Sáng kiến kinh nghiệm toán THPT

Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiếnQua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về tính khoảng cách và góc trong hình học không gian các em học sinh k

Trong môn Toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh

Đề thi học sinh giỏi và đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán trong những năm gần đây thường xuyên có các câu hỏi tính khoảng cách và tính góc ở các cấp độ tư duy, đặc biệt có các câu hỏi vận dụng, vận dụng cao thuộc phần kiến thức này nhằm phân loại học sinh Bản thân tôi là một trong các giáo viên thường xuyên được nhà trường giao nhiệm vụ dạy ôn thi tốt nghiệp THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 11, 12 nên tôi suy nghĩ mình cần phải trang bị cho học sinh của mình một số phương pháp nhất định để giúp các em có thể giải quyết được các bài toán từ dễ đến khó ở hai dạng toán đã nêu ở trên Khi đứng trước một bài toán đó học sinh cần phải được cung cấp nhiều phương pháp giải toán khác nhau và việc phát hiện, sử dụng phương pháp cụ thể nào là một vấn đề vô cùng quan trọng để dẫn tới thành công nhanh

Xuất phát từ lí do trên, qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và dự giờ học tập đồng nghiệp, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “KHOẢNG CÁCH VÀ ỨNG DỤNG KHOẢNG CÁCH ĐỂ TÍNH GÓC” nhằm mục đích: Góp phần nâng

cao chất lượng phân môn hình học không gian lớp 11, 12 nói chung và phần

khoảng cách, ứng dụng khoảng cách để tính góc nói riêng Phát huy tính chủ động, tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời giúp học sinh giải các bài toán

tính khoảng cách và góc dễ dàng hơn, nhanh hơn và hiệu quả hơn Qua đó giúp

học sinh tự tin và yêu thích môn hình học không gian hơn.

II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về tính khoảng cách và góc trong hình học không gian các em học sinh không biết vẽ

hình, còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải Thực tế khi dạy chủ đề này tôi thấy khi gặp các bài toán dạng này đa số các em đều chọn bừa đáp án hoặc bỏ qua Một phần do các em chưa có được cách nhìn, phương pháp cụ thể, hơn nữa lại phải có tư duy tổng hợp các phần kiến thức từ hình học phẳng đến hình học không gian; từ quan hệ song song đến quan hệ vuông góc và phải có khả năng phân tích và tổng hợp các kiến thức với nhau Từ những thực tế đó tôi thấy rằng để các em không cảm thấy sợ bài tập dạng này tôi đã xây dựng chủ đề dạy học Hình học không gian” với trọng tâm là hình thành cho các em các kỹ năng, phương pháp giải các bài toán khoảng cách và góc nhằm giúp các em từng bước giải quyết tốt các bài tập này trên cơ sở xây dựng cho các em các kiến thức nền tảng cần thiết và góp phần đạt kết quả cao trong các kỳ thi HSG và tốt nghiệp THPT.

2.Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến

Trong quá trình học tập, tôi khuyến khích học sinh sử dụng bất cứ nội lực nào, bất cứ phương pháp nào, bất cứ kiến thức nào có thể, miễn sao phát hiện và giải quyết được vấn đề SKKN hướng đến việc phát triển phẩm chất, năng lực học sinh, rèn luyện tính linh hoạt của tư duy, thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư duy

Rèn luyện cho học sinh tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự xác định phương hướng và tìm ra cách giải quyết, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy nó thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc ý nghĩ và tư tưởng của người khác và bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đặt những câu hỏi tại sao?”, như thế nào?” đúng chỗ, đúng lúc

Những điểm mới mà sáng kiến của tôi đề cập đến bao gồm:

Phần 1Khoảng cách: đưa ra thêm một số phương pháp để tính khoảng cách

Các ví dụ minh họa với lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói trên.

Phần 2 Ứng dụng khoảng cách để tính góc: đưa ra một giải pháp hoàn toàn mới

có nhiều ưu điểm vượt trội so với một số phương pháp cũ để tính góc

Các ví dụ minh họa với lời giải thể hiện rõ ưu điểm vượt trội của phương pháp mới này.

NỘI DUNG SÁNG KIẾN

PHẦN 1 KHOẢNG CÁCH CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp bao gồm: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song; khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

2. Bài toán trọng tâm và cốt lõi nhất của bài toán khoảng cách của hình học không gian tổng hợp mà học sinh cần thành thạo là: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

3. Các bài toán tính: ‘‘ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song; Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ” thường được quy về bài toán tính “ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng”.

4. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm I đến một mặt phẳng (P) nếu thực hiện

bằng phương pháp trực tiếp thì bao gồm các thao tác sau đây:

+) Dựng được đường vuông góc IH ( H thuộc mp(P) ).+) Dựa vào giả thiết của bài toán tính được độ dài đoạn IH.+) Kết quả: d(I,(P)) = IH.

5. Việc dựng đường vuông góc IH theo lí thuyết thì ta luôn thực hiện được,

nhưng trong qua trình thực hành thì cần đưa ra cách dựng hợp lí để tạo ra sự

thuận lợi cho việc tính độ dài đoạn IH sau này Muốn vậy, học sinh cần phải

thành thạo việc giải bài toán cơ bản” của khoảng cách sau đây.

6. Bài toán cơ bản:Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Hãy tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A đến mặt phẳng (SBC)

(khoảng cách từ chân đường cao đến mặt đối diện)

Ba đặc điểm bài toán cơ bản để học sinh dễ nhận biết và ghi nhớ: +) Đặc điểm 1: Là hình chóp có đáy là tam giác.

+) Đặc điểm 2: Có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC).

+) Đặc điểm 3: Tính khoảng cách từ A (là chân đường vuông góc) đến mặt phẳng đối diện (SBC)

7. Cho học sinh nhận biết dấu hiệu để giải nhanh chóng bài toán “CƠ

BẢN” bằng cách quan sát tam giác ABC

Dấu hiệu 1: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại B thì dựng ngay

Khi đó d A, SBC = AH.

Dấu hiệu 2: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại C thì dựng AH ^SC HSC, rồi chứng minh AH ^ SBC

Khi đó d A, SBC = AH

Dấu hiệu 3: Nếu phát hiện thấy tam giác không vuông tại B và cũng không vuông tại C thì dựng liên tiếp AK BC K BC ; AH SK H SK^ ^ rồi

chứng minh AH ^ SBC Khi đó d A, SBC = AH.

(Các góc B, C nhọn)

(Góc B tù)

8. Trong quá trình thực hành giải toán ta lại thường gặp phải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhưng điểm đó lại không phải là chân đường vuông góc như “ bài toán cơ bản”.Tức: điểm đó không phải là điểm thuận lợi Khi đó ta hãy thực hiện động tác quy việc làm đó về việc tính khoảng cách của một điểm thuận lợi hơn mà ta thường nói nó là động tác “quy lạ về quen” với các kết quả quy điểm

Kết quả 2: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng thẳng AB và đoạn thẳng AB

Kết quả 4: Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm I thì dù hai điểm A, Bcùng phía (H.1) hay khác phía (H.2) so với mp(P) thì áp dụng định lý

H.1 -A, Bcùng phía so với (P) H.2 -A, Bkhác phía so với (P)

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍNH KHOẢNG CÁCH

DẠNG 1 TÍNH KHOẢNG CÁCH DỰA VÀO BÀI TOÁN CƠ BẢN

Bài toán cơ bản:Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Hãy tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A đến mặt phẳng (SBC)

(khoảng cách từ chân đường cao đến mặt đối diện)

Ba đặc điểm bài toán cơ bản để học sinh dễ nhận biết và ghi nhớ: +) Đặc điểm 1: Là hình chóp có đáy là tam giác.

+) Đặc điểm 2: Có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC).

+) Đặc điểm 3: Tính khoảng cách từ A (là chân đường vuông góc) đến mặt phẳng đối diện (SBC)

Cho học sinh nhận biết dấu hiệu để giải nhanh chóng bài toán “CƠ BẢN” bằng cách quan sát tam giác ABC

Dấu hiệu 1: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại B thì dựng ngay

AH ^SB (HSB),rồi chứng minh AH (SBC).^ Khi đó d(A,(SBC)) = AH.

Dấu hiệu 2: Nếu phát hiện thấy tam giác vuông tại C thì dựng

AH ^SC (HSC), rồi chứng minh AH (SBC).^ Khi đó d(A,(SBC) = AH

Dấu hiệu 3: Nếu phát hiện thấy tam giác không vuông tại B và cũng không vuông tại C thì dựng liên tiếp AK ^BC (KBC); AH ^SK (HSK) rồi

chứng minh AH ( SBC).^ Khi đó d(A,(SBC)) = AH.

(Các góc B, C nhọn)

(Góc B tù)

Ví dụ 1 (Đề thi THPT QG năm 2018 mã đề 101) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a

Ví dụ 2 (Đề thi THPT QG năm 2018 mã đề 103) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a Khoảng cách

Ví dụ 3 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

Nhận xét Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng bài toán sau:

Cho tứ diện OABCcó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau vàHlà hình chiếu của O lên mặt phẳng ABC Khi đó

OH =OA +OB +OC.

