Sóng mặt trong các môi trường đàn hồi không nén được

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Lương Thế Thắng SĨNG MẶT TRONG CÁC MƠI TRƯỜNG ĐÀN HỒI KHÔNG NÉN ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LƯƠNG THẾ THẮNG SĨNG MẶT TRONG CÁC MƠI TRƯỜNG ĐÀN HỒI KHÔNG NÉN ĐƯỢC Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội - 2015 Lời cảm ơn Lời luận văn cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy Phạm Chí Vĩnh, người tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em từ lúc làm khóa luận tốt nghiệp đến lúc hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy cô giáo dạy dỗ em suốt trình học tập, đặc biệt thầy môn học, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị nhóm sêmina bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp.Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn chị Nguyễn Khánh Linh, chị tận tình giúp em kiểm tra kết tính tốn Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2015 Học viên cao học Lương Thế Thắng Mục lục Mở đầu SĨNG STONELEY TRONG CÁC TINH THỂ XOẮN KHƠNG NÉN ĐƯỢC 1.1 Đặt toán 1.1.1 Các phương trình 1.1.2 Điều kiện biên hiệu dụng 11 Tìm phương trình tán sắc phương pháp tích phân đầu 15 1.2.1 Phương trình tán sắc sóng IAW1 16 1.2.2 Phương trình tán sắc sóng IAW2 18 Tìm phương trình tán sắc phương pháp vectơ phân cực 19 1.3.1 Phương trình tán sắc sóng IAW1 19 1.3.2 Phương trình tán sắc sóng IAW2 22 1.2 1.3 SĨNG STONELEY TRONG MƠI TRƯỜNG TRỰC HƯỚNG KHƠNG NÉN ĐƯỢC 24 2.1 Đặt tốn 25 2.2 Điều kiện biên hiệu dụng 25 2.3 Phương trình tán sắc 28 2.4 Trường hợp đặc biệt 30 SĨNG SCHOLTE TRONG MƠI TRƯỜNG TRỰC HƯỚNG KHƠNG NÉN ĐƯỢC 31 3.1 32 Điều kiện biên hiệu dụng 3.2 Phương trình tán sắc 33 3.3 Trường hợp đặc biệt 35 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Sóng mặt mơi trường đàn hồi, bao gồm sóng Rayleigh, sóng Stoneley, sóng Scholte, sóng Love, nghiên cứu cách mạnh mẽ ứng dụng to lớn chúng nhiều lĩnh vực khác khoa học công nghệ địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền thơng khoa học vật liệu Đã có số lượng lớn nghiên cứu sóng mặt Như viết [24], Google.Scholar, cơng cụ tìm kiếm mạnh khoa học, xuất ba triệu đường links cho yêu cầu tìm kiếm "surface waves " Kết tìm kiếm thu thật đáng kinh ngạc! Nó rằng, lĩnh vực nghiên cứu sóng mặt có vị trí cao khoa học, quan tâm lớn nhà khoa học giới Có điểm đáng ý là, hầu hết nghiên cứu dành cho mơi trường đàn hồi nén Có kết cho mơi trường đàn hồi khơng nén Có hai nguyên nhân dẫn đến tượng Thứ nhất, để áp dụng cơng cụ nghiên cứu sóng mặt phương pháp tích phân đầu, phương pháp véctơ phân cực, cần có biểu diễn Stroh So với trường hợp nén được, việc rút biểu diễn Stroh cho mơi trường khơng nén khơng tương tự mà khó khăn