TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 11 12

I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC sin  cos  Hệ thức Cơ bản: cos   cot   sin   sin 2  cos 2   tan     tan   cos2    cot   sin  Đối:  ;  k     tan(  k )  tan  cot(  k )  cot   Cung Liên kết:  Khác pi:  ;    Phụ:  ;   Bù:  ;    Pi  : ;   2   sin      cos  2  Khác sin( )   sin  sin(   )  sin  cos( )  cos  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  k    sin(  k 2 )  sin  cos(  k 2 )  cos    tan cot    sin      cos  2    cos      sin  2  sin(   )   sin  cos(   )   cos    cos       sin  2    tan      cot  2  tan(   )  tan    tan       cot  2  cot(   )   cot    cot      tan  2  cot(   )  cot    cot       tan  2  Sin bù Phụ chéo Cos đối Khác pi/2: sin bạn cos, Khác Pi: tang, cotang cos thù sin Công thức Cộng:  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b  sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b sin 2  2sin  cos  sin 3  3sin   4sin  sin    cos 2 tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b Công thức Nhân đôi, Nhân ba: cos 2  cos   sin   cos     2sin  cos3  4cos   3cos  Công thức Hạ bậc:  cos 2 cos2   tan 2  tan   tan  3tan   tan  tan 3   3tan  tan    cos 2  cos 2 Biến đổi Tổng thành Tích: ab a b cos 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4   cos a  cos b  2cos ab a b sin 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b cos a  cos b   2sin     sin   cos   sin       cos      4  4 Công thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a.sin b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC u  v  k 2 sin u  sin v   (k  ) u    v  k 2 Nếu sin u  m   1;1    m  1;  ; ;  ;0 thì: 2   cos u  m  u   arccos m  k 2 (k  ) Nếu cos u  m   1;1 thì: cosu  m  u  Nếu sin u  m   1;1 thì: sin u  m  u  Đặc biệt:   k 2 sin u  1  u    sin u   u  k  k    k 2 cos u   u  k 2 cos u  1  u    k 2 Đặc biệt: cos u   u  k   tan u  tan v  u  v  k  k , k  Tuy vậy, phương trình tan u  m ln có nghiệm, khơng cần đặt điều kiện Kỹ thuật 1: Làm dấu TRỪ Ví dụ:  sin   sin( ) x x 4 sin x x k   sin x k2 x k   Lưu ý: Điều kiện để hàm cot u có nghĩa u  k , k  Tuy vậy, phương trình cot u  m ln có nghiệm, khơng cần đặt điều kiện cho  sin x  k cot u  m  u  arc cot m  k Lưu ý: Điều kiện để hàm tan u có nghĩa  cos   cos(   )  tan   tan( )  cot   cot( ) k     ;0 thì: Nếu cot u  m   3; 1;    k   tan u  m  u  arctan m  k  cot u  cot v  u  v  k    ;0 thì: Nếu tan u  m   3; 1;    u k     Nếu cos u  m   1;1 m  1;  ; ;  ;0 thì: 2   u  arcsin m  k 2 sin u  m   (k  ) u    arcsin m  k 2 sin u   u  u  v  k 2 cos u  cos v   u  v  k 2  sin x x k2 (vô nghiệm) sin x Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO k (k sin( x) )   sin   cos     2    cos   sin     2    tan   cot     2    cot   tan     2  Ví dụ:    k 2  x   x  k 2 x       (k  ) sin x  cos x  sin x  sin   x    2   x       x   k 2  x    k 2     2  Phương trình a sin x  b cos x  c (với a  b2  c ) a sin x  b cos x  c  a sin x  a  b2 b cos x  a  b2  sin x.cos   cos x.sin   (với cos   a a  b2 , sin    Trường hợp 1: Xét cos x   sin x  Ta có hệ c a  b2 c a  b2 b a  b2 )  sin( x   )  sin   với sin   Phương trình a sin2 x  b sin x cos x  c cos x  d c a  b2 sin x  sin x    .(1) sau:  a sin x  d a  d  Trường hợp 2: Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos x , ta có: a tan x  b tan x  c  d (1  tan x)  (2)  Hợp nghiệm (1), (2) ta có tập nghiệm phương trình cho  Lưu ý: Phương trình a sin x  b cos x  c có nghiệm a  b2  c [ III TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm chia nhiều trường hợp, ta Nếu phép đếm chia làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta cộng kết lại nhân kết giai đoạn HOÁN VỊ  Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp Pn  n ! với TỔ HỢP  Chọn k phần tử từ n phần tử  Chọn k phần tử từ n phần tử (có (khơng xếp thứ tự), ta có số cách xếp thứ tự), ta số cách chọn chọn Cnk n  n !  1.2  n  1 n  Cnk   Quy ước sốc: 0!  Một số tính chất:  Công thức: P( X )  XÁC SUẤT CHỈNH HỢP Ank k  , n  n! với   n  k  !k ! 0  k  n *  Cnk  Cnnk Cnk  Cnk 1  Cnk11 n( X ) n ( )  Tính chất:  P( X )  Trong đó: n( X ) : số phần tử tập biến cố X ; n() : số phần tử không gian mẫu; P( X ) xác suất để biến cố X xảy với X    Nếu A, B hai biến cố xung khắc với P  A  B   P  A   P  B  Ank  k  , n  n! với   n  k ! 