bài tập về nhà toán rời rạc và ứng dụng

2 Tính tổng các ước số của số nguyên dương n.3 Viết giải thuật đệ quy cho bài toán tìm số Fibonaci Fn=Fn-1+ Fn-2 4 Viết giải thuật đệ quy cho Bài toán tháp Hà Nội chuyển n đĩa từ cột A s

ĐẠI HỌC DUY TÂN TRƯỜNG KHOA HỌC MÁY TÍNH KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN



BÀI TẬP VỀ NHÀ

MÔN: TOÁN RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN : NGUYỄN MINH NHẬT SINH VIÊN THỰC HIỆN : Nguyễn Hữu Thắng

ĐÀ NẴNG, 01/2024 CHƯƠNG 1

TẬP HỢP VÀ LOGIC MỆNH ĐỀ

1 Cho hai tập hợp sau có bằng nhau không:

a A = {1,1,2,3} và B = {1,3,2,3}

b C = {1,{3,2},3} và D = {{1,3},2,3}

a Bằng nhau

b Không bằng nhau Vì {3,2} không có trong D

2 Hai mệnh đề sau có tương nhau hay không?

a (p  q  p) và p  p  q ( )

b p ↔ q và (p q) ˄  ( p  ˄  q)

a

b

3 Chứng minh các mệnh đề kéo theo sau là hằng đúng.

a (p q) → p ˄

b p → (p q)

c p → (p → q)

d (p → q) → q 

4 Chứng minh các cặp biểu thức sau tương đương logic:

a p ↔ q và p ↔ q 

b p ↔ q và (p q)  

c (p ↔ q) và p ↔ q 

5 Lập bảng giá trị chân lí đối với các mệnh đề phức hợp sau:

a (p   q) → q

b (q ) → ( )  p p  q

c (q ) ↔ (  p  q →  p)

d (p → q) → ( → p q )

6 Tìm đầu ra của mạch tích hợp sau:

Nếu p=1, q=0 thì tín hiệu đầu ra là bao nhiêu?

7 Cho mạch tích hơp sau:

Nếu p=0, q=1 thì tín hiệu đầu ra là bao nhiêu?

8 Lớp MTH254G, có 3 chàng trai tên là: Hiếu, Lộc, Trình Mỗi người được phép yêu 1 cô bạn gái 3 cô gái này có tên là:Lan, Huệ, Hồng Ba mệnh đề sau đây chỉ có một mệnh đề đúng:

a Hiếu yêu Hồng;

b Lộc không yêu Hồng

c Trình không yêu Huệ

Cho biết Hiếu, Lộc, Trình đã yêu các cô bạn có tên là gì?

II.1 ĐỆ QUY

1) Hãy viết mỗi yêu cầu sau bằng giải thuật đệ qui:

a Tính tổng S = 1 – 1/2 + 1/3 -1/4 + +(-1) 1/nn+1

b Tính S= 1 + 3 + 5 + + (2k+1) với (2k+1) ≤ n

c Đổi số n hệ 10 sang hệ nhị phân (chỉ sử dụng đệ qui)

d Tìm số đảo ngược 1 số nguyên dương

e Tìm ước số chung lớn nhất của 2 số nguyên A và B

f Tính tổng S= 1/2 +2/3+ 3/4 + + n/ n+1

g Tính tổng S= 1/2+ 1/2.3 +1/3.4 + + 1/n(n+1)

h Tìm chữ số lớn nhất của số nguyên dương n

2) Tính tổng các ước số của số nguyên dương n.

3) Viết giải thuật đệ quy cho bài toán tìm số Fibonaci F(n)=F(n-1)+ F(n-2) 4) Viết giải thuật đệ quy cho Bài toán tháp Hà Nội chuyển n đĩa từ cột A sang cột C với cột B làm trung gian

