Kỹ Thuật - Công Nghệ - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Khoa học tự nhiên UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA LÝ – HÓA – SINH ---------- VƯƠNG THỊ VUI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2015 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA LÝ – HÓA – SINH ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Sinh viên thực hiện VƯƠNG THỊ VUI MSSV: 2111010265 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ KHÓA: 2011 – 2015 Cán bộ hướng dẫn THS. LÊ THỊ HỒNG THANH MSCB: …………………. Quảng Nam, tháng 5 năm 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệ u và kết quả nghiên cứu trong khóa luận là trung thực và chưa từng công bố trong bấ t kì công trình nào khác. SVTH Vương Thị Vui ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến ThS. Lê Thị Hồng Thanh người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, quý thầy, cô giáo Khoa Lý-Hoá-Sinh trường Đại học Quảng Nam đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã giúp đỡ và động viên tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện đề tài. Quảng Nam, tháng 5 năm 2015 SVTH Vương Thị Vui iii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1: Dạng thế năngܷ ሻݔሺ trong trường hợp tổng quát .................................. 7 Hình 1.2: Sơ đồ thế năng bị gián đoạn tại ݔ ......................................................... 9 Hình 2.1: Sơ đồ thế năng của hố thế một chiều sâu vô hạn không đối xứng ....... 10 Hình 2.2: Sơ đồ thế năng của hố thế một chiều sâu vô hạn đối xứng .................. 12 Hình 2.3: Đồ thị hàm sóng߰ ሻݔሺ và năng lượng ܧ trong hố thế vuông một chiều sâu vô hạn……….. ............................................................................................... 14 Hình 2.4: Sơ đồ thế năng hố thế một chiều sâu hữu hạn đối xứng ...................... 14 Hình 2.5: Hình 2.5: a) Đồ thị biểu diễn tan ߦ ݒà ඥߦ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ…………..16 b) Đồ thị biểu diễn െcot ߦ ݒà ඥߦ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ……….....16 Hình 2.6: Sơ đồ 3 mức hàm sóng và năng lượng trong hố thế một chiều. Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế năng vô hạn ................ 17 Hình 2.7: Sơ đồ thế năng hố thế một chiều sâu hữu hạn không đối xứng ........... 18 Hình 2.8: Sơ đồ thế năng hố thế bậc thang .......................................................... 20 Hình 2.9 : Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang khi ܷ ܧ ............................... 22 Hình 2.10: Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang khi ܷ൏ ܧ .............................. 23 Hình 2.11: Sơ đồ thế năng hàng rào thế ............................................................... 23 Hình 2.12: Hàm sóng trước và sau qua hàng rào thế ........................................... 26 Hình 2.13: Hàng rào thế dạng phức tạp ............................................................... 26 Hình 2.14: Sơ đồ hố thế vuông một chiều vô hạn chịu thêm tác dụng hàm thế delta ...................................................................................................................... 27 Hình 2.15: Sơ đồ thế năng hố thế có dạng hàm delta ......................................... .28 Hình 2.16: Đồ thị biểu diễn đường ݇ൌ ݕ và đường ݕ ൌ ݕ ሾ1 െ expሺെ2݀݇ ሻሿ .. 29 Hình 2.17: Sơ đồ thế năng hố thế bất kỳ .............................................................. 30 Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn hàm sóng ở trạng thái cực tiểu của hố thế một chiều sâu vô hạn ............................................................................................................. 40 Hình 3.2: Đồ thị biểu diễn hàm sóng khi chịu thêm tác dụng của hàm delta ...... 43 iv MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................ i LỜI CẢM ƠN .............................................................................................. ii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ................................................................... iii MỤC LỤC ................................................................................................... iv PHẦN 1: MỞ ĐẦU...................................................................................... 1 1.1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 1 1.2. Mục tiêu của đề tài ............................................................................... 1 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ....................................................... 1 1.3.1. Đối tượng ............................................................................................ 1 1.3.2. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................... 2 1.4. Phương pháp nghiên cứu..................................................................... 2 1.5. Lịch sử nghiên cứu ............................................................................... 2 1.6. Đóng góp của đề tài .............................................................................. 2 1.7. Cấu trúc đề tài ...................................................................................... 2 PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ...................................................... 3 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 3 1.1. Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian ................................ 3 1.2. Phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian ..................... 3 1.3. Mật độ xác suất- mật độ dòng xác suất .............................................. 5 1.4. Các tính chất của chuyển động một chiều ......................................... 6 1.5. Một số tính chất nghiệm của phương trình schrodinger một chiều 8 1.5.1. Tính chẵn lẻ của nghiệm ................................................................... 8 1.5.2. Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm của nó ................................. 8 Kết luận chương 1 ....................................................................................... 9 CHƯƠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ .................................................................................. 10 2.1.1. Hố thế không đối xứng bề rộng L .................................................. 10 v 2.1.2. Hố thế đối xứng bề rộng L.............................................................. 11 2.2. Hố thế có bề sâu hữu hạn .................................................................. 14 2.2.1. Hố thế đối xứng bề rộng L.............................................................. 14 2.2.2. Hố thế không đối xứng bề rộng a................................................... 17 2.3.Thế bậc thang ...................................................................................... 20 2.4. Hàng rào thế ....................................................................................... 23 2.5. Một số hố thế có hình dạng đặc biệt ................................................. 26 2.5.1. Hố thế vuông một chiều vô hạn chịu thêm tác dụng hàm thế delta ..................................................................................................................... 26 2.5.2. Hố thế chịu tác dụng của hàm delta .............................................. 28 2.5.3. Hố thế dạng bất kỳ .......................................................................... 