0  k  n * Ank  k !Cnk P ()  0; P()  P( X )   P( X ) với X biến cố đối X  Nếu A B hai biến cố độc lập với P  A.B   P  A P  B  IV KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN  Khai triển dạng liệt kê: (với n  * )  a  b n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n  2b   Cnn 1ab n 1  Cnnb n  Đặc biệt: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn 1 x n 1  Cnn x n (*) n  Hệ 1: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn  2n (tức thay x  vào (*))  Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x  1 vào (*), ta có: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn   Cn0  Cn2  Cn4  Cnn  Cn1  Cn3  Cnn1 Khai triển tổng quát: (với n  *  a  b  Khai triển: n n   Cnk a n k bk Số hạng tổng quát: Tk 1  Cnk a nk bk k 0  Phân biệt hệ số số hạng: Cnk ( 1)k an kbk x Số hạng không chứa x ứng với   ) HỆ SỐ SỐ HẠNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN V CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Định nghĩa:  Dãy số  un  gọi cấp số cộng  Dãy số  un  gọi cấp số nhân khi un 1  un  d với n  * số  Cấp số cộng có số hạng đầu u1 , cơng sai d Số hạng tổng quát:  un  u1  (n  1)d với n  Tính chất số hạng:  uk 1  uk 1  2uk với k  * * un 1  un q với n  , d * , q số  Cấp số nhân có số hạng đầu u1 , cơng bội q Số hạng tổng quát:  un  u1.q n1 với n  * Tính chất số hạng:  uk 1.uk 1  uk2 với k  k  k  Tổng n số hạng đầu tiên: (u  u )n  Sn  u1  u2   un  n Tổng n số hạng đầu tiên:  Sn  u1  u2   un  u1 (1  q n ) với q  1 q VI GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ 1.1 Dãy số có giới hạn 0: 1 0 ▪ lim  ▪ lim n n ▪ lim q n  với q  ▪ lim  n ▪ lim 0 n 1.2 Dãy số có giới hạn hữu hạn: Cho lim un  a Ta có: Giới hạn dãy số ▪ lim un  a lim u  a ▪ lim un  a với a  Cho lim un  a , lim  b Ta có: ▪ lim  un    a  b ▪ lim un a  với b  b 1.3 Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: 1.4 Dãy số có giới hạn vơ cùng: ▪ lim  un   a.b ▪ lim  k un   k a S  u1  u1q  u1q   u1 1 q Quy tắc 1: Cho lim un  , lim   Tính lim  un  lim un lim lim  un           lim un Dấu a lim  un     + – + –     Quy tắc 2: Cho lim un  , lim  a  Tính lim  un   Quy tắc 3: Cho lim un  a  0, lim  Tính lim Dấu a (tử) Dấu (mẫu) + + – – + – + –    un lim un     2.1 Giới hạn vơ cực: Cho k dương, ta có: 0 x  x k 2.2 Giới hạn hữu hạn: ▪ lim x k   ▪ lim , k chaün , k leû ▪ lim x k x  x Cho lim f  x   a, lim g  x   b Ta có: x  x0 ▪ lim f  x   a x  x0 ▪ lim f  x   a x  x0 ▪ lim x  x0 x  x0 f  x   a với a  ▪ lim  f  x  g  x    a.b x  x0 ▪ lim  f  x   g  x    a  b x  x0 ▪ lim  k f  x    k a với k số x  x0 ▪ lim x  x0 f  x a  với b khác g  x b 2.3 Quy tắc tìm giới hạn vơ cực: Quy tắc 1: Cho lim f  x   , lim g  x   a  Tính lim  f  x  g  x   x  x0 x  x0 x x0 lim f  x    x  x0   + – + –   Giới hạn hàm số: lim  f  x  g  x   Dấu a x  x0   Quy tắc 2: Cho lim f  x   a  0, lim g  x   Tính lim x  x0 x  x0 x  x0 Dấu g  x  Dấu a f  x g  x f  x g  x lim x  x0 + +  + –  – +  – –  2.4 Bổ trợ công thức để khử dạng vô định: ax  bx  c  a  x  x1  x  x2  với x n    x  1 x n 1  x n    x1 , x2 nghiệm tam thức bậc hai a n  b n   a  b  a n 1  a n  2b   b n 1    a b  a b  a2  b a b a3  b a a b  a b   b a b  a2  b a b a3  b a2  a b   b  3.1 Điều kiện tồn giới hạn: Giới hạn bên phải lim f  x  Ký hiệu lim f  x  x  x0 lim f  x   lim f  x  x  x0   x0  x     x  x0 Nghĩa Điều kiện để hàm số có giới hạn x0 Giới hạn bên trái x  x0 x  x0 Khi đó: lim f  x   lim f  x    x0  x     x  x0 x  x0 x  x0  lim f  x  x  x0 Điều kiện giới hạn điều kiện liên tục: 3.2 Điều kiện liên tục hàm số:  Hàm số f  x  liên tục x0  f  x0   lim f  x   lim f  x   f  x0   lim f  x  x  x0 x  x0 x  x0  Mọi hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục tập xác định chúng  Hàm số f  x  liên tục khoảng  a; b  liên tục với x  x0   a; b  f ( x) liên tục treân (a; b) lim f ( x) f (a); lim f ( x)  Hàm số f  x  liên tục a; b x a x b f (b) 3.3 Điều kiện có nghiệm phương trình: Nếu hàm số f  x  liên tục  a; b  f  a  f  b   phương trình f  x   có nghiệm  a; b  VII ĐẠO HÀM Định nghĩa đạo hàm điểm: f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 Bảng đạo hàm mở rộng:  ( x )   x   k  (với k số)   e x   e x  sin x   cos x  1 MR  (u )   u 1 u  MR   eu   eu u    a x   a x ln a MR   MR   au   au ln a u MR   sin u   u cos u  x   x  u   2uu  ln x   x    x     x2 u   MR     u u   log a x   x ln a u u MR MR    ln u    log a u   u u ln a MR   cos x    sin x   cos u    u sin u 1   cot x      tan x   1  cot x  2 cos x sin x u u MR MR    tan u    u 1  tan u   cot u      u 1  cot u  cos u sin u Quy tắc tìm đạo hàm: ▪  u  v   u   v ▪ (k.u)  k.u ▪ (u.v)  uv  uv   tan x    u  uv  uv ▪   v2 v ▪ f x  fu.ux với fx đạo hàm f theo biến x fu đạo hàm f theo biến u ux đạo hàm u theo biến x Đạo hàm cấp cao vi phân: Đạo hàm cấp cao f   x    f   x   ; f   x    f   x   f  4  x    f   x  ; ; f  n  x    f  n1  x  Vi phân df  x   f   x  dx dy  y.dx du  u.dx VIII.