Sáng kiến kinh nghiệm toán THPT

BÁO CÁO SÁNG KI NI... Bài 2: Cho hình lăng tr tam giác... đáy ABCD là hình ch nh t... Bài 3: Cho hình chóp S ABCD... Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông c nh... Ch ng minh... G i

t ng, tình c m đúng đ n đ ng th i giúp các em phát tri n toàn di n Song đ th c

hi n ch c năng đó c n thi t ph i đ i m i ph ng pháp d y h c theo tinh th n: phát huy tính tích c c, t giác, ch đ ng, t duy sáng t o c a h c sinh, b i d ng cho

h c sinh năng l c t h c, lòng say mê h c t p và ý chí v n lên

Quán tri t sâu s c quan đi m ch đ o c a B Giáo d c và Đào t o, S Giáo d c –Đào t o Nam Đ nh v đ i m i ph ng pháp d y h c, giáo viên tr ng THPT Giao

Th y đã t ng b c tích c c áp d ng các ph ng pháp, hình th c d y h c theo

h ng phát tri n ph m ch t, năng l c c a h c sinh

D y h c theo đ nh h ng phát tri n ph m ch t, năng l c h c sinh là m t v n đkhông đ n gi n đ i v i th y, cô giáo Đ làm đ c đi u này, m i th y, cô giáo c n

đ u t th i gian, luôn tìm tòi và phát tri n nh ng v n đ m i l t đó h ng h c sinh khám phá nh ng đi u thú v còn ti m n t bài toán ban đ u.

Vi c rèn luy n các ph m ch t trí tu nh : Tính linh ho t, tính đ c l p, tính sáng

t o cho HS là vô cùng quan tr ng nó có ý nghĩa to l n đ i v i vi c h c t p, công tác và trong đ i s ng Theo Giáo s Nguy n C nh Toàn thì mu n h c toán m t cách sáng t o thì ch t duy logic thôi ch a đ , t duy bi n ch ng r t quan tr ng nó giúp ta phát hi n v n đ , đ nh h ng tìm tòi cách gi i quy t v n đ , nó giúp ta có lòng tin r ng s có m t ngày thành công Cũng theo Giáo s Nguy n C nh Toàn

“Sáng t o là s v n đ ng c a t duy t nh ng hi u bi t đã có đ n nh ng hi u bi t

m i”

Bài toán "Hình h c không gian" là m t n i dung quan tr ng c a môn hình h c

l p 11, l p 12 N u h th ng bài t p đ c khai thác và s d ng h p lý thì s rèn luy n cho h c sinh kh năng phát tri n t duy bi u hi n các m t nh : kh năngtìm h ng đi m i (kh năng tìm nhi u l i gi i khác nhau cho m t bài toán), khnăng tìm ra k t qu m i (khai thác các k t qu c a m t bài toán, xem xét các khía

c nh khác nhau c a m t bài toán), kh năng sáng t o ra bài toán m i trên c s

nh ng bài toán quen thu c

Xu t phát t lí do trên, qua kinh nghi m gi ng d y c a b n thân và d gi h c

t p đ ng nghi p, tôi vi t sáng ki n kinh nghi m

D Y H C PHÁT TRI N PH M CH T, NĂNG L C H C SINH

THÔNG QUA KHAI THÁC M T S NG D NG C A

KHO NG CÁCH T ĐI M Đ N M T PH NG

VÀ GÓC GI A HAI M T PH NG VÀO GI I BÀI TOÁN HÌNH H C KHÔNG GIAN

II MÔ T GI I PHÁP

1 Mô t gi i pháp tr c khi t o ra sáng ki n

Trong các kì thi, đ c bi t kì thi THPTQG và h c sinh gi i thì bài toán v hình

h c không gian làm cho nhi u h c sinh lúng túng vì nghĩ r ng nó tr u t ng và thi u tính th c t Có th nói bài toán v hình không gian có s phân lo i đ i t ng

h c sinh r t cao

2 Mô t gi i pháp sau khi có sáng ki n

Trong quá trình h c t p, tôi khuy n khích HS s d ng b t c n i l c nào, b t c

ph ng pháp nào, b t c ki n th c nào có th , mi n sao phát hi n và gi i quy t

đ c v n đ SKKN h ng đ n vi c phát tri n ph m ch t, năng l c h c sinh , rèn luy n tính linh ho t c a t duy, th hi n kh năng chuy n h ng quá trình t duy Tr c h t c n rèn luy n cho HS kh năng đ o ng c quá trình t duy, l y

