rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá giỏi cấp trung học cơ sở ở tỉnh hải dương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN MINH HUỆ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Ở TỈNH HẢI DƯƠNG LUẬN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN MINH HUỆ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Ở TỈNH HẢI DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN MINH HUỆ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Ở TỈNH HẢI DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

HÀ NỘI – 2023

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong luận văn này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội cùng các thầy cô tham gia giảng dạy tại trường đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả

trong quá trình nghiên cứu, thực hiện luận văn

Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo cùng các em học sinh trường THCS Quang Thành, trường THCS Lạc Long, thị xã Kinh Môn, tỉnh Hải Dương đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu tuy nhiên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả kính mong quý thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp quan tâm góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 01 năm 2023

Tác giả luận văn

Trần Minh Huệ

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

TT Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ

Bảng 1.6 Khảo sát việc tự lập kế hoạch học tập của HS 28

Bảng 1.7 Khảo sát việc thực hiện kỹ năng học tập của HS 29

Bảng 1.8 Phương pháp tự rèn kỹ năng học Toán của HS khi học ở nhà 30

Bảng 3.1 Bảng điểm kiểm tra 79

Bảng 3.2 Bảng điểm trung bình 80

Bảng 3.3 Bảng Tỉ lệ % học sinh đạt điểm Giỏi, khá, trung bình, yếu, kém 80

Bảng 3.5 Bảng tổng hợp các tham số đặc trưng 81

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Hình 3.1 Đồ thị đường tích lũy so sánh kết quả kiểm tra đề số 1 82

Hình 3.2 Đồ thị đường tích lũy so sánh kết quả kiểm tra đề số 2 82

Hình 3.3 Đồ thị cột so sánh kết quả kiểm tra đề số 1 83

Hình 3.4 Đồ thị cột so sánh kết quả kiểm tra đề số 2 83

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 2

4.1 Khách thể nghiên cứu 2

4.2 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Câu hỏi nghiên cứu 2

7 Giả thuyết nghiên cứu 3

8 Phương pháp nghiên cứu 3

8.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận 3

8.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn 3

8.3 Phương pháp thống kê toán học 3

9 Dự kiến đóng góp của luận văn 3

9.1 Về mặt lý luận 3

9.2 Về mặt thực tiễn 4

10 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 5

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Dạy học giải bài tập toán 5

1.1.1 Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông 5

1.1.2 Chức năng của việc giải bài tập toán 7

1.2 Dạy học rèn luyện kỹ năng 9

1.2.1 Một số quan điểm về kỹ năng 9

1.2.3 Sự hình thành kỹ năng 11

1.2.4 Những yếu tố ảnh hưởng đến quá trình hình thành kỹ năng 13

1.2.5 Phân biệt kỹ năng với năng lực 13

1.3 Kỹ năng giải toán 14

1.3.1 Khái niệm kỹ năng giải toán 14

1.3.2 Sự hình thành kỹ năng giải toán 15

1.3.3 Phát triển các kỹ năng giải toán 16

1.3.4 Dạy học phương pháp giải bài tập toán 17

1.3.5 Các mức độ kỹ năng giải toán 19

1.4 Bất đẳng thức trong số học 19

1.4.1 Khái niệm bất đẳng thức 20

1.4.2 Một số dạng bất đẳng thức trên tập số tự nhiên 20

1.4.3 Một số bất đẳng thức đặc biệt 21

1.5 Đối tượng học sinh khá, giỏi 22

1.5.1 Đối tượng học sinh khá, giỏi 22

1.5.2 Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh khá, giỏi 23

1.6 Thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh Trung học cơ sở ở tỉnh Hải Dương 24

1.6.1 Thực trạng dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá, giỏi 24

1.6.2 Thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học của học sinh 27

1.6.3 Thực trạng đào tạo và bồi dưỡng HSG cấp THCS ở tỉnh Hải Dương 32

Kết luận chương 1 33

CHƯƠNG 2 34

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG 34

2.1 Biện pháp 1 Dạy học rèn luyện kỹ năng thao tác tư duy cơ bản phân

tích, tổng hợp, tư duy tương tự 34

2.1.1 Rèn luyện kỹ năng thao tác phân tích, tổng hợp 34

2.1.2 Rèn luyện kỹ năng thao tác tương tự 35

2.2 Biện pháp 2 Xây dựng hệ thống một số bài tập rèn luyện một số kỹ năng 37

2.2.1 Rèn luyện kỹ năng so sánh các số hữu tỉ, các lũy thừa 37

2.2.2 Rèn luyện kỹ năng vận dụng các bất đẳng thức dạng đặc biệt 38

2.2.3 Rèn luyện kỹ năng xấp xỉ và ước lượng tổng và tích bộ số cho trước 39

2.2.4 Rèn luyện kỹ năng sắp thứ tự, độ gần đều và tiếp cận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 42

2.2.5 Rèn luyện kỹ năng tổng quát hóa và đặc biệt hóa 44

2.2.6 Rèn luyện kĩ năng làm đều hóa 50

2.2.7 Một số lưu ý khi xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá, giỏi Trung học cơ sở 51

3.4.1 Thời gian thực nghiệm 77

3.4.2 Nội dung thực nghiệm 77

3.4.3 Kiểm tra thực nghiệm 77

3.4.4 Xử lí số liệu 78

3.5.1 Các bảng tổng hợp kết quả TNSP 79

3.5.2 Sử dụng đồ thị biểu diễn kết quả TNSP 82

3.6 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 84

3.6.1 Chất lượng học tập của nhóm đối chứng và nhóm thực nghiệm 84

3.6.2 Đánh giá chung về kết quả TNSP 84

Kết luận chương 3 86

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học được coi là một môn học nền tảng, có vai trò rất quan trọng trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh Số học là một thành phần trọng yếu của toán học Bất đẳng thức là một trong những nội dung hay và khó của toán học phổ thông Các bài toán về bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kì thi chọn học sinh giỏi Olympic các cấp như cấp huyện, cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế và thường xuất hiện dưới dạng là bài toán khó nhất Các kiến thức về bất đẳng thức thì rất phong phú và đa dạng Các loại bất đẳng thức có thể phân thành: Bất đẳng thức trong số học, bất đẳng thức trong đại số, bất đẳng thức trong giải tích Đặc biệt, các bất đẳng thức trong số học là một phạm trù kiến thức rất quan trọng và được coi là khó đối với học sinh Trung học cơ sở