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU  Bước 1: Tìm tập xác định D  Bước 2: Tính y  f ( x) ; cho y  x1 , x2 Tìm thêm giá trị x mà y khơng Tìm nghiệm xác định  Bước 3: Lập bảng biến thiên (Nên chọn giá trị x đại diện cho khoảng thay vào y để tìm dấu y khoảng đó)  Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ  Hàm số có điểm cực trị  y( x0 )  ( x0 ; y0 )    y ( x0 )  y0 (giả thiết hàm số liên tục x0 ) HÀM BẬC BA y  ax  bx  cx  d (a  0)  Đạo hàm y  3ax  2bx  c  Hàm số đồng biến tập xác định  y  0, x  a      Hàm số nghịch biến tập xác định  y  0, x  a      Lưu ý: Nếu a chứa tham số m ta xét a  , tìm m Thay m tìm để kiểm tra dấu y , xem y có đơn điệu khơng? CỰC TRỊ HÀM BẬC BA y  ax  bx  cx  d (a  0) HÀM NHẤT BIẾN ax  b y (ad  bc  0, c  0) cx  d ad  bc (cx  d )2  Hàm số đồng biến khoảng xác định  ad  bc   Hàm số nghịch biến khoảng xác định  ad  bc   Đạo hàm y   Lưu ý: Nếu đề cho đồng biến (nghịch biến) ( ;  ) ta xét điều d kiện:   ( ;  ) c CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y  ax  bx  c (a  0)  Đạo hàm y  3ax  2bx  c  Đạo hàm y  4ax3  2bx  Hàm số có hai cực trị (tức có  Điều kiện cực trị Ba cực trị ab  a  (*) CĐ-CT)   ab   y  Một cực trị  2  Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu a  b   x1 x2   ac  Có cực trị a  b2   Hàm số có hai điểm cực trị  Cho A, B, C ba điểm cực trị, ta có:  f ( x0 )  a  0,    Nếu  hàm  y b3  8a dấu    f ( x0 )  cos BAC  b  8a ac  số f ( x) đạt cực đại  Phương trình đường thẳng qua x  x0 b5 hai điểm cực trị: SABC  32a3 f ( x) f ( x)  f ( x0 )  y  f ( x)   Nếu  hàm 18 a  f ( x )  0  Lưu ý: Nếu tọa độ hai cực trị số f ( x) đạt cực tiểu rõ ràng ta nên gọi đường thẳng x  x0 y  ax  b thay tọa độ hai điểm vào   Giải hệ tìm a, b TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG Tìm Max-Min f ( x) khoảng (a; b) Tìm Max-Min f ( x) đoạn  a; b   Bước 1: Tính y  f ( x) Tìm nghiệm xi  (a; b) cho f ( x)  Tìm x j  (a; b) mà y khơng xác định  Bước 2: Tính giá trị f (a), f (b) f ( xi ), f ( x j ) (nếu có)  Bước 3: So sánh tất giá trị bước để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ ĐẶC BIỆT  Bước 1: Tính y  f ( x) Tìm nghiệm xi  (a; b) cho f ( x)  Tìm x j  (a; b) mà y không xác định  Bước 2: Cần tính lim y, lim y (Nếu thay (a; b) x a x b (; ) ta tính thêm lim y ) x   Bước 3: Lập bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, nhỏ khoảng  Nếu hàm f ( x) đồng biến [a; b]  Nếu hàm f ( x) nghịch biến [a; b]  max f ( x)  f (b)  max f ( x)  f (a)  x[a ;b ]  x[a ;b ]   f ( x)  f (a) f ( x)  f (b)  xmin  xmin [a ;b ] [a ;b ] TIỆM CẬN ĐỨNG   x0  x   Định nghĩa:  (x hữu hạn, y vô y     hạn), ta có tiệm cận đứng x  x0 Lưu ý: điều kiện x   x0 thay x   x0 (giới hạn bên trái) x   x0 (giới hạn bên phải)  Cách tìm TCĐ: Nếu x  x0 nghiệm mẫu số mà nghiệm tử số x  x0 TCĐ đồ thị (với tập xác định có dạng D  K \  x0 ; x1 ;  )  Đồ thị hàm số y  TIỆM CẬN NGANG  x     Định nghĩa:  (x vơ hạn, y hữu hạn), ta có tiệm  y0  y  cận ngang y  y0  Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy NEXT NEXT Bước 2: CALC   X  10 ^10   NEXT NEXT CALC   X  10 ^10   Bước 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y  y0 ax  b a d với (c  0, ad  bc  0) có TCĐ: x   , TCN: y  c c cx  d  Nên nhớ, đồ thị có tối đa tiệm cận ngang SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ Xét hai đồ thị (C1 ) : y  f ( x ) (C ) : y  g( x ) Phương pháp chung tìm giao điểm hai đồ thị  Bước : Lập phương trình hồnh độ giao  Bước : Giải phương trình (*) để tìm nghiệm x1 , x2 , ( C ) & ( C ) điểm : f ( x )  g ( x ) (*) (nếu có), suy y , y  Điều kiện để (C1 ) (C2 ) có n điểm chung phương trình (*) có n nghiệm khác  Điều kiện để (C1 ) tiếp xúc (C2 ) phương trình (*) có nghiệm kép  f ( x)  g ( x) hệ sau có nghiệm :   f ( x)  g ( x) ax  b   (C ) : y  Tìm tham số để  cx  d cắt hai điểm phân biệt  d : y   x    Bước : Viết phương trình hồnh độ giao ax  b điểm :   x   , đưa phương trình cx  d d  dạng g ( x)  Ax  Bx  C   x    c     A  Tìm  m?  Bước : Giải hệ  g   g   d     c  (C ) : y  ax  bx  cx  d Tìm tham số để  cắt ba điểm phân biệt d : y   x   (Ta áp dụng cho trường hợp phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm đẹp)  Bước : Viết phương trình hồnh độ giao A   điểm : ax3  bx  cx  d   x   , đưa Tìm  Bước : Giải hệ điều kiện :  g   m? phương trình dạng   g ( x0 )    ( x  x0 )  Ax  Bx  C      Lưu ý : Để tìm nghiệm đẹp x  x0 , ta nhập vào máy chức g ( x)   giải phương trình bậc ba với m  100 (có vận dụng kỹ chia Hoocner) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) điểm M ( x0 ; y0 )  (C )  Bước 1: Tính đạo hàm y , từ có hệ số góc k  y( x0 )  Bước : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị dạng y  k ( x  x0 )  y0 DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k  Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tính đạo hàm y  Bước 2: Cho y( x0 )  k , tìm tiếp điểm ( x0 ; y0 )  Bước 3: Phương trình tiếp tuyến : y  k ( x  x0 )  y0 DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến qua A( xA ; y A )  Bước 1: Tiếp tuyến có dạng : y  y( x0 )( x  x0 )  y0 (*) với y0  f ( x0 )  Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm x0  Bước 3: Thay x0 vào (*) để viết phương trình tiếp tuyến  Đặc biệt : Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng y  ax  b có hệ số góc k  a, tiếp tuyến vng góc đường (a  0) ; tiếp tuyến tạo với Ox góc  có hệ số góc k   tan  a ĐIỂM ĐẶC BIỆT THUỘC ĐỒ THỊ Tâm đối xứng (hay điểm uốn) đồ thị bậc ba y  ax  bx  cx  d (a  0) thẳng y  ax  b có hệ số góc k    y  3ax  2bx  c  Bước 1: Tính   y  6ax  2b  Bước 2: Cho y Tìm nghiệm x0 b 3a y0 Ta có tâm đối xứng (tức điểm uốn): I ( x0 ; y0 )  Cần nhớ: Tâm đối xứng đồ thị bậc ba trung điểm hai điểm cực trị (nếu có) Tâm đối xứng đồ thị hàm biến y  ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d Tam giác đều: Giả sử tam giác ABC có cạnh a; trọng tâm G; đường cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK A ▪ Đường cao: AH a a K ▪ AG  G B BK H C a Tam giác thường: (caïnh) a 2 a a 1 a a AH   ; GH  AH   3 3 (caïnh)2 a2 ABC 4 Giả sử tam giác ABC có a  BC, b  AC, c  AB ; đường cao ▪ Diện tích: S , hb , hc ứng với cạnh a, b, c Ký hiệu R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp ∆ a b c ▪ Định lí Sin:    2R sin A sin B sin C ▪ Định lí Cơ-sin: a  b2  c  2bc.cos A ; b2  a  c  2ac.cos B; c  a  b  2ab.cos C 1 1 1 ▪ Diện tích: SABC  a  hb b  hc c ; SABC  ab.sin C  ac.sin B  bc.sin A ; 2 2 2 abc a b c (nửa chu vi) SABC   pr ; S ABC p( p a)( p b)( p b) với p 4R Công thức Hê Rông Hình vng: Cho hình vng ABCD có cạnh a; hai điểm M , N trung điểm CD, AD; I tâm hình vng ▪ Đường chéo: I Hình chữ nhật: AC BD AC BD (caïnh) a a nên I tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ▪ Diện tích: SABCD (cạnh)2 a2 ; chu vi: p  4a ▪ Vì ABN  ADM , ta chứng minh được: AM  BN IA  IB  IC  ID  Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB  a, AD  b ▪ Đường chéo: AC  BD  a  b 2 IA  IB  IC  ID  a  b nên I tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, C , D ▪ Diện tích: S ABCD  a.b ; chu vi: p  2(a  b) Hình thoi: Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh a ▪ Đường chéo: AC  BD; AC  AI  AB.sin ABI  2a.sin ABI ▪ Diện tích: S ABCD  AC.BD ; S ABCD  2SABC  2SACD  2SABD Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B  D  600 ( A  C  1200 ) ta chia hình thoi làm hai tam giác đều: ABC  ACD; AC  a SABC  SACD  a2 a2 ; S ABCD  2SABC  B – THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy tam giác cạnh a ▪ SH  ( ABC ) với H trọng tâm (cũng trực tam) ∆ ABC 7.1 Hình chóp tam giác Hình chóp: S h D Sđ ▪ A H SH Sđ Thể tích V a2 h C B V h.Sñ 7.2 Tứ diện đều: ▪ Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể tích: V a2 h Góc cạnh bên mặt đáy: Góc mặt bên mặt đáy:  SA,( ABC)  SAH (SAB),( ABC)  SMH   ( SBC ),( ABC )   SNH   SC,( ABC )   SCH ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy hình vng cạnh a ▪ SO  ( ABCD) với O tâm hình vng 7.3 Hình chóp tứ giác đều: a3 12 ABCD ▪ Góc cạnh bên mặt     SB,( ABCD)  SBO 7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SO h h SA Sđ S ABC Thể tích V SA.S ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SB, ( ABC )  SBA    SC , ( ABC )  SCA  Đáy tam giác     Thể tích V h.a2 (SAB),( ABCD)  SMO   (SBC ),( ABCD)   SNO Đáy tam giác ▪ 7.5 Hình chóp có mặt bên a2 Góc mặt bên mặt đáy: đáy: SA,( ABCD)  SAO  Sñ Đáy tứ giác đặc biệt ABC ▪ h SA Sñ SABCD Thể tích V SA.SABCD ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SB, ( ABCD)  SBA    SC , ( ABCD)  SCA  Đáy tứ giác đặc biệt     (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy ▪ Đường cao h  SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SA, ( ABC )  SAH    SC , ( ABC )  SCH      ▪ Đường cao h  SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SA, ( ABCD)  SAH    SC , ( ABCD)  SCH      C – TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Đặc biệt: M  A Đặc biệt M  A, N  B VS ANP SN SP  VS ABC SB SC VS ABP SP  VS ABC SC Cho hình chóp có đáy tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm cạnh SA, SB, SC Ta có: VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Hình chóp có đáy hình bình hành với SM SN  y,  x, SB SA SQ SP  z, t SC SD Khi đó: VS MNPQ VS ABCD  xyz  xyt  xzt  yzt 1 1    x z y t Hình chóp có đáy đa giác Chẳng hạn: (MNPQR) (ABCDE) SM SN tỉ số: x   SA SB  SP SQ SR   SC SD SE Khi