đích c a m t quá trình đã bi t làm đi m xu t phát cho m t quá trình m i, còn đi m

xu t phát c a quá trình đã bi t l i tr thành đích c a quá trình m i Vi c chuy n

h ng quá trình t duy không ch là đ o ng c quá trình này mà còn có th là chuy n t h ng này sang h ng khác không nh t thi t là ng c v i h ng ban

đ u Rèn luy n cho h c sinh tính đ c l p: Tính đ c l p c a t duy th hi n khnăng t mình phát hi n v n đ , t xác đ nh ph ng h ng và tìm ra cách gi i quy t, t ki m tra và hoàn thi n k t qu đ t đ c Tính đ c l p liên h m t thi t

v i tính phê phán c a t duy nó th hi n kh năng đánh giá nghiêm túc ý nghĩ và

t t ng c a ng i khác và b n thân mình, có tinh th n hoài nghi khoa h c, bi t

đ t nh ng câu h i “t i sao?”, “nh th nào?” đúng ch , đúng lúc Nh v y qua vi c nghiên c u sâu bài toán có th giúp HS sáng t o ra đ c bài toán m i th hi n tính sáng t o c a t duy

Sau đây tôi trình bày nh ng n i dung c th c a gi i pháp trong sáng ki n

D Y H C PHÁT TRI N PH M CH T, NĂNG L C H C SINH

THÔNG QUA KHAI THÁC M T S NG D NG C A

KHO NG CÁCH T ĐI M Đ N M T PH NG

VÀ GÓC GI A HAI M T PH NG VÀO GI I BÀI TOÁN HÌNH H C KHÔNG GIAN

Nh ng đi m m i mà sáng ki n c a tôi đ c p đ n bao g m:

- Ph n 1 S d ng kho ng cách t đi m đ n m t ph ng đ

1.1) Ch ng minh đ ng th ng song song v i m t ph ng (Trang 5) (Ph ng

pháp m i)

1.2) Ch ng minh hai m t ph ng song song (Trang 13)(Ph ng pháp m i)

1.3) Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau (Trang 16)

1.4) Tính góc gi a đ ng th ng và m t ph ng (Trang 23) (Ph ng pháp

m i)

1.5) Tính góc gi a hai m t ph ng (Trang 34) (Ph ng pháp m i)

1.6) Ch ng minh 2 m t ph ng vuông góc (Trang 50)(Đ o ng c t duy)

1.7) ng d ng vào gi i bài toán HHKG (Trang 53) (Khai thác, sáng t o)

- Ph n 2 S d ng góc gi a hai m t ph ngđ

2.1) Tính kho ng cách t đi m đ n m t ph ng (Trang 64) (Đ o ng c t

duy)

2.2) Tính góc gi a hai đ ng th ng (Trang 68) (Đ o ng c t duy)

2.3) ng d ng vào gi i bài toán HHKG (Trang 70) (Khai thác, sáng t o)

- Ph n 3 Sáng t o bài toán v n d ng cao v T a đ không gian t bài toán HHKG (Trang 87) (Khai thác, sáng t o)

Bài 1: Cho hai hình bình hành và n m trong hai m t ph ng khác

Mà d A DEF; =d B DEF; d M1; DEF =d N1; DEF

Thêm 3 cách gi i Bài 1.a) h c sinh trình bày trên b ng.

L i gi i Bài 1.a) h c sinh trình bày trong v

Cách 3: S d ng kho ng cách t đi m đ n m t ph ng.

Bài 2: Cho hình lăng tr tam giác G i H là trung đi m c a c nh A B' '.

Cách 1: S d ng kho ng cách t đi m đ n m t ph ng

Cách 2: S d ng 2 m t ph ng song song.

Cách 3: Ta ch ng minh song song v i m t đ ng th ng n m trong AHC'

L i gi i h c sinh trình bày trong v

Bài 3: Cho hình h p Đi m M n m gi a A và D, đi m N n m

gi a C và C' sao cho

'

Cách 1: S d ng kho ng cách t đi m đ n m t ph ng.

Cách 2: S d ng Ta let đ o

Cách 3: S d ng 2 m t ph ng song song.

Cách 4: Ta ch ng minh MN song song v i m t đ ng th ng n m trong AB C'

L i gi i h c sinh trình bày trong v

1.2) S d ng kho ng cách t đi m đ n m t ph ng đ ch ng minh hai m t

ph ng song song.