30 Kết luận chương 2 ..................................................................................... 32 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG KẾT QUẢ CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN CỤ THỂ ...................... 33 3.1. Bài 1 ..................................................................................................... 33 3.2. Bài 2 ..................................................................................................... 34 3.3. Bài 3 ..................................................................................................... 35 3.4. Bài 4 ..................................................................................................... 36 3.5. Bài 5 ..................................................................................................... 37 3.6. Bài 6 ..................................................................................................... 39 3.7. Bài 7 ..................................................................................................... 39 3.8. Bài 8 ..................................................................................................... 40 3.9. Bài 9 ..................................................................................................... 41 Kết luận chương 3 ..................................................................................... 44 PHẦN 3: PHẦN KẾT LUẬN ................................................................... 45 1. Kết luận .................................................................................................. 45 2. Kiến nghị ................................................................................................ 45 PHẦN 4: TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................... 46 1 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Trong cơ học lượng tử, phương trình schrodinger đóng vai trò quan trọng như phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Việc giải phương trình schrodinger cho ta bức tranh tổng thể không chỉ về phổ năng lượng mà còn trạng thái theo thời gian của hệ đang xét. Vì vậy việc giải phương trình schrodinger có ý nghĩa quan trọng trong cơ học lượng tử. Các bài toán về phương trình schrodinger trong không gian một chiều cho ta một số ý niệm đầu tiên về tính chất của hạt theo cơ học lượng tử. Việc giải những bài toán này đơn giản hơn so với bài toán trong không gian hai chiều, ba chiều, tuy vậy nó vẫn cần được giải với những điều kiện thích hợp tương ứng với từng trường hợp cụ thể. Tuy nhiên đối với sinh viên ngành sư phạm vật lý, thời gian học môn cơ học lượng tử còn hạn chế, khối lượng kiến thức còn nhiều nên chỉ mới nghiên cứu các dạng cơ bản mà chưa đi sâu vào giải các bài tập phức tạp cho từng trường hợp. Với mong muốn tìm hiểu sâu về cơ sở lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình schrodinger trong không gian một chiều, đặc biệt là bài toán cho các hố thế nên chúng tôi chọn đề tài “ Giải phương trình schrodinger cho một số dạng hố thế trong cơ học lượng tử”. 1.2. Mục tiêu của đề tài Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về phương trình schrodinger. Nghiên cứu một số dạng hố thế. Giải được một số bài tập liên quan. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1.3.1. Đối tượng Phương trình Schrodinger. Một số dạng hố thế. 2 1.3.2. Phạm vi nghiên cứu Phương trình schrodinger trong chuyển động một chiều. Một số bài tập về các dạng hố thế. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. 1.5. Lịch sửnghiên cứu Qua tìm hiểu, chúng tôi thấy rằng đã có nhiều bài nghiên cứu liên quan đến phương trình Schrodinger trong các giai đoạn khác nhau. Điển hình như vào năm năm 2009 có bài luận văn thạc sĩ toán học về đề tài “Phương trình sóng Schrodinger phi tuyến” của Phan Thị Vân Huyên - Trường ĐHSP Thái Nguyên. Gần đây nhất vào năm 2013 có công trình nghiên cứu với đề tài “Phương pháp thời gian ảo giải số phương trình schrodinger dừng” của nhóm giảng viên Đỗ Thị Thu Hà, Lê Thị Thanh Thủy,Trần Lan Phương, Nguyễn Ngọc Ty trường ĐHSP TPHCM, đăng trên tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, số 43 năm 2013. Đã có rất nhiều đề tài nghiên cứu về phương trình schrodinger và rất nhiều bài tập về phương trình schrodinger. Tuy nhiên, chúng tôi muốn tập trung về một số dạng hố thế và một số dạng bài tập liên quan. 1.6. Đóng góp của đề tài Nếu nghiên cứu thành công đề tài này thì nó sẽ góp phần trong việc cung cấp tài liệu về giải phương trình schrodinger cho một số dạng hố thế đến các sinh viên ngành sư phạm vật lý khoá học sau ở trường đại học Quảng Nam. 1.7. Cấu trúc đề tài Chương 1: Tổng quan về phương trình schrodinger. Chương 2: Giải phương trình schrodinger cho một số dạng hố thế. Chương 3: Ứng dụng kết quả của phương trình schrodinger cho một số bài toán cụ thể. 3 PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 1.1. Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian Tiên đề V trong cơ học lượng tử đưa ra một phương trình tổng quát diễn tả sự thay đổi của hàm trạng thái theo thời gian, phương trình đó gọi là phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian ݅ ħ డటሺ Ԧ,௧ሻ డ௧ ܪ ൌ߰ ݎሺԦ, ݐሻ, (1.1) trong đó ܪ là Hamiltonian của hệ được định nghĩa như sau ܪ ൌ ܶ ܷ ൌ െ ħ మ ଶ ଶ ܷ ݎሺԦ, ݐሻ, (1.2) ߰ ݎሺԦ, ݐሻ là hàm mô tả trạng thái của hệ. Phương trình (1.1) là một phương trình vi phân hạng nhất theo thời gian và hạng hai theo không gian. Về nguyên tắc, để tìm nghiệm của phương trình này ta phải biết được hàm sóng tạo thời điểm ban đầu t 0 (điều kiện đầu) và biết được hàm sóng tại hai vị trí toạ độ (điều kiện biên). Điều kiện đầu cho phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian là hàm trạng thái߰ ݎሺԦ, ݐሻ tại thời điểm ݐ ൌ ݐ . Điều kiện biên chính là điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm (theo toạ độ không gian của nó tại các điểm biên - điểm có thế năng gián đoạn). Nhìn chung điều kiện biên phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể ta sẽ giải chi tiết ở chương 2. 1.2. Phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian Ta khảo sát trường hợp khi không có trường ngoài biến thiên thì toán tử Hamilton không phụ thuộc tường minh vào thời gian và trùng với toán tử năng lượng. Khi đó, ta sẽ giải phương trình (1.1) bằng phương pháp phân ly biến số ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ߮ ݎሺ݂.Ԧሻ .ሻݐሺ (1.3) Thay (1.3) vào (1.1) ta được ݅ ħ డሺ௧ሻ ߮డ௧ ݎሺԦሻ ൌ ܪ߮ ݎሺԦሻ ݂ሺݐሻ. Hay݅ ħ ങሺሻ ങ ሺ௧ሻ ൌ ுఝሺ Ԧሻ ఝሺԦሻ .