van tìm tăng lôH 2222222222222 16

1.5.2 Vì phương pháp giới han không nén duoc đẳng hướng không oòn hiệu

0 16

iv.

1.6 Oách khắc phụo khĩ khău -<<- 17

1.6.1 Thiết lập phát biểu Stroh cho mơi trường dị hướng khơng nén được¬—— e nn ene ene eee tenn eee n ene teen enter ent tnenttneneenenee 17

1.6.2 Sử dung phương phap giới hạn khơng nén dude di hướng cho cáo hang

Kì 6 C2000 0Ể0¡:ẠẠIỊIẠAADẦRAẦỖẮAẮẲẦỒRARAẳđẳđađẤẶỤẮÁẶỔẮỔỘẲẠỌỘỌẲỘỌẲỘOẲOQOỌOQẠQAđaađđi 17

1.0.3 Muc tiêu của luận ấH cc nen 17

Chương 2 Sĩng Stoneley, sĩng Scholte trong bán khơng gian dan hồi

khơng nến ƯỢC -. ch nh nh kì nà 19

2.1 Sĩng Stomeloy, 0 ccc cece cece HH HH nh nh nee e nh kh nh net 19

2.1.1 Sĩng Stoneley trong cáo tinh thé xoắn khơng nén đượo 19

2.1.2 Sĩng Stoneley trong bán khơng gian trực hướng với liên kết lị xo

cece ee cee nen ee nee e renee nee teen teen nee ent eneenenennenetnenes 30)

2.2 Sug SCMOGO ccc ố ốằ.uadẦdẢẦẬ]Ậ]Agg.ƠỠỐ 50

2.2.1 Sĩng, Scholte trong mor trường truco hướng khơng nĩn được 9U

2.2.2 Sĩng Soholto trong mơi trường dau hồi mouoclinic 73 = 0 khơng nén

2.3 K6t WAL an aaa 59

Chuong 3 Sĩng Rayleigh trong mi trường đàn hồi, dan điện khơngWOU ƯỢC - con n nhìn n mình nhìn min nh in mm 60

3.1 Oơng thứo vita tý số H/V đối với bán khơng gian đàn hồi trực hướng,khong nén được phủ một lớp mong đàn hồi true hướng khơng nến được 603.1.1 Odug thứo ty số H/V cho trường, hợp nén dude - nén đượo 623.1.2 Odug thứo ty số H/V cho trường hợp khơng, nĩn đượo 053.1.3 Odng thứo ty số H/V cho trường hợp khơng nĩn được - nến được 67

3.1.4, Odug thức tý số H/V cho trường hợp nén được/khơng nĩn được 68

3.1.5 ơng thức tý số H/V cho trường hợp khơng nén đượo/khơng nén được

¬——— cee eee cece nee eee e eee e eee e enn eens teneeneeeteneenneees 7U

3.1.6 Loại thứ hai của oơng, thứo ty số H/V cho áo trường hợp khơng nén

ƯỢU QQ Q Q Q HT ng HH nh ng HH n ng Ho ng ng và 71

¬m ẽ nhe T3

]ì can -(<đa44ă.ă teteneeneeneens f5

3.2 Song Rayleigh truyền trong bán khơng, gian đàn hồi trực hướng phú bởimột lớp mĩng đầu đIỆU HH bì nh nh nà f5

3.2.1 Odo điều kiện biên hiệu dung xấp xỉ bac ba đối với lớp đàn điện 76

3.2.2 Điều kiện biện hiệu dung xấp xi bậo ba của lớp đàn điện không nénƯỢU con eeeeeceeeeteeeeteeeeeteeeettetetteetes 79

3.2.3 Phương trình tan SẮO ccc cece cence eee ene en eens 82

Ws Sa 2) 6 4 90

Chương 4 Sóng Lamb trong môi trường đàn hồi không nến đượcPERE ERR EERE REE REET RRR EEE REE EEE REE ERE EEE EEE ES 914.1 Sóng Lamb trong tim sandwich đàn hồi trực hướng 01

4.1.1 Ma trận chuyển cho một lớp đàn hồi true hướng nón đượo 02

4.1.2 Sóng Lamb trong tam sandwich trực hướng, nón được 94

4.1.3 Sóng Lamb trong tam truco hướng khong nến được 102

4.1.4, O80 vi dU SỐ c0 020 222 g2 2n ng ng etn HH no ng ng nà 1044.1.5 KẾP WAL cece cece cece n n n ng n ng TT nh kg nh này 1074.2 Song Lamb trong tấm hai lớp trực hướng không nén được 107

4.2.1 Ma trận chuyển ota lớp trực hướng không, nến đượo 107

4.2.2 Phương trình tau sSắO c7 2222222222222 1084.3 KẾY WAL HT ng TH nh nh nh vn xa 113

Kết luận và kiến nghi ee cece cee eee ee eee rere reeeerereees 114Danh mục công trình khoa học của tác giá liên quan đến luận ấn

¬ ERR EERE RR EERE EEE RR EEE EER REE EE EEE REESE 116

Tài li6u tharmn Khao ee eee eee ee ere reer reer rer nh nợ 117

VI

x1 cla bán không giai O cla sóng Stoueley, trong model: Pyrex

7070 glass-Nickel (la, 0); Gllass/epoxy-Oarbon/epoxy (ib, d) 2.2 44

2.3 Đường cong ty số H/V tại mặt tiếp xúo và oáo dữ liệu tong hopcủa sai số 5% được sử dung trong, bài toán ngược (a) Ly số H/Vcủa thủy tinh Pyrex 7070 trong mô hình P-N (b) Lý số H/V của

Thúy tinh/epoxy, trong mô hình GO 2 Ặ co 40

2.4 Sai số tương đối oúa kết quá nghịch dao Kp và Ky tity, thuộo vào

sai sO tương đối oúa dữ liệu đầu vào tổng hợp khi sử dụng xịn,

XI; X21 và xaa cho model Pyrex-NIokol, , cv 40

2.5 Sai số tương đối oủa kết qua đảo ngược Kp và Ky tùy, thuộo vào

sai sO tương đối cia dữ liệu đầu vào tổng hợp khi sử dung xịi,

XI2; X21 VÀ x22 cho kiểu kính/opboxy-OarboH/Đ@ÐOXY 492.6 Biếu diễn sự phụ thuộc vào hằng số không thứ nguyên r olla van

tốo sóng Scholte khong thứ nguyên bình phương, z (với vd gia trị

cho truGu cla y*) 53

3.1 Ánh hưởng vita tính không nón được lên ty số H/V 743.2 Ảnh hướng vita tính không, nón được lên miền prograde volta sóng,

Haylolgh ee ee Ð4.1 Sóng Lamb trong tấm sandwich trực hướng 954.2 Ode đường cong tấn sắo x = x(Q) olla bôn mode đầu tiêu của cáo

sóng Lamb cho L = 0.3 (áo đường liền) và L = 1.5 (wdc đường

gach) khi oa lớp lõi và lớp bề wat là nén được Trong đó e, = 3.5,

cạ = 3.0, cạ = 1.0, @ = 0.8, & = 3.0, 6g = LŨ, ry =1, ng =08 104

vit

e3 = 0.4, @) = 3.1, øy = 1/0, 6 = 0.5, my =10,L=05 .