Hiện nay, ngành giáo dục nước ta đang thực hiện công cuộc đổi mới giáo dục theo định hướng phát triển năng lực của người học nhằm đạt được bốn mục tiêu giáo dục của Tổ chức Giáo dục, Khoa học và Văn hóa Liên hiệp quốc (UNESCO): “Học để biết; Học để làm; Học để cùng chung sống; Học để tự khẳng định” Đây là định hướng phát triển Giáo dục đã được các nước phát triển quan tâm và thực hiện trong thời gian gần đây Học sinh khi học tập nội dung về bất đẳng thức cần có những yêu cầu về tư duy và kỹ năng Do đó cả người dạy và người học cần phải chú ý và có những biện pháp để rèn kỹ năng giải dạng toán này phù hợp nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy và học

Với mong muốn nâng cao năng lực chuyên môn, bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã chọn nội dung bất đẳng thức trong số học làm luận văn thạc sĩ cho mình Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, dưới sự hướng dẫn của nhà giáo nhân dân,

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tác giả làm đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá, giỏi cấp Trung học cơ sở ở

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm rèn kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá, giỏi trường trung học cơ sở

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận các vấn đề về dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bao gồm khái niệm kỹ năng, khái niệm kỹ năng giải toán, đặc điểm của kỹ năng, quy trình đánh giá

Từ các cơ sở lý luận về kỹ năng, tổ chức dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán đề xuất một số biện pháp kỹ năng giải bài toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá, giỏi cấp THCS

Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của đề tài trong vận dụng dạy học môn toán theo chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường Trung học cơ sở

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 4.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Quy trình dạy học rèn luyện các kỹ năng giải toán Bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá, giỏi cấp THCS

- Phạm vi không gian: Chương trình môn Toán ở THCS

6 Câu hỏi nghiên cứu

- Dạy học rèn luyện kỹ năng là gì?

- Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh THCS được thực hiện như thế nào?

7 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu vận dụng một số biện pháp dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khá, giỏi THCS một cách hợp lý thì sẽ phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong trường THCS, đặc biệt trong công tác phát hiện và bồ dưỡng học sinh có năng khiếu

8 Phương pháp nghiên cứu 8.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Thu thập tài liệu và sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa trong tổng quan các vấn đề lý luận có liên quan đến đề tài

8.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra đánh giá thực trạng việc vận dụng các phương pháp dạy học bất đẳng thức ở một số trường THCS ở tỉnh Hải Dương

- TNSP thực nghiệm giảng dạy một số kế hoạch bài dạy soạn theo hướng của đề tài đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các đề xuất vận dụng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá, giỏi ở một số trường THCS

8.3 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng các phần mềm thống kê nhằm thống kê để đánh giá, phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm

9 Dự kiến đóng góp của luận văn 9.1 Về mặt lý luận

Đề tài hệ thống hóa các vấn đề lý luận và xây dựng được một số biện pháp về dạy học rèn luyện kỹ năng nói chung và rèn luyện kỹ năng giải toán nói riêng

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2 Rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho

học sinh khá, giỏi cấp Trung học cơ sở

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Dạy học giải bài tập toán

1.1.1 Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông

Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, phát triển những phẩm chất trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, kỉ luật, tính phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng tính thẩm mỹ Hơn nữa, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học khác

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, bài tập toán có vai trò quan trọng, vì ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Cụ thể việc giải bài tập toán có những tác dụng sau: Hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hóa kiến thức một cách sinh động Khi giải quyết bài toán, học sinh phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải đào sâu một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để giải quyết được bài tập Tất cả những thao tác tư duy đó góp phần củng cố khắc sâu và mở rộng kiến thức cho học sinh

Một trong những phương tiện tốt để phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh một phương pháp nghiên cứu

Trong khi giải bài tập toán, học sinh phải phân tích, lập luận từ đó tư duy logic, tư duy sáng tạo của học sinh được phát triển và năng lực của học sinh được nâng cao

Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tế, đời sống từ đó có tác dụng giáo dục cho học sinh về phẩm chất đạo đức, rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục khó khăn, tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn Toán nói riêng và học tập nói chung

Đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ” [15] Vai trò của bài tập thể hiện ở ba bình diện:

Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập toán ở nhà trường phổ thông là nền tảng cho những hoạt động học toán của học sinh nhằm đạt được mục đích trong dạy học môn Toán Bài tập toán học góp phần:

Hình thành, củng cố tri thức kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành và phát triển những phẩm chất trí tuệ

Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành và phát triển những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là phương tiện kết nối những kiến thức, với nhiều nội dung, làm cho bài tập đó trở thành một

những yếu tố bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là bệ đỡ những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội dung mới, củng cố kiến thức, ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của học sinh, giúp giáo viên nắm được thông tin hai chiều trong quá trình dạy học

