nguyên hàm và tích phân bất định lí thuyết và ứng dụng của đạo hàm phương trình vi phân và ứng dụng

Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích...272.3 Ứng dụng của tích phân trong việc tính thể tích...28IV... Tối ưu hóa lợi nhuậnKhi nuôi cá trong hồ, người nuôi thấy rằng nếu trên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Mục lục

I.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4

1.Cơ sở lý thuyết 4

1.1.Khái ni m:ệ 4

1.2.Phương trình vi phân câấp 1: 4

1.3.Phương trình vi phân câấp 2 v i h sốấ hằằng:ớ ệ 10

1.4.H pt vi phân tuyếấn tính câấp 1:ệ 13

1.3 Đạo hàm của hàm ngược 18

1.4 Đạo hàm của hàm lũy thừa – mũ 18

1.5.Đạo hàm của hàm tham số 19

2.Ứng dụng đạo hàm 19

Ứng dụng 1 Tối ưu hóa lợi nhuận 19

Ứng dụng 2 Tính hệ số co giãn của cung và cầu theo giá 20

Ứng dụng 3 Trong y tế 21

III NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 23

1 Cơ sở lí thuyết của nguyên hàm và tích phân bất định 23

1.1.Nguyên hàm 23

1.2.Tích phân bất định 23

2.Ứng dụng của nguyên hàm và tích phân bất định 26

2.1 Ứng dụng của tích phân trong việc đo chiều dài 26

2.2 Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích 27

2.3 Ứng dụng của tích phân trong việc tính thể tích 28

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

Ví d :ụ

Ta có:

Thay vào phương trình ta được pt vi phân d ng tách biềốnạVí d :ụ

Ta có:

b)Phư ơ ng trình vi phân tuyếấn tính câấp 1: *Phương trình vi phân tuyềốn tính câốp 1 có d ngạ

Nghi m c a phệủương trình này :

Ví d :ụ

Ta có:

c)Phương trình vi phân Bernoulli Phương trình vi phân có d ng:ạ

Ví d :ụ

d)Phương trình đ ng câấp:ẳ Có d ng:ạ

e)Phương trình vi phân toàn phâằn:Phương trình vi phân có d ng :ạ

Ví d :ụ

Ta có:

3.Phương trình vi phân cấp 2 với hệ số hằng:

Phng trình vi phân câốp 2 v i h sốố hằềng là phươớ ệương trình có d ng: ạ

Trong đó A,B,C là hằềng sốố

Nghi m t ng quát c a ptvp câốp 2 là: yệổủ tq=y +yrtn

a)Phương trình thuâằn nhâất (f(x)=0):

-Phương trình thuâền nhâốt là phương trình có d ng:ạ

Nềốu pt đ c tr ng có 2 nghi m ph c liền h p :ặưệứợ

Khi đó nghi m c a pt thuâền nhâốt là :ệủ

b)Phương trình vi phân khống thuâằn nhâất (f(x) ≠ 0): *TH1: f(x)=eαx.P (x)n

*TH2:f(x)=e (P (x).cosβx+Q (x).sinβx)nm

Ví d :ụ

1.4.Hệ pt vi phân tuyến tính cấp 1:

-Dùng phng pháp kh đ a vềề PTVP câốp 2 và gi i nghi mươử ưảệ

2.Ứng Dụng 2.

1 Quy luật làm lạnh của newton:

Gi s ả ửlà nhi t đ ệộ c a v t th t i th i đi m ủậể ạờể t và g i Tọ s là nhi t đ ệ ộ c a mối trủường xung quanh Thì quy lu t làmậ lạnh của Newton se là phương trình vi phân

V i k là hằềng sốố t lớỷ ệ

Ta seẽ gi i pt vi phân trền nh sau:ảư

Gi i s t i th i đi m ban đâều (t=0) thì v t th có nhi t đ là Tả ử ạờểậểệộ 0, ta có

a

Ví dụ :M t ly trà nhi t đ ban đâều là 72ộệ ộ⁰F,đ t trong t l nh có nhi t đ ặủ ạệộ44⁰F Sau n a gi nhi t đ ly trà là 61ửờệ ộ⁰F.Tính nhi t đ c a ly trà sau n a gi ệộ ủửờ

2 Mô hình tăng trưởng:

*Ta ký hi u ệlà sốố l ng c a m t đ i lượủộạ ượng tại th i điờểm t.Nềốu tốốc độ tằng trưởng của sốố lượng t lỷ ệ v i sốố lớượng, thì có phương trình vi phân

Pt trền là phương trình vi phân câốp 1 tách biềốn Gi i pt trền ta đc:ả

V i ớ

-Nềốu ta g i là tằng tr ng theo quy lu t hàm mũ.Nềốu ọưởậ,ta g i làọ phân rã theo quy lu t hàm mũậ.