Cho m t ph ng P và bađi m A B C, , không n m trong P

N u A B C, , n m cùng phía m t ph ng P và d A P; =d B P; =d C P; thì

ABC P

Bài 1: Cho hình h p ABCD A B C D có I th a mãn G i E là giao

đi m c a CD và C D; G G, l n l t là tr ng tâm t di n MBB A và DEIA; M là trung

Suy ra GG ABCD

Bình lu n: Bài 1 nói trên là m t bài toán r t hay, vi c ch ng minh tr c ti p đ ng

Ý t ng m i: Do đã có đ ng th ng song song m t ph ng; hai m t ph ng song song, ta

toán m i v i nhi u ý t ng đ gi i quy t

Sáng t o - Đ xu t bài toán m i: B sung thêm gi thi t

Bài 2: Cho hình h p Trên ba c nh AB DD B C, ', ' ' l n l t l y ba

1.3) S d ng kho ng cách t đi m đ n m t ph ng đ tính kho ng cách gi a hai

đ ng th ng chéo nhau.

Bài 1: Cho hình h p ABCD A B C D có I th a mãn G i E là giao

đi m c a CD và C D; G G, l n l t là tr ng tâm t di n MBB A và DEIA; M là trung

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình vuông c nh a, SA^ ABCD , SA=a

T (1), (2) suy ra BF ^(SAE) (vì BF vuông

(SAE)).

Trong (AGIC) d ng IJ//AG,

d( S ;( ACBN )).S d( B;( ACQP ))

2 ACQP

d( S;( ACBN )).S a.a a d( B;( ACQP ))

P

Q O

d( S ;( ABF )).S d( A;( SBF ))

S

=

2 ABF

2 SBF

d( S;( ABF )).S 2.a.a a d( A;( SBF ))

C

Chú ý: V i ph ng pháp trên, h c sinh không c n xác đ nh góc mà có th tính ngay

đ c góc gi a đ ng th ng và m t ph ng thông qua kho ng cách, và cách tính kho ng

cách có th đ n gi n h n nhi u so v i cách xác đ nh góc và tính góc.

ph ng không ph i lúc nào cũng thu n l i Kh c ph c khó khăn đó b ng cách l y hai

đi m phân bi t thu c đ ng th ng và xem v trí t ng đ i c a hai đi m đó v i m t

ph ng

Cho đ ng th ng d đi qua hai đi m A, M.

M

O K

A

H

S d ng dãy t s b ng nhau c a kho ng cách (KHÔNG C N TÌM GIAO ĐI M

B

D

A S

H P

E

H c sinh L i Xuân Di n l p 11A2

Bài 4: Câu 4.c Đ thi ch n h c sinh gi i năm h c 2021-2022 c a SGD&ĐT Nam

Đ nh

Đáp án c a s Câu 4.c

L i gi i: KHÔNG C N tìm giao đi m c a và m t ph ng SAC

Bài 5: Cho hình lăng tr đ u có t t c các c nh b ng a Đi m M và

C

A B

H

1.5) S d ng kho ng cách t đi m đ n m t ph ng đ tính góc gi a hai m t

ph ng.

G i H là hình chi u c a S trên ADE suy ra H là trung đi m AE

ABC và ABD

Bài 2: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình ch nh t AB=a, AD=2a

C nh bên SAvuông góc v i đáy ABCD, SA=2a Tính tang góc gi a hai m t ph ng

Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là n a l c giác đ u n i ti p đ ng tròn đ ng kính ; AB=2a; I là trung đi m ; SI =SB=SC=a 3 Tính sinc a góc gi a hai

Bài 4: Cho hình lăng tr ABC A B C ' ' '.Tam giác ABC vuông cân t i A,

là trung đi m H c a AK Tính góc gi a (BCC’B’) và (ABC).

Bài 5: Cho hình chóp cóđáy ABCD là hình vuông c nh a , SAB là tam giác

đ u và SAB ^ ABCD Tính sin j v i j là góc t o b i SAC và SCD

L i gi i h c sinh trình bày trong v

H

F

K I

E C

B

A

Bài 6: Cho hình chóp cóđáy là hình vuông c nh a, H là trung đi m

AB , SH ^ ABCD , Tính góc gi a hai m t ph ng SAC và SBC

L i gi i h c sinh trình bày trong v

Bài 7: Cho hình chóp có SA^ ABCD , đáy là hình ch nh t, bi t

L i gi i h c sinh trình bày trong v

Chú ý: Khai thác các ng d ng c a Bài 7 đ c trình bày Ph n 2.3) ng d ng vào

gi i bài toán HHKG.

