ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Khoa học xã hội - Quản trị kinh doanh UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- THÁI THỊ VI ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10 Sinh viên thực hiện THÁI THỊ VI MSSV: 2112020143 CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI HỌC S PHẠM TOÁN KHÓA 2012 - 2016 Cán bộ hướng dẫn ThS. DƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34 – 15111 - 26647 Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 MỤC LỤC PHẦN 1. MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1 1.1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1 1.2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 1 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................................. 1 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................................... 1 1.5. Đóng góp của đề tài .................................................................................................... 1 1.6. Cấu trúc đề tài ............................................................................................................ 2 PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ............................................................................. 3 CHƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC .................................... 3 1.1. Số phức ........................................................................................................................ 3 1.1.1. Khái niệm số phức .................................................................................................... 3 1.1.2. Xây dựng trường số phức ......................................................................................... 3 1.1.3. Định nghĩa ................................................................................................................ 4 1.1.4. Các phép toán trên tập số phức ................................................................................ 4 1.1.5. Dạng lượng giác của số phức .................................................................................. 6 1.1.6. Dạng mũ của số phức ............................................................................................... 9 1.1.7. Công thức Moa-vrơ .................................................................................................. 9 1.1.8. Căn bậc n của số phức ............................................................................................. 9 CHƠNG 2. BIỂU DIỄN MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC ......................................................................................................................... 10 2.1. Biểu diễn hình học của số phức ............................................................................... 10 2.1.1. Biểu diễn hình học của số phức ............................................................................ 10 2.1.2. Biểu diễn hình học của modul ............................................................................... 10 2.1.3. Biểu diễn hình học của các phép toán đại số ........................................................ 11 2.2. Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trƣớc................................................................... 12 2.3. Góc của tam giác ....................................................................................................... 12 2.4. Góc giữa hai đƣờng thẳng........................................................................................ 14 2.5. Các điều kiện thẳng hàng, vuông góc, và cùng thuộc một đƣờng tròn ............... 15 2.6. Phƣơng trình đƣờng thẳng ...................................................................................... 16 2.6.1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm ............................................................. 16 2.6.2. Phương trình tham số của đường thẳng ............................................................... 18 2.6.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng............................................................. 19 2.7. Phƣơng trình đƣờng tròn......................................................................................... 20 2.7.1. Phương trình tổng quát của đường tròn ............................................................... 20 2.7.2. Một số kết quả liên quan đến bài toán đường tròn ............................................... 21 CHƠNG 3. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10. ...................................................................... 25 3.1. Ứng dụng số phức giải bài toán vector ................................................................... 25 3.2. Ứng dụng số phức giải bài toán hệ thức lƣợng trong tam giác ............................ 31 3.3. Ứng dụng số phức giải bài toán tam giác, tứ giác, đƣờng tròn ............................ 36 PHẦN 3. KẾT LUẬN ...................................................................................................... 45 PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 46 1 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, nó xuất hiện từ đầu thế kỷ XVI do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa họ c và kỹ thuật. Ở bậc học THPT số phức đã được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán giả i tích lớp 12. Đối với học sinh thì số phức là một nội dung còn mới mẽ, với thời lượ ng không nhiều học sinh chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức cũng như những ứng dụng số phức trong giải toán chỉ mới dừng lại ở việc giải các bài tập đơn giả n, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế. Nhưng số phức còn là công cụ hữ u hiệu để giải quyết một số bài toán hình học. Do đó, tôi chọn đề tài: “Ứng dụng số phứ c giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10” làm đề tài khóa luận tố t nghiệp. 1.2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10, từ đó giúp học sinh có nhiều hướng giải quyết một bài toán cụ thể liên quan đến vector, hệ thức lượng trong tam giác, đường thẳng, đa giác, đườ ng tròn trong mặt phẳng. 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Dùng số phức để giải quyết một số dạng bài tập vector, hệ thức lượng trong tam giác, đường thẳng, đa giác, đường tròn. - Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình hình học lớp 10. 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia. 1.5 . Đóng góp của đề tài Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ là một tài liệu tham khảo về chuyên đề giải một số dạng bài hình học lớp 10 bằng công cụ số phức cho các bạn đọc quan tâm. 2 1.6. Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và ba chương: - Chương 1: Một số khái niệm cơ bản về số phức. - Chương 2: Biểu diễn một số kết quả hình học bằng ngôn ngữ số phức. - Chương 3: Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10. Phần tài liệu tham khảo và phụ lục. 3 PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 1.1. Số phức 1.1.1. Khái niệm số phức Ta biết rằng trường số thực nhận được bằng cách làm “đầy” trường số hữu tỉ , mà nó được xây dựng từ vành số nguyên . Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của các dãy số hữu tỉ. Tuy nhiên trường vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản2 1 0x   (1) cũng không có nghiệm trong . Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong , ngườ i ta không thể giải thích được tại sao hàm  2 1 1 f x x   không thể khai triển đượ c thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng. Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa như một trườ ng con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm. Ở đây ta nói là trường con của K nế u các phép toán trên được cảm sinh bởi các phép toán trên K. 1.1.2. Xây dựng trường số phức Giả sử trường chứa như một trường con mà phương trình2 1 0x   có nghiệm trong nó, khi đó phải có một phần tử để2 1i   . Vì nên chứa tất cả các phần tử dạng . Do đó, một cách tự nhiên ta xét tập các cặp số thực : { } Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng trở thành một trường chứa như một trường con (qua phép đồng nhất n ào đó). Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường với chú ý2 1.i   i) Quan hệ bằng nhau: ii) Phép cộng: iii) Phép nhân: Tập hợp với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lậ p thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau: 1) chứa trong như một trường con (qua đồng nhất với ) 2) Tồn tại nghiệm của phương trình2 1 0x   trong 4 1.1.3. Định nghĩa Số phức là số có dạng: trong đó . Phép biểu diễn số phức dưới dạng gọi là dạng đại số của số phức . Trong đó số được gọi là phần thực của số phức , kí hiệu Re được gọ i là phần ảo của số phức kí hiệu Im Số phức có dạngyi , y  được gọi là số thuần ảo, số phứci gọi là số đơn vị ảo. Tập tất cả số phức kí hiệu là . 2 , , 1x yi x y i      1.1.4. Các phép toán trên tập số phức Từ các hệ thức trên ta dễ dàng có các kết quả sau: i)1 2z z khi và chỉ khi   1 2Re Rez z và   1 2Im Imz z ; ii)z  khi và chỉ khi Im 0z  ; iii)\z  khi và chỉ khi Im 0z  .  Phép cộng       1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z x y i x y i x x y y i          . Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phần thực, có phần ảo là tổng các phần ảo:     1 2 1 2Re Re Rez z z z       1 2 1 2Im Im Imz z z z   .  Phép trừ       1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z x y i x y i x x y y i          Ta có:     1 2 1 2Re Re Rez z z z       1 2 1 2Im Im Imz z z z   .  Phép nhân         1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1. . . . . .z z x y i x y i x x y y x y x y i        Ta có:         1 2 1 2 1 2Re . Re .Re Im .Imz z z z z z          1 2 1 2 2 1Im . Im .Re Im .Rez z z z z z  . 5 Mỗi số thực , số phứcz x yi  , z x yi x yi         là tích của một số thực với một số phức. Ta có các tính chất sau: i) 1 2 1 2z z z z      ; ii)   1 2 1 2z z     ; iii) 1 2 1 2z z z       .  Số phức liên hợp Mỗi số phứcz x yi  đều có số phứcz x yi  , số phức đó được gọi là số phứ c liên hợp của số phứcz . Mệnh đề 1.1. 1) Hệ thứcz z đúng khi và chỉ khiz  ; 2) Mỗi số phứcz ta luôn có đẳng thứcz z ; 3) Mỗi số phứcz ta luôn có.z z là một số thực không âm; 4)1 2 1 2z z z z   (số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức liên hợp); 5)1 2 1 2. .z z z z (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp); 6) Mỗi số phức khác0 đẳng thức sau luôn đúng    1 1 z z    ; 7)1 1 2 2 2 , 0 z z z z z        (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp); 8) Công thức Re 2 z z z   và Im 2 z z z i   , đúng với mọi số phứcz  . Ghi chú: i) Phần tử nghịch đảo của số phức z  có thể được tính như sau:2 2 2 2 2 2 1 . z x yi x y i z x y x y x yz z         ii) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phức như sau:   1 1 2 21 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 . . . x y i x y iz z z x x y y x y x y i z x y x y x yz z              Môđun của số phức Số2 2 z x y  được gọi là môđun của số phứcz x yi  . 6 Mệnh đề 1.2. 1) Rez z z   và Imz z z   ; 2)0 ,z z   , ngoài ra0z  khi và chỉ khi0z  ; 3)z z z   ; 4)̅ ; 5)1 2 1 2. .z z z z (môđun của một tích bằng tích các môđun); 6)1 2 1 2 1 2z z z z z z     ; 7)11 , 0z z z    . 8)1 1 2 2 2 , 0 zz z z z   (môđun của một thương bằng thương các môđun); 9)1 2 1 2 1 2z z z z z z     . 1.1.5. Dạng lượng giác của số phức Trên mặt phẳng cho một hệ tọa độ vuông góc, sự biễ u diễn số phức theo những điểm trên mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu các phép toán trên số phức: cho hai số phức dạng đại số1 1 1z x iy  ,2 2 2z x iy  . Đó là hai điểm1 2,Z Z trong hệ tọa độ vuông góc ứng với số trên. ĐiểmO là tọa độ gốc. Ta nối điểm1 2,Z Z với gốcO và xác định vector1 2,OZ OZ . Sau đó dự ng hình bình hành1 2OZ ZZ . Như vậy đỉnh thứ tư biểu diễn tọa độ của số phức1 2z z như tổng của hai số phức đã cho. Do đó tổng hai số phức có thể biễu diễn hình học như cộng hai vector trong mặ t phẳng. Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính vectơOZ và ta thấ y ngay1 2OZ OZ OZ  , ta có nhận xét là khi xem số phức như những điểm trên mặt phẳ ng với hệ tọa độ gốcO thì có thể xem số phức như là những vectơ trên mặt phẳng này,x y Z O 7 chính điều nhận xét này mà ta áp dụng được số phức vào giải nhữ ng bài toán trong hình học phẳng. Một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho trướ c. Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định bởi hệ tọa độ cực: thật vậ y, cho0z x iy   thì số phức này ứng với một vectơOZ , ta ký hiệu là độ dài bán kính vectơ này, còn là độ lớn của góc định hướng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức (góc có hướng dương là góc có chiều quay trục hoành đến vectơ theo chiều ngược kim đồng hồ, góc có hướng âm thì ngược lại). Rõ ràng là một số thực không âm. Nếu điểm nằm trên trục hoành thì số chính là môđun của số thực tương ứng, vì vậy cho số phức ta cũng định nghĩa là môđun của và kí hiệu làz . Do đó √ hoặc̅ . Góc được gọi là argument của số phức và kí hiệu làarg z . Giá trị của có thể là âm hoặc dương phụ thuộc vào hướng quay của trục hoành đến nó. Có thể xác định bằng: √ và √ argument của số phức0z  có vô số giá trị. Nếu một giá trị đã xác định thì argument được xác định theo công thức:arg 2z k    ,k là số nguyên. Thường thường ta chỉ dùng giá trị của argument trong tập 0, 2  . Những số và biểu diễn một tọa độ cực của Nếu cho một điểm , thì mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc như sau . Khi đó số phức có thể viết cos sin cos sinz r ir r i        . Một số phức viết theo dạng trên người ta gọi là dạng lượng giác của số phức. Cho hai số phức dưới dạng lượng giác 1 1 1 1cos sinz r i    và 8 2 2 2 2cos sinz r i    . Ta có tính chất sau: 1) Nếu1z trùng với2z , thì môđun củ a chúng bằng nhau và argument của chúng1 2,   khác nhau một số nguyên lần2  . 2) Tích của hai số phức            1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cos sin . cos sin cos .cos sin .sin cos .sin sin .cos cos sin z z z r i r i r r i i r r i                                 Như vậy, tích của hai số phức viết dưới dạng lượng giác cos sinz r i    , ở đór là tích của1 2r r hai môđun của hai thừa số. Hoặc là1 2 1 2z z z z . Còn argument là tổng1 2   của hai argument thừa số, hay nói cách khác1 2 1 2arg arg argz z z z  . Bằng phương pháp qui nạp dễ dàng chứng minh được          1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 cos sin cos sin ... cos sin ... cos ... sin ... n n n n n n r i r i r i r r r i                                    Hoàn toàn tương tự ta có thể làm phép chia các số phức                1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin r i r i i z z r i r i i r i r r i r                                             Do đó,1 1 2 2 z z z z  và 1 1 2 2 arg arg arg z z z z   . Bây giờ dễ dàng biểu diễn hình học tích của hai số phức1 2,z z là1 2.z z z với    1 1 1 1 2 2 2 2 cos sin cos sin z r i z r i        x y 0 9 là một điểm với bán kính vectơ1 2r r và argument1 2   . 