đó: VS MNPQR  x3 VS ABCDE D – THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Hình lăng trụ thường:  Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song  Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành  Thể tích: V h.Sđ Đáy tam giác Đáy tứ giác V  AH S ABC  AH S ABC  V  AH S ABCD  AH S ABC D Hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên vng góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ  Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác Đáy tam giác  Thể tích: V Đáy tứ giác  Thể tích: V h.Sñ với h  AA  BB  CC  DD h  AA  BB  CC Hình hộp:  Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành  Thể tích: V h.Sđ h.Sđ với 3.1 Hình hộp chữ nhật:  Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật V  abc với a, b, c ba kích thước hình hộp chữ nhật 3.2 Hình lập phương:  Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh V  a3 với a cạnh hình lập phương Tỉ số thể tích lăng trụ: Lăng trụ có đáy tam giác AM BN CP x , y , z AA BB CC Ta có: VABC MNP x  y  z  VABC ABC  Lăng trụ đáy hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng (Lăng trụ hình hộp thường hình hộp chữ nhật, hình lập phương) AM BN CP DQ x , y , z ,t AA BB CC DD Ta có: VABCD.MNPQ VABCD ABC D  x y z t x  z  y  t E – BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy tam giác Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy hình vng, hình chữ nhật  d  A,  SBC    AH  SA AK  d  A,  SBC    AH   d  A,  SCD    AK   d  A,  SBD    AF   SA2  AK d  B,  SAC    BM ; d  C ,  SAB    CN  d  SA, BC   AK      d  B,  SCD   d  AD, SC   d  AD,  SBC    d  A,  SBC    AH d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    AK d  O,  SCD    OH  SO  OK  d  O,  SAB    d  O,  SAC    d  A,  SBC    3d  O,  SBC    3OH SO.OK SO  OK  d  O,  SAB    d  O,  SBC    d  O,  SAD   SO.OK  d  B,  SAC    d  C ,  SAB     SA2  AD SA AE  d  D,  SBC   Hình chóp tứ giác  d  O,  SBC    OH  SA2  AB SA AD  d  C ,  SBD   SA2  AE d  AD, SB   AH ; d  AB, SD   AK Hình chóp tam giác  SA AB d  A,  SCD    2d  O,  SCD    2OH  d  A,  SBC    d  B,  SAD    d  B,  SCD    d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    2OH d  SA, BC   IK  d  SB, AC   d  SC , AB   d  AB, SD   d  AD, SB   d  AD, SC   F – MẶT TRỤ, MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón: Một số cơng thức:  Đường cao: h  SO ( SO gọi trục hình nón)  Bán kính đáy: S l h l A r  OA  OB  OM l  Đường sinh: l  SA  SB  SM r O B M Hình thành: Quay  vng SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với:  h  SO   r  OM MẶT TRỤ  Góc đỉnh: ASB  Thiết diện qua trục: SAB cân S  Góc đường sinh mặt  Diện tích đáy: Sđ   r 1  Thể tích: V  h.Sđ  h. r 3 (liên tưởng đến thể tích khối chóp)  Diện tích xung quanh: S xq   rl  Diện tích tồn phần: Stp  S xq  Sđ   rl   r đáy: SAO  SBO  SMO Các yếu tố mặt trụ:  Đường cao: h  OO  Đường sinh: l  AD  BC Ta có: l  h  Bán kính đáy: r  OA  OB  OC  OD  Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm O, O Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung  Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD bình OO , ta có mặt trụ hình bên MẶT CẦU  Chu vi đáy: p  2 r Một số công thức: Một số công thức:  Chu vi đáy: p  2 r  Diện tích đáy: Sđ   r  Thể tích khối trụ: V  h.Sđ  h. r  Diện tích xung quanh: Sxq  2 r.h  Diện tích tồn phần: Stp Sxq 2Sđ r.h r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện  Tâm I , bán kính R  IA  IB  IM  Đường kính AB  R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán kính R Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình thành: Quay đường trịn  Diện tích mặt cầu: S  4 R đa diện mặt cầu đa diện mặt cầu AB  R qua tất đỉnh tiếp xúc với tất tâm I , bán kính R  quanh  Thể tích khối cầu: V  đa diện mặt đa trục AB , ta có mặt cầu hình diện vẽ CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP THƯỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh Hình chóp góc vng  Xét hình chóp có SA  ( ABCD) ABCD hình chữ nhật hình vng  Xét hình chóp có SA  ( ABC ) ABC  900  Ta có SAC  SBC  90 nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán SC kính R   Ta có: SAC  SBC  SDC  900 Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán kính SC R Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy  Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính R h  Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao SH  h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R  Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO  h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp b2 2h hình chóp R  b2 2h Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy rđ  Nếu đáy tam