II.2 TẬP HỢP

1 Viết chương trình tính lực lượng của một tập hợp

2 Viết chương trình kiểm tra 2 tập A, B có bằng nhau không

3 Gợi ý: Sử dụng mảng, sắp xếp trước khi tính

4 Viết chương trình tính hợp, giao, hiệu và tích Descartes của 2 tập A, B

5 Gợi ý:

6 Sử dụng mảng, sắp xếp trước khi tính Sử dụng cấu trúc switch … case

7 Giải quyết bài 4 với cấu trúc danh sách liên kết (đơn, đôi) // không làm

8 Viết chương trình tính hợp, giao, hiệu và tích Descartes của 3 tập A, B, C

9 Gợi ý: Sử dụng nguyên lý bù trừ

10 Viết chương trình kiểm tra 1 phần tử x có trong tập hợp A không?

11 Viết chương trình thêm phần tử x vào tập hợp A

12 Tìm phần tử bé nhất, lớn nhất trong tập hợp A

13 Chú ý: Sử dụng cấu trúc switch … case để thực hiện các bài 5, 6 và 7

CHƯƠNG 2

ĐỘ PHỨC TẠP THUẬT TOÁN

I BÀI TẬP

1 Đưa ra ước tính big-O cho số lượng phép toán (trong đó phép toán là phép cộng hoặc phép nhân) được sử dụng trong đoạn chương trình sau

t := 0 O(1)

for := 1 to 3 O(3*4) i

t := + ij t

2 Tính độ phức tạp của các chương trình sau:

a s = 0;

for (i=0; i<=n;i++){

p =1;

for (j=1;j<=i;j++)

p=p * x / j;

s = s+p;

}

b.

s = 1; p = 1;

for (i=1;i<=n;i++) {

p = p * x / i;

s = s + p;

}

c

for (i= 1;i<=n;i++)

for (j= 1;j<=n;j++)

//Lệnh

d.

for (i= 1;i<=n;i++)

for (j= 1;j<=m;j++)

//Lệnh

e.

for (i= 1;i<=n;i++)

//lệnh1

for (j= 1;j<=m;j++)

//lệnh 2

for (i= 1;i<=n;i++) {

for (u= 1;u<=m;u++)

for (v= 1;v<=n;v++)

//lệnh

for j:= 1 to x do

for k:= 1 to z do

//lệnh

}

f.

for (i= 1;i<=n;i++)

for (j= 1;j<=m;j++) {

for (k= 1;k<=x;k++)

//lệnh for (h= 1;h<=y;h++)

//lệnh }

g.

for (i= 1;i<=n;i++)

for (u= 1;u<= m;u++)

for (v= 1;v<=n;v++)

//lệnh ; for (j= 1;j<=x;j++)

for (k= 1;k<=z;k++)

//lệnh; h.

if (m<n) p = m; else p =n;

for (i=0;i<=p;i++)

c[i]=a[i] + b[i];

if (p<m)

for (i=p+1;i<=m;i++) c[i] = a[i];

else

for (i=p+1;i<=n;i++) c[i] = b[i];

while (p>0 && c[p] = 0) p = p-1;

i.

p = m+n;

for (i=0;i<=p;i++) c[i] = 0;

for (i=0;i<=m;i++)

for (j=0;j<=n;j++)

c[i+j] = c[i+j] + a[i] + b[j];

3 Sắp xếp theo chiều tăng của độ phức tạp, các độ phức tạp đặt trên

cùng hàng là tương đương

2n, 3n , n!

II THỰC HÀNH

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐẾM

I BÀI TẬP

II THỰC HÀNH

CHƯƠNG 4 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ - HỆ THỨC TRUY HỒI

I BÀI TẬP

Bài 1: Sử dụng phương pháp lặp để tính trong các hệ thức truy hồi sau:an

a a n = 3a n-1; a0 = 2, > 0 n

b a n = 3a n-1 – 2a n-2; a0 = 1, a1 = 3, > 1n

Bài 2: Sử dụng phương pháp lập phương trình tìm nghiệm của các HTTH sau:

a an = 3a n-1 ; a0 = 2, n > 0

b a n = 3a n-1 – 2a n-2; a0 = 1, a1 = 3, > 1n

Bài 3: Sử dụng phương pháp lập phương trình tìm nghiệm của các HTTH sau:

a a n = 4a n-1 – 4a n-2; a0 = 1, a1 =p – 1, > 1n

b an = 6a n-1 – 11a n-2 + 6a n-3 ; a0 = 2, a1 = 5, a2 = 15, n > 2

Bài 4: Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài không chứa hai bit 0 kề nhau (tức là không n

chứa mẫu 00)?

Bài 5: Sử dụng phương pháp lập phương trình tìm nghiệm của các HTTH sau:

a a n = a n-1 – a n-2; a0 = 1, a1 = 0, > 1n

b a n = 3a n-1 – 3a n-2+ 2a n-3; a0 = 1, a1 = 0, a2 = 2, > 2n

Bài 6: Giả sử dân số thế giới năm 2022 là 8 tỉ người và tốc độ tăng dân số là 0,2% mỗi

năm

 Lập hệ thức truy hồi cho dân số thế giới n năm sau năm 2022

 Giải hệ thức truy hồi cho dân số thế giới n năm sau năm 2022

 Dân số thế giới năm 2030 là bao nhiêu?

 Viết hàm A(n) để tính kết quả

Bài 1: Công thức nào sau đây có thể tạo ra chuỗi 5, 9, 13, 17, 21,

A an = 2n + 1

B an = 4n + 1

C an = 4n + 3

D an = 4n - 1

Câu 2: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?x + y + z = 11

A 33

B 78

C 190

D A, B, C đều sai

Câu 3: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1 000 000

a) Chia hết cho 2, 3 hoặc 5?

b) Không chia hết cho 7, 11 hoặc 13?

c) Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 7?

Câu 4: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình + + = 30, trong các trường hợp x y z

sau:

1) x >1, y>2, z>3

2) x<5, y 0, z  0

3) x <3, y<5, z 0

4) x <8, y<17, z<10

5) x <10, y<11, z<16

6) x >5, y<12, z<15

Câu 4: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình + + < 10, trong các trường hợp x y z

sau:

1) x > 1, y > 4, z 0. 2) x > 1, y > 2, z > 3

3) x < 5, y 0, z 0.  4) x < 3, y < 5, z 0.

5) x < 2, y < 7, z < 4 6) x < 3, y >1, z > 6

7) x > 5, y < 2, z < 5 8) x < 3, y > 1, z > 7

Bài 4: Có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm của bất phương trình: + > 3, trong x y

các trường hợp sau: < 5, < 6.x y

II THỰC HÀNH

CHƯƠNG 5 BÀI TOÁN TỒN TẠI – BÀI TOÁN LIỆT KÊ

CHƯƠNG 3

HỆ THỨC TRUY HỒI

1) Một người gởi ngân hàng một số tiền ban đầu P =10.000 USD, lãi suất ngân hàng0

là 7%, hỏi sau n năm người đó có được số tiền trong tài khoản là bao nhiêu? (n nhập từ bàn phím)

2) Cho các dãy số thỏa mãn hệ thức truy hồi sau đây, hãy viết chương trình A(n) để tính giá trị của hệ thức (n nhập từ bàn phím):

a an = 2 a ,n 1 a = 3.n-1  0

b an = 5a – 6a , n 2, a = 1, a = 0n-1 n-2  0 1

c an = 4a , n 2, a = 0, a = 4n-2  0 1

3) Giả sử dân số thế giới năm 2004 là 8 tỉ người và tốc độ tăng dân số là 0,2% mỗi năm

a Lập hệ thức truy hồi cho dân số thế giới n năm sau năm 2004.

b Giải hệ thức truy hồi cho dân số thế giới n năm sau năm 2004

c Dân số thế giới năm 2020 là bao nhiêu ?

d Viết hàm A(n) để tính kết quả

4) Cho dãy số {a } thoả mãn hệ thức truy hồi: a = 5a - 6a ; a =0 và an n n-1 n-2 0 1=1

a Giải hệ thức truy hồi trên

b Viết hàm A(n) để tính a n

5) Cho dãy số {a } thoả mãn hệ thức truy hồi: a = 6a - 9a ; a =1 và an n n-1 n-2 0 1=3

a Giải hệ thức truy hồi trên

b Viết hàm A(n) để tính a n

6) Xây dựng hệ thức truy hồi và cài đặt thuật tóan đệ quy cho các yêu cầu sau:

a Tìm số xâu nhị phân độ dài bằng 3 không có ba số 1 liền nhau

b Giả sử số vi trùng trong một quần thể sẽ tăng gấp 3 lần sau mỗi giờ Lập hệ thức truy hồi tính số vi trùng sau n giờ

c Giả sử rằng mỗi cặp thỏ trên đảo khi được 1 tháng tuổi đẻ được 2 cặp thỏ con và

từ 2 tháng tuổi mỗi tháng đẻ được 6 cặp thỏ con Giả sử rằng trong thời gian thí nghiệm không có con nào bị chết hoặc rời khỏi đảo.Tìm hệ thức truy hồi cho số cặp thỏ trên đảo sau n tháng kể từ khi thả 1 cặp thỏ mới sinh lên đảo

d Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài n và không chứa 2 bít 0 liên tiếp

CHƯƠNG 4 BÀI TOÁN ĐẾM VÀ LIỆT KÊ

CHƯƠNG 5

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ III BÀI TẬP

IV THỰC HÀNH