1.1.6. Dạng mũ của số phức Với mọi số thực , ta đặtcos sini e i     . Như vậy số phức còn có thể viết dướ i dạngi z re   gọi là dạng mũ của số phức.  Một số tính chất. Với mọii z re   ,1 1 1 i z r e   ,2 2 2 i z r e   . Ta có: 1) 1 2 1 2 1 2 i z z r r e    2) 3) . ,n n in z r e n N    . 1.1.7. Công thức Moa-vrơ Cho một số phức bất kỳ dưới dạng lượng giác cos sinz r i    theo công thứ c nhân ở trên ta có    cos sin cos sin nn n z r i r n i n        vớin là một số nguyên bất kỳ. Công thức Moa-vrơ còn đúng với các số mũ nguyên âm. Thật vậy,   1 11 cos sin cos sin z r i r i              1 cos sinr i       . 1.1.8. Căn bậc n của số phức Cho số phức cos sinz r i    ta gọi căn bậc n của là tậpn z   sao chon z   . Đặt . Theo công thức Moa-vrơ ta có:   cos sin cos sinn n p n i n r i         Từ đó suy ra:cos cos , sin sinn n p n r p n r      , hay,n p r2 k n      ,k R . Như vậy ta có công thức2 2 cos sin : 0,1,..., 1n n k k z r i k n n n                  . 10 CHƠNG 2. BIỂU DIỄN MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC 2.1. Biểu diễn hình học của số phức 2.1.1. Biểu diễn hình học của số phức Ta vừa định nghĩa số phức tương ứng với cặp số thực , vì vậy, một cách tự nhiên, ta có thể đặt số phức ứng với một điểm trong mặt phẳng . Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tương đương với hệ trục tọa độ. Khi đó ánh xạ là song ánh. Định nghĩa 2.1. Điểm được gọi là ảnh hình học của số phức . Ngược lại, số phức được gọi là tọa vị của điểm . Hơn nữa, ta sẽ dùng kí hiệu để chỉ tọa vị của là số phức . Từ định nghĩa này, ta suy ra điểm (đối xứng với qua trục ) là ảnh hình học của̅ . Ta biết rằng, tọa độ của điểm cũng là tọa độ của vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , do đó, ta cũng có thể đồng nhất số phức với vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Gọi là tập hợp tất cả các vector có cùng điểm gốc . Khi đó, ta chứng minh đượ c ánh xạ:⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , Là song ánh, trong đó⃗⃗ là các vector đơn vị của trục hoành và trục tung. 2.1.2. Biểu diễn hình học của modul Xét số phức có tọa độ ảnh hình học trong mặt phẳng phức. Ta có: √ ,M(x,y) M''''(x,-y) 11 suy ra √ ⃗ . Nói cách khác, modul của số phức là độ dài của đoạn thẳng hay độ dài của vector⃗ . 2.1.3. Biểu diễn hình học của các phép toán đại số  Phép cộng và phép trừ. Xét các số phức và lần lượt tương ứng với các vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Ta dễ dàng thấy rằng tương ứng với⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Ví dụ 2.1. Ta có , vì vậy ảnh hình học của tổng này đượ c thể hiện là Ta có: , vì vậy ảnh hình học của hiệu này được thể hiện là Chú ý: Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √ . Đây chính là khoảng cách giữa hai điểm .8 6 4 2 2 4 6 15 10 5 5 10 158 6 4 2 2 4 6 8 15 10 5 5 10 15 12  Tích của một số thực và một số phức. Xét số phức ứng với vector⃗⃗⃗ . Nếu là một số thực thì ứng với vector⃗⃗⃗ . Hơn nữa, nếu thì các vector⃗⃗ cùng hướng và ⃗ ⃗ . 2.2. Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trƣớc Xét hai điểm phân biệt . Một điểm nằm trên đường thẳng chia đoạn thẳng theo tỉ số { } nếu⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Từ hệ thức này, ta có được: Định lý 2.1. Cho là các điểm phân biệt, không thẳng hàng trong mặ t phẳng phức. Khi đó, trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ phức là: Chứng minh. Từ nguyên lý cộng hai vector suy ra rằng: Nếu là trung điểm của thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) hoặc tọa vị của biểu diễn qua là 2.3. Góc của tam giác Một tam giác có hướng dương nếu các đỉnh của nó theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ. Ngược lại ta nói tam giác có hướng âm. Xét các điểm phân biệt và không trùng với gốc tọa độ mặt phẳng phức. Góĉ được định hướng nếu các điểm theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ.y xOM(x,y) x yM C B A O x y 13 Mệnh đề 2.1. Số đo của góc định hướnĝ là . Chứng minh. Ta xét hai trường hợp: (i) Nếu tam giác theo hướng âm thì̂̂̂ . (ii) Nếu tam giác theo hướng dương thì̂̂ . Do đó̂ ( ) . Chú ý: Mệnh đề vẫn đúng nếu ba điểm thẳng hàng. Ví dụ 2.2. a) Cho . Khi đó . Từ đó suy râ̂ . b) Cho . Khi đó . Do đó̂̂ . Định lý 2.2. Cho các điểm phân biệt . Khi đó, góc định hướnĝ có số đo góc là . Chứng minh. Thực hiện phép tịnh tiến theo vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Qua phép tịnh tiến này, các điểm lần lượt trở thành , . Hơn nữa, ta cũng có đượĉ̂ . Từ kết quả ở mệnh đề 2.1, ta có̂̂ . Ví dụ 2.3. Cho . Khi đóM1 M2 x y OM1 M2 y xO 14 Từ đó ta có̂̂ . Chú ý: Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo hướng dương của hai vector bất kỳ theo tọa vị của các số phức thì sao? Cho hai vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với tọa vị các điểm tương ứng . Ta cần phải quay vector đơn vị⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đi một góc theo chi ều dương nghĩa là từ đó Vậy góc phải tìm̅̅ từ đó có {̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ̅ Từ đó đẳng thức trên suy ra vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:̅̅̅̅ . và chúng song song với nhau khi và chỉ khi̅̅̅̅ . Nhận xét: - Do công thức (1) nếu trùng với trùng với gốc tọa độ và , thì khi biết tọa vị và góc với các giá trị đặc biệt thì tính được tọa vị theo như sau:  , thì .  , thì ( √ ) .  , thì (√ ) . 2.4. Góc giữa hai đƣờng thẳng Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm , và . Khi đó, vì (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) nên 15 (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) hay góc định hướng tạo bởi tia với tia bằng . Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt thì góc định hướng tạo bởi đường thẳng bằng . Chứng minh. (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) nên (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) hay góc định hướng tạo bởi đường thẳng với đường thẳng bằng . 2.5. Các điều kiện thẳng hàng, vuông góc, và cùng thuộc một đƣờng tròn Cho bốn điểm phân biệt . Mệnh đề 2.2. Các điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi . Chứng minh. Ta có các điểm thẳng hàng khi và chỉ khî { } hay . Mệnh đề 2.3. Các đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi . Chứng minh. Ta có khi và chỉ khi { }. Điều này tương đương với { } hay . Chú ý: Khi ta có nếu và chỉ khi . Mệnh đề 2.4. Bốn điểm phân biệt (xếp theo thứ tự này) cùng thuộ c một đường tròn khi và chỉ khi . Chứng minh. Bốn điểm phân biệt cùng thuộc một đườ ng tròn khi và chỉ khî ̂ { } hay { } hay { }, tức là 16 Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự. Chú ý: (i) Các điểm thẳng hàng khi và chỉ khi và . (ii) Các điểm cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi , nhưng và . Ví dụ 2.4. (a) Bốn số phức có tọa vị lần lượt là cùng thuộc một đườ ng tròn. Thật vậy, vì tỉ số kép và và . (b) Bốn điểm thẳng hàng. Thật vậ y, vì ta có và . 2.6. Phƣơng trình đƣờng thẳng 2.6.1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm Mệnh đề 2.5. Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt lần lượt có tọa vị . Khi đó có phương trình là:̅̅̅̅̅ (1) Ta đặt̅̅̅̅ . Khi đó (1) được viết lại:̅ ̅ (2) Chứng minh. Gọi là hai điểm nằm trong mặt phẳng phức có tọa vị . Lấy có tọa vị thuộc vào . Điều kiện cần và đủ để 3 điểm khác nhau nằm trên một đườ ng thẳng là góĉ bằng 0 hoặc . Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dướ i dạng như sau:̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (3) Từ (3) ta thấy được một đường thẳng đi qua 2 điểm là tập hợp các điểm sao cho̅̅̅̅ hoặc là̅̅̅̅̅ . Ví dụ 2.5. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ...

