TÓM tắt TOÁN cấp III hay

Kỷ sở bất dục vật thi nhân – Khổng Tử (Điều không muốn đừng ban cho người khác) I CÔNG THỨC LƯNG GIÁC  sin2  cos2 tan cos2 sin cos  tan  1 Hệ thức bản: cos  cot sin cot sin2  tan cot k  k sin( k2 ) sin cos( k2 ) cos  tan( k ) tan cot( k ) cot Cung liên kết: Phụ:  Đối:   Bù:     sin( )   sin  sin(   )  sin  cos( )  cos  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot  Cos Đối     sin      cos  2    cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2  Sin Bù Khác pi:  ;    sin(   )   sin  cos(   )   cos  tan(   )  tan  cot(   )  cot  Phụ Chéo Khác pi Tang, Cotang Pi  : ;  2   sin      cos  2    cos       sin  2    tan       cot  2    cot       tan  2  Khaùc Khaùc pi chia Sin bạn cos Công thức cộng:  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b Công thức nhân đôi, nhân ba: Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com cos 2  cos   sin  sin 2  2sin .cos  tan 2   2cos     2sin  2 cos3  4cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin3  tan 3  tan   tan  tan   tan   tan  Coâng thức hạ bậc sin    cos 2 cos    cos 2 tan    cos 2  cos 2 Công thức biến đổi tổng thành tích: ab a b cos 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4   ab a b sin 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   sin       cos     cos a  cos b  2cos cos a  cos b   2sin  4  4 Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b) Cos.Cos Cos cộng cộng Cos trừ sin a.sin b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a.cos b  Sin.Sin Cos trừ trừ Cos cộng sin(a  b)  sin(a  b) Sin.Cos Sin cộng cộng Sin trừ II PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC u  v  k 2 u  v  k 2 (k  )  sin u  sin v    cos u  cos v   k  u    v  k 2 u  v  k 2  sin u   u   k 2 cos u   u  k 2  Đặc biệt: Đặc biệt: cos u  1  u    k 2  k  sin u  1  u    k 2  k    sin u   u  k cos u   u   k k   tan u  tan v  u  v  k  cot u  cot v  u  v  k  k   Kỹ thuật 1: Làm dấu trừ sin sin( cos cos( tan tan( cot cot( Ví dụ: ) ) ) ) sin x x x 4 sin x x sin x k2 x sin x x k2 (vô nghiệm) sin x k (k sin( x) ) Kỹ thuật 2: Biến đổi chéo Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com   sin cos cos sin tan cot cot tan Ví dụ: 2x sin2 x cos x bcos x a a2 x 2 2x k2 x x k2 k2 (k k2 x ) (với a asin x sin Phương trình dạng a sin x  sin2 x x b2 b a2 b2 a a2 ) b cos x Phương trình dạng c c ) a sin2 x b2 sin cos x a2 heä sau: b2 a , sin a sin x sin2 x sin2 x a d d Ta coù .(1) d , chia hai vế phương trình cho cos x , ta có: b a2 sin2 x  Trường hợp 2: Xeùt cos x b2 c cos2 x b sin x cos x  Trường hợp 1: Xét cos x c c cos x.sin (với cos sin(x b c sin x sin x.cos b2 ) a tan2 x  Lưu ý: Phương trình asin x a2 c d(1 tan2 x) (2)  Hợp nghiệm (1), (2) ta có tập nghiệm c với sin btan x phương trình cho b2 c có nghiệm a2 bcos x b2 c2 III TỔ HP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm chia nhiều trường hợp, ta cộng kết lại HOÁN VỊ  Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp Pn  n ! với n   Cách tính: TỔ HP  Chọn k phần tử từ n phần tử (không xếp thứ tự), ta có k số cách chọn Cn  Cách tính: Cnk  n!  1.2  n  1 n  Quy ước sốc: 0!  XÁC  Công thức: P( X )  Nếu phép đếm chia làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta nhân kết giai đoạn với n, k k n n( X ) n ( ) Trong đó: n( X ) : số phần tử tập biến cố SUẤT X ; n() : số phần tử không gian mẫu; P( X ) xác suất để biến cố X xảy với X   k chọn An n!  n  k  !k ! CHỈNH HP  Chọn k phần tử từ n phần tử (có xếp thứ tự), ta số cách  Cách tính: Ank  với n, k k n n!  n  k !  Tính chất:  P( X )  P()  0; P()  P( X )   P( X ) với X biến cố đối X Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com IV KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN  a  b  Khai triển dạng liệt kê: n  Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b2   Cnn1abn1  Cnnbn  Đặc biệt: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cnn1 x n1  Cnn x n (*) n  Hệ 1: Cn0  Cn1  Cn2  Cnn1  Cnn  2n (tức thay x  vào (*)) Trong công thức bên, ta có n  , n   Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x  1 vào (*), ta có: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn   Cn0  Cn2  Cn4  Cnn  Cn1  Cn3  Cnn1  Khai triển: Khai triển tổng quát: n  a  b    Cnk a nk bk Số hạng tổng quát: Tk 1  Cnk a nk bk n k 0  Phân biệt hệ số số hạng: Cnk ( 1)k a n kbk x Trong công thức bên, ta có n  , n  HỆ SỐ SỐ HẠNG Nhớ số hạng không chứa x ứng với V CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Đònh nghóa: Đònh nghóa:  Dãy số  un  gọi cấp số cộng  Dãy số  un  gọi cấp số nhân khi un1  un  d với