hơn, cần phải khử áp suất thủy tĩnh (còn gọi nhân tử Lagrange) khỏi phương trình Thứ hai, lý thuyết, kết nghiên cứu cho vật liệu khơng nén nhận từ kết vật liệu nén được, theo nghiên cứu Destrade cộng Tuy nhiên, việc suy không dễ dàng Hơn nữa, theo lý thuyết này, kết cuối biểu diễn qua số mềm đàn hồi mà không biểu diễn qua số cứng đàn hồi trường hợp nén Vật liệu đàn hồi không nén được sử dụng rộng rãi công nghệ đại, đặc biệt vật liệu tựa cao su (rubber-like materials), vật liệu sinh học (biological materials) Việc nghiên cứu tốn truyền sóng, đặc biệt tốn truyền sóng mặt mơi trường đàn hồi khơng nén có ý nghĩa, phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng thức tiễn Mục đích luận văn nghiên cứu số sóng mặt truyền môi trường đàn hồi không nén Cụ thể, là: (i) Sóng Stoneley tinh thể xoắn khơng nén (ii) Sóng Stoneley bán không gian đàn hồi trực hướng không nén (iii) Sóng Scholte truyền dọc biên phân chia bán không gian đàn hồi trực hướng không nén bán khơng gian chất lỏng Mục đích luận án tìm phương trình tán sắc dạng (dạng tường minh) Nội dung luận văn bao gồm chương : • Chương 1: Sóng Stoneley tinh thể xoắn không nén Chương nghiên cứu truyền sóng Stoneley tinh thể xoắn không nén Sau hai điều kiện biên hiệu dụng tìm ra, sóng Stoneley tinh thể xoắn khảo sát sóng Rayleigh truyền bán không gian chịu điều kiện biên hiệu dụng Các phương trình tán sắc dạng sóng tìm hai phương pháp: phương pháp tích phân đầu phương pháp vecto phân cực • Chương 2: Sóng Stoneley mơi trường trực hướng khơng nén Chương hai khảo sát truyền sóng Stoneley dọc biên phân chia hai bán không gian đàn hồi trực hướng, không nén với liên kết gắn chặt Áp dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng, phương trình tán sắc dạng sóng tìm • Chương 3: Sóng Scholte mơi trường trực hướng không nén Chương ba dành nghiên cứu cho sóng Scholte truyền dọc theo bề mặt bán không gian đàn hồi trực hướng không nén nằm bán không gian chất lỏng lý tướng (nén được) Phương trình tán sắc dạng sóng Scholte tìm phương pháp điều kiện biên hiệu dụng Khi bán không gian đàn hồi đẳng hướng, phương trình tán sắc thu trùng với kết tìm trước Chương SĨNG STONELEY TRONG CÁC TINH THỂ XOẮN KHÔNG NÉN ĐƯỢC Trong công nghệ đại, vật liệu tinh thể sử dụng rộng rãi Do vậy, việc đánh giá số vật liệu cấu trúc trước trình sử dụng cần thiết Một phương pháp đánh không làm phá hủy cấu trúc phương pháp truyền sóng Sóng Stoneley công cụ thuận tiện để thực mục đích Sóng Stoneley tinh thể xoắn nén được Destrade [8] khảo sát vào năm 2003 Tuy nhiên, trường hợp không nén chưa đề cập nghiên cứu Nội dung chương nghiên cứu truyền sóng Stoneley tinh thể xoắn khơng nén Mục đích tìm phương trình tán sắc dạng sóng Các phương trình tìm hai phương