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Ta biết rằng trường số thực nhận được bằng cách làm “đầy” trường số hữu tỉ , mà nó được xây dựng từ vành số nguyên Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của các dãy số hữu tỉ Tuy nhiên trường vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản x 2   1 0 (1) cũng không có nghiệm trong Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong , người ta không thể giải thích được tại sao hàm   1 2 f x 1

 không thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng

Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa như một trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm Ở đây ta nói là trường con của K nếu các phép toán trên được cảm sinh bởi các phép toán trên K

1.1.2 Xây dựng trường số phức

Giả sử trường chứa như một trường con mà phương trình x 2   1 0 có nghiệm trong nó, khi đó phải có một phần tử để i 2   1 Vì  nên chứa tất cả các phần tử dạng Do đó, một cách tự nhiên ta xét tập các cặp số thực : { }

Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng trở thành một trường chứa như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó) Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường với chú ý i 2   1 i) Quan hệ bằng nhau: ii) Phép cộng: iii) Phép nhân:

Tập hợp với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:

1) chứa trong như một trường con (qua đồng nhất với )

2) Tồn tại nghiệm của phương trình x 2   1 0 trong

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC

Số phức

Ta biết rằng trường số thực nhận được bằng cách làm “đầy” trường số hữu tỉ , mà nó được xây dựng từ vành số nguyên Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của các dãy số hữu tỉ Tuy nhiên trường vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản x 2   1 0 (1) cũng không có nghiệm trong Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong , người ta không thể giải thích được tại sao hàm   1 2 f x 1

 không thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng

Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa như một trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm Ở đây ta nói là trường con của K nếu các phép toán trên được cảm sinh bởi các phép toán trên K

1.1.2 Xây dựng trường số phức

Giả sử trường chứa như một trường con mà phương trình x 2   1 0 có nghiệm trong nó, khi đó phải có một phần tử để i 2   1 Vì  nên chứa tất cả các phần tử dạng Do đó, một cách tự nhiên ta xét tập các cặp số thực : { }

Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng trở thành một trường chứa như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó) Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường với chú ý i 2   1 i) Quan hệ bằng nhau: ii) Phép cộng: iii) Phép nhân:

Tập hợp với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:

1) chứa trong như một trường con (qua đồng nhất với )

2) Tồn tại nghiệm của phương trình x 2   1 0 trong

Số phức là số có dạng: trong đó Phép biểu diễn số phức dưới dạng gọi là dạng đại số của số phức

Trong đó số được gọi là phần thực của số phức , kí hiệu Re được gọi là phần ảo của số phức kí hiệu Im Số phức có dạng yi , y * được gọi là số thuần ảo, số phức i gọi là số đơn vị ảo Tập tất cả số phức kí hiệu là

1.1.4 Các phép toán trên tập số phức

Từ các hệ thức trên ta dễ dàng có các kết quả sau: i) z 1 z 2 khi và chỉ khi Re  z 1 Re  z 2 và Im  z 1 Im  z 2 ; ii) z khi và chỉ khi Im   z  0 ; iii) z \ khi và chỉ khi Im   z  0

Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phần thực, có phần ảo là tổng các phần ảo:

Re z z Re z Re z Im z Im z Im z z 1 2 Im    z 1 Re z 2 Im    z 2 Re z 1

Mỗi số thực  , số phức z   x yi ,  z    x  yi    x   yi  là tích của một số thực với một số phức Ta có các tính chất sau: i)  z 1z 2 z 1z 2; ii)  1    2 z   1 2  z; iii)  1 2  z1 z2 z

Mỗi số phức z   x yi đều có số phức z x yi, số phức đó được gọi là số phức liên hợp của số phức z

1) Hệ thức z  z đúng khi và chỉ khi z ;

2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z  z;

3) Mỗi số phức z ta luôn có z z là một số thực không âm;

4) z 1 z 2  z 1 z 2 (số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức liên hợp); 5) z z 1 2 z z 1 2 (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp);

6) Mỗi số phức khác 0 đẳng thức sau luôn đúng   z  1    z  1 ;

   (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp);

  , đúng với mọi số phứcz

Ghi chú: i) Phần tử nghịch đảo của số phức z  * có thể được tính như sau:

   ii) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phức như sau:

Số z  x 2  y 2 được gọi là môđun của số phức z   x yi

2) z 0 ,  z , ngoài ra z 0 khi và chỉ khi z 0;

5) z z 1 2  z 1 z 2 (môđun của một tích bằng tích các môđun);

, 0 z z z  z z  (môđun của một thương bằng thương các môđun);

1.1.5 Dạng lượng giác của số phức

Trên mặt phẳng cho một hệ tọa độ vuông góc, sự biễu diễn số phức theo những điểm trên mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu các phép toán trên số phức: cho hai số phức dạng đại số z 1  x 1 iy 1 , z 2  x 2 iy 2 Đó là hai điểm Z Z 1, 2 trong hệ tọa độ vuông góc ứng với số trên Điểm O là tọa độ gốc

Ta nối điểm Z Z 1 , 2 với gốc O và xác định vector OZ 1 , OZ 2 Sau đó dựng hình bình hànhOZ ZZ 1 2 Như vậy đỉnh thứ tư biểu diễn tọa độ của số phức

1 2 z z như tổng của hai số phức đã cho

Do đó tổng hai số phức có thể biễu diễn hình học như cộng hai vector trong mặt phẳng

Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính vectơ OZ và ta thấy ngayOZ 1 OZ 2 OZ, ta có nhận xét là khi xem số phức như những điểm trên mặt phẳng với hệ tọa độ gốc O thì có thể xem số phức như là những vectơ trên mặt phẳng này, x y

O chính điều nhận xét này mà ta áp dụng được số phức vào giải những bài toán trong hình học phẳng

Một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho trước Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định bởi hệ tọa độ cực: thật vậy, cho z    x iy 0 thì số phức này ứng với một vectơ OZ , ta ký hiệu là độ dài bán kính vectơ này, còn  là độ lớn của góc định hướng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức (góc có hướng dương là góc có chiều quay trục hoành đến vectơ theo chiều ngược kim đồng hồ, góc có hướng âm thì ngược lại)

Rõ ràng là một số thực không âm Nếu điểm nằm trên trục hoành thì số chính là môđun của số thực tương ứng, vì vậy cho số phức ta cũng định nghĩa là môđun của và kí hiệu là z

Góc  được gọi là argument của số phức và kí hiệu là argz Giá trị của  có thể là âm hoặc dương phụ thuộc vào hướng quay của trục hoành đến nó Có thể xác định  bằng:

√ argument của số phức z0có vô số giá trị Nếu một giá trị  đã xác định thì argument được xác định theo công thức: arg z    k 2  , k là số nguyên

Thường thường ta chỉ dùng giá trị của argument trong tập  0, 2  

Những số và  biểu diễn một tọa độ cực của Nếu cho một điểm , thì mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc như sau

Khi đó số phức có thể viết

  cos sin cos sin zr ir r i  Một số phức viết theo dạng trên người ta gọi là dạng lượng giác của số phức

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác z 1r 1 cos1isin1  và

2 2 cos 2 sin 2 z r  i  Ta có tính chất sau:

1) Nếu z 1 trùng với z 2 , thì môđun của chúng bằng nhau và argument của chúng   1 , 2 khác nhau một số nguyên lần2