Oáo đường cong tan sắc x = 2(Q) oủa bén mode sóng, đầu tiên

khi lớp lõi nếu dude e; = 2.5, ea = 3.0, e3 = 0.4 được phú bởi lớp

bề mặt nón đượo với é; = 3.1, £a = 1.0, ẽ3 = 0.5 (áo đường liền)và bởi lớp bề wat không, nén đượo với és = 3.1 (uấo đường gach).

Trong, đó ru = 0.8, ry =1, Ù=Ú5 HQ he

Oáo đường cong tin sắc x = 2(Q) của bôn mode dau tiên củaáo sóng Lamb khi lớp bề mặt là nón được với é; = 3.1, é = 1.0,é3 = 0.5 và lớp loi là nón dude với ey = 2.5, eg = 3.0, e3 = 0.4

(áo đường liều) và không: nón dude với es = 4.7 (waco đường, gạch).

Trong, đó ru = 0.8, ry =1, U= Ú5 HQ nh he

Sóng: Lamb trong tam gồm 2 lớp trực hướng không nén được,

Đường, coug bán sắc sóng Lamb « = z(O) cla bôn mode dau tiêuvới L = 0,3 (đường nét liều) và L = 0,5 (đường nét đứt) Chang

Mở đầu

Tính thời sự của đề tài luận án

Song trong véo môi trường đàn hồi như sóng Rayleigh, sóng, Stoneley, sóng.

Scholte, sóng Lamb, sóng SH, được quan tâm nghiên cứu bừ lâu vì những ứng

dụng to lớn oủa chúng trong nhiều lĩnh vực kháo nhan của khoa học và ông:nghệ, như địa chan học, dự báo dong đất, âm họo, khoa, họo vật liệu, oông nghệ

điện tử viễn thong, (tham kháo Bwing |B32|, Achenbach |4|, Brekhovskikh [21],

Nayfeh |7|, Rose |#0|) Co một số lượng rất lớn cáo nghiên cứu đã được thựuhiện theo chủ đề này, Google Scholar, một trong những công, cụ tìm kiêm tailiệu khoa hoo mạnh nhất trên internet, cho chúng ta hơn một triệu đường link

cho yêu dầu tìm kiếm "Rayleigh waves", như Voloshin [L46| đã, viết.

Oó một thực tê rất đáng chú ý là; trong hầu hết oáo nghiên cứu đã được

thực hiện, môi trường, đàn hồi đượo gia thiết là nến được Oó rất ít cáo nghiên

cứu dành cho sóng truyền trong áo môi trường, đàn hồi di hướng không nếnđược Một nguyên nhân chính là, để mô ta điều kiện không nén được van sử

dụng thém một ấn hàm mdi, đó là áp suất thủy tĩnh Kết quá, số ấn gần tìm

của bài toán doug của lý thuyết đàn hồi khong nén dude nhiều hơn (một) so với

sô an van tìm oứa bài toán động đối với môi trường đàn hồi nón được.

Ngày nay, cáo vật liệu đàn hồi không, nén được dị hướng như: vật liệu tua cao

su (rubber-like materials) |§7|, vật liệu sinh hoo (biological materials) [| đang

được sử dụng ngày oàng rộng rãi trong nhiều lĩnh vựo khoa họo, cong nghệ kháonhan Do vậy, nghiên cứu tim ra áo đặc trưng truyền của oấo sống trong vac

môi trường đàn hồi không nén được dị hướng có tính thời sự oao, hết sứo

vd ý ughia khoa hoo va ứng dụng thực tiễn.

Mục tiêu của luận ấn

Tìm ra oấo phương trình tan sắc olta cáo sóng (Rayleigh, Stoneley, Scholte,Lamb) va công thức ty sô H/V cho vdeo sóng (Rayleigh, Stoneley) trong môitrường, không nếu được di hướng.

Đối tượng nghiên cứu:

Sóng Rayleigh, sóng Stoneley, song Scholte và sóng Lamb.

Phạm vi nghiên cứu:

Sóng, phẳng và môi trường đàn hồi là tuyến tính.

Phương pháp nghiên cứu

Luận ấn sử dụng oấo phương phát sau:

- Phương phấp véo to phan cue.- Phương pháp tích phan đầu.

- Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng.- Phương pháp giới han không nén được,

Những đóng gop mdi của luận ấn

1) Lim ra phương trình tán sắc dang hiện của oấo sóng:

* Sóng Stonoloy trong cáo tinh thé xoắn khong nén được trực hướng.

® Sóng Sbonoloy trong oấo bán không gian đàn hồi trực hướng không nén

được với liên kết lò xo.

se Sóng Scholte troug mdi trudug truco hướng không nến được,

® Sóng Scholte troug Môi trudug monoclinic v3 = 0 không nến được,

s Song Rayleigh trong ban không gian dan điện không nén được (true hướng).

e Sóng, Lamb trong ban sandwich dan hồi trực hướng nén được, không nến

Cau trúc của luận an

Luận ấn gồm 4 chương, phần mở đầu và phần kết luận.

Chương 1: Tong quan

Trình bày tong quan về cáo nghiên cứu liên quan đến sóng, Rayleigh, sóng.

Stoneley, sóng Soholbe va sóng: Lamb trong môi trường, đàn hồi dị hướng khongnến được.

Chương, 2: Sóng Stoneley, sóng Scholte trong các bán không gian dan

hồi không nén được

Nội dung ctta chương 2 là tìm ra phương trình tan sic dạng hiện olla sóng

Stoneley, trong oáo tinh thé xoắn, trong áo bán không gian đàn hồi trực hướng.

không nén đượo, trong bán khong gian đàn hồi trực hướng, không, nén đượo nằmdưới bán khong gian chat long (được gọi là sóng, Scholte).

Chương 3: Sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi, đàn điện khong

nêu được

Nội dung của chương 3 là tìm ra phương trình tấn sắc của sóng Rayleightrong bán không, gian đàn điện không nón được và công thức ty số H/V của.song Rayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng nến được và khong nên

Chương 4: Sóng Lamb trong môi trường đàn hồi không nến được

Nội dung của chương: 4 là tim ra phương trình tan sic dạng tường minh củasong Lamb trong, bau sandwich trực hướng không nén được (ít nhất lớp lõi hoặclớp mat không nén được), phương trình tau sic dạng tường minh vita song Lambtrong, bắn composite gồm hai lớp trực hướng không nén được.

Cac kết quá chính của luận án đã được công bố

Oáo kết quá chính cotta luận án đã đượo cong bỗ trên 04 bài báo ISL uy tín và 02

báo uáo hội nghị khoa họo quốo gia Ou thé:

TI NUK Linh, P.O Vinh, VP E Puan & L Ƒ, Phang (2020), "Lhe H/V

ratio of Rayleigh waves in layered incompressible orthotropic half-spaces

aud the incompressible limit method", Waves tw Rauwdeus wud Courpleu:

Media, Volume 32, - lssue 1, pp 1-17 (LSL uy tín)

2 N.E.K Linh, P.O Vinh, L.L Thang & P.E.H Giang (2021), “Lamb waves

in saudwich orthotropic elastic plates", Waves tw Rawdon avd Cousplex

Media, https://doit.org/10.1080/17455030,2021,1940352 (SL uy, tin)

3.V PON Anh, L L Thang, P.O Vinh aud Po Than (2020),

"Stone-ley waves with spring contact and evaluation of the quality of imperfectbouds", Zeatschift fiir aungewoudte Mathenattkh wad Physik, Volume 71,

Issue 1, article LD.36 (LSL uy, tín)

4 V.E.N Anh, P.O Vinh, N.L.K Linh and LAL Thang (2021), "Explicit

transfor matrix for an icompressible orthotropic elastic layer aud

appliva-tious", Zeitschrift fiir aungewaudte Matheuateé wad Physik 72; 145, (LSLuy, tin)

5 P.O Vinh và L.L Thắng (2018), "Sóng Stoneley trong môi trường trựchướng không nén duoc", Hội nghị Khoa học toàn quốo Oo học Vật rắn lầnthứ XLV, PP Hồ Ohi Minh, ngày, 19-20 tháng 7 năm 2018, trang: 862-8676.6 P.O Vĩnh, N.E.K Linh, Ll, Thắng, và BAL 1ú (2018), "Phương trình tấn

sắo oủu sóng mat Rayleigh truyền trong bán không gian đàn điện khôngnến được", Hội nghị Khoa họo toàn quốo Oc học Vật rắn lần thứ XIV LP.