giác a  Nếu đáy hình vng cạnh a rđ a  Xét hình chóp có SA cạnh a rđ (đáy) SA h ; bán kính đường trịn ngoại tiếp  Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b đáy rđ rđ a b 2  Xét hình chóp có mặt bên (SAB) đáy rđ , bán kính ngoại tiếp (đáy), bán kính ngoại tiếp SAB rb , d AB (SAB) (đáy) (đoạn giao tuyến)  Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R rñ rb2 d2 XIII HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc  Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i  (1;0;0)  Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j  (0;1;0)  Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k  (0;0;1)  Điểm O(0;0;0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u  xi  y j  zk  u  ( x; y; z ) Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có:  a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )  a phương b  a  kb (k  R) a1  kb1 a a a   a2  kb2    , (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3 a  kb   ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1  b1   a  b  a2  b2 a  b  3  a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3  a   a  a  a12  a22  a32 a12  a22  a22  cos(a , b )   a  b  a.b   a1b1  a2b2  a3b3  a.b  a b a1b1  a2b2  a3b3 a  a22  a32 b12  b22  b32 Tọa độ điểm: M ( x; y; z )  OM  ( x; y; z ) Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:  AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )  AB   Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:  x  x y  yB z A  z B  M A B; A ;   2   Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2 x x x y y y z z z  G  A B C ; A B C ; A B C  3   QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ Chiếu điểm trục tọa độ Chiếu vào Ox Chiếu vào Oxy  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) (Giữ nguyên x) M1 ( xM ;0;0)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) (Giữ M1 ( xM ; yM ;0) nguyeân x, y)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oy ( Giữ nguyeân y) M2 (0; yM ;0)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oyz ( Giữ nguyên y, z) M2 (0; yM ; zM )  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oz ( Giữ nguyên z) M3 (0;0; zM )  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chiếu vào Oxz ( Giữ nguyên x, z) M3 ( xM ;0; zM ) Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Ox ( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z) M1 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oxy ( Giữ nguyên x, y; đổi dấu z ) M1 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oy ( Giữ nguyên y; đổi dấu x, z) M2 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oxz ( Giữ nguyên x, z; đổi dấu y) M2 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oz ( Giữ nguyên z; đổi dấu x, y) M3 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Đối xứng qua Oyz ( Giữ nguyên y, z; đổi dấu x ) M3 ( xM ; yM ; zM ) Tích có hướng hai vectơ:  Định nghĩa: Cho a  (a1 , a2 , a3 ) , b  (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a  a, b     b2 a1 a1 a2  ;    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  b1 b1 b2  [a, b]  b [a, b]  a  Tính chất: a3 a3 ; b3 b3  Điều kiện phương hai vectơ a & b [a, b]  a b sin  a, b   Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c a, b  với  (0;0;0)   [a, b].c   Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AD   Thể tích khối hộp: VABCD A' B 'C ' D '  [ AB, AD] AA '  Diện tích tam giác ABC: SABC   Thể tích tứ diện: VABCD   AB, AC   AB, AC  AD  6 Phương trình mặt cầu: Dạng 1: ( S ) : ( x  a)  ( y  b)  ( z  c)  R 2 2 2 Dạng 2: ( S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Mặt cầu ( S ) có tâm I (a; b; c) R Mặt cầu ( S ) có tâm I (a;b; c) R R2 a2 b2 c2 d 2  Phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d  phương trình mặt cầu  a  b2  c  d  Bài tốn 5.1 Viết phương trình mặt cầu tâm I qua Bài toán 5.2 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB  Bước 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính điểm M  Bước 1: Tính bán kính R  IM AB R  IA  IB  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Phương trình mặt phẳng: qua M ( x0 ; y0 ; z0 )  Mặt phẳng ( P) VTPT n  (a; b; c) phương trình ( P) : a ( x  x0 )  b( y  y0 )  c ( z  z0 )  (*)  Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng  Ngược lại, mặt phẳng có phương trình dạng vectơ khác nằm đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Đặc biệt: ax  by  cz  d  , mặt phẳng có VTPT n  (a; b; c) với a2 b2 c2 VTPT VTPT VTPT Mp(Oyz ) : x    n(Oyz )  (1;0;0), mp(Oxz ) : y    n(Oxz )  (0;1;0), mp(Oxy) : z    n(Oxy )  (0;0;1) Bài toán 6.1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (Q) cho