đề tài khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Khái niệm Một giả thiết quan trọng trong mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là các yếu tố nhiễu Ui xuất hiện trong hàm hồi quy tổng thể có phương sai không thay đổi; tức là chúng có cùn

Đề tài : Khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

I Giới Thiệu

1 Khái niệm

Một giả thiết quan trọng trong mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là các yếu tố nhiễu

Ui xuất hiện trong hàm hồi quy tổng thể có phương sai không thay đổi; tức là chúng

có cùng phương sai Nếu giả thiết này không được thỏa mãn thì có sự hiện diện củaphương sai thay đổi Phương sai thay đổi còn gọi là phương sai của sai số thay đổi.Khi giả thiết Var(Ui) = σ2 ∀i bị vi phạm, tức là

Var(Ui) = σ2 và tồn tại i = j sao cho σi2 ≠ σ2j

- Xét ví dụ mô hình hồi quy 2 biến trong đó biến phụ thuộc Y là tiết kiệm của hộgia đình và biến phụ thuộc X là thu nhập khả dụng của hộ gia định

Hình 1 (a) Phương sai của sai số không đổi và (b) Phương sai của sai số thay đổi

- Hình (a) cho thấy tiết kiệm trung bình có khuynh hướng tăng theo thu nhập.Tuy nhiên mức độ dao động giữa tiết kiệm của từng hộ gia đình so với mức tiếtkiệm trung bình không thay đổi tại mọi mức thu nhập Đây là trường hợp củaphương sai sai số ( nhiễu) không đổi, hay phương sai bằng nhau

E(Ui2) = σ2

- Hình (b) cho thấy mức độ dao động giữa tiết kiệm của từng hộ gia đình so vớimức tiết kiệm trung bình thay đổi theo thu nhập Đây là trường hợp phương saicủa sai số thay đổi

E(Ui2) = σi2

2 Nguyên nhân

Phương sai thay đổi có thể do một trong số nguyên nhân sau:

- Do bản chất của các mối liên hệ kinh tế: có nhiều mối quan hệ kinh tế đã chứađựng hiện tượng này Chẳng hạn mối quan hệ giữa thua nhập và tiết kiệm,thông thường thu nhập tăng thì mức độ biến động của tiết kiệm cũng tăng.

- Do kỹ thuật thu nhập số liệu được cải tiến, σ2 dường như giảm Kỹ thuật thuthập số liệu càng được cải tiến sai lầm phạm phải càng ít hơn

- Do con người học được hành vi trong quá khứ Chẳng hạn, lỗi của người đánhmáy càng ít nếu thời gian thực hành càng tăng

- Phương sai của sai số thay đổi cũng xuất hiện khi có các quan sát ngoại lai.Quan sát ngoại lai là các quan sát khác biệt rất nhiều (quá nhỏ hoặc quá lớn)với các quan sát khác trong mẫu Việc đưa vào hay loại bỏ các quan sát này ảnhhưởng rất lớn đến phân tích hổi quy

- Một nguyên nhân khác là mô hình định dạng sai Có thể do bỏ sót biến thíchhợp hoặc dạng giải tích của hàm là sai

Dùng đồ thị e i ,|e i|hoặc e i2theo một biến giải thích X ihay theo ^Y i để đánh giá và nếu với

có thể nói mô hình xảy ra hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Hình 2 Đồ thị của phần dư

2 Kiểm định Park

- Kiểm định Park dựa trên cơ sở giả định rằng phương sai nhiễu thay đổi dướidạng hàm lũy thừa của biến giải thích X:

 σ i2: một hàm số nào đó của biến giải thích X

 V i: phần sai số ngẫu nhiên

 e i2: được thu thập từ mô hình hồi quy gốc

- Kiểm định Park gồm các bước sau:

