Tom tat toan 2 suphamkythuat

tom tat toan 2 hcmute aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa sssssssssssssssssssssssssssss aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

CÔNG THỨC MÔN TOÁN 2 CHƯƠNG 6: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

ˆ S = Diện tích D

– Trên D là y = f (x), dưới D là y = g(x) (tức là g(x) ≤ f (x)) và hình chiếu của D lên Ox là [a, b]: S =

Z b a [f (x) − g(x)]dx – D giới hạn bởi đường cong cực r = r(θ) ≥ 0, θ ∈ [α, β] mà β − α ≤ 2π thì S = 1

2

Z β α [r(θ)]2dθ – D là bề mặt khi quay đoạn đồ thị y = f (x), x ∈ [a, b] quanh Ox thì

S = 2π

Z b a

|f (x)|p1 + [f′(x)]2dx

ˆ Miền D giới hạn trên bởi y = f (x), dưới bởi y = g(x) (tức là g(x) ≤ f (x)) và hình chiếu của D lên Ox là [a, b] Thể tích miền tạo ra khi cho D

– quay quanh Ox (Ox không cắt qua D) là V = π

Z b a [f (x)]2− [g(x)]2
dx – quay quanh Oy (Oy không cắt qua D) là V = 2π

Z b a

|x| f (x) − g(x)

dx

ˆ Độ dài đoạn đồ thị

– trong Oxy, y = f (x), x ∈ [a, b] là L =

Z b a

p

1 + [f′(x)]2dx – trong cực, r = r(θ), θ ∈ [α, β] là L =

Z β α

p [r(θ)]2 + [r′(θ)]2dθ

ˆ Một số đường cong cực (xem mục 6.3 trong sách)

CHƯƠNG 7: KỸ THUẬT TÍCH PHÂN

ˆ Phương pháp đổi biến dùng cho tích phân chứa căn thức hay chứa hàm hợp,

ví dụ: eu(x), ln(u(x)),

ˆ Phương pháptích phân từng phầndùng cho tích phânR ln(x)dx, R arctan xdx hay các tích phân R f (x).g(x)dx mà f, g là các hàm số khác loại

ˆ Tích phân đa thức

– Nếu mẫu thức bậc nhỏ hơn 3 thì chia đa thức (nếu chia được) và dùng công thức trong bảng nguyên hàm

– Nếu mẫu thức bậc trên 2 thì phân tích thành các phân thức đơn giản hơn

P (x)

Q(x) =

P (x)

Q1(x)Q2(x) =

P1(x)

Q1(x) +

P2(x)

Q2(x)

ˆ Phương trình vi phân

– Phương trình tách biến P (x)dx = Q(y)dy có nghiệm tổng quát

R

P (x)dx = R Q(y)dy

– Phương trình tuyến tính y′(x) + p(x)y = f (x) có nghiệm tổng quát

yeu(x) = R f (x)eu(x)dx trong đó u(x) là một nguyên hàm của p(x)

ˆ Tích phân suy rộng

– loại 1:

Z +∞

a

f (x)dx = lim

t →+∞

Z t a

f (x)dx – loại 2 (trường hợp f (b−) = ∞):

Z b a

f (x)dx = lim

t →b −

Z t a

f (x)dx

ˆ Hàm hyperbolic

sinh x = e

x − e−x

2 ; cosh x =

ex + e−x 2

CHƯƠNG 8: CHUỖI SỐ

ˆ Tổng riêng

– Sn = a1 + a2 + + an, giá trị chuỗi

∞ X k=1

ak = lim n→∞Sn – cấp số nhân Sn =

n X k= 1

qk = q

n+1− q1

1 − q

ˆ Tiêu chuẩn hội tụ

– Chuỗi đan dấu

∞ X k=1 (−1)kak là







hội tụ nếu ak giảm và lim

k→∞ak = 0 phân kỳ nếu lim

k→∞ak ̸= 0 – Tiêu chuẩn tích phân (áp dụng khi có thể tính nguyên hàm của

f (k) = ak là hàm số dương, giảm):