*Ví d : ụ Trong m t thành phộốố, các nhà dân sốố h c quan sát thâốy rằềng ọ tốốc đ tằng trộưởng của dân sốố thành phốố t lỷ ệ v i cớ ỡ của dân sốố t i ạ m i th i đi m Cách đây hai mọờểươi nằm, dân sốố của thành phốố này là 125000 người Nằm nay, dân sốố của thành phốố này là 140000 người Sau hai mươi nằm, dân sốố của thành phốố này seẽ là bao nhiều?

Gi i: ả

II Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

1 Cơ sở lý thuyết

1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số một biến

Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x Giới hạn (nếu có)0 của tỉ số

Được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 vàđược ký hiệu là f’(x) hay f’(x0).

1.2 Các quy tắt tính đạo hàm

Định lý 1 Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x ) tại điểm x thì hàm số y = 00 cu = cu(x) với c cũng có đạo hàm hữu hạn y’ tại điểm x , lúc này ta có đẳng thức 0

y’= cu’ = cu’(x )0

Định lý 2 Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’ = u’(x) và v’ =

v’(x) tại điểm x X thì tại điểm này hàm số y = u = u(x) v(x) cũng có đạo hàm hữu 0 ∈ hạn y’ tại điểm x , lúc này ta luôn có đẳng thức

Định lý 3 Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’ = u’(x) và v’ =

v’(x) tại điểm x X thì tại điểm này hàm số y = u.v = u(x).v(x) cũng có đạo hàm hữu0∈ hạn y’ tại điểm x , lúc này ta luôn có đẳng thức 0

y’ = u’.v + u.v’ = u’(x0).v(x0) + u(x0).v’(x )0

Định lý 4 Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’ = u’(x) và v’ =

v’(x) tại điểm x X sao cho v(x ) 0 thì tại điểm này hàm số y = 0∈ 0 = cũng có đạo hàm hữa hạn y’ tại điểm x , lúc này ta luôn có đẳng thức 0

Định lý 5 Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x ) tại điểm x còn hàm số y = 00 f(u) có đạo hàm hữu hạn f’(u ) tại điểm tương ứng u = u (x) E(u) khi đó hàm hợp y000 ∈ = f(u) = f(u(x)) sẽ có đạo hàm hữu hạn tại điểm x và luôn có đẳng thức sau:0

1.3 Đạo hàm của hàm ngược

Định lý Cho hàm số y = f(x) tăng (hoặc giảm), liên tục trên khoảng X xác định từ ⊂ khoảng X lên toàn khoảng Y và có đạo hàm hữu hạn f’(x ) tại điểm x Khi đó ⊂ ⊂ 00 hàm ngược x = g(y) = f (y) có đạo hàm hữu hạn tại điểm tương ứng y = f(x ) Y, và -1

luôn có đẳng thức

g’(y )0 = x’(y) =

1.4 Đạo hàm của hàm lũy thừa – mũ

Định nghĩa: cho hàm số u = u(x) > 0 và v = v(x) xác định trên cùng một tập hợp X ⊂ khi đó hàm số y = u = (u(x)) được gọi là hàm lũy thừa mũv v(x)

Định lý: Nếu hàm số u = u(x) > 0 và v = v(x) tại một điểm x có đạo hàm hữu hạn u’=

u’(x) và v = v’(x) thì hàm số y = u = (u(x))vv(x) tại điểm x này cũng có đạo hàm hữu hạn và lúc này ta có đẳng thức

y’ = u ln(u.v’) + v.u u’vv-1

1.5 Đạo hàm của hàm tham số

y’ = u’ ± v’ = u’(x ) ± v’(x )00

=

y’(x0) = f’(u0).u’(x )0

Định lý: Cho hàm số x = x(t), y = (t) xác định lân cận của điểm t Nếu x(t), y(t) có 0 đạo hàm tại t và x’(t ) 0 thì hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = x(t ) và 000 0

(t0) =

2.Ứng dụng đạo hàm

Ứng dụng 1 Tối ưu hóa lợi nhuận

Khi nuôi cá trong hồ, người nuôi thấy rằng nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có x con cá thì trung bình mỗi con có khối lượng là P(x) = 0.4 – 0.02x (kg) Biết mỗi kg cá bán được 25.500vnđ Vậy lợi nhuận lớn nhất sau một vụ thu trên đơn vị diện tích mặt hồ là?