Như vậy, bài tập toán học ở trường phổ thông có vai trò quan trọng trong hoạt động dạy, hoạt động học toán ở trường phổ thông Vì thế, giáo viên cần lựa chọn các bài tập toán sao cho phù hợp với từng đối tượng và năng lực của từng học sinh, như thế mới phát huy được năng lực giải toán của học sinh

1.1.2 Chức năng của việc giải bài tập toán

Trong dạy học, bài tập toán được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với một nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Mỗi bài tập cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau, những chức năng này đều hướng đến các mục đích dạy học trong môn Toán, hệ thống bài tập có các chức năng sau:

Với chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh

những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học Cụ thể như: Làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề về lý thuyết; thu gọn, mở rộng, bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ thống hóa kiến thức và nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết Đặc biệt, bài tập còn mang tác

năng tính toán, kỹ năng đọc hình vẽ, kỹ năng sử dụng các phương tiện học tập, kỹ năng thực hành toán học, phương pháp tư duy, thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn tiết kiệm thời gian

Với chức năng giáo dục: Bài tập giúp học sinh hình thành thế giới quan

duy vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin ở bản thân học sinh và phẩm chất của con người lao động, rèn luyện, phát triển cho học sinh đức tính kiên nhẫn, bền bỉ, không ngại khó, sự chính xác và chu đáo trong khoa học

Với chức năng phát triển: Bài tập giúp học sinh ngày càng nâng cao khả

năng suy nghĩ, rèn luyện, phát triển các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo Từ đó, học sinh hình thành phẩm chất tư duy khoa học

Với chức năng kiểm tra: Bài tập giúp giáo viên và học sinh đánh giá được

mức độ và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Thông qua giải bài tập, giáo viên có thể tìm thấy những điểm mạnh, những hạn chế trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của học sinh Qua đó có thể bổ sung, rèn luyện, phát triển và phát triển tiếp cho học sinh Có thể nói rằng hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Người học sinh phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực học tập của mình

Trên thực tế các chức năng không bộc lộ riêng lẻ và tách rời nhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói đến việc thực hiện các chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh

việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng của việc giải bài tập toán mà người xây dựng đề bài đã có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện đầy đủ các chức năng đó bằng năng lực sư phạm và trình độ của bản thân cũng như nghệ thuật dạy học của mỗi giáo viên

1.2 Dạy học rèn luyện kỹ năng

1.2.1 Một số quan điểm về kỹ năng

Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng, bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn và quan niệm cá nhân của người nghiên cứu

Theo quan điểm tâm lý học: Kỹ năng là năng lực vận dụng các kết quả của tri thức để phát hiện ra bản chất của sự vật, sự việc và giải quyết thành công các nhiệm vụ đề ra

Nhà tâm lí học người Nga A.V.Barabansicov cho rằng kỹ năng là khả năng sử dụng tri thức và các kỹ xảo của mình một cách có mục đích và sáng tạo trong quá trình của hoạt động thực tiễn Khả năng này là khả năng tự tạo của con người

Bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn khác nhau, có nhiều định nghĩa khác nhau về kỹ năng Dù phát biểu theo góc độ nào, hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chủ thể áp dụng kiến thức vào thực tiễn Để sở hữu kỹ năng, chúng ta phải trải qua quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó Nói đến kỹ năng là nói đến khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết để đạt được mục đích đã định

Từ những quan niệm trên có thể hiểu: Kỹ năng là sự thực hiện thành thạo và có kết quả cho một nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định bằng cách vận dụng những kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…), kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụ thể

gần giống kỹ năng:

Kỹ năng khác với phản xạ: Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi

trường Phản xạ mang tính thụ động Ngược lại, kỹ năng là phản ứng có ý thức và mang tính chủ động

Kỹ năng khác với kiến thức: Kiến thức là sự hiểu biết nhưng chưa từng

làm Còn kỹ năng là hành động trên nền tảng kiến thức

Kỹ năng khác với thói quen: Hầu hết thói quen được hình thành một cách

vô thức và khó kiểm soát, trong khi kỹ năng được hình thành một cách có ý thức qua quá trình luyện tập

1.2.2 Các đặc điểm của kỹ năng

Trong vận dụng, ta thường chú ý đến các đặc điểm của kỹ năng: Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó chính là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: Hiểu mục đích – biết cách thức đi đến kết quả – hiểu những điều kiện để triển khai những cách thức đó

Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

Muốn có kỹ năng về hành động nào đó cần phải có: - Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động

- Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó - Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đặt ra - Có thể hành động có hiệu quả trong các điều kiện khác nhau Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết các nhiệm vụ cụ thể Cái khó nằm ở chỗ học sinh không phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện ra những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó Trong trường hợp này, tri thức

mà họ có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và không biến thành cơ sở của kỹ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của sự vật Như vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần phải biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lý, nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp mục tiêu của hành động

Trong thực tiễn giảng dạy, tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh thuộc lý thuyết nhưng không vận dụng được lý thuyết đó vào bài tập, không biết lựa chọn định lý, tính chất nào vào bài toán cần giải quyết Nguyên nhân của hiện tượng đó là do kỹ năng chưa được hình thành

1.2.3 Sự hình thành kỹ năng

Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích yêu cầu Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trìu tượng hóa và khái quát hóa cho đến khi hình thành được mô hình về mặt nào của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng các con đường khác nhau:

Con đường thứ nhất: Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết rồi

sau đó đề ra các bài toán cần thiết để vận dụng những tri thức đó Từ đó học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm, qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động Người ta còn gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề

đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng toán và vận dụng đường lối đó vào bài toán cụ thể