ݐݏ݊ ܿൌ ܽൌ (1.4) Từ (1.4) ta được hai phương trình 4 ݅ ħ డሺ௧ሻ డ௧ ݂ܽൌ ,ሻݐሺ(1.5) ܪ߮ ݎሺ߮ܽൌ Ԧሻ ݎሺԦሻ. (1.6) Phương trình (1.6) chính là phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng. Vì vậyܽ ,ܧ ൌ với ܧ là trị riêng của toán tử năng lượng ܪ . Phương trình (1.5) ta có thể viết lại là ݅ ħ డሺ௧ሻ ሺ௧ሻడ௧ ,ܧ ൌ డሺ௧ሻ ሺ௧ሻ ൌି ħ ,ݐ߲ܧ ݂ln ሺݐሻ ൌି ħ ,ݐܧ fሺtሻ ൌ e ష ħ ா௧ . Giả sử năng lượng của hệ có giá trị gián đoạn, lúc đó ta có thể viết lại (1.6) như sau ܪ߮ ݎሺԦሻ ൌ ܧ߮ ݎሺԦሻ. (1.7) Như vậy nghiệm của phương trình (1.3) được viết dưới dạng ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ߮ ି݁ሻݔሺ ಶ ħ ௧. (1.8) Hàm sóng (1.8) ứng với một trạng thái giá trị năng lượng xác định được gọi là trạng thái dừng. Phương trình (1.7) được gọi là phương trình schrodinger cho trạng thái dừng (phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian). Do tính chất tuyến tính của phương trình (1.1) nên nghiệm tổng quát của nó có dạng khác nhau tuỳ theo phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục. Khi ܪ có phổ trị riêng gián đoạn thì ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ ∑ܿ ߮ ି݁ ಶ ħ ௧ ߮∑ ൌ ݎሺܿԦሻ ሻݐሺ . (1.9) Khi ܪ có phổ trị riêng liên tục thì ߰ ݎሺܿ ൌ ሻݐԦ, ߮ா ି݁ா ಶ ħ ௧ ா ݀ ൌ ܧ ܿ ா ߮ሻݐሺ ா ݎሺܿԦሻ , ா (1.10) trong đó các hệ sốܿ vàܿ ா được xác định từ các điều kiện ban đầu. Chẳng hạn từ (1.9), ta thấy khi ݐൌ 0 thì ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ߰ ݎሺԦ, 0ሻ ൌ ∑ܿ ߮ ݎሺԦሻ, từ đó ta thu được 5 ܿ ߮ ൌ ∗ ߰ሻݔሺ ݎሺԦ, 0ሻܸ݀ . (1.11) Tương tự hệ sốܿ ா có thể tính theo công thức ܿ ா ߮ ൌ ா ∗ ߰ሻݔሺ ݎሺԦ, 0ሻܸ݀ . (1.12) Phương trình ܪ߰ܧ ൌ ߰ cho nghiệm với mọi ܧ , nhưng không phải giá trị nào của ܧ cũng ứng với một trạng thái vật lý, mà chỉ có những trạng thái thỏa mãn các điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng đó là phải đơn trị, liên tục và hữu hạn mới ứng với một trạng thái vật lý. 1.3. Mật độ xác suất- mật độ dòng xác suất Trạng thái của các hạt có sự thay đổi trong không gian và thời gian. Tuy nhiên sự biến đổi đó không phải là tùy ý mà phải tuân theo một số định luật. Một trong những định luật quan trọng đó là định luật bảo toàn số hạt được rút ra từ phương trình schrodinger và được biểu thị bằng phương trình liên tục డఘሺ Ԧ,௧ሻ డ௧ ଔݒ ݅݀ ݎԦሺԦ, ݐሻ ൌ 0, (1.13) trong đó ݎሺߩԦ, ݐሻ ൌ ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ଶlà mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm ݎԦ và thời điểm ݐ, ଔԦ là mật độ dòng xác suất. Để chứng minh hệ thức (1.13) ta dùng (1.1) cùng với phương trình liên hợp phức của nó ħ݅െ డట ∗ ሺ Ԧ,௧ሻ డ௧ ܪ ൌ ߰∗ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ. (1.14) Nhân (1.1) cho߰ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ và (1.14) cho߰ ሺ ݎԦ, ݐሻ về bên trái ta được ݅ ߰ħ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ డటሺ Ԧ,௧ሻ డ௧ ߰ൌ ∗ ݎሺܪሻݐԦ, ߰ ݎሺԦ, ݐሻ, (1.15) ݎሺ߰ħ݅െ Ԧ, ݐሻ డట ∗ ሺ Ԧ,௧ሻ డ௧ ܪሻݐԦ, ݎሺ ߰ൌ ߰∗ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ. (1.16) Lấy (1.16) trừ (1.15) vế theo vế ta được ݅ ߰ቈ ħ ∗ ݎሺ߲߰ሻݐԦ, ݎሺ ߲ሻݐԦ, ݐ ߰ ݎሺ ߲߰ሻݐԦ, ∗ ݎሺ ߲ሻݐԦ, ݐ ߰ൌ ∗ ݎሺܪሻݐԦ, ߰ ݎሺԦ, ݐሻ െ߰ ݎሺܪሻݐԦ, ߰∗ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ. Hay ݅ ߲߲ħݐ ߰ሾ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ.߰ ݎሺԦ, ݐሻሿ ൌ ݅ħ߲ ݎሺ ߩ ߲ሻݐԦ, ݐ ߰ൌ ∗ ݎሺܪሻݐԦ, ߰ ݎሺԦ, ݐሻ െ߰ ݎሺܪሻݐԦ, ߰∗ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ. 6 Thay dạng của Hamilton ܪ ở (1.2) vào ta được డఘሺ Ԧ,௧ሻ డ௧ ൌ ħ ݅݀ଶ ݒ ߰ሾ ∗ ݎሺ߰ሻݐԦ, ݎሺԦ, ݐሻ െ߰ ݎሺ߰ሻݐԦ, ∗ ݎሺԦ, ݐሻሿ (1.17) Nếu đặt ଔԦ ൌ ħ ݅݀ଶ ݒ ߰ሾ ݎሺ߰ሻݐԦ, ∗ ݎሺԦ, ݐሻ െ߰ ∗ ݎሺ߰ሻݐԦ, ݎሺԦ, ݐሻሿ (1.18) thì (1.17) có thể viết lại như sau డఘሺ Ԧ,௧ሻ డ௧ ଔݒ ݅݀ ݎԦሺԦ, ݐሻ ൌ 0. (1.19) Từ phương trình (1.19) ta có thể suy ra định luật bảo toàn số hạt, biểu thị bằng biểu thức డ డ௧ .0 ൌ ܸ݀ߩ (1.20) Thật vậy, lấy tích phân (1.19) theo thể tích hữu hạnܸ rồi áp dụng định lý Gauss, ta được డ డ௧ ߩ dܸ ൌ െ ݅݀ ଔݒ Ԧ ൌ െ ∮݆ ݀ ݏ ௦ . (1.21) Nếu lấy tích phân trong toàn bộ không gian (ܸ → ∞ ) và chú ý rằng hàm sóng (߰ → 0 ) ở xa vô cùng, nghĩa là (ଔԦ → 0 ), ta nhận được phương trình (1.20). Phương trình này có ý nghĩa là xác suất tìm hạt trong toàn bộ không gian không phụ thuộc thời gian, điều đó có nghĩa là số hạt được bảo toàn (hạt không tự sinh ta cũng không tự biến mất). 1.4. Các tính chất của chuyển động một chiều Phương trình schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều theo trục x có dạng െ ħ మ ଶ ௗ మ ట ಶ ሺ௫ሻ ௗ௫ మ ߰ሻݔሺ ܷ ா ߰ܧ ൌ ሻݔሺ ா ሻݔሺ , (1.22) trong đóܷ ሻݔሺ là thế năng không phụ thuộc thời gian. Trạng thái và năng lượng của hạt tìm được bằng cách giải phương trình (1.22) có dạng phụ thuộc vào dạng của thế năngܷ ሻݔሺ . Ta khảo sát trường hợp khi thế năng có dạng tổng quát như hình 1.1. 7 Hình 1.1: Dạng thế năngܷ ሻݔሺ trong trường hợp tổng quát Trạng thái liên kết là trạng thái mà khi hạt bị giam giữ trong một miền nào đó thì chuyển của hạt bị giới hạn về cả hai phía, ví dụ trên (hình 1.1) chuyển động của hạt có năng lượng ܷ൏ ܧ ଵ bị giới hạn trong miền ݔଵ ݔ ݔଶ . Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm theo tọa độ của nó tại các điểm biên trong lúc giải phương trình schrodinger, ta nhận được phổ trị riêng của năng lượng là gián đoạn. Trạng thái liên tục (trạng thái không liên kết) là trạng thái mà khi hạt chuyển động không bị giới hạn (chuyển động tự do). Trên sơ đồ thế năng ở (hình 1.1) có hai miền ứng với chuyển động tự do của hạt. Trường hợp hạt có năng lượng ở trong khoảngܷ ଵ ܷ൏ ܧ ൏ ଶ, chuyển động của hạt là vô hạn về phía ൌ ݔ െ∞. Điều đó có nghĩa là hạt có thể chuyển động giữa ݔ ൌ ݔଷ ݒà ݔൌ െ∞ . Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên tục và không suy biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục ݔ. Trường hợp ܷ ܧ ଶ ,hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía ( ݔൌ േ∞ሻ . Phổ năng lượng của hạt là liên tục và suy biến bậc hai. Điều này ứng với nghiệm của phương trình (1.22) có hai nghiệm, một ứng với chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm của trục ݔ . Trường hợp thế năng đối xứng là trường hợp thế năng là một hàm chẵn đối với tọa độ thì Hamiltonien cũng là hàm chẵn, lúc đó hạt ở trạng thái liên kết và nghiệm của phương trình schrodinger (1.22) được phân thành hai lớp gồm lớp nghiệm chẵn (߰ ሺݔሻ ൌ߰ ሺെݔሻሻ và lớp nghiệm lẻ (߰ ሺݔሻ ൌ െ߰ ሺെݔሻሻ. 8 1.5. Một số tính chất nghiệm của phương trình schrodinger một chiều 1.5.1. Tính chẵn lẻ của nghiệm Nếu thế năngܷ ሻݔሺ là một hàm chẵn của tọa độ tức là nếuܷ ሺݔሻ ൌܷ ሺെݔሻ thì nghiệm của phương trình là một hàm hoặc chẵn hoặc lẻ của tọa độ. Thật vậy, khi ta thay ݔെ ൌ ݔ thì phương trình (1.22) trở thành ି ħ మ ଶ ௗ మ ట ಶ ሺି௫ሻ ௗ௫ మ ܷ ߰ሻݔሺെ ா ߰ܧ ൌ ሻݔሺെ ா ሻݔሺെ, (1.23) ta viết lại phương trình vớiܷ ሺݔሻ ൌܷ ሺെݔሻ ି ħ మ ଶ ௗ మ ట ಶ ሺି௫ሻ ௗ௫ మ ܷ ߰ሻݔሺ ா ߰ܧ ൌ ሻݔሺെ ா ሺെݔሻ. (1.24) Ta thấy߰ ா ߰àݒሻݔሺ ா ሻݔሺെ trong các phương trình (1.23) và (1.24) là cùng biểu diễn một trạng thái ứng với trị riêng E, do đó chúng chỉ khác nhau một hằng số. Nghĩa là ߰ ா ߰݇ൌ ሻݔሺ ா ሻݔሺെ . Bây giờ ta lại thay ݔ ൌ ݔെ phương trình (1.24) thì ta lại thu được (1.23) và suy ra ߰ ா ߰݇ൌ ሻݔሺെ ா .ሻݔሺ Từ đó ta suy ra ݇ ଶ ൌ 1 hay݇ ൌ േ1. Vậy߰ ா ሺݔሻ ൌ േ߰ ா ሺെݔሻ, nghĩa là߰ ா ሻݔሺ hàm hoặc chẵn hoặc lẻ của tọa độ ݔ. 1.5.2. Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm của nó Theo đòi hỏi về vật lí, nghiệm của phương trình và đạo hàm của nó theo tọa độ phải đảm bảo liên tục thì xác suất tìm thấy hạt mới liên tục. Như vậy, tại những điểm mà thế năng gián đoạn, nghiệm và đạo hàm theo tọa độ của nó phải liên tục. Bây giờ ta sẽ chứng minh tính liên tục của đạo hàm. Giả sử thế năng bị gián đoạn tại ݔ như hình vẽ. Tức là khi ݔ → ݔି ở bên trái và ݔ → ݔ ା bên phải thì thế năng không liên tục, hai giá trị khác nhau một lượng hữu hạn như hình vẽ. 9 Hình 1.2: Sơ đồ thế năng bị gián đoạn tại ݔ Phương trình Schrodinger cho ta ି ħ మ ଶ ௗ మ ௗ௫ ߰మ ா ሺ ܷെ ܧ ߰ሻ ா ൌ 0, ି ħ మ ଶ ௗ ߰ௗ ா ᇱ ሺ ܷെ ܧ ߰ሻ ா ൌ 0 . Lấy tích phân từ (ݔ െ ߝሻ đế ݊ሺݔ ሻߝ theo ݔ với ߝ vô cùng bé ta được ି ħ మ ଶ ߰ሾ ா ᇱ ݔሺ ߝሻ െ߰ ா ᇱ ݔሺ െ ߝሻሿ ܧ െ ܷሺ ߰ሻ ݀ா ݔൌ 0 ௫బ ାఌ ௫బି ఌ . Tích phân dần tới 0 khi ߝ→ 0. Vậy lim ఌ→ ߰ሾ ா ᇱ ݔሺ ߝሻ െ߰ ா ᇱ ݔሺ െ ߝሻሿ ൌ 0. Tức là߰ ா ᇱ ሻݔሺ là một hàm liên tục tại điểm ݔ. Kết luận chương 1 Qua việc tìm hiểu cơ sở lý thuyết, trong chương đầu tiên chúng tôi đã trình bày tổng quan về phương trình Schrodinger bao gồm một số vấn đề như cách giải phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian; cách xác định hàm sóng, năng lượng trong phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, mật độ xác suất, mật độ dòng xác suất. Đồng thời đưa ra các tính chất của chuyển động một chiều từ đó đi đến một số tính chất nghiệm cụ thể của phương trình Schrodinger một chiều. Đây sẽ là cơ sở cho việc giải phương trình Schrodinger cho một số dạng hố thế ở chương tiếp theo. 10 CHƯƠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHOMỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ 2.1. Hố thế có bề sâu vô hạn 2.1.1. Hố thế không đối xứng bề rộng L Xét trường hợp một hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có bề rộng L. Lúc đó hạt hoàn toàn bị nhốt trong giếng. Thế năng đang xét có dạng như ở hình 2.1. Hình 2.1: Sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều sâu vô hạn Dạng giải tích của thế năng là ܷ ሺݔሻ ൌ 0 , 0 ݄݅݇ ݔ ܮ, ܷ ሺݔሻ ൌ ∞0 ൏ ݔ ݄݅݇, và .