bài tập chương môn dao động kỹ thuật

◦ Thiết lập các hàm động năng và thế năng của hệ ◦ Thay các hàm trên vào phương trình Lagrăng loại II ◦ Thực hiện các phép biến đổi theo phương trình ta thu được phương trình vi phân da

GIÁO VIÊN GIẢNG DẠY : TS PHẠM THỊ MINH HUỆ SINH VIÊN THỰC HIỆN : NGUYỄN THÀNH CHIẾN

MÃ SỐ SINH VIÊN : 0741020019 KHÓA HỌC : KHÓA 7

Tháng 4/2014

Phần I : Lý thuyết

Câu 1: Hãy trình bày các ví dụ về cách thiết lập phương trình vi phân dao động tự do

không cản ?

-Phương trình vi phân dao động tự do không cản được thiết lập cơ bản dựa theo các

bước sau:

◦ Thiết lập các hàm động năng và thế năng của hệ

◦ Thay các hàm trên vào phương trình Lagrăng loại II

◦ Thực hiện các phép biến đổi theo phương trình ta thu được phương trình

vi phân dao động của hệ -Ta xét các ví dụ cụ thể: ◦ Ví dụ 1: Thiết lập phương trình vi phân dao động của vật nặng m treo vào lò xo

( (hình 1)

Hàm động năng: T= 1 2mx2

Hàm thế năng :  = 1

2c 2 x Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai :

d T T dt x x x                 mx     0 c x

ta nhận được phương trình vi phân dao động của hệ là :

mx c   x 0 

c

m

Hình 1

x

Vị trí cân bằng

◦ Ví dụ 2: Thiết lập phương trình vi phân dao động của con lắc toán học sau :

Gọi tọa độ của chất điểm là x,y

Từ hình vẽ , ta được : x= sinl  , y=lcos

Hàm động năng : T= 1 2 2 1 2 2

2m x y 2mlHàm thế năng :  = -mgy = -mg cosl 

Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai

hay q + ω q =0  0 với 02

c

ω =

m , ω0là tần số dao động riêng Điều kiện đầu t00, q(t0) =q0 , q(t ) = q  0 0

0

2T= 

 (s)

Nghiệm của phương trình vi phân (1) có dạng :

q = C cos t + C sin t 1 0 2 0 (2) (C ,C1 2:const xác định từ điều kiện đầu)

Cho nghiệm (2) thỏa mãn điều kiện đầu ,ta được

c1 q0 , 2 0

0

q c ω

Tùy theo yêu cầu của bài toán mà ta biến đổi các biểu thức trên sao cho phù hợp

Ví dụ :

Trọng lượng vật treo là P , lò xo có độ dài tự nhiên ,độ cứng c, trọng lượng l P0.Tìm

chu kì dao động của vật

1( )2

0 2

1

2 0

3 s

P P

x c g

Câu 3: Trình bày cách xác định các tham số độ cứng của hệ dao động ?Cho ví dụ

minh họa

1 Các phần tử đàn hồi trong các hệ dao động hữu hạn bậc tự do thường được giả

thiết bỏ qua khối lượng Đại lượng đặc trưng cho phần tử đàn hồi có độ cứng là kí hiệu

là c Phần tử đàn hồi có nhiều hình dạng và kết cấu tùy theo sử dụng và cách chịu lực

của chúng Dưới đây là cách xác định tham số độ cứng dao động

a Tính toán hệ số cứng quy đổi của thanh đàn hồi

Nếu lò xo là các thanh đàn hồi không trọng lượng ,ta có thể tính toán hệ số cứng quy

đổi tương đối đơn giản Trong trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) chịu kéo nén (hình 4)

ta có :

E A

c l

Trong đó G là môđun trượt ,I p là momen

quán tính của mặt cắt ngang

Từ công thức trên ta suy ra

3

1 3

Fl f EI

E3

c l



b Tính toán lò xo thay thế tương đương của các hệ lò xo mắc song song và mắc nối

tiếp

Đối với hệ có hai lò xo mắc song song như hình 7 , ta có thể thay thế tương

đương bằng hệ có một lò xo Từ biểu thức lực đàn hồi của lò xo ,ta suy ra công thức