pháp: phương pháp tích phân đầu phương pháp véctơ phân cực Các kết chương báo cáo Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII [2] tổ chức thành phố Đà Nẵng năm 2015 (6-7/8/2015) 1.1 Đặt tốn Xét mơi trường đàn hồi vơ hạn gồm tinh thể trực hướng không nén với trục tinh thể OX,OY,OZ (xem hình 1a) OZ hướng vào phía tờ giấy Cắt mơi trường mặt phẳng qua trục OZ tạo góc θ trục OX (hình 1a) Quay bán không gian quanh vectơ pháp tuyến mặt phẳng cắt góc 180◦ (hình 1b) sau gắn chặt hai bán khơng gian với (hình 1c) ta thu mơi trường mơ tả hình vẽ Vì vật liệu trực hướng (ba mặt phẳng tọa độ mặt phẳng đối xứng) , nên việc thay đổi chiều dương trục tọa độ không làm số vật liệu thay đổi Do sau thay đổi chiều dương trục OX,OY bán không gian cho trục OZ hai bán không gian trùng với (hướng vào mặt tờ giấy), trục OX (1) , OY (1) bán không gian dưới, OX (2) , OY (2) bán khơng gian có vị trí hình vẽ Như tinh thể hai bán khơng gian có chung trục OZ Hai trục cịn lại bán không gian nhận từ hai trục tương ứng bán không gian phép quay góc 2θ quanh trục OZ Ta gọi mơi trường "môi trường với tinh thể bị xoắn", hay đơn giản "các tinh thể bị xoắn" Hình Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động cú dng: 11,1 + 12,2 = uă1 (2.3) 12,1 + 22,2 = uă2 ú mật độ khối lượng vật liệu, dấu "." đạo hàm theo thời gian Vì vật liệu khơng nén nên ta có: u1,1 + u2,2 = (2.4) Điều kiện tắt dần vô cùng: u¯1 = u¯2 = σ ¯12 = σ ¯22 = x2 = −∞ (2.5) Giả sử sóng Stoneley truyền theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 Theo Vinh cộng [22], chuyển dịch ứng suất sóng Stoneley bán khơng gian thứ x2 ≤ thỏa mãn phương trình (2.2)-(2.5) (tham khảo thêm [11]): ¯ n (y)eik(x1 −ct) , y = kx2 , n = 1, u¯n = U¯n (y)eik(x1 −ct) , σ ¯n2 = ik Σ (2.6) đó: U (y) = (α1 A1 ep1 y + α2 A2 ep2 y ), U (y) = −i(A1 ep1 y + A2 ep2 y ), Σ1 (y) = −i(β A1 ep1 y + β A2 ep2 y ), Σ2 (y) = (γ A1 ep1 y + γ A2 ep2 y ) (2.7) (2.8) A1 , A2 số, y = kx2 , p1 , p2 hai nghiệm có phần thực dương phương trình: γ¯ p4 − (2β − X)p2 + γ¯ − X = (2.9) γ¯ = c66 , X = ρ¯c2 , β = (δ − 2¯ γ )/2, δ = c11 − 2c12 + c22 (2.10) với 26 và: α k = pk , β k = c66 (1 + p2k ), γ k = (X − δ + β k )αk , k = (1, 2) (2.11) Từ (2.9) ta có: p21 + p22 = S = γ−X 2β − X 2 , p1 p2 = P = γ γ (2.12) Cũng theo Vinh cộng [22]: ¯ < c¯66 0 0, S + P > 0, p1 p2 = P , p1 + p2 = S+2 P (2.14) Từ (2.7) (2.8) ta có: U (0) = (α1 A1 + α2 A2 ), U (0) = −i(A1 + A2 ) (2.15) Σ1 (0) = −i(β A1 + β A2 ), Σ2 (0) = (γ A1 + γ A2 ) (2.16) Khử A1 , A2 từ (2.15) (2.16) ta hai hệ thức sau: Σ1 (0) = −i[β] [α, β] [γ] i[α, γ] U (0) + U (0), Σ2 (0) = U (0) + U (0) [α] [α] [α] [α] (2.17) Ở ta sử dụng kí hiệu (được gọi "móc"): [f ; g] := f2 g1 − f1 g2 , [f ] := f2 − f1 (2.18) Vì hai bán