TÓMTẮTTOÁNB2Chương3 LÝ THUYẾT CHUỖI 1. Khái niệm về chuỗi Tổng riêng phần thứ n n n k1 S = = k a ∑ Bản chất chuỗi n n1 a +∞ = ∑ n n lim S s →+∞ =∈\ Hội tụ và có tổng s n n lim S →+∞ =∞ Phân kỳ n n lim S →+∞ không có Phân kỳ 2. Chuỗi hình học n1 n1 aq +∞ − = ∑ Chuỗi hình học n1 n1 aq (a, q : Const, a 0) +∞ − = ≠ ∑ Dấu hiệu Bản chất chuỗi n1 n1 aq +∞ − = ∑ |q| < 1 Hội tụ và có tổng a s = 1q − |q|≥ 1 Phân kỳ 1 3. Chuỗi n1 1 n +∞ α = ∑ và n n1 (1) n +∞ α = − ∑ Chuỗi Dấu hiệu Bản chất α > 1 Hội tụ n1 1 n +∞ α = ∑ α ≤ 1 Phân kỳ α > 0 Hội tụ n n1 (1) n +∞ α = − ∑ α ≤ 0 Phân kỳ 4. Chuỗi n n1 a +∞ = α ∑ Chuỗi n n1 a +∞ = α ∑ Dấu hiệu Bản chất chuỗi n n1 a +∞ = α ∑ α = 0 Hội tụ và có tổng s = 0 α ≠ 0 Cùng bản chất với n n1 a +∞ = ∑ 2 5. Chuỗi nn n1 (a b ) +∞ = + ∑ Chuỗi nn n1 (a b ) +∞ = + ∑ n n1 a +∞ = ∑ n n1 b +∞ = ∑ nn n1 (a b ) +∞ = + ∑ Hội tụ Hội tụ Hội tụ Hội tụ Phân kỳ Phân kỳ Phân kỳ Hội tụ Phân kỳ Phân kỳ Phân kỳ Chưa biết (nhưng chắc chắn phân kỳ nếu các chuỗi đều dương) 6. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Chuỗi n n1 a +∞ = ∑ Dấu hiệu Bản chất chuỗi n n1 a +∞ = ∑ n n lim a 0 →+∞ ≠ hay n n lim a 0 →+∞ ≠ Phân kỳ n n lim a 0 →+∞ = Chưa biết 3 7. Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi dương Chuỗi dương n n1 a(1) +∞ = ∑ và n n1 b(2) +∞ = ∑ Dấu hiệu Bản chất a n ∼ b n (1) và (2) có cùng bản chất a n ≤ b n (2) hội tụ ⇒ (1) hội tụ (1) phân kỳ ⇒ (2) phân kỳ n n n a lim 0 b →+∞ = (2) hội tụ ⇒ (1) hội tụ (1) phân kỳ ⇒ (2) phân kỳ n n n a lim b →+∞ =+∞ (1) hội tụ ⇒ (2) hội tụ (2) phân kỳ ⇒ (1) phân kỳ 8. Tiêu chuẩn Căn thức Cauchy Tiêu chuẩn Căn thức Cauchy cho chuỗi n n1 a +∞ = ∑ Tính n n n lim |a | →+∞ =λ Dấu hiệu Bản chất chuỗi n n1 a +∞ = ∑ λ < 1 Hội tụ (tuyệt đối) λ > 1 Phân kỳ λ = 1 Chưa biết Chú ý: k n k10k n lim |a n . a n a | 1 (a 0) →+∞ ++ + = ≠ 4 9. Tiêu chuẩn Tỉ số D’Alembert Tiêu chuẩn Tỉ số D’Alembert cho chuỗi n n1 a +∞ = ∑ Tính n1 n n a lim a + →+∞ =λ Dấu hiệu Bản chất chuỗi n n1 a +∞ = ∑ λ < 1 Hội tụ (tuyệt đối) λ > 1 Phân kỳ λ = 1 Chưa biết Chú ý: Ta thường sử dụng tiêu chuẩn này khi trong a n có chứa giai thừa 10. Tiêu chuẩn Tích phân Cauchy Chuỗi dương n n1 n1 