Ví dụ 4 (Hùng Vương - Bình Phước năm 2019) Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng a 2 Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo

*) S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCDlà hình vuông và SO^ ABCD *) Vẽ OH vuông góc với CD tại H thì Hlà trung điểm CD,

Ví dụ 5 (Chuyên Sơn La năm 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh , SA=avà SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm

Trong quá trình thực hành giải toán ta lại thường gặp phải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhưng điểm đó lại không phải là chân đường vuông góc như “ bài toán cơ bản” Tức: điểm đó không phải là điểm thuận lợi Khi đó ta hãy thực hiện động tác quy việc

làm đó về việc tính khoảng cách của một điểm thuận lợi hơn mà ta thường nói nó là động tác “quy lạ về quen” với các kết quả quy điểm

Kết quả 4: Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm I thì dù hai điểm A, Bcùng phía (H.1) hay khác phía (H.2) so với mp(P) thì áp dụng định lý

Ta- lét ta luôn có: d A, P=IA.

d B, PIB Nhấn mạnh rằng đây là trường hợp tổng quát của các trường hợp đã xét ở trên.

H.1 -A, Bcùng phía so với (P) H.2 -A, Bkhác phía so với (P)

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh , BAD=60o, SA=a

và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ Bđến SCD bằng

Ví dụ 2 (Đề thi THPT QG năm 2019 mã đề 102) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông

góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên) Khoảng cách từ C đến mặt

*) Gọi Hlà trung điểm của ABSH ^ ABSH ^( ABCD ).

*) Từ H kẻ HM^BD, M là trung điểm của BI và là tâm của hình vuông.

Ví dụ 3 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng năm 2021) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh , SA^ ABCD và Gọi M là trung điểm cạnh SC Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SBD bằng

*) Gọi H là hình chiếu của A lên mp SBDd A; SBD = AH

*) Lại có AS ,AB,AD đôi một vuông góc nên

Ví dụ 4 (Chuyên Vĩnh Phúc năm 2022) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD=2a và có cạnh

SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với SA=a 6 Tính khoảng cách từ

Khi đó C là trung điểm của ED và AC^ED

Ví dụ 5 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam năm 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình thang vuông tại Avà D;AB=AD=2a;DC=a Điểm là trung

điểm đoạn AD, hai mặt phẳng SIB và SIC cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD Mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 60 Tính

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng SBC , ABCD =SKI =60 *) Gọi Elà trung điểm của AB,M =IKDE.

Ví dụ 6 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An năm 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy

là tam giác vuông tại A,AC a,I= là trung điểm SC Hình chiếu vuông góc của Slên ABC là trung điểm H của BC Mặt phẳng SAB tạo với ABC một góc

*) Gọi M là trung điểm cạnh AB thì MH là đường trung bình của tam giác ABC

nên

*) Mặt khác, do SH ^ ABCnên SMH ^BC Suy ra góc giữa SAB và

ABClà góc giữa SM và MH; lại có SH ^MH nên góc này bằng góc SMH Từ giả thiết suy ra SMH =60

*) Gọi K là hình chiếu của H lên SMthì HK ^ SAB

*) Gọi khoảng cách từ I ,C,H đến mặt phẳng SAB lần lượt là

Ví dụ 7 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh Tam giác ABClà tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh Slên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC Góc giữa đường thẳng

SDvà mặt phẳng ABCD bằng 30 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

*) Xét tam giác DSDH vuông tại Hcó: SDH =30 ;

p là nửa chu vi tam giác DSCD) Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng :

Ví dụ 8 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Gọi là trung điểm của , hãy tính theo khoảng cách từ đến mặt phẳng

*) Gọi là trung điểm của ( cân tại ).

Ví dụ 9 (Đề minh họa THPT QG 2020 Mã 104 lần 1) Cho hình lăng trụ đứng

ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng Gọi M là trung điểm của AA (tham khảo

*) Từ B kẻ BN ^ ACthì N là trung điểm của AC và 3

Ví dụ 10 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hình hộp ABCD.A B C D có

đáy ABCDlà hình vuông cạnh , tâm O Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABCD trùng với O Biết tam giác AA C vuông cân tại A Tính khoảng

Chú ý: Không phải giải bài toán nào liên quan đến khoảng cách ta cũng đưa về bài toán CƠ BẢN Chẳng hạn, nếu thấy bài toán cho sẵn hai mặt phẳng vuông góc với nhau, mà ta cần dựng đường thẳng qua điểm nằm trên mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia, thì ta chỉ cần dựng vuông góc với giao tuyến của chúng.

Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABCDcó SA^ ABCD Đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AD=2a Gọi G là trọng tâm tam giác SAB Khoảng cách từ G đến mặt

*) Gọi M là trung điểm của SA Ta có:

*) Quan sát thấy mp( ABCD ) vuông góc với mp( SAC ) và chúng cắt nhau theo giao tuyến AC nên ta dựng

AD= AB= a Cạnh bên SA=2avà vuông góc với đáy Gọi M ,N lần lượt là

trung điểm của SB và SD Tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng AMN

*) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H, ta có:

*) Mặt khác AMNSAH =SE, suy ra: d S; AMN =d S; AE

Xét tam giác vuông SAH có:

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THÊM

Câu 1 (Chuyên Hƣng Yên - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, BA=BC=a và BAC=30 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

đáy và SA=a Gọi D là điểm đối xứng với Bqua AC Khoảng cách từ

Câu 2 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2021) Cho hình chóp

Câu 3 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2022) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam

giác đều cạnh , SA vuông góc với mặt phẳng ABC ; góc giữa đường

thẳng SB và mặt phẳngABC bằng 60 Gọi M là trung điểm cạnh AB

Câu 4 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ

nhật tâm O , cạnh AB=a, AD=a 2 Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn OA Góc giữa SC và mặt

phẳng ABCD bằng 30 Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng

Câu 5 (Sở Ninh Bình) Cho hình chóp S ABC có SA=a, tam giác ABC đều, tam giác SABvuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt

phẳng đáy Khoảng cách từ Bđến mặt phẳng SAC bằng

Câu 6 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

bằng Gọi là trung điểm của , hãy tính theo khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu 7 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cả các

cạnh bằng Gọi M là trung điểm của CC (tham khảo hình bên)

DẠNG 3 XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CAO ĐỂ ĐƯA VỀ BÀI TOÁN CƠ BẢN

Trong bài toán tính khoảng cách thì việc xác lập được đường cao của mô hình là vô cùng quan trọng, vì nó có thể giúp ta nhanh chóng nhận diện được bài toán cơ bản, đồng thời cũng đem đến sự thuận lợi trong việc tính toán sau này Do vậy cần nhớ các kết quả sau:

KQ1: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng sẽ vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

KQ2: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì một đường thẳng của mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

KQ3: Nếu hình chóp S A A 12 A nn 3,nN có các cạnh bên bằng nhau

thì hình chiếu vuông góc của S lên mpA A12 An là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B AB=BC= a; hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mp ABC

Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt ACtại N Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 0

*) Mặt phẳng ABC chứa BC/ / SAMvà cắt mp SMN theo giao tuyến MN, suy ra MN / /BC.

*) Dựng hình bình hành AMNP Vì tam giác ABCvuông tại B nên tứ giác AMNP

là hình vuông và ta có AB/ / SNPd(AB ; SN) = d(AB ; (SNP)) = d(A ; (SNP)).

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a, mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính

theo akhoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD

Lời giải Chọn D

*) Dựng SH ^ AB(HAB).Vì hai mp SAB và mp ABCD vuông góc với nhau

và cắt nhau theo giao tuyến ABnên suy ra SH ( ABCD).^

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình thoi tâm O Biết

SA = SB = SO = AB = 2a; ABC=600.Tính theo a khoảng cách từ D đến mặt

*) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD Vì SA = SB = SOvà tam giác OAB vuông tại O nên chứng minh được H là trung điểm của AB.

*) Dựng HK AC(K AC), HP SK(P SK)^ ^ Chứng minh được HP (SAC).^

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông tâm O, SA = SB = SO = AB = 2a Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

*) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD Vì SA= SB = SOvà tam giác OAB vuông tại O nên chứng minh được H là trung điểm của AB.

*) Gọi E là trung điểm của SA

SC// (EBD)d(SC,BD) = d(SC,(EBD)) = d(C,(EBD)) = d(A,(EBD)) = 2d(H,(EBD)).

*) Gọi G là giao điểm của SH và BE, suy ra G là trọng tâm tam giác SAB và

d(H,(EBD)) = d(H,(GBD)). Ta sẽ tính d(H,(GBD)) bằng cách áp dụng bài toán cơ

bản với hình chóp G.HBD như sau:

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông tâm O,

SA = SB = SO = AB = 2a, Mlà trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và DM.