khơng gian gắn chặt với mặt phẳng x2 = 0, U n (0) = Un (0), Σn (0) = Σn (0), n = 1, Từ (2.17) suy ra: [α]Σ1 (0) + i[β]U1 (0) − [α, β]U2 (0) =0 [α]Σ2 (0) − [γ]U1 (0) − i[α, γ]U2 (0) =0 (2.19) Phương trình (2.19) điều kiện biên hiệu dụng cần tìm, thay tồn ảnh hưởng bán không gian thứ lên bán khơng gian thứ hai 27 2.3 Phương trình tán sắc Bây ta bỏ qua bán khơng gian thứ x2 ≤ sóng Stoneley xem sóng Rayleigh truyền bán khơng gian thứ hai x2 ≥ theo hướng x1 , tắt dần theo hướng x2 chịu điều kiện biên hiệu dụng (2.19) Giả thiết bán không gian thứ hai x2 ≥ đàn hồi trực hướng không nén Theo Vinh cộng [22], thành phần chuyển dịch ứng suất xác định công thức sau (tham khỏa thêm [11]): un = Un (y)eik(x1 −ct) , σn2 = ikΣn (y)eik(x1 −ct) , y = kx2 , n = 1, (2.20) đó: U1 (y) = −(α1 B1 e−p1 y + α2 B2 e−p2 y ), U2 (y) = −i(B1 e−p1 y + B2 e−p2 y ) (2.21) Σ1 (y) = −i(β1 B1 e−p1 y + β2 B2 e−p2 y ), Σ2 (y) = −(γ1 B1 e−p1 y + γ2 B2 e−p2 y ) (2.22) B1 , B2 số xác định từ điều kiện biên hiệu dụng (2.19), p1 , p2 nghiệm có phần thực dương phương trình (2.9) đại lượng αk , βk , γk xác định từ (2.11) cách bỏ dấu gạch ngang Thay (2.21),(2.22) với x2 = vào (2.19) ta có: (−[α]β1 − [β]α1 + [α, β])B1 + (−[α]β2 − [β]α2 + [α, β])B2 =0 (−[α]γ1 + [γ]α1 − [α, γ])B1 + (−[α]γ2 + [γ]α2 − [α, γ])B2 =0 (2.23) Do B1 , B2 không đồng thời không nên định thức hệ (2.23) phải không, tức là: −[α]β1 − [β]α1 + [α, β] −[α]β2 − [β]α2 + [α, β] −[α]γ1 + [γ]α1 − [α, γ] −[α]γ2 + [γ]α2 − [α, γ] =0 (2.24) Khai triển (2.24) ta nhận phương trình tán sắc sau: [α]2 [β, γ]+[α][β][α, γ]+[α][γ][α, β]+[α]( [β][α, γ]−[γ][α, β] )+[β][α][α, γ]+[γ][α][α, β] = (2.25) 28 Biến đổi (2.25) ý đến đẳng thức [f ; g][h] − [f ; h][g] = [f ][h; g] ta thu được: [α][β, γ] + [α][β, γ] + [β][α, γ] + [β][α, γ] + [γ][α, β] + [γ][α, β] = (2.26) Từ (2.18) (2.11) dễ dàng thấy: [α] = D = p2 − p1 = θ [β] = A = θc66 √ S+2 P [γ] = −B = −[α, β] (2.27) √ [α, β] = B = θc66 (1 − P ) √ √ [α, γ] = C = −θc66 P S + P √ [β, γ] = E = θc66 [(X − δ)( P − 1) − c66 (S + P + 1)] với S, P tính (2.12) cách bỏ dấu ngạch ngang Các móc ngang có dạng (2.27) phân biệt dấu ngạch ngang Thay (2.27) vào (2.26) ta được: ¯ + DE¯ − 2B B ¯ + AC ¯ + AC¯ = DE (2.28) Phương trình (2.28) viết tường minh sau: √ ¯ ¯ − δ)( c66 [(X − δ)( P − 1) − c66 (S + P + 1)] + c¯66 [(X − 2c66 c¯66 (1 − √ P )(1 − √ S+2 P P¯ ) − c66 c¯66 P¯ − 1) − c¯66 (S¯ + P¯ + 1)] S¯ + √ P¯ ( P + P¯ ) = (2.29) Đây phương trình tán sắc dạng cần tìm sóng Stoneley truyền hai bán khơng gian đàn hồi trực hướng không nén Dạng không thứ nguyên thu cách chia hai vế (2.29) cho c266 : √ (x − eδ )( P − 1) − (S + P + 1) + rµ2 [(rv2 x − eδ¯)( − 2rµ (1 − √ P )(1 − P¯ ) − rµ √ S+2 P P¯ − 1) − (S¯ + P¯ + 1)] S¯ + √ P¯ ( P + (2.30) P¯ ) = với S = eδ − x − 2, S¯ = e¯δ − rv2 x − 2, 29 P =1−x P¯ = − rv2 x (2.31) và: x= δ¯ X δ c¯66 c2 , eδ = , eδ¯ = , rµ = , rv = , c2 = c66 c66 c¯66 c66 c¯2 c66 , c¯2 = ρ c¯66 ρ¯ (2.32) Rõ ràng, vận tốc sóng khơng thứ nguyên x phụ thuộc vào tham số không thứ nguyên:eδ , eδ¯, rµ , rv 2.4 Trường hợp đặc biệt Khi bán không gian đàn hồi đẳng hướng ngang (với trục đẳng hướng 0x3 ) ta có: c11 = c22 , c11 − c12 = 2c66 , c¯11 = c¯22 , c¯11 − c¯12 = 2¯c66 Khi đó: eδ = eδ¯ = 4, P = − x, S = − x, P¯ = − rv2 x, S¯ = − rv2 x (2.33) phương trình tán sắc sóng Stoneley có dạng (2.30) eδ = eδ¯ = 4, S , S¯, P , P¯ tính (2.33) Khi hai bán không gian đẳng hướng, phương trình tán sắc có dạng x = ρc2 /µ Dạng có thứ ngun tương ứng với là: √ ¯[(¯ ρc2 − 4¯ µ) µ[(ρc2 − 4µ) P + ρc2 ] + µ √ µ¯ µ S+2 P S¯ + P¯ + ρ¯c2 ] − 2µ¯ µ(1 − √ P¯ ( P + √ P )(1 − P¯ ) (2.34) P¯ ) = Phương trình (2.34) phương trình tán sắc sóng Stoneley trường hợp đẳng hướng, khơng nén Phương trình trùng với phương trình tán sắc nhận từ phương trình (58) [23] bán không gian trở thành đẳng hướng không nén 30 Chương SĨNG SCHOLTE TRONG MƠI TRƯỜNG TRỰC HƯỚNG KHƠNG NÉN ĐƯỢC Sóng Scholte sóng mặt truyền dọc biên phân chia bán không gian chất lỏng bán khơng gian chất rắn lượng sóng tắt dần theo hai phương vng góc với mặt phân cách Cũng sóng Rayleigh sóng Stoneley, sóng Scholte có nhiều ứng dụng địa chấn học, khoa học vật liệu khoa học kiểm tra không phá hủy Sóng Scholte truyền bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng nén nằm bán không gian chất lỏng lý tưởng (không nhớt) Scholte [13] nghiên cứu năm 1949 Tác giả tìm phương trình tán sắc sóng phương pháp truyền thống Năm 2013, áp dụng phương pháp hàm biến phức,Vinh [20] tìm cơng thức xác cho vận tốc sóng chứng minh sóng Scholte ln tồn Chương nghiên cứu sóng Scholte bán không gian đàn hồi trực hướng không nén nằm bán không gian chất lỏng lý tưởng Mục tiêu tìm phương trình tán sắc dạng Để tìm phương trình này, luận văn sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng trình bày chương hai, ảnh hưởng bán không gian chất lỏng thay điều kiện biên hiệu dụng 31 3.1 Điều kiện biên hiệu dụng Xét sóng Scholte truyền bề mặt bán khơng gian đàn hồi trực hướng không nén chiếm miền x2 ≥ nằm bán không gian chất lỏng lý tưởng (không nhớt) x2 ≤ Tại biên phân chia x2 = 0, ứng suất tiếp không, trái lại ứng suất pháp chuyển dịch pháp liên tục Chú ý đại lượng liên quan đến lớp nước lý tưởng phân biệt dấu * Xét trạng thái biến dạng phẳng với thành phần chuyển dịch có dạng: ui = ui (x1 , x2 , t), u∗i = u∗i (x1 , x2 , t) i = 1, 2, u3 = u∗3 ≡ (3.1) t thời gian Đối với bán không gian chất lỏng lý tưởng, thành phần chuyển dịch u∗1 , u∗2 xác định sau [9]: u∗1 = ϕ,1 , u∗2 = ϕ,2 (3.2) ú tha