Rèn luyện kỹ năng giải toán cho hs lớp 12 thông qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu: “Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian” dưới sự hướng dẫn của

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM VIẾT BIÊN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2021

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM VIẾT BIÊN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu: “Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian” dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Việt Cường là kết quả

nghiên cứu của cá nhân tôi, các kết quả nghiên cứu được trong luận văn này là

trung thực và chưa được công bố ở bất cứ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2021

Tác giả luận văn Phạm Viết Biên

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, gia đình và người thân Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới những người đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Trần Việt Cường, đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán, Khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn Mặc dù tôi đã có rất nhiều cố gắng, song khả năng có hạn nên bản luận văn không tránh khỏi những khiếm khuyết Tôi rất mong được sự thông cảm và đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo và các học sinh của lớp thực nghiệm 12C2, lớp đối chứng 12C3 trường THPT Quảng Uyên, Quảng Hòa, Cao Bằng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian dài học tập và nghiên cứu luận văn

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2021

Tác giả luận văn

Phạm Viết Biên

3 Giả thuyết khoa học 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Kỹ năng, kỹ năng giải toán 5

1.1.1 Kỹ năng 5

1.1.2 Kỹ năng giải toán 7

1.2 Dạy học giải bài tập toán 11

1.2.1 Mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán 11

1.2.2 Chức năng của bài tập toán 13

1.2.3 Quy trình dạy học giải bài tập toán 15

1.3.2 Mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian cho HS lớp 12 21

1.3.3 Một số dạng toán về chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian

trong chương trình môn toán lớp 12 23

1.4 Thực trạng dạy học giải toán phương pháp tọa độ trong không gian cho HS lớp 12 50

1.4.1 Mục đích điều tra 50

1.4.2 Đối tượng điều tra 51

1.4.3 Nội dung và phương pháp điều tra 51

1.4.4 Kết quả điều tra 51

Kết luận Chương 1 59

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TOÁN CHO HS LỚP 12 QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 60

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp sư phạm 60

2.1.1 Định hướng 1 Tôn trọng, bám sát nội dung sách giáo khoa hiện hành 60

2.1.2 Định hướng 2 Đảm bảo tính khoa học 60

2.1.3 Định hướng 3 Đảm bảo tính khả thi trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán 60

2.1.4 Định hướng 4 Phù hợp với nhu cầu của người học 61

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS lớp 12 thông qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian 61

2.2.1 Hệ thống hóa các dạng toán và phương pháp giải cho các dạng toán thường gặp trong chủ đề Phương pháp tọa độ trong không gian cho HS 61

2.2.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán phương pháp tọa độ trong không gian cho HS theo quy trình giải toán của G.Polya 74

2.2.3 Rèn luyện kỹ năng giải toán phương pháp tọa độ trong không gian cho HS thông qua việc cho HS giải những bài toán có tính chất thuật giải 78

2.2.4 Rèn luyện kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải cho HS qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian 84

2.3 Kết luận Chương 2 90

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 92

3.1 Mục đích thực nghiệm 92

3.2 Đối tượng thực nghiệm 92

3.3 Nội dung thực nghiệm 92

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU, HÌNH Bảng

Bảng 1.1 Tổng hợp số liệu khảo sát đối với GV (100 GV) 54

Bảng 1.2 Tổng hợp số liệu khảo sát đối với HS (100 HS) 57

Bảng 3.1 Kết quả học tập môn Toán của lớp 12C2 và 12C3 trường THPT

MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài

Theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo khẳng định “Chương trình giáo dục phổ thông bảo đảm phát triển phẩm chất và năng lực người học thông qua nội dung giáo dục với những kiến thức, kỹ năng cơ bản, thiết thực, hiện đại; hài hoà đức, trí, thể, mĩ; chú trọng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học để giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống”… Đặc biệt trong thông tư còn xác định mục tiêu chung của môn toán “Có kiến thức, kỹ năng toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu về Hình học và Đo lường: Cung cấp những kiến thức và kỹ năng (ở mức độ suy luận logic) về các quan hệ hình học và một số hình phẳng, hình khối quen thuộc; phương pháp đại số (vectơ, toạ độ) trong hình học; phát triển trí tưởng tượng không gian; giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo lường”