ܮ ݔ Ta thấy rằng ngoài giếng thếܷ ሺݔሻ ൌ ∞ hàm sóng߰ ሺݔሻ ൌ 0 , hạt không tồn tại ở ngoài giếng. Như vậy ta chỉ xét hạt ở trong giếng (0 ݔ ܮሻ . Phương trình schrodinger cho trạng thái dừng có dạng ௗ మ టሺ௫ሻ ௗ௫ మ ݇ ߰ଶ ሺݔሻ ൌ 0, với݇ ଶ ܧ݉2 ൌ ħ ଶ ⁄ . Nghiệm của phương trình có dạng ߰ ሺݔሻ ൌ ܣ sin ݔ ݇ ܤ cos݇ ݔ . Áp dụng điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biênta được ߰൜ (0)=0߰ (L)=0. Suy ra ቄ ܤൌ 0, ܣ് 0 ܣ sin ܮ ݇ ܤ cos ܮ ݇ൌ 0, ܣ sin ܮ ݇ൌ 0 , 11 sin ܮ ݇ൌ 0 , ݇ ൌ గ , suy ra߰ ሺݔሻ ൌ ܣ గ௫ . Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có ሻݔሺ߰ ݀ଶ ݔൌ 1 , ܣଶ ሺsin గ௫ ሻ ݀ଶ ݔൌ 1 , మ ଶ ሺ1 െ cos ଶగ௫ ሻ ݔ݀ൌ 1 , మ ଶ ܮൌ 1, ܣൌ ට ଶ . Vậy hàm sóng ở trạng thái dừng ứng với hạt có năng lượng ܧ là ߰ ሺݔሻ ൌ ට ଶ sin గ ݊,ݔ ൌ 1,2,3 … Vì݇ ଶ ܧ݉2 ൌ ħ ଶ ⁄ nên ta có biểu thức năng lượng của hạt trong hố thế là ܧ ൌ గ మħ మ ଶ ݊మ ଶ ݊ൌ ଶ ܧ , trong đó ܧ ൌ గ మħ మ ଶమ là năng lượng ứng với n=1 và được gọi là năng lượng của hạt ở trạng thái cơ bản. Như vậy, hạt ở trong giếng có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng ܧ ܧ4 , ܧ9 , , 16ܧ … 2.1.2. Hố thế đối xứng bề rộng L Xét một hạt chuyển động trên đường thẳng, nếu thế năngܷ ሻݔሺ có dạng ܷ ሺݔሻ ൌ 0, ݄݅݇െ 2 ܮ൏ ݔ൏ 2 ܮ ⁄ ,⁄ ܷ ሺݔሻ ൌ ∞݄݅݇, ݔ ܮ 2⁄ . Sơ đồ thế năng có dạng như hình 2.2. 12 Hình 2.2: Sơ đồ thế năng của giếng thế đối xứng một chiều Trong khoảng từ2 ܮെ đ2 ܮ ݊ế⁄⁄ hạt chuyển động tự do, muốn cho hạt ra ngoài khoảng này thì phải tốn một năng lượng bằng ∞. Như vậy tức là ở điểm ݒ 2 ܮെà 2 ܮ⁄⁄ hạt bị chặn lại. Phương trình schrodinger của hạt chuyển động có dạng ௗ మ టሺ௫ሻ ௗ௫ మ ݇ ߰ଶ ሺݔሻ ൌ 0, với݇ ଶ ܧ݉2 ൌ ħ ଶ ⁄ . Nghiệm của phương trình có dạng ߰ ሺݔሻ ൌ ܣ sin ݔ ݇ ܤ cosݔ ݇. Vì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên nghiệm của phương trình được phân thành hai lớp nghiệm lẻ và nghiệm chẵn. Đối với lớp nghiệm chẵn ߰ ߰ൌ ሻݔሺ ሺെݔሻ, ta được ߰ ሺݔሻ ൌ ܤ cosݔ ݇. Áp dụng điều kiện biên߰ ( 2 ܮ⁄ )=0, ta được cos ଶ ൌ 0, ݇ ൌ గ ݊, ൌ 1,3,5 … Tương tự đối với lớp nghiệm lẻ ߰ ሺݔሻ ൌ െ߰ ሺെݔሻ, ta được ߰ ሺݔሻ ൌ ܣ sinݔ ݇. Áp dụng điều kiện biên߰ ( 2 ܮെ⁄ )=0, ta được 13 ܣ sin ݔ ݇ൌ 0, ݇ ൌ గ ݊, ൌ 2,4,6 … Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có න ߰ሺݔሻ ݀ଶ ݔൌ 1 ଶ ⁄ି ଶ ⁄ , ܤ ଶ න ሺcos݊ ݔߨ ܮ ሻ ݀ଶ ݔൌ 1, ଶ ⁄ି ଶ⁄ ܤ ଶ 2 නሺ1 cos ݔߨ݊2 ܮ ሻ ݔ݀ൌ 1 , ܤ ଶ 2 ܮൌ 1, ܤൌ ට ଶ . Giải tương tự ta được: ܣൌ ට ଶ . Vậy nghiệm của phương trình là ߰ ሺݔሻ ൌ ට ଶ sin గ ݊ ݔế ݊ ݑൌ 2, 4, 6 … ߰ ሺݔሻ ൌ ඨ 2 ܮcos݊ ߨ ܮ ݊ ݔế ݊ ݑൌ 1, 3, 5 … Ta thấy trong cả hai lớp nghiệm ta đều có݇ ൌ గ do đó năng lượng của hạt được tính theo hệ thức ܧ ൌ గ మħ మ ଶ ݊మ ଶ . Ta có thể đưa ra một số nhận xét về bài toán giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn như năng lượng ܧ của hạt trong giếng bị lượng tử hóa (điều này xảy ra là do chuyển động của hạt mặc dầu tự do nhưng bị giới hạn). Hàm sóng ߰ là hàm chẵn (khi n lẻ) và hàm lẻ (khi n chẵn) đối với tâm của giếng. Hàm sóng߰ có n-1 nút (mode). 14 Hình 2.3: Đồ thị hàm sóng߰ ሻݔሺ và năng lượng ܧ trong giếng thế vuông một chiều sâu vô hạn 2.2. Hố thế có bề sâu hữu hạn 2.2.1. Hố thế đối xứng bề rộng L Xét trường hợp giếng thế hình chữ nhật có chiều cao hữu hạn với thế năng có dạng ܷ ሺݔሻ ൌ 0, ݄݅݇െ 2 ܮ൏ ݔ൏ 2 ܮ ⁄⁄ , ܷ ܷൌ ሻݔሺ ݄݅݇, ݔ ܮ 2⁄ . Sơ đồ thế năng được cho ở hình 2.4. Hình 2.4: Sơ đồ thế năng giếng thế một chiều sâu hữu hạn đối xứng Có thể thấy rằng khi năng lượng ܷ ܧ thì hạt tự do không bị liên kết, năng lượng ܧ là liên tục. Ngược lại,khi ܷ൏ ܧ hạt bị nhốt trong giếng năng lượng của hạt bị lượng tử hóa. Ta sẽ giải phương trình schrodinger cho từng miền thế năng để tìm năng lượng và hàm sóng ứng với các trạng thái khác nhau của hạt. 15 Ta có phương trình schrodinger dừng một chiều Trường hợp ܷ൏ ܧ , ݔ ܮ 2⁄ . ߰ ூூ " ݇ ሻݔሺ ߰ଶ ூூ ሺݔሻ ൌ 0 , với݇ ଶ ܧ݉2 ൌ ħ ଶ ⁄ . Nghiệm của phương trình có dạng ߰ ሺݔሻ ൌ ܣ cos ݔ ݇ ܤ sin݇ ݔ . Trường hợp ܷ ܧ , ݔ ܮ 2⁄ . ߰ " ሺݔሻ െ ܭ ߰ଶ ሺݔሻ ൌ 0 , với ܭ ଶ ܷሺ݉2 ൌ ሻܧെ ħ ଶ ⁄ . Nghiệm của phương trình có dạng ߰ ݁.ܥ ൌ ሻݔሺ ௫ ି݁.ܦ ௫ . Áp dụng điều kiện biên߰ (→ ݔ ∞ሻ ൌ 0 ܥൌ 0 ߰ ூூூ ି݁.ܦ ൌ ௫ , ߰ ሺ ݔ→ െ∞ሻ ൌ 0 ܦൌ 0 ߰ ூ ݁.ܥ ൌ ௫ Áp dụng các điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên ta được ەۖ ۔ۖ ۓ߰ ூ ሺെ ܮ 2ሻ ൌ߰ ூூ ሺെܮ 2ሻ⁄ ߰⁄ ூூ ሺܮ 2ሻ ൌ߰ ூூூ ሺܮ 2ሻ⁄ ߰⁄ ூ ′ ሺെ ܮ 2ሻ ൌ߰ ூூ ′ ሺെܮ 2ሻ⁄ ߰⁄ ூூ ′ ሺܮ 2ሻ ൌ߰ ூூூ ′ ሺܮ 2ሻ.⁄⁄ ەۖۖ ۔ۖۖ ۓ ି಼݁.ܥ ಽ మ ൌ ܣ cos ଶ െ ܤ sin ଶ ܣ cos ଶ ܤ sin ଶ ൌ ܦ.݁ି಼ ಽ మ ି಼݁.ܥ .ܭ ಽ మ ൌܣ ݇ sin ଶ ܤ ݇ cos ଶ െܣ݇ sin ଶ ܤ ݇ cos ଶ ି಼݁.ܦܭെ ൌ ಽ మ . Ta được ݇ቐ tan ቀ ଶ ቁ ൌ ܭ đối với lớp nghiệm chẵ ݇,n cot ቀ ଶ ቁ ൌ െܭ đối với lớp nghiệm lẻ. Hay ቐ ଶா ħమ ሾtanሺ ଶ ሻሿ ଶ ൌ ଶሺబି ாሻ ħమ , ଶா ħమ ሾcotሺ ଶ ሻሿ ଶ ൌ ଶሺாି బ ሻ ħమ . 16 Đặtቊߦ ଶ ܮ ݉ൌ ଶ ܧ ሺ2ħ ଶ ⁄ ሻ, ߦ ଶ ܮ ݉ൌ ܷଶ ሺ2ħ ଶ ⁄ ሻ. Thay vào hai phương trình trên ta được ቊ ߦ tan ߦൌ ඥߦ ଶ ߦ െ ଶ , െߦ cot ߦൌ ඥߦ ଶ ߦ െ ଶ . Hai phương trình siêu việt trên xác định các giá trị năng lượng cho phép của hạt trong giếng thế hữu hạn. Giá trị năng lượng chứa trong số hạng ݇ൌ ߦ 2 ܮ ൌ 2ħ ܧ݉ඥ ଶ⁄⁄ .ܮ Các phương trình này không thể giải bằng phương pháp giải tích mà chỉ có thể giải bằng phương pháp tích số hoặc đồ thị. Ở đây ta sẽ giải bằng phương pháp đồ thị. Hình 2.5a biểu biễn đồ thị của tan ߦ ݒà ඥߦ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ. Hình 2.5b biểu biễn đồ thị của െcot ߦ ݒà ඥߦ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ với các giá trị ߦ khác nhau, nghĩa làܷ ܮ àݒ khác nhau. Giao điểm của các đường cong này xác định các giá trị cho phép ứng với các giá trị nhất định của ߦ . Đối với trường hợp trạng thái chẵn, khi ߦ bé chỉ có một giao điểm, nghĩa là có một giá trị năng lượng cho phép. Khi ߦ tăng số giá trị năng lượng cho phép tăng lên. Trong trường hợp trạng thái lẻ vì െ cot ߦ൏ 0nên khi ߦ ൌ ߨ 2⁄ sẽ không có giao điểm nào xuất hiện, nghĩa là không có giá trị năng lượng cho phép. Hình 2.5: a) Đồ thị của tan ߦ ݒà ඥߦ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ. b) Đồ thị của െcot ߦ ݒà ඥߦ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ Một cách tổng quát giá trị của bề rộng giếng thế mà tại đó có n trạng thái liên kết, nghĩa là có n giá trị năng lượng được cho bởi 17 ߦ ൌ గ ݄ ଶ ܷ ܿặ ൌ ሺ గ ଶ ሻଶ . ଶħ మ ݊మ ଶ . Như vậy, phổ năng lượng bao gồm các trạng thái chẵn và lẻ xen kẻ nhau, trong đó trạng thái cơ bản là trạng thái chẵn. Trường hợp giới hạn khiܷ ߦ ì݄ݐ ∞ → → ∞ thì hàm ߦඥ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ sẽ cắt tan ߦ ݒà െ cot ߦ tại các điểm tiệm cận 2 ߨ ݊ൌ ߦ⁄ vì khiܷ → ∞ cả tan ߦ ݒà cot ߦ đều tiến tới vô cùng ቊtan ߦ→ ∞ ൌ ߦ ଶାଵ ଶ ݊,ߨൌ 1,2,3 … cot ߦ→ ∞ ߦൌ ݊,ߨ ݊ൌ 1,2,3 … Kết hợp cả hai điều kiện này ta được ൌ ߦ గ ଶ ݊, ൌ 1,2,3 … Vì ߦ ଶ ܮ ݉ൌ ଶ ܧ ሺ2ħ ଶ⁄ ሻ nên ta nhận được biểu thức của năng lượng cho trường thế vô hạn ൌ ߦ గ ଶ ܧ ൌ గ మ ħ మ ଶ ݊మ ଶ. Hình 2.6: Sơ đồ 3 mức hàm sóng và năng lượng trong giếng thế một chiều. Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế năng vô hạn Từ đồ thị cho thấy rằng các hàm sóng “lan tỏa” qua miền ܷ൏ ܧ . Điều này có nghĩa là xác suất tìm hạt ሻݔሺ߰ ଶ ở miền I và miền II khác không, nghĩa là hạt có thể có mặt ở bên ng...