Bước 2: Ước lượng hồi quy:

ln e i2= β1 + β2ln X i+ V i

Nếu có nhiều biến giải thích thì ước lượng hồi quy này với từng biến giải thích hoặcvới ^Y i

ln e i2= β1 + β2ln X i+ V i

Bước 3: Kiểm định giả thiết H0: β2 = 0

Nếu giả thuyết H0bị bác bỏ thì kết luận có phương sai của sai số thay đổi

3 Kiểm định Glejser

Glejser giả thiết rằng việc hồi quy giá trị tuyệt đối của ei theo biến giải thích XJ cũng

có thể kết luận về khuyết tật trong MH Glejser đưa ra một số dạng MH sau:

|E i|=α1+α2x i +v i |E i|=α1+a2⋅√x i +v i

|E i|=α1+α2x1

i +vi |E i|=α1+α2⋅ 1

√x i +v i

Bước 2 Ước lượng các hệ số trong MHHQ Gleijer

Bước 3 Kiểm định giả thuyết

{H0: α2=0

H1:α2≠ 0  {H 0: Phương sai sai số khôngđổi

H 1 : Phương sai sai số thay đổi

Nếu bác bỏ H0 kết luận mô hình có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

4 Kiểm định White

không phân phối chuẩn

lập, bình phuonge các biến độc lập và tích chéo các biến độc lập => MH có phươngsai sai số không đổi

Để đơn giản khi tiến hành hồi quy, xét mô hình:

y i =β1+β2x 2i + β3x 3i +u i

Bước 2 Hồi quy mô hình phụ

e i2=α1+α2x 2i +α3x 3i +α4x2ⅈ2 +α5x3 ⅈ2 +α6x 2i ⋅ x 3i +v i

Trong đó v i là sai số ngẫunhiên

Bước 3 Kiểm định giả thuyết

{H 0: α2=α3=α4=α5=α6=0

H 1:∃ít nhất 1hệ số α j ≠ 0

{H 0: Phương sai sai số khôngđổi

H 1: Phương sai sai số thay đổi

Tiêu chuẩn kiểm định được chọn là:

x2=n R2 x2(m)

Trong đó: m là số biến thiên giải thích có mặt MH của White

w α={x2: x2>x2(m)}

5.Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc

- Kiểm định này dựa trên giả thiết:

thay đổi

thế Để đơn giản khi tiến hành hồi quy, xét mô hình:

y i =β1+β2x 2i + β3x 3i +u i

Giả sử σ i2=α1+α2[E(y i) ]2

σ i2, [E(y i) ]2

đều chưa biết nên thay thế bởi e i , ^y i2

Bước 1 Hồi quy mô hình gốc để thu được e i , ^y i

Bước 2 Hồi quy mô hình: e i2=α1+α2^y i2+v i

Trong đó vi là sai số ngẫu nhiên

Bước 3 Kiểm định giả thuyết

{H 0: α2=0

H 1:α2≠ 0

{H 0: Phương sai sai số khôngđổi

H 1: Phương sai sai số thay đổi

Nếu bác bỏ H0 kết luận mô hình có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Yi = β1 + β2X i + Ui (1)

Như ta đã biết, đối với phương pháp bình phương nhỏ nhất không có trọng số, ^β1, ^β2

thoả mãn điều kiện: tổng bình phương các phần dư có trọng số đạt cực tiểu, tức là:

Bây giờ ta trở lại trường hợp ước lượng OLS của β2 ở trên là ^β2 Hệ số ^β2 vẫn

là ước lượng tuyến tính không chệch, nhưng không phải là tốt nhất Nguyên nhân là

do giả thuyết phương sai của sai số là không đổi bị vi phạm

Xét mô hình hai biến Yi = β1 + β2X i + Ui Trong đó tất cả các giả thiết của mô hìnhhồi quy tuyến tính cổ điển đều thoả mãn trừ giả thiết phương sai sai số không đổi.Phương trình này có thể viết dưới dạng:

Trong đó ta cũng sử dụng B1¿; B2¿ chỉ các tham số của mô hình đã được biến đổi đểphân biệt với các tham số của ước lượng bình phương nhỏ nhất thông thường β1, β2

