bài tập lớn môn giải tích đại học bách khoa hn

Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes:.... Cách tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực ..... LỜI MỞ ĐẦU- Giải tích là môn học có tầm quan trọng

GVHD: Trần Ngọc Diễm

Mục lục:

CHƯƠNG I: LỜI MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5

1 Cách xác định 1 điểm trong tọa độ cực: 5

2 Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes: 7

3 Cách tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực 8

3.1 Xây dựng công thức tính diện tích 8

3.2 Vận dụng được công thức để tính diện tích giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực … 10

CHƯƠNG III : MATLAB 11

CHƯƠNG IV: KẾT LUẬN 12

LỜI CẢM ƠN ………14

TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

 Danh sách thành viên nhóm 21 -LO7

 LỜI MỞ ĐẦU

- Giải tích là môn học có tầm quan trọng không chỉ đối

với sinh viên trường đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh nói riêng mà còn đối với sinh viên ngành khoa học kỹ thuật, công nghệ nói chung.

-Giải tích nói chung có rất nhiều ứng dụng trong hầu hết

các lĩnh vực trong khoa học: kinh tế, môi trường, công nghệ máy tính, xử lí tín hiệu, đồ họa,… và hệ tọa độ cực

và cách tính diện tích trọng hệ tọa độ cực giúp chúng ta

có thể dễ dàng tính diện tích một mặt phẳng cong với hình thù kì dị bất kì

II Cơ sở lý thuyết

1 Cách xác định 1 điểm trong tọa độ cực:

- Trong hệ tọa độ Descartes tại điểm được cho tọa độ (x,y) ta xác định điểm bằng cách bắt đầu từ gốc tọa độ và sau đó di chuyển x đơn vị theo chiều ngang và y đơn vị theo chiều dọc

- Xét một điểm (x,y) nằm trong góc phần tư thứ nhất Có một đường nét đứt chạy thẳng xuống từ điểm đến trục Ox và được kí hiệu là y để biểu thị khoảng cách từ điểm đó đến trục Ox Ngoài ra còn có một đường nét đứt chạy thẳng xuống từ điểm đến trục Oy và được kí hiệu là x để biểu thị khoảng cách từ điểm đó đến trục Oy.Như hình vẽ:

VD: Xac định điểm A trong hình vẽ sau:

Ta có:

Khoảng cách từ điểm A đến trục Ox là 3 (đơn vị)

Khoảng cách từ điểm A đến trục Oy là 2 (đơn vị)

 Tọa độ điểm A là: (2,3)

- Tuy nhiên, đây không phải là cách duy nhất để xác định tọa độ một điểm trong không gian hai chiều Thay vì phải di chuyển theo chiều dọc và chiều ngang từ gốc tọa độ để đến điểm đó, ta có thể vẽ một đường thẳng

đi từ gốc tọa độ đến điểm cần xét và sau đó xác định góc mà đường thẳng này tạo với trục Ox theo chiều dương

- Điểm cần biểu diễn sẽ có dạng (r,θ) :) :

+ r : Là khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ

+ θ) : : góc giữa r và trục cực Ox

- Để biểu diễn một điểm trong hệ tọa độ cực tao có vô số cách biểu diễn (r,θ) :+k2π)

VD: Xác định điểm các điểm sau trong hệ tọa độ cực

A ( 3,π4) và B ( 5, −2 π3 )

1

2 Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes :

Để thiết lập mối liên hệ giũa tọa độ cực và tọa độ Descartes, hãy đặt mặt phẳng xy lên mặt phẳng r sao cho gốc tọa độ trùng nhau và chiều dương của trục x trùng với trục cực Gọi P là điểm bất kỳ trong mặt phẳng khác với tọa độ descartes (x;y) và tọa độ cực (r;)

(1) Nếu r>0, từ hình a ta có :

cos()=x

r sin()=y

r

 x = r.cos() y=r.sin() (2) Nếu r<0, theo hình b ta có:

x

r¿

¿r ∨¿ =− y

y

 x=r.cos

 y=r.sin

Từ (1), (2) ta có r2

=x2

+y2

tanθ= y

x (x0) Tóm lại mối liên hệ giữ tọa độ cực và tọa độ Descartes được thể hiện như sau:

Giả sủ một điểm P bất kỳ khác với gốc tọa độ) có tọa độ cực (r; )

và tọa dộ descartes (x;y) thì

(1) {x=rcos y=rsin

(2){ r2=x2+y2

tan θ= y

x(x 0)

VD: a/ Tìm tọa độ cực của điểm M(-1;-√3)

Ta có:

{r=√x2+y2=2

 {¿r =2 π

3k 2   = 43

Vậy tọa độ cực của M (r; ) = M (2;43¿

b/ Tìm tạo độ Descartes của N(3; 56)

Ta có: {x=r cos= −3√3

2

2

Vậy tọa độ Descartes của N(x;y) = N(−3√3

3

2¿

3 Cách tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực

3.1

Xây dựng công thức tính diện tích

Ý tưởng :