phng trỡnh sau: c2 ă (ϕ,11 +ϕ,22 ) = ϕ c∗1 = (3.3) λ∗ /ρ∗ vận tốc sóng (dọc) chất lỏng Điều kiện tắt dần: u∗i = (i = 1, 2) x2 → −∞ (3.4) Ứng suất biểu diễn qua chuyển dịch liên hệ sau: ∗ ∗ σ12 = 0, σ22 = λ∗ (u∗1,1 + u∗2,2 ) (3.5) Xét sóng Scholte truyền theo phương x1 tắt dần theo x2 , với vận tốc sóng c, số sóng k Từ (3.3 ) chuyển dịch ϕ xác định bởi: ∗ ϕ = Bekb1 x2 eik(x1 −ct) , b∗1 = 1− c2 , < c < c∗1 c1 ∗2 (3.6) B số Thay vào phương trình (3.2) thành phần chuyển dịch u∗1 , u∗2 có dạng: ∗ u∗1 = iA∗1 ekb1 x2 eik(x1 −ct) ∗ u∗2 = b∗1 A∗1 ekb1 x2 eik(x1 −ct) 32 (3.7) đây: A∗1 = kB số Từ (3.5) (3.7) ta có: ∗ ∗ kb1 x2 ik(x1 −ct) ∗ e = λ∗ k(b∗2 σ22 − 1)A1 e (3.8) So sánh (3.8) phương trình thứ hai (3.7) dẫn đến: ∗ σ22 = kλ∗ (b∗1 − ∗ )u b∗1 (3.9) Từ điều kiện liên tục ứng suất chuyển dịch pháp biên phân chia x2 = (chú ý (3.5)1 ) suy ra: σ12 = 0, σ22 = kλ∗ (b∗1 − )u2 b∗1 (3.10) Đây điều kiện biên hiệu dụng x2 = Nó thay tồn tác động bán khơng gian chất lỏng lý tưởng lên bán không gian đàn hồi trực hướng khơng nén 3.2 Phương trình tán sắc Theo Vinh cộng [22], chuyển dịch ứng suất sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi trực hướng không nén là: u1 = −(α1 B1 e−kp1 x2 + α2 B2 e−kp2 x2 )eik(x1 −ct) u2 = −i(B1 e−kp1 x2 + B2 e−kp2 x2 )eik(x1 −ct) σ12 = k(β1 B1 e−kp1 x2 + β2 B2 e−kp2 x2 )eik(x1 −ct) (3.11) σ22 = −ik(γ1 B1 e−kp1 x2 + γ2 B2 e−kp2 x2 )eik(x1 −ct) p1 , p2 hai nghiệm có phần thực dương phương trình (2.9), αk , βk γk xác định (2.11) cách bỏ dấu gạch ngang Từ (3.11) suy ra: u2 (0) = −i(B1 + B2 )eik(x1 −ct) σ12 (0) = k(β1 B1 + β2 B2 )eik(x1 −ct) (3.12) σ22 (0) = −ik(γ1 B1 + γ2 B2 )eik(x1 −ct) Thay (3.12) vào (3.10) ta hệ phương trình: β1 B1 + β2 B2 = [γ1 − λ∗ (b∗1 − b∗1 )]B1 + [γ2 − λ∗ (b∗1 − 33 b∗1 )]B2 (3.13) = Để (3.13) có nghiệm khơng tầm thường det = 0, tức là: β1 ∗ γ1 − λ (b∗1 − b∗1 ) β2 ∗ γ2 − λ (b∗1 − =0 b∗1 ) (3.14) Khai triển (3.14) ta nhận phương trình tán sắc sau: [β, γ] − λ∗ (b∗1 − )[β] = b∗1 (3.15) với : [β, γ], [β] tính từ (2.27) Thay (2.27) vào (3.15) ta được: √ (X − δ)( P − 1) − c66 (S + P + 1) − λ∗ (b∗1 − ∗ ) b1 √ S + P = (3.16) Đây phương trình tán sắc sóng Scholte mong đợi dạng hồn tồn tường minh Dạng khơng thứ ngun thu cách chia hai vế (3.16) cho c66 : √ (x − eδ )( P − 1) − xγ ∗ − (eδ − 2x) − xγ ∗ + rx √ S+2 P =0 (3.17) với: S = eδ − x − 2, và: x= P =1−x X δ ρ∗ , eδ = , r = , c2 = c66 c66 ρ 34 c22 c66 ∗ , γ = ∗2 ρ c1 (3.18) (3.19) Từ phương trình (3.17), ta thấy x hàm ba tham số không thứ nguyên r, eδ , γ ∗ Hình 3.1: Sự phụ thuộc vận tốc Scholte khơng thứ ngun x vào r Hình 3.1 biểu diễn phụ thuộc vào số không thứ ngun r vận tốc sóng Scholte khơng thứ nguyên bình phương x (với giá trị cho trước γ ∗ ) 3.3 Trường hợp đặc biệt Khi bán