Sáng kiến kinh nghiệm toán THPT

Vấn đề này chúng ta sẽ thấy trong phần ví dụ.Chúng tôi mạnh dạn đề xuất phương pháp chung để giải quyết bài toán về tìm max, minliên quan đến môđun số phức theo các bước sau: Giả sử cần

Ta biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ.

Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán trong những năm gần đây thường yêu cầu thí sinh thường gặp phải hai câu số phức thuộc loại vận dụng, vận dụng cao Đặc biệt thường xuất hiện những câu khó nhằm phân loại học sinh Bản thân chúng tôi là một trong các giáo viên thường xuyên được nhà trường giao nhiệm vụ dạy ôn thi tốt nghiệp THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 12, nên chúng tôi suy nghĩ mình cần phải trang bị cho học sinh của mình một số các phương pháp nhất định để giúp các em có thể giải được các bài toán khó có dạng đã nêu ở trên Mà trọng tâm là “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN – GTNN MÔĐUN SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN DỤNG” Khi đứng trước một bài toán đó học sinh cần phải được cung cấp nhiều phương pháp giải toán khác nhau và việc phát hiện, sử dụng phương pháp cụ thể nào là một vấn đề vô cùng quan trọng để dẫn tới thành công nhanh Vì vậy, chúng tôi đã đưa ra sáng kiến này nhằm mục

đích: Cung cấp cho học sinh có thêm các phương án lựa chọn khi gặp bài toántìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất môddun của số phức Đồng thời cũng giúp

cho giáo viên dựa vào đó để sáng tạo ra một bài toán tìm max, min về số phức sát

với các câu khó trong các đề thi tốt nghiệp THPT Phương pháp này không dài

dòng, rất độc đáo và hiệu quả.II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Đối với học sinh việc làm các bài tập lên quan đến Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó.

Hơn nữa lại áp dụng các kiến thức này vào giải quyết các bài toán tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức mô đun lại càng khó hơn Thực tế khi dạy chủ đề này chúng tôi thấy khi gặp các bài toán dạng này đa số các em đều chọn bừa đáp án hoặc bỏ qua Một phần do các em chưa có được cách nhìn, phương pháp cụ thể, hơn nữa lại phải có tư duy tổng hợp các phần kiến thức từ Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, đạo hàm, hàm số, hình học,…), đặc biệt mối liên hệ giữa số phức và hình học Từ những thực tế đó chúng tôi thấy rằng để các em không cảm thấy sợ bài tập dạng này chúng tôi đã xây dựng chủ đề dạy học “Số phức” với trọng tâm là sử dụng phương pháp hình học giải bài toán max, min môđun của số phức mức độ vận dụng, vận dụng cao nhằm giúp các em từng bước giải quyết tốt các bài tập này trên cơ sở xây dựng cho các em các kiến thức nền tảng cần thiết và góp phần đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT.

Tôi xin giới thiệu hai bài toán sau:

Bài toán 1.(Đề thi TN THPT 2023): Gọi là tập hợp các số phức

zabi a bR thỏa mãn và Xét và thuộc sao cho là số thực dương Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

Bài toán 2.(Đề thi thử Giao Thủy B 2022): Cho hai số phức thoả mãn: Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức Biết , khi đó giá trị của biểu thức 22

z + z bằng:

Khi đối diện các bài toán dạng như thế này, đặc biệt áp lực giải quyết trong khoảng thời gian ngắn, đa số học sinh giỏi và kể cả một số giáo viên cũng gặp lúng túng trong cách định hướng phương pháp giải quyết bài toán Để khắc phục khó khăn trên, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần phân tích kỹ các giả thiết trong đề bài, tìm hiểu ý nghĩa của từng giả thiết cũng như kết luận, biết tổng hợp kiến thức và tìm mối liên hệ giữa Số phức và Hình học để chuyển đổi từ bài toán Số phức sang bài toán Hình học Muốn vậy, giáo viên phải xây dựng được một hệ

thống các bài tập được chia thành các dạng và phân chia theo các mức độ tư duy đế học sinh tiếp cận và làm quen dần.