af(n) +∞+∞ == = ∑∑ f(x) không âm, liên tục, giảm trên [1,+∞) 1 f(x)dx +∞ ∫ n n1 a +∞ = ∑ Hội tụ Hội tụ Phân kỳ Phân kỳ 5 Chuỗi n1 1 n +∞ α = ∑ Dấu hiệu Bản chất chuỗi n1 1 n +∞ α = ∑ α > 1 Hội tụ α ≤ 1 Phân kỳ Chuỗi n1 P(n) Q(n) +∞ = ∑ P(n), Q(n) là các đa thức theo n Dấu hiệu Bản chất chuỗi n1 P(n) Q(n) +∞ = ∑ Bậc Q − Bậc P > 1 Hội tụ Bậc Q − Bậc P ≤ 1 Phân kỳ 11. Chuỗi đan dấu và Tiêu chuẩn Leibniz Chuỗi n n n1 (1)a +∞ = − ∑ Dãy {a n } không âm và giảm Dấu hiệu Bản chất chuỗi n n n1 (1)a +∞ = − ∑ n n lim a 0 →+∞ = Hội tụ (Tchuẩn Leibniz) n n lim a 0 →+∞ ≠ Phân kỳ 6 Chuỗi n n1 (1) n +∞ α = − ∑ Dấu hiệu Bản chất chuỗi n n1 (1) n +∞ α = − ∑ α > 0 Hội tụ α ≤ 0 Phân kỳ Chuỗi n n1 P(n) (1) Q(n) +∞ = − ∑ P(n), Q(n) là các đa thức theo n Dấu hiệu Bản chất chuỗi n n1 P(n) (1) Q(n) +∞ = − ∑ Bậc Q – Bậc P > 0 Hội tụ Bậc Q – Bậc P ≤ 0 Phân kỳ 12. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ Chuỗi n n1 |a | +∞ = ∑ Chuỗi n n1 a +∞ = ∑ Thuật ngữ dành cho chuỗi n n1 a +∞ = ∑ Hội tụ Hội tụ Hội tụ tuyệt đối Hội tụ Bán hội tụ hoặc hội tụ có điều kiện Phân kỳ Phân kỳ Phân kỳ 7 Chuỗi n n1 (1) n +∞ α = − ∑ Dấu hiệu Bản chất chuỗi n n1 (1) n +∞ α = − ∑ α > 1 Hội tụ tuyệt đối 0 < α ≤ 1 Bán hội tụ α ≤ 0 Phân kỳ Chuỗi n n1 P(n) (1) Q(n) +∞ = − ∑ P(n), Q(n) là các đa thức theo n Dấu hiệu Bản chất chuỗi n n1 P(n) (1) Q(n) +∞ = − ∑ Bậc Q – Bậc P > 1 Hội tụ tuyệt đối 0 < Bậc Q – Bậc P ≤ 1 Bán hội tụ Bậc Q – Bậc P ≤ 0 Phân kỳ 13. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa n n0 n0 u(x x) +∞ = − ∑ Bán kính hội tụ R = 1/L Tiêu chuẩn Căn thức n n n L lim |u | →+∞ = Tiêu chuẩn Tỉ số n1 n n u Llim u + →+∞ = 8 14. Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa n n0 n0 u(x x) +∞ = − ∑ Tìm bán kính hội tụ R R = 0 D = {x 0 } R = +∞ D = \ Khoảng hội tụ (x 0 − R, x 0 + R) 0 < R < +∞ (x 0 − R, x 0 + R) ⊆ D ⊆ [x 0 − R, x 0 + R] Khảo sát chuỗi tại x = x 0 − R và x = x 0 + R để xác đònh D 9 . TÓM TẮT TOÁN B2 Chương 3 LÝ THUYẾT CHUỖI 1. Khái niệm về chuỗi Tổng riêng phần thứ n n. n1 n1 aq +∞ − = ∑ |q| < 1 Hội tụ và có tổng a s = 1q − |q|≥ 1 Phân kỳ 1 3. Chuỗi n1 1 n +∞ α = ∑ và n n1 (1) n +∞ α = − ∑ Chuỗi Dấu hiệu Bản chất α