Sáng kiến kinh nghiệm toán THPT

Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiếnQua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về tính khoảng cách và góc trong hình học không gian các em học sinh k

Trong môn Toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh

Đề thi học sinh giỏi và đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán trong những năm gần đây thường xuyên có các câu hỏi tính khoảng cách và tính góc ở các cấp độ tư duy, đặc biệt có các câu hỏi vận dụng, vận dụng cao thuộc phần kiến thức này nhằm phân loại học sinh Bản thân tôi là một trong các giáo viên thường xuyên được nhà trường giao nhiệm vụ dạy ôn thi tốt nghiệp THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 11, 12 nên tôi suy nghĩ mình cần phải trang bị cho học sinh của mình một số phương pháp nhất định để giúp các em có thể giải quyết được các bài toán từ dễ đến khó ở hai dạng toán đã nêu ở trên Khi đứng trước một bài toán đó học sinh cần phải được cung cấp nhiều phương pháp giải toán khác nhau và việc phát hiện, sử dụng phương pháp cụ thể nào là một vấn đề vô cùng quan trọng để dẫn tới thành công nhanh

Xuất phát từ lí do trên, qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và dự giờ học

tập đồng nghiệp, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “KHOẢNG CÁCH VÀ ỨNGDỤNG KHOẢNG CÁCH ĐỂ TÍNH GÓC” nhằm mục đích: Góp phần nâng

cao chất lượng phân môn hình học không gian lớp 11, 12 nói chung và phần

khoảng cách, ứng dụng khoảng cách để tính góc nói riêng Phát huy tính chủđộng, tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời giúp học sinh giải các bài toán

tính khoảng cách và góc dễ dàng hơn, nhanh hơn và hiệu quả hơn Qua đó giúp

học sinh tự tin và yêu thích môn hình học không gian hơn

II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về tính khoảng cách và góc trong hình học không gian các em học sinh không biết vẽ

hình, còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải Thực tế khi dạy chủ đề này tôi thấy khi gặp các bài toán dạng này đa số các em đều chọn bừa đáp án hoặc bỏ qua Một phần do các em chưa có được cách nhìn, phương pháp cụ thể, hơn nữa lại phải có tư duy tổng hợp các phần kiến thức từhình học phẳng đến hình học không gian; từ quan hệ song song đến quan hệ vuông góc và phải có khả năng phân tích và tổng hợp các kiến thức với nhau Từ những thực tế đó tôi thấy rằng để các em không cảm thấy sợ bài tập dạng này tôi đã xây dựng chủ đề dạy học Hình học không gian” với trọng tâm là hình thành cho các em các kỹ năng, phương pháp giải các bài toán khoảng cách và góc nhằm giúp các em từng bước giải quyết tốt các bài tập này trên cơ sở xây dựng cho các em các kiến thức nền tảng cần thiết và góp phần đạt kết quả cao trong các kỳ thi HSG và tốt nghiệp THPT.

2 Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến

Trong quá trình học tập, tôi khuyến khích học sinh sử dụng bất cứ nội lực nào, bất

cứ phương pháp nào, bất cứ kiến thức nào có thể, miễn sao phát hiện và giải quyết được vấn đề SKKN hướng đến việc phát triển phẩm chất, năng lực học sinh, rènluyện tính linh hoạt của tư duy, thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư duy

Rèn luyện cho học sinh tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tựmình phát hiện vấn đề, tự xác định phương hướng và tìm ra cách giải quyết, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán

của tư duy nó thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc ý nghĩ và tư tưởng của người khác và bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đặt những câu hỏi tại sao?”, như thế nào?” đúng chỗ, đúng lúc

Nh ững điểm mới mà sáng kiến của tôi đề cập đến bao gồm:

Phần 1Khoảng cách: đưa ra thêm một số phương pháp để tính khoảng cách

Các ví dụ minh họa với lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói trên.

Phần 2 Ứng dụng khoảng cách để tính góc: đưa ra một giải pháp hoàn toàn mới

có nhiều ưu điểm vượt trội so với một số phương pháp cũ để tính góc

Các ví dụ minh họa với lời giải thể hiện rõ ưu điểm vượt trội của phương phápmới này

NỘI DUNG SÁNG KIẾN

PHẦN 1 KHOẢNG CÁCH

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp bao gồm: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song; khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

2. Bài toán trọng tâm và cốt lõi nhất của bài toán khoảng cách của hình học không gian tổng hợp mà học sinh cần thành thạo là: Khoảng cách từ mộtđiểm đến một mặt phẳng

3. Các bài toán tính: ‘‘ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song; Khoảngcách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; Khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau ” thường được quy về bài toán tính “ Khoảngcách từ một điểm đến một mặt phẳng”

4. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm I đến một mặt phẳng (P) nếu thực hiện

bằng phương pháp trực tiếp thì bao gồm các thao tác sau đây:

+) Dựng được đường vuông góc IH ( H thuộc mp(P) ).