2.Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến

Xuất phát từ thực tế trên, qua việc giảng dạy, chúng tôi đúc kết ra một vài định hướng gắn với các bài toán cụ thể để có thể giúp học sinh có hướng đi rõ ràng hơn, tư duy mạch lạc hơn trong việc giải bài toán tìm max, min số phức bằng phương pháp hình học

* ĐỊNH HƯỚNG 1: ĐỊNH HƯỚNG KHOẢNG CÁCH

+ Nhóm bài toán thể hiện khoảng cách từ một điểm đến một đường, một tia, một đoạn thẳng, một miền đa giác.

+ Nhóm bài toán thể hiện tổng khoảng cách từ một điểm trên một đường thẳng đến hai điểm cố định (hoặc đến hai điểm di động trên hai đường nào đó).

+ Nhóm bài toán thể hiện hiệu các khoảng cách.

+ Nhóm bài toán thể hiện khoảng cách từ một điểm đến một đường tròn.

+ Nhóm bài toán thể hiện tổng khoảng cách từ một điểm trên một đường tròn đến hai điểm cố định.

+ Nhóm bài toán liên quan đến tâm tỉ cự + Nhóm bài toán liên quan elip.

* ĐỊNH HƯỚNG 2: TIẾP TUYẾN HOẶC ĐIỂM CHUNG

Ý tưởng xây dựng lớp các câu hỏi sử dụng phương pháp này là thiết kế giả thiết tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 là một đường tròn, elip, parabol và tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng cho biết phương Để tồn tại số phức thỏa mãn các yêu cầu bài toán thì đường thẳng và đường tròn (elip, parabol ) phải có điểm chung Từ đó chúng ta tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đề bài yêu cầu.

Trong mỗi bài toán đều có phân tích, định hướng kiến thức tìm ra lời giải, bình luận, khái quát hóa bài toán và có bài tập tự luyện dưới dạng trắc nghiệm khách quan để học sinh chủ động hơn trong việc giải quyết dạng bài toán đó Đặc biệt,

trong mỗi dạng bài toán chúng tôi đều đưa ra hướng phát triển của bài toán bằng cách thay đổi giả thiết hoặc kết luận của bài toán đó thông qua các ví dụ cụ thể Phương pháp chung:

Xác định dạng bài toán cần chuyển về Phát biểu bài toán chuyển về

Vận dụng các kiến thức hình học tương ứng để giải bài toán số phức Sử dụng mối liên hệ giữa Số phức vả các kiến thức liên quan để chọn đúng đáp án.

Phương pháp hình học.

Một trong những phương pháp hữu hiệu và được khai thác nhiều trong việc giải quyết các câu hỏi về cực trị số phức trong đề thi tốt nghiệp những năm gần đây là phương pháp hình học Với mỗi số phức , tương ứng với một điểm trên mặt phẳng tọa độ nên bài toán về số phức và bài toán hình học có mối tương quan mật thiết Nhiều bài toán số phức phức tạp, trừu tượng nhưng lại trở nên nhẹ nhàng và dễ giải quyết khi chúng ta chuyển nó về bài toán hình học

Để giải được bài toán max, min số phức bằng phương pháp hình học, học sinh cần phải nắm chắc và thành thạo về dạng toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ Trước hết, chúng tôi xin nhắc lại một số kiến thức cơ bản hay gặp của phần tập hợp điểm biểu diễn số phức.

Với điểm , là điểm biểu diễn cho số phức ,

z− a +b i = −za +b i : Tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trung trực của đoạn AB với

,

+) Nếu 2a=AB: Tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đoạn thẳng AB.

+) Nếu AB2a: Tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường elip với hai tiêu điểm là

A B, trục lớn

Tuy nhiên ngoài các cách thể hiện tập hợp điểm biểu diễn số phức như trên còn có nhiều cách tạo ra giả thiết để tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đường tròn, đoạn thẳng, elip Vấn đề này chúng ta sẽ thấy trong phần ví dụ.