Con đường thứ ba: Dạy cho học sinh chủ yếu là các hoạt động tâm lý cần

thiết đối với việc vận dụng tri thức Trong trường hợp này, giáo viên không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và thao tác mà còn tổ chức các hoạt động cho học sinh trong việc cải biến sử dụng thông tin thu được để giải bài toán đặt ra

Trong giai đoạn đầu, những mốc định hướng của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, ký hiệu về các đối tượng, còn thao tác và các mốc định hướng thì được thực hiện dựa trên những hình thức, những hành động đối tượng

Ở giai đoạn thứ hai, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng được thay thế bằng các ký hiệu và các hành động ngôn ngữ

Như vậy người giáo viên đã định hướng cho học sinh: Để chứng minh các bài toán trước hết phải phân dạng bài tập và tìm nội dung đã được học để tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể Từ đó xây dựng được cho học sinh các phương pháp giải toán Tuy nhiên để phát triển và khắc sâu các bài toán cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh mở rộng bài toán: Tìm cách giải khác nhau, tổng quát hóa bài toán, khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự hóa…

Như vậy, học sinh được hình thành kỹ năng tư duy suy luận logic Người ta còn gọi phương pháp dạy học nói trên là phương pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn Trên thực tế khi hình thành những tri thức mới ai cũng phải trải qua các giai đoạn này Tuy nhiên trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý thức Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những dấu hiệu logic mà điều chủ yếu là các em tự lựa chọn những hành động thích hợp để làm điều đó

Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo cho học sinh khả năng biết

sáng tạo các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi hình thành kỹ năng cho sinh cần tiến hành: Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

Giúp học sinh hình thành một một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại

Xác lập được mối quan hệ giữa các bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng

Sự hoạt động để hoạt động các kỹ năng và kỹ xảo bao gồm sự vận dụng bước đầu kiến thức và thực tiễn, công việc luyện tập để hoàn thiện hành động đó Sự hình thành các kỹ năng diễn ra thông minh hơn nếu ngoài hoạt động thực hành quá trình đó còn kèm cả hoạt động trí tuệ tích cực của học sinh nữa

1.2.4 Những yếu tố ảnh hưởng đến quá trình hình thành kỹ năng

Nội dung của một vấn đề trong thực tế hay một bài toán thì các yêu cầu, các nhiệm vụ đặt ra thường được trừu tượng hóa lên hay bị ẩn đi bởi những nhiễu, những yếu tố phụ Những yếu tố này tạo các nhiễu làm lệch hướng tư duy, có ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

Trong quá trình hình thành kỹ năng thì tâm lý và thói quen cũng ảnh hưởng lớn đến sự hình thành kỹ năng Nếu tâm lý thoải mái, tinh thần tự tin phấn chấn trong học tập sẽ giúp học sinh giải quyết vấn đề nhanh hơn, thuận lợi hơn, đôi khi sáng tạo hơn rất nhiều Việc tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc giải quyết một vấn đề, từ đó hình thành kỹ năng và dần hoàn thiện kỹ năng

Kỹ năng khi đã được hình thành giúp người học có khả năng đánh giá, nhận xét, phân tích và tổng hợp các dữ kiện, dữ liệu liên quan đến đối tượng Từ đó có thể khái quát về đối tượng một cách tổng thể ở mức cao hay thấp

1.2.5 Phân biệt kỹ năng với năng lực

Kỹ năng là đơn vị nhỏ nhất, chỉ ra một người có thể làm được việc gì đó

cách dạy Kỹ năng có thể chia làm hai loại là kỹ năng cứng và kỹ năng mềm

Năng lực là khả năng làm một việc gì đó chung hơn, khó xác định rõ ràng hơn so với kỹ năng Ví dụ năng lực tư duy độc lập, năng lực xác định và giải quyết vấn đề Nó đòi hỏi kết hợp nhiều kiến thức, kỹ năng và cả thái độ tiếp cận vấn đề

Như vậy, năng lực là khái niệm trừu tượng hơn so với kỹ năng Năng lực không thể dạy trực tiếp được, mà phải gián tiếp thông qua các kỹ năng cứng, mềm và môi trường thực hành phù hợp Ví dụ năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực nghiên cứu khoa học

1.3 Kỹ năng giải toán

1.3.1 Khái niệm kỹ năng giải toán

Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, chúng tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh như sau: Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học

Đối với việc dạy học môn Toán đặc biệt là dạy Toán ở trường phổ thông thì việc rèn luyện kỹ năng là căn cốt và là cơ sở cho các mục đích khác liên quan từ các môn khoa học đến thực tiễn Vấn đề rèn kỹ năng nói chung, kỹ năng giải toán nói riêng là một yêu cầu cơ bản, nền tảng, để gắn liền được lý thuyết với thực tiễn Nhiều tác giả đã thể hiện quan điểm về vấn đề này như: Với J.Piaget là suy nghĩ tức là hành động, với Chủ tịch Hồ Chí Minh lại là học để hành, học và hành phải đi đôi

Dạy toán là dạy về mặt kiến thức, về kỹ năng tư duy và hình thành tính cách cho cá nhân học sinh Mục tiêu của dạy toán cũng bao gồm cả mục tiêu

cái nhìn sâu sắc và toàn diện về kiến thức toán cũng như các hoạt động thực hành liên quan đến thực tiễn của Toán học

Do đó, phát triển KNGT là sử dụng các kiến thức cơ bản giải các bài toán đặt ra để áp dụng có hiệu quả vào tình huống học tập cụ thể của môn học

Trong môn Toán, kỹ năng thực hành gồm hai nhóm kỹ năng cơ bản là vận dụng tri thức vào giải các bài toán và toán học hóa tình huống thực tiễn