Hồ Ohi Minh, ngày, 19-20 thang 7 năm 2018, trang: 855-861.

Odo két qua liên quan đồn “sóng Stoueley, trong, áo tinh thé xoắn trực hướng,

không nén được” (chương 2), "sóng Rayleigh trong bau không gian đàn điện

không, nén được" (chương 3), sóng Scholte (chương 2) đang được hoàn thiện để

gửi dang trên cáo tap chí quốo tế LSI.

Chương 1

Tổng quan

Oác bài toán truyền sóng trong oấo môi trường đàn hồi được quan tamnghiên cứu tit lâu bởi oáo kết qué nghiên cttu dúa chúng là vc sở lý thuyết chorat nhiều ứng dụng trong, cáo lĩnh vuc khoa họo công nghệ kháo nhau như auhọo, địa chấn họo, khoa họo dự báo động, đất, khoa họo vật liệu, xây dựng, ông:trình, công nghệ truyền thong, Oáo bài toán nay, vẫn đang thu hút sự quantam nghiên ottu manh mi cia cáo nhà khoa họo trên thé giới bởi oáo vật liệumới, bứo là oáo môi trường đàn hồi mới, dang được von người tao ra một cáchthường, xuyên, Đã vd một số lượng lớn (huge nuinbo£) vac nghiên oứu được tiênhành cho hướng, nghiên oứu nay, Dé thay, được điều này, chí van gửi yêu dầu tìmkiếm "Rayleigh waves", Google Scholar, một trong những cng cu tìm kiêm tailiệu khoa hoo mạnh nhất trên Internet, sẽ cung cấp hơn một triệu đường linkcho người tìm kiếm, như đã chia sẻ bởi Voloshin |I46| Oáo kết qua thu được

dứa chú đồ này rất phong phú và đã đượo bổng kết trong cáo sách chuyên kháovề sóng trong cdo môi trường, đàn hồi, chang hạn bởi Ewing |32|, Achenbach ||,

Brokhovskikh [21|, Nayfeh J7|, Rose |40|.

Oó một điều đáng, chú ý là: trong hầu hết odo nghiên cứu dành cho sóngtruyền trong áo môi trường dan hồi dị hướng, môi trường được giá thiết là nếnđược Oó rất ít oáo nghiên cứu dành cho sóng truyéu trong oáo môi trường đànhồi không nén được dị hướng.

Sau đây, luận ấn phân tích cu thé tình hình nghiên cứu frước lưậu dw liên

quan đến sóng Rayleigh, sóng Stoneley, sóng, Scholte và sóng, Lamb trong vaiomôi trường đàn hồi di hướng không nén được, cáo song sẽ được nghiên cứu trong:cáo chuong tiếp theo của luận ấn Phân tích cho thay, có rat ít áo nghiên oứuda được tiến hành dành cho vio sóng nêu trêu.

1.1 Sóng Rayleigh

1.1.1 Giới thiện sóng Rayleigh

Sóng Rayleigh là sóng, cơ họo lan truyền trong một bán không gian đàn hồitự do đối với ứng, suât Nang lượng, oủa sóng tập trung trên bề mat của báu

không gian và giám rat nhanh theo chiều sâu (hau như bằng không ở độ sâu

một bướo sóng) Do vậy sóng Rayleigh là sóng mặt (surface wave) Sự tou taicủa sóng Rayleigh đượo chứng minh đầu tiên bởi Rayleigh |§8| vào năm: 1885,

cho trường hợp đơn giắn nhất khi bán không gian đàn hồi là đẳng hướng nến

Hình 1.1: Bán không gian đàn hồi z¿ > 0.

phần không gian z¿ > 0 (Hình 1.1) Xét trang thái biên dang phẳng

trong đĩ dau phấy chi đạo ham theo cáo biên khơng gian xp, A, , là cdc hằng, số

Lame Bo qua lực khối, phương trình chuyển động, 06 dang

Ø111 + Ø122 = pur, (13)

012,1 + Ø22,2 = pug.

Dau châm chi đạo ham theo biên thời gian t, p là mat độ khối lượng.

Thay, (1.2) vào (T.3) ta thu được

Cu + cầu + ci — c3)u = t1,111111 + C122 + ( 2)}M2,12 = ti 14

(cf — B)uria + ua, + C723 = ta,1

trong đĩ cy, = J3 ,Q= VỆ là vận tốo sĩng doo và vận bỐo sĩng: ngang:

trong mơi trường đầu hồi đẳng hướng nĩn được.

Giả thiết biện za = 0 của bán khơng gian tự do đối với ứng suất, tức là;

Ø1a = 092 = 0 tai z¿ = 0 Khi đĩ, từ (1.2) suy ra

H12 + 2 1) = 0, Àuli+ (A+ 2u)u22=0 tal x = 0 (1.5)

Oáo thành phần chuyến dịch phai tắt dần ở vơ óng, tứo là:

uy =ua=0_ bại ro = +oo (1.6)

Như vậy ốo thành phần chuyến dịch wu, ug phải thoa mãn phương, trình (1.4)

dùng với điều kiện biên (1.5) và điều kiện tắt dau (1.6).Phương trình đặc trưng

Giá, sử song Rayleigh truyền theo hướng Ox; với vận too c(> 0), số sĩng k (> 0).

Khi đĩ nghiệm ota (1.4) được tìm dưới dang

= Uz (ye) uy = Un(ye ©, (1.7)

trong đĩ = kaa, U;(y) (7 = 1,2) là cáo hàm van tìm, Thay biểu diễn nghiệm

(1.7) vào (1.4) dẫn đến áo phương trình đối với cáo hàm U;(y)

(‡ — 2) — Buy — i(e‡ — BUS = 0

(c3 — c2)Ua — 2UY — i(c‡ — c2)U1 = 0, (1.8)

trong đĩ dâu phẩy "/" chi đạo hàm theo biên y Đây là một hệ hai phương trình

vi phan với hệ sơ là hằng, số, Nghiệm riêng (nghiệm cơ bắn) oúa hệ (1.8) được

tìm dưới dạng:

Ui(y) = Ae *¥, Uo(y) = Be *Y, (1.9)

7

trong đó A, B là vic hằng số, Thay, (1.9) vào hệ (1.8) dẫn đến một hệ hai phươngtrình tuyến tính thuần nhất đối với A,B Do A,B không đồng, thời bằng không:nên định thức cla hệ phải bang không, tứo là:

cis? — [2c‡cã — (ci + cạ)c?]s” + (Gf — c?)(c2 —2) =0 (1.10)