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Tiên đề V trong cơ học lượng tử đưa ra một phương trình tổng quát diễn tả sự thay đổi của hàm trạng thái theo thời gian, phương trình đó gọi là phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian ħ , , , (1.1) trong đó là Hamiltonian của hệ được định nghĩa như sau ħ , , (1.2)
, là hàm mô tả trạng thái của hệ
Phương trình (1.1) là một phương trình vi phân hạng nhất theo thời gian và hạng hai theo không gian Về nguyên tắc, để tìm nghiệm của phương trình này ta phải biết được hàm sóng tạo thời điểm ban đầu t0(điều kiện đầu) và biết được hàm sóng tại hai vị trí toạ độ (điều kiện biên) Điều kiện đầu cho phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian là hàm trạng thái , tại thời điểm Điều kiện biên chính là điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm (theo toạ độ không gian của nó tại các điểm biên - điểm có thế năng gián đoạn) Nhìn chung điều kiện biên phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể ta sẽ giải chi tiết ở chương 2
1.2 Phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian
Ta khảo sát trường hợp khi không có trường ngoài biến thiên thì toán tử Hamilton không phụ thuộc tường minh vào thời gian và trùng với toán tử năng lượng Khi đó, ta sẽ giải phương trình (1.1) bằng phương pháp phân ly biến số
Từ (1.4) ta được hai phương trình
TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 3 1.1 Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian
Phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian
Ta khảo sát trường hợp khi không có trường ngoài biến thiên thì toán tử Hamilton không phụ thuộc tường minh vào thời gian và trùng với toán tử năng lượng Khi đó, ta sẽ giải phương trình (1.1) bằng phương pháp phân ly biến số
Từ (1.4) ta được hai phương trình ħ ,(1.5)
Phương trình (1.6) chính là phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng Vì vậy , với là trị riêng của toán tử năng lượng
Phương trình (1.5) ta có thể viết lại là ħ ,
f t e ħ Giả sử năng lượng của hệ có giá trị gián đoạn, lúc đó ta có thể viết lại (1.6) như sau
Như vậy nghiệm của phương trình (1.3) được viết dưới dạng
Hàm sóng (1.8) ứng với một trạng thái giá trị năng lượng xác định được gọi là trạng thái dừng Phương trình (1.7) được gọi là phương trình schrodinger cho trạng thái dừng (phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian)
Do tính chất tuyến tính của phương trình (1.1) nên nghiệm tổng quát của nó có dạng khác nhau tuỳ theo phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục
Khi có phổ trị riêng gián đoạn thì
Khi có phổ trị riêng liên tục thì
, ħ , (1.10) trong đó các hệ số và được xác định từ các điều kiện ban đầu
Chẳng hạn từ (1.9), ta thấy khi 0 thì
∗ , 0 (1.11) Tương tự hệ số có thể tính theo công thức
Phương trình cho nghiệm với mọi , nhưng không phải giá trị nào của cũng ứng với một trạng thái vật lý, mà chỉ có những trạng thái thỏa mãn các điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng đó là phải đơn trị, liên tục và hữu hạn mới ứng với một trạng thái vật lý.
Mật độ xác suất- mật độ dòng xác suất
Trạng thái của các hạt có sự thay đổi trong không gian và thời gian Tuy nhiên sự biến đổi đó không phải là tùy ý mà phải tuân theo một số định luật Một trong những định luật quan trọng đó là định luật bảo toàn số hạt được rút ra từ phương trình schrodinger và được biểu thị bằng phương trình liên tục
, , 0, (1.13) trong đó , | , | là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm và thời điểm , là mật độ dòng xác suất Để chứng minh hệ thức (1.13) ta dùng (1.1) cùng với phương trình liên hợp phức của nó ħ ∗ , ∗ ∗ , (1.14)
Nhân (1.1) cho ∗ , và (1.14) cho , về bên trái ta được ħ ∗ , , ∗ , , , (1.15) ħ , ∗ , , ∗ ∗ , (1.16)
Lấy (1.16) trừ (1.15) vế theo vế ta được ħ ∗ , ,
Thay dạng của Hamilton ở (1.2) vào ta được
Nếu đặt ħ , ∗ , ∗ , , (1.18) thì (1.17) có thể viết lại như sau
Từ phương trình (1.19) ta có thể suy ra định luật bảo toàn số hạt, biểu thị bằng biểu thức
0.(1.20) Thật vậy, lấy tích phân (1.19) theo thể tích hữu hạn rồi áp dụng định lý Gauss, ta được d ∮ (1.21)
Nếu lấy tích phân trong toàn bộ không gian ( → ∞) và chú ý rằng hàm sóng ( → 0) ở xa vô cùng, nghĩa là ( → 0), ta nhận được phương trình (1.20) Phương trình này có ý nghĩa là xác suất tìm hạt trong toàn bộ không gian không phụ thuộc thời gian, điều đó có nghĩa là số hạt được bảo toàn (hạt không tự sinh ta cũng không tự biến mất).
Các tính chất của chuyển động một chiều
Phương trình schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều theo trục x có dạng ħ , (1.22) trong đó là thế năng không phụ thuộc thời gian Trạng thái và năng lượng của hạt tìm được bằng cách giải phương trình (1.22) có dạng phụ thuộc vào dạng của thế năng Ta khảo sát trường hợp khi thế năng có dạng tổng quát như hình 1.1
Hình 1.1: Dạng thế năng trong trường hợp tổng quát
Trạng thái liên kết là trạng thái mà khi hạt bị giam giữ trong một miền nào đó thì chuyển của hạt bị giới hạn về cả hai phía, ví dụ trên (hình 1.1) chuyển động của hạt có năng lượng bị giới hạn trong miền Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm theo tọa độ của nó tại các điểm biên trong lúc giải phương trình schrodinger, ta nhận được phổ trị riêng của năng lượng là gián đoạn
Trạng thái liên tục (trạng thái không liên kết) là trạng thái mà khi hạt chuyển động không bị giới hạn (chuyển động tự do) Trên sơ đồ thế năng ở (hình 1.1) có hai miền ứng với chuyển động tự do của hạt Trường hợp hạt có năng lượng ở trong khoảng , chuyển động của hạt là vô hạn về phía
∞ Điều đó có nghĩa là hạt có thể chuyển động giữa à ∞ Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên tục và không suy biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục Trường hợp ,hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía ( ∞ Phổ năng lượng của hạt là liên tục và suy biến bậc hai Điều này ứng với nghiệm của phương trình (1.22) có hai nghiệm, một ứng với chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm của trục
Trường hợp thế năng đối xứng là trường hợp thế năng là một hàm chẵn đối với tọa độ thì Hamiltonien cũng là hàm chẵn, lúc đó hạt ở trạng thái liên kết và nghiệm của phương trình schrodinger (1.22) được phân thành hai lớp gồm lớp nghiệm chẵn ( và lớp nghiệm lẻ (
Một số tính chất nghiệm của phương trình schrodinger một chiều 8 1 Tính chẵn lẻ của nghiệm
1.5.1 Tính chẵn lẻ của nghiệm
Nếu thế năng là một hàm chẵn của tọa độ tức là nếu thì nghiệm của phương trình là một hàm hoặc chẵn hoặc lẻ của tọa độ
Thật vậy, khi ta thay thì phương trình (1.22) trở thành ħ , (1.23) ta viết lại phương trình với ħ (1.24)
Ta thấy à trong các phương trình (1.23) và (1.24) là cùng biểu diễn một trạng thái ứng với trị riêng E, do đó chúng chỉ khác nhau một hằng số Nghĩa là
Bây giờ ta lại thay phương trình (1.24) thì ta lại thu được (1.23) và suy ra
Từ đó ta suy ra
Vậy , nghĩa là hàm hoặc chẵn hoặc lẻ của tọa độ
1.5.2 Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm của nó
Theo đòi hỏi về vật lí, nghiệm của phương trình và đạo hàm của nó theo tọa độ phải đảm bảo liên tục thì xác suất tìm thấy hạt mới liên tục Như vậy, tại những điểm mà thế năng gián đoạn, nghiệm và đạo hàm theo tọa độ của nó phải liên tục
Bây giờ ta sẽ chứng minh tính liên tục của đạo hàm
Giả sử thế năng bị gián đoạn tại như hình vẽ Tức là khi → ở bên trái và → bên phải thì thế năng không liên tục, hai giá trị khác nhau một lượng hữu hạn như hình vẽ
Hình 1.2: Sơ đồ thế năng bị gián đoạn tại
Phương trình Schrodinger cho ta ħ 0, ħ 0
Lấy tích phân từ ( đế theo với vô cùng bé ta được ħ 0
Tích phân dần tới 0 khi → 0 Vậy lim→ 0
Tức là là một hàm liên tục tại điểm
Qua việc tìm hiểu cơ sở lý thuyết, trong chương đầu tiên chúng tôi đã trình bày tổng quan về phương trình Schrodinger bao gồm một số vấn đề như cách giải phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian; cách xác định hàm sóng, năng lượng trong phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, mật độ xác suất, mật độ dòng xác suất Đồng thời đưa ra các tính chất của chuyển động một chiều từ đó đi đến một số tính chất nghiệm cụ thể của phương trình Schrodinger một chiều Đây sẽ là cơ sở cho việc giải phương trình Schrodinger cho một số dạng hố thế ở chương tiếp theo.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ
Hố thế không đối xứng bề rộng L
Xét trường hợp một hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có bề rộng L Lúc đó hạt hoàn toàn bị nhốt trong giếng Thế năng đang xét có dạng như ở hình 2.1
Hình 2.1: Sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều sâu vô hạn Dạng giải tích của thế năng là
Ta thấy rằng ngoài giếng thế ∞ hàm sóng 0, hạt không tồn tại ở ngoài giếng Như vậy ta chỉ xét hạt ở trong giếng (0
Phương trình schrodinger cho trạng thái dừng có dạng