∞ X k=1

ak hội tụ ⇔R∞

x 0 f (x)dx hội tụ – Tiêu chuẩn tỷ lệ (ak chứa hàm mũ (?)k hoặc giai thừa k!):

∞

X

k=1

ak là











hội tụ nếu D = lim

k→∞

|ak+1|

|ak| < 1 phân kỳ nếu D = lim

k→∞

|ak+1|

|ak| > 1 – Tiêu chuẩn căn thức (ak chứa hàm mũ với cơ số phức tạp (g(x))k):

∞

X

k=1

ak là







hội tụ nếu C = lim

k→∞

k

p

|ak| < 1 phân kỳ nếu D = lim

k→∞

k

p

|ak| > 1

– Tiêu chuẩn so sánh Nếu ak = đa thức bậc N

đa thức bậc n thì lim

k→∞



ak : 1

kn−N



̸= 0, ̸= ∞ Cho nên

∞ X k=1

ak là

( hội tụ nếu (n − N ) > 1 phân kỳ nếu (n − N ) < 1

∗ ex = 1 + x1! + x2! + = P∞k=0 xk!, ∀x ∈ R

∗ 1−x1 = 1 + x1 + x2+ = P∞k=0xk, ∀|x| < 1

∗ ln(1 + x) = x11 − x22 + x33 − = P∞k=1(−1)k+1 xkk, ∀|x| < 1

MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH GIỚI HẠN DÃY

ˆ lim

k→∞

đa thức bậc N

đa thức bậc n







= 0, nếu N < n

= ∞ nếu N > n

̸= 0, ̸= ∞ nếu N = n

ˆ lim

k→∞qk







= 0, nếu |q| < 1

= ∞ nếu |q| > 1 không tồn tại nếu q = −1

ˆ lim

k→∞

k

p

đa thức = 1 Ngoài ra lưu ý đến quy tắc l’hospital

CHƯƠNG 9: VECTOR

Cho các vector a = a1i+ a2j+ a3k = ⟨a1; a2; a3⟩, b = b1i+ b2j+ b3k = ⟨b1; b2; b3⟩

ˆ Độ dài ∥a∥ = p(a1)2 + (a2)2 + (a3)2

ˆ Tích vô hướng a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3

a·b = ∥a∥∥b∥ cos(a,b)

Hai vector khác không vuông góc khi và chỉ khi a ·b = 0

ˆ Tích có hướng a×b = (a2b3− a3b2)i+ (a3b1 − a1b3)j+ (a1b2 − a2b1)k

∥a×b∥ = ∥a∥∥b∥ sin(a,b)

Hai vector khác không cùng phương khi và chỉ khi a×b = 0

ˆ Ba vector a,b,c đồng phẳng khi và chỉ khi tích hỗn tạp a· (b×c) = 0

ˆ Diện tích hình bình hành ABCD bằng ∥AB×AD∥

ˆ Diện tích tam giá ABC bằng 0.5∥AB×AC∥

ˆ Diện tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng |AA’· (AB×AD)|

BẢNG NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ

Z

sin(u)du = − cos(u) + c

Z

cos(u)du = − sin(u) + c

Z

tan(u)du = − ln[cos(u)] + c

Z

cos2(u)du = u

2 +

sin(2u)

4 + c

Z

sin2(u)du = u

2 − sin(2u)

4 + c

Z

undu = u

n+1

n + 1 + c(n ̸= −1)

au + b =

ln |au + b|

a + c(a ̸= 0)

Z

audu = a

u

ln(a) + c(a > 0)

Z

ln(u)du = u ln(u) − u + c;

Z p

u2 ± a2du = u

√

u2 ± a2

2

2 ln |u +

p

u2 ± a2| + c

u2 + a2 = 1

aarctan

u a



+ c(a ̸= 0)

u2 − a2 = 1

2aln

u − a

u + a

+ c(a ̸= 0)

√

u2 ± a2 = ln |u +pu2 ± a2| + c

√

a2 − u2 = arcsinu

a



+ c(a ̸= 0)