Một vài ứng dụng của nguyên lý bao hