Kinh Tế - Quản Lý - Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Công nghệ thông tin ................................... HẾ T ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Vũ Thị Thu Giang Phan Quang Sáng KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 11 Ngày thi: 20082019 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (4.0 điểm) Cho ma trận1 0 1 2 1 0 1 1 2 A . 1. (1.5đ) Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trậnA bằng cách sử dụng ma trậ n phụ hợp. 2. (1.0đ) Tìm ma trậnX sao cho2AXA I , trong đóI là ma trận đơn vị cấp 3 (gợi ý: sử dụng ma trận nghịch đảo tìm được từ ý 1). 3. (1.5đ) Chứng minh rằng1 là một giá trị riêng của ma trậnA . Tìm các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng1 . Câu II (3.5 điểm) Trong không gian véctơ4 cho tập hợp 4 , , , 2 0 .H x y z t y t 1) (1.0đ) Chứng minh rằngH là một không gian véctơ con của4 . 2) (1.5đ) Tìm một cơ sởU củaH , và tính số chiều của không gianH . 3) (1.0đ) Chứng minh rằng véctơ 4;2; 1;1u thuộcH và tìm tọa độ củau trong cơ sởU vừa tìm được ở ý 2. Câu III (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính3 3 :f xác định bởi 3 , , , ; ; .u x y z f u y z x z x y 1) (1.0đ) Tìm Ker f . 2) (1.5đ) Tìm ma trận của ánh xạf trong cơ sở 1 2 3(1,0,0), (1,0,1), (1,1,1)U u u u của3 . ................................... HẾ T ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Vũ Thị Thu Giang Phan Quang Sáng KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 12 Ngày thi: 20082019 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (4.0 điểm) Cho ma trận1 2 1 0 1 1 1 0 2 A . 1. (1.5đ) Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trậnA bằng cách sử dụng ma trậ n phụ hợp. 2. (1.0đ) Tìm ma trậnX sao cho2AXA I , trong đóI là ma trận đơn vị cấp 3 (gợi ý: sử dụng ma trận nghịch đảo tìm được từ ý 1). 3. (1.5đ) Chứng minh rằng1 là một giá trị riêng của ma trậnA . Tìm các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng1 . Câu II (3.5 điểm) Trong không gian véctơ4 cho tập hợp 4 , , , 3 0 .H x y z t y t 1) (1.0đ) Chứng minh rằngH là một không gian véctơ con của4 . 2) (1.5đ) Tìm một cơ sởU củaH , và tính số chiều của không gianH . 3) (1.0đ) Chứng minh rằng véctơ 4;3; 1;1u thuộcH và tìm tọa độ củau trong cơ sởU vừa tìm được ở ý 2. Câu III (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính3 3 :f xác định bởi 3 ; ; , ; ;u x y z f u y z x z x y . 1) (1.0đ) Tìm( )Ker f . 2) (1.5đ) Tìm ma trận của ánh xạf trong cơ sở 1 2 3(1,0,1), (1,0,0), (1,1,1)U u u u của3 . ................................... HẾ T ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Nguyễn Hà Thanh Vũ Thu Giang KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 02 Ngày thi: 25082019 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (2.5 điểm) Cho các ma tr n:1 2 0 3 6 1 3 1 1 , 2 2 0 2 1 A B m . 1) (1.0đ) Tính. t A B theom . 2) (1.5đ) Tìm tất cả các giá trị của m để ma tr n A khả nghịch. Khi đó hãy tìm phần tử nằm ở hàng 1, cột 2 của ma tr n nghịch đảo của ma tr nA . Câu II (1.5 điểm) Giải hệ phương trình4 2 2 3 1 3 x y z t x y z x z t . Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vec tơ4 cho t p hợp 4 , , , 2 3 4 0W x y z t x y z t . 1) (1.0đ) Chứng minh rằngW là một không gian véc tơ con của4 . 2) (1.5đ) Tìm một cơ sở củaW . Câu IV (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính 3 2 : , , 2 ,6 3 f u x y z f u x z y x 1) (1.0đ) Tìm hạt nhân của ánh xạ tuyến tínhf . 2) (1.5đ) Tìm ma tr n củaf trong cơ sở chính tắc của3 và cơ sở 1 2(2,0); (1, 2)S v v của2 . Câu V (1.0 điểm) Trong không gian véctơ 3 chiều,V cho cơ sở 1 2 3, ,U u u u và hệ véctơ 1 2 3, ,S v v v trong đó1 1 2 2 1 2 3 3 2 3, , 3v u u v u u u v u u . Chứng minh rằng hệ véctơS là một cơ sở của.V ................................... HẾ T ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Nguyễn Hà Thanh Vũ Thu Giang KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 03 Ngày thi: 25082019 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (2.5 điểm) Cho c c ma tr n:1 2 1 3 8 2 0 3 1 , 0 2 2 1 4 A B m . 1) (1.0đ) Tính. t B A theom . 2) (1.5đ) Tìm tất cả các giá trị của m để ma tr n A khả nghịch. Khi đó hãy tìm phần tử nằm ở hàng 2, cột 1 của ma tr n nghịch đảo của ma tr nA . Câu II (1.5 điểm) Giải hệ phương trình4 3 3 2 2 1 2 9 11 x y z t x y z x y z t . Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vec tơ4 cho t p hợp 4 , , , 3 2 5 0W x y z t x y z t . 1) (1.0đ) Chứng minh rằngW là một không gian véc tơ con của4 . 2) (1.5đ) Tìm một cơ sở củaW . Câu IV (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính 3 2 : , , 2 , 2 4 f u x y z f u z x y z 1) (1.0đ) Tìm hạt nhân của ánh xạ tuyến tínhf . 2) (1.5đ) Tìm ma tr n củaf trong cơ sở chính tắc của3 và cơ sở 1 2(2,0); (1, 2)S v v của2 . Câu V (1.0 điểm) Trong không gian véctơ 3 chiềuV , cho cơ sở 1 2 3, ,U u u u và hệ véctơ 1 2 3, ,S v v v trong đó1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3, , 3v u u v u u u v u u u . Chứng minh rằng hệ véctơS là một cơ sở của.V KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 11 Ngày thi: 26082019 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (3.0 điểm) Cho các ma trận4 3 1 0 A ,2 4 1 3 B . a) (1.5đ) Tìm ma trậnX sao cho2 2A X B . b) (1.5đ) Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trậnA. Câu II (2.0 điểm) Cho hệ phương trình2 1 3 3 2 2 2 2 1 x y z t x y z t x y z mt . a) (1.0đ) Với giá trị nào củam thì hệ trên có nghiệm? b) (1.0đ) Giải hệ trên khi1m (gợi ý: có thể sử dụng kết quả biến đổi ở ý a). Câu III (2.0 điểm) Trong không gian vectơ3 cho hệ vectơ 1 2 31 2 2 0 3 2 2 1 0U u ( , , ); u ( , , ); u ( , , ) . a) (0.75đ) Chứng minhU là một cơ sở của3 . b) (1.25đ) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sởU sang cơ sở chính tắc của không gian3 . Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ4 2 f : xác định bởi4 u ( x; y; z; t ) ,2f ( u ) ( y z; x y t ). a) (1.0đ) Chứng minh rằngf là một ánh xạ tuyến tính. b) (2.0đ) TìmKer( f ) . Hãy chỉ ra một cơ sở và tính số chiều củaKer( f ) , từ đó suy ra hạng của ánh xạ tuyến tínhf . ................................... HẾT ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Đỗ Thị Huệ Vũ Thu Giang KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đề số: 12 Ngày thi: 26082019 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 75 phút Loại đề thi: Tự luận Câu I (3.0 điểm) Cho các ma trận0 3 1 2 A ,2 3 1 5 B . a) (1.5đ) Tìm ma trậnX sao cho2 2B X A . b) (1.5đ) Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trậnA. Câu II (2.0 điểm) Cho hệ phương trình2 2 3 3 5 2 3 4 x y z t x y z t . x y z mt a) (1.0đ) Với giá trị nào củam thì hệ trên có nghiệm? b) (1.0đ) Giải hệ trên khi3m (gợi ý: có thể sử dụng kết quả biến đổi ở ý a). Câu III (2.0 điểm) Trong không gian vectơ3 cho hệ vectơ 1 2 31 2 2 0 3 2 2 0 2U u ( , , ); u ( , , ); u ( , , ) . a) (0.75đ) Chứng minhU là một cơ sở của3 . b) (1.25đ) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sởU sang cơ sở chính tắc của không gian3 . Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ4 2 f : xác định bởi4 u ( x; y; z; t ) , 3f ( u ) ( x y z; y t ). a) (1.0đ) Chứng minh rằngf là một ánh xạ tuyến tính. b) (2.0đ) TìmKer( f ) . Hãy chỉ ra một cơ sở và tính số chiều củaKer( f ) , từ đó suy ra hạng của ánh xạ tuyến tínhf . ................................... HẾT ................................... Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Đỗ Thị Huệ Vũ Thu Giang KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đáp án đề thi số: 11 ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Đại số tuyến tính Ngày thi: 20082019 Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. Câu Đáp án vắn tắt Điểm Câu I 4.0 đ 11 det 3 0 A A 0.2511 21 31 12 22 32 13 23 33 2 1 1 4 1 2 1 1 1 A A A A A A A A A 0.253 Mt nghịch đảo1 2 1 1 3 3 3 1 4 1 2 . det 3 3 3 1 1 1 3 3 3 A A A 0.5 2 2 1 2 X A 2 2 0 3 4 2 0 3 3 2 2 0 3 3 X 0.52 3 TínhA I ,det( ) 0 A I 1 là giá trị riêng củaA . 0.25 0.25 Gọi t u x y z là véc tơ riêng củaA ứng vớ i giá trị riêng 1. Khi đó A I u . 0.250 0 1 1 1 3 1 1 3 2 2 0 0 0 6 0 0 1 1 1 3 0 0 1 0 0 0 A I 0.2523 0 0 0 x y z x y z z . Vậy 0 , 0. t u x x x 0.25 Câu II 3.5 đ 1 ; ; ; 2 ;2 ; ; , , H x y z t y t x t z t x t z 0.25 1;0;0;0 0;2;0;1 0;0;1;0 , , x t z x t z 0.25 1 2 31;0;0;0 , 0;2;0;1 , 0;0;1;0 Span u u u . 0.25 Suy raH là kgvt con của4 . 0.25 2 Ta có 1 2 31;0;0;0 , 0;2;0;1 , 0;0;1;0 u u u là hệ sinh củaH . 0.5 CM 1 2 31;0;0;0 , 0;2;0;1 , 0;0;1;0 u u u đltt. 0.5 1 2 31;0;0;0 , 0;2;0;1 , 0;0;1;0 u u u là cơ sở củaH 0.25 dim 3 H 0.25 3 Chứng minhu H . 0.5 Ta có1 2 34 u u u u . Tọa độ : 4;1; 1 0.5 Câu III 2.5 đ 1 ker ; ; ; ; ; ; ; ; 0;0;0 f x y z f x y z x y z y z x z x y ; ; z z z z . 0.25 0.25 0.5 2 1 2 30; 1;1 ; 1;0;1 ; 0;0;0 f u f u f u 1 1 1 2 2 3 3 1 2 31, 2, 1 f u c u c u c u c c c Tọa độ của 2f u là 0;1;0 . Tọa độ của 3f u là 0;0;0 . Ma trận1 0 0 2 1 0 1 0 0 A . 0.5 0.253 0.25 GV ra đề: Vũ Thị Thu Giang GV soạn đáp án: Nguyễ n Hà Thanh Duyệt ĐA: Vũ Thị Thu Giang KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN Đáp án đề thi số: 12 ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Đại số tuyến tính Ngày thi: 20082019 Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ ...
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 11 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 20/08/2019 Loại đề thi: Tự luận 10 1 Câu I (4.0 điểm) Cho ma trận A 2 1 0 112 1 (1.5đ) Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A bằng cách sử dụng ma trận phụ hợp 2 (1.0đ) Tìm ma trận X sao cho AXA 2I , trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3 (gợi ý: sử dụng ma trận nghịch đảo tìm được từ ý 1) 3 (1.5đ) Chứng minh rằng 1 là một giá trị riêng của ma trận A Tìm các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1 Câu II (3.5 điểm) Trong không gian véctơ 4 cho tập hợp H x, y, z,t 4 | y 2t 0 1) (1.0đ) Chứng minh rằng H là một không gian véctơ con của 4 2) (1.5đ) Tìm một cơ sở U của H , và tính số chiều của không gian H 3) (1.0đ) Chứng minh rằng véctơ u 4; 2; 1;1 thuộc H và tìm tọa độ của u trong cơ sở U vừa tìm được ở ý 2 Câu III (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3 xác định bởi u x, y, z 3, f u y z;x z; x y 1) (1.0đ) Tìm Ker f 2) (1.5đ) Tìm ma trận của ánh xạ f trong cơ sở U u1 (1,0,0), u2 (1,0,1), u3 (1,1,1) của 3 HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Vũ Thị Thu Giang Phan Quang Sáng KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 12 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 20/08/2019 Loại đề thi: Tự luận 12 1 Câu I (4.0 điểm) Cho ma trận A 0 1 1 10 2 1 (1.5đ) Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A bằng cách sử dụng ma trận phụ hợp 2 (1.0đ) Tìm ma trận X sao cho AXA 2I , trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3 (gợi ý: sử dụng ma trận nghịch đảo tìm được từ ý 1) 3 (1.5đ) Chứng minh rằng 1 là một giá trị riêng của ma trận A Tìm các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1 Câu II (3.5 điểm) Trong không gian véctơ 4 cho tập hợp H x, y, z,t 4 | y 3t 0 1) (1.0đ) Chứng minh rằng H là một không gian véctơ con của 4 2) (1.5đ) Tìm một cơ sở U của H , và tính số chiều của không gian H 3) (1.0đ) Chứng minh rằng véctơ u 4;3; 1;1 thuộc H và tìm tọa độ của u trong cơ sở U vừa tìm được ở ý 2 Câu III (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3 xác định bởi u x; y; z 3, f u y z; x z;x y 1) (1.0đ) Tìm Ker( f ) 2) (1.5đ) Tìm ma trận của ánh xạ f trong cơ sở U u1 (1,0,1), u2 (1,0,0), u3 (1,1,1) của 3 HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Vũ Thị Thu Giang Phan Quang Sáng KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 02 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 25/08/2019 Loại đề thi: Tự luận 1 2 0 Câu I (2.5 điểm) Cho các ma tr n: A 3 1 1 , B 3 6 1 2 2 0 2 1 m 1) (1.0đ) Tính A.Bt theo m 2) (1.5đ) Tìm tất cả các giá trị của m để ma tr n A khả nghịch Khi đó hãy tìm phần tử nằm ở hàng 1, cột 2 của ma tr n nghịch đảo của ma tr n A Câu II (1.5 điểm) Giải hệ phương trình x y 4z t 2 2x y 3z 1 x zt 3 Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vec tơ 4 cho t p hợp W x, y, z,t 4 | x 2y 3z 4t 0 1) (1.0đ) Chứng minh rằng W là một không gian véc tơ con của 4 2) (1.5đ) Tìm một cơ sở của W Câu IV (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f: 3 2 u x, y, z f u x 2z,6y 3x 1) (1.0đ) Tìm hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f 2) (1.5đ) Tìm ma tr n của f trong cơ sở chính tắc của 3 và cơ sở S v1 (2,0);v2 (1, 2) của 2 Câu V (1.0 điểm) Trong không gian véctơ 3 chiều V , cho cơ sở U u1,u2,u3 và hệ véctơ S v1, v2, v3 trong đó v1 u1 u2,v2 u1 u2 u3,v3 3u2 u3 Chứng minh rằng hệ véctơ S là một cơ sở của V HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Nguyễn Hà Thanh Vũ Thu Giang KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 03 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 25/08/2019 Loại đề thi: Tự luận 1 2 1 3 8 2 Câu I (2.5 điểm) Cho c c ma tr n: A 0 3 1 , B m 1 4 0 2 2 1) (1.0đ) Tính B.At theo m 2) (1.5đ) Tìm tất cả các giá trị của m để ma tr n A khả nghịch Khi đó hãy tìm phần tử nằm ở hàng 2, cột 1 của ma tr n nghịch đảo của ma tr n A Câu II (1.5 điểm) Giải hệ phương trình x y 4z t 3 3x 2y 2z 1 x 2 y 9z t 11 Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vec tơ 4 cho t p hợp W x, y, z,t 4 | 3x y 2z 5t 0 1) (1.0đ) Chứng minh rằng W là một không gian véc tơ con của 4 2) (1.5đ) Tìm một cơ sở của W Câu IV (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f: 3 2 u x, y, z f u z 2x, 2y 4z 1) (1.0đ) Tìm hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f 2) (1.5đ) Tìm ma tr n của f trong cơ sở chính tắc của 3 và cơ sở S v1 (2,0);v2 (1, 2) của 2 Câu V (1.0 điểm) Trong không gian véctơ 3 chiều V , cho cơ sở U u1,u2,u3 và hệ véctơ S v1, v2, v3 trong đó v1 u2 u3, v2 u1 u2 u3, v3 3u1 u2 u3 Chứng minh rằng hệ véctơ S là một cơ sở của V HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Nguyễn Hà Thanh Vũ Thu Giang KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 11 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 26/08/2019 Loại đề thi: Tự luận 4 3 2 4 Câu I (3.0 điểm) Cho các ma trận A , B 1 0 1 3 a) (1.5đ) Tìm ma trận X sao cho A2 2X B b) (1.5đ) Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A Câu II (2.0 điểm) Cho hệ phương trình x y 2z t 1 3x y z 3t 2 2x 2 y 2z mt 1 a) (1.0đ) Với giá trị nào của m thì hệ trên có nghiệm? b) (1.0đ) Giải hệ trên khi m 1 (gợi ý: có thể sử dụng kết quả biến đổi ở ý a) Câu III (2.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho hệ vectơ U u1 (1, 2, 2 ); u2 ( 0, 3, 2 ); u3 ( 2, 1, 0 ) a) (0.75đ) Chứng minh U là một cơ sở của 3 b) (1.25đ) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc của không gian 3 Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ f : 4 2 xác định bởi u ( x; y; z; t ) 4 , f ( u ) ( y 2z; x y t ) a) (1.0đ) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính b) (2.0đ) Tìm Ker( f ) Hãy chỉ ra một cơ sở và tính số chiều của Ker( f ), từ đó suy ra hạng của ánh xạ tuyến tính f HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Đỗ Thị Huệ Vũ Thu Giang KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN BỘ MÔN TOÁN Tên Học phần: Đại số tuyến tính Đề số: 12 Thời gian làm bài: 75 phút Ngày thi: 26/08/2019 Loại đề thi: Tự luận 0 3 2 3 Câu I (3.0 điểm) Cho các ma trận A , B 1 2 1 5 a) (1.5đ) Tìm ma trận X sao cho B 2X A2 b) (1.5đ) Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A Câu II (2.0 điểm) Cho hệ phương trình x 2y z t 2 3x y z 3t 5 2x 3y z mt 4 a) (1.0đ) Với giá trị nào của m thì hệ trên có nghiệm? b) (1.0đ) Giải hệ trên khi m 3 (gợi ý: có thể sử dụng kết quả biến đổi ở ý a) Câu III (2.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho hệ vectơ U u1 (1, 2, 2 ); u2 ( 0, 3, 2 ); u3 ( 2, 0, 2 ) a) (0.75đ) Chứng minh U là một cơ sở của 3 b) (1.25đ) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc của không gian 3 Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ f : 4 2 xác định bởi u ( x; y; z; t ) 4 , f ( u ) ( x y z; y 3t ) a) (1.0đ) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính b) (2.0đ) Tìm Ker( f ) Hãy chỉ ra một cơ sở và tính số chiều của Ker( f ), từ đó suy ra hạng của ánh xạ tuyến tính f HẾT Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm + Sinh viên không được sử dụng tài liệu Cán bộ ra đề Duyệt đề Đỗ Thị Huệ Vũ Thu Giang KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC H x; y; z;t y 2t x;2t; z;t x,t, z 0.25 BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN 0.25 x1;0;0;0t 0;2;0;1 z0;0;1;0 x,t, z 0.25 Tên học phần: Đại số tuyến tính 0.25 Đáp án đề thi số: 11 1 Spanu1 1;0;0;0,u2 0;2;0;1,u3 0;0;1;0 0.5 0.5 Ngày thi: 20/08/2019 Suy ra H là kgvt con của 4 0.25 Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm 0.25 *Ta có u1 1;0;0;0,u2 0;2;0;1,u3 0;0;1;0là 0.5 0.5 Câu Đáp án vắn tắt Điểm hệ sinh của H 0.25 0.25 0.25 1 det A 3 0 A1 0.25*3 II Câu CM u1 1;0;0;0,u2 0;2;0;1,u3 0;0;1;0 đltt 0.5 3.5 2 u1 1;0;0;0,u2 0;2;0;1,u3 0;0;1;0 là cơ sở Câu A11 2 A21 1 A31 1 0.5 0.5 đ của H I 2 A12 4 A22 1 A32 2 0.5*2 0.25*3 4.0 0.25 dimH 3 đ A13 1 A23 1 A33 1 0.25 0.25 0.25 3 2 1 3 3 3 1 0.25*2 Chứng minh u H 0.25 3 Ta có u 4u1 u2 u3 Tọa độ : 4;1;1 Mt nghịch đảo A1 1 A* 4 1 2 det A 3 3 3 ker f x; y; z f x; y; z 1 1 1 x; y; z y z;x z; x y 0;0;0 3 3 3 z; z; z z 1 2 0 3 2 f u1 0;1;1; f u2 1;0;1; f u3 0;0;0 Câu f u1 c1u1 c2u2 c3u3 c1 1,c2 2,c3 1 X 2 A12 X 4 2 3 3 0 III 2.5 đ Tọa độ của f u2 là 0;1;0 2 2 0 Tọa độ của f u3 là 0;0;0 3 3 Tính A I , 2 1 0 0 det(A I ) 0 1 là giá trị riêng của A Ma trận A 2 1 0 Gọi u x y zt là véc tơ riêng của A ứng với giá 1 0 0 trị riêng 1 Khi đó A I u GV ra đề: Vũ Thị Thu Giang GV soạn đáp án: Nguyễn Hà Thanh Duyệt ĐA: Vũ Thị Thu Giang 0 0 1 1 1 3 1 1 3 A I 2 2 0 0 0 6 0 0 1 1 1 3 0 0 1 0 0 0 x y 3z 0 x y t Vậy u x x 0 , x 0 z 0 z 0 KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC H x; y; z;t y 3t x;3t; z;t x,t, z 0.25 0.25 BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN 0.25 0.25 Tên học phần: Đại số tuyến tính x1;0;0;0t 0;3;0;1 z0;0;1;0 x,t, z 0.5 Đáp án đề thi số: 12 1 Spanu1 1;0;0;0,u2 0;3;0;1,u3 0;0;1;0 0.5 0.25 Ngày thi: 20/08/2019 0.25 0.5 Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm Suy ra H là kgvt con của 4 0.5 0.25 Câu Đáp án vắn tắt Điểm *Ta có u1 1;0;0;0,u2 0;3;0;1,u3 0;0;1;0 là 0.25 det A 3 0 A1 0.25 0.5 1 A11 2 A21 4 A31 1 0.25*3 hệ sinh của H 0.5 A12 1 A22 1 A32 1 Câu 2 A13 1 A23 2 A33 1 0.5 II Câu CM u1 1;0;0;0,u2 0;3;0;1,u3 0;0;1;0 đltt 0.25*3 I 3.5 2 u1 1;0;0;0,u2 0;3;0;1,u3 0;0;1;0 là cơ sở 4.0 2 4 3 3 3 1 0.5*2 0.25 đ 0.25 đ của H 0.25 3 0.25 dimH 3 0.25*2 Chứng minh u H Mt nghịch đảo A1 1 A* 1 1 1 0.25 det A 3 3 3 3 Ta có u 4u1 u2 u3 Tọa độ : 4;1;1 ker f x; y; z f x; y; z 1 2 1 3 3 3 x; y; z y z; x z;x y 0;0;0 2 3 3 4 2 1 z; z; z z X 2 A12 X 0 2 2 3 3 Câu f u1 1;0;1; f u2 0;1;1; f u3 0;0;0 f u1 c1u1 c2u2 c3u3 c1 1,c2 0,c3 0 III 2.5 đ 2 0 0 Tọa độ của f u2 là 2;1;1 3 Tọa độ của f u3 là 0;0;0 Tính A I , 2 1 2 0 det(A I ) 0 1 là giá trị riêng của A Gọi u x y zt là véc tơ riêng của A ứng với giá Ma trận A 0 1 0 trị riêng 1 Khi đó A I u 0 1 0 0 2 1 1 0 3 GV ra đề: Vũ Thị Thu Giang GV soạn đáp án: Nguyễn Hà Thanh Duyệt ĐA: Vũ Thị Thu Giang A I 0 2 1 0 2 1 1 2 1 0 0 0 x 3z 0 x 6y 2y z 0 z 2y Vậy u 6y y 2yt , y 0 HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC hệ sinh U (2;1;0;0),(3;0;1;0),(4;0;0;1) 0.25 0.5 KHOA CNTT HỌC PHẦN Chứng minh U độc lập tuyến tính, suy ra là cơ sở 0.25 Tên học phần: đại số tuyến tính u (x; y; z) Ker( f ) f (u) 0.25 Thời gian làm bài: 75 phút 0.25 Đề số: 02 Loại đề thi: Không sử dụng tài liệu x 2z 0 0.25 Ngày thi: 25/08/2019 0.5 6y 3x 0 0.25 0.25 Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm 1 x 2z 0.25 0.25 y z Câu Đáp án vắn tắt Điểm 0.25 0.25 u (2z,z,z) 0.5 Viết đúng Bt được 0,25đ IV 0.75 Ker( f ) u 2z,z,z | z 0.25 15 6 0.5 2.5đ 1 ABt 16 8 0.5 2 phần tử đúng đc 0.25đ; f (e1) (1;3), f (e2 ) (0;6), f (e3) (2;0) m 2 1;3 1 v1 3 v2 I det(A) 5m 5 A kn det A 0 m 1 42 2.5đ 2 0;6 3 v1 3v2 2 Với m 1 thì phần tử thuộc hàng 1 cột 2 của ma trận 2 0 2 1 1 m 2m 0.5 2;0 v1 0v2 nghich đảo của A là det A A21 5m 5 5m 5 Ma trận của f : 1 / 4 3 / 2 1 3/2 3 0 1 1 4 1 2 V Xét l1v1 l2v2 l3v3 A 2 1 3 0 1 0.25 1.0đ l1 l2 u1 l1 l2 3l3 u2 l2 l3 u3 0.5 II 1 0 1 1 3 l1 l2 0 1.5đ h22h1h2 1 1 4 1 2 l1 l2 3l3 0 l1 l2 l3 0 l2 l3 0 h3h1h3 0 1 5 2 5 hệ S độc lập tuyến tính 0 1 3 0 5 1 1 4 1 2 mà dimV 3 Vậy hệ vec tơ S là một cơ sở của V h3h1h3 0 1 5 2 5 0.25 0.5 0 0 2 2 0 0.25 0.25 Nghiệm: x 3 (0.25); y 3t 5; z t;t R 0.25 GV ra đề: Nguyễn Hà Thanh GV soạn đáp án : Nguyễn Thùy Dung 0.25 W 0.25 0.5 u v;ku Duyệt đáp án: Vũ Thị Thu Giang III 1 CM u v W 2.5đ CM ku W 2 u W u (2y 3z 4t; y; z;t) u y(2;1;0;0) z(3;0;1;0) t(4;0;0;1) HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC hệ sinh U (1;3;0;0),(0;2;1;0),(0;5;0;1) 0.25 0.5 KHOA CNTT HỌC PHẦN Chứng minh U độc lập tuyến tính, suy ra là cơ sở 0.25 Tên học phần: đại số tuyến tính u (x; y; z) Ker( f ) f (u) 0.25 Thời gian làm bài: 75 phút 0.25 Đề số: 03 Loại đề thi: Không sử dụng tài liệu z 2x 0 0.25 Ngày thi: 25/08/2019 0.5 2y 4z 0 0.25 0.25 Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm 1 z 2x 0.25 0.25 y 4x Câu Đáp án vắn tắt Điểm 0.25 0.25 u (x;4x;2x) 0.5 Viết đúng At được 0,25đ IV 0.75 Ker( f ) u x;4x;2x | x 0.25 1 BAt 17 22 3m 0.5 2.5đ 2 4 6 0.5 2 phần tử đúng đc 0.25đ; f (e1) (2;0), f (e2 ) (0;2), f (e3) (1;4) 0.5 det(A) m 11 2;0 v1 0v2 0.25 I A kn det A 0 m 11 2 0;2 1 v1 v2 0.5 2 2.5đ Với m 11 thì phần tử thuộc hàng 2 cột 1 của ma 0.25 2;0 1 v1 2v2 2 trận nghich đảo của A là 0.5 2 0.25 0 1 0.25 Ma trận của f : 1 1 / 2 1 / 2 0.25 0 1 2 0.25 1 det A A12 m 4 5m 5 m m 11 0.25 0.5 1 1 4 1 3 V Xét l1v1 l2v2 l3v3 A 3 2 2 0 1 1.0đ l2 3l3 u1 l1 l2 l3 u2 l1 l2 l3 u3 II 1 2 9 1 11 l2 3l3 0 1.5đ h23h1h2 1 1 4 1 3 l1 l2 l3 0 l1 l2 l3 0 l1 l2 l3 0 h3h1h3 0 1 10 3 8 hệ S độc lập tuyến tính 0 1 5 2 8 1 1 4 1 3 mà dimV 3 Vậy hệ vec tơ S là một cơ sở của V h3h2h3 0 1 10 3 8 0 0 5 5 0 Nghiệm: x 5 4t (0.25); y 7t 8; z t;t R GV ra đề: Nguyễn Hà Thanh GV soạn đáp án : Nguyễn Thùy Dung S u v;ku Duyệt đáp án: Vũ Thị Thu Giang III 1 CM u v S 2.5đ CM ku S 2 u W u (x;3x 2z 5t; z;t) u x(1;3;0;0) z(0;2;1;0) t(0;5;0;1) KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC Chứng minh U đltt: g/s 1u1 2u2 3u3 BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN 1 23 0 1 0 Tên học phần: Đại số tuyến tính 0.25 a 21 32 3 0 2 0 0.25 Đáp án đề số : 11 0.25 3 0 0.25 (Ngày thi: 26/08/2019) 21 22 0 0.25 Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm Do dim R3 =3= số véc tơ của họ U nên U là cơ sở của R3 0.25 0.25 Câu Đáp án vắn tắt Điểm a 2c 1 a 0.5 0.25 X 1 (B A2); A2 13 12 0.5 gs : (1,0,0) au1 bu2 cu3 2a 3b c 0 I 0.5 0.25 3.0đ 2 4 3 0.25 III 2a 2b 0 0.5 0.25 0.25 b 0.25 11/ 2 4 2.0đ a 1;b 1;c 1 0.25 a 0.25 0.25 II X 3/2 0 b Tương tự (0,1,0) du1 eu2 fu3 d 2;e 2; f 1 2.0đ 0.25 (0,0,1) mu1 nu2 pu3 m 3;n 2,5; p 1,5 0.25 det(A I ) 0 4 3 0 1 1 0.25 b 1 2 3 0.25 1 2 3 0.25 0.25 Ma trận chuyển cơ sở : A 1 2 2,5 3 3 x 0.25 Nếu 1 1 x y 0 x y 0.25 1 1 1,5 0.25 1 1 y 0.25 0.25 Viết đúng u v, ku 0.25 x y 1 0.5 Véc tơ riêng v1 y ( y 0) a Chứng minh đúng f (u v) f (u) f (v) 0.5 f (ku) kf (u) y y 1 1 3 x u (x, y, z,t) Kerf f (u) Nếu 2 3 x 3y 0 x 3y 1 3 y y 2z 0 y 2z x 3y 3 Véc tơ riêng v2 y ( y 0) x y t 0 x 2z t y y 1 y 2z 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 IV Vậy Kerf u (x, y, z,t) | Abs 3 1 1 3 2 0 4 7 6 1 3.0đ x 2z t 2 2 2 m 1 0 4 6 2 m 1 b u Ker( f ) u (2z t, 2z, z,t) 1 1 2 1 1 (2z, 2z, z,0) (t,0,0,t) 0 4 7 6 1 z(2,2,1,0) t(1,0,0,1) 0 0 1 m 4 0 Vậy u1 (2,2,1,0);u2 (1,0,0,1) là hệ sinh của Ker(f) Hai vec tơ u1;u2 không tỷ lệ nên độc lập tuyến tính Do r(A) r(Abs ) 3 4 m Hệ có nghiệm với mọi m Vậy u1;u2 là cơ sở của Ker(f) và dim(Kerf ) 2 x y 2z t 1 dim(Im f ) dim(R4) dim(Kerf ) 4 2 2 r( f ) 2 Với m 1 hệ 4 y 7z 6t 1 Cán bộ ra đề: Đỗ Thị Huệ Duyệt đáp án Cán bộ soạn đáp án Lê Thị Diệu Thùy z 3t 0 Nguyễn Thủy Hằng x 5t / 4 +3/4 y 15t / 4 1/ 4 z 3t;t R KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC x 4t / 7 +13/7 BỘ MÔN TOÁN HỌC PHẦN 0.5 Tên học phần: Đại số tuyến tính y 2t / 7 3 / 7 Đáp án đề số : 12 z t 1; t R (Ngày thi: 26/08/2019 ) Chứng minh U đltt: g/s 1u1 2u2 3u3 Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm 1 23 0 1 0 0.25 a 21 32 0 2 0 Câu Đáp án vắn tắt Điểm 0.25 a 0.5 21 22 23 0 3 0 X 1 (B A2); A2 3 6 0.5 I 2 2 7 0.5 Do dim R3 =3 =số vec tơ của hệ U nên U là cơ sở của R3 0.25 3.0đ 0.25 1/ 2 9 / 2 0.25 a 2c 1 b 0.25 X gs : (1,0,0) au1 bu2 cu3 2a 3b 0 a 3 / 2 1 0.25 0.25 II 2a 2b 2c 0 2.0đ 0.25 III 3 0 1 1 0.25 b det(A I ) 0 2 3 0.25 2.0 a 3;b 2;c 1 0.25 1 2 0.25 1 3 x 0.25 b (0,1,0) du1 eu2 fu3 d 2;e 1; f 1 0.25 Nếu 1 1 x 3y 0 x 3y 0.25 (0,0,1) mu1 nu2 pu3 m 3;n 2; p 1,5 0.25 1 3 y 0.5 x 3y 3 3 2 3 Véc tơ riêng v1 y ( y 0) Ma trận chuyển cơ sở : A 2 1 2 0.25 y y 1 1 1 1,5 3 3 x Nếu 2 3 x y 0 x y Viết đúng u v, ku 1 1 y 0.25 x y 1 a Chứng minh đúng f (u v) f (u) f (v) 0.5 Véc tơ riêng v2 y ( y 0) f (ku) kf (u) 0.25 y y 1 u (x, y, z,t) Kerf f (u) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 Abs 3 1 1 3 5 0 7 4 6 1 x y z 0; y 3t 0 0.25 2 3 1 m 4 0 7 3 2 m 0 x 3t z; y 3t 0.25 y 3t Vậy Kerf u (x, y, z,t) | 0.25 1 2 1 1 2 IV x z 3t 0 7 4 6 1 3.0đ 0 0 1 m 4 1 b u Ker( f ) u (z 3t, 3t, z,t) Ta thấy r(A) r(Abs ) 3 4m (z,0, z,0) (3t, 3t,0,t) 0.25 Hệ luôn có nghiệm với mọi m z(1,0,1,0) t(3, 3,0,1) Vậy u1 (1,0,1,0);u2 (3,3,0,1) là hệ sinh của Kerf 0.25 x 2y z t 2 Hai véc tơ u1;u2 không tỷ lệ nên họ u1;u2 đltt 0.25 Với m 3 hệ 7 y 4z 6t 1 Vậy u1;u2 là cơ sở của Kerf và dim(Kerf ) 2 0.25 zt 1 dim(Im f ) dim(R4) dim(Kerf ) 4 2 2 r( f ) 2 0.25 Cán bộ ra đề: Đỗ Thị Huệ Cán bộ soạn đáp án Nguyễn Thủy Hằng Duyệt đáp án Lê Thị Diệu Thùy