Chúng tôi mạnh dạn đề xuất phương pháp chung để giải quyết bài toán về tìm max, minliên quan đến môđun số phức theo các bước sau:

Giả sử cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P liên quan đến

môđun số phức z (hoặc số phức z w, , ).

Bước 1: Biểu thị biểu thức P dưới dạng khoảng cách (khoảng cách giữa hai

điểm hoặc tổng khoảng cách, hoặc tổng bình phương các khoảng cách ).

Bước 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z(hoặc số phức z w, , ) mà giả thiết cho.

Bước 3: Phát biểu thành bài toán hình học.

Bước 4: Giải bài toán hình học phát biểu ở bước 3.

Lưu ý:

Trong bước 1 biểu thức P có thể viết về dưới dạng khoảng cách giữa hai điểm

(tức là độ dài của một đoạn thẳng) hoặc tổng độ dài của hai hay nhiều đoạn thẳng hoặc tổng, hiệu bình phương các đoạn thẳng tùy vào yêu cầu của bài toán.

Khi thực hiện bước 2, chúng ta cần tìm được tập hợp điểm biểu diễn của tất cả các số phức còn thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện nào đó của giả thiết, đồng thời tìm tọa độ của những điểm biểu diễn số phức đã biết, tức là điểm cố định.

Với bước 3, chúng ta cần hướng dẫn và rèn cho học sinh biết cách chuyển bài toán số phức về bài toán hình học, phát biểu bài toán hình học đó.

Ở bước 4, bước giải bài toán hình học: Học sinh cần nắm vững kiến thức hình học phẳng, đặc biệt kiến thức liên quan đến cực trị hình học phẳng đã học ở cấp II và ở lớp 10

Để làm tốt điều này, giáo viên cũng nên hệ thống và hướng dẫn giải lại một số bài toán hình học cơ bản trước khi nêu ví dụ cho học sinh, đồng thời hệ thống một số dạng (hay gặp) biểu diễn hình học của tập hợp số phức thỏa mãn điều kiện nào đó Đây cũng là yếu tố để học sinh có thể có định hướng nhanh cho hướng đi của bài toán.

I ĐỊNH HƯỚNG 1: ĐỊNH HƯỚNG KHOẢNG CÁCH

1 Nhóm bài toán thể hiện khoảng cách từ một điểm đến một đường, một tia, một đoạn thẳng, một miền đa giác.

Bài toán xuất phát: Cho đường thẳng và điểm A Tìm điểm Mdsao cho ngắn nhất.

Hướng giải quyết: Ta có kết quả: AMmin =d A d, là hình chiếu của A trên

đường thẳng

Tạo bài tập từ bài toán trên:

+) Thiết kế giả thiết: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức

z là một đường thẳng

+)Thiết kế yêu cầu: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun sao cho tạo ra

yếu tố khoảng cách từ điểm đến một điểm A cố định, tức là tìm giá trị nhỏ nhất

của z−z0 với A là điểm biểu diễn của

Ví dụ 1: Xét các số phức zthỏa mãn z− + = + +1 iz 1 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của z

A. 2

Hướng dẫn giảiBước 1: Đưa biểu thức z về khoảng cách:

Ta có z = − =z 0 MO, với lầ lượt là điểm biểu diễn của z và

Bước 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z:

Gọi z= +xyi x y, , Ta có z− + = + +1 iz 1 2ix− +1 y+1 i = x+ +1 y+2 i

4x+2y+ =3 0 1

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

Bước 3: Phát biểu thành bài toán hình học.

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và điểm thay đổi trên đường thẳng Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn

Bước 4: Giải bài toán hình học:

Ta có ngắn nhất khi là hình chiếu của trên đường thẳng và

Bình luận: Ngoài cách giải ví dụ trên bằng phương pháp hình học, chúng ta có thể

thực hiện ví dụ bằng phương pháp đại số bằng cách từ rút được và

564

f x = x + x+

Một số hướng phát triển bài toán:

Hướng 1: Thay đổi giả thiết nhưng vẫn đảm bảo tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng P= z z0 +z1 , với

cho trước.

