Khóa luận phép biến đổi mellin của một số hàm đặc biệt và mối liên hệ với phép biến đổi fourier

Khi nghiên cứu lí thuyết của các hàm đặc biệt, ông đã ứng dụng phép biến đổi này để giải các phương trình vi phân siêu hình và tính đạo hàm của một số hàm đặc biệt.. Những đóng góp của M

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, Thầy đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành bản khoá luận này Trong quá trình làm khóa luận, thầy luôn động viên, quan tâm và chỉ bảo tôi khi gặp các vấn đề khó và cung cấp các tài liệu, gợi ý quý báu để tôi hiểu vấn đề sâu sắc hơn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên và Khoa Sư Phạm, Đại học Quốc gia Hà Nội đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Phép biến đổi Mellin 5 1.1 Định nghĩa 5

1.2 Mối quan hệ của phép biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace 6

1.3 Công thức ngược Mellin 6

1.4 Tầm quan trọng của dải chỉnh hình 8

1.5 Tính chất 13

1.6 Một số hàm số đặc biệt thường xuất hiện trong các biến đổi Mellin 16

1.6.1 Hàm Gamma 16

1.6.2 Hàm Beta 18

1.6.3 Hàm Psi (Đạo hàm logarit của hàm Gamma) 18

1.6.4 Hàm Riemann’s Zeta 18

2 Biến đổi Mellin của một số hàm thông thường 20 2.1 Biến đổi Mellin của một số hàm thông thường 20

2.2 Bảng biến đổi Mellin của các hàm số quen thuộc 24

2.3 Mối liên hệ giữa phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Fourier 26

2.3.1 Nhắc lại về phép biến đổi Fourier 26

2.3.2 Mối liên hệ giữa phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Fourier 26 2.3.3 Biến đổi Mellin của xne−x 2 /2, n ∈ N 27

2.3.4 Phương trình tích chập 30

KẾT LUẬN 32

Tài liệu tham khảo 33

LỜI NÓI ĐẦU

Ngược lại với các phép biến đổi Fourier và Laplace mà chúng ta đã biết, được ra đời nhằm giải quyết các bài toán vật lí, thì phép biến đổi Mellin lại nảy sinh trong bối cảnh toán học Trên thực tế, sự xuất hiện lần đầu tiên của phép biến đổi này được tìm thấy trong một ghi chép của Riemann khi ông sử dụng nó để nghiên cứu hàm Zeta Tuy vậy, một nhà toán học Phần Lan, R.H.Mellin (1854 - 1933) mới thực sự là người đầu tiên đưa ra một cách hệ thống phép biển đổi này cũng như công thức ngược của

nó Khi nghiên cứu lí thuyết của các hàm đặc biệt, ông đã ứng dụng phép biến đổi này

để giải các phương trình vi phân siêu hình và tính đạo hàm của một số hàm đặc biệt Những đóng góp của Mellin thực sự đã gây chú ý và rất có ý nghĩa trong lý thuyết giải tích hàm, những công trình này của ông chủ yếu dựa trên định lý Cauchy và phương pháp tính thặng dư

Theo cách tiếp cận trong khóa luận này, thì biến đổi Mellin được xem như là một phép biến đổi Fourier trên một nhóm nhân các số thực dương (ví dụ, nhóm co giãn) và sự phát triển của nó song song với sự phát triển của phép biểu diễn theo lý thuyết nhóm của biểu diễn Fourier thông thường Một trong những ưu điểm của phép biểu diễn thay thế này là để nhấn mạnh một thực tế rằng phép biến đổi Mellin tương ứng với một phép đẳng cự giữa các không gian Hilbert của các hàm Bên cạnh các ứng dụng của nó trong toán học, phép biến đổi Mellin còn được sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý và kỹ thuật

Một lĩnh vực khác mà phép biến đổi Mellin được ứng dụng rất nhiều là việc giải các phương trình vi phân tuyến tính chứa x(d/dx) thường gặp trong quá trình nghiên cứu các thiết bị điện kĩ thuật bằng phương pháp tương tự như trong biến đổi Laplace Gần đây, những ứng dụng truyền thống đã được mở rộng và một số ứng dụng mới đã được tìm ra Một phương pháp mới để tính toán một số loại tích phân nhất định đã được đưa ra bởi O.I.Marichev, người đã mở rộng phương pháp Mellin và tìm ra một phương pháp có tính hệ thống để làm nó có tính ứng dụng cao hơn