Phương trành (1.10) được gọt la phương trành đặc trưng cia sóng Rayleegh, DO

là một phương trình bậo hai đối với s2 với biệt thức A là:

A = (c} — œ3)! > 0 (1.11)

Ohú ý rằng véo hệ số oủa phương trình đặo trưng (1.10) đều là thực và phụthuộo vào vận tốo sóng, e chưa xáo định, lrên trường phức, phương trình (1.10)v6 bốn nghiệm sy, s2, —s¡,—sa Giả, sử sị, s2 là hai nghiệm của (1.10) c6 phan

thực dương Khi đó, nghiệm tống, quất vita hệ (1.8) thỏa mãn điều kiện tắt dần

(1.6) là;

Ui(y) = Are 0 + Age",

U2() = œ1Aqe: ”! + agAge 9,

trong, đó a; xáo định bởi

c{ — c2) — c252

¬_.¬ - T2 j=1,2 (1.13)

(cy — €4)5/

Dã dàng chứng minh vio mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.1 Nếu sony Rayleigh tow tụi thà uậu tốc sóng c cia w6 phar thóu

man bat dang thức:

0<c<c (1.14)

Mệnh đề 1.2 Giá sứ sóng Rayleigh ton tụi Kha đó hai nghiéur có phu thực

dương cia phương trành đặc trưng (1.10) là:

2 2

sỉ =4 |1— s5 =j|1— (1.15)

đ ©Phuong trình tan sắc

Phương trành tan sắc là phương trành rác dink van tốc truyéu cita sóngluulcigh

Từ (1.13) và (1.15) ta 06

ay = 151, Œ2 —_— (1.16)

Tính dén (1.7), (1.12) và (1.16), chuyển dịch của sóng, Rayleigh là:

uy =(Aie $#+ Age 824) etka —et)

Do 4i, 4a không thé đồng thời bằng khong nôn định thức via (1.18) phái bằng.

không, suy, ra:

đượo Rayleigh |8S[ tìm vào năm 1885 LY phương trình nay, vận toc sóng, c olla

sóng Rayleigh đượo xáo định lrong khoáng (0, 1) phương, trình (1.20) tương

đương với phương trình bac ba sau

Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng

đối xứng 273 = 0, không nén được, chiu điều kiện biện trở kháng, được nghiên

cứu bới Vinh và Huệ |I30| Sử dụng phương phấp véo tơ phân cực, oáo tao gia

da tim ra phương trình tan sắc của sóng.

Song Rayleigh trong, bán khong gian dan hồi trực hướng phủ một lớp mdngđàn hồi trựo hướng được nghiên cứu bởi Vĩnh và oáo cong sự |L27|, Vĩnh va

Ánh |I29, 128, 115| xét trường hợp ít nhất lớp và bán khơng, gian được giá thiết

là khơng nén được Sứ dụng phương pháp khai triển Laylor, phương pháp điềukiện biên hiệu dung, cdo phương, trình tán sắc xấp xi bậo ba đượo tìm ra.

Sĩng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi trực hướng phủ wot lớp dauhồi true hướng, cd độ dâu bat ky được nghiên cứu bởi Vĩnh và cáo vdng su [LIS|,

Vĩnh và Ánh ||L16| xét trường hợp it nhất lớp và bán khơng, gian được giả thiết

là khơng nén được Oáo phương, trình tấn sắc chính xáo đã đượo tìm ra bang

cách sử dung phương, pháp giới han khơng, nén được cing với phương pháp điều

kiện biên hiệu dụng.

Từ cáo phân tích trên cĩ thể thay, rằng:

- Đối với sĩng Rayleigh truyền trong bán khơng gian đàn hồi khơng nếnđược, phương trình tan sắc chi mới tìm được cho đến vật liệu monoolino vớimặt phẳng đơi xứng zs = 0.

- Đối với song Rayleigh truyền trong bán khong gian đàn hồi phủ wot lớpdau hồi (trong, đĩ ít nhất lớp hoặc bán khơng gian là khơng nĩn đượo), phương,trình tán sắc chi mới đượo tìm ra cho đến trường hợp trực hướng.

- Đối với ốo mơi trường đàn hồi dị hướng khơng nén đượo phức tạp, nhưmơi trường dan điện, đàn-từ, đàn-điện-từ, đàn hồi mioropolar, đàn hồi xdp,

chưa v6 phương trình tan sắc nào oúa sĩng, Rayleigh đượo tim ra.

1.2 Sĩng Stoneley

1.2.1 Giới thiệu sĩng Stoneloy.

Song Stoueley, là sĩng vo họo truyền dec theo biên phân chia oủa hai báukhong gian đàn hồi Nang lượng oủa sĩng tap trung chủ yêu ở vùng gần biênphan chia, giảm nhanh về hai phía oúa nĩ Do vậy sĩng Stoneley là sĩng mặt.Sĩng, Stoueley, đượo Sbonoloy, [LOO] nghiên cứu đầu tiên vào năm 1924 cho trường,hợp khi v& hai bán khơng gian dan hồi là dang hướng, óng nến dude va ving

khơng nén được, và ching liên kết gắn chặt với nhau.

Xét hai bán khơng gian đàn hồi dang hướng nén được © và Q* tương, ứngchiếm vio miền ry > 0 và ro < 0 và gắn chat với nhau dọc theo biên phân chiaz2 =0 Ban khơng gian Q (Q* ) đượo đặo trưng bởi vic hằng số Laue À (À*), p(u*) và wat độ khơi lượng, ø (ø*) Ohú ý rằng, cic đại lượng, liên quan đến bánkhơng, gian Q* được thêm dau * Trường chuyến dich song Stoneley, oĩ dang biên.dạng phẳng (1.1), thỏa mãn hệ phương, trình (1.4), điều kiện liên tuo tai v2 = 0:uj = Uj; Ø7a = 72 bạlza =0, 7 =1,2 (1.22)

10

và điều kiện tắt dan ở vô dùng;

uj =0, Ø;a = 0 bại x = +00, J=1,2

uỷ =0, ơi = 0 tạlza =—o0, j = 1,2 (1.23)

Dé dàng thấy rằng, trường chuyển dich cia sóng, Stoueley thỏa mãn điều kiệntắt dâu (1.23) được xáo định bởi (1.17) (tương tự doi với w7) trong đó s; xáo

định bởi (1.15), sĩ đượo tính như sau:

Thay biển thứo ota chuyển dịch và ứng suất (sử dụng (1.2)) vào điều kiện liêu

tuo (1.22) dẫn đến một hệ gồm 4 phương, trình đại số tuyến tính thuần nhấtđối với 4 ấn số Ay, Ao, Af, 4š Do Aj, , 4š không đồng thời bằng khong nêuđịnh thức vita hệ phải bang không Đó chính là phương, trình tán sắc ola sóng:

Stoueley, Khai triển định thứo (oấp bốn), sau một sô phép biến đổi, phương,

trình tấn sắc 06 dang:

c![(p — p*)? — (pst — p s1) (083 — p*s2)

+402 (3 — ates?) (osish~ p sua + ~ 2) (1.28)

+4(0cŸ — p*cš?) (siss — 1) (sjsš — 1) =0

Phương trình này được Stoneley LOO] tim ra năm T924 Phương trình (1.26)

không luôn luôn v6 nghiệm thỏa mãn điều kiện (1.25) Do vay, khấu với songRayleigh, sóng Stonoloy không luôn luôn tồn tai Mao dù vậy, khi nó tồn tai thiduy nhất.