1.3.2 Sự hình thành kỹ năng giải toán

Mấu chốt để hình thành các biện pháp, chính là vấn đề phải hệ thống hóa, bổ sung thêm các dạng bài tập cho HS hướng về cùng một chủ đề, một mục tiêu để HS phát triển KNGT tự nhiên nhất

Hệ thống hóa bài tập cho HS có nghĩa là GV làm cho các bài tập trở nên có hệ thống

Hệ thống hóa là một trong những biện pháp, thao tác tư duy logic quan trọng Việc làm này không chỉ giúp HS củng cố những đơn vị kiến thức đã học mà còn sắp xếp chúng một cách có hệ thống chặt chẽ

Việc hệ thống hóa các dạng bài tập sẽ giúp cho HS tiết kiệm được thời gian khi học tập, tập trung và nhận biết thông tin chính xác của bài học, cải thiện được trí nhớ và sự sáng tạo Việc làm này còn giúp cho HS biết nhận dạng, sắp xếp các bài tập theo thứ tự từ dễ đến khó, tạo mối liên kết giữa các kiến thức, giúp HS phát triển năng lực tư duy logic, tư duy biện chứng nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động và sáng tạo, giúp HS có thể lấp đầy những kiến thức đang hổng hoặc khuyết, củng cố kiến thức cũ và sắp xếp chúng thành một hệ thống nhất Ngoài ra nó còn giúp HS phát triển năng lực tự học, giúp HS có thể tự học suốt đời

Việc hệ thống các dạng bài tập trong chương trình toán phổ thông nói chung và chẳng hạn như toán học phần bất đẳng thức nói riêng là một việc làm hết sức cần thiết Nếu GV hệ thống bài tập theo từng dạng sẽ giúp cho HS dễ

nhuần nhuyễn rồi mới chuyển sang dạng khác, trong quá trình học từng dạng như vậy HS có thể tự rút ra cho mình phương pháp giải phù hợp với từng loại, từng bài toán sao cho bản thân HS có thể giải bài toán đó một cách nhanh nhất

Học toán phần nhiều là giải bài tập do đó mà việc hệ thống lại các dạng bài tập và tổ chức dạy học giải bài tập một cách có hiệu quả có vai trò quan trọng đến chất lượng dạy học toán

Trong quá trình dạy học, GV nên cung cấp thêm cho HS một hệ thống các có phân loại các dạng bài tập khác nhau, phù hợp với từng đối tượng HS khác nhau Bên cạnh đó GV cũng cần hướng dẫn cho HS từng phương pháp cụ thể để giải từng dạng toán cụ thể để giúp học sinh hình thành kỹ năng giải toán

1.3.3 Phát triển các kỹ năng giải toán

Có nhiều biện pháp phát triển các kỹ năng giải toán tùy thuộc vào cách nhìn nhận hay tiếp cận vấn đề, ở đây dưới góc độ giảng dạy, từ phân tích vào các căn cứ trên, tác giả chia thành hai hướng chính:

Hướng gián tiếp Khơi gợi từ việc cung cấp cho học sinh một số các bài toán có cùng cách giải để sau khi giải quyết học sinh tự rút ra kỹ năng giải toán Đây là biện pháp có hiệu quả cao nhưng mất nhiều thời gian của học sinh, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực của học sinh

Hướng trực tiếp GV soạn thành những bài giảng một cách hệ thống về một số kỹ năng đầy đủ và hệ thống Biện pháp này đòi hỏi sự tìm tòi, đầu tư của GV, song rất thuận tiện cho HS Nó hiệu quả hơn biện pháp gián tiếp và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết cũng như định hướng, dẫn dắt của giáo viên đến những mục tiêu gần và mục tiêu cao hơn của việc giải toán

Đối với HS nhiệm vụ liên quan đến toán học chủ yếu là giải toán Việc dạy học toán ở trường phổ thông nhằm mục tiêu phục vụ cho việc củng cố kiến thức, đảm bảo vận dụng được vào các kỳ thi Trong quá trình giải toán, vấn đề

vận dụng kiến thức như thế nào để áp dụng hiệu quả thường được đặt ra Trong dạy học môn toán, khi hướng dẫn HS giải toán, cần rèn cho học sinh hai chiều kỹ năng tư duy tức là bao gồm tư duy thuận (xuôi theo tình huống để tìm hướng giải quyết vấn đề) và tư duy nghịch (đảo lại giả thiết kết luận) để học sinh nhìn nhận được đầy đủ mọi góc cạnh của vấn đề Đồng thời, tư duy hai chiều sẽ giúp học sinh có cái nhìn hệ thống, nắm được bản chất cốt lõi mối liên hệ của các kiến thức toán, qua đó có thể vận dụng và kết nối được các vấn đề một cách logic hay hệ thống nhất

Đối với học sinh khá, giỏi để phát triển kỹ năng giải toán cần căn cứ vào các thành tố biểu hiện năng lực giải toán của học sinh khá, giỏi Các thành tố đó bao gồm:

- Có tính độc lập và độc đáo cao khi giải toán; biết tìm tòi thêm nhiều lời giải, huy động hiệu quả kiến thức vào quá trình giải bài tập

- Có khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, hợp lý, tối ưu của lời giải - Có khả năng phân tích, phản biện hoặc tổng hợp kiến thức từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát hơn, từ bài toán có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát thông qua các thao tác trí tuệ như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, hệ thống hóa, đặc biệt hóa

- Có khả năng vận dụng kiến thức toán học làm công cụ để giải quyết tình huống thực tiễn, có khả năng tự học cao, tự tìm tòi, nhận thức và vận dụng kiến thức vào tình huống mới hoặc tương tự với chất lượng cao

1.3.4 Dạy học phương pháp giải bài tập toán

Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán

Dạy học giải toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời

được bài toán Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy giáo viên phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán

Theo Polya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:

Bước thứ nhất: Tìm hiểu nội dung bài toán

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú với việc giải bài toán đó Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát; tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho

- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện - Vẽ hình, sử dụng các ký hiệu thích hợp (nếu cần) - Phân biệt các thành phần khác câu điều kiện, có thể diễn đạt các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?