Như chúng ta đã biết, phép biến đổi Mellin và Fourier có mối quan hệ rất mật thiết với nhau Rất nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học trên thế giới đề cập đến vấn đề này và đây vẫn luôn là một vấn đề được quan tâm nghiên cứu Vì vậy, tôi nhận thấy rằng việc xây dựng một cách có hệ thống phép biến đổi Melin cũng như mối quan hệ giữa biến đổi Mellin và Fourier là rất cần thiết, thông qua đó, chúng ta sẽ

có một cái nhìn tổng quan, sâu sắc hơn về phép biến đổi Mellin, làm cơ sở cho những nghiên cứu thực tiễn và sâu sắc hơn sau này Từ đó, tôi quyết định chọn đề tài khóa

luận: “ Phép biến đổi Mellin của một số hàm đặc biệt và mối liên hệ với phép biến đổi Fourier”

Trong khóa luận, tôi chú trọng tập trung vào việc phân tích kĩ dải chỉnh hình trong phép biến đổi Mellin thông qua các ví dụ là những hàm số quen thuộc, từ đó xem xét dải chỉnh hình dưới góc độ trực quan Sau đó, tôi tập trung nghiên cứu về mối quan hệ giữa phép biến đổi Mellin và Fourier, biến đổi Mellin của dãy hàm xne−x 2 /2

(n ∈ N) cũng như phân tích kĩ dải chỉnh hình của hàm ảnh, đây thực sự là những minh họa có ý nghĩa về phép biến đổi này

Nội dung khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Giới thiệu về phép biến đổi Mellin, bao gồm: định nghĩa, tính chất, công thức ngược Mellin, mối quan hệ của phép biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace, một số hàm đặc biệt thường xuất hiện trong phép biến đổi Mellin Đặc biệt, chương này gồm những ví dụ minh họa rất cụ thể về cách tính toán dải chỉnh hình của hàm ảnh và dải chỉnh hình của tích phân Mellin của một số hàm thông thường

Chương 2: Phần đầu chương, tôi tập trung tính toán biến đổi Mellin của một

số hàm số thông thường và giới thiệu bảng biến đổi Mellin của một số hàm số thường gặp Tiếp đó là phần nhắc lại về phép biến đổi Fourier, từ đó chỉ ra mối quan hệ giữa phép biến đổi Fourier và Mellin Ở cuối chương, tôi kết thúc bằng việc tính toán biến đổi Mellin và dải chỉnh hình của hàm ảnh của dãy hàm xne−x 2

/2 (n ∈ N)

Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do lượng kiến thức chưa nhiều và thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi còn thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Trần Thị Minh Nguyệt

Chương 1

Phép biến đổi Mellin

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Cho f(t) là một hàm số xác định với t ∈ (0; +∞) Một phép biến đổi Mellin M là một ánh xạ đi từ hàm số f vào hàm số F xác định trên mặt phẳng phức bởi mối liên hệ sau

M[f, s] ≡ F (s) =

Z +∞

0

f (t)ts−1dt

Hàm số F (s) được gọi là biến đổi Mellin của f Nhìn chung, tích phân này chỉ tồn tại với các giá trị phức của s = a + jb sao cho a1 < a < a2, với a1 và a2 phụ thuộc vào hàm số f(t) Ta gọi đó là dải cơ bản của phép biến đổi Mellin và kí hiệu là S(a1; a2) Trong một số trường hợp, dải này có thể mở rộng ra nửa mặt phẳng (khi

a1 = −∞ hoặc a2 = +∞) hoặc mở rộng ra toàn mặt phẳng phức (khi a1 = −∞ và

a2 = +∞)

Ví dụ 1.1.1 Biến đổi Mellin của hàm số f(t) = e−pt, p > 0 là

Mf[s] =

Z +∞

0

ts−1e−ptdt

Theo định nghĩa hàm Gamma, ta thấy ngay rằng Mhf ; si = p−sΓ(s) Cần nhớ rằng, hàm Gamma khả tích trong miền Re(s) > 0, từ đó có thể kết luận rằng dải chỉnh hình trong trường hợp này là trong miền Re(s) > 0

