MỤC LỤC
, vì vậy, một cách tự nhiên, ta có thể đặt số phức ứng với một điểm trong mặt phẳng. Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tương đương với hệ trục tọa độ. Hơn nữa, ta sẽ dùng kí hiệu để chỉ tọa vị của là số phức.
Từ định nghĩa này, ta suy ra điểm (đối xứng với qua trục ) là ảnh hình học của ̅. Là song ánh, trong đó ⃗ ⃗ là các vector đơn vị của trục hoành và trục tung. Nói cách khác, modul của số phức là độ dài của đoạn thẳng hay độ dài của vector ⃗.
Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt thì góc định hướng tạo bởi đường thẳng bằng.
Xét trong mặt phẳng phức. Vậy phương trình đường thẳng đi qua nhận ⃗⃗ làm vector chỉ phương là:. Từ phương trình trên để một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác là phương trình sau thỏa mãn. Ta có thể gọi đây là phương trình đường tròn xác định 3 điểm. Giải phóng mẫu số ta nhận được. Như vậy, mọi đường trũn cú phương trình dạng:. Nếu chia phương trình trên cho và đặt và thì phương trình đường tròn có dạng:. - Trường hợp đặc biệt tâm của đường tròn trùng với gốc tọa độ và bán kính là 1 thì phương trình đường tròn có dạng z ̅. Đường tròn loại này được gọi là đường tròn đơn vị. Một số kết quả liên quan đến bài toán đường tròn. Trong thực tế có nhiều bài toán liên quan đến đường tròn, khi ta chọn hệ tọa độ vuông góc với gốc chính là tâm đường tròn đó và coi đường tròn là đường tròn đơn vị, thì chúng ta có kết quả đẹp và dễ sử dụng trong các bài toán cụ thể. Giả sử là hai dây cung của đường tròn đơn vị. Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm. Ta có sự vuông góc hoặc song song của hai đoạn thẳng và được biểu diễn bằng công thức:. Trong trường hợp đều nằm trên đường tròn đơn vị, thì những số liên hợp ̅ ̅ ̅ ̅ có thể thay bằng. Tương tự điều kiện cần và đủ để hai đoạn trên song song. Giả sử đường tròn đơn vị có hai dây cung cắt nhau tại. Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm Khi đó:. a) Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi ̅. b) Giao điểm của có tọa vị. a) Điều kiện để 3 điểm nằm trên một đường thẳng có phương trình là:. Nếu và là những điểm nằm trên đường tròn đơn vị thì:. b) Nếu và là hai dây cung của đường tròn đơn vị cắt nhau thì giao điểm của chúng cho bởi hệ:. Do và không song song nên. Giả sử là dây cung của đường tròn đơn vị, thuộc đường tròn. là hình chiếu của điểm lên đường thẳng. Gọi lần lượt là tọa vị của. Trong mặt phẳng phức cho tam giác với các tọa vị. Gọi lần lượt là trọng tâm, trực tâm của tam giác với các tọa vị tương ứng. b) Nếu tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị thì. a) Gọi lần lượt là trung điểm của có tọa vị. Nhận xét thấy rằng một điểm có tọa vị ( ) thuộc đường thẳng nối từ đến. Tương tự do tính chất đối xứng của nên điểm có tọa vị như trên cũng nằm trên và. Do đó điểm có tọa vị như vậy chính là trọng tâm của tam giác hay là. b) Lấy là điểm đối xứng tâm đường tròn qua. Do tính đối xứng của đối với dễ dàng thấy rằng nằm trên đường cao hạ từ và.
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10. Trong chương này, tác giả trình bày một số bài tập được giải theo phương pháp ứng dụng số phức. Bước 2: Chuyển giả thuyết bài toán sang ngôn ngữ phức và giải quyết bài toán.
(Ứng dụng trong mặt phẳng phức). Xét trong mặt phẳng phức. Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm. Vậy với điểm bất kì, ta có. b) Chứng minh rằng với mọi điểm , ta có. Nhận xét 3.1: Qua bài toán 3.1 và bài toán 3.2 ta thấy, với cách giải thứ 2 (ứng dụng số phức trong mặt phẳng) việc giải bài toán trở nên dễ dàng, nhanh gọn hơn và tối ưu hơn cách giải thông thường. Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm. a) Chứng minh rằng ba điểm không thẳng hàng. c) Tìm tọa độ điểm sao cho là trọng tâm tam giác. c) Gọi là tọa độ điểm. Cách 2.(Ứng dụng trong mặt phẳng phức). a) Xét trong mặt phẳng phức. Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm. Vậy tọa độ của. c) Ta có là trọng tâm tam giác suy ra:. Vậy tọa độ của. Nhận xét 3.2: Với bài toán 3.3 ta thấy, việc sử dụng cách 2 cũng không hẳn tối ưu hơn cách 1, ở đây chưa kể là câu a giải bằng phương pháp trong mặt phẳng phức càng làm cho bài toán phức tạp hơn. Cách giải thứ 2 sẽ tối ưu hơn đối với những bài toán phức. b) Chứng minh các tam giác và có cùng trọng tâm. a) Xét trong mặt phẳng phức.
(Ứng dụng trong mặt phẳng phức) Xét hệ tọa độ phức sao cho là điểm gốc trùng với gốc tọa độ. (Giải theo phương pháp hệ thức lượng thông thường) Gọi là tâm hình bình hành. Chọn mặt phẳng phức có gốc tọa độ trùng với giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.
Nhận xét 3.3: Ở cách 1 cho ta lời giải ngắn, gọn, đẹp nhưng cần áp công thức trung tuyến linh hoạt vào các tam giác. Ngược lại cách giải thứ 2 ta chỉ cần tính toán: nhân biểu thức và rút gọn, nhưng mặt trái của phương pháp này là tính toán dài dòng.
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên cạnh ; là điểm đối xứng của qua , là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng. Phương trình đường thẳng đi qua nhận ⃗⃗ làm vectơ chỉ phương (Đường trung trực của ). Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh tương ứng với các điểm.
Kẻ đường thẳng song song với hai đáy, lần lượt cắt các cạnh bên tại và , cắt các đường chéo tại và. Đường thẳng qua và song song với đáy của hình thang cắt và lần lượt tại và. Chọn hệ tọa độ vuông góc với gốc tại và chiều dương của trục hoành là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và.
Chứng minh rằng độ dài đoạn không phụ thuộc vào vị trí của trên đường tròn.