Trong trường phổ thông, môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa quan trọng Đặc biệt môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông, môn Toán góp phần phát triển nhân cách HS Cùng với việc tạo điều kiện cho HS kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá Rèn luyện những đức tính, phẩm chất của con người lao động mới như tính cẩn thận, chính

xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ

Nhiệm vụ của dạy học môn Toán là: trang bị tri thức cơ bản cần thiết cho HS, rèn luyện kỹ năng Toán học và kỹ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn, phát triển trí tuệ cho HS, bồi dưỡng những phẩm chất đạo đức tốt đẹp cho HS, đảm bảo trình độ phổ thông, đồng thời chú trọng bồi dưỡng những HS có năng

khiếu về Toán

Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS có vai trò quan trọng vì: đó

là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thông Việc xây dựng giải toán theo chủ đề là hình thức thiết yếu của hoạt động toán học, giúp HS phát triển tư duy, tính sáng tạo Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho HS, yêu cầu HS có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu

Phương pháp tọa độ có tính thực tế rất gần gũi với đời sống chúng ta Chẳng hạn như cho 1 bàn cờ vua, làm sao để xác định được vị trí của quân xe, quân mã trên bàn cờ vua, hoặc khi chơi cờ mồm các kì thủ phải nhớ được vị trí các quân cờ của mình, của đối thủ trên bàn cờ Hay làm thế nào để xác định được ta đang ở vị trí nào trên trái đất… chính vì tính thiết thực đó mà người ta đã xây dựng hệ trục tọa độ nhằm giải quyết các vấn đề trên Và ngày nay ứng dụng phương pháp tọa độ người ta đã xây dựng các thiết bị công nghệ cao, giúp ích rất nhiều trong cuộc sống và trong khoa học, điển hình như thiết bị định vị, ra đa …

Thực tế trong công tác giảng dạy lớp 12 phần hình học tọa độ trong không gian, chúng tôi nhận thấy rằng nhiều em còn lúng túng trong việc áp dụng lý thuyết để giải những bài tập đơn thuần Những bài có tính chất tổng hợp và nâng cao thì việc phân tích để tìm ra hướng giải bài toán rất khó khăn, mà nội dung tọa độ trong không gian là một nội dung giữ vai trò chủ đạo, chiếm một khối lượng lớn kiến thức và thời gian học của chương trình, có ý nghĩa quan trọng trong đề thi THPT quốc gia và thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng Bởi vậy, việc xây dựng phương pháp rèn luyện giải toán theo chủ đề tọa độ hình học trong không gian là một nội dung rất cần thiết và bổ ích đối với các em HS lớp 12

Đã có nhiều công trình khoa học giáo dục nghiên cứu theo nhiều góc độ khác nhau về phương pháp tọa độ, song về kỹ năng giải các bài toán trong chủ

đề phương pháp tọa độ thì không nhiều và chưa đầy đủ Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học nội dung này và những lý do nêu trên chúng tôi quyết

định lựa chon đề tài luận văn của mình là: “Rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS lớp 12 thông qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian”

2 Mục đích nghiên cứu

Từ việc nghiên cứu lý luận vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS và thực tiễn dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian cho HS lớp 12, xây dựng một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS lớp 12 qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian

3 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất và thực hiện một cách hợp lý các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS lớp 12 qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian thì sẽ giúp nâng cao kỹ năng giải toán chủ đề này cho HS lớp 12, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS; - Tìm hiểu thực trạng việc dạy học giải toán chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian cho HS lớp 12