1.2.2 Cac nghiên cứu về sóng Stoneley trong môi trường dan

hồi không nén được

Sóng Stonoloy truyền dọo giữa hai bán không, gian dan hồi dang hướng, kháo

nhau đã đượo khaéo sát lầu đầu tiêu bởi Stoueley [LOU] vào năm 1924 Ong đã

thu được phương trình tau sắc và chứng minh được sóng Stoueley khong phảiluôn luôn tồn tai, Odo báo giá Sezawa và Kanai |95| và Soholto [Ð1, 92| đã chú ýtới miền tồn tai oủa song Stoneley và xáo định dude oáo giới han của cáo hằng, số

Il

vật liệu cho phép sự tồn tai của sóng Stoueley, Vĩnh và cong sự ||L34| đã tìm ra

dông thức vận tôo sóng cho trường hợp khi hai bán không gian là đàn hồi dang

hướng oO viv vận toc sóng khôi giông nhan Sự truyền sóng Stoneley trong môi

trường dị hướng đã được khảo sát bởi Stroh [I02|, Barnett và cộng sự [L3| Ap

dụng phương phap ma tran tro khang, Barnobt và oộng sự |I3| da dua ra đượo

một tiêu chuẩn tou tai và chứng minh được rằng sóng, S6oneley nêu tou tai thìnó là duy nhất.

Troug cáo nghiện oứu nói trên, cio môi trường dị hướng được gia thiết lànén đượo Như vậy chua oó mot vdng trình nào nghiên ottu sự truyền ủa sóng:Stoneley troug môi trường đàn hồi dị hướng không, nón được.

1.3 Sóng Scholte

1.3.1 Giới thiệu sóng Scholte

Sóng Scholte là sóng, mặt truyền dọo biên phan chia giữa bán không, gian

chất lỏng, và bán khong gian chat rắn và năng lượng của sóng, tắt dẫn theo hai

phương vuông goo với mat phan cách Oũng như sóng Rayleigh và sóng Stoneloy,sóng Scholte oũng: là sóng, mặt Sóng Scholte truyền trong bán không, gian dan

hồi đẳng hướng nén đượo nằm dưới bán không gian chat long lý tướng (không

nhớt) được Scholte 93] nghiên cứu năm 1949 Lac giả da tìm ra phương, trình

tán sắc ctta sóng bang phương pháp truyền thông.

Xót bán khong gian đàn hồi đẳng hướng nếu được © chiếm miéu ary > 0 vabán không gian chất lông không nhớt 9* chiêm miền xo < 0 Lai biên phân chia

ry = 0, ứng suất tiệp bằng không, ứng suât pháp và chuyển dịch phấp liên tuo.Ohú ý rằng, để phan biệt, oáo đại lượng liên quan đồn Q* đượo thêm dẫu sao 6

Xót trang thái biến dang phẳng, (1.1), Đối với bán khong gian dan hồi 0,trường chuyến dịch thoa mãn phương trình chuyển động, (1.4) va hóa mãn điềukiện tắt dần (1.0) bại xg = +œ.

Đôi với bán không gian chất lông, Q*, cdc thành phan chuyển dịch uf, us được

ct = A*/ø* là vận tov sóng dọo của chat lóng Điều kiện tắt dần đối với bánkhong gian chat lông oó dang:

1.3.2 Oác nghiên cứu về sóng Scholte trong rmuôi trường danhồi không nén được

Đối với sóng Soholto, Scholte |Ð3| tìm ra phương, trình tán sắc trong, môi trường,

đàn hồi đẳng hướng nến đượo Destrade |71| tìm ra phương trình tấn sắc cho

13.

ôi trường, monoolinlo 73 = 0 nến được nhưng biểu diễn qua hằng số đàn hồiIHỒM (S7).

Nhưng chưa v6 nghiên gứu nào được thực hiện dành cho sóng Scholte trong

môi trường, đàn hồi di hướng khong nến được,

1.4 Song Lamb

1.4.1 Giới thiệu sóng: Lamb

Song Lamb là sóng, phẳng truyền trong oáo vau tric bắn hoặo vỏ, Sóng này.

được phất hiện đầu tiên (1917) bởi Horoo Lamb |57|, một nhà toán hoe người

Anh, sau đó mang ton ong Ong là người tim ra phương, trình tán sắc oủa sóng,

Lamb |57| truyền trong ban đàn hồi đẳng hướng, nén được,

Xót một bắn đàn hồi dang hướng nón 06 độ dầy 2h được chiêm midu —h <v2 < h Giá sử song Lamb truyền theo hướng 021 Khi đó oáo thành phần chuyển

dịch của sóng: Lamb thỏa mãn (1.1) và (1.4) Theo Vĩnh và cong sự |I36|:

(z2) = /[ai(Bishbiy + Bochbyy) + a2(Bgshbey + Bychboy], (1.34)

Y41 (x2) = đi(Bishbi + Bochbry) + S2(B3shbey + Bavhboy),

trong đó = k#za(—h < a2 < h), By, Bo, Bạ, By là vic hằng, số van xáo định, vac

đại lượng bj, aj, 6; và +; được xáo định bởi:

Sử dụng (1.37) và hai phương, trình cuối ota (1.34), sau vài phép biên đối, ta

thu đượo hai hệ phương, trình đại số tuyến tính thuần nhất đối với By, Bs va

14

Bo, By Oho định thức của hai hệ đó bang không, ta thu được oấo phương, trình

tán sắc cửa sóng Lamb trong bắn đàn hồi đẳng hướng nón được:

Sóng, Lamb trong cáo bắn đẳng hướng lần dau tiên được nghiên cứu bởi Horace

Lamb [B7| Sóng Lamb trong vac ban dị hướng được nghiên cứu bởi AbubakarlB| Baylis và Green [Lỗ], Kaplunov và cộng sự [#7|, Kossovich va dộng sự [53]

cho viv vật liệu đẳng hướng ngang, của Solie và Auld |98], Baid 10], Baid va

cộng sự [ll] cho vật liệu trực hướng, của Nayfeh và Ohimenti [81], Shuvalov |Đ7|,

Kuznetsov [54] đối với oáo vật liệu dị hướng, nói chung Trt công trình |Bä|, tấtva cáo nghiện ottu trêu đều khảo sát vật liệu đàn hồi nén được.

Sóng, Lainb trong các bản nhiền lớp đã được nghiên cứu bởi Jones [33],

Yao-Jun và cong sự 149], Demoenko và Mazeika |28| cho oáo tim đẳng hướng, oửa,

Liu và oộng su |61|, Nayfoh |§2|, Verma |L11] cho dị hướng Trong tat cả cdcnghiên cứu trêu, các lớp được gia định là nén đượo Đôi với trường hợp tương,đối ít lớp, cách tiếp can trựo tiếp là thích hợp và oáo phương trình bán sắc thuđượo dưới dạng hình thức, ví dụ, bac tám (33, 149, 79|, bao bôu |2U| cho tấm.

đăng hướng 2 lớp nén được, bậo béu |I47|, bac sáu |ð5| đối với cáo tấm 3 lớpđẳng thé nén được đôi xứng Khi số lớp tang lên, phương pháp tiếp van true tiếp

không, cou thích hợp và phương pháp ma trận chuyển [IU4, 51, 64| được thay,

Từ phan tích trên ta thay, trong cáo nghiện cứu nêu trên v6 duy nhất 1 cong

trình dành cho sóng Lamb truyền trong bắn đàn hồi đẳng hướng ngang không,

nón được [53] Như vậy oó rất ít kết qua liên quan đến sóng Lamb trong áo bắndau hồi dị hướng không nén được.