Bước thứ hai: Xây dựng chương trình giải

Phải phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn Phải huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lý, quy tắc ) có liên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán rồi lựa chọn trong số đó Những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện câu bài toán rồi mò mẫm, dự đoán kết quả Xét vài khả năng có thể xảy ra kể cả trường hợp đặc biệt Sau đó, xét một bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán đã cho

Bước thứ ba: Thực hiện chương trình giải Bước thứ tư: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải - Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một loại bài toán nào đó

- Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể ) - Khai thác kết quả có thể có của bài toán - Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán

Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa quan trọng Trong nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho một bài toán khác

1.3.5 Các mức độ kỹ năng giải toán

- Kỹ năng giải bài tập toán cơ bản, đầu tiên là các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập theo dụng ý và yêu cầu của tác giả, ngoài ra còn có phiếu bài tập trong quá trình học trên lớp và về nhà Mục tiêu đạt chuẩn đầu ra theo từng cấp học

- Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp với các mức độ khác nhau:

Mức độ biết làm: Nắm được quy trình giải một bài toán cơ bản nào đó,

có mẫu sẵn, giải được các bài khác tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh

Mức độ thành thạo: Ở mức độ này học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn,

chính xác theo cách giải như bài tập mẫu nhưng chưa có nhiều biến đổi Mức độ này các bài toán có nâng cao hơn nhưng không nhiều, chủ yếu rèn cách trình bày, tư duy nhanh

Mức độ vận dụng linh hoạt và sáng tạo: Có cách giải ngắn gọn, độc đáo,

khác lời giải mẫu, vận dụng vốn kiến thức kỹ năng sẵn có thể sáng tạo các bài toán khác

1.4 Bất đẳng thức trong số học

Trong chương trình môn Toán trung học cơ sở, ở SGK lớp 8, bất đẳng thức được giới thiệu về khái niệm và một số tính chất đơn giản Tuy nhiên, với các chuyên đề dành cho học sinh khá, giỏi thì các bài toán về bất đẳng thức thường xuất hiện trong đề chọn học sinh giỏi là bài toán khó nhất

Khi dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh, đặc biệt cho học sinh khá, giỏi cần chú ý đến sự phân dạng bất đẳng thức và các phương pháp khác nhau khi giải bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1.4.1 Khái niệm bất đẳng thức Định nghĩa 1 Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a b nếu a blà một số dương, tức là a b 0 Khi đó ta cũng ký hiệu b a

Ta có thể viết a   ba b 0 Nếu a b hoặc a b , ta viết a b Ta có a ba b-0

Định nghĩa 2 Giả sử A B, là hai biểu thức bằng số

Mệnh đề : “A lớn hơn B”, ký hiệu: AB “A nhỏ hơn B”, ký hiệu: AB

“A lớn hơn hay bằng B” ký hiệu: AB “Anhỏ hơn hay bằng B” ký hiệu: AB

được gọi là một bất đẳng thức

Khi dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh, đặc biệt cho học sinh khá, giỏi cần chú ý đến sự phân dạng bất đẳng thức và các phương pháp khác nhau khi giải bài toán bất đẳng thức

Bất đẳng thức số học liên quan đến các tập rời rạc Trong luận văn này, ta chỉ quan tâm đến bất đẳng thức trong tập hợp các số nguyên dương (tập hợp các số tự nhiên)

1.4.2 Một số dạng bất đẳng thức trên tập số tự nhiên

Bài toán 1.1 Cho a là một số thực, q là một số nguyên dương, q 1 và 1

k là số thực dương tùy ý Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên m n, sao cho

Từ đây, ta có kết luận 1

2

nn





Nói cách khác trung bình cộng của các số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số đó bằng nhau, tức là

Tổng quát Cho hai bộ số ( ,a a1 2, ,an) và ( ,b b12, ,bn) ta có :

a

b  b   b với quy ước mẫu khác 0

1.5 Đối tượng học sinh khá, giỏi

1.5.1 Đối tượng học sinh khá, giỏi

Học sinh khá, học sinh giỏi là những học sinh có năng lực trí tuệ, có sự sáng tạo cao, có động cơ, nhu cầu học tập mãnh liệt để hoàn thành xuất sắc các công việc trong các lĩnh vực Như vậy HSK, HSG cần có sự quan tâm của thầy cô, nhà trường và gia đình tạo điều kiện cho các em được hoạt động học tập trong những điều kiện đặc biệt để phát triển các năng lực sáng tạo

Học sinh khá, giỏi toán Trong phạm vi luận văn, chúng tôi quan niệm học sinh khá, giỏi toán học thể hiện độc lập một số khả năng như sau:

Có khả năng trình bày tư duy toán học và có một nhận thức sắc bén đối với thông tin định lượng trong môi trường xung quanh;

Có khả năng suy nghĩ theo logic và biểu tượng về các mối quan hệ định lượng, không gian và trừu tượng;

Khả năng nhận thức, hình dung và khái quát các mô hình bằng số và không có số cũng như các mối quan hệ;

Khả năng lập luận phân tích, diễn dịch và quy nạp; Khả năng đảo ngược các quá trình lý luận và phương pháp chuyển đổi một cách linh hoạt nhưng theo hệ thống;

