báo cáo bài tập lớn chủ đề 4 applied project rocket science

Nhắc đến toán học thì thể không nhắc đến giải tích, là một môn họcđược phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, được đưa vào trong chương trình giáodục hiện hành và phát triển song so

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

- ·•· �

㵣 -BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: GIẢI TÍCH 2

Chủ đề 4: Applied project rocket science

GVHD: Cô Nguyễn Thị Hồng Nhung

Lớp L20 - Nhóm 13

Thành phố Hồ Chí Minh, 05/2022

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-·•·

�㵣 -BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN: GIẢI TÍCH 2

Chủ đề 4: Applied project rocket science

GVHD: Cô Nguyễn Thị Hồng Nhung Lớp L20 - Nhóm 13 Danh sách thành viên nhóm

ST

T

Thành phố Hồ Chí Minh, 05/2022

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 4

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LAGRANGE 5

II GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN 6

Chủ đề 4 6

Bài toán 1 9

Bài toán 2 10

Bài toán 3 11

Bài toán 4 12

Bài toán 5 12

Bài toán 6 13

TÀI LIỆU THAM KHẢO 15

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích là một bộ môn khoa học thú vị, có thể nói là một thành tựu vô cùng vĩ đại của văn minh loài người Nhắc đến toán học thì thể không nhắc đến giải tích, là một môn học được phân chia thành nhiều chuyên đề riêng biệt, được đưa vào trong chương trình giáo dục hiện hành và phát triển song song với các đầu ngành của bộ môn đại số tuyến tính Việc áp dụng những công thức ví dụ như: đạo hàm, tích phân, hàm nhiều biến rồi áp dụng những công thức đó vào thực tế, đặc biệt là trong máy móc và kĩ thuật, thậm chí là trong các bài toán kinh tế Được biết đến như một bộ môn tiên quyết và là một phần không thể thiếu đối với sinh viên học các chuyên ngành khoa học tự nhiên và kĩ thuật, nếu giải tích

1 tập trung nhiều đến phép biến đổi đạo hàm thì giải tích 2 lại nghiêng về tính toán tích phân là chủ yếu, tuy vậy, cả hai phần giải tích đều là những công cụ ứng dụng vào trong nhiều các lĩnh vực khác nhau như hóa học, vật lí, sinh học Giải tích xây dựng có nền móng cơ bản trong toán học, từ đó phát triển thêm thành nhiều luồng kiến thức mới, trải qua nhiều thế kỉ, hàng loạt các công thức vĩ đại đã được xây dựng nên và được tổng hợp lại gói gọn trong các môn đại cương, nhờ có những môn học cô đọng như này mà mới có những công nghệ và kĩ thuật như hiện nay, đặc biệt là trong ngành kĩ thuật số và xây dựng Ngày nay, các nghiên cứu viên vẫn luôn luôn không ngừng tìm tòi về các đề tài hay các hướng đi mới, phục vụ cho những nhu cầu mới của thời đại, nhằm làm giàu kiến thức

về giải tích và đại số, cũng chính là làm cho công nghệ và kĩ thuật thêm hiện đại và tiến

bộ hơn

Được sự hướng dẫn của cô Nguyễn Thị Hồng Nhung, nhóm 13 lớp L20 đã có thể hoàn thành chỉnh chu bài báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 Nhóm đã hoạt động năng nổ, chăm chỉ, cố gắng hết khả năng của mình nhưng do trình độ kiến thức và kinh nghiệm còn hạn chế, nên không thể không tránh khỏi có những sơ sót Nhóm chúng em rất mong được sự nhận xét, đánh giá, đóng góp ý kiến của các thầy cô để bài tập này được hoàn thiện hơn Chúng em xin chân thành cảm ơn!