Đối với hệ có hai lò xo mắc nối tiếp như hình 8 , nếu ở hệ thay thế lò xo dãn ra một

đoạn x bằng tổng hai độ dãn x1 và x2của hệ ban đầu thì ta có :

Ngoài ra ta có thể sử dụng các công thức xác định các hệ số cứng tương đương trong

các trường hợp đặc biệt theo bảng sau :

d

8 D

G n

d- Đường kính thiết diện D- Đường kính lò xo G- Mô đun trượt n- Số vòng lò xo

   

x

N EI

Ví dụ 1: Cho hệ dao động gồm khối lượng và

các lò xo mắc như hình 9 Hãy tính tần số riêng

của hệ

Hình 9

II Phần hai : Bài tập

Câu 1 Hãy thiết lập phương trình dao động của hệ dao động cưỡng bức chịu kích

c c c

20.10

c g m

Hình 11

u(t)

Hình 12

◦ Hàm động năng : 1 2

2

T  m y ◦ Hàm thế năng : 1 ( )2

 y  2  y   02y h  1sin   t h c2 os  t

Nghiệm của phương trình có dạng :

y t*( ) A sin(    t  )

Câu 2 : Cho hệ dao động như hình 13 , tìm độ cứng tương đương của hệ lò xo và tần

số dao động riêng của hệ ?

Biết C1C2C3C4C5C20 /N m , C6C70,5C, C8C91,5C

C C C C  C , m=10 kg

Độ cứng tương đương của lò xo 4,5 mắc nối tiếp :

4 5

45

20.20 10( / )40

Độ cứng tương đương của hệ lò xo :

47, 636

2,18310

C m

    (rad/s)

Câu 3: Con lắc là chất điểm khối lượng m được gắn một đầu vào thanh cứng tuyệt đối

dài L Thanh được giữ ở vị trí cân bằng bởi một lò xo và bộ giảm chấn thủy lực với hệ

số cản nhớt b như hình 14

1.Lập phương trình vi phân dao động của con lắc có khối lượng m?

2.Xác định tần số dao động riêng và độ tắt lôga Biết m=10 kg, L= 1m, a= 0,6m ,độ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ,khi hệ dao động có dạng như hình 15

Gọi  là độ dịch chuyển của khối lượng m khỏi vị trí cân bằng

Từ hình vẽ mô phỏng chuyển động của hệ , ta được :

3.10 (0, 6) 5, 4 (s )

ba mL

Câu 4 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự do như hình ví dụ sau :

Ví dụ : Một hệ hai con lắc có chiều dài mỗi thanh là khối lượng mỗi vật điểm là m l ,

Hai thanh được nối với nhau bằng lò xo có hệ số cứng là c , ở vị trí cách trục quay một

đoạn là d Độ dài của lò xo ở trạng thái không biến dạngbằng khoảng cách giữa hai

trục con lắc Bỏ qua khối lượng của thanh , lò xo và bỏ qua lực cản

a.Xác định các tọa độ chính của hệ

b.Xác định dao động tự do của hệ với điều kiện đầu :

2 2

V v

Vậy hệ phương trình (**) là hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính

Nghiệm của hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính có dạng

Ta xác định được các hằng số c1,c , ,2 1 2 bằng cách thay điều kiện ban đầu đã cho

vào hai hệ phương trình (I) và (II) , tương ứng ta được :

Câu 5 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự

do như hình 17 Các khối lượng chỉ có thể dao

động theo phương thẳng đứng

a Hãy thiết lập phương trình vi phân dao động

của cơ hệ ?

b Xác định tần số dao động riêng và vectơ dao

động dạng riêng của cơ hệ ?

c Thiết lập phương trình vi phân ở dạng tọa độ

chính ?

Điều kiện đầu : c1 c2 c , b1 b2 2 , b m1 m2 3 m

Chọn tọa độ suy rộng là x x1 , 2 với x x1 , 2 lần lượt là độ dịch chuyển của vật có khối

lượng m m1 , 2 khỏi vị trí cân bằng tĩnh

Với điều kiện ban đầu : c1 c2 c , b1 b2 2 , b m1 m2 3 m

Thay vào hệ phương trình (1) , ta được hệ phương trình vi phân dao động của cơ hệ :

V 



c Phương trình dao động tự do có cản của hệ :