n * , d số  Cấp số cộng có số hạng đầu u1 , un1  un q với n * , q số  Cấp số nhân có số hạng đầu u1 , công bội q công sai d Số hạng tổng quát: Số hạng tổng quát:  un  u1  (n  1)d với n * n 1  un  u1.q với n  Tính chất số hạng:  uk 1  uk 1  2uk với k  k  * Tính chất số hạng:  uk 1.uk 1  uk với k  Tổng n số hạng đầu tiên: k  Tổng n số hạng đầu tiên: (u  un )n  Sn  u1  u2   un  u1 (1  q n )  Sn  u1  u2   un  với q  1 q VI CÔNG THỨC ĐẠO HÀM  k  (với k số)  e   e    e   e u  x x u  u  tan x     1  ( x )   x  (u )   u 1 u  a   a ln a    a   a ln a u    tan x cos x x x u u   x   x     u   2uu  sin x   cos x    sin u   u cos u   cot x       x     x2 u        u u   cos x    sin x    cos u    u sin u   1  cot x  sin x Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com    tan u   u  u 1  tan u  cos u u    cot u      u 1  cot u  sin u VII KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM NHẤT BIẾN HÀM BẬC BA y  ax3  bx2  cx  d (a  0) y  Đạo hàm y  3ax  2bx  c ax  b (ad  bc  0, c  0) cx  d  Bước 1: Tìm tập xác đònh D  Bước 2: Tính y  f ( x) ; cho y  Tìm nghiệm x1 , x2 Tìm thêm giá trò x mà y  không xác đònh  Bước 3: Lập bảng biến thiên (Nên chọn giá trò x đại diện cho khoảng thay vào y  để tìm dấu y  khoảng đó)  Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghòch biến hàm số ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ  Hàm số có điểm cực trò  y( x0 )  ( x0 ; y0 )    y ( x0 )  y0 (giả thiết hàm số liên tục taïi x0 )  f ( x0 )   Nếu  hàm số  f ( x0 )  f ( x) đạt cực đại x  x0  f ( x0 )  hàm số  f ( x0 )   Nếu  f ( x) đạt cực tiểu x  x0 khoảng xác đònh  ad  bc   Hàm số nghòch biến tập xác đònh  y  0, x   Hàm số nghòch biến khoảng xác đònh a      ad  bc   Lưu ý: Nếu a chứa tham số m ta xét a  , tìm m Thay m tìm để kiểm tra dấu y  , xem y có đơn điệu không? CỰC TRỊ HÀM BẬC BA y  ax  bx  cx  d (a  0)  Lưu ý: Nếu đề cho đồng biến (nghòch biến) ( ;  ) ta xét điều kiện:  d  ( ;  ) c CỰC TRỊ HÀM BẬC BOÁN y  ax4  bx  c (a  0)  Đạo hàm y  3ax  2bx  c  Đạo hàm y  4ax  2bx  Hàm số có hai cực trò (tức  Điều kiện cực trò ab  Ba cực trò a  (*)  y  có CĐ-CT)    Hàm số có hai điểm cực trò x1 x2 ac trái dấu  Hàm số có hai điểm cực trò a  0,  y  dấu   ac   Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò: y  f ( x)  TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN Tìm Max-Min f ( x) đoạn  a; b  Bước 1: Tính y  f ( x) Tìm nghieäm xi  (a; b) cho f ( x)   Hàm số đồng biến a     ad  bc (cx  d )2  Đạo hàm y   Hàm số đồng biến tập  y  0, x  xác đònh f ( x) f ( x) 18a Một cực trò ab   2 a  b  Có cực trò a b   Cho A, B, C ba điểm cực trò, ta có: cos BAC  SABC  b3  8a b3  8a b5 32a TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG Tìm Max-Min f ( x) khoảng (a; b)  Bước 1: Tính y  f ( x) Tìm nghiệm xi  (a; b) cho f ( x)  Tìm Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com Tìm x j  (a; b) mà y  không xác đònh x j  (a; b) mà y  không xác đònh  Bước 2: Tính giá trò f (a), f (b) f ( xi ),  Bước 2: Cần tính lim y, lim y (Neáu thay (a; b) x a f ( x j ) (nếu có) x b (; ) ta tính thêm lim y ) x   Bước 3: So sánh tất giá trò bước để kết luận giá trò lớn nhất, nhỏ  Bước 3: Lập bảng biến thiên suy giá trò lớn nhất, nhỏ khoảng  Nếu hàm f ( x) đồng biến [a; b]  Nếu hàm f ( x) nghòch biến [a; b]  max f ( x)  f (b)  x[a ;b ]  f ( x)  f ( a)  xmin [a ;b ] ĐẶC BIỆT  max f ( x)  f (a)  x[a ;b ]  f ( x)  f (b)  xmin [a ;b ] TIỆM CẬN ĐỨNG  Đònh nghóa: x x0 y (x hữu hạn, y vô hạn), ta có tiệm cận đứng x x TIỆM CẬN NGANG x0 Lưu ý: điều kiện x0 thay x hạn bên trái) x phải)  Cách tìm TCĐ: Nếu x x0 (giới x0 (giới hạn bên x0 nghiệm (với tập xác định có dạng D  K \  x0 ; x1;  ) ax cx b với (c d 0, ad x y bc (x vô hạn, y hữu hạn), ta y0 có tiệm cận ngang y y0  Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy Bước 2: CALC mẫu số mà nghiệm tử số x x0 TCĐ đồ thò  Đồ thò hàm số y  Đònh nghóa: CALC NEXT NEXT X X 10 ^ 10 10 ^ 10 NEXT NEXT Bước 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y y0 0) có TCĐ: x d , TCN: y c a c  Nên nhớ, đồ thò có tối đa tiệm cận ngang SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ f (x ) (C ) : y g(x ) Xét hai đồ thò (C1 ) : y Phương pháp chung tìm giao điểm hai đồ thò  Bước : Lập phương trình hoành độ giao điểm (C1 ) & (C2 ) : f ( x) g( x) (*)  Điều kiện để (C1 ) (C2 ) có n  Điều kiện để (C1 ) tiếp xúc (C2 ) phương trình (*) có nghiệm điểm chung phương trình (*) có n nghiệm khác Tìm tham số để (C ) : y d :y  Bước : Giải phương trình (*) để tìm nghiệm x1 , x2 , (nếu có), suy y1 , y2  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) kép hệ sau có nghiệm :  ax cx x b d cắt hai điểm phân biệt Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com  Bước : Viết phương trình hoành độ giao ax b điểm : , đưa phương trình x cx d d dạng g( x) Ax2 Bx C x c Tìm tham số để (C ) : y ax d :y x A  Bước : Giải hệ cx d g g bx d c Tìm m? cắt ba điểm phân biệt (Ta áp dụng cho trường hợp phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm đẹp)  Bước : Viết phương trình hoành độ giao x điểm : ax3 bx2 cx d , đưa phương trình dạng ( x x0 ) Ax2 Bx C A  Bước : Giải hệ điều kiện : (có vận dụng kỹ chia Hoocne) g g ( x0 ) g ( x) 0 Tìm m?  