Nghiệm của phương trình có dạng sin cos Áp dụng điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biênta được
, suy ra Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có
Vậy hàm sóng ở trạng thái dừng ứng với hạt có năng lượng là sin , 1,2,3 …
Vì 2 ⁄ħ nên ta có biểu thức năng lượng của hạt trong hố thế là ħ , trong đó ħ là năng lượng ứng với n=1 và được gọi là năng lượng của hạt ở trạng thái cơ bản Như vậy, hạt ở trong giếng có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng , 4 , 9 , 16 …
Hố thế đối xứng bề rộng L
Xét một hạt chuyển động trên đường thẳng, nếu thế năng có dạng
Sơ đồ thế năng có dạng như hình 2.2
Hình 2.2: Sơ đồ thế năng của giếng thế đối xứng một chiều
Trong khoảng từ ⁄2 đế ⁄2 hạt chuyển động tự do, muốn cho hạt ra ngoài khoảng này thì phải tốn một năng lượng bằng ∞ Như vậy tức là ở điểm
Phương trình schrodinger của hạt chuyển động có dạng
Nghiệm của phương trình có dạng sin cos
Vì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên nghiệm của phương trình được phân thành hai lớp nghiệm lẻ và nghiệm chẵn Đối với lớp nghiệm chẵn
, ta được cos Áp dụng điều kiện biên ( ⁄2)=0, ta được cos 0,
, 1,3,5 … Tương tự đối với lớp nghiệm lẻ
, 2,4,6 … Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có
Giải tương tự ta được:
Vậy nghiệm của phương trình là sin ế 2, 4, 6 …
Ta thấy trong cả hai lớp nghiệm ta đều có do đó năng lượng của hạt được tính theo hệ thức ħ
Ta có thể đưa ra một số nhận xét về bài toán giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn như năng lượng của hạt trong giếng bị lượng tử hóa (điều này xảy ra là do chuyển động của hạt mặc dầu tự do nhưng bị giới hạn) Hàm sóng là hàm chẵn (khi n lẻ) và hàm lẻ (khi n chẵn) đối với tâm của giếng Hàm sóng có n-1 nút (mode)
Hình 2.3: Đồ thị hàm sóng và năng lượng trong giếng thế vuông một chiều sâu vô hạn
Hố thế có bề sâu hữu hạn
2.2.1 Hố thế đối xứng bề rộng L
Xét trường hợp giếng thế hình chữ nhật có chiều cao hữu hạn với thế năng có dạng
Sơ đồ thế năng được cho ở hình 2.4
Hình 2.4: Sơ đồ thế năng giếng thế một chiều sâu hữu hạn đối xứng
Có thể thấy rằng khi năng lượng thì hạt tự do không bị liên kết, năng lượng là liên tục Ngược lại,khi hạt bị nhốt trong giếng năng lượng của hạt bị lượng tử hóa Ta sẽ giải phương trình schrodinger cho từng miền thế năng để tìm năng lượng và hàm sóng ứng với các trạng thái khác nhau của
Ta có phương trình schrodinger dừng một chiều
Nghiệm của phương trình có dạng cos sin
Nghiệm của phương trình có dạng
Áp dụng điều kiện biên
→ ∞ 0 0 Áp dụng các điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên ta được
Ta được tan đối với lớp nghiệm chẵn, cot đối với lớp nghiệm lẻ
⁄ 2ħ Thay vào hai phương trình trên ta được tan , cot
Hai phương trình siêu việt trên xác định các giá trị năng lượng cho phép của hạt trong giếng thế hữu hạn Giá trị năng lượng chứa trong số hạng
⁄ Các phương trình này không thể giải bằng phương pháp giải tích mà chỉ có thể giải bằng phương pháp tích số hoặc đồ thị Ở đây ta sẽ giải bằng phương pháp đồ thị
Hình 2.5a biểu biễn đồ thị của tan à theo ξ Hình 2.5b biểu biễn đồ thị của cot à theo ξ với các giá trị khác nhau, nghĩa là à khác nhau Giao điểm của các đường cong này xác định các giá trị cho phép ứng với các giá trị nhất định của Đối với trường hợp trạng thái chẵn, khi bé chỉ có một giao điểm, nghĩa là có một giá trị năng lượng cho phép Khi tăng số giá trị năng lượng cho phép tăng lên Trong trường hợp trạng thái lẻ vì cot 0nên khi ⁄2 sẽ không có giao điểm nào xuất hiện, nghĩa là không có giá trị năng lượng cho phép
Hình 2.5: a) Đồ thị của tan à theo ξ b) Đồ thị của cot à theo ξ
Một cách tổng quát giá trị của bề rộng giếng thế mà tại đó có n trạng thái ặ ħ Như vậy, phổ năng lượng bao gồm các trạng thái chẵn và lẻ xen kẻ nhau, trong đó trạng thái cơ bản là trạng thái chẵn
Trường hợp giới hạn khi → ∞ ì → ∞ thì hàm sẽ cắt tan à cot tại các điểm tiệm cận ⁄2 vì khi → ∞ cả tan à cot đều tiến tới vô cùng tan → ∞ , 1,2,3 … cot → ∞ , 1,2,3 …
Kết hợp cả hai điều kiện này ta được
Vì ⁄ 2ħ nên ta nhận được biểu thức của năng lượng cho trường thế vô hạn
Hình 2.6: Sơ đồ 3 mức hàm sóng và năng lượng trong giếng thế một chiều Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế năng vô hạn
Từ đồ thị cho thấy rằng các hàm sóng “lan tỏa” qua miền Điều này có nghĩa là xác suất tìm hạt | | ở miền I và miền II khác không, nghĩa là hạt có thể có mặt ở bên ngoài giếng
2.2.2 Hố thế không đối xứng bề rộng a
Hạt có khối lượng m chuyển động trong trường thế có dạng
Sơ đồ thế năng như hình 2.7
Xác định hàm sóng của hạt
Tìm hệ số phản xạ và hệ số truyền qua của hạt
Hình 2.7: Sơ đồ thế năng giếng thế một chiều sâu hữu hạn không đối xứng
Các phương trình schrodinger trong các vùng I, II và III có dạng
Nghiệm của các phương trình trên có dạng
Trong vùng III không có sóng phản xạ nên ta đặt 0
Từ điều kiện liên tục của à tại các điểm 0 à ta được
Từ hai đẳng thức đầu ta có
Từ hai đẳng thức sau ta có
Các hàm sóng tới ( ,sóng phản xạ và sóng truyền qua lần lượt là
Các hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua D được xác định từ các công
Thế bậc thang
Xét hạt chuyển động trong trường thế có dạng hình 2.8
Hình 2.8: Sơ đồ thế năng hố thế bậc thang Thế năng có dạng
Theo cơ học cổ điển hạt có năng lượng từ miền I đi qua miền II sẽ có động năng Trong trường hợp khi thì hạt có thể đi qua được miền II mà không bị cản trở Trong khi đó thì ở miền II động năng của hạt sẽ có giá trị âm Đây là điều không thể chấp nhận trong cơ học cổ điển, miền
II được gọi là miền cấm cổ điển và hạt không thể đi vào miền này
Bây giờ ta sẽ khảo sát chuyển động của hạt theo quan điểm của cơ học lượng tử và tìm ra một số tính chất đặc thù của hạt vi mô
Ta có phương trình schrodinger cho từng miền
Nghiệm của hai phương trình trên có dạng
Vì miền II không có sóng phản xạ nên 0 Khi đó hàm sóng và trở thành ,
Ta có định nghĩa về hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T như sau
, với là thành phần trên trục của vec tơ mật độ dòng xác suất từ ħ ∗ ∗
Tùy theo giá trị của năng lượng đối với thế năng mà ta sẽ xét hai trường hợp
Khi đó các hệ số và có giá trị thực, dương Áp dụng các điều kiện biên ta có
Ta thấy hàm và đều khác không Điều đó chứng tỏ khi hạt tới gặp hàng rào thế năng thì một phần bị phản xạ ở miền I và một phần truyền qua miền II Từ đó biểu thức à trở thành
Sự truyền qua của sóng từ miền I sang miền II khi được mô tả ở hình 2.9
Hình 2.9: Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang khi
Khi đó 2 ⁄ħ là một số phức Để sử dụng các kết quả của trường hợp , ta đặt với 2 ⁄ ħ
Hệ số phản xạ trong trường hợp này trở thành
Trường hợp này xảy ra sự phản xạ toàn phần Sóng phản xạ có dạng
Như vậy, sự phản xạ làm dịch chuyển pha của sóng tới Sóng truyền qua miền II khác không và có dạng
Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong miền II là
Như vậy ta thấy, ngay cả khi hạt có năng lượng vẫn có một xác suất nhất định để tìm thấy hạt ở miền II Đây là một hiệu ứng đặc thù trong cơ học lượng tử gọi là “hiệu ứng đường ngầm” Xác suất tìm hạt tỷ lệ nghịch với và giảm nhanh theo hàm số mũ khi tăng
Hình 2.10: Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang khi
Hàng rào thế
Xét chuyển động của hạt trong trường thế có dạng như hình 2.11
Biểu thức giải tích của thế năng là
Hình 2.11: Sơ đồ thế năng hàng rào thế
Phương trình schrodinger cho từng miền khác nhau của thế năng
Nghiệm của các phương trình trên có dạng
Trong vùng III không có sóng phản xạ nên ta đặt 0,
Ta có định nghĩa hệ số truyền qua
Từ điều kiện liên tục của à tại các điểm 0 à ta được
Ta được một hệ 4 phương trình tuyến tính bậc nhất
Nhân phương trình (2.1) cho rồi cộng với phương trình (2.2) ta được
′ 2 0 (2.5) Nhân phương trình (2.3) cho rồi trừ với phương trình (2.4) ta được
Nhân (2.5) cho ( và (2.6) cho ta được
Từ (2.3) ta suy ra được
Thực hiện một số phép biến đổi phần mẫu số trong biểu thức của C như sau
Cuối cùng ta được hệ số truyền qua là
Thay biểu thức của vào (2.17) ta được exp ħ 2 (2.18) Như vậy theo cơ học lượng tử hạt có khả năng di chuyển qua hàng rào thế có bề cao lớn hơn năng lượng của hạt Hiện tượng này gọi là hiệu ứng đường ngầm Dạng của hàm sóng trước và sau khi qua hàng rào thế được cho ở hình 2.12
Hình 2.12: Hàm sóng trước và sau qua hàng rào thế
Công thức (2.18) chỉ áp dụng cho hàng rào thế có hình dạng chữ nhật Đây là một trường hợp lý tưởng Trong trường hợp hàng rào thế có dạng phức tạp như hình 2.13 ta cũng có thể áp dụng công thức trên bằng cách chia hàng rào thế này này vô số hàng rào thế chữ nhật rộng , cao Hạt có năng lượng đi vào hàng rào thế tại điểm và ra khỏi hàng rào thế tại điểm
Hình 2.13: Hàng rào thế dạng phức tạp Khi đó công thức tính hệ số truyền qua áp dụng cho hàng rào thế bất kỳ có dạng exp ħ 2 ).