Xét sai số ngẫu nhiêu U i¿

Ta có: var(U i¿) = E(Ui¿) 2= σ1

i

2E(U i¿) = σ i2

σ i2 = 1 ( do E(Ui¿) 2= σi2)Vậy U i¿

có phương sai không đổi

Do đó chúng ta có thể áp dụng phương pháp OLS cho mô hình hồi quy (6) và đượcgọi là phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát Tìm được các hệ số hồi quy: ^β1¿=

2.Trường hợp đã biết σi

X é t mô hình2biế n:Y i =β1+β2X i+ ¿U i(1) ¿

Với mỗi i , chia cả hai vế của phương trình trên cho σ i(σ i>0), ta được:

Khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Như vậy tất cả giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính được thỏa mãn đối với (2),vậy ta có thể áp dụng phương pháp bpnn cho (2) hay nói cách khác ta sẽ sử dụngphương pháp bpnn có trọng số:

W i= 1

σ2(∀ i)(σ2 >0)

Khi đó, các ước lượng β¿

1v à β¿

3.Trường hợp chưa biết σi

a, Giả thiết 1: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của biến giải thích

E(U i2)=δ2X i2Chia cả hai vế của mô hình gốc cho X i

1v à β¿

2

là các ước lượng bình phương nhỏ nhất có trọng số

b, Giả thuyết 2: Phương sai của sai số tỷ lệ với biến giải thích

Như vậy phương trình trên không còn hiện tượng phương sai thay đổi, có thể áp dụngphương pháp bpnn có trọng số:

W i= 1

X i (∀i)(σ i2>0)

Để tìm ra các ước lượng β¿

1v à β¿

c, Giả thiết 3: Phương sai của sai số tỷ lệ với bình phương giá trị trung bình của

Tuy nhiên, do E(Y i) chưa biết (vì β¿

1 v à β¿

của chúng là và phượng trình sẽ được viết lại là:

Khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

d) Giả thiết 4: Hàm hạng sai

việc ước lượng hồi quy gốc ta có thể ước lượng hồi quy:

30 22.52000 29.00000 4.000000

Lập hàm hồi quy mẫu Ŷ = β1+β2*X+β3*Z

Nhập số liệu vào eview và chạy ta được bảng kết quả sau:

tính phần dư e:

Và tính ước lượng Ŷ

Tạo biến e2= e^2

Kiểm định WHITE không tích chéo

C1 = 1/YF

X2 = X/YF

X3 = Z/YF

Lập hàm hồi quy mẫu Ŷ1 = β1*C1+β2*X2+β3*X3

Ta có phần dư e1 của hàm mới

Và ước lượng Ŷ1

Kiểm định White không tích chéo

IV Kết Luận

- Tổng kết về tác động và hiệu quả của các phương pháp trên trong việc khắc phụchiện tượng Phương sai sai số thay đổi

Như vậy

- Mô hình kiểm định phù hợp với lý thuyết kinh tế

- Mô hình phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi và đã khắc phục nó

- Có nhiều phương pháp khác trong việc khắc phục hiện tượng phương sai sai số thayđổi , mỗi phương pháp có một hạn chế nhất định Vì vậy khi áp dụng một phươngpháp nào thì ta cần cân nhắc kĩ để mang lại hiệu quả đáng tin cậy nhất

- Thảo luận về những phương pháp tiềm năng khác hoặc hướng nghiên cứu sắp tới

Ta có thể sử dụng phương pháp phân tích tương quan

Phân tích tương quan giữa các biến có thể giúp xác định mối liên quan giữa chúng vàtìm ra các biến độc lập để giải thích phương sai Bằng cách loại bỏ các biến không liênquan hoặc tạo ra các phương trình tuyến tính mới, phân tích tương quan có thể giảmthiểu sự biến đổi không cần thiết

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng không có phương pháp duy nhất phù hợp cho tất cả các tìnhhuống Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phải dựa trên bối cảnh cụ thể và mục tiêunghiên cứu

Do năng lực của mỗi thành viên trong nhóm còn vô cùng hạn chế nên không thể tránhkhỏi những thiếu sót không đáng có , rất mong nhận được những đóng góp , ý kiếncủa thầy cô giáo cùng các bạn để bài làm của chúng tôi được hoàn thiện đầy đủ vàchính xác hơn