Hướng 2: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một nửa mặt phẳng có bờ là một đường thẳng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng

P= z z+z với cho trước.

Hướng 3: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một miền đa giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng P= z z0 +z1 với cho trước.

Hướng 4: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà một đoạn thẳng, một tia Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng P= z z0 +z1 với

với lần lượt là điểm biểu diễn của z và − +3 4i.

Bước 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z:

Gọi z= +xyi x y, , Ta có x+yi = x− + −12 y i

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

Bước 3: Phát biểu thành bài toán hình học:

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và điểm thay đổi trên đường thẳng Tìm với

Bước 4: Giải bài toán hình học:

Ta có ngắn nhất khi là hình chiếu của A trên đường thẳng và

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z− +4 3i Tính

Hướng dẫn giải

Bước 1: Gọi N x y; là điểm biểu diễn số phức z= +xyi x y, , với là điểm biểu diễn số phức

Ví dụ 4 (Đề Tham Khảo 2017): Xét số phức z thỏa mãn z+ − + − − =2 iz 4 7i 6 2.

Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Tính P= +m M.

Bước 3: Phát biểu thành bài toán hình học:

Cho N thuộc đoạn thẳng AB và điểm , với , , Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của đoạn NC

Bước 4: Giải bài toán hình học:

+)Nếu hoặc tù (hoặc là góc vuông) thì Pmin =min CA CB, và

Suy ra thuộc tia đối tia BA (kể cả điểm B )

Bước 3: Phát biểu bài toán hình học: Cho A 2; 2 ,− B −1;3 và thuộc tia đối tia BA

(kể cả điểm B ) Tìm giá trị nhỏ nhất của với

Bước 4: Giải bài toán hình học: Dễ thấy Pmin = 2MCmin= 2.CB= 2 17= 34

Ví dụ 6: Xét các số phức z thỏa mãn z i+10 và i+1 z+ +2z 1 là số thuần ảo Biết rằng tồn tại số phức z= +a bi a b, , sao cho đạt giá trị nhỏ nhất

i+ z+ +z là số thuần ảo, suy ra thuộc đường thẳng

Do đó thuộc đoạn , với là giao điểm của đường thẳng và +) Tìm được B 1; 4 ,− C −1; 2 và khi MC hay z= − +1 2i

Bình luận: Thông thường tạo giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đoạn thẳng thường cho dưới dạng z− + −z1 zz2 =2a, với Tuy nhiên trong ví dụ trên giả thiết này đã được phát triển lên khó hơn bởi hai giả thiết

z i+ và i+1 z+ +2z 1 là số thuần ảo Thực chất đây là tương giao của hai đối tượng hình học là hình tròn và đường thẳng, trong đó đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt Theo hướng tư duy này chúng ta có thể tạo ra lớp bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức là đoạn thẳng như giao của hình elip và đường thẳng, giao của miền đa giác và đường thẳng, giao của một đường thẳng với miền hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng

Ví dụ 7: Xét các số phức z thỏa mãn các điều kiện z− + +4 z 4 10 và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hướng dẫn giải

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z− + + =4 z 4 10 là hình elip giới hạn bởi đường elip có phương trình

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện là đường thẳng có phương trình 1

y=

Đường thẳng 12

y= cắt elip tại hai điểm phân biệt

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đoạn thẳng AB

, Đến đây bài toán trở về tương tự ví dụ 4

Ví dụ 8: Xét các số phức z thỏa mãn các điều kiện z+1 z i+ và , Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

3 45 15535,3;1

Do đó , Pmax=5.CB=5 20 10 5=

Ví dụ 9: Cho số phức z thỏa mãn z−2 4, z+1 z i+ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P= − +z 3 2i lần lượt là và Khi đó tương ứng bằng

thực dương Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

(Vì nên trái đấu).