15

1.5 Vĩ sao có it nghiên cứu về sóng truyền trong các

môi trường dan hồi dị hướng không nén được

1.5.1 Vì ấn số cần tìm tăng lên

Để mô hình hóa môi trường không nén được, can sử dụng thêm mot ấn hammới, đó là áp suất thúy tĩnh Két quả, số ấn van tìm olla bài toán doug ota lýthuyết đàn hồi không nón đượo nhiều hon (một) so với số ấn dần tìm của bàitoán động đối với môi trường đàn hồi nén được Về mặt toán học, bài toán động:của môi trường đàn hồi không nén được phức tap hơn bài toán bương ứng vita

môi trường đàn hồi nén được.

1.5.2 Vì phương pháp giới han không nến được dang hướng

không còn hiệu lực

Như da biết, môi trường đàn hồi dang bướng khong trów được có thé xem

như là giới hạn của môi trường đàn hồi dang hướng wéw được khi hằng, sô đàn

hồi Lame ÀA tiên đến vô cing, hoặc tương đương, khi hệ số Poison v tiên dén 0.5.Do vậy, về mặt toán học, lời giải ola bài toán (động oũng như tinh) cla một

vật thé (hay một môi trường, một cân trie) đàn hồi đẳng hướng không wén đượcv6 thế nhận được từ lời giãi via bài toán đẳng hướng móu được tương ứng bằng,

cách cho À tiến đến vô dùng hoặo z tiêu déu 0.5 Tuy nhiên, khi môi trường làdị hướng, tut giới haw hông nén được, không, phải mot mA một số hằng số danhồi cứng tiến đến vô cing (tham: khảo Destrade |73| và Vinh và oộng sự ||LIS|).

Do vậy, phương pháp giới hạn dang hướng không nén được không còn hiệu lựcđối với oáo vat thé đàn hồi dị hướng, không nén được.

Dén năm 2002, Destrade và cộng sự đã phát triển phương pháp giới hạn

không nén duoc cho vat liệu đàn hồi dị hướng tong quất Luy vậy, oáo kết quanhận được chí biểu diễn qua oáo hang số đàn hồi mém, không thé biểu diễn quadáo hằng số đàn hồi oứng, vì tại giới hạn không nén được, ma trận đàn hồi oứng:(oũng, như mồm) không khé nghịch Hơn nữa, với oấo môi trường dau hồi phứctạp như môi trường đàn điện, đàn từ, đàn hồi mioropolar, việc nghịch đáo ma

trận đàn hồi oứng, để thu đượo ma tran đàn hồi mềm là khong kha thi.

16

1.6 Cách khắc phục khó khăn

Đồ vượt qua oáo trở ngại nêu trên, đối với vac bài toán truyền sóng phẳng, vac

khó khăn được giái quyết bằng hai oách sau.

1.6.1 Thiết lập phát biếu Stroh cho môi trường dị hướng không,

nén được

+ Phát biếu Stroh là ông cu quan trong gidi quyết cáo bài toán truyền sóng.

trong môi trường dan hồi.

+ Việo thiết lập phát biển Stroh cho môi trường dị hướng không nén dude khó

hơn so với nến dude vì phải loại bỏ áp suất thủy tĩnh ra khỏi cáo phương trình

cơ ban.

1.6.2 Sứ dụng phương pháp giới han không nén được di hướng

cho các hằng số đàn hồi cứng,

Luận ấn sử dụng phương pháp giới hạn không nén dude dude dua ra bởi Vĩnh

và dộng sự |L18| Phương phấp này tiện lợi hơn so với phương, phấp đề suất bởiDestrade và oáo oộng, sự |73| vì trựo tiếp dùng hằng số đàn hồi ứng, không,thông, qua oáo hằng số đàn hồi mém.

1.6.3 Mục tiêu cua luận án

Từ các phan tích nêu trên, mục tiêu wa luận ấn lựa chọn là: nghiÊn cứu sự

truyền của các sóng Rayleigh, sóng Stoneley, sóng Scholte và sóng

Lamb trong các môi trường đàn hồi không nén được dị hướng Mụo

tiêu chính là tìm ra cáo phương trình tán sắc dạng hiện của áo sóng và ông:

thức tý sô H/V (Lý số biên độ chuyéu dịch ngang, và biên độ chuyển dịch thẳng

đứng) oứa ấu sóng.

Dé đạt được cáo mục tiêu tron:

(i) Luận ấn sử dụng phương pháp giới hạn không nén đượo trực hướng, đềxuất bởi Vĩnh và cong sự |L18|.

(ii) Liéu hành thiết lập oáo phát biểu Stroh cho vio môi trường, dị hướng

không nén được, một ông cu quan trọng để nghiên cứu cáo bài boán truyền.sóng, phẳng trong cdo môi trường đàn hồi.

Oó thé nói, nội dung ota luận ấn được đặc trưng bởi từ khóa đàn hồi dihướng không nến được và với từ khóa này thì ý tướng cửa luận ấn được phan.

17

biệt mot vach rõ ràng với vac ý bưởng oửa oấo luận ấn kháo đã được thực hiện

trong nhóm nghiên cứu sóng trong cáo môi trường đàn hồi ctta GS_L'S Pham

Ohí Vĩnh.

l8

Chương 2

Sóng Stoneley, sống Scholte trong

bán không gian dan hồi không nén

Muo tiêu cla Ohương, 2 là tìm ra viv phương, trình tan sắc dạng hiện cla vicsong (Stoneley, Scholte) và ty số H/V cho sóng Stoneley, trong áo bán không,gian đàn hồi trực hướng nón được và không, nón đượo bằng oáoh sử dụng phương,phấp điều kiện biên hiệu dung, phương pháp tích phân đầu và phương phấp giớihan không nón được.

Nội dung của hương, 2 gồm hai phan:

2.1 Sóng, Stonoloy.

2.2 Sóng Scholte

2.1 Sóng Stoneley.

2.1.1 Sóng Stoneley trong các tỉnh thể xoắn không nén được

Trong cong nghệ hiện đại, cáo vật liệu tinh thé dang đượo sử dụng rộngrãi Do vậy, vido đánh giá áo hằng số vật liệu trong cấu trúo trướo và trong, quatrình sử dụng là rất cần thiết Một trong cáo phương phấp đánh giá wa khônglàm phá húy cấu trav là phương phấp truyền sóng Sóng Stoneley là một trong

những ông vu thuận tiện để thực hiệu wue đích Hầy,

Trong cong trình |74| Destrade đã nghiên ottu sóng Stoneley, cdo tinh thé

xoắn nén được uy, nhiên, cho đến nay trường hợp không nến đượo chưa, dude

đồ dập nghiêu cttu.

Nội dung chính cotta phần này là nghiên oứu sự truyền oửa sóng, Stoneley,

trong các tinh thể xoắn không nén được Mục đích chính là tìm ra các phương:

19

trình tán sắc dạng hiện vita sóng bằng phương pháp tích phan đầu.