1.2 Mối quan hệ của phép biến đổi Mellin với phép

biến đổi Laplace

Bằng phép đổi biến, đặt t = e−x, dt = −e−xdx, ta thu được

F (s) =

Z +∞

−∞

f (e−x)e−sxdx

Khi đó, đặt g(x) ≡ f(e−x), ta thu được biểu thức của biến đổi Laplace hai chiều của hàm g như sau

Lhg; si=

Z +∞

−∞

g(x)e−sxdx

Nói cách khác, ta có thể viết lại thành

Mhf (t); si= Lhf (e−x); si Như vậy, ta thấy rằng sự xuất hiện của dải chỉnh hình trong phép biến đổi Mellin

có thể được suy ra một cách trực tiếp từ công thức liên hệ trên Biến đổi Laplace thông thường theo chiều bên phải thì khả tích trên nửa mặt phẳng Re(s) > σ1 Tương tự như vậy, thấy rằng biến đổi Laplace chiều bên trái khả tích trên nửa mặt phẳng Re(s) < σ2 Nếu ta phủ hai nửa mặt phẳng này lên nhau thì miền chỉnh hình của phép biến đổi Laplace hai chiều là dải σ1 < Re(s) < σ2, là phần giao của hai nửa mặt phẳng trên

1.3 Công thức ngược Mellin

Công thức ngược Mellin được biểu diễn dưới dạng sau

f (t) = 1

2πi

Z a+i∞

a−i∞

với tích phân lấy trên đường thẳng đứng đi qua điểm Re(s) = a Đến đây nhiều câu hỏi được đặt ra Những giá trị như thế nào của a có thể thay vào công thức? Điều gì

sẽ xảy ra nếu giá trị của a bị thay đổi? Và trong trường hợp nào thì hàm f xác định với mọi giá trị của t?

Định lý 1.3.1 Nếu F (x) chỉnh hình trong dải S(a1; a2) và thỏa mãn bất đẳng thức

với các giá trị K nhất định, thì khi đó hàm số f(t) đạt được theo công thức (1.3.2) là hàm số liên tục với mọi giá trị t ∈ (0; +∞) và biến đổi Mellin của nó là F (s)

Lưu ý rằng kết quả trên chỉ đưa ra một điều kiện đủ cho công thức ngược Mellin

để nó là hàm số liên tục Hơn nữa, một điểm quan trọng chúng ta cũng cần lưu ý là, công thức ngược áp dụng cho hàm F , chỉnh hình trong một dải cho trước, thì kết quả duy nhất thu được chỉ đúng đối với dải đó Thật vậy, một phép biến đổi Mellin luôn bao gồm hai yếu tố: một hàm số F (s) và một dải chỉnh hình S(a1; a2) Nhìn chung một hàm số F (s) nhất định với một vài dải chỉnh hình dời nhau của nó sẽ có các hàm ngược khác nhau, ứng với từng dải chỉnh hình khác nhau Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ minh họa cho điểm này

Ví dụ 1.3.1 Tính liên tục của hàm Gamma

Theo kết quả ở Ví dụ 1.1.1, khi thay p = 1, ta được f(t) = e−t, t > 0, như chúng ta

đã biết, chính là biến đổi Mellin ngược của Γ(s), Re(s) > 0 Hơn nữa, ta cũng có thể kiểm tra được rằng, Γ(s) thỏa mãn các giả thiết của Định lí 1.3.1 bằng cách sử dụng công thức Stirling sao cho xuất hiện điều sau

Γ(a + ib)

∼

√ 2π b

a−1/2

e−|b|π/2, b → +∞

Từ đó, áp dụng công thức ngược Mellin, ta thu được một biểu diễn tích phân của

e−t như sau

e−t = 1

2πi

Z a+i∞

a−i∞

Γ(s)t−sds, a > 0

Từ đó cho thấy, hàm Γ có thể liên tục theo nghĩa giải tích trong nửa mặt phẳng trái ngoại trừ vô số cực điểm tại các số nguyên âm và tại 0 Biến đổi Mellin ngược của hàm Gamma trên các dải chỉnh hình khác nhau sẽ được tính bằng việc biến đổi đồng nhất thức (1.3.3) Chu tuyến của phép lấy tích phân sẽ được chuyển sang bên trái và tích phân sẽ chỉ nhận các giá trị của các thặng dư tại mỗi cực (Hình 1.1) Rõ ràng, nếu