2) Tích của hai số phức

1 2 1 2 1 2 cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin z z z r i r i r r i i r r i

Như vậy, tích của hai số phức viết dưới dạng lượng giác z  r  cos   i sin  , ở đó r là tích của r r 1 2 hai môđun của hai thừa số Hoặc là z z 1 2  z z 1 2 Còn argument  là tổng   1  2 của hai argument thừa số, hay nói cách khác

Bằng phương pháp qui nạp dễ dàng chứng minh được

1 2 1 2 1 2 cos sin cos sin cos sin

Hoàn toàn tương tự ta có thể làm phép chia các số phức

2 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin r i r i i z z r i r i i r i r r i r

Bây giờ dễ dàng biểu diễn hình học tích của hai số phức z z 1 , 2 là z z z 1 2 với

0 là một điểm với bán kính vectơ r r 1 2 và argument   1  2

1.1.6 Dạng mũ của số phức

Với mọi số thực , ta đặt e i  cosisin Như vậy số phức còn có thể viết dưới dạng z re  i  gọi là dạng mũ của số phức

Với mọi z  re i  , z 1 r e 1 i  1 , z 2 r e 2 i  2 Ta có:

Cho một số phức bất kỳ dưới dạng lượng giác z  r  cos   i sin   theo công thức nhân ở trên ta có

 cos sin  n  cos sin  n n z  r  i   r n  i n  với n là một số nguyên bất kỳ Công thức Moa-vrơ còn đúng với các số mũ nguyên âm Thật vậy,

1.1.8 Căn bậc n của số phức

Cho số phức z  r  cos   i sin   ta gọi căn bậc n của là tập n z    sao cho n z

  Đặt Theo công thức Moa-vrơ ta có:

Từ đó suy ra: p n cosn rcos , p n sinn rsin , hay p  n r , k 2 n

   , kR Như vậy ta có công thức

BIỂU DIỄN MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC

Biểu diễn hình học của số phức

2.1.1 Biểu diễn hình học của số phức

Ta vừa định nghĩa số phức tương ứng với cặp số thực

, vì vậy, một cách tự nhiên, ta có thể đặt số phức ứng với một điểm trong mặt phẳng

Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tương đương với hệ trục tọa độ Khi đó ánh xạ là song ánh Định nghĩa 2.1 Điểm được gọi là ảnh hình học của số phức Ngược lại, số phức được gọi là tọa vị của điểm Hơn nữa, ta sẽ dùng kí hiệu để chỉ tọa vị của là số phức

Từ định nghĩa này, ta suy ra điểm (đối xứng với qua trục ) là ảnh hình học của ̅

Ta biết rằng, tọa độ của điểm cũng là tọa độ của vector ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, do đó, ta cũng có thể đồng nhất số phức với vector ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Gọi là tập hợp tất cả các vector có cùng điểm gốc Khi đó, ta chứng minh được ánh xạ:

Là song ánh, trong đó ⃗ ⃗ là các vector đơn vị của trục hoành và trục tung

2.1.2 Biểu diễn hình học của modul

Xét số phức có tọa độ ảnh hình học trong mặt phẳng phức

O suy ra √ | | | ⃗| Nói cách khác, modul của số phức là độ dài của đoạn thẳng hay độ dài của vector ⃗

2.1.3 Biểu diễn hình học của các phép toán đại số

 Phép cộng và phép trừ

Xét các số phức và lần lượt tương ứng với các vector ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Ta dễ dàng thấy rằng tương ứng với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Ví dụ 2.1 Ta có , vì vậy ảnh hình học của tổng này được thể hiện là

Ta có: , vì vậy ảnh hình học của hiệu này được thể hiện là

Ta có | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| | | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| √ Đây chính là khoảng cách giữa hai điểm

 Tích của một số thực và một số phức

Xét số phức ứng với vector ⃗ ⃗ ⃗ Nếu là một số thực thì ứng với vector ⃗ ⃗ ⃗ Hơn nữa, nếu thì các vector ⃗ ⃗ cùng hướng và | ⃗| | ⃗|.

Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước

Xét hai điểm phân biệt Một điểm nằm trên đường thẳng chia đoạn thẳng theo tỉ số { } nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Từ hệ thức này, ta có được: Định lý 2.1 Cho là các điểm phân biệt, không thẳng hàng trong mặt phẳng phức Khi đó, trung điểm của đoạn thẳng [ ] có tọa độ phức là:

Từ nguyên lý cộng hai vector suy ra rằng:

Nếu là trung điểm của thì

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) hoặc tọa vị của biểu diễn qua là

Góc của tam giác

Một tam giác có hướng dương nếu các đỉnh của nó theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ Ngược lại ta nói tam giác có hướng âm Xét các điểm phân biệt và không trùng với gốc tọa độ mặt phẳng phức Góc ̂ được định hướng nếu các điểm theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ y

Mệnh đề 2.1 Số đo của góc định hướng ̂ là

Ta xét hai trường hợp:

(i) Nếu tam giác theo hướng âm thì ̂ ̂ ̂ (ii) Nếu tam giác theo hướng dương thì ̂ ̂

Chú ý: Mệnh đề vẫn đúng nếu ba điểm thẳng hàng

Ví dụ 2.2 a) Cho Khi đó

Từ đó suy ra ̂ ̂ b) Cho Khi đó Do đó ̂ ̂ Định lý 2.2 Cho các điểm phân biệt Khi đó, góc định hướng ̂ có số đo góc là

Thực hiện phép tịnh tiến theo vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Qua phép tịnh tiến này, các điểm lần lượt trở thành , Hơn nữa, ta cũng có được ̂ ̂ Từ kết quả ở mệnh đề 2.1, ta có ̂ ̂

Ví dụ 2.3 Cho Khi đó

Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo hướng dương của hai vector bất kỳ theo tọa vị của các số phức thì sao? Cho hai vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với tọa vị các điểm tương ứng Ta cần phải quay vector đơn vị ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đi một góc theo chiều dương nghĩa là

Vậy góc phải tìm ̅ ̅ từ đó có

Từ đó đẳng thức trên suy ra vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vuông góc với nhau khi và chỉ khi: ̅ ̅ ̅ ̅ và chúng song song với nhau khi và chỉ khi ̅ ̅ ̅ ̅

- Do công thức (1) nếu trùng với trùng với gốc tọa độ và | | | |, thì khi biết tọa vị và góc với các giá trị đặc biệt thì tính được tọa vị theo như sau:

Góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm , và Khi đó,

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) hay góc định hướng tạo bởi tia với tia bằng

Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt thì góc định hướng tạo bởi đường thẳng bằng

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) hay góc định hướng tạo bởi đường thẳng với đường thẳng bằng

Các điều kiện thẳng hàng, vuông góc, và cùng thuộc một đường tròn

Cho bốn điểm phân biệt

Mệnh đề 2.2 Các điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi

Chứng minh Ta có các điểm thẳng hàng khi và chỉ khi ̂ { } hay

Mệnh đề 2.3 Các đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi

Chứng minh Ta có khi và chỉ khi { } Điều này tương đương với { } hay

Chú ý: Khi ta có nếu và chỉ khi

Mệnh đề 2.4 Bốn điểm phân biệt (xếp theo thứ tự này) cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi

Chứng minh Bốn điểm phân biệt cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi ̂ ̂ { } hay { } hay

Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự

(i) Các điểm thẳng hàng khi và chỉ khi và

(ii) Các điểm cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi

Ví dụ 2.4 (a) Bốn số phức có tọa vị lần lượt là cùng thuộc một đường tròn Thật vậy, vì tỉ số kép và và

(b) Bốn điểm thẳng hàng Thật vậy, vì ta có và

Phương trình đường thẳng

2.6.1 Phương trình đường thẳng qua hai điểm

Mệnh đề 2.5 Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt lần lượt có tọa vị Khi đó có phương trình là: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (1)

Ta đặt ̅ ̅ ̅ ̅ Khi đó (1) được viết lại: ̅ ̅ (2)

Gọi là hai điểm nằm trong mặt phẳng phức có tọa vị Lấy có tọa vị thuộc vào Điều kiện cần và đủ để 3 điểm khác nhau nằm trên một đường thẳng là góc ̂ bằng 0 hoặc Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới dạng như sau: ̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ (3)

Từ (3) ta thấy được một đường thẳng đi qua 2 điểm là tập hợp các điểm sao cho ̅ ̅ ̅ ̅ hoặc là ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

Ví dụ 2.5 Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Xét trong mặt phẳng phức: tọa vị là , tọa vị là

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có dạng là: ̅ ̅ Trong đó ̅ ̅ ̅ ̅

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là: ̅

Ví dụ 2.6 (BT 4/Toán SGK NC lớp 10 – trang 80) Cho hai điểm a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng b) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng

Giải a) Xét trong mặt phẳng phức Gọi lần lượt là tọa vị của điểm

Gọi là điểm nằm trên đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng

Theo đề ta áp dụng công thức: ̅ ̅ ̅ ̅

Thay các tọa vị vào ta được:

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có dạng: ̅ ̅ Trong đó ̅ ̅ ̅ ̅

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: ̅ b) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng

Theo đề ta áp dụng công thức: ̅ ̅ ̅ ̅

Thay các tọa vị vào ta được:

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là: ̅

2.6.2 Phương trình tham số của đường thẳng

Mệnh đề 2.6 Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt lần lượt có tọa vị Khi đó phương trình tham số của đường thẳng đi qua là:

Gọi là hai điểm nằm trong mặt phẳng phức có tọa vị Lấy có tọa vị thuộc vào

Ba điểm nằm trên một đường thẳng khi và chỉ khi là một số thực là một tọa vị của một điểm trên đường thẳng đi qua và ngược lại Như vậy, khi chạy trên tập hợp số thực thì phương trình: gọi là phương trình tham số của đường thẳng đi qua

Chú ý: i) Trong ứng dụng giải những bài tập hình học ta cần xem xét khi khi biến đổi thì ảnh hưởng của thế nào đối với ?

- Nếu số là số thực dương, thì vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng chiều

- Nếu số là âm thì vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ngược chiều nhau Đối với vị trí điểm được xác định như sau:

- Nếu thì nằm trong đoạn

- Nếu thì nằm ngoài đoạn về phía

- Nếu thì nằm ngoài đoạn về phía ii) Giá trị tuyệt đối của bằng tỷ số đoạn thẳng | | và | | Trong thực tế, ta thường tìm trên đường thẳng một điểm sao cho ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ đã cho trước (ở đây ̅̅̅̅̅̅ là độ dài đại số của ) Khi đó , từ đó suy ra

Nghĩa là một điểm nằm trên đường nối có dạng trên với là một số thực nào đó

Ví dụ 2.7 Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm Viết phương trình tham số đi qua hai điểm

Xét trong mặt phẳng phức Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm có dạng:

Thay tọa vị vào (*) ta được:

2.6.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Mệnh đề 2.7 Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua điểm có tọa vị nhận ⃗⃗ làm vector chỉ phương có tọa vị Khi đó phương trình chính tắc của là: ̅ ̅ ̅ ̅

Ta có phương trình đi qua hai điểm có dạng: ̅ ̅ ̅ (*)

Ví dụ 2.8 (Ví dụ/Toán SGK NC lớp 10 – trang 76) Cho tam giác có 3 đỉnh Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ

Vậy phương trình đường thẳng đi qua nhận ⃗⃗ làm vector chỉ phương là: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

Phương trình đường tròn

2.7.1 Phương trình tổng quát của đường tròn

Mệnh đề 2.8 Trong mặt phẳng phức, cho điểm có tọa vị số thực Phương trình đường tròn tâm , bán kính là: ̅ ̅ ̅ ̅ Đặt ̅ ̅ , khi đó phương trình trên được viết lại: ̅ ̅ ̅ Ngược lại, trong mặt phẳng phức mỗi phương trình ̅ ̅ ̅ với ̅ sẽ là phương trình đường tròn tâm có tọa vị ̅, bán kính

Chúng ta sẽ tìm điều kiện cần và đủ để nằm trên một đường tròn Ở đây ta có thể coi đường thẳng như là đường tròn tâm vô tận

Nếu nằm trên đường tròn, thì hiệu giữa góc định hướng ̂ và ̂ là 0 hoặc

Ngược lại, nếu là một số thực, thì là tọa vị của những điểm trên đường tròn hoặc đường thẳng Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới dạng như sau:

Từ phương trình trên để một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác là phương trình sau thỏa mãn ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

Ta có thể gọi đây là phương trình đường tròn xác định 3 điểm Giải phóng mẫu số ta nhận được ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ hoặc là ̅ ̅ trong đó

Rõ ràng, số và là hoàn toàn ảo ( ̅ và ̅ ) Như vậy, mọi đường tròn có phương trình dạng: ̅ ̅ ̅ Nếu thì ba điểm thẳng hàng

Nếu chia phương trình trên cho và đặt và thì phương trình đường tròn có dạng: ̅ ̅ | ̅| | |

Do đó ̅ là tọa vị của tâm đường tròn và bán kính √ ̅

- Trường hợp đặc biệt tâm của đường tròn trùng với gốc tọa độ và bán kính là 1 thì phương trình đường tròn có dạng z ̅ Đường tròn loại này được gọi là đường tròn đơn vị

2.7.2 Một số kết quả liên quan đến bài toán đường tròn

Trong thực tế có nhiều bài toán liên quan đến đường tròn, khi ta chọn hệ tọa độ vuông góc với gốc chính là tâm đường tròn đó và coi đường tròn là đường tròn đơn vị, thì chúng ta có kết quả đẹp và dễ sử dụng trong các bài toán cụ thể

Mệnh đề 2.9 Giả sử là hai dây cung của đường tròn đơn vị Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm Khi đó: a) b)

Ta có sự vuông góc hoặc song song của hai đoạn thẳng và được biểu diễn bằng công thức:

( ̅ ̅) ( ̅ ̅) Trong trường hợp đều nằm trên đường tròn đơn vị, thì những số liên hợp ̅ ̅ ̅ ̅ có thể thay bằng Khi đó:

Tương tự điều kiện cần và đủ để hai đoạn trên song song

Mệnh đề 2.10 Giả sử đường tròn đơn vị có hai dây cung cắt nhau tại Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm Khi đó: a) Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi ̅ b) Giao điểm của có tọa vị