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

PHƯƠNG PHÁP NHÂN LAGRANGE

Để tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số f( , , ) x y z có điều kiện rằng buộc bởi hàm

( , , )

g x y z k [giả sử tồn tại những giá trị cực trị và g 0 trên bề mặt g x y z( , , ) k]: Bước 1: Tìm tất cả các giá trị x, y, z và sao cho

f(x, y, z) g x y z ( , , )

Trong đó là một hằng số chưa xác định, gọi là nhân tử Lagrane

Bước 2: Đánh giá hàm f theo tất cả những điểm (x, y, z) tìm được từ kết quả bước 1 Từ

đó tìm được giá trị lớn nhất của f, tương tự với giá trị nhỏ nhất của f

Lưu ý:

trình của bước 1 sẽ trở thành

fx g fx y g fy z g z g x y z ( , , ) k

Có thể áp dụng phương pháp nhân Lagrange tương tự đối với hàm số gồm hai biến

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f x y( , ) x 2y với điều kiện x2 y2 5

Áp dụng phương pháp nhân Lagrange, chúng ta giải phương trình f g với

( , ) 5

g x y

1

2 1

(1),(2)

2

x y

(3)

Từ phương trình (3), ta tính được

1

1

2 Đánh giá hai điểm trên theo f, ta có f(-1,-2) = -5, f(1,2) = 5

Vậy giá trị lớn nhất của f trên đường tròn x y 5 là f(1,2) = 5 và giá trị nhỏ nhất f(-1,-2) = -5

II GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

Chủ đề 4

APPLIED PROJECT ROCKET SCIENCE

Nhiều tên lửa, chẳng hạn như Pegasus XL hiện được sử dụng để phóng vệ tinh và Saturn

V lần đầu tiên đưa con người lên mặt trăng, được thiết kế để sử dụng ba giai đoạn trong quá trình bay lên vũ trụ Giai đoạn đầu tiên lớn ban đầu đẩy tên lửa cho đến khi tiêu thụ hết nhiên liệu, lúc này giai đoạn này được tháo ra để giảm khối lượng của tên lửa Giai đoạn thứ hai và thứ ba nhỏ hơn hoạt động tương tự để đưa trọng tải của tên lửa vào quỹ đạo quay quanh trái đất (Với thiết kế này, cần ít nhất hai giai đoạn để đạt được vận tốc cần thiết và việc sử dụng ba giai đoạn đã được chứng minh là sự thỏa hiệp tốt giữa chi phí và hiệu suất.) Mục tiêu của chúng tôi ở đây là xác định khối lượng riêng của ba giai đoạn, được thiết kế theo cách giảm thiểu tổng khối lượng của tên lửa trong khi vẫn cho phép nó đạt được vận tốc mong muốn

Đối với tên lửa một tầng tiêu thụ nhiên liệu với tốc độ không đổi, sự thay đổi vận tốc do gia tốc của phương tiện tên lửa đã được mô hình hóa bằng

Trong đó M, là khối lượng của động cơ tên lửa bao gồm cả nhiên liệu ban đầu, P là khối lượng trọng tải, S là hệ số kết cấu được xác định bởi thiết kế của tên lửa (cụ thể, nó là tỷ

số giữa khối lượng của phương tiện tên lửa không chứa nhiên liệu tổng khối lượng với tên lửa có trọng tải), và c là tốc độ thải (không đổi) đối với tên lửa

Bây giờ hãy xem xét một tên lửa có ba giai đoạn và trọng tải là A Giả sử rằng các lực

của giai đoạn i, ban đầu chúng ta có thể coi động cơ tên lửa có khối lượng M, và trọng tải của nó có khối lượng M + M₂ 3 + A; giai đoạn thứ hai và thứ ba có thể được xử lý tương tự