- Với một hàm trong hệ tọa đồ descart ta tính diện tích giới hạn bởi một đường cong bằng cách tính xấp xỉ diện tích các hình chữ nhật được chia dưới nó Và khi số lượng hình chữ nhật (n) được chia càng nhiều tới vô cùng ta quan sát thấy hình ( 1 →4) diện tích giới hạn bởi đường cong đã

có thể tính một cách chính xác nhất bởi diện tích của vô số hình chữ nhật dưới nó

Hình 1 (n= 4) Hình 2 (n=8)

Hình 3 (n=90) Hình 4 ( n= + )ꚙ)

- Công thức tính diện tính trong hệ tọa độ descart :

- Nhưng với hệ tọa độ cực đồ thị được biểu diễn dưới dạng các đường cong với mối liên hệ giữa r và θ) : nên không thể chia được thành những hình chữ nhật

- Giả sử ta có một phương trình r=f(θ) :) trong mặt phẳng cực → Đặt ra vấn

đề nếu chia thành những cung tròn ta thấy diện tích của tổng các cung tròn xấp xỉ diện tích giới hạn của đường cong trong hệ tọa độ cực ( hình 5)

- Sử dụng tích phân riemann ta phân vùng thành những khoảng con sao cho :

a=θ) :0<θ) :1<⋯<θ) :n−1<θ) :n=b ( hình 5) ( a<θ) :<b)

∆θ) :

f(θ) :)

Hình 5 Hình 6

- Với θ) :k *tùy ý nằm trong [θ) :k,θ) :k+1] → ∆θ) : = θ) :k+1 - θ) :k

- Chúng ta giả sử rằng chiều dài cung trên đường cong Sk trong khoảng con thứ kxấp xỉ bằng dộ dài của cung tròn Ck . Ta có Sk ≈ Ck = f(θ) :k *) ∆θ) :

* Với θ) :k * ∈ [θ) :k,θ) :k+1] *

-Điều này dẫn đến kết luận rằng độ dài cung của đường cong được cho

S = (1)

- Mỗi diện tích cung tròn : 12 (f(θ) :k *))2

∆θ) :

→ Diện tích giới hạn của đường cong trong hệ tọa độ cực ( a<θ) :<b): =

3.2

Vận dụng được công thức để tính diện tích giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực

*VD1 : Tìm diện tích giới hạn giữa 2 đường cong

r1 =4+3cos(θ) :) và r2=10cos(θ) :)

B1: Tìm điểm giao của 2 đường cong

→Ta có : r1 = r2 4+3cos(θ) :) = 10cos(θ) :)

→ cos(θ) :) =47 →{ θ=arcos(4

7)+k 2 π

7)+k 2 π

→ Nhận xét thấy điện tích phần giao giữa hai đường cong S=2(S1+S2)

B2 : Áp dụng công thức tích diện tích giới hạn của đường cong trong hệ tọa độ cưc ( a<θ) :<b)

*S2 =1

2∫

a

b

r12 dθ) : → Ta thấy S2 có cận từ 0 đến arcos(47)

→ S2= 1

0

arcos ( 4

7)

(4 +3 cos(θ))2 dθ) :

*S1 =1

2∫

a

b

r22 dθ) : → Ta thấy S2có cận từ arcos(47) đến π2

→ S1= 1

arcos (4

7)

π

2

(10 cos(θ)) 2 dθ) :

→ S=2.12 ( ∫

arcos (4

7)

π

2

(10 cos(θ))2 dθ) : + ∫

0

arcos ( 4

7)

(4 +3 cos(θ))2 dθ) :)

→S= 48,5032

*VD2: Tìm diện tích giới hạn giữa 2 đường cong

r1 =5sin(θ) :) và r2=2sin(θ) :)

B1: Tìm điểm giao của 2 đường cong

→Ta có : r1 = r2 5sin(θ) :) = 2sin(θ) :)

→ sin(θ) :) =0 →{θ=0+k 2 π θ=π + k 2 π

→ Nhận xét thấy điện tích phần giao giữa hai đường cong S= S2-S1

{S 1 : Diện tích đường tròn xanh S 2 : Diện tíchđường tròngđỏ

B2 : Áp dụng công thức tích diện tích giới hạn của đường cong trong hệ tọa độ cưc ( a<θ) :<b)

*S2 =1

2∫

a

b

r12 dθ) : → Ta thấy S2 có cận từ 0 đến π

→ S2= 1

2∫

0

π

(5 sin (θ))2 dθ) :

*S1 =1

2∫

a

b

r22 dθ) : → Ta thấy S2có cận từ 0 đến π

→ S1= 1

2∫

0

π

(2 sin(θ))2 dθ) :

S= = 1

2∫

0

π

(5 sin (θ))2 dθ) : - 12∫

0

π

(2 sin(θ))2 dθ) :