2.1.1.1 Dat bài toán

Xót môi trường đàn hồi vô hạn gdm cáo tinh thé trực hướng không nónđượo với vc trụo tinh thé là OX,OY,OZ (xem hình 2.la) trong đó OZ hướng.vào phía trong tờ giấy, Ot môi trường bằng một mat phẳng, đi qua trục OZ va

tạo một góo 6 đối với trụo OX (hình 2,la) Quay bán không gian trên quanh

vevto pháp tuyên uúa mặt phẳng oft một góo 180° (hình 2.1b) sau đó gắn chặt

hai ban không gian với nhan (hình 2.16) ta thu được môi trường nhữ mô ta trên.

hình vẽ Vì vật liệu là trực hướng (ba mặt phẳng toa độ là oáo mat phẳng đôi

xứng), nêu việo thay, đối chiều dương cia oấo brụo bọa độ không, làm odo hằngsô vật liệu thay đổi Do vậy, sau khi thay, đổi chiều dương oũa oáo true OX,OY.

cua vac bán không gian trên sao cho trụo OZ vtta hat bau không gián trùng, với

nhau (hướng vào troug mặt tờ giấy), cáo true OX, OY vita bán không giandưới, OX®?), OY) volta bán không gian trên v6 vị trí như trong hình vẽ Nhưvậy tinh thé 6 hai bán không, gian có chung truc OZ Hai trục còn lại olla bán.

không gian trên nhận được tit hai trục tương ứng, của bán không gian dưới bang

phép quay một góo 26 quanh brụo OZ Va gọi môi trường như vậy là "mdi trường

với những tinh thé bị xoắn", hay đơn gidn "oáo tinh thé bị xoắn" Dé nghiên

bau không gian như mô ta trên hình Ohú ý rằng hệ OX+X¿X; nhận đượo từ hệ

ox()y)Z (OX()Y)Z) bằng phép quay, một góo Ø (-0) quanh trụo OZ Ohú ý

rằng cáo đại lượng oủa bán không gian trên Xạ < được phân biệt bằng dẫn *.Xót bài toán truyền sóng Sboneley trong môi trường không nến được vớinhững tinh thé bị xoắn nói trêu Muo tiêu ola chúng ta là tìm ra phương, trìnhtấn sắo olla song.

Oht ý rằng, sóng Stoneley truyền theo hướng OX), tắt dau khi Xạ > +oo.

Oáo thành phần chuyển dịch oúa sóng: Stoueley, 06 dang:

uj = uj(X1, Xo, t), uj = uj(X1, Xe, t), J =1,2,u3 = us = 0 (2.1)

Oáo thành phần cita voobơ chuyến dịch ø, v2 và oáo thành phần của tonxơ ứngsuất ơia, 029 van phải liên tuo qua wat phẳng phân chia X¿ = 0.

2.1.1.2 Các phương trình cơ ban

Vì hai bán không gian được tao thành ti cing một loại tinh thé (tỉnh thểtrựo hướng) nêu cáo hằng số dan hồi mềm thu gọn (xem |, 105|) kháo không,

liêu quan đến trạng thái biến dang phẳng, (2.1) là S1¡, Sho, Sty, 5s Khi đó ta

ẩn Si; Sig 0 ay? +p

H |=|sg sự 0 || 24p |a=L3 ea

2213 00 %5, || a2

trong: đó a, a) là vc thành phan teuxơ biến dang va tonxơ ứng, suất oúa bán

khong gian dưới (X; > 0) trong hệ tea độ tinh the OX)Y)Z, tương tự đối với

a, al), p là ấp suất thủy tĩnh.

Xót bán không gian dưới Vì hộ OX,X2X3 nhận được từ he OX)y()Z bằngphép quay một góo Ø quanh true OZ (= OX3) nên trong hệ OX,X2X3 đẳng thứo

(2.2) trở thành (xem |I05|):

E11 Sir 512 S16 out+p

€92 | = | Si2 522 Soe 022 + p (2.3)

2£12 Sig 526 See O12

trong đó e¿;, oj; là cdc thành phan teuxo biễn dang và tenxơ ứng suất của báu

21

không, gian dưới trong hộ OX,X2X3, $j; được xáo định bối vv vdug thứu sau:

Si1 = S1cos19 + (2549 + S§s)cos20sin29 + S5a2sin 0S»a = 62acos19 + (2549 + S8g)cos29sin29 + S1ịsin8

512 = Sho ( H Sho 2545 S§6)cos°®0sin20

See = Sg + (Sty + Sho — 21s — S8g)cos?0sin”0

S6 = |25S5asin?0 — 261cos29 + (251s + S§s)(cos28 — sin^8)]sin0cos0S6 = |255acos20 — 2611sin20 + (251a + S§s)(cos28 — sin28)]sin0cos0

Đối với bán không gian trên ta oũng v6 hệ thức (2.3) trong đó $;; đượo xác định

bởi (2.4) với 6 dude thay bới —0.

Gọi ma trận C = (Ci), (4,7 = 1,2,6) là ma trận nghịch dao cla ma tran

S = (Siz), (4,9 = 1,2,6) Khi đó từ (2.3) ta 06;

o+p Cir Clo Cie Ell

Øaa+p | = | Cla Coo Cre £22 (2.5)

trong đó ø là mat độ khối lượng vita vật liệu, dau "." chi dao ham theo thời gian,dau "," chi đạo ham theo biên không, gian.

Vì vật liệu là không nén dude nên ta cd:

u11 + 022 =0 (2.9)

Ứng suất và chuyến dịch phải liên tuo khi di qua mặt phân chia X; = 0 và tắt

dần khi Xạ > too Chi ý rằng với bán không gian trên ta oũng, vd vio phương:trình tương tu như (2.4) - (2.9).

22

2.1.1.3 Điều kiện biên hiệu dụng:

Giá, sử song Stoueley, truyền theo hướng OX+, tắt dần theo hướng OX» vớivận tốo e và sô sóng k Đối với ban không, gian dưới (X¿ > 0), ta tìm nghiệm

Øii = 092 + (Cry — C12)01,1 + (Ca — C22)02,2 + (Cie — C26)(012 + 21) — (2.12)

Thay, (2.10) và (2.11) vào (2.7-3) ta được:

C26 — C16 ty

1 (26 V6, yy 4 2.1:

U, i( Coa U, — Ug + Con? ( 3)Thay (2.10) vào phương trình không nén đượo (2.9) suy ra:

trong đó X = pc? ya:

Co6 — C16)? C2 — C oy:

ay= (Ci 2C 12 4 C22) ( 26 16) , ob = 26 16 (2.20)Co6 Coe

Ohú ý rằng, khi chuyển từ bán khong gian dưới lên bán không gian trên thi Cy,

Cx, Coe, Cig không, đối, trong khi đó Cig, Cog đổi dẫu Do vây, theo oáo ông,

thứo (2.20), a; không thay đối, bị đối dau khi chuyén tit bán không gian dưới

lên bán không gian trôu.

Đôi với bán khong gian trên ta oũng oó phương trình tương tự:

él = iN,& (2.22)

Oáo thành phan cia N, đượo xáo định bởi (2.21) với bị được thay bằng —bị.

Nhu vậy bài toán dẫn về việc giái hệ (2.18) và (2.22), với điều kiện tắt dầu

xX ay X ,

1 b b— —=+——-2 =—Ũ =1-— 2.2

wa = 1, w3 = bi, we = Oy = Ge + đc Tới 1, WO Cos (2.29)

Phuong trình đặo trưng (2.28) là phương, trình bao 4 day đủ, Dé thỏa mãn điềukiện tắt dan ở vô dùng (2.24) ta chọn hai nghiệm p,p¿ oúa, (2.28) với phần áodương Dễ dàng thấy rằng, nêu sóng, Stoveley tồn bại, 4 nghiệm của phương,trình (2.28) đều là phứo liên hợp nôn luôn tồn tai hai nghiệm c6 phần áo dương.