a > 0 và −N < a0 < −N, N nguyên thì ta có



1/2πi

Z a+i∞

a−i∞

Γ(s)t−sds =

N −1

X

n=0

(−1)n

n! t

n+1/2πi

Z a 0 +i∞

a 0 −i∞

Γ(s)t−sds

Suy ra, công thức ngược của hàm Γ trên dải S(−N; −N + 1) là



1/2πi

Z a 0 +i∞

a 0 −i∞

Γ(s)t−sds = e−t−

N −1

X

n=0

(−1)n

n! t

n, − N < a0 < −N + 1

Tích phân này biểu diễn phần dư trong khai triển Taylor của e−t và ta dễ dàng chỉ ra rằng, phần dư này sẽ triệt tiêu khi N → ∞ bằng cách áp dụng công thức Stirling

Hình 1.1: Các chu tuyến khác nhau của phép lấy tích phân trong biến đổi Mellin ngược của hàm Gamma Tích lũy trên các phần nằm ngang sẽ dần về 0 khi Im(s) dần ra vô cùng

Hệ quả 1.3.1 Cho M[f; s] và M[g; s] lần lượt là các biểu diễn Mellin của hàm f và

g với các dải chỉnh hình theo thứ tự là Sf và Sg;giả sử rằng tồn tại các số thực c sao cho c ∈ Sf và 1 − c ∈ Sg Khi đó công thức Parsevals có thể viết thành

Z +∞

0

f (t)g(t)dt = 1

2πi

Z c+i∞

c−i∞ Mhf ; siMhg; 1 − sids

1.4 Tầm quan trọng của dải chỉnh hình

Ta không thể tính toán được một ph ép biến đổi Mellin nếu không biết được dải chỉnh hình của nó, vì khi tính toán được dải chỉnh hình, chúng ta mới có thể biết được hàm ảnh hội tụ tại đâu Đặc biệt trong công thức ngược Mellin, dải này có ý nghĩa hết sức quan trọng, nó thường được áp dụng trong các ứng dụng lý thuyết số của phép biến đổi Mellin và trong các công trình nghiên cứu về tổng điều hòa hay trong ngành khoa học máy tính Tích phân ngược Mellin được tính toán thông qua một đường thẳng song song với trục ảnh và nằm trên dải chỉnh hình Quá trình tính toán dải chỉnh hình được nảy sinh từ việc xem xét tính hội tụ của tích phân Mellin, cụ thể là khi xét tích phân

Mhf ; si =

Z +∞

0

xsf (x)dx

x ,

ta chia tích phân này làm hai phần như sau

Mhf ; si =

Z +∞

0

xsf (x)dx

x

=

Z 1 0

xsf (x)dx

Z +∞

1

xsf (x)dx

x . Giả sử f(x) khả tích địa phương trên phần dương trục thực, khi đó tích phân đầu tiên sẽ bị chặn tại 0, và tích phân thứ hai bị chặn tại +∞ Đặt s = σ + it, ta thu được

Z 1 0

xsf (x)dx

x

≤

Z 1 0

xσ|f(x)| dx

x , và

Z +∞

1

xsf (x)dx

x

≤

Z +∞

1

xσ|f(x)| dxx Giả sử f(x) = O(xu) tại x = 0 Khi đó tích phân bị chặn thứ nhất sẽ hội tụ nếu

σ + u − 1 > −1 hoặc σ > −u

Hơn nữa, giả sử rằng f(x) = O(xv) tại +∞ thì tích phân bị chặn thứ hai sẽ hội tụ nếu σ + v − 1 > −1 hoặc σ > −v

Hai điều kiện hạn chế này sẽ xác định cho ta hai nửa mặt phẳng, nửa mặt phẳng trái và nửa mặt phẳng bên phải Khi đó, giao của hai nửa mặt phẳng này chính là dải chỉnh hình, kí hiệu là [−u; −v]

Tóm lại

Nếu f(x) khả tích địa phương trên phần dương trục thực, f(x)x→0+ = O(xu), f (x)x→+∞= O(xv), thì biến đổi Mellin của nó sẽ hội tụ trên dải chỉnh hình [−u; −v] và tích phân ngược Mellin tương ứng của nó được lấy trên đường thẳng song song với trục ảnh trên dải đó