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn kỹ năng giải toán cho HS lớp 12 dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục

học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán; các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài; các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài

- Điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy học của GV và việc học

của HS trong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa

- Thực nghiệm sư phạm: Thể hiện các biện pháp sư phạm đã đề ra qua

một số giờ dạy thực nghiệm ở một số lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần "Mở đầu", "Kết luận" và "Danh mục tài liệu tham khảo", nội dung luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Xây dựng chủ đề “phương pháp tọa độ trong không gian” hình học lớp 12 theo hướng rèn kỹ năng giải toán cho HS

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Kỹ năng, kỹ năng giải toán

1.1.1 Kỹ năng a) Khái niệm

Trong cuộc sống luôn đặt ra các vấn đề cho chúng ta trên tất cả các lĩnh vực dù là lí luận thực hành hay nhận thức Để giải quyết được các công việc, chúng ta cần vận dụng sự hiểu biết và kinh nghiệm để có thể xử lí các vấn đề gặp phải Vì vậy cần phải biết vận dụng một cách cụ thể cho từng trường hợp Trải qua quá trình đó, con người đã dần hình thành cho mình những kỹ năng giải quyết vấn đề mình đặt ra

Trong từ điển Tiếng Việt có ghi: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [10]

Theo giáo trình tâm lý học đại cương: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [9]

Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [4]

“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận định được Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [11]

Từ những góc nhìn chuyên môn khác nhau, có nhiều định nghĩa khác nhau về kỹ năng Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra Để có được kỹ năng, chúng ta phải trải qua quá trình lặp đi lặp

lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó Nói đến kỹ năng là nói đến khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết để đạt được mục đích đã định Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ ràng

b) Sự hình thành kỹ năng

- Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng [4]:

+ Nội dung bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa sẵn sàng hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

+ Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng, Vì thế, tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho HS dễ dàng trong việc hình thành kỹ năng

+ Có khả năng khái quát đối tượng một cách toàn thể

- Sự hình thành kỹ năng: “thực chất của việc hình thành kỹ năng là hình thành cho HS nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể” [4]

Do vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho HS, GV cần chú ý:

+ Giúp cho HS biết cách tìm tòi để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

+ Giúp HS hình thành một cách khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại

+ Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương xứng

Như vậy bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức Bởi vì cấu trúc của kỹ năng là: Hiểu mục đích, biết cách thức đi đến kết quả, hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó

1.1.2 Kỹ năng giải toán

a) Khái niệm kỹ năng giải toán

“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận định được Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [11]

“Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập (bằng suy luận, chứng minh)” [2]

Để thực hiện tốt môn Toán ở trong trường THPT, một trong những yêu cầu cần được đặt ra là:

“Về tri thức và kỹ năng cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng Chẳng hạn: Tri thức và kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm ” [5]

Một điểm đáng chú ý là: “Trong quá trình giải bài tập toán, cần khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận một vấn đề theo khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp nhất” [5]

Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

b) Phân loại kỹ năng trong môn Toán

i) Kỹ năng chung

- Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài toán: Phân tích bài toán, làm rõ các dự kiện đặt ra Nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì cần tìm khâu nào còn chưa biết, một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuật toán để giải bài toán, xác định đó là trọng tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hướng giải Đây là kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là quan trọng nhất khi giải bài

tập toán Cần làm rõ thành phần mối liên hệ (tường minh hoặc không tường minh) qua các yếu tố (có hoặc không có) trong bài toán

- Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài toán Vấn đề khó khăn nhất của HS khi đứng trước một bài toán Nhiều HS không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả của bài toán Xét về mặt nhận thức thì việc giải một bài toán bao gồm hai quá trình: thứ nhất là tìm hướng giải, thứ hai là tiến hành giải bài toán còn gọi là chiến thuật giải bài toán Hai quá trình này có thể được tiến hành đồng thời hoặc tách thành hai quá trình riêng biệt Yêu cầu xác định hướng giải bài toán phụ thuộc phần lớn vào khâu này Có nhiều cách để HS thực hiện biện pháp này: chẳng hạn, giúp HS phân loại, phân dạng bài tập để xác định phương pháp chung giải các loại, dạng bài tập đó Phương pháp chung sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán cụ thể