1 Chứng minh rằng vận tốc đạt được sau ba giai đoạn tách rời được cho bởi công thức:

vf c ln(M M M A) ln( M M A) ln( M A)

lửa với điều kiện là vận tốc mong muốn r, từ Bài toán 1 đạt được Phương pháp nhân Lagrange là thích hợp ở đây, nhưng khó thực hiện bằng cách sử dụng các

biểu thức hiện tại Để đơn giản hóa, chúng ta định nghĩa các biến N, để phương trình ràng buộc có thể được biểu diễn dưới dạng c (ln N + In № + In M ) Vì M ₂ ₂ ₂ bây giờ khó biểu diễn theo chữ N, chúng tôi muốn sử dụng một hàm đơn giản hơn

sẽ có cực tiểu tại cùng vị trí với M Chứng minh:

1

1

3

1

và kết luận rằng

3

1 2 3

(1 ) (1 )(1 )(1 )

S N N N

M A

3 Xác minh rằng được rút gọn tại cùng vị trí với M; sử dụng nhân Lagrange và kết quả của bài toán 2 để tìm biểu thức cho các giá trị của N, trong đó giá trị nhỏ nhất

logarit để giúp đơn giản hóa các biểu thức)

5 Nếu chúng ta muốn đưa một tên lửa ba tầng vào quỹ đạo cách bề mặt trái đất 100 dặm, thì vận tốc cuối cùng là khoảng 17.500 dặm/ h Giả sử rằng mỗi giai đoạn được xây dựng với hệ số kết cấu S=0,2 và tốc độ thải c=6000 dặm/ h

a Tìm tổng khối lượng nhỏ nhất M của các động cơ tên lửa dưới dạng

cơ năng của A

b Tìm khối lượng của từng khâu riêng biệt dưới dạng cơ năng của A (Chúng không có kích thước bằng nhau!)

6 Tên lửa tương tự sẽ yêu cầu vận tốc cuối cùng khoảng 24.700 dặm / h để thoát khỏi lực hấp dẫn của trái đất Tìm khối lượng của từng giai đoạn riêng lẻ để giảm thiểu tổng khối lượng của động cơ tên lửa và cho phép tên lửa đẩy một tàu thăm

dò nặng 500 pound vào không gian sâu

Bài toán 1 Show that the velocity attained after all three stages have been jettisoned is

given by

Chứng minh rằng vận tốc đạt được sau ba giai đoạn tách rời được cho bởi công thức:

vf c ln(M M M A) ln( M M A) ln( M A)

Giải:

theo giả thiết ta sự thay đổi vận tốc giai đoạn đầu là

1 1

.Tương tự:

và

sự thay đổi vận tốc là

2 2

2 3

thay đổi vận tốc là

3 3

3

=

3

=

ln(M M M A S M) ln( M M A S M) ln( M A S M) c

=

ln(M M A SM) ln(M A SM) ln( A SM)

c

=

ln(M M M A) ln( M M A) ln( M A)

c

Bài toán 2 We wish to minimize the total mass M M M1 2 M3

of the rocket engine subject to the constraint that the desired velocity r, from Problem 1 is attained The method of Lagrange multipliers is appropriate here, but difficult to implement using the current expressions To simplify, we define variables N, so that the constraint equation may be expressed as vf c(lnN1 lnN2 lnN3)

.Since M is now difficult to express in terms of the N , we wish to use a simpler function that will be minimized at the same i

place as M Show that

của động cơ tên lửa trong

hợp với bài toán này nhưng rất khó thực hiện với biểu thức hiện tại Đơn giản hóa, chúng

Vì M hiện tại rất khó để thể hiện qua các biến Ni nên chúng

ta mong muốn sử dụng một hàm đơn giản sẽ cho giá trị cực tiểu tương tự tại vị trí điểm

M Chứng minh:

1

1

3

1

Và kết luận rằng

3

1 2 3

(1 )

(1 )(1 )(1 )

S N N N

M A

Giải:

Đặt

1

N

2 3 2

2 3

N

3 3 3

N

Ta có

1

(1 )

(1 )

S

S N

=

Tương tự

2

S N

Từ đó

M A

1 1

1

S N

SN

2 2

1

S N

SN

3 3

1

S N

SN =

3

1 2 3

(1 )

(1 )(1 )(1 )