Một số hố thế có hình dạng đặc biệt
2.5.1 Hố thế vuông một chiều vô hạn chịu thêm tác dụng hàm thế delta
Một hạt khối lượng m chuyển động một chiều bị giới hạn trong vùng 0 bởi một hố thế vuông sâu vô hạn Ngoài ra, hạt còn chịu tác dụng của một hàm thế delta có độ lớn định vị tại tâm hố thế (hình 2.14)
Hình 2.14: Sơ đồ hố thế vuông một chiều vô hạn chịu thêm tác dụng hàm thế delta Phương trình schrodinger mô tả hệ trong giới hạn của hố thế có dạng ħ ⁄2
Hãy tìm một phương trình siêu việt xác định các trị riêng năng lượng theo khối lượng , độ lớn thế năng và kích thước của hệ
⁄ lên hai vế của phương trình schrodinger ta được
Ta có điều kiện biên
Suy ra phương trình schrodinger có các nghiệm đối với sin , 0 ⁄2 , sin , ⁄2 , với √2 ⁄ħ và là một hằng số dương nhỏ tuỳ ý
Từ tính liên tục của hàm sóng tại ta có sin sin , suy ra
Thay thế hàm sóng vào biểu thức
⁄2 ⁄2 2 ⁄ħ ,ta được suy ra tan ħ
Hay tan √ ħ ħ , đây chính là phương trình siêu việt cho các trị riêng năng lượng
2.5.2 Hố thế chịu tác dụng của hàm delta
Mô hình gần đúng cho bài toán của nguyên tử ở gần thành hố thế là xét một hạt chuyển động dưới ảnh hưởng của một thế một chiều có dạng
Hình 2.15: Sơ đồ thế năng hố thế có dạng hàm delta
Hãy tìm sự thay đổi năng lượng liên kết gây bởi thành hố thế khi hạt ở cách xa thành Điều kiện chính xác của và để tồn tại ít nhất một trạng thái liên kết
Nghiệm của phương trình là ớ 0, ớ 0 Áp dụng điều kiện hữu hạn của khi → ∞, tính liên tục của hàm sóng và tính gián đoạn của vi phân cấp một của nó tại 0
Thành hố được xem là cách xa hạt nếu nếu ≫ 1, khi đó ħ Một phép gần đúng khác ta có ħ 1 exp 2 ⁄ħ dẫn đến năng lượng liên kết là ħ ħ ħ 1 exp ħ , ħ 1 2 exp ħ ,
Số hạng thứ hai trong biểu thức cuối cùng là sự thay đổi năng lượng gây bởi thành hố thế Như vậy, để sự thay đổi năng lượng là nhỏ ta cần ≫ 1 ħ
Hình 2.16: Đồ thị biểu diễn đường và đường 1 exp 2
Hình 2.16 cho ta thấy một đường biểu diễn sự phụ thuộc và đường cong 2 mô tả 1 exp 2 , ở đây ⁄ħ Điều kiện để phương trình ħ , có một nghiệm là độ dốc của đường cong 2 tại gốc toạ độ phải lớn hơn độ dốc của đường cong 1 ħ 1 ħ Như vậy, nếu ħ thì sẽ tồn tại trạng thái liên kết
2.5.3 Hố thế dạng bất kỳ
Xét bài toán một chiều của một hạt có khối lượng m đi tới hàng rào thế có hình dạng như ở trên hình 2.17 Giả thiết rằng năng lượng ạ → ∞ lớn hơn , ở đây là giá trị tiệm cận của thế năng khi → ∞
Hình 2.17: Sơ đồ thế năng hố thế bất kỳ Hãy chỉ ra rằng tổng các cường độ phản xạ và truyền qua chia cho cường độ tới bằng 1
Phương trình schrodinger có dạng ħ
Do ta có thể giả thiết các dạng tiệm cận
→ ớ → ∞, ở đây , , , là các hằng số
Ta có định nghĩa về cường độ tới, cường độ phản xạ và truyền qua lần lượt là ħ ,
| | ħ Nhân hai vế của phương trình schrodinger với ∗ ta được
Nhân hai vế của liên hợp phức của phương trình schrodinger với ta được ħ ∗ ∗ ∗
Lấy hiệu hai phương trình ta được
∗ ∗ ∗ ∗)=0 Điều này có nghĩa là
Nhân hai vế cho ħ dẫn đến
Từ việc vận dụng lý thuyết ở chương 1, trong chương 2 này chúng tôi đã giải phương trình Schrodinger cho một số dạng hố thế Nhìn chung các bài giải đều thực hiện qua hai bước cơ bản là viết phương trình Schrodinger một chiều dạng tổng quát rồi áp dụng điều kiện biên, điều kiện chuẩn hoá, điều kiện liên tục để tìm nghiệm Tuy nhiên đối với mỗi dạng hố thế vẫn có dạng bài tập và cách giải cụ thể riêng Đối với hố thế có thành sâu vô hạn thì dạng bài tập thường gặp là tìm biểu thức hàm sóng và năng lượng của hạt, dạng này giải bằng phương pháp giải tích thông thường Đối với hố thế có bề sâu hữu hạn thì ta thường gặp dạng tìm phổ năng lượng của hạt, đối với bài này thì ta giải như sau, từ điều kiện biên và điều kiên liên tục ta tìm được hệ phương trình có chứa , giải hệ phương trình đó bằng phương pháp đồ thị ta có thể tìm được các giá trị của năng lượng Một dạng thường gặp nữa là tìm hệ số phản xạ và hệ số truyền qua, dạng này ta áp dụng điều kiện liên tục rồi giải hệ gồm các phương trình để tìm ra các hệ số của hàm sóng rồi thay vào công thức để tính Đối với thế bậc thang ta cũng tìm hệ số phản xạ và hệ số truyền qua như trường hợp hố thế có chiều sâu hữu hạn, cũng từ dạng bài tập này ta sẽ tìm ra một số tính chất đặc thù của hạt vi mô theo quan điểm của cơ học lượng tử được thể hiện trong “hiệu ứng đường ngầm” Đối với hàng rào thế ta cũng tìm hệ số truyền qua, áp dụng điều kiện liên tục tại các điểm biên rồi dùng phương pháp khử để giải hệ 4 phương trình, tìm ra các hệ số của hàm rồi thay vào công thức để tính Đối với một số dạng hố thế đặc biệt là hố thế chịu tác dụng của một hàm thế delta nào đó thì ta giải bằng cách lấy tích phân hai vế phương trình Schrodinger rồi áp dụng điều kiện biên và điều kiện liên tục để tìm năng lượng của hạt
Nhìn chung các dạng bài tập này không quá khó nhưng hơi dài, tính toán nhiều vì vậy đòi hỏi người giải cần cẩn thận trong việc tính toán thì bài giải mới hoàn chỉnh
Các kết quả đưa ra còn mang tính tổng quát, chúng tôi sẽ áp dụng những
ỨNG DỤNG KẾT QUẢ CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1
Một hạt có khối lượng m bị giới hạn trong một vùng một chiều 0
Tại 0 hàm sóng được chuẩn hoá của nó là
, 0 1 cos sin a) Xác định dạng hàm sóng tại thời điểm 0 b) Tính năng lượng trung bình của hệ tại 0 và c) Tìm xác suất tìm thấy hạt trong vùng 0 tại
Bài này áp dụng kết quả của phương trình schrodinger đối với hố thế sâu vô hạn.Hàm sóng tại thời điểm được khai triển theo hàm của trạng thái dừng là
Năng lượng của hệ: ħ a) Hàm sóng tại 0 có dạng
Mặt khác, hàm , 0 ở đề bài có thể viết lại như sau
, 0 1 cos sin , sin sin , sin sin ,
Như vậy, hàm sóng tại thời điểm là
= [ ħ ħ cos sin b) Năng lượng trung bình của hạt không phụ thuộc vào thời gian và có dạng
| | | 0 | , ħ c) Xác suất tìm hạt trong miền 0 tại là
Bài 2
Một electron chuyển động tự do trong một giếng thế một chiều sâu vô hạn có thành tại 0 à Electron ban đầu ở trạng thái cơ bản, nếu ta đột ngột tăng bề rộng của giếng thế lên 4 lần, hãy tính xác suất tìm eclectron ở trạng thái cơ bản trong giếng mới
Bài này áp dụng kết quả của phương trình schrodinger đối với hố thế sâu vô hạn Năng lượng và hàm sóng dạng tổng quát là sin , ħ
Năng lượng và hàm sóng ở trạng thái cơ bản 1 của electron ở giếng ħ , sin
Khi bề rộng của giếng thế tăng lên 4 lần thì biến thiên trong khoảng 0 và
4 Năng lượng và hàm sóng ở trạng thái cơ bản 1 của electron ở giếng thế có bề rộng 4 là ħ , sin
Xác suất tìm electron ở trạng thái cơ bản của giếng thế mới chính là xác suất để electron có năng lượng với trạng thái ban đầu là Theo công thức tính xác suất ta có
Bài 3
Hạt có khối lượng m chuyển động trong hố thế có hàm sóng tại
, 0 cos sin cos a) Xác định à , b) Tính năng lượng trung bình của hạt c)Tính xác suất để năng lượng có giá trị là ħ