- Kỹ năng xây dựng và thực hiển kế hoạch cụ thể giải bài toán - Kỹ năng kiểm tra đánh giá quá trình giải bài toán

- Kỹ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người giải toán

ii) Kỹ năng cụ thể

Cụ thể GV cần rèn luyện cho HS các kỹ năng:

- Kỹ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: khả năng nắm một khái niệm, định lý, kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc, bên cạnh đó còn phải biết dự đoán và suy đoán

- Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong Toán học hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tiễn

- Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức: Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân nhằm phấn đấu đạt được mục đích

- Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá: Hoạt động học của HS là quá trình tự vận động để chiếm lĩnh tri thức và người học không chỉ tiếp thu thụ động mà có sự điều chỉnh để đạt kết quả như mong muốn Muốn vậy HS phải có kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá để làm căn cứ cho sự “tự điều chỉnh” Để rèn luyện được kỹ năng này, trước hết phải biết xác định rõ mục tiêu học tập của từng giai đoạn hay từng phần kiến thức của chương trình đối với bản thân mình Với mỗi mục tiêu học tập, căn cứ vào mỗi lần kiểm tra của GV và nhất là căn cứ vào việc tự đánh giá khả năng học tập của bản thân thông qua việc học lý thuyết, việc giải từng bài tập Từ đó thấy được chỗ còn yếu, chỗ còn thiếu sót của bản thân về những mặt nào đó mà đề ra phương hướng khác phục Một khi HS đã có kỹ năng tự kiểm tra,đánh giá và biết tự điều chỉnh thì kết quả học tập được nâng lên dàn

c) Các mức độ kỹ năng giải toán

Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải toán: - Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản

- Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp

Trong mỗi nhóm lại có 3 mức độ khác nhau:

- Mức độ biết làm: Nắm được qui trình giải một bài toán cơ bản nào đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh

- Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn ngọn, chính xác theo cách giải như bài tập mẫu nhưng chưa có nhiều biến đổi

- Mức độ mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với các bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới

d) Sự hình thành kỹ năng giải toán

Để cung cấp cho HS kỹ năng giải toán ta có hai phương pháp cơ bản:

+ Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho HS một số các bài toán có cùng cách giải để sau khi giải xong HS tự rút ra kỹ năng giải toán Đây là phương

pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của HS

+ Phương pháp trực tiếp: GV soạn thành những bài giảng về những kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết

e) Kỹ năng giải toán Phương pháp tọa độ trong không gian

Trong phạm vi của đề tài này, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS thông qua dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian, chúng tôi lựa chọn một số kỹ năng cần thiết sau đây:

- Kỹ năng nhận thức: Khả năng nắm được định nghĩa, khái niệm, định lý, tính chất, công thức trong nội dung chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian và khả năng vận dụng linh hoạt, tránh máy móc, bên cạnh đó còn phải biết dự đoán và suy đoán

- Kỹ năng tưởng tượng không gian, vị trí tương đối và các mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán: Là khả năng của người học về không gian, từ đó nhận định đúng vai trò của các yếu tố có liên quan đến nhau trong

- Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài toán: Phân tích bài toán để làm rõ những yêu cầu bài toán đặt ra, giả thiết của bài toán đã cho những dữ kiện nào, và mối liên hệ giữa giả thiết của bài toán với yêu cầu của bài toán, từ đó tìm ra hướng đi cho bài toán

- Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài toán: Là khả năng tìm kiếm thông tin liên quan đến bài toán trong chủ đề này Đề ra chiến lược, hướng giải cho bài toán trong chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian

- Kỹ năng xây dựng và thực hiển kế hoạch cụ thể giải bài toán: Từ việc có hướng giải bài toán HS cần xây dựng các bước giải và vận dụng các quy tắc nhất định đê cụ thể hóa việc giải bài toán

- Kỹ năng nhận dạng bài toán: Kỹ năng nhận định xem bài toán được giải quyết theo phương pháp nào, dựa trên những kiến thức, tri thức phương pháp,

cách giải đã biết về các dạng toán trong chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian, qua đó có hướng đi cụ thể cho bài toán

- Kỹ năng kiểm tra đánh giá quá trình giải bài toán: Từ kết quả của bài toán thì người học kiểm tra lại các bước, kết quả, lời giải của bài toán từ đó có hướng điều chỉnh cho tối ưu hơn

- Kỹ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người giải toán

1.2 Dạy học giải bài tập toán

1.2.1 Mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán a) Mục đích

Với yêu cầu ngày càng cao về nguồn nhân lực của xã hội về cả số lượng lẫn chất lượng đòi hỏi hệ thống giáo dục nói chung và nhà trường nói riêng thì cần đặt ra nhiều tiêu chí, mục đích cụ thể cho việc đào tạo Để thực hiện tốt mục tiêu chung của giáo dục thì môn Toán đóng một vai trò vô cùng to lớn Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, phát triển phẩm chất trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa… rèn luyện những đức tính của người lao động mới như: cẩn thận, chính xác, kỉ luật, phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ

Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiên tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Có thể thấy rõ một số mục đích bài tập toán ở trường phổ thông là:

- Phát triển ở HS những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biết những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực động cũng như trong học tập hiện nay và sau này

- Làm cho HS từng bước nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình

huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác

- Thông qua việc giải bài tập, HS khắc sâu các kiến thức đã học, biết xâu chuỗi các kiến với nhau, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo các kiến thức mới đối với HS; qua đó rèn luyện, phát triển tư duy lôgic, sáng tạo, tính kiên trì, cần cù, chịu khó ở người HS

- Phát triển thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

b) Vị trí

“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với HS có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy toán học”[5]

c) Vai trò

Bài tập toán có vai trò quan trọng vì theo Nguyễn Bá kim [5] “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với HS có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán”

“Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Điều căn bản là bài tập có vai trò là giá mang hoạt động của HS Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để HS học tốt các môn học khác, giúp HS hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực

Môn toán có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa Rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: Tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo

d) Ý nghĩa

Trong trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để GV kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học

Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho HS nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện người HS về nhiều mặt

1.2.2 Chức năng của bài tập toán

Trong dạy học, bài tập toán thường được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau Một bài tập toán có thể tạo ra tiền đề xuất phát, gợi động cơ, để khơi dậy một nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Mỗi bài tập cụ thể khi đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau, những chức năng này đều

hướng đến các mục đích dạy học trong môn Toán, hệ thống bài tập có các chức năng sau [7]:

- Với chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho HS

những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học Cụ thể như: Làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề về lý thuyết; thu gọn, mở rộng, bổ sung cho lý của lý thuyết Đặc biệt, bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật, tổng hợp thể hiện qua việc giúp HS rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng đọc hình vẽ, kỹ năng sử dụng các phương tiện học tập, kỹ năng thực hành toán học; phương pháp tư duy, thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn tiết kiệm thời gian

- Với chức năng giáo dục: Bài tập giúp HS hình thành thế giới quan duy

vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin ở bản thân HS và phẩm chất của con người lao động, rèn luyện, phát triển cho HS đức tính kiên nhẫn, bền bỉ, không ngại khó, sự chính xác và chu đáo trong khoa học

- Với chức năng phát triển: Bài tập giúp HS ngày càng nâng cao khả

năng suy nghĩ, rèn luyện, phát triển các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo Từ đó, HS hình thành phẩm chất tư duy khoa học