1.6) S d ng kho ng cách t đi m đ n m t ph ng đ ch ng minh 2 m t ph ng

L i gi i h c sinh trình bày trong v

Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông c nh G i H là trung

L i gi i h c sinh trình bày trong v

1.7) ng d ng vào gi i bài toán HHKG.

Bài 3: SGK Hình H c 11 Nâng cao Bài 17 Trang 103

OC OB

OA

Khai thác bài toán trên vào gi i toán

Bài 3.1: Cho hình l p ph ng ABCDA’B’C’D’ c nh b ng 1 L y M trên c nh CC’ sao cho đ dài MC = Trên c nh A’D’ l y N sao cho đ dài A’N = O là tâm hình l p

ph ng Tính kho ng cách t D đ n (MNO)?

Phân tích: Khi g p bài toán này h c sinh s th y khó khăn khi tìm hình chi u c a D trên (MNO) Khi đó giáo viên g i ý đ h c sinh tìm cách đ a v bài toán ban đ u

g c c t 3 c nh c a góc tam di n A, B, C và đ dài OA, OB, OC đã bi t.

1 3

2 5

3 5

2

PA AE 5 2

3 A' N EA' 3

11 8

Tc3 Ch ng minh tam giác nh n.

Tc4 Ch ng minh r ng hình chi u H c a đi m O trên ABC trùng v i tr c tâm tam giác ABC

Tc5 G i H là tr c tâm c a tam giác Ch ng minh

Tc6 Ch ng minh 12 12 12 12

OH =a +b +c

Tc7 G i l n l t là góc t o b i OH v i Ch ng minh

Áp d ng tính ch t 7 ta có:

Bài toán 1/ (Bài toán t ng t - cách h i khác)

Bài toán 2/ (Bài toán t ng quát) Cho T là m t đi m trong mi n tam giác ABC, OT

Tc13 Ch ng minh v i A B C, , là ba góc c a tam giác ABC.

Tc14 G i G là tr ng tâm tam giác ABC, là tâm m t c u ngo i ti p t di n Ch ng minh O G I, , th ng hàng và OG=2GI Tính OH OI OG OJ, , , v i J là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

Tc15 G i R ABC là bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Ch ng minh

h + +

331

2 2 2 2

2 2 2

131111

c b a c

b a

9 a b c c

h + +

331

2

29

Bài toán 3/ Cho OABC là t di n vuông, là tr c tâm c a tam giác ABC G i

H ng d n: Áp d ng BĐT Bunhiacopski ta có

cos,cos,

=++

>

1

0,,

z y x

z y x

Ta có

x

z y x

+

=-

=-

z x z

y z y

x

+

++

++

=+

2

cotcot

2

3+

++

+

z x z

y z y

2

3cotcot

Bài toán 5/ Cho OABC là t di n vuông, là tr c tâm c a tam giác ABC G i

l n l t là góc t o b i OH v i OA OB OC, , Ch ng minh

2

15cot

cotcot

tantan

z y z

y

x+ + + + +

=+

2

tantan

y

x y

z x

z x

y z

y z

x y

x z x

z y z

V y

2

15cot

cotcot

tantan

2

15cot

cotcot

tantan

Bài toán 6/ Cho OABC là t di n vuông, là tr c tâm c a tam giác ABC G i

l n l t là góc t o b i OH v i OA OB OC, , Ch ng minh

2 2

2 2

2

2 sin sin 2 2 cos 2 2 cos 2 2 cos

sin

3.cos3

.cos3

.cos3

3

cos,cos,

=++

>

1

0,,

z y x

z y x

13

13

13

13

1

3

1

-

-+

+-

x

03

23

23

-+

z y

x

z y x y x z x

z

y

03

313

313

3

-z y

x

z y

x

z y x z y

x

z y x

3

33

33

33

13

1

3

1

+++

z y

-

1

3.3.3.33

3.cos3

.cos3

.cos3

3

2 2

2 2

2

2 sin sin 2 2 cos 2 2 cos 2 2 cos

sin

3.cos3

.cos3

.cos3

1sin

sin

1sin

sin

1

4 4

0

p n

m

p n m

++

m m

4

9.197

41

16

81197

41

2 2 2

n n

4

9.197

41

16

81197

41

2 2 2

2

,

++

p p

4

9.197

41

16

81197

41

2 2 2

9.4

9297

41

114

997

411

1

2 2 2 2 2

p n m p

n m p

p n

n m

Bài toán t ng quát Cho OABC là t di n vuông, T là m t đi m trong mi n tam giác

2

97sin

1sin

sin

1sin

sin

1

4 4

tan

tan

6tantan

tan

2 2 2

2

++

+

Bài toán 9/ Cho hình t di n có vuông góc v i nhau t ng đôi m t và

G i O1 là đi m n m trong tam giác ABC Kho ng cách t O1 đ n

ba m t ph ng OBC , OCA , OAB l n l t là a1, b1, c1 Tính a b c, , theo a1, b1, c1 sao cho

a/ Th tích kh i t di n nh nh t

b/ T ng a+b+c nh nh t

H ng d n:

a/ Ch n h tr c t a đ Oxyz v i O là g c t a đ , tia Ox trùng tia OA, tia Oy trùng tia