Gọi M là điểm biểu diễn của , N là điểm biểu diễn của

Bình luận: Với bài toán này HS gặp khó khăn khi chuyển giả thiết

sang hình học và giả thiết là số thực dương sang hình học Đây là bài toán lạ lần đầu tiên xuất hiện trong đề thi.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho số phức zthỏa mãn: và đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất Mô dung của số phức z tương ứng bằng

Bài 2: Cho số phức trong đó Giá trị lớn nhất của

z tương ứng bằng

Bài 3: Cho số phức , trong đó là các số thực không âm thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q= − −z 5 i tương ứng với và Khí đó bằng

Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn z−2 4, z+1 z i+ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P= − +z 3 2i lần lượt là và Khi đó bằng

Bài 6: Cho ba số phức z thỏa mãn Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là và Khi đó tương ứng bằng

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= − −z 4 3i lần lượt là và Giá trị của biểu thức

2+202

Bài 8 (Đề thi thử THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên 2021) Xét các số phức z thỏa mãn Gọi N n, lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

Tính

Hướng dẫn

với là điểm biểu diễn số phức z và I 1;1

MA MB+=AB , Suy ra thuộc đoạn AB Tìm được n=d I AB,=2; N=IB=365

2 Nhóm bài toán thể hiện tổng khoảng cách từ một điểm trên một đường thẳng đến hai điểm cố định (hoặc đến hai điểm di động trên hai đường nào đó)

Bài toán xuất phát: Cho hai điểm A B, và đường thẳng Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho MA MB+ nhỏ nhất.

Hướng giải quyết:

+) Nếu A B, nằm khác phía với đường thẳng thì khi

+) Nếu A B, nằm cùng phía với đường thẳng thì khi , với là điểm đối xứng với B qua đường thẳng

Tạo bài tập từ bài toán trên:

+)Thiết kế giả thiết: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z

là một đường thẳng

+)Thiết kế yêu cầu: Thiết kế yêu cầu bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

chứa tổng hai môđun của hiệu hai số phức sao cho tạo ra yếu tố tổng khoảng cách từ điểm đến hai điểm A B, cố định, tức là tìm giá trị nhỏ nhất của với

điểm biểu diễn số phức z.

Bước 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z: Gọi z= +xyi x y, ,

Ta có

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

Bước 3: Phát biểu thành bài toán hình học:

Cho đường thẳng và hai điểm Tìm giá trị nhỏ nhất của P=MA MB+

Bước 4: Giải bài toán hình học:

Dễ kiểm tra được A và B nằm khác phía so với đường thẳng nên

Bước 1: Đưa biểu thức P về khoảng cách:

và là điểm biểu diễn số phức z,

Bước 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z:

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

Bước 3: Phát biểu thành bài toán hình học:

Cho đường thẳng và hai điểm Tìm giá trị nhỏ nhất của P=MO MB+

Bước 4: Giải bài toán hình học:

Dễ kiểm tra được và B nằm cùng phía so với đường thẳng

Gọi là điểm đối xứng với qua , tìm được O' −4; 4

Một số hướng phát triển bài toán

Hướng 1: Thiết kế giả thiết tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P chứa tổng ba đoạn thẳng

Ví dụ 12 Xét các số phức z thỏa mãn iz+2i = +z 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

Bước 3: Phát biểu thành bài toán hình học:

Cho đường thẳng và các điểm Điểm Mdsao cho

P=MA MB MC+ + nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bước 4: Giải bài toán hình học:

Gọi là điểm đối xứng với A qua đường thẳng Ta có

Ví dụ 13 (Sở Gia Lai 2021) Xét hai số phức thỏa mãn z− − = − +1 2iz 2 i và

Bước 3: Bài toán trở thành: Cho đường thẳng và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=AM+AN+MN