không gian đàn hồi đẳng hướng ngang (với trục đẳng hướng 0x3 ) ta có: c11 = c22 , c11 − c12 = 2c66 Khi đó: eδ = 4, P = − x, S = − x (3.20) Thay (3.20) vào (3.17) sau số phép tốn biến đổi ta có: √ √ rx( − x + 1) + (x − 4) − x − xγ ∗ + x − xγ ∗ = (3.21) √ Nhân vế (3.21) với − − x dẫn đến: rx2 + (2 − x)2 √ − xγ ∗ − − x 35 − xγ ∗ = (3.22) Phương trình (3.22) phương trình tán sắc sóng Scholte trường hợp đẳng hướng ngang, khơng nén Nó cho trường hợp đẳng hướng x = ρc2 /µ Phương trình trùng với phương trình tán sắc (13) báo [20] (λ → ∞) (tức phương trình tán sắc sóng Scholte bàn khơng gian đàn hồi đẳng hướng không nén được) 36 Kết Luận Luận văn khảo sát ba tốn: sóng Stoneley tinh thể xoắn khơng nén được, sóng Stoneley truyền hai bán không gian đàn hồi trực hướng khơng nén sóng Scholte truyền bán khơng gian đàn hồi trực hướng không nén bán không gian chất lỏng lý tưởng Bằng cách áp dụng phương pháp tích phân đầu, phương pháp véc tơ phân cực phương pháp điều kiện biên hiệu dụng, luận văn thu kết quả: + Tìm phương trình tán sắc dạng (tường minh) sóng Stoneley tinh thể trực hướng xoắn không nén + Tìm phương trình tán sắc dạng sóng Stoneley mơi trường trực hướng khơng nén + Tìm phương trình tán sắc dạng sóng Scholte truyền dọc biên phân chia bán không gian đàn hồi trực hướng không nén bàn không gian chất lỏng không nhớt Đây kết cơng cụ hữu ích để giải toán thực tế 37 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Chí Vĩnh (2015), Các phương pháp tìm phương trình tán sắc dạng sóng Rayleigh ứng dụng, NXB ĐHQGHN [2] Phạm Chí Vĩnh, Lương Thế Thắng (2015), "Sóng Stoneley tinh thể xoắn không nén được", Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đà Nẵng (đang in) [3] Achenbach J D (1973), Wave Propagation in Elastic Solids, Else-vier Science Publishers, North-Holland, Amsterdam [4] Collet, B and Destrade, M (2004), "Explicit secular equations for piezoacoustic surface waves: Shear-horizontal modes", J Acoust Soc Am., 116, pp 3432 – 3442 [5] Currie, P K (1979), "The secular equation for Rayleighwaves on elastic crystal", Q J Mech Appl Math., 32, pp 163-173 [6] Destrade, M (2001), "The explicit secular equation for surface acoustic waves in monoclinic elastic crystals", J Acoust Soc Am., 109, pp 1398-402 [7] Destrade, M., Martin, P A., Ting, T C T (2002), "The incom-pressible limit in linear anisotropic elasticity, with application to surface waves and elastostatics", J Mech Phys Solids, 50, pp 1453-1468 [8] Destrade, M.(2003), "Elastic interface acoustic waves in twinned crystals",Int.J.Solids and Struct, 40, pp 7375-7383 [9] Kaufman,A A., Levshin, A L (2005), Acoustic and Elastic Wave Fields in Geophysics III, Elsevier 38 [10] Mozhaev, V G., Tokmakova, S P., Weihnacht, M.