Ứng với mỗi p(t = 1,2), nghiệm của (2.26) v6 dang:

boi =Ím ng by bị”, i= 1,2 (2.30)

Nhu vậy nghiệm của (2.18) là:

E(y) = Ai€oic”? + Aa€uac?29 (2.31)

trong đó Ay, 4a là cáo hằng, sd,

Tương, tự, nghiệm của (2.22) 06 dạng:

€.(w) = Bitict + Bagye? (2.32)

trong d6 By, By là oáo hằng số, p, pš là hai nghiệm có phần áo âm oủa phươngtrình dae trưng sau:

wap * + 20ap*? + wop*? + 201p" + wo = 0 (2.33)

bệ [mỹ nặ kỳ n]” là nghiệm cửa phương trình;

Từ điều kiện liên tuo (2.24) ta vd;

Ajfo1 + 426sa = Biko, + Bokoo (2.36)

Sử dụng (2.35) (bôn đăng thức cuối), từ (2.36) ta 06:

4a Bo

Do A#0 và BA 0, từ (2.37) suy, ra: |Ay|.|Ko| = 0.

Nếu |X¡| =0 => |Ka| # 0, từ phương trình thứ hai oủa (2.37) = A=—B

Khi đó, từ phương trình thứ nhất của (2.37) suy ra: ịA = 0, tức là:

Ngược lại, nêu có (2.40) tite là Ka4 =0 Do A 4 0 nên = |Ko| = 0 © (2.40).

Như vậy, để giái hộ (2.18), (2.22) thoa mãn điều kiện tit dần tai too và điều

kiện liên tuo bại X¿ = 0 ta chí can giai phương trình (2.18) với điều kiện tắt dan

tai +oo và điều kiện biên (2.39) (hoặc(2.40)).

Bài toán tìm nghiệm ota hệ (2.18) với X¿ > 0 thỏa man điều kiện tắt dan 6

+œ và điều kiện biên (2.39) (hoặo(2.40)) tương tu như bài toán sóng, Rayleigh

trong ban không, gran dưới,

Điều kiện biên (2.39) (hoặo(2.40)) thay thé toàn bộ ánh hưởng oủa bán khônggian trên đối với bán không gian dưới, do vậy chúng, đượo gọi là điều kiện biên.hiệu dụng Theo Mozhaev |77], sóng, Stoueley thỏa mãn điều kiện biên (2.39) gọilà LAWT (iLuterface Avoustic Wave 1), sóng thỏa man điều kiện biên (2.40) gọi

là LAW2 (lintorfaoo Avoustic Wave 2),

26

2.1.1.4 Phương trình tán sắc của sóng LẠWI

Như đã nói ở trên sóng LAWT oó thé xem như sóng mat Rayleigh truyềntrong bán không gian dưới, thỏa mãn điều kiện bự do đối với một thành phần

chuyển dịch (U¡) và thành phần ứng suất (t2) tại mặt biên X¿ = 0 Đó là điều

kiện biên (2.39) Như da bist, phương trình đặo trưng, của LAWT là phương trình

(2.28) Day là phương, trình bac bén day, đủ đối với p nên khong thể áp dụng

phương phấp truyền thông để tìm phương trình tan sắc olla sóng Dé tìm phương.

trình tán sắc oúa sóng LAW] ta 4p dụng phương phấp tích phan đầu |71, 1| Đế

ấp dụng phương pháp tích phan dau, ta oan biên doi hệ 4 phương trình vi phanvap 1 (2.18) về hệ 2 phương trình vi phan vip 2 đối với 2 ấn số U¡() và fa(0).Quá trình biến đối như được chí ra dưới đây,

Đưa ra oáo biên mới;

(dấu ” chi đạo hàm theo y).

Tà dần một phương trình vi phân cấp 2 đối với >.

Thay 7" trong (2.46) bởi (2.44-2) và tính đến (2.45) ta thu được phương trình

vi phân cấp 2 đối với Ð ` như sau ;

KT NO aks + KiK c1) ST (Ky! — Ky) =0 — (247)

27

Cé6-Dưới dang thành phan (2.47) 06 dang như sau:

ond, — `» — Vik » =0, (i,k =1,2) (2.5U)

Dua vào oáo ma tran vuông vap 2 D, E, FE xáo định như sau:

Drm =< tops Som >i Em =< Yop s Dom >i Fam =< iD >

Troug đó: < y,g >= J) (va + Gg)dy.

Oộng về với về phương trình (2.51) và (2.52) sau đó lay tích phân 2 về theo

y, từ 0 > +00 thu đượo hệ 4 phương trình viết dưới dang ma tran như sau:

28

Do đ,e, ƒ # 0 nên định thức của hệ (2.54) phải bằng không, tro là:

CsoX 2ŒssXbị CssXbƒ — (X — ai)(X — Coe)

Cos Cob X — Coo =0 (2.56)

1 0 0

Sau khi khai triễn về trái vila (2.56), phương trình bán sắo vita sóng LAWT v6dạng:

3X? (Csob‡ + 3Œ§s 4 ay) X + ø†Œ§g = 0 (2.57)

trong đó ai,bị được xáo định trong, (2.20).

Đó là phương trình bac 2 đối với X = pc?.

2.1.1.5 Phương trình tan sắc của sóng LẠW 2

Song LAW2 06 thế xem như sóng mat Rayleigh truyền trong bán khônggian trên, thỏa man điều kiện tu do đối với một thành phan f¡(g) và U2(y) trêu

mặt biên Xa = 0 Do phương trình dae trưng cla LAW2 (2.27) là phương trình

bậo 4 đầy đủ nêu ta khong dùng phương phấp truyền thông được La áp dungphương pháp "tích phân dau" để tìm phương trình tấn sắc oủa sóng LAW2.

Sóng LAW2 thỏa mãn phương trình (2.18) và điều kiện biên (2.40) Lương

tự như phan 2.1.1.4, để tìm phương trình tan sắc olla sóng LAW2 bằng phươngpháp tích phân đầu, ta phải biên đổi (2.18) về phương trình vi phan cấp 2 đối

với T = E Ua iF

Theo phần 2.1.1.4, từ (2.18) > (2.44) Lừ (2.44-2) suy ra:

So = -iky'T! — Ky! Kil (2.58)

Đạo hàm (2.58) theo y ta 0d;

» = —iN; 1T" — Ky! KT’ (2.59)Thay, Š” trong (2.59) bởi (2.44-1) và tính đến (2.58) ta thu được phương trình

vi phân cấp 2 đối với T như sau:

Kạ TT” = i(Ñy Kì + KIÑg ')T — (kK, Ky! Ki — K2)T =0 (2.00)

29

a=K;',8 = (Ñz TKt + Ki K;'),7 = (Ki Ky!Ky — Ko) (2.01)

Từ (2.61) ta có:

— 0 1 : 0 bịa= p=

Khai triến (2.64) ta nhận được phương trình tan sắc cia LAW2, đó là phương.

trình bậo nhất đối với X = pc? như sau:

hình liên kết lò xo, trường chuyển dich không: liên tuo, trường ứng suất liên tuo

30