Sau một vụ thu thì khối lượng trung bình của cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ là f(x) = x.P(x) = 0.4x – 0.02x (kg) x (0;+) do có thể nuôi được số lượng cá vô hạn 2 trên một đơn vị diện tích.

Đạo hàm f theo x ta được = 0.4 – 0,04x Cho 0.4 – 0,04x = 0 x = 10 (con)

x 0 10 + (x) 0

(x) 2

Vậy lợi nhuận lớn nhất sau một vụ trên một đơn vị diện tích bề mặt hồ là: 1 25.500vnđ =51.000(vnđ) , khi nuôi 10 con cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ.

Ứng dụng 2 Tính hệ số co giãn của cung và cầu theo giá

Việc tính hệ số co dãn của cầu theo giá chính là việc tính số do lượng thay đổi tính dựa trên % của lượng cầu khi giá tăng 1% Ở đây, ta có hàm cầu Q = D(p), tương ứng D ɛD = Q’ Còn hệ số co giãn của cung theo giá chính là việc tính toán số đo lường thay D đổi tính dựa trên % của lượng cung khi giá tăng 1% Ở đây, ta có hàm cung Q = S(p), S

Ứng dụng 3 Trong y tế

Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được đo bởi công thức G(x) = 0.25x (30-x) 2 trong đó x(mg) và x>0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu?

G(x) 100

Theo bảng biếng thiên G(x) = G(20) = 100

Vậy cần tiêm 20mg thuốc đẻ bệnh nhân giảm huyết áp nhiều nhất.

III NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1 Cơ sở lí thuyết của nguyên hàm và tích phân bất định

1.1.Nguyên hàmĐịnh nghĩa:

Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng X nếu F’(x) = f(x), x X.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng X thì

• Hàm số F(x) + C, với C là một hằng số bất kỳ, cũng là một nguyên hàm của f(x) trên

Đối với tích phân I = , ta có thể đặt x = (t) là hàm đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên

Trong đó u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục

1.2.5 Tích phân của những hàm hữu tỷ* Tích phân của những phân số sơ cấp

* Cách tính tích phân của hàm hữu tỷ

Tích phân có dạng I =, trong đó P (x), Q (x) là các đa thức với hệ số thực bậc n và m nm

Nếu R(− sin cos ) = x, x −R(sin cos ) thì đặt = cos x, x u x Nếu (sin R x, − cos ) = x −R(sin cos ) thì đặt = sin x, x u x Nếu R(− sin x, − cos ) = (sin cos ) thì đặt = tan x R x, x u x Đặt

2.Ứng dụng của nguyên hàm và tích phân bất định

Tích phân là một trong những nội dung khó, có tính trừu tượng cao Tuy nhiên, tích phân lại có những ứng dụng rất cụ thể và hiệu quả trong cuộc sống như đo chiều dài của một đường cong, tính diện tích của một hình phẳng, tính diện tích bề mặt và thể tích của một vật thể2

2.1 Ứng dụng của tích phân trong việc đo chiều dài

Để đo chiều dài của một cung đường, ta có thể dùng tích phân đơn hặc tích phân đường loại một bằng các công thức sau:

VD: Để viền cổ áo đẹp, không bị bai dão hay dúm, chúng ta cần phải tính chính xác được chiều dài đường cổ áo.

Mẫu cổ áo hình tim có hình dạng của parabol Ví dụ khi hạ cổ áo hình tim với chiều cao là 16cm, chiều rộng là 4cm thì đường cổ áo chính là parabol với đơn vị hệ Oxy trục là cm

Để viền cổ chiếc áo này, ta sẽ tính chiều dài cung đường cổ áo từ điểm A tới điểm B

l =

Vậy chiều dài cổ áo xấp xỉ bằng 27,8 cm.

2.2 Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích

Để tính diện tích khối tròn xoay ta sử dụng công thức sau:

VD: Chiếc dù lớn cho hội nghị ngoài trời có dạng mái tròn vòm cong với bán kính là

4m và chiều cao từ mặt phẳng chứa bán kính tới đỉnh dù là 2m.

Ta có thể coi chiếc dù là vật thể tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường và y=0 quay quanh trục Oy với đơn vị hệ trục Oxy là mét.

Tính diện tích vải cần thiết để may một chiếc dù.

Diện tích xung quanh của chiếc dù khi quay nửa phải hình phẳng quanh trục Oy là:

ezplot(f,1,2) grid on

2.3 Ứng dụng của tích phân trong việc tính thể tích

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:

VD: Tính thể tích vật thể tròn xoay, khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị quanh

IV Tài liệu tham khảo

[1] Giáo trình Giải tích 1, Trường Đại học Bách Khoa– Đại học Quốc gia Thành Phố