+) Dựa vào giả thiết của bài toán tính được độ dài đoạn IH.

+) Kết quả: d(I,(P)) = IH.

5. Việc dựng đường vuông góc IH theo lí thuyết thì ta luôn thực hiện được,

nhưng trong qua trình thực hành thì cần đưa ra cách dựng hợp lí để tạo ra sự

thuận lợi cho việc tính độ dài đoạn IH sau này Muốn vậy, học sinh cần phải

thành thạo việc giải bài toán cơ bản” của khoảng cách sau đây

6. Bài toán cơ bản:Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Hãy tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A đến mặt phẳng (SBC)

(khoảng cách từ chân đường cao đến mặt đối diện)

Ba đặc điểm bài toán cơ bản để học sinh dễ nhận biết và ghi nhớ:

+) Đặc điểm 1: Là hình chóp có đáy là tam giác

+) Đặc điểm 2: Có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC).

+) Đặc điểm 3: Tính khoảng cách từ A (là chân đường vuông góc) đến mặt phẳng đối diện (SBC)

7. Cho học sinh nhận biết dấu hiệu để giải nhanh chóng bài toán “CƠ

BẢN” bằng cách quan sát tam giác ABC

Dấu hiệu 1: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại B thì dựng ngay

Khi đó d A, SBC = AH.

Dấu hiệu 2: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại C thì dựng

AH ^SC H SC , rồi chứng minh AH ^ SBC

(Góc B tù)

8. Trong quá trình thực hành giải toán ta lại thường gặp phải bài toán tínhkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhưng điểm đó lại khôngphải là chân đường vuông góc như “ bài toán cơ bản”.Tức: điểm đókhông phải là điểm thuận lợi Khi đó ta hãy thực hiện động tác quy việclàm đó về việc tính khoảng cách của một điểm thuận lợi hơn mà tathường nói nó là động tác “quy lạ về quen” với các kết quả quy điểmquan trọng như sau:

Kết quả 1: Nếu đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) thì

Kết quả 2: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng thẳng AB và đoạn thẳng AB

Kết quả 4: Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm I thì dù hai điểm

A, B cùng phía (H.1) hay khác phía (H.2) so với mp(P) thì áp dụng định lý

Ta- lét ta luôn có: d A, P = IA

d B, P IB Nhấn mạnh rằng đây là trường hợp tổngquát của các trường hợp đã xét ở trên

P

A

H

B M

H.1 -A, B cùng phía so với (P) H.2 -A, B khác phía so với (P)

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍNH KHOẢNG CÁCH

DẠNG 1 TÍNH KHOẢNG CÁCH DỰA VÀO BÀI TOÁN CƠ BẢN

Bài toán cơ bản:Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Hãy tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A đến mặt phẳng (SBC)

(khoảng cách từ chân đường cao đến mặt đối diện)

Ba đặc điểm bài toán cơ bản để học sinh dễ nhận biết và ghi nhớ:

+) Đặc điểm 1: Là hình chóp có đáy là tam giác

+) Đặc điểm 2: Có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC).

A

H P

+) Đặc điểm 3: Tính khoảng cách từ A (là chân đường vuông góc) đến mặt phẳng đối diện (SBC)

Cho học sinh nhận biết dấu hiệu để giải nhanh chóng bài toán “CƠBẢN” bằng cách quan sát tam giác ABC

Dấu hiệu 1: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại B thì dựng ngay

AH ^SB (H SB), rồi chứng minh AH (SBC).^ Khi đó d(A,(SBC)) = AH.

Dấu hiệu 2: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại C thì dựng

AH ^SC (H SC) , rồi chứng minh AH (SBC).^ Khi đó d(A,(SBC) = AH

Dấu hiệu 3: Nếu phát hiện thấy tam giác không vuông tại B và cũng không vuông tại C thì dựng liên tiếp AK ^BC (K BC); AH ^SK (H SK) rồi

chứng minh AH ( SBC).^ Khi đó d(A,(SBC)) = AH.

