Giải Phương Trình Schrödinger cho Một Số Dạng Thế Năng trong Cơ Học Lượng Tử

Hố thế có bề sâu vô hạn

Trong khoảng từ ⁄2 đế ⁄2 hạt chuyển động tự do, muốn cho hạt ra ngoài khoảng này thì phải tốn một năng lượng bằng ∞. Vì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên nghiệm của phương trình được phân thành hai lớp nghiệm lẻ và nghiệm chẵn. Ta thấy trong cả hai lớp nghiệm ta đều có do đó năng lượng của hạt được tính theo hệ thức.

Ta có thể đưa ra một số nhận xét về bài toán giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn như năng lượng của hạt trong giếng bị lượng tử hóa (điều này xảy ra là do chuyển động của hạt mặc dầu tự do nhưng bị giới hạn). Hàm sóng là hàm chẵn (khi n lẻ) và hàm lẻ (khi n chẵn) đối với tâm của giếng.

Hố thế có bề sâu hữu hạn 1. Hố thế đối xứng bề rộng L

Hai phương trình siêu việt trên xác định các giá trị năng lượng cho phép của hạt trong giếng thế hữu hạn. Các phương trình này không thể giải bằng phương pháp giải tích mà chỉ có thể giải bằng phương pháp tích số hoặc đồ thị. Giao điểm của các đường cong này xác định các giá trị cho phép ứng với các giá trị nhất định của.

Đối với trường hợp trạng thái chẵn, khi bé chỉ có một giao điểm, nghĩa là có một giá trị năng lượng cho phép. Trong trường hợp trạng thái lẻ vì cot 0nên khi ⁄2 sẽ không có giao điểm nào xuất hiện, nghĩa là không có giá trị năng lượng cho phép. Một cách tổng quát giá trị của bề rộng giếng thế mà tại đó có n trạng thái.

Như vậy, phổ năng lượng bao gồm các trạng thái chẵn và lẻ xen kẻ nhau, trong đó trạng thái cơ bản là trạng thái chẵn. Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế năng vô hạn Từ đồ thị cho thấy rằng các hàm sóng “lan tỏa” qua miền. Điều này có nghĩa là xác suất tìm hạt | | ở miền I và miền II khác không, nghĩa là hạt có thể có mặt ở bên ngoài giếng.

Thế bậc thang

Tùy theo giá trị của năng lượng đối với thế năng mà ta sẽ xét hai trường hợp. Điều đó chứng tỏ khi hạt tới gặp hàng rào thế năng thì một phần bị phản xạ ở miền I và một phần truyền qua miền II. Như vậy ta thấy, ngay cả khi hạt có năng lượng vẫn có một xác suất nhất định để tìm thấy hạt ở miền II.

Đây là một hiệu ứng đặc thù trong cơ học lượng tử gọi là “hiệu ứng đường ngầm”. Trong vùng III không có sóng phản xạ nên ta đặt 0, Ta có định nghĩa hệ số truyền qua. Thực hiện một số phép biến đổi phần mẫu số trong biểu thức của C như sau ,.

(2.18) Như vậy theo cơ học lượng tử hạt có khả năng di chuyển qua hàng rào thế có bề cao lớn hơn năng lượng của hạt. Trong trường hợp hàng rào thế có dạng phức tạp như hình 2.13 ta cũng có thể áp dụng công thức trên bằng cách chia hàng rào thế này này vô số hàng rào thế chữ nhật rộng , cao. Khi đó công thức tính hệ số truyền qua áp dụng cho hàng rào thế bất kỳ có dạng.

Một số hố thế có hình dạng đặc biệt

Mô hình gần đúng cho bài toán của nguyên tử ở gần thành hố thế là xét một hạt chuyển động dưới ảnh hưởng của một thế một chiều có dạng. Nhìn chung các bài giải đều thực hiện qua hai bước cơ bản là viết phương trình Schrodinger một chiều dạng tổng quát rồi áp dụng điều kiện biên, điều kiện chuẩn hoá, điều kiện liên tục để tìm nghiệm. Đối với hố thế có thành sâu vô hạn thì dạng bài tập thường gặp là tìm biểu thức hàm sóng và năng lượng của hạt, dạng này giải bằng phương pháp giải tích thông thường.

Đối với hố thế có bề sâu hữu hạn thì ta thường gặp dạng tìm phổ năng lượng của hạt, đối với bài này thì ta giải như sau, từ điều kiện biên và điều kiên liên tục ta tìm được hệ phương trình có chứa , giải hệ phương trình đó bằng phương pháp đồ thị ta có thể tìm được các giá trị của năng lượng. Một dạng thường gặp nữa là tìm hệ số phản xạ và hệ số truyền qua, dạng này ta áp dụng điều kiện liên tục rồi giải hệ gồm các phương trình để tìm ra các hệ số của hàm sóng rồi thay vào công thức để tính. Đối với thế bậc thang ta cũng tìm hệ số phản xạ và hệ số truyền qua như trường hợp hố thế có chiều sâu hữu hạn, cũng từ dạng bài tập này ta sẽ tìm ra một số tính chất đặc thù của hạt vi mô theo quan điểm của cơ học lượng tử được thể hiện trong “hiệu ứng đường ngầm”.

Đối với hàng rào thế ta cũng tìm hệ số truyền qua, áp dụng điều kiện liên tục tại các điểm biên rồi dùng phương pháp khử để giải hệ 4 phương trình, tìm ra các hệ số của hàm rồi thay vào công thức để tính. Đối với một số dạng hố thế đặc biệt là hố thế chịu tác dụng của một hàm thế delta nào đó thì ta giải bằng cách lấy tích phân hai vế phương trình Schrodinger rồi áp dụng điều kiện biên và điều kiện liên tục để tìm năng lượng của hạt. Nhìn chung các dạng bài tập này không quá khó nhưng hơi dài, tính toán nhiều vì vậy đòi hỏi người giải cần cẩn thận trong việc tính toán thì bài giải mới hoàn chỉnh.