S N N N

Bài toán 3 Verify that is minimized at the same location as M; use Lagrange multipliers

and the results of Problem 2 to find expressions for the values of N, where the minimum occurs subject to the constraintvf =c(lnN +lnN +lnN1 2 3). (Hint: Use properties of logarithms to help simplify the expressions)

Xác minh rằng được rút gọn tại cùng vị trí với M; sử dụng nhân Lagrange và kết quả của bài toán 2 để tìm biểu thức cho các giá trị của N, trong đó giá trị nhỏ nhất được xây dựng

giản hóa các biểu thức)

Giải:

Vì A > 0, M + A và do được rút gọn cho các giá trị như M lnx là một hàm tăng nghiêm ngặt, vì vậy ln( cũng sẽ phải cho một giá trị rút gọn tương tự với và M Sau đó chúng ta )

sẽ đơn giản hóa ln( dựa trên ) c(lnN1 + lnN + lnN )= v 2 3 f.

Vậy từ bài toán 2, ta có:

Sử dụng phương pháp nhân Lagrange, chúng ta cần giải quyết

c (lnN + lnN + lnN ) = v1 2 3 f

Một cách tiếp cận để giải hệ phương trình là cô lập cλ trong ba phương trình đầu tiên đưa

ra

N = N = N ₁ ₂ 3 Điều này nói rằng phương trình thứ tư có thể được biểu diễn dưới dạng c(ln N + In N + In N ) = v₁ ₁ ₁ f => 3c ln = v => lnf Do đó, khối lượng tối thiểu M của động cơ tên lửa đạt được là N = N = N₁ ₂ 3 =

Bài toán 4 Find an expression for the minimum value of M as a function of vf

Giải:

Sử dụng kết quả phía trên,

Do đó

Bài toán 5 If we want to put a three-stage rocket into orbit 100 miles above the earth's

surface, a final velocity of approximately 17,500 mi/h is required Suppose that each stage is built with a structural factor S=0.2 and an exhaust speed of c=6000 mi/h (a) Find the minimum total mass M of the rocket engines as a function of A

(b) Find the mass of each individual stage as a function of A (They are not equally sized!)

Nếu chúng ta muốn đưa một tên lửa ba tầng vào quỹ đạo cách bề mặt trái đất 100 dặm, thì vận tốc cuối cùng là khoảng 17.500 dặm / h Giả sử rằng mỗi giai đoạn được xây dựng với hệ số kết cấu S = 0,2 và tốc độ thải c = 6000 dặm / h

(a) Tìm tổng khối lượng nhỏ nhất M của các động cơ tên lửa dưới dạng cơ năng của A (b) Tìm khối lượng của từng giai đoạn riêng biệt dưới dạng cơ năng của A (Chúng không

có kích thước bằng nhau)

Giải:

(a)Từ câu 4 ta có, – A 90,4A – A = 89,4A

(b) Ta có, =>= => 3,49A

= => 15,67A

= => 70,36A

Bài toán 6 The same rocket would require a final veclocity of approximately 24,700 mi/h in order to escape earth's gravity Find the mass of each individual stage that would minimize the total mass of the rocket engines and allow the rocket

to propel a 500 -pound probe into deep space

Tên lửa yêu cầu vận tốc cuối cùng khoảng 24.700 dặm/h để thoát khỏi lực hấp dẫn của trái đất Tìm khối lượng của từng giai đoạn riêng lẻ để giảm thiểu tổng khối lượng của động cơ tên lửa và cho phép tên lửa đẩy một tàu thăm dò 500 lb vào không gian sâu

Giải:

Tương tự bài 5 ta có:

=>

Cho A= 500 Vì vậy khối lượng của mỗi giai đoạn của động cơ tên lửa xấp xỉ bằng:

1,550,000 lb

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Đình Huy.Giáo trình giải tích 2, NXB Đại học Quốc gia TP HCM, 2016 [2] Complete Solutions Manual (James Stewart 7th Edition - VOL 2)