(Các góc B, C nhọn)

(Góc B tù)

Ví dụ 1 (Đề thi THPT QG năm 2018 mã đề 101) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB=a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng

Lời giảiChọn A

Ví dụ 2 (Đề thi THPT QG năm 2018 mã đề 103) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a Khoảng cách

Lời giảiChọn D

d A; SBC = AH =

Ví dụ 3 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy

là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2

Lời giảiChọn B

S

H

Nhận xét Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng bài toán sau:

Cho t ứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và Hlàhình chiếu của O lên mặt phẳng ABC Khi đó

OH =OA +OB +OC

Ví dụ 4 (Hùng Vương - Bình Phước năm 2019) Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng a 2 Tính khoảng cách d từ tâm

O của đáy ABCD đến một mặt bên theo

Chọn D

*) S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông và SO^ ABCD

*) Vẽ OH vuông góc với CD tại H thì Hlà trung điểm CD,

32

a a

làm đó về việc tính khoảng cách của một điểm thuận lợi hơn mà tathường nói nó là động tác “quy lạ về quen” với các kết quả quy điểmquan trọng như sau:

Kết quả 1: Nếu đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) thì

K

Kết quả 4: Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm I thì dù hai điểm

A, B cùng phía (H.1) hay khác phía (H.2) so với mp(P) thì áp dụng định lý

Ta- lét ta luôn có: d A, P = IA

d B, P IB Nhấn mạnh rằng đây là trường hợp tổngquát của các trường hợp đã xét ở trên

H.1 -A, B cùng phía so với (P) H.2 -A, B khác phía so với (P)

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh , BAD=60o, SA=a

và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến SCD bằng

A

H P

Ví dụ 2 (Đề thi THPT QG năm 2019 mã đề 102) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông

góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) bằng

B

S

C M

H

Lời giảiChọn C

*) Gọi H là trung điểm của AB SH ^ AB SH ^( ABCD ).

*) Từ H kẻ HM ^ BD, M là trung điểm của BI và là tâm của hình vuông

D A

I S

C B

D A

H

M K

Ví dụ 3 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng năm 2021) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , SA^ ABCD và Gọi M là trung điểm cạnh SC Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SBD bằng

M

O S

C D

B A

H

*) Gọi H là hình chiếu của A lên mp SBD d A; SBD = AH

*) Lại có AS ,AB,AD đôi một vuông góc nên

2

22

Khi đó C là trung điểm của ED và AC^ED

Ví dụ 5 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam năm 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a; DC=a Điểm là trung

điểm đoạn AD, hai mặt phẳng SIB và SIC cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD Mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 60 Tính khoảng cách từ D đến SBC theo

Chọn A

*) Theo đề ta có SI ^ ABCD

*) Gọi K là hình chiếu vuông góc của trên BC

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng SBC , ABCD =SKI =60

*) Gọi E là trung điểm của AB, M =IK DE.

Ví dụ 6 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An năm 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy

là tam giác vuông tại A,AC a,I= là trung điểm SC Hình chiếu vuông góc của S lên ABC là trung điểm H của BC Mặt phẳng SAB tạo với ABC một góc

Chọn A

*) Gọi M là trung điểm cạnh AB thì MH là đường trung bình của tam giác ABC

nên

2

a

*) Mặt khác, do SH ^ ABC nên SMH ^BC Suy ra góc giữa SAB và

ABC là góc giữa SM và MH; lại có SH ^MH nên góc này bằng góc SMH Từ giả thiết suy ra SMH =60

*) Gọi K là hình chiếu của H lên SM thì HK ^ SAB

*) Gọi khoảng cách từ I ,C,H đến mặt phẳng SAB lần lượt là

Cách 1:

Ta có

1212

d I , SAB = d C, SAB

d H , SAB = d C, SAB

34

a

Cách 2:

IH là đường trung bình của tam giác SBC nên IH //SB IH // SAB

34

a

Ví dụ 7 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh Tam giác ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC Góc giữa đường thẳng

SD và mặt phẳng ABCD bằng 30 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

Chọn A

*) Gọi Hlà trọng tâm tam giác DABC , O là tâm của hình thoi ABCD

Do SH ^ ABCD : SD, ABCD =SDH =30

*) Xét tam giác DSDH vuông tại Hcó: SDH =30 ;

p là nửa chu vi tam giác DSCD).

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng :

3

2

33

77

là trung điểm của , hãy tính theo khoảng cách từ đến mặt phẳng

*) Gọi là trung điểm của ( cân tại ).