Bước 4: Gọi lần lượt đối xứng với A qua

Đường thẳng đi qua và vuông góc với có phương trình là: nên là nghiệm của hệ 3 0

Đường thẳng đi qua và vuông góc với có phương trình là:

nên là nghiệm của hệ 2 1 0

Hướng 2: Thiết kế giả thiết tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với điểm Avà B có thể xây dựng theo một trong các hướng sau:

+) Điểm A và B biểu diễn cho hai số phức di động trên hai đường tròn (hai đường

tròn này không cắt đường thẳng)

+) Điểm A cố định và điểm B di động trên một đường tròn

+) Điểm A di động trên một đường thẳng song song với và điểm B di động trên

một đường tròn không cắt đường thẳng

Ví dụ 14 (Đề thi thử THPT Quảng Xương II - 2021)

Xét các số phức z= +a bi a b, , thỏa mãn điều kiện 3a− =2b 12 , số phức z1 thỏa mãn , số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Hướng dẫn giải

Bước 1: Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn

Bước 2: 3a− =2b 12 M thuộc đường thẳng .

thuộc đường tròn có tâm , bán kính

thuộc đường tròn có tâm I2 6;8 , bán kính

Ta thấy hai đường tròn I R1, và I R2, nằm cùng phía với

Bước 3: Bài toán trở thành: Cho hai đường tròn và đường thẳng , điểm

Dấu “=” xảy ra khi

Ví dụ 15 (Sở Kiên Giang 2021) Xét hai số phức thỏa mãn và

Bước 3: Bài toán trở thành: Cho đường tròn , đường thẳng và điểm Điểm , Tìm giá trị nhỏ nhất của P=NA NM+

Bước 4:

Ta thấy điểm A và đường tròn nằm về cùng một phía đối với đường thẳng Gọi B là điểm đối xứng với A qua đường thẳng thì

+) Bước 1: Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn z, w,u Ta có P=MN+MK.

+) Bước 2: Tìm được tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục hoành; tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng ; tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm bán kính

+) Bước 3: Bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của P=MN+MK với ,

Dấu “=” xảy ra khi là hình chiếu của trên d , là hình chiếu của trên và K =K0 =IN0 C , nằm trong đoạn Tìm được

Hướng 3: Thay giả thiết tập hợp điểm biểu diễn số phức z (tức điểm ) thành

đường tròn, đường elip, parabol, đa giác Điểm A và B nằm khác phía với các

đường nói trên Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=MA MB+

Ví dụ 17: Xét các số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Bước 1: Đưa biểu thức P về khoảng cách:

Bước 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z: Gọi z= +xyi x y, ,

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I 1; 2 , bán kính

Bước 3: Phát biểu thành bài toán hình học:

Cho đường tròn có tâm I 1; 2 , bán kính và hai điểm , điểm thay đổi nằm trên đường tròn Tìm giá trị nhỏ nhất của P=MA MB+

Bước 4: Giải bài toán hình học:

Ta thấy A và B nằm khác phía với đường tròn Theo kết quả bài toán trên ta

Vậy Pmin = 13 M là giao điểm của đoạn AB và , tìm được

Ví dụ 18 (Sở Nam Định- 2021) Trên mặt phẳng tọa độ, gọi là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn Gọi lầ lượt là điểm biểu diễn số

+) Bước 4: Ta thấy hai điểm Avà B nằm khác phía với nên Dấu “=” xảy ra khi là giao điểm của đoạn AB với

Ví dụ 20(Đề GT B Năm 2022): Cho hai số phức thoả mãn: Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức Biết , khi đó giá trị

Bước 2: 3iz2 = 3 iz2 =6 nên điểm biểu diễn của số phức là điểm ( là giao điểm của tia ON với đường tròn , Nlà điểm biểu diễn của số phức

), điểm biểu diễn của số phức là điểm đối xứng với điểm

Bài 3: (Nguyễn Khuyến - Nam Định 2021) Giả sử z1, , là ba số phức thỏa mãn , và z3− =1 iz3+1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= z − +zz −z bằng

Bài 4: Xét các số phức thay đổi nhưng luôn thỏa mãn z1− − =1 iz2− −7 4i = 5 , z3 là số thực Khi đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính giá trị lớn nhất của

.