Làm việc, giao tiếp và chứng minh cho khái niệm toán học một cách sáng tạo và trực quan cả bằng lời nói và bằng văn bản;

Xây dựng thăm dò các câu hỏi toán học mở rộng hoặc áp dụng các khái niệm;

Kiên trì tìm kiếm giải pháp đối với những nhiệm vụ phức tạp của họ nhằm khắc phục tính “lộn xộn” hoặc “không xác định”;

Nắm bắt được khái niệm và các chiến lược toán học một cách nhanh chóng bằng cách duy trì tốt và liên kết khái niệm toán học bên trong giữa các lĩnh vực nội dung và tình huống thực tế;

Giải quyết vấn đề bằng nhiều giải pháp đa dạng hoặc thay thế; Sử dụng thành tựu toán học với sự tự tin;

Áp dụng kiến thức của một loạt các chủ đề Toán học một cách rộng rãi và sâu sắc

Với đối tượng là các em học sinh khá, giỏi ở tỉnh Hải Dương được thể hiện qua kết quả học tập của các em ở trường, lớp, kết quả đạt giải qua các kỳ thi Olympic và các kỳ thi chọn học sinh giỏi ở các cấp như cấp huyện, cấp tỉnh và cấp quốc gia

1.5.2 Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh khá, giỏi

Đối với học sinh khá, giỏi để phát triển kỹ năng giải toán cần rèn cho học sinh có các thành tố sau:

- Có tính độc lập và độc đáo cao khi giải toán, biết tìm tòi thêm nhiều lời giải, huy động hiệu quả kiến thức vào quá trình giải bài tập;

- Có khả năng phân tích, phản biện hoặc tổng hợp kiến thức từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát hơn, từ bài toán có một số yếu tố tổng quát đến

tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, hệ thống hóa, đặc biệt hóa, xấp xỉ, ước lượng, gần đều, …

1.6 Thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh Trung học cơ sở ở tỉnh Hải Dương

Để khảo sát thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh một số trường Trung học cơ sở ở tỉnh Hải Dương, nghiên cứu tiến hành khảo sát, lấy ý kiến của 196 học sinh lớp 9 trường THCS Lạc long, trường THCS Quang Thành, thị xã Kinh Môn, tỉnh Hải Dương; và khảo sát trên 10 giáo viên đang công tác trực tiếp giảng dạy các chuyên đề HSG lớp 9 trên địa bàn tỉnh Hải Dương

1.6.1 Thực trạng dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá, giỏi

Để tìm hiểu nhận thức của giáo viên về vai trò của việc dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá, giỏi, nghiên cứu tiến hành đưa ra câu hỏi: Theo thầy (cô) mức độ cần thiết bồi dưỡng rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là như thế nào? Kết quả được cho ở bảng 1.1

Bảng 1.1 Nhận thức của GV về việc bồi dưỡng kỹ năng giải toán

Để tìm hiểu các biện pháp của giáo viên về việc dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học cho học sinh khá, giỏi đang được sử

dụng ở trường phổ thông, nghiên cứu tiến hành đưa ra câu hỏi: Các thầy (cô) sử dụng những cách nào sau đây để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh? Kết quả được cho ở bảng 1.2

Bảng 1.2 Kết quả điều tra việc sử dụng các phương pháp rèn kỹ năng giải

toán cho học sinh

STT Tên phương pháp GV sử dụng GV không sử

6/10 60% 4/10 40%

Qua bảng số liệu 1.2 cho thấy khi điều tra việc sử dụng các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì các phương pháp được sử dụng chủ yếu là đưa thêm bài tập tự luyện, xây dựng hệ thống bài tập, lý thuyết liền mạch và giới thiệu các sách, tài liệu có liên quan Các phương pháp ít được sử dụng là hướng dẫn HS tự kiểm tra đánh giá, lập kế hoạch học tập ngoài các biện pháp trên thì các GV chưa đưa ra được các biện pháp khác để rèn luyện kỹ năng giải toán

Bảng 1.3 Mức độ sử dụng các biện pháp của GV về vai trò của nội dung rèn

luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức số học

Do nội dung phương pháp bất đẳng thức số học là nội dung khó nên trong quá trình giảng dạy GV cũng gặp không ít những khó khăn

Bảng 1.4 Những khó khăn GV thường gặp trong quá trình dạy học nội dung

về chủ đề bất đẳng thức

Khó khăn Số lượng Tỷ lệ

Đây là nội dung khó, vì vậy trong quá trình giảng dạy học sinh còn chưa nắm được đúng các khái niệm, tính chất, tư duy còn nhầm lẫn 7/10 70% Học sinh không hứng thú học nội dung này

Qua bảng 1.4, có thể thấy các khó khăn chủ yếu mà các HS gặp phải trong trong quá trình dạy nội dung bất đẳng thức số học đó là: học sinh không hứng thú vì khó vận dụng; HS có thói quen thói quen giải toán là phải làm về phương trình, tính toán, nên khi sử dụng phương pháp giải bất đẳng thức số học còn lúng túng; HS chưa nắm được đúng các tính chất và các phép toán trên bất đẳng thức số học, nhầm lẫn với các phép toán trên tập số thực

