Tích Phân: Chuỗi Luỹ Thừa

Định nghĩa Chuỗi lũy thừa (power series) là một chuỗi có dạng ∞ Xcnxn =c0+c1x+c2x2+c3x3+···, n=0 trongđóxlàbiếnsốvàcáchằngsốcn đượcgọilàcáchệsố

1 Chuỗi lũy thừa

(cofficients) của chuỗi lũy thừa.

Xét chuỗi lũy thừa:

lũy thừa tâm a (power series centered at a).

Khi đó, ta chỉ có ba khả năng xảy ra:

|x − a| < R và phân kỳ khi |x − a| > R

Số dương R trong trường hợp (c) được gọi là bán kính hội

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

∞

X

n=0

cn(x − a)n có thể đượctính bởi công thức:

cn+1

cn

Ta gọi tập hợp

{x : |x − a| < R}

là khoảng hội tụ

S (x ) =

∞

X

n=0

Tính chất của tổng chuỗi lũy thừa

Tổng của chuỗi lũy thừa liên tục trên miền hội tụ của nó.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗibằng chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng

Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi tích phân bằngbán kính hội tụ của chuỗi ban đầu

TS Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 2 (Calculus 2)

cn= f

(n)(a)n! , n = 0, 1, 2,

Bởi vì chuỗi đạo hàm của chuỗi lũy thừa có cùng bán kính hội tụvới chuỗi ban đầu

f00(a)2! (x − a)

2+ · · ·

là chuỗi Taylor của hàm f tại a Chuỗi Taylor của hàm f tại

a = 0 còn gọi là chuỗi Maclaurin của hàm f

TS Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 2 (Calculus 2)

Định lý

Cho hàm số f khả vi vô hạn lần trong khoảng (a − R; a + R)

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Miền hội tụ là D = R

TS Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 2 (Calculus 2)

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Nếu α ∈ N, thì miền hội tụ D = R

Nếu α /∈ N và α > 0, thì miền hội tụ D = [−1; 1].Nếu −1 < α < 0, thì miền hội tụ D = (−1; 1].Nếu α ≤ −1, thì miền hội tụ D = (−1; 1)

TS Đào Huy Cường (Bộ môn Toán Ứng Dụng) Giải tích 2 (Calculus 2)

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

∞

X

n=0

x2n(2n)!

Miền hội tụ là D = R

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Ví dụ

Hãy sử dụng các chuỗi Maclaurin cơ bản để tìm chuỗi Maclaurincủa hàm số sau:

f (x ) = ln(1 + x − 2x2)