Lưu ý : Để tìm nghiệm đẹp x  x0 , ta nhập vào máy chức giải phương trình bậc ba với m  100 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C ) : y  f ( x) DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C ) : y  f ( x) biết tiếp DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) tuyến có hệ số góc k qua A( xA ; y A )  Bước 1: Tính đạo hàm y , từ có hệ số góc k y ( x0 ) điểm tính đạo hàm y  Bước 2: Cho y ( x0 )  Bước : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò dạng y k( x x0 )  Bước 1: Tiếp tuyến có daïng : y y ( x0 )( x x0 ) y0 (*) với  Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp y0  f ( x0 ) k , tìm  Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm x0 tiếp điểm ( x0 ; y0 ) y0  Bước 3: Phương trình tiếp tuyến : y k( x x0 )  Đặc biệt : Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng y vuông góc đường thẳng y ax b có hệ số góc k ax góc  Bước 3: Thay x0 vào (*) để viết y0 có hệ số góc k phương trình tiếp tuyến b có hệ số góc k a (a a, neáu tieáp tuyeán 0) ; neáu tiếp tuyến tạo với trục Ox tan ĐIỂM ĐẶC BIỆT THUỘC ĐỒ THỊ Tâm đối xứng (hay điểm uốn) đồ thò bậc ba y  ax  bx  cx  d (a  0)  Bước 1: Tính y y 3ax2 6ax 2bx 2b c b y0 3a Ta có tâm đối xứng (tức điểm uốn): I ( x0 ; y0 )  Bước 2: Cho y Tìm nghiệm x0  Cần nhớ: Tâm đối xứng đồ thò bậc ba trung điểm hai điểm cực trò (nếu có) Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com Tâm đối xứng đồ thò hàm biến y I b (c d 0, ad bc b (c d 0, ad 0) d tiệm cận ngang c  Tìm tiệm cận đứng x y ax cx a , ta tìm tâm đối xứng đồ thò c d a (là giao điểm tiệm cận tìm được) ; c c Điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thò hàm biến y Cách 1: Tự luận  Bước 1: Chia đa thức cho đa thức, ta viết lại hàm số y cx d  Bước 2: Yêu cầu toán d ước x số nguyên Tìm , suy x giá trò y tương ứng Từ tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thò bc 0) Cách 2: Trắc nghiệm Thực máy tính bỏ túi sau: MODE cx ax cx END : aX cX b d F( X ) START : 19 STEP :1 Ta dò tìm hàng có F ( X ) nguyên nhận làm điểm cần tìm Làm tương tự cho START : END :18 STEP :1 , ta bổ sung thêm điểm nguyên lại Lưu ý: Học sinh muốn đạt tính xác cao dò nhiều khoảng, khoảng có START END cách 19 đơn vò (Máy tính đời có nhớ lớn hơn) PHÉP SUY ĐỒ THỊ TỪ ĐỒ THỊ CÓ SẴN Phép tònh tiến đối xứng đồ thò Cho hàm y f ( x) có đồ thò (C) Đồ thò cần tìm Cách biến đổi (C1 ) : y f ( x) a Tònh tiến đồ thò (C) theo phương Oy lên phía a đơn vò (C2 ) : y f ( x) a Tònh tiến đồ thò (C) theo phương Oy xuống phía a đơn vò Minh họa Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com (C3 ) : y f (x a) Tònh tiến đồ thò (C) theo phương Ox qua trái a đơn vò (C4 ) : y f (x a) Tònh tiến đồ thò (C) theo phương Ox qua phải a đơn vò (C5 ) : y f ( x) Lấy đối xứng (C) qua Ox (C6 ) : y f ( x) Lấy đối xứng (C) qua Oy Đồ thò hàm chứa giá trò tuyệt đối a) Từ đồ thò (C ) : y Ta coù y f ( x) f (x ) ta suy đồ thò (C1 ) : y f ( x) neáu f ( x) f ( x) neáu f ( x) f (x ) Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm phía Ox , ta (C ) Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thò (C) phía Ox qua Ox , ta (C ) Kết luận: Đồ thò (C1 ) : y f ( x) hợp (C ) với (C ) Xem ví dụ minh họa sau: Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com b) Từ đồ thò hàm số (C ) : y Ta có y f ( x) f x f (x ) ta suy đồ thò (C ) : y x f x f ( x) neáu x Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm bên phải trục Oy , ta (C ) Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thò (C ) qua trục Oy , ta (C ) (Đây tính chất đối xứng đồ thò hàm số chẵn) Kết luận: Đồ thò (C2 ) : y  f  x  hợp (C ) với (C ) Xem ví dụ minh họa sau: CÔNG THỨC BỔ TR CHO QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN HÀM SỐ Bổ trợ tam thức bậc hai Cho phương trình ax2 bx c (*) a  (*) có hai nghiệm phân biệt S  Đònh lí Vi-ét : x1 x2 ( x1 x1 x2 P x1 x2 x2 )2 S2 c a 0, S 0, P 10  (*) có hai nghiệm trái dấu b a Áp duïng x12 x22 S2 2P; x13 x23 S3 