- Với chức năng kiểm tra: Bài tập giúp GV và HS đánh giá được mức độ

và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ pháp triển của HS

Với các chức năng trên, giải bài tập toán đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong quá trình rèn luyện kỹ năng, năng lực cho HS Từ việc giải bài tập toán thì người GV có thể tìm ra được những điểm mạnh, những hạn chế của HS trong việc lĩnh hội và trình bày tri thức Từ đó, người GV đưa ra những phương pháp nhằm bổ sung, rèn luyện và phát triển cho HS Có thể nói rằng, hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và

thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Người GV phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình

1.2.3 Quy trình dạy học giải bài tập toán

Theo tư tưởng sư phạm của G.Polya [11] “trong quá trình giải bài tập toán cần khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy Mặt khác tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp nhất…”

Dạy học giải bài tập toán không chỉ đơn thuần là GV cung cấp cho HS lời giải, đáp án của bài toán mà quan trọng là HS nắm được phương pháp làm sao để giải một bài toán

Giải bài tập toán đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong quá trình rèn luyện kỹ năng Mà muốn giải bài tập toán thì GV cần cung cấp cho HS tri thức phương pháp giải toán, cụ thể là kiến thức, quy trình giải một bài toán Để phát triển kỹ năng giải toán ở HS, GV cần phải phân tích một số bài toán có tích chất làm mẫu Trong đó GV đặt ra các câu hỏi, các hoạt động để hướng đẫn HS tìm lời giải bài toán trong những trường hợp cụ thể Trên cơ sở đó HS sẽ tự luyện tập vận dụng vào những bài toán mới Như vậy cần hình thành cho HS kỹ năng về quy trình để giải một bài tập toán

Theo G.Polya [11], quy trình giải một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, ký hiệu hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, quỹ tích

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lý nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Kiểm tra, mở rộng bài toán

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với những tri thức phương pháp về những nội dung Toán học cụ thể HS có thể tìm tòi, khám phá để tìm đến lời giải bài toán

Như vậy giải một bài toán không chỉ dừng lại ở việc tìm ra đáp số của bài toán mà cần bao quát được bài toán và đưa ra được phương pháp, cách giải, lời giải sao lôgíc và dễ hiểu nhất Từ đó mở rộng bài toán và lĩnh hội được tri thức phương pháp giải các bài toán có dạng tương tự hoặc biến thể của nó Để áp dụng quy trình này ta xét ví dụ sau:

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 2; 1), vuông

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Từ đề bài ta có:

+ d vuông góc với đường thẳng d’ + d song song với mặt phẳng ( ) 

Cái cần làm là viết phương trình đường thẳng của d Vậy ta cần + Xác định điểm d đi qua (đã có theo giả thiết)

+ Xác định vectơ chỉ phương (VTCP) của d

Bước 2: Tìm cách giải

Để viết để viết phương trình đường thẳng d cần biết: + Một điểm thuộc d (điểm M đã có)

+ Xác định được một VTCP của đường thẳng d

- Vì d vuông góc với đường thẳng d’ nên VTCP của d vuông góc với

Mà tích có hướng của 2 vectơ là 1 vectơ vuông góc với hai vectơ đó Do

đó tích có hướng của vectơ VTCP của đường thẳng d’ với VTPT của mặt

phẳng ( )nếu khác vectơ không sẽ là VTCP của đường thẳng d 

Bước 3: Trình bày lời giải

Vectơ ud' 2;3; 1 ,   n 1;4; 2 lần lượt là VTCP và VTPT của  

là VTCP của đường thẳng d

Đường thẳng d đi qua M(-1;2;1) và nhận ud   2;3;5 làm VTCP nên 

đường thẳng d có phương trình tham số:

Nghiên cứu lời giải:

Nếu đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng ( )thì  ud' k n  khi đó không tồn tại tích có hướng của hai vectơ này