.89

Ví dụ 9 (Đề minh họa THPT QG 2020 Mã 104 lần 1) Cho hình lăng trụ đứng

ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng Gọi M là trung điểm của AA (tham khảo

*) Từ B kẻ BN ^ AC thì N là trung điểm của AC và 3

Ví dụ 10 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hình hộp ABCD.A B C D có

đáy ABCD là hình vuông cạnh , tâm O Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABCD trùng với O Biết tam giác AA C vuông cân tại A Tính khoảng

Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABCD có SA^ ABCD Đáy ABCD là hình chữ nhật

có AB=a, AD=2a Gọi G là trọng tâm tam giác SAB Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SAC bằng

Chọn C

*) Gọi M là trung điểm của SA Ta có:

BH ^ AC BH ^( SAC ) d B,( SAC ) =BH d G,( SAC ) = BH

AD= AB= a Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy Gọi M ,N lần lượt là

trung điểm của SB và SD Tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng AMN

*) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H, ta có:

*) Mặt khác AMN SAH =SE, suy ra: d S; AMN =d S; AE

Xét tam giác vuông SAH có:

54

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THÊM

Câu 1 (Chuyên Hƣng Yên - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

cân, BA=BC=a và BAC=30 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

đáy và SA=a Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC Khoảng cách từ

Câu 2 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2021) Cho hình chóp

60

BAD= Đường thẳng SO vuông góc với mặt đáy ABCD và 3

Câu 3 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2022) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam

giác đều cạnh , SA vuông góc với mặt phẳng ABC ; góc giữa đường

thẳng SB và mặt phẳngABC bằng 60 Gọi M là trung điểm cạnh AB Khoảng cách từ B đến SMC bằng

Câu 4 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ

nhật tâm O , cạnh AB=a, AD=a 2 Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn OA Góc giữa SC và mặt

phẳng ABCD bằng 30 Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng

Câu 5 (Sở Ninh Bình) Cho hình chóp S ABC có SA=a, tam giác ABC đều, tam

giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt

phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC bằng

Câu 6 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hình chóp có đáy là

hình chữ nhật, Tam giác cân tại và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

bằng Gọi là trung điểm của , hãy tính theo khoảng cách từđến mặt phẳng

Câu 7 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cả các

cạnh bằng Gọi M là trung điểm của CC (tham khảo hình bên)

DẠNG 3 XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CAO ĐỂ ĐƯA VỀ BÀI TOÁN CƠ

BẢN

Trong bài toán tính khoảng cách thì việc xác lập được đường cao của môhình là vô cùng quan trọng, vì nó có thể giúp ta nhanh chóng nhận diệnđược bài toán cơ bản, đồng thời cũng đem đến sự thuận lợi trong việctính toán sau này Do vậy cần nhớ các kết quả sau:

KQ1: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giaotuyến (nếu có) của chúng sẽ vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

KQ2: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì một đường thẳng củamặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặtphẳng kia

KQ3: Nếu hình chóp S A A 1 2 A n n 3,n N có các cạnh bên bằng nhau

thì hình chiếu vuông góc của S lên mp A A1 2 A n là tâm của đường trònngoại tiếp đa giác

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B AB=BC= a ; hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mp ABC

Gọi M là trung điểm của AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 0

60 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SN.

7

Lời giảiChọn A

*) Mặt phẳng ABC chứa BC/ / SAM và cắt mp SMN theo giao tuyến MN,

suy ra MN / /BC

*) Dựng hình bình hành AMNP Vì tam giác ABC vuông tại B nên tứ giác AMNP

là hình vuông và ta có AB/ / SNP d(AB ; SN) = d(AB ; (SNP)) = d(A ; (SNP)).

SBA SBA= .Từ đó tính được:

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính

theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD

7

Lời giảiChọn D

*) Dựng SH ^ AB(H AB) Vì hai mp SAB và mp ABCD vuông góc với nhau

và cắt nhau theo giao tuyến AB nên suy ra SH ( ABCD).^

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết

SA = SB = SO = AB = 2a; ABC=600 Tính theo a khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC).

*) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD Vì SA = SB = SO

và tam giác OAB vuông tại O nên chứng minh được H là trung điểm của AB.

*) Dựng HK AC(K AC), HP SK(P SK)^ ^ Chứng minh được HP (SAC).^

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,

SA = SB = SO = AB = 2a Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

Chọn C

*) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD Vì SA= SB = SO

và tam giác OAB vuông tại O nên chứng minh được H là trung điểm của AB.

*) Gọi E là trung điểm của SA

SC// (EBD) d(SC,BD) = d(SC,(EBD)) = d(C,(EBD)) = d(A,(EBD)) = 2d(H,(EBD)).

*) Gọi G là giao điểm của SH và BE, suy ra G là trọng tâm tam giác SAB và

d(H,(EBD)) = d(H,(GBD)). Ta sẽ tính d(H,(GBD)) bằng cách áp dụng bài toán cơ

bản với hình chóp G.HBD như sau:

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,

SA = SB = SO = AB = 2a , M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách

giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và DM.