trước Bài toán 6.2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với với đường thẳng d cho trước  Mặt phẳng (P) qua M, có VTPT n( P )  n(Q ) nên  Mặt phẳng (P) qua M , có VTPT n( P )  ud nên phương trình phương trình viết theo (*) Bài tốn 6.3 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB viết theo (*) Bài tốn 6.4 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C  Bước 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính AB  Bước 1: Tính tọa độ AB, AC suy  AB, AC   Bước 2: Phương trình mp( P) qua I VTPT n  AB Bài tốn 6.5 Viết phương trình mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d với M  d   Bước 2: Phương trình mp( P)  qua A VTPT n   AB, AC  Bài tốn 6.6 Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c ) với a b.c   Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn ( P) : x y z    a b c  Bước 1: Chọn điểm A  d VTCP ud Tính  AM , ud    Bước 2: Phương trình mp( P)  qua M VTPT n   AM , ud  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( P ) : ax  by  cz  d1  (Q) : ax  by  cz  d   M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp ( P ) : ax  by  cz  d   Cho   Khi đó: d  M , ( P)    Cho hai mặt phẳng  ax0  by0  cz0  d a b c 2 Góc hai mặt phẳng ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1   (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d   Góc ( P) & (Q) tính:  nP nQ  nP nQ  Khi đó: d  ( P), (Q)   d1  d a  b2  c 2 với d1  d Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình:  Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình: cos  ( P), (Q)   Khoảng cách hai mặt phẳng song song a1a2  b1b2  c1c2 a12  b12  c12 a22  b22  c22   Chú ý: 00  ( P),(Q)  900 ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  Ta có:  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d  a b c d  ( P) (Q)     a2 b2 c2 d a b c d  ( P)  (Q)     a2 b2 c2 d  ( P) & (Q) cắt  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2  ( P)  (Q)  a1a2  b1b2  c1c2   Lưu ý: Các tỉ số có nghĩa mẫu khác Ví trị tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R  Trường hợp 1: d  I , ( P)   R  ( P) ( S ) khơng có điểm chung  Trường hợp 2: d  I , ( P)   R  ( P) ( S ) có  Trường hợp 3: d  I , ( P)   R  ( P) cắt ( S ) theo giao điểm chung Khi ta nói ( P) tiếp xúc ( S ) ( P) tiếp diện ( S ) tuyến đường trịn Đường trịn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), bán kính r  R2  IH với IH  d  I , ( P)  Ta có: IM  ( P) với M tiếp điểm Phương trình đường thẳng:  Đường thẳng d qua A( xA ; y A ; z A ) VTCP u  (u1; u2 ; u3 )  Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d vectơ khác , có giá trùng với d song song với d  x  x A  u1t   Phương trình tham số d :  y  y A  u2t với t tham số z  z  u t A   Phương trình tắc d : với u1.u2 u3  x  xA y  y A z  z A   u1 u2 u3 a  d d có VTCP là: ud   a, b   Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác không phương cho   b  d  7.1 Ví trị tương đối hai đường thẳng: qua M Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bước I  u1 , u2 0 Kết luận  u1 , MN   Hai đường thẳng d1 , d2 d1    u1 , MN     Hai đường thẳng d1 , d2 cắt chéo VTCP u2 Bước II song song trùng  u1 , u2 VTCP u1 qua N , d2 d2 d1 d2  u1 ,u2 MN d1 cắt d2  u1 ,u2 MN d1 & d2 chéo 7.2 Ví trị tương đối đường thẳng mặt phẳng: x x0 u1t Xét vị trí tương đối đường thẳng d : y y0 u2 t mặt phẳng ( P) : ax z z0 u3t Bước I:  Thay phương trình tham số d vào phương trình ( P) , ta PT (*): a( x0 u1t) b( y0 u2 t) c( z0 u3t) d by cz d Bước II:Giải PT (*), ta gặp trường hợp sau  PT (*) vô nghiệm d ( P)  PT (*) có nghiệm t  t0 d cắt ( P) điểm  PT (*) có vơ số nghiệm t d Kết luận ( P) 7.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Bước 1: Chọn điểm A  d VTCP ud  Cho điểm M đường thẳng d (có phương trình tham số tắc)  Bước 2: d  M , d   ud , AM    ud 7.4 Khoảng cách hai đường thẳng: Trường hợp 1: Hai đường thẳng song song Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo d1 , d d1 , d  Bước 1: Chọn điểm M (đẹp) thuộc d1  Bước 1: Ghi rõ d1  Bước 2: d  d1 , d   d  M , d  (xem 7.3) qua A   VTCP u1     Bước 2: Tính: d  d1 , d   , d2 qua B   VTCP u2    u1 , u2  AB   u1 , u2    7.5 Góc hai đường thẳng:  Cho hai đường thẳng d1 , d có VTCP u1 , u2     Ta có: cos d1 , d  7.6 Góc đường thẳng mặt phẳng: u1.u2 u1 u2  8.2 Tìm điểm A đối xứng với A qua (P ) u.n u.n Hình chiếu điểm đối xứng: Phương pháp Bài tốn 8.1 Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P )    Ta có: sin d , ( P)   Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( P) có VTPT n  Gọi d đường thẳng qua A  ( P) Viết pt tham số d với VTCP d VTPT (P)  Gọi H  d  ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   y A  yH  y A z  2z  z H A  A  Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số d) Cách 8.3 Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng d 8.4 Tìm điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d 8.5 Viết phương trình đường thẳng d  hình chiếu đường thẳng d mp ( P)  AH  d  AH ud    Tìm t  Gọi ( P) Cách qua A ( P)  d   Tọa độ H Viết pt mp( P)  Gọi H  d  ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   y A  yH  y A z  2z  z H A  A Trường hợp 1: d song song mp (P) Trường hợp 2: d cắt mp (P) điểm  Lập phương trình mp(Q) biết (Q) chứa d (Q)  ( P) : (Q) qua điểm A  d (Q) có VTPT nQ  ud , nP     Lập phương trình d  giao tuyến hai mp (P) (Q): Chọn hai điểm M, N thuộc d  cách thay Tìm x   y, z thay Tìm y   x, z (đối với hệ hai pt (P), (Q)) Viết pt d qua M, N [ XIV GẮN TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Gắn tọa độ hình chóp 1.1.Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy: Đáy tam giác  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, AB  a   Tọa độ điểm là:     O(0;0;0), A  0; ;0  , B   ;0;0  ,     1  C  ;0;0  , 2    S  0; ; OH    SA  Đáy tam giác vuông B  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: B  O  0;0;0  , A  0; AB;0  , C  BC ,0;0  ,   S  0; AB; BH   SA   Đáy hình vng, hình chữ nhật  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ A  O  0;0;0  , B  0; AB;0  , C  AD; AB;0  , D  AD;0;0  , S  0;0; SA  Đáy tam giác cân A  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm là: O(0;0;0), A  0; OA;0  , B  OB;0;0  ,   C  OC ;0;0  , S  0; OA; OH   SA   Đáy tam giác vuông A  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: A  O  0;0;0  , B  0; OB;0  , C  AC;0;0  , S  0;0; SA  Đáy hình thoi  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0; OB;0  , C  OC ;0;0    D  0; OD;0  , S  OA;0; OH   SA   Đáy tam giác cân B  Gọi O trung điểm AC Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0, OB;0  ,   C  OC ;0;0  , S  OA;0; OH   SA   Đáy tam giác thường  Dựng đường cao BO ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0, OB;0  ,   C  OC ;0;0  , S  OA;0; OH   SA   Đáy hình thang vng  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ A  O  0;0;0  , B  0; AB;0  , C  AH ; AB;0  , D  AD;0;0  , S  0;0; SA 1.2.Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác, mặt bên tam Đáy tam giác cân C (hoặc Đáy hình vng-hình chữ nhật giác thường đều), mặt bên tam giác cân S (hoặc đều)  Vẽ đường cao CO ABC Chọn hệ trục hình, a =  Ta có: O  0;0;0  , A  0; OA;0  ,   B  0; OB;0  , C  OC;0;0  , S  0; OH ; OK   SH    Gọi O trung điểm BC, chọn hệ trục hình, a =  Ta có: O  0;0;0  , A  0; OA;0  ,  Dựng hệ trục hình, chọn a =  Ta có: A  O  0;0;0  , B  AB;0;0    C  AB; AD;0  , D  0; AD;0  , S  AH ;0; AK   SH   B  0; OB;0  , C  OC;0;0  , S  0;0; SO  1.3.Hình chóp Hình chóp tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy Dựng hệ trục hình vẽ a = Tọa độ điểm:  AB   BC  ;0;0  , O  0;0;0  , A  0; ;0  , B         BC  C ;0;0  ,      AB  S  0; ; OK   SH   OH   Hình chóp tứ giác Chọn hệ trục hình với a = Tọa độ điểm: O  0;0;0  ,        AB   AB   AB  A ;0;0  , B  0; ;0;0  , ;0  , C   2       OB  OA      OA   AB   D  0;  ;0    OB   S  0;0; SO  Gắn tọa độ hình lăng trụ 2.1 Lăng trụ đứng Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm: A  O  0;0;0  , B  0; AB;0  , C  AD; AB;0  , D  AD;0;0  , A  0;0; AA  , B  0; AB; AA  , C   AD; AB; AA  , D  AD;0; AA  Lăng trụ đứng đáy hình thoi Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình với O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0; OB;0  , C  OC;0;0  , D  0; OD;0  , A  OA;0; AA  , B  0; OB; AA  , C   OC ;0; CC   , D  0; OD; DD  Lăng trụ tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có:  AB  O  0;0;0  , A  ;0;0  ,    AB  B   ;0;0  , C  0; OC;0  ,   A  OA;0; AA  ,  AB  B   ;0; BB  , C   0; OC; CC     Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO tam giác ABC chọn hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm là: O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  OB;0;0  , C  0; OC ;0  , A  OA;0; AA  , B  OB;0; BB  , C   0; OC; CC   2.2.Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy hình vng hình chữ nhật, hình chiếu đỉnh điểm thuộc cạnh đáy khơng chứa đỉnh Lăng trụ nghiêng có đáy tam giác đều, hình chiếu đỉnh mặt phẳng đối diện trung điểm cạnh tam giác đáy  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A, B, C, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA  BB  CC  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A, B, C, D, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA  BB  CC  DD