Bài này áp dụng kết quả của phương trình schrodinger đối với hố thế sâu vô hạn Hàm sóng tại thời điểm được khai triển theo hàm của trạng thái dừng
1sin ế 2, 4, 6 … cos ế 1, 3, 5 … ħ a) Từ hàm sóng đề bài ta suy ra
Suy ra b)Năng lượng trung bình của hạt
Vậy xác suất để năng lượng có giá trị
Bài 4
Một electron bị giam ở trạng thái cơ bản trong hộp một chiều có bề rộng 10 -10 (m) Năng lượng của nó là 38eV Hãy tính b) Lực trung bình tác dụng lên các hộp khi electron ở trạng thái cơ bản
Bài làm a) Một electron bị giam trong một hộp một chiều có thể có các mức năng lượng ħ , 1,2,3 …
Như vậy, đối với trạng thái kích thích thấp nhất (n=2), năng lượng của nó là
4 152 b) Lực trung bình tác dụng lên thành hộp là
Lấy vi phân hai vế của phương trình của trạng thái dừng 0, ta được ( 0
Tích phân vế trái của phương trình ta được
Tích phân này bằng không vì là thực
Tích phân vế phải của phương trình dẫn đến
Như vậy / Đối với trạng thái cơ bản (n=1)
Bài 5
Hạt ở trong giếng thế năng một chiều, chiều cao vô hạn
∞, 0 à a)Hạt ở trạng thái 2 Xác định vị trí ứng với cực đại và cực tiểu của mật độ xác suất tìm hạt b) Hạt ở trạng thái 2 Tính xác suất để tìm hạt trong khoảng /3
Bài này áp dụng kết quả của phương trình schrodinger đối với hố thế sâu vô hạn Hàm sóng dạng tổng quát là
2 sin a) Hàm sóng ở trạng thái 2 của hạt ở giếng thế có bề rộng là sin
Mật độ xác suất tìm thấy hạt là
Mật độ xác suất đạt cực đại khi sin 1,
; Mật độ xác suất đạt cực tiểu khi sin 0,
b) Xác suất tìm hạt trong khoảng /3 2 /3 ở trạng thái 2 là
Bài 6
Hạt ở trong hố thế một chiều vuông góc có bề rộng L Chứng minh rằng ở trạng thái thứ n thì xác suất tìm hạt giữa hai miền 0 à à
Hạt ở trạng thái n có hàm trạng thái là sin Như vậy, xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái thứ n là
Bài 7
Hạt ở trong giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn có bề rộng L và có trạng thái Hãy xác định xác suất đo năng lương của hạt ở trạng thái cơ bản
Bài làm Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có
3 Xác suất đo năng lượng ở trạng thái cơ bản
Sử dụng công thức lượng giác:
Bài 8
Tính hệ số truyền qua của hàng rào thế có dạng sau
Bài này áp dụng công thức tính hệ số truyền qua áp dụng cho hàng rào thế bất kỳ có dạng exp ħ 2 )
Theo đề ta có exp ħ / 2 ) Đặt / 2 ,
Bài 9
Một hố thế năng một chiều sâu vô hạt giam giữ một hạt trong vùng 0 Hãy vẽ hàm sóng mô tả trạng thái riêng năng lượng cực tiểu của hạt Nếu một thế năng đẩy dạng hàm delta, ⁄ ,2 0 được thêm vào tại tâm hố, hãy vẽ dạng hàm sóng mới và cho biết năng lượng của hệ sẽ tăng lên hay giảm đi Nếu năng lượng ban đầu là , thì nó sẽ bằng bao nhiêu khi → ∞ Bài làm
Bài này áp dụng kết quả của phương trình schrodinger đối với hố thế sâu vô hạn Năng lượng và hàm sóng dạng tổng quát là sin , ħ
Ta có hàm riêng tương ứng với trạng thái có năng lượng cực tiểu và giá trị năng lượng của nó tương ứng là ɸ sin , ħ Đồ thị biểu diễn hàm sóng được vẽ ở hình 3.1
Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn hàm sóng ở trạng thái cực tiểu của giếng thế một chiều sâu vô hạn
Khi thêm hàm sóng delta ⁄2 , phương trình schrodinger trở thành trong đó 2 ⁄ ,ħ 2 ⁄ħ
Ta có điều kiện biên
Suy ra phương trình schrodinger có các nghiệm đối với sin 0 ⁄2, sin ⁄2
⁄ lên hai vế của phương trình schrodinger ta được
Khi cho → 0, biểu thức trên trở thành
Từ tính liên tục của hàm sóng tại ta có sin sin , suy ra Đặt ứng với trạng thái cơ bản của hạt, suy ra hàm sóng tại trạng thái cơ bản có dạng
Thay thế biểu thức hàm sóng vào ta được cos cos 2 sin
Hàm sóng trạng thái cơ bản được mô tả trên hình 3.2
Hình 3.2: Đồ thị biểu diễn hàm sóng khi chịu thêm tác dụng của hàm delta Năng lượng tương ứng là ħ ħ
Do nên năng lượng của trạng thái cơ bản tăng lên
Nếu → ∞, → thì năng lượng trạng thái mới là 4
Trong chương cuối này chúng tôi đã vận dụng các kết quả của phương trình Schrodinger ở chương 2 để giải một số bài toán cụ thể Các bài tập đưa ra nhằm củng cố, khắc sâu các kiến thức chúng tôi đã đưa ra ở chương 1 và chương
Các dạng bài tập về phương trình Schrodinger thường tập trung ở một số dạng chủ yếu là xác định hàm sóng tại một thời điểm t bất kì khi đã biết hàm sóng tại thời điểm , tính năng lượng trung trình của hạt, tính xác suất tìm thấy hạt trong một khoảng nào đó và tìm hệ số truyền qua của hạt Để làm tốt những dạng bài tập này thì chúng ta phải nắm rõ các kiến thức về hàm sóng, biểu thức năng lượng, biểu thức các hệ số truyền qua; hệ số phản xạ và điều kiện chuẩn hoá cho từng dạng hố thế.
PHẦN KẾT LUẬN
Kết luận
Đối chiếu với mục tiêu, nhiệm vụ và kết quả nghiên cứu trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi đã thu thập được một số kết quả cụ thể như sau Đã giới thiệu khái quát về phương trình schrodinger bao gồm một số vấn đề như cách giải phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian, cách xác định hàm sóng năng lượng trong phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian, mật độ xác suất- mật độ dòng xác suất Đã giải phương trình schrodinger cho một số dạng hố thế trong cơ học lượng tử gồm hố thế sâu vô hạng, hố thế sâu hữu hạn, thế bậc thang, hàng rào thế và một số dạng hố thế đặc biệt
Cuối cùng chúng tôi đã ứng dụng kết quả của phương trình schrodinger cho một số bài toán cụ thể nhằm củng cố, khắc sâu lại những kiến thức đã đưa ra ở các chương trên.
Kiến nghị
Do còn nhiều khó khăn và hạn chế về thời gian (vừa làm khoá luận vừa thực tập sư phạm 2 trong cùng một thời gian) và nguồn tài liệu tham khảo còn nên bài làm không thể tránh những thiếu sót Để bài khoá luận vừa được đảm bảo về mặt nội dung cũng như hình thức thì chúng tôi xin đưa ra một số kiến nghị là cần tạo điều kiện nhiều hơn về thời gian và nguồn tài liệu để sinh viên tham khảo, để việc tự nghiên cứu làm khoá luận được hoàn chỉnh hơn
PHẦN 4: TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Lương Duyên Bình – Nguyễn Hữu Hồ - Lê Văn Nghĩa (1999), Bài tập vật lý đại cương tập ba, NXB giáo dục
2 Nguyễn Phúc Dương - Phạm Thúc Tuyền - Nguyễn Toàn Thắng (2010), Bài tập và lời giải cơ học lượng tử, NXB giáo dục Việt Nam
3 Lê Đình – Trần Công Phong(2011), Giáo trình cơ học lượng tử, trường đại học sư phạm Huế
4 Đỗ Thị Thu Hà, Lê Thị Thanh Thủy,Trần Lan Phương, Nguyễn Ngọc
Ty (2013), “Phương pháp thời gian ảo giải số phương trình schrodinger dừng”, tạp chí khoa học trường ĐHSP TPHCM, số 43, tr 32-36
5 Nguyễn Hữu Mình - Tạ Duy Lợi - Đỗ Đình Thanh – Lê Trọng Tường (2001), Bài tập vật lí lí thuyết tập II, NXB đại học quốc gia Hà Nội
6 Phạm Quý Tư - Đỗ Đình Thanh (1999), Cơ học lượng tử, NXB đại học quốc gia Hà Nội
7.http://123doc.org/document/1310598-co-hoc-luong-tu-phuong-trinh- schrodinger-doi-voi-hat-chuyen-dong-mot-chieu.htm.
