Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!... Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân.[r]
(1)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tài liệu bài giảng: 07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG Các đẳng thức lượng giác: Công thức góc nhân đôi: sin x + cos x = 1 = + tan x cos x = + cot x sin x tan x.cot x = cos x = cos x − sin x = 2cos x − = − 2sin x sin x = 2sin x.cos x + cos x − cos x sin x = cos x = Công thức hạ bậc hai: Công thức cộng: sin ( a ± b ) = sin a.cos b ± sin b.cos a cos ( a ± b ) = cos a.cos b ∓ sin a.sin b (Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu loài giống nhau) Chú ý: sin 2a = 2sin a.cos a - Trong trường hợp a = b ta công thức góc nhân đôi: 2 2 cos 2a = cos a − sin a = 2cos a − = − 2sin a sin 3a = 3sin a − 4sin a - Trong trường hợp 2a = b ta công thức góc nhân ba: cos3a = 4cos a − 3cos a [cos(a + b) + cos(a − b)] sin a.sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b) ] sin a.cos b = [sin( a + b) + sin(a − b)] cos a.cos b = Công thức biến đổi tích thành tổng: sin ( − x ) = − sin x cos ( − x ) = cos x Chú ý: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn (2) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng a+b a −b cos 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos cos 2 a+b a −b cos a + cos b = 2cos cos 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin sin 2 sin a + sin b = 2sin Công thức biến đổi tổng thành tích: 2t sin x = x sin x 2t 1+ t2 Công thức biến tính theo t = tan ⇒ ⇒ tan x = = 2 cos x − t 1− t cos x = 1+ t2 Một số các công thức cần nhớ nhanh sin x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) ; sin x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x) sin x + cos x = − 2sin x.cos x = − sin 2 x = + cos x 4 sin x + cos6 x = − 3sin x.cos x = − sin 2 x = + cos x 8 π π π π sin x + cos x = sin x + = cos x − ; sin x − cos x = sin x − = − cos x + 4 4 4 4 + tan a.tan b = cos(a − b) ; tan x + cot x = cos a.cos b sin x II CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG I8 = ∫ dx = tan ( ax ) + C cos ( ax ) a I = ∫ sin ( ax ) dx = − cos ( ax ) + C I9 = ∫ dx = − cot x + C sin x I = ∫ cos x dx = sin x + C I10 = ∫ dx = − cot ( ax ) + C sin ( ax ) a I1 = ∫ sin x dx = − cos x + C a a I11 = ∫ tan x dx = ∫ sin x dx = − ln cos x + C cos x − cos2 x x sin x dx = − +C 2 I12 = ∫ cot x dx = ∫ cos x dx = ln sin x + C sin x + cos x x sin x dx = + +C 2 I13 = ∫ tan x dx = ∫ I = ∫ cos ( ax ) dx = sin ( ax ) + C I = ∫ sin x dx = ∫ I = ∫ cos x dx = ∫ I7 = ∫ dx = tan x + C cos x − 1 dx = tan x − x + C cos x − 1 dx = − cot x − x + C sin x I14 = ∫ cot x dx = ∫ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn (3) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng Nguyên hàm dùng công thức lượng giác túy Ví dụ Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin 2 x dx b) I = ∫ cos x dx c) I = ∫ cos x.sin x dx Hướng dẫn giải: a) I1 = ∫ sin 2 x dx = ∫ x 1 − cos x 1 dx = ∫ (1 − cos x ) dx = x − sin x + C = − sin x + C 2 2 b) I = ∫ cos x dx = ∫ + cos8 x 1 x dx = ∫ (1 + cos8 x ) dx = x + sin x + C = + sin x + C 2 2 16 c) Sử dụng liên tiếp các công thức hạ bậc hai cho sin2x và cos2x ta được: cos x.sin x = cos x.( sin x ) = + cos x − cos x + cos x − cos x − cos x − cos 2 x − cos x = = = 2 2 1 = sin 2 x.(1 − cos x ) = sin 2 x − sin 2 x.cos x 8 Khi đó I = ∫ cos x.sin x dx = = 1 1 − cos x sin 2 x dx − ∫ sin 2 x.cos x dx = ∫ dx − ∫ sin 2 x d ( sin x ) = ∫ 8 16 1 sin x 1 x − sin x − + C → I = x − sin x − sin x + C 16 64 16 16 64 48 Ví dụ Tính các nguyên hàm sau: a) I = ∫ sin x.cos x dx b) I8 = ∫ cos x.cos3 x dx c) I = ∫ dx sin 3x + sin x Hướng dẫn giải: a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta sin x.cos x = T đó I = ∫ 1 1 1 ( sin x + sin x ) dx = ∫ ( sin x + sin x ) dx = − cos4x − cos x + C = − cos4 x − cos x + C 2 2 b) I8 = ∫ cos x.cos3x dx = ∫ c) I = ∫ ( sin x + sin x ) 1 1 ( cos5 x + cos x ) dx = sin x + sin x + C = sin x + sin x + C 25 10 dx dx dx sin x dx d (cos x) =∫ =∫ = ∫ =− ∫ 2 sin 3x + sin x 2sin x.cos x 4sin x.cos x sin x.cos x (1 − cos x ) cos x Đặt cos x = t → I9 = − 2 dt (1 − t ) + t dt dt = − dt = − ∫ + ∫ ∫ ∫ 2 2 (1 − t ) t (1 − t ) t 4 t − t dt Mà = − + C1 t 1 1+ t → I = − − + ln dt (1 − t ) + (1 + t ) dt dt 1 + t t 1− t ∫ − t = ∫ (1 − t )(1 + t ) dt = ∫ + t + ∫ − t = ln − t + C2 ∫t + C 1 1 + cos x Thay t = cosx vào ta I = − − + ln + C cos x − cos x Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn (4) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Ví dụ Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x.sin x.cos5 x dx b) I = ∫ sin x.cos x dx tan x + cot x c) I = ∫ sin x dx 3sin x − sin x − 3sin x Ví dụ Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos3 x.cos 3x dx b) I = ∫ cos x.cos x dx c) I = ∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x)dx Ví dụ Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x cos x dx b) I = ∫ sin 3x cos x dx c) I = ∫ (2sin x − sin x.cos x − cos x)dx Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn (5)