a.c 3SP; (x1 P Trong trắc nghiệm, ta nên dùng công thức : x1  (*) có hai nghiệm dương phân biệt a x2 )2 x2 a S2  (*) có hai nghiệm âm phân biệt a 0, S 0, P Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com P;  Tập xác đònh: Nếu ĐK Nếu ĐK ĐK Nếu  Đạo hàm: u u u y ax y a x ln a y au y a x ln a u Đặc biệt: (e x ) ex (eu ) eu u  Sự biến thiên: y  Đạo hàm: Nếu a   1   1 y  x   y   x y  u   y   u u  Điều kiện xác đònh: u  Đạo hàm: a log a x y y log a u y Đặc biệt: a x x u u (ln x)  Sự biến thiên: y ) Nếu (0; log a x Nếu : hàm đồng biến a hàm nghòch biến x ln a u u ln a (ln u) hàm đồng biến Nếu y : hàm a nghòch biến (0; ) ĐỒ THỊ HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ  Ta thấy: a x  Ta thấy: cx c a 1; bx 1; dx d ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT b 1  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a trước nên a b  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên x từ trái sang phải, trúng c trước nên c  Vậy b a d c x d  Ta thaáy: log a x a 1; logb x  Ta thaáy: log c x c 1; log d x d b 1  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log b x trước: b a  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d c  Vậy a b c d XI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGAGRIT Phương trình mũ  Dạng bản: a f ( x) a g ( x) Phương trình Logarit  f ( x)  g ( x)  Dạng logarit hóa: a f ( x )  b  f ( x)  log a b a f ( x )  b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b 12 (a, b  0, a  1)  Dạng bản: log a f ( x)  log a g( x)  f ( x)  g ( x)   Dạng mũ hoùa: log a f ( x)  b  f ( x)  ab (không cần điều kiện) Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com XII BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGAGRIT Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit a 1 a 1  Dạng bản:  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) a f ( x) a g ( x)  Dạng bản: 0 a 1  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0 a 1  log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) XIII CÔNG THỨC NGUYÊN HAØM    k f ( x)dx  k  f ( x)dx 1)  kdx  kx  C  x 1 x dx  C  1 2)  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)   f ( x)  g ( x)dx      (ax  b) 1 MR    (ax  b) dx  C a  1   2dx  x  C  x4 x dx  C  1 MR dx  ln x  C  dx  ln ax  b  C  x ax  b a 4)  1 1 1 MR dx    C   dx  C 2 x x (ax  b) a ax  b x3  1  x    10 dx   ln x   10 x  C   x x2  x ax b MR x x ax b C 5)  e dx  e  C   e dx  e a  ax  a dx  ln a  C abx c MR bx  c   a dx  C b ln a   e 7)  x 1          1 1 dx  C   C (2 x  3) 2x  4x   sin xdx   cos x  C   3sin x  2cos x  dx  3cos x  2sin x  C       9x C ln     sin  x   dx   cos  x    C 2 2          cos   x  dx  sin   x   C   sin   x   C 1  3   3  a 1; b    32 x dx   x dx  1 6x x.3x 1 dx   x.3x dx   x dx  C 3 3ln a  4; b   x5  1 x5  dx    x   dx   ln x  C x x  e x dx  e x  C  e x  C 1 5x C ln   e x dx    e2 x 1  2e x  dx  e2 x 1  2e x  C 13   3x dx  3 ln  3x  C  32 x 5 32 x 5 32 x 5 dx  C  C ln ln MR   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C   cos xdx  sin x  C f ( x)dx  f ( x)  C (3)dx  3x  C 5x dx  MR   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 8)    x2   xdx   x dx  C  x C 3/ (1  x)11 (1  x)11 (1  x)10 dx  C  C 2 11 22  x  3) 6) f ( x)dx   g ( x)dx  sin xdx   1 1  cos x  dx   x  sin x   C 2  Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com   cos2 x dx   1  tan x  dx  tan x  C 1 MR   dx  tan  ax  b   C  cos  ax  b  a MR   1  tan  ax  b  dx  a tan  ax  b   C  9)     2cos x   dx      dx  tan x  x  C 2 cos x  cos x  1 dx  tan 3x  C cos 3x   1  tan   x   dx  tan   x   C   2 a 2; b    x sin x  1  x2  dx   cot x dx   cot x  C  dx  x  dx   cot x  C    sin x   sin x   sin x  1 MR 1   dx   cot  ax  b   C dx   cot x  C  2  sin  ax  b  a sin x 1 MR 2   1  cot  ax  b  dx   a cot  ax  b   C   1  cot 3x  dx   cot 3x  C sin x  cos x     dx  dx      dx  tan x  cot x  C 2 2  sin x cos x sin x cos x  cos x sin x  10) XIV DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH  Hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) ,  Hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , y  g ( x) , x  a, x  b có diện tích: trục Ox , x  a, x  b có diện tích: b S   f ( x) dx a  y  f ( x) quanh Ox ,  x  a, x  b  Khi xoay hình phẳng  ta khối trụ tròn tích b V    f ( x)dx b S   f ( x)  g ( x) dx a  y  f ( x)   Khi xoay hình phẳng  y  g ( x) quanh Ox ,  x  a, x  b  khối trụ tròn tích V   a  b a f ( x)  g ( x) dx  Xét hình khối giới hạn hai mặt phẳng x  a, x  b Khi cắt khối ta thiết diện có diện tích S ( x) (là hàm liên tục [a;b]) Thể tích khối  a; b