A. B .C 26 D 29.

Bài 5: Cho các số phức z , , thỏa mãn và Tính M = −z1 z2 khi đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: Cho số phức zthỏa mãn và đồng thời nhỏ nhất Mô đun của số phức z tương ứng bằng

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của

Bài 8: (Kim Liên - Hà Nội 2019) Xét các số phức thỏa mãn Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

3 Nhóm bài toán thể hiện hiệu các khoảng cách.

Bài toán xuất phát: Cho hai điểm A B, và đường thẳng , A và B cùng phía

với đường thẳng Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho lớn nhất.

Tạo bài tập từ bài toán trên:

+)Thiết kế giả thiết: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z

là một đường thẳng

+)Thiết kế yêu cầu: Thiết kế yêu cầu bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

chứa giá trị tuyệt đối của hiệu hai môđun sao cho tạo ra yếu tố hiệu khoảng cách từ điểm đến hai điểm A B, cố định, tức là tìm giá trị lớn nhất của z− − −z1 zz2 với

A B là điểm biểu diễn của

Ví dụ 20: Xét các số phức z thỏa mãn Gọi là số phức thỏa

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

Bước 3: Phát biểu thành bài toán hình học: Cho đường thẳng và các điểm 1; 2 , 1; 2

AB − Điểm Mdsao cho lớn nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó và tìm tọa độ điểm

Bước 4: Giải bài toán hình học:

Ta thấy A 1; 2 ,B −1; 2 cùng phía với nên

suy ra

Một vài hướng phát triển bài toán:

Hướng 1: Thay đổi giả thiết tập tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn, đường elip, đường parabol, đa giác

Hướng 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (tức là tìm giá trị lớn nhất của )với hai điểm A B, cho trước và nằm cùng phía với tập hợp

AB , điểm thuộc elip Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bước 4: Ta thấy A và B nằm trong elip do đóMA MB− AB=5, xảy ra khi là giao điểm của đường thẳng AB và elip

Đường thẳng AB có phương trình

Giao điểm của đường thẳng AB và elip là các điểm

Vậy giá trị lớn nhất của P= − − −z 2 z i bằng 5

Ví dụ 22: Xét các số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Hướng dẫn giải

Bước 2: , suy ra điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn có

Bài toán xuất phát: Cho đường tròn có tâm , bán kính R và cho một

điểm A

a Tìm điểm sao cho b Tìm điểm sao cho

Hướng giải quyết:

Tạo bài tập từ bài toán trên:

+)Thiết kế giả thiết: Thiết kế giả thiết sao cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z

là một đường tròn có tâm , bán kính R

+)Thiết kế yêu cầu: Thiết kế yêu cầu bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ

nhất của biểu thức chứa môđun của hiệu hai số phức

Bước 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z:

Gọi z= +xyi x y, , Ta có z+ − =3 2i 1022

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm , bán kính

Bước 3: Phát biểu thành bài toán hình học:

Cho đường tròn có tâm , bán kính và điểm , điểm thay đổi nằm trên đường tròn Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Bước 4: Giải bài toán hình học:

Theo kết quả bài toán trên ta có ngay Pmin= IA R− =10; Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P là .

Hướng phát triển bài toán

Hướng 1: Thay đổi giả thiết: điểm A biểu diễn cho số phức z1 thay đổi trên một đường tròn hoặc một elip hoặc một parabol, điểm biểu diễn cho số phức z thay đổi trên một đường tròn Tìm giá trị nhỏ nhất của

Ví dụ 24: Xét các số phức thỏa mãn là số thực và Tìm giá trị nhỏ nhất của

Hướng dẫn giải+) Bước 1: Đưa biểu thức về khoảng cách:

, với lần lượt là điểm biểu diễn

+) Bước 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn z1 và .