(1998), "Interface acoustic modes of twisted Si (001) wafers",J.Appl.Phys, 8, pp 3057-3060 [11] Ogden, R W., Vinh, P C (2004), "On Rayleigh waves in incompressible orthotropic elastic solids" J Acoust Soc Am., 115, pp 530- 533 [12] Stroh, A N (1962), "Steady state problems in anisotropic elastic-ity", Journal of Mathematical Physics, 41, pp 77–103 [13] Scholte, J G (1949), "On true and pseudo Rayleigh waves", Proc K Ned Akad Wet A, 52, pp 652–653 [14] Sotiropolous, D A (1999), "The effect of anisotropy on guided elastic waves in a layered half-space", Mech Mater, 31, pp 215-233 [15] Stoneley, R (1924) "Elastic waves at the surface of separation of two solids" Proceedings of the Royal Society of London Series A – Mathematical and Physical Sciences, 106, pp 416–428 [16] Taziev, R M (1989), "Dispersion relation for acoustic waves in an anisotropic elastic half-space", Sov Phys Acous, 35, pp 535- 538 [17] Ting, T C T (1996), Anissotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford University Press, NewYork [18] Ting, T C T (2004), "The polarization vector and secular equation for surface waves in an anisotropic elastic half-space", The Bruno Boley Symposium Volume Int J Solids Struct, 41, pp 2065-2083 [19] Vinh, P C., Hue, T T T., Quang, D V., Linh, N T K., Nam, N T (2010), "Method of first inte-grals and interface, surface waves", Vietnam Journal of Mechanics, 32, pp 107-120 [20] Vinh, P C (2013), "Scholte-wave velocity formulae", Wave Motion, 50, pp 180–190 39 [21] Vinh, P C., Hue, T T T (2014), "Rayleigh waves with impedance boundary conditions in anisotropic solids", Wave Motion, 51, pp 1082-1092 [22] Vinh, P C., Linh, N T K., Anh, V T N (2014), "Rayleigh waves in an incompressible orthotropic half-space coated by a thin elastic layer", Arch Mech, 66, pp.173-184 [23] Vinh, P.C., Anh, V T N (2016), "Explicit surface impedance matrices and their applications", Vietnam Journal of Mechanics, Accepted [24] Voloshin, V (2010), Moving load on elastic structures: passage through the wave speed barriers (Ph.D thesis), Brunel University 40 ... truyền sóng, đặc biệt tốn truyền sóng mặt môi trường đàn hồi không nén có ý nghĩa, phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng thức tiễn Mục đích luận văn nghiên cứu số sóng mặt truyền môi trường đàn hồi không. .. gian đàn hồi đẳng hướng không nén được) 36 Kết Luận Luận văn khảo sát ba tốn: sóng Stoneley tinh thể xoắn khơng nén được, sóng Stoneley truyền hai bán không gian đàn hồi trực hướng không nén sóng. .. khơng nén Chương ba dành nghiên cứu cho sóng Scholte truyền dọc theo bề mặt bán không gian đàn hồi trực hướng không nén nằm bán không gian chất lỏng lý tướng (nén được) Phương trình tán sắc dạng sóng