Hai trường hợp trên đều không viết được phương trình đường thằng d

Mở rộng bài toán Từ bài toán ta có cách tìm VTCP của đường thẳng

trong trường hợp nếu VTCP của đường thẳng vuông góc với 2 vectơ a và

giải quyết các bài toán liên quan như:

- Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng không song song với nhau

- Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng không song song với nhau

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song hoặc chứa 2 đường thẳng không cùng phương

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm

Như vậy qua việc giải bài toán trên GV có thể phát triển kỹ năng giải toán cho HS Cụ thể các kỹ năng được hát triển qua ví dụ này:

- Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài toán - Kỹ năng tưởng tượng không gian

- Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài toán - Kỹ năng thực hành

- Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá

- Kỹ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của bản thân

1.2.4 Thuật giải

“Hằng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải Từ đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật toán và khái niệm này đã được dùng từ lâu, kéo dài suốt mấy nghìn năm trong Toán học” [6]

“Thuật toán (algorithm) là một cơ sở của Toán học và Tin học được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người hay máy thực hiện được một số hữu hạn thao tắc nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định Như vậy thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải vấn đề bài toán Đây chưa phải là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác” [5]

“Ở trường phổ thông HS được hoạt động với nhiều thuật toán như cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước chung lớn nhất

của hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải phương trình bậc hai dưới dạng chuẩn…” [5]

Các cách giải chấp nhận được nhưng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ các tiêu chuẩn của thuật toán thường được gọi là các thuật giải Khái niệm mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cửa cho chúng ta trong việc tìm kiếm phương pháp để giải quyết các bài toán được đặt ra

1.3 Chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian chương trình môn Toán lớp 12

1.3.1 Nội dung chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian trong chương trình môn Toán lớp 12

Trong chương trình dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông nội dung: “Phương pháp tọa độ trong không gian” được phân phối như sau:

2 Tọa độ của một điểm 3 Tọa độ của vectơ

II- Biểu thức tọa độ của các phép toán

I- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng II-Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1 Định nghĩa

2 Các trường hợp riêng

Chương Số tiết Bài Nội dung chính

III- Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

1 Điều kiện để hai mặt phẳng song song 2 điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

IV- Khoảng cách từ một điểm đến một

I- Phương trình tham số của đường thẳng II- Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

1 Điều kiện để hai đường thẳng song song 2 Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau 3 Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

Tự chọn bám sát chủ đề Phương pháp tọa độ trong không gian: 5 tiết

1.3.2 Mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian cho HS lớp 12

- Về kiến thức: Thông qua dạy học nội dung Phương pháp tọa độ trong không gian nhằm giúp HS có được các kiến thức cơ bản sau:

+ Hiểu được định nghĩa của hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian + Xác định tọa độ của 1 điểm, của vectơ và các phép toán của nó

+ Viết được phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

+ Tích vô hướng của 2 vectơ, độ dài của vectơ, khoảng cách 2 điểm + Nắm được VTPT, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

+ Nắm được sự xác định mặt phẳng Phương trình tổng quát của mặt phẳng + Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

+ Công thức xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

+ Áp dụng vào các bài toán hình học không gian giúp việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, thể tích khối đa diện được đơn giản hơn trong một số trường hợp

+ Biết dạng phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng + Biết xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Về kỹ năng: Thông qua dạy học nội dung Phương pháp tọa độ trong

không gian nhằm rèn luyện cho HS các kỹ năng sau:

+ Kỹ năng tính toán: dùng công cụ tính toán của đại số để tính toán các đại lượng hình học

+ Tìm được tọa độ của 1 vectơ, của điểm

+ Biết cách tính tích vô hướng của 2 vectơ, độ dài của vectơ và khoảng cách giữa hai điểm

+ Xác định được tâm và bán kính của mặt cầu khi biết phương trình của nó + Biết cách lập phương trình tổng quát của mặt phẳng khi biết một điểm và VTPT