1.6.2 Thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán bất đẳng thức trong số học của học sinh

Tác giả đã đi sâu tìm hiểu hoạt động tự học rèn luyện kỹ năng giải toán của HS trường THCS Lạc long, trường THCS Quang Thành, thị xã Kinh Môn, tỉnh Hải Dương Các số liệu thu được từ HS của 6 lớp học, đó là các lớp: 9A; 9B; 9C trường THCS Lạc Long và các lớp 9A; 9B; 9C trường THCS Quang Thành với tổng số 196 HS thông qua trao đổi, dự giờ, phiếu thăm dò, qua các dấu hiệu: mục đích, tính tích cực chủ động sáng tạo của HS, kế hoạch xây dựng tự học, kỹ năng tự học, phương pháp tự học Toán của HS và nhận thấy đa số HS đã nhận thức được ý nghĩa và tầm quan trọng của tự học rèn luyện kỹ năng giải toán nên đã chú ý đến Tuy nhiên, hầu hết việc tự học của HS còn phụ thuộc chủ yếu vào việc giao nhiệm vụ của GV mà chưa tự mình xác định được nhiệm vụ học tập, lập kế hoạch học tập, xây dựng phương pháp học của bản thân,… Nguyên nhân là do các em chưa có hệ thống tài liệu học tập phù hợp, phương pháp học phù hợp Cụ thể:

- Về mục đích của tự học rèn luyện kỹ năng giải toán qua thăm dò bằng phiếu hỏi được HS trả lời như sau:

Bảng 1.5 Khảo sát mục đích tự học tập của HS

Mục đích tự học rèn luyện kỹ năng Số lượng (SL) Tỷ lệ (%)

Tự học là để ôn tập lại kiến thức mà thầy giao phó 167/196 85,20% Tự học là để vận dụng kiến thức đã học vào 87/196 44,39%

giải bài tập và vận dụng vào thực tiễn Tự học là để ghi nhớ kiến thức có hệ thống và vận dụng vào giải bài tập

67/196 34,18%

Tự học là để thi đạt kết quả cao 173/196 88,27% Những số liệu trên đây cho thấy HS vẫn chưa hiểu rõ mục đích của việc tự học Đa số cho rằng tự học là để đối phó với thầy cô và để thi, chưa thấy được tự học có vai trò quan trọng trong việc ghi nhớ, tái hiện, nắm kiến thức, nâng cao hiểu biết cho bản thân

Chúng tôi nhận thấy chỉ có 22,66% HS thường xuyên tự tìm ra niềm vui, hứng thú học tập cho mình trong quá trình học tập, còn lại tới 28,05% HS không thể quan tâm tới điều này Số còn lại trả lời học là để đối phó và làm các công việc mà thầy giao phó Khi gặp khó khăn, vướng mắc thì hỏi bạn hoặc đợi thầy trả lời rồi ghi nhớ một cách máy móc vận dụng trong các kỳ thi

Về việc tự xây dựng kế hoạch học tập

Bảng 1.6 Khảo sát việc tự lập kế hoạch học tập của HS

STT Ý thức của HS trong việc

107/196 54,59% 89/196 45,41%

4 Tự điều chỉnh, bổ sung kế

hoạch học tập

101/196 51,53% 95/196 48,47%

học tập Tuy nhiên, số lượng HS tự lập kế hoạch học tập cho bản thân còn ít, đa số các em chưa chủ động trong việc tự lập kế hoạch học tập

Về việc thực hiện các kỹ năng học tập, kỹ năng khi giải toán bất đẳng thức trong số học cho kết quả bởi bảng 1.7

Bảng 1.7 Khảo sát việc thực hiện kỹ năng học tập của HS

134/196 68,37% 62/196 31,63%

2 Kỹ năng và sử dụng có hiệu

quả các kỹ thuật đọc sách, nghe giảng, trao đổi, thảo luận, tranh luận, tự đặt câu hỏi cho mình, đặt câu hỏi với thầy, với bạn

chất lượng học tập cho bản thân

46/196 23,47% 150/196 76,53%

6 Khả năng suy luận, tìm lời

giải khác

38/196 19,39% 158/196 80,61% 7 Khả năng vận dụng kiến

thức vào tình huống mới, hoặc tương tự

thích 10 Kỹ năng vận dụng kiến thức

được học vào các bài tập toán

125/196 63,78% 71/196 36,22%

Qua bảng số liệu, chúng tôi nhận thấy rằng hầu hết các em đã biết vận dụng các kỹ năng học tập vào quá trình học, tuy nhiên một số kỹ năng của các em còn yếu, cần được bồi dưỡng thêm như kỹ năng kiểm tra, đánh giá hay kỹ năng suy luận tìm lời giải khác

- Phương pháp tự rèn kỹ năng học toán của học sinh Qua khảo sát, thăm dò nhận thấy việc vận dụng phương pháp tự rèn kỹ năng học Toán ở mức độ rất thấp Các khái niệm về bất đẳng thức số học và các phép toán của nó còn mới lạ, nhiều HS chưa phân biệt được về bản chất sự giống và khác nhau giữa các phép toán về bất đẳng thức số học và trên tập hợp số Các em chỉ vận dụng các kết quả này vào việc giải một số bài toán về bất đẳng thức số học để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng Việc vận dụng bất đẳng thức số học giải một số dạng toán thường vấp phải những khó khăn Khi sử dụng mối liên hệ giữa lý thuyết và bài tập thì không biết xuất phát từ đâu, vận dụng kiến thức nào Trong giảng dạy GV của trường được khảo sát đã chú ý đến việc hướng dẫn HS lựa chọn và áp dụng nội dung, phương pháp, hình thức học tập nhưng chưa thật cụ thể và đầy đủ Vì thế, có một số HS lựa chọn đúng, nhưng một số lại lựa chọn chưa hợp lý và khoa học

Điều này được thể hiện rõ ở những phương pháp học tập khi các em tự học ở nhà như sau:

Bảng 1.8 Phương pháp tự rèn kỹ năng học Toán của HS khi học ở nhà

Học lý thuyết, công thức trước khi làm bài tập 164/196 83,67% Thường xuyên nghiên cứu các loại sách, nhất là các 89/196 45,41%