Chứng minh a) Điều kiện để 3 điểm nằm trên một đường thẳng có phương trình là: ̅ ̅ ̅ ̅ Nếu và là những điểm nằm trên đường tròn đơn vị thì: ̅ ̅ Khi đó: ̅ b) Nếu và là hai dây cung của đường tròn đơn vị cắt nhau thì giao điểm của chúng cho bởi hệ: ̅ (1) ̅ (2)

Từ (1) và (2) ta có công thức tọa vị của

Do và không song song nên

Mệnh đề 2.11 Giả sử là dây cung của đường tròn đơn vị, thuộc đường tròn là hình chiếu của điểm lên đường thẳng Gọi lần lượt là tọa vị của Khi đó ta có: ̅

Mệnh đề 2.12 Trong mặt phẳng phức cho tam giác với các tọa vị Gọi lần lượt là trọng tâm, trực tâm của tam giác với các tọa vị tương ứng Khi đó: a) b) Nếu tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị thì

Chứng minh a) Gọi lần lượt là trung điểm của có tọa vị

Ta có: Gọi là trọng tâm của tam giác

Nhận xét thấy rằng một điểm có tọa vị ( ) thuộc đường thẳng nối từ đến

Tương tự do tính chất đối xứng của nên điểm có tọa vị như trên cũng nằm trên và

Do đó điểm có tọa vị như vậy chính là trọng tâm của tam giác hay là b) Lấy là điểm đối xứng tâm đường tròn qua Suy ra là hình thoi Suy ra

Mặt khác, xét hình bình hành

Suy ra nằm trên đường cao hạ từ của tam giác

Do tính đối xứng của đối với dễ dàng thấy rằng nằm trên đường cao hạ từ và Như vậy, điểm có tọa vị là trực tâm của tam giác.

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10

Ứng dụng số phức giải bài toán vector

Trong phần này ta lưu ý kiến thức sau đây: tọa độ của điểm cũng là tọa độ của vector ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, do đó, ta cũng có thể đồng nhất số phức với vector

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, trong đó điểm đầu là gốc tọa độ, điểm cuối là điểm biểu diễn số phức , vì vậy nếu nói có tọa vị thì cũng nói vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có tọa vị Nhờ vậy, nếu thì vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có tọa vị và | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| | |

Bài toán 3.1 (BT 3/Toán SGK NC lớp 10– trang 34) Gọi O là tâm của hình bình hành

Chứng minh rằng với điểm bất kì, ta có

Cách 1 (Giải theo phương pháp vector thông thường)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (Do là trung điểm của và )

Cách 2 (Ứng dụng trong mặt phẳng phức)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Vậy với điểm bất kì, ta có

Bài toán 3.2 (BT 5/Toán SGK NC lớp 10 – trang 35) Cho đoạn thẳng và điểm sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ a) Tìm số sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) Chứng minh rằng với mọi điểm , ta có

Cách 1 (Giải theo phương pháp vector thông thường) a) Tìm số

Cách 2.(Ứng dụng trong mặt phẳng phức) a) Xét trong mặt phẳng phức Gọi lần lượt là tọa vị của cácđiểm

Theo yêu cầu bài toán: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Nhận xét 3.1: Qua bài toán 3.1 và bài toán 3.2 ta thấy, với cách giải thứ 2 (ứng dụng số phức trong mặt phẳng) việc giải bài toán trở nên dễ dàng, nhanh gọn hơn và tối ưu hơn cách giải thông thường

Bài toán 3.3 (BT6/Toán SGK NC lớp 10– trang 35) Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm a) Chứng minh rằng ba điểm không thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ c) Tìm tọa độ điểm sao cho là trọng tâm tam giác

Cách 1.(Giải theo phương pháp vector thông thường) a) Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vì nên hai vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không cùng phương b) Gọi là tọa độ điểm

Vậy tọa độ của c) Gọi là tọa độ điểm

Do là trọng tâm của tam giác nên:

Cách 2.(Ứng dụng trong mặt phẳng phức) a) Xét trong mặt phẳng phức Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm Suy ra:

Do đó ba điểm không thẳng hàng b) Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy tọa độ của c) Ta có là trọng tâm tam giác suy ra:

Nhận xét 3.2: Với bài toán 3.3 ta thấy, việc sử dụng cách 2 cũng không hẳn tối ưu hơn cách 1, ở đây chưa kể là câu a giải bằng phương pháp trong mặt phẳng phức càng làm cho bài toán phức tạp hơn Cách giải thứ 2 sẽ tối ưu hơn đối với những bài toán phức

Bài toán 3.4 Cho tam giác , trên lấy điểm và sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với a) Biểu diễn các vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ theo các vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) Chứng minh các tam giác và có cùng trọng tâm c) Trên lấy điểm , trên lấy điểm sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Giải a) Xét trong mặt phẳng phức Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm

* Biểu diễn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Từ giả thiết: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

* Biểu diễn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Từ giả thiết:

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) b) Theo câu a ta có: Để chứng minh có cùng trọng tâm với ta chỉ cần chứng:

Vậy hai tam giác và có cùng trọng tâm c) Từ giả thiết:

Ứng dụng số phức giải bài toán hệ thức lƣợng trong tam giác

Bài toán 3.5 Cho đường tròn và một điểm cố định nằm bên trong đường tròn đó Hai dây cung thay đổi và luôn đi qua và vuông góc với nhau Chứng minh rằng không đổi

Cách 1.(Giải theo phương pháp hệ thức lượng thông thường)

Chứng minh rằng không đổi

Gọi lần lượt là trung điểm của

Cách 2.(Ứng dụng trong mặt phẳng phức)

Xét hệ tọa độ phức sao cho gốc và trục thực trùng với tia , trục ảo trùng với tia Khi đó tọa vị của lần lượt là:

Suy ra là một số không đổi

Bài toán 3.6 (BT 2/Toán SGK NC lớp 10 – trang 69) Gọi là trọng tâm của tam giác

a) Chứng minh rằng với mọi điểm , ta luôn có b) Tìm tập hợp các điểm sao cho , trong đó là một số cho trước

Cách 1 (Giải theo phương pháp hệ thức lượng thông thường) a) Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)

 Nếu thì tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính √

 Nếu thì tập hợp điểm là điểm

 Nếu thì tập hợp điểm là tập rỗng

Xét hệ tọa độ phức sao cho là điểm gốc trùng với gốc tọa độ

Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm

Vì là trọng tâm của tam giác nên suy ra tọa vị mà

 Nếu thì tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính √

 Nếu thì tập hợp điểm là điểm

 Nếu thì tập hợp điểm là tập rỗng

Bài toán 3.7 (BT 3/Toán SGK NC lớp 10 – trang 70) Cho hình bình hành Tìm tập hợp các điểm sao cho trong đó là số thực cho trước

Cách 1 (Giải theo phương pháp hệ thức lượng thông thường)

Gọi là tâm hình bình hành

 Nếu thì tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính

 Nếu thì tập hợp là điểm

 Nếu thì tập hợp là rỗng

Chọn mặt phẳng phức có gốc tọa độ trùng với giao điểm hai đường chéo của hình bình hành Khi đó gọi lần lượt là tọa vị của các điểm và

 Nếu thì tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính

 Nếu thì tập hợp là điểm

 Nếu thì tập hợp là rỗng

Bài toán 3.8 (BT 30/Toán SGK NC lớp 10 – trang 66) Cho tứ giác Gọi lần lượt là trung điểm của và Chứng minh rằng