1

c

z b

b a

a1 1 1

.27

2

96

1

c b a abc

a khi

3

1

1 1

1 = = =

c

c b

b a

a

1 1

b a

a c b a c b

1 1

T đó ta có a+b+c a1 + b1+ c1 2

Đ ng th c x y ra khi

1 1 1 2 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

c b a c

b a

c b a c

b a

c b a c

c b

b

a

a

++

=+

+

++

=+

+

++

=

++

=

++

=

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

c b a c c

c b a b b

c b a a a

++

=

2 2 2 2

2

311131

1

1

h c b a c

b

h r h

h

r

3113

111++

c b

Mà

c b a c b

a

r + + + + +

3311

1

1

331+

b a c

b a c

b a c

b a c

b

a

33,

,max

1,

,max

1,

,max

13

31

1

1

1

++

++

+++

+

c b a

r max , ,

33

2 3 2

2 2

2 2 2

2 1

2 1

+

++

+

S S

S

S S

11

2 2 3 2 2 2 2 2 1

2 2 3 2 2

+++

++

+

+

S S S S S S S S S S

2 2

2 2

2 1

2

+

++

+

S S

S

S S

S S

91

11

3

2 3 2

2 2

2 2 2

-S S

S S

S

S S

2 3 2

2 2

2 2 2

2 1

2 1

+

++

+

S S

S

S S

S S

Ph n 2 S d ng góc gi a hai m t ph ng 2.1) S d ng góc gi a hai m t ph ng đ tính kho ng cách t đi m đ n m t

ph ng.

Ý t ng: Ph n 1.5) S d ng kho ng cách t đi m đ n m t ph ng đ tính góc

gi a hai m t ph ng L t ng c v n đ : ta s d ng ph ng pháp CÂN B NG góc

gi a hai m t ph ng đ tính kho ng cách t đi m đ n m t ph ng

Bài toán: Cho t di n có DABC vuông cân t i A, AB=a, đ u, góc

ABD

L i gi i h c sinh l p tôi d y

L i gi i h c sinh trình bày trong v

2.2) S d ng góc gi a hai m t ph ng đ tính góc gi a hai đ ng th ng.

Q

Bài toán: Cho hình lăng tr tam giác đ u có t t c các c nh b ng

G i D I, l n l t là tâm đ ng tròn ngo i ti p DABC' và Tính góc gi a hai

đ ng th ng CD và AI

L i gi i h c sinh trình bày trong v

Cách 1

Cách 2

2.3) ng d ng vào gi i bài toán HHKG.

Bài toán: Cho hình chóp có SA^ ABCD , đáy là hình ch nh t,

L i gi i h c sinh trình bày trong v

Bài 2: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB= 5a,

Bài 3: Cho hình chóp S ABC. có = = =90o

SAB ABC SCB , AB= 10a, BC= 3a và góc gi a hai m t ph ng SAB và SBC b ng 45 o Tính th tích kh i chóp S ABC.

L i gi i

G i D là hình chi u c a S trên m t ph ng ABC

Bài 4: Cho hình chóp S ABC. cóđáy ABC là tam giác cân t i B, AC=a 3,

Bài 5: Cho hình chóp S ABC. ,đáy ABC là tam giác có AB= 4a, , BAC=60o, SBA=SCA=90o, góc gi a SAB và SAC b ng 60 o Tính th tích kh i chóp đã cho.

L i gi i h c sinh trình bày trong v

Bài 6: Cho hình chóp , đáy là hình thang cân có AD BC,

Bài 7: Cho hình chóp có đáy là hình thang AB CD, AB= 2a,

T gi thi t suy ra ADB=ACB=90o

Bài 8: Cho hình chóp S ABC. có , SAB=ABC=90o Bi t góc gi a hai

L i gi i

G i E là trung đi m BC Suy ra SEB=90o

G i D là hình chi u c a S trên m t ph ng ABC