là: V   b a S ( x)dx XV CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG Xét hàm quảng đường S (t ), hàm vận tốc v(t ) hàm gia tốc a(t ) Ba hàm biến thiên theo t  S (t )   v(t )dt  v(t )  S (t )  v(t )   a(t )dt  a(t )  v(t ) XVI SOÁ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN 14 Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com Số phức có dạng: z a bi với Thành phần Số phức liên hợp – Hai số phức Cho z a bi z a bi Khi đó:  Số phức liên hợp z laø z a bi  z z  z a b b a b i2 (i: đơn vò ảo) Ký hiệu tập số phức: Hình học  Phần thực: a Nếu a z bi gọi số ảo  Phần ảo: b Nếu b z a số thực  Khi a b z vừa số ảo vừa số thực a a, b Minh họa  Điểm M (a;b) biểu diễn cho z hệ trục Oxy  Mô-đun: z OM b2 a2 Căn bậc hai  Căn bậc hai a  Căn bậc hai a Phương trình bậc hai  Phương trình z a là nghiệm phức z i a  Căn bậc hai số phức z a bi hai số phức dạng w x y xy b yi với x a a có hai a  Phương trình z a có hai nghiệm phức z i a bz c  Phương trình az có hai nghiệm (a  0) với b phức là: z1,2 i 2a XVII KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG A – MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN: Tam giác vuoâng: A AC ▪ AC CH.BC ▪ B C H AC (đối/huyền) ▪ cos B BC ▪ sin B A ▪ AG G C a Tam giác thường: 15 AB (keà/huyeàn) BC K H AB2 BC2 AC2 ▪ tan B ▪ Đường cao: AH a B AH 2 ▪ AB BH.BC ▪ AH BH.CH AB.AC AH AB AC AC (đối/kề) AB ▪ cot B AB (kề/đối) AC Giả sử tam giác ABC có cạnh a; trọng tâm G; đường cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK Tam giác đều: a Pitago ▪ AB 2 AH ▪ Diện tích: S BK a ABC (caïnh) a ; GH (cạnh)2 Giả sử tam giác ABC có a BC, b a AH a a a2 AC, c AB ; đường cao Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com , hb , hc ứng với cạnh a, b, c Ký hiệu R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ∆ a b c ▪ Đònh lí Sin: 2R sin A sin B sin C ▪ Đònh lí Cô-sin: a b2 a2 b2 ▪ Diện tích: S ABC S ABC h a a abc 4R Hình vuông: h b b pr ; S h c ; S c a)( p b)( p 2bc.cos A ; 2ac.cos B; c2 ab.sin C ABC p( p ABC c c2 a2 ac.sin B a b) với p b2 2ab.cosC bc.sin A ; b c (nửa chu vi) Công thức Hê Rông Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M, N trung điểm CD, AD; I tâm hình vuông ▪ Đường chéo: IA IB AC BD AC BD IC (caïnh) a 2 a nên I tâm đường tròn qua bốn ID đỉnh hình vuông ▪ Diện tích: SABCD (caïnh)2 a2 ; chu vi: p 4a ABN ADM , ta chứng minh được: AM BN Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB a, AD b ▪ Vì Hình chữ nhật: ▪ Đường chéo: AC IA IB BD a2 b2 ID a b2 neân I tâm đường tròn qua IC bốn điểm A, B, C, D ▪ Diện tích: SABCD Hình thoi: a.b ; chu vi: p 2(a b) Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh a ▪ Đường chéo: AC ▪ Diện tích: SABCD BD; AC AI AC.BD ; SABCD 2 AB.sin ABI Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B D chia hình thoi làm hai tam giác đều: S ABC S ACD a2 ; SABCD 2S ABC 2S ABC 2S 600 ( A ABC 2a.sin ABI ACD 2S C 1200 ) ta ACD AC a a2 B – THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: 16 ABD Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com Hình chóp: ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy tam giác cạnh a ▪ SH ( ABC) với H trọng tâm (cũng trực tam) ∆ ABC 7.1 Hình chóp tam giác S h D Sđ ▪ A H SH Sđ a2 h a2 h V Thể tích C B V h.Sđ 7.2 Tứ diện đều: ▪ Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể tích: V Góc cạnh bên mặt đáy: SA,( ABC) Góc mặt bên mặt đáy: SAH (SAB),( ABC) SCH SC,( ABC) (SBC),( ABC) a3 12 ▪ Góc cạnh bên mặt 7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SO h h SA Sđ S Thể tích SBO SA.S V ABC SB,( ABC) SBA SC,( ABC) SCA Thể tích (SAB),( ABCD) Đáy tam giác h.a2 V SMO (SBC),( ABCD) SNO Đáy tứ giác đặc biệt ABC ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: 17 a2 Đáy tam giác ▪ 7.5 Hình chóp có mặt bên Sđ Góc mặt bên mặt đáy: SAO SB,( ABCD) SNH ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy hình vuông cạnh a ▪ SO ( ABCD) với O tâm hình vuông ABCD 7.3 Hình chóp tứ giác đều: đáy: SA,( ABCD) SMH ▪ h Sđ SA SABCD Thể tích V SA.SABCD ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SB,( ABCD) SBA SC,( ABCD) SCA Đáy tứ giác đặc biệt Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy ▪ Đường cao h SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SA,( ABC) SAH SC,( ABC) SCH ▪ Đường cao h SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy: SA,( ABCD) SAH SC,( ABCD) SCH A Đặc biệt M SN SP SB SC VS ABP Đặc biệt: M A, N TỈ SỐ THỂ TÍCH Cho hình chóp có đáy tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm cạnh SA, SB, SC Ta coù: VS.MNP VS ABC SM SN SP SA SB SC VS