Cách tính toán dải chỉnh hình

Ví dụ 1.4.1 Xét hàm số sau và biến đổi Mellin của nó

f (x) = 1

1 + x và Mhf ; si = π

sinπs

Ta chia tích phân làm hai phần như sau

Mhf ; si =

Z +∞

0

xs−1

1 + xdx

=

Z 1 0

xs−1

1 + xdx +

Z +∞

1

xs−1

1 + xdx = I1+ I2. Xét I1, khi x → 0 thì xs−1

1 + xdx ∼ xs−1 Khi đó, điều kiện để I1 hội tụ là 1 − s < 1, hay Re(s) > 0

Xét I2, ta có f(x)x→+∞ = x

s−1

1 + xdx ∼ x

s−1

x = x

s−2 Khi đó, điều kiện để I2 hội tụ

là 2 − s > 0, hay Re(s) < 1

Vậy điều kiện để tích phân Mellin của f(x) hội tụ là 0 < Re(s) < 1, tức là dải chỉnh hình trong trường hợp này là 0 < Re(s) < 1 Nó được biểu diễn trong đồ thị sau

Hình 1.2: Dải chỉnh hình của hàm ảnh Mh 1

1 + x; s

i

Ví dụ 1.4.2 Xét hàm số sau và biến đổi Mellin của nó

f (x) = e−px, p > 0 và Mhf ; si= p−sΓ(s)

Ta chia tích phân làm hai phần như sau

Mhf ; si =

Z +∞

0

e−pxxs−1dx

=

Z 1 0

e−pxxs−1dx +

Z +∞

1

e−pxxs−1dx = I1+ I2

Xét I1, khi x → 0 thì e−pxxs−1 ∼ xs−1 Khi đó, điều kiện để I1 hội tụ là 1 − s < 1, hay Re(s) > 0

Xét I2, khi x → +∞ thì e−pxxs−1 = e−pxe(s−1)lnx = e(s−1)lnx−px → e−∞ ∼ 0 (do

p > 0) Suy ra, I2 luôn hội tụ

Vậy điều kiện để tích phân Mellin của hàm f(x) hội tụ là 0 < Re(s) < +∞, tức là dải chỉnh hình trong trường hợp này là 0 < Re(s) < +∞ Nó được biểu diễn trong đồ thị sau:

Hình 1.3: Dải chỉnh hình của hàm ảnh Mhe−px; si

Nhận xét: Trong trường hợp p = 1, ta có f(x) = e−x và Mhf ; si = Γ(s), như vậy dải chỉnh hình của hàm Γ(s) là 0 < Re(s) < +∞

Ví dụ 1.4.3 Xét hàm số sau và biến đổi Mellin của nó

f (x) = (1 + x)−a và Mhf ; si= Γ(s) Γ(a − s)

Γ(a)

Ta chia tích phân làm hai phần như sau

Mhf ; si =

Z +∞

0

(1 + x)−axs−1dx

=

Z 1

(1 + x)−axs−1dx +

Z +∞

(1 + x)−axs−1dx = I1 + I2

Xét I1, khi x → 0 thì (1 + x)−axs−1 ∼ xs−1 Khi đó, điều kiện để I1 hội tụ là

1 − s < 1, hay Re(s) > 0

Xét I2, ta có f(x)x→+∞ = x

s−1

(1 + x)a ∼ x

s−1

xa = xs−a−1 Khi đó, điều kiện để I2 hội

tụ là 1 + a − s > 0, hay Re(s) < Re(a)

Vậy điều kiện để tích phân Mellin của f(x) hội tụ là 0 < Re(s) < Re(a), tức là dải chỉnh hình trong trường hợp này là 0 < Re(s) < Re(a) Nó được biểu diễn trong đồ thị sau:

Hình 1.4: Dải chỉnh hình của hàm ảnh Mh(1 + x)−a; si

Ví dụ 1.4.4 Xét hàm số sau và biến đổi Mellin của nó

f (x) = 1

1 − x và Mhf ; si = π cos(πs)

Ta chia tích phân làm hai phần như sau

Mhf ; si =

Z +∞

0

xs−1

1 − xdx

=

Z 1 0

xs−1

1 − xdx +

Z +∞

1

xs−1

1 − xdx = I1+ I2.