+ Tính được khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

+ Hình thành kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng

+ Biết viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

+ Biết xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ngoài các kiến thức và rèn luyện các kỹ năng ở trên thì GV cần chú ý phát triển trí tưởng tượng không gian, tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, tư duy thuật toán và kỹ năng tính toán…, đồng thời hình thành năng lực tự học, năng lực tư duy lập luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sử dụng ngôn ngữ cho HS

1.3.3 Một số dạng toán về chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian trong chương trình môn toán lớp 12

+ Dạng 1 Tìm tọa độ của điểm, tọa độ vectơ

Phương pháp giải

- Dựa vào định nghĩa tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ

Tọa độ điểm: M x y z ⇔ OM ; ;   xiy j zk

Tọa độ của vectơ: Ta gọi bộ ba số a a1; ; 2 a là tọa độ của vectơ 3 a đối với hệ tọa độ Oxyz là a( ;a a a1 2; 3) aa i1 a j2 a k3

- Dựa vào các phép toán và áp dụng các tính chất của điểm, vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a( ;a a a1 2; 3),b( , , )b b b1 2 3 ta có

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA,

Vậy tọa độ điểm D(-4; -6; 5)

b) Ta có BE cùng hướng với AO Theo giả thiết ta có OA = 2BE

Vậy, tọa độ điểm M là M(-8;36;13)

Ví dụ 1.2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ' ' ' '

các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '

Vậy, tọa độ của D' là: D'(3; 1;0)

Vậy tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp là

(2; 1;0)

C  , A'(3;0;0), B'(4;3;1), D'(3; 1;0)

+ Dạng 2 Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ để tính góc của tam

giác, chứng minh tam giác vuông

Phương pháp giải

i) Tính góc của tam giác (giả sử tính số đo góc A)

ii) Chứng minh tam giác vuông

- Tính tọa độ vectơ có điểm đầu điểm cuối là đỉnh của tam giác

- Tính tích vô hướng của 2 trong các vectơ trên (AB BC để chứng minh tam giác vuông tại B AB AC để chứng minh tam giác vuông tại A)

Áp dụng tính chất a ba b 0=> điều cần chứng minh

Ví dụ 1.3 Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm

(2; 1;1)

A  , B(3;5;2), C(8;4;3), D( 2;2 m1;5)

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông b) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A c) Tính số đo góc A của tam giác ABC

Vậy để tam giác ABD vuông tại A thì m 1

Nếu ak b k  thì a và b không cùng phương

Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng (không thẳng hàng) ta có thể

đưa về chứng minh các vectơ AB và ACcùng phương (không cùng phương)

Ví dụ 1.4 Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm

A , B2;1;1, C0;2;4

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oyz sao cho ba điểm A, B, M

Suy ra A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

+ Dạng 4 Ứng dụng tích có hướng của hai vectơ

Cho hai véctơ không cùng phương a a a a; ; 

Nếu , a b c  0 thì ba vectơ ,a b và c không đồng phẳng

Để chứng minh 4 điểm ABCD đồng phẳng (không đồng phẳng) ta có thể

quy về việc xét 3 sự đồng phẳng của 3 vectơ AB AC và , ADii) Diện tích tam giác ABC :

- Xác định tọa độ các vectơ AB AC ,

- Tính tích có hướng của 2 vectơ AB và AC : AB,AC

- Tính độ dài vectơ vừa tính được: AB, AC

- Thay vào công thức 1 , AC 2

S AB 

Từ đó suy ra diện tích tam giác ABC

iii) Diện tích hình bình hành ABCD :

- Xác định tọa độ các vectơ AB AC ,

- Tính tích có hướng của 2 vectơ AB và AC : AB,AC

- Tính độ dài vectơ vừa tính được: AB, AC

- Thay vào công thức S AB, AC => diện tích tứ giác ABCD

iv) Thể tích tứ diện ABCD :