Cách 1.(Giải theo phương pháp hệ thức lượng thông thường)

Do là trung điểm của nên:

Cách 2.(Ứng dụng trong mặt phẳng phức)

Nhận xét 3.3: Ở cách 1 cho ta lời giải ngắn, gọn, đẹp nhưng cần áp công thức trung tuyến linh hoạt vào các tam giác Ngược lại cách giải thứ 2 ta chỉ cần tính toán: nhân biểu thức và rút gọn, nhưng mặt trái của phương pháp này là tính toán dài dòng

Bài toán 3.9 Cho tam giác có độ dài các cạnh a) Chứng minh rằng:

(Trong đó là trực tâm, là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ) b) Chứng minh rằng:

(Với là bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác )

(*) Trong đó là trực tâm, là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác

Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Gọi lần lượt là tọa vị của Khi đó có tọa vị và ̅ ̅ ̅

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ̅ ̅ ̅ b) Vì đẳng thức (*) đúng với mọi điểm , nên với ta có: hay (**)

Ứng dụng số phức giải bài toán tam giác, tứ giác, đường tròn

Như các nhận xét đã nêu ở trên phương pháp ứng dụng số phức để giải chỉ tối ưu đối với những bài toán khó, bài toán mang yếu tố định tính Do đó trong mục này tác giả đưu một số bài toán ngoài sách giáo khoa, để khi giải quyết bằng phương pháp này ta sẽ thấy tính tối ưu hơn của nó

Bài toán 3.10 (BT 14/Toán SGK NC lớp – 85) Cho hình bình hành có tọa vị một đỉnh

Biết phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là và

Tìm tọa độ ba đỉnh còn lại của hình bình hành đó

Cách 1 (Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng)

Gọi là một đỉnh của hình bình hành

Rõ ràng không thuộc 2 đường thẳng đã cho

 Đường thẳng qua và song song với đường thẳng nên có phương trình tổng quát là:

Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình

Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:

Vì không thuộc hai đường thẳng và nên là giao điểm của hai đường trên

Phương trình đường thẳng đi qua nhận ⃗⃗ có tọa vị làm vector chỉ phương là: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

Tọa độ đỉnh là nghiệm của hệ {

Tương tự ta tính được tọa độ đỉnh ( )

Bài toán 3.11 (TSĐH – K/A, A 1 /2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác vuông tại Gọi là hình chiếu vuông góc của trên cạnh ; là điểm đối xứng của qua , là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng Giả sử và trung điểm của cạnh thuộc đường thẳng Tìm tọa độ điểm

Gọi M là trung điểm của Ta có: nên thuộc đường trung trực của

Đường trung trực của có phương trình:

Nên tọa độ điểm thỏa mãn hệ: {

Ta có: ̂ ̂ ̂ ̂ nên cân tại mà

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; đường thẳng có phương trình

Trung điểm thuộc và nên tọa độ điểm thỏa mãn hệ:

Gọi M là trung điểm của

Xét trong mặt phẳng phức Gọi lần lượt là tọa của các điểm

Ta có: nên thuộc đường trung trực của

Gọi là trung điểm của có tọa vị

Phương trình đường thẳng đi qua nhận ⃗⃗ làm vectơ chỉ phương (Đường trung trực của ) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

Nên tọa độ của thỏa hệ: {

Ta có: ̂ ̂ ̂ ̂ nên cân tại mà

Bài toán 3.12 (TSĐH – K/B/2011) Trong mặt phẳng , cho tam giác có đỉnh Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh tương ứng với các điểm Cho và đường thẳng có phương trình Tìm tọa độ đỉnh , biết có tung độ dương

Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ // tam giác cân tại

Suy ra đường thẳng có phương trình có tọa độ dạng , ta có:

 suy ra đường thẳng có phương trình:

A là giao điểm của và

 suy ra đường thẳng có phương trình: là giao điểm của và

Xét trong mặt phẳng phức Gọi lần lượt là tọa của các điểm

Suy ra Đường thẳng có phương trình:

Suy ra đường thẳng có phương trình

Với phương trình đường thẳng đi qua F nhận ⃗⃗ làm VTCP có dạng: ̅ ̅ ̅ ̅

( ) ( ) ̅ ( ) ( ) là giao điểm của và

Với , phương trình đường thẳng đi qua nhận ⃗⃗ làm VTCP có dạng: ̅ ̅ ̅ ̅

Nhận xét 3.4: Qua hai cách giải trên ta thấy, việc ứng dụng số phức trong phương pháp tọa độ ở bài toán 3.11, bài toán 3.12 và bài toán 3.13 làm cho bài toán trở nên áp đặt hơn, gây cho người đọc khó chịu về lời giải, bài toán trở nên thô sơ Thế nhưng với những bài toán dưới đây, cách giải thông thường ta không dễ dàng chứng minh được, cần phải có sự nhạy bén, linh hoạt trong cách giải Việc ứng dụng số phức để giải, thì bài toán trở nên hay hơn nhiều, dễ dàng hơn, và tối ưu hơn

Bài toán 3.13 Cho hình thang đáy lớn là Kẻ đường thẳng song song với hai đáy, lần lượt cắt các cạnh bên tại và , cắt các đường chéo tại và Chứng minh rằng

Cách 1.(Xét trong mặt phẳng)

Gọi là giao điểm của và Đường thẳng qua và song song với đáy của hình thang cắt và lần lượt tại và

Tam giác có // (Theo hệ quả định lý Talet) (1)

(Theo hệ quả định lý Talet) (2) Tam giác có //

(Theo hệ quả định lý Talet)

Do song song với và nên

Bài toán 3.14 Cho tam giác ( ̂ ), ở miền ngoài của tam giác vẽ các tam giác đều và Dựng hình bình hành Chứng minh tam giác là đều

Lấy hệ tọa độ vuông góc có gốc tại , suy ra

√ (vì là hình bình hành)

Bài toán 3.15 Trên các cạnh và của tam giác đều lấy các điểm và tương ứng sao cho | | | | | | | | Chứng minh rằng, nếu là giao điểm của và , thì ̂

Chọn hệ tọa độ vuông góc với gốc tại và chiều dương của trục hoành là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và

Khi đó từ | | | | và ̂ ̂ , suy ra √

Từ điều kiện | | | | thì tương tự

Phương trình đường thẳng và tương ứng là:

Thay những giá trị đã biết ở trên vào các đẳng thức, ta có:

Giao điểm là nghiệm của hệ phương trình trên Giải hệ phương trình ta nhận được √ Khi đó:

Như vậy số là số hoàn toàn ảo, vì √

Bài toán 3.16 Trong đường tròn kẻ hai đường kính và là điểm bất kì trên đường tròn , còn và là chân đường vuông góc hạ từ xuống và Chứng minh rằng độ dài đoạn không phụ thuộc vào vị trí của trên đường tròn

Chọn đường tròn làm đường tròn đơn vị

Vì và là những đường kính, do đó

Theo công thức (mệnh đề 2.7) tính tọa vị của và : ̅ ̅

Vậy | | | ̅ | | |, độ dài không phụ thuộc vào tọa vị của điểm , trong khi cố định

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	1,78 MB