ANP VS ABC VS ABC SP SC C – THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Hình lăng trụ thường:  Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song  Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành  Thể tích: V Đáy tam giác h.Sđ V Hình lăng trụ đứng: 18 Đáy tứ giác AH.S ABC AH.S Đáy tam giác ABC V AH.SABCD AH.SA B C D Đáy tứ giác Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com B  Các cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ  Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác  Thể tích: V h Hình hộp:  Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành BB CC 3.1 Hình hộp chữ nhật:  Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật  V  Thể tích: V AA h.Sđ với h AA h.Sđ với BB CC DD 3.2 Hình lập phương:  Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh abc với a, b, c ba kích thước khác hình hộp chữ nhật h.Sđ  Thể tích: V  V a3 với a cạnh hình lập phương XVIII MẶT TRỤ – MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón:  Đường cao: h S l h l SO ( SO gọi trục hình nón)  Bán kính đáy: l r OA OB OM  Đường sinh: A r O B M Hình thành: Quay vuông SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h SO r OM MẶT TRỤ 19 l SA SB r  Diện tích đáy: Sđ  Thể tích: V h.S đ r2 h r  Dieän tích xung quanh: Sxq  Thiết diện qua trục: SAB cân S  Góc đường sinh mặt SBO  Chu vi đáy: p (liên tưởng khối chóp) SM  Góc đỉnh: ASB đáy: SAO Một số công thức:  Diện tích toàn phần: Stp Sxq Sđ rl r2 SMO Các yếu tố mặt trụ: Một số công thức: Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com rl  Đường cao: h OO  Đường sinh: l AD Ta có: l  Chu vi ñaùy: p BC h OA OB V OC O D  Trục (∆) đường thẳng qua Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ hình bên hai điểm O, O  Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD MẶT CẦU  Diện tích đáy: S đ Một số công thức: IA IB Sxq h r2 r.h  Diện tích toàn phần: Stp Sxq 2Sđ r.h r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện  Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện IM  Đường kính AB h.Sđ  Diện tích xung quanh:  Tâm I , bán kính R r2  Thể tích khối trụ:  Bán kính đáy: r r 2R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán kính R Hình thành: Quay đường AB tròn tâm I , bán kính R quanh trục AB , ta có mặt cầu hình vẽ  Diện tích mặt cầu: S R2  Thể tích khối cầu: V R3  Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh góc vuông  Xét hình chóp có SA ( ABC) ABC 900 20  Xét hình chóp có SA ( ABCD) ABCD hình chữ nhật hình vuông  Ta có: SAC SBC Hình chóp  Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao SH h  Bán kính mặt cầu  Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com  Ta có SAC SBC 900 nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán kính R SC SDC 900 Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , R b2 2h R b2 2h SC bán kính R Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy  Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán h kính R ngoại tiếp hình chóp Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy rđ  Nếu đáy tam giác cạnh a a  Nếu đáy hình vuông rđ  Xét hình chóp có SA (đáy) SA h ; bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy rđ a cạnh a rđ  Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b a2 rđ b2  Xét hình chóp có mặt bên (SAB) (đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ , bán kính ngoại tiếp rb , d AB (SAB) (đáy)  Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R rđ rb2 d2 XIX HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc  Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vò i  Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vò j  Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vò k (1;0;0) (0;1;0) (0;0;1)  Điểm O(0;0;0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u Cho a  a  ka  a b (a1 b1 ; a2 (ka1 ; ka2 ; ka3 ) b 21 a1 b1 a2 b2 a3 b3 b2 ; a3 b3 ) SAB laø (a1 ; a2 ; a3 ), b xi yj zk u ( x; y; z) (b1 ;b2 ;b3 ) Ta coù:  a phương b a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 a1 b1 a kb (k a2 a3 b2 b3 R) , (b1 , b2 , b3 0) Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com  a.b a1 b1  a b a2 b2 a.b a3 b3  a a1b1 a2b2 Toïa độ điểm: M ( x; y; z)  AB ( xB xA ; yB a3b3 a22 a22 xA xB yA ; yB zA ; zA ) zB a a12 a1b1 a.b  cos(a, b)  AB a.b a12 a22 a2b2 a22 a32 a3b3 a32 b12 b22 b32 ( xB x A )2 ( yB yA )2 ( zB zA )  Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x xB xC yA yB yC zA zB zC G A ; ; 3  Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M  a2 ( x; y; z) Cho A( xA ; yA ; zA ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta coù: OM yA ; zB a12 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trục tọa độ u vào Ox M1 ( xM ;0;0)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) (Chiế Giữ nguyên x )  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oxy ( Giữ nguyên x, y) M1 ( xM ; yM ;0)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oy (Giữ nguyên y) M2 (0; yM ;0)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oyz ( Giữ nguyên y, z) M2 (0; yM ; zM )  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oz ( Giữ nguyên z) M3 (0;0; zM )  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oxz ( Giữ nguyên x, z) M3 ( xM ;0; zM ) Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ Đối xứng điểm qua trục tọa độ  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Ox ( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z) Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ M1 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oxy (Giữ nguyên x, y; đổi daáu z) M1 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oy ( Giữ nguyên y; đổi dấu x, z) M2 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oxz (Giữ nguyên x, z; đổi dấu y) M2 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oz ( Giữ nguyên z; đổi dấu x, y) M3 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oyz (Giữ nguyên y, z; đổi dấu x) M3 ( xM ; yM ; zM ) Tích có hướng hai vectơ:  Đònh nghóa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a  a , b     b2 [a, b]  Tính chất: với a3 a1 b3 b1 [a, b] b ; b3 a  Điều kiện phương hai vectơ a & b a, b a3 [a, b].c  Thể tích khối hộp: VABCD A'B'C'D' ABCD a1 a2     a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  b1 b2  [a, b]  a b sin  a, b   Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c (0;0;0)  Diện tích hình bình hành ABCD: S ;  Diện tích tam giác ABC: S AB, AD [ AB, AD] AA'  Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC ABC AB, AC AD Phương trình mặt cầu: Dạng 1: (S) : ( x Mặt cầu ( S) có a)2 (y b)2 (z c)2 R2 Daïng 2: (S) : x2 I (a; b; c) R Mặt cầu ( S) có R2  Phương trình x2 z2 2ax 2by 2cz Bài toán 5.1 Viết phương trình mặt cầu tâm 22 d z2 2ax b2 c2 2by 2cz d I (a; b; c) R y2 y2 a2 d phương trình mặt cầu  a  b2  c  d  Bài toán 5.2 Viết phương trình mặt cầu có Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com I qua điểm M  Bước 1: Tính bán kính R  IM đường kính AB  Bước 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính AB  IA  IB  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Phương trình mặt phẳng: R  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng  Mặt phẳng ( P) ( P) : a( x x0 ) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) VTPT n (a; b; c) b( y c( z y0 ) phương trình z0 )  Ngược lại, mặt phẳng có phương trình dạng ax by cz d , mặt phẳng có  Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng vectơ khác nằm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng VTPT n (a;b; c) VTPT VTPT VTPT  n(Oyz )  (1;0;0), mp(Oxz) : y    n(Oxz )  (0;1;0), mp(Oxy) : z    n(Oxy )  (0;0;1)  Đặc biệt: Mp(Oyz) : x   Bài toán 6.1 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Bài toán 6.2 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C  Bước 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính  Bước 1: Tính tọa độ AB, AC suy  AB, AC  tọa độ AB  Bước 2: Phương trình mp( P) qua I VTPT n  AB Baøi toán 6.3 Viết phương trình mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d với M d   Bước 2: Phương trình mp( P)    Bước 2: Phương trình mp( P) x a y b z c qua M VTPT n   AM , ud  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 23  Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn ( P) : Tính  AM , ud  VTPT n   AB, AC  Baøi toán 6.4 Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c  Bước 1: Chọn điểm A  d VTCP ud qua A  Khoảng cách hai mặt phẳng song song Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com ( P) : ax  by  cz  d1  (Q) : ax  by  cz  d   M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp( P) : ax  by  cz  d   Cho   Khi đó: d  M , ( P)    Cho hai mặt phẳng  ax0  by0  cz0  d a  b2  c Goùc hai mặt phẳng ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1   (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d   Góc ( P) & (Q) tính: nP nQ  nP nQ   a1a2  b1b2  c1c2 a12  b12  c12 a22  b22  c22  Chú ý:  ( P),(Q)  90 d1  d a  b2  c2 với d1  d Vò trí tương đối hai mặt phẳng  Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: cos  ( P), (Q)    Khi đó: d  ( P), (Q)   Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  Ta coù:  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d  a b c d  ( P) (Q)     a2 b2 c2 d2 a b c d  ( P)  (Q)     a2 b2 c2 d  ( P) & (Q) caét  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2  ( P)  (Q)  a1a2  b1b2  c1c2   Lưu ý: Các tỉ số có nghóa mẫu khác Ví trò tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R  Trường hợp 1: d  I , ( P)   R  ( P) ( S ) điểm chung  Trường hợp 2: d  I , ( P)   R  ( P) ( S ) có điểm chung Khi ta nói ( P) tiếp xúc  Trường hợp 3: d  I , ( P)   R  ( P) caét ( S ) theo giao tuyến đường tròn ( S ) ( P) tiếp diện ( S ) Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), 2 bán kính r  R  IH với IH  d  I ,( P)  Ta có: IM  ( P) với M tiếp điểm Phương trình đường thẳng:  Đường thẳng d qua A( xA ; y A ; z A ) VTCP u  (u1; u2 ; u3 ) coù:  x  x A  u1t   Phương trình tham soá d :  y  y A  u2t với t z  z  u t A  tham số  Phương trình tắc  Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d 24 d: x  xA y  y A z  z A   u1 u2 u3 với u1.u2 u3  Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com vectơ khác , có giá trùng với d song song với d a  d d có VTCP là: ud   a, b   Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác không phương cho   b  d  7.1 Ví trò tương đối hai đường thẳng: Xét vò trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bước I  u1 , u2 0 VTCP u1 Hai đường thẳng Hai đường thẳng d1 , d2 cắt chéo  u1 , MN  u1 , MN qua N , d2 Bước II d1 , d2 song song trùng  u1 , u2 qua M VTCP u2 Kết luận d1 d2 d1 d2  u1 ,u2 MN d1 caét d2  u1 ,u2 MN d1 & d2 chéo 7.2 Ví trò tương đối đường thẳng mặt phẳng: x x0 u1t Xét vò trí tương đối đường thẳng d : y y0 u2 t mặt phẳng (P) : ax z z0 u3 t Bước II:Giải PT (*), ta gặp trường hợp sau  PT (*) vô nghiệm Bước I:  Thay phương trình tham số d vào phương trình ( P) , ta PT (*): a( x0 u1t) b( y0 u2t) c(z0 u3t) d  x  x0   PT (*) có nghiệm  y  y0 z  z 0  by cz d Kết luận d ( P) d cắt ( P) điểm có tọa độ ( x0 ; y0 ; z0 ) d  PT (*) có vô số nghiệm (P) 7.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Bước 1: Chọn điểm A  d VTCP ud  Cho điểm M đường thẳng d (có phương trình tham số tắc) ud , AM     Bước 2: d  M , d   ud 7.4 Góc hai đường thẳng:  Cho hai đường thẳng d1 , d có VTCP u1 , u2     Ta coù: cos d1 , d  u1.u2 u1 u2 7.5 Goùc đường thẳng mặt phẳng:  Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( P) có VTPT n 25     Ta coù: sin d , ( P)  u.n u.n Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com Hình chiếu điểm đối xứng: Bài toán Phương pháp qua A 8.1 Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P )  Gọi d đường thẳng 8.2 Tìm điểm A đối xứng với A qua (P )  xA  xH  xA   Ta coù H trung điểm AA   y A  yH  y A z  2z  z H A  A Viết pt tham ( P) số d với VTCP d cũøng VTPT (P)  Goïi H  d  ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H Cách I 8.3 Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng d  Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số d)  Tìm t  AH  d  AH ud    Goïi ( P) Caùch II qua A ( P) d   Tọa độ H Viết pt mp( P)  Goïi H  d  ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H 8.4 Tìm điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d 8.5 Viết phương trình đường thẳng d hình chiếu đường thẳng d treân mp ( P)  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   y A  yH  y A z  2z  z H A  A Trường hợp 1: d song song mp (P) Trường hợp 2: d cắt mp (P) điểm  Lập phương trình mp(Q) biết (Q) chứa d (Q) ( P) :  (Q) qua điểm A  (Q) có VTPT nQ d ud , nP  Lập phương trình d giao tuyến hai mp (P) (Q):  Chọn hai điểm A, B thuộc d cách thay x Tìm y, z thay y Tìm x, z (đối với hệ hai pt (P), (Q))  Viết pt d qua A, B TRUNG TÂM KIÊN LONG Cơ sở I: 118 – Nguyễn Hồng Đào – P.14 – Q.Tân Bình ( 028 397 12345) Cơ sở II: 228 – Ni Sư Huỳnh Liên – P.10 – Q.Tân Bình ( 028 397 11111) 26 Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn Email góp ý: thayxuannhan@gmail.com ... ứng với V CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Đònh nghóa: Đònh nghóa:  Dãy số  un  gọi cấp số cộng  Dãy số  un  gọi cấp số nhân khi un1  un  d với n * , d số  Cấp số cộng... (*) n  Hệ 1: Cn0  Cn1  Cn2  Cnn1  Cnn  2n (tức thay x  vào (*)) Trong công thức bên, ta có n  , n   Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x  1 vào (*), ta có: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1 ... Nhàn Email góp yù: thayxuannhan@gmail.com    tan u   u  u 1  tan u  cos u u    cot u      u 1  cot u  sin u VII KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN XÉT TÍNH ĐƠN