→S= 16,4933

4 Giải bằng Matlab

*VD1 : Tìm diện tích giới hạn giữa 2 đường cong

r1 =4+3cos(θ) :) và r2=10cos(θ) :)

-Dòng code:

clc; clear all; close all;

syms theta;

pt = (10*cos(theta)) == (4+3*cos(theta)) %nhap phuong trinh 1

solve(pt,theta) %dao ham pt theo bien theta

f = @(theta) (4+3*cos(theta)).^2; %nhap phuong trinh 2

b = acos(4/7); %can tren

a = 0; %can duoi

n = 1000; %khoang chia

A = 0; %tong ban dau

dx = (b-a)/n; %khoang chia

for k= 1:n %dem k tu 1 den n

c = dx*rand + (a + (k-1)*dx); %theo cong thuc rieman

A = A + f(c); %tong rieman sau khi gop

end

A = (1/2)*dx*A %xuat gia tri tong rieman cua pt1

%Tinh phuong trinh 2 tuong tu 1

f = @(theta) (10*cos(theta)).^2;

b = pi/2;

a = acos(4/7);

n = 1000;

A1 = 0;

dx = (b-a)/n;

for k= 1:n c = dx*rand + (a + (k-1)*dx);

A1 = A1 + f©;

End

A1 = (1/2)*dx*A1 %dien tich phan can tinh bang 2 nhan A + A1

area = 2*(A1 + A) theta = linspace(0, 2*pi); %cho theta chay tu 0 den 2pi

figure %lenh ve do

thi h = polar(theta, 10*cos(theta),'r') %chieu cao h dung lenh polar theo theta

set(h,'LineWidth',1.2); %cho duong h co chieu rong la 1.2

hold on

h = polar(theta, 4+3*cos(theta),'b') %chieu cao h dung lenh polar theo theta set(h,'LineWidth',1.2); %cho duong h co chieu rong la 1.2

legend('r = 10*cos(theta)','r = 4+3*cos(theta)'); %dat ten 2 dothi

- Kết quả thu được :

*VD2: Tìm diện tích giới hạn giữa 2 đường cong

r1 =5sin(θ) :) và r2=2sin(θ) :)

-Dòng code:

clc; clear all; close all;

syms theta;

pt = (2*sin(theta)) == (5*sin(theta)) %nhap phuong trinh 1 solve(pt,theta) %dao ham pt theo bien

theta f = @(theta) (2*sin(theta)).^2; %nhap phuong trinh 2

b = pi; %can tren

a = 0; %can duoi

n = 1000; %khoang chia

A = 0; %tong ban dau

dx = (b-a)/n; %khoang chia

for k= 1:n %dem k tu 1 den n

c = dx*rand + (a + (k-1)*dx); %theo cong thuc rieman

A = A + f(c); %tong rieman sau khi gop

end

A = (1/2)*dx*A %xuat gia tri tong rieman cua pt1

%Tinh phuong trinh 2 tuong tu 1

f = @(theta) (5*sin(theta)).^2;

b = pi;

a = 0;

n = 1000;

A1 = 0;

dx = (b-a)/n;

for k= 1:n

c = dx*rand + (a + (k-1)*dx);

A1 = A1 + f(c);

end

A1 = (1/2)*dx*A1 %dien tich phan can tinh bang 2 nhan A + A1 area = (A1 - A) theta = linspace(0, pi); %cho theta chay tu 0 den 2pi figure

%lenh ve do thi

h = polar(theta, 5*sin(theta),'r') %chieu cao h dung lenh polar theo theta set(h,'LineWidth',1.2); %cho duong h co chieu rong la 1.2

hold on

h = polar(theta, 2*sin(theta),'b') %chieu cao h dung lenh polar theo theta set(h,'LineWidth',1.2); %cho duong h co chieu rong la 1.2

legend('r = 5*sin(theta)','r = 2*sin(theta)'); %dat ten 2 dothi

- Kết quả thu được :

LỜI CẢM ƠN

Chúng em xin cảm ơn cô Trần Ngọc Diễm đã hỗ trợ chúng em trong quá trình học tập và cung cấp kiến thức để chúng em có thể hoàn

thành nội dung bài tập lớn này Vì đây là lần đầu làm bài tập lớn của

cá nhân em nói riêng và tập thể nhóm nói chung nên có thể có nhiều sai sót để nhìn nhận, cải thiện và hoàn thành tốt hơn trong tương lai Một lần nữa chúng em xin chân thành cảm ơn cô ạ!

Bên cạnh đó là cảm ơn sự nỗ lực của từng thành viên trong nhóm để nhóm có thể hoàn thành nội dung bài tập và đạt được kết quả tốt

Tài liệu tham khảo :

- Polar System, trong phần 9.4, 9.5, Soo T Tan Single variable- Calculus early

transcendentals.

https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcii/polarcoordinates.aspx

- https://math.stackexchange.com/questions/3100579/arc-length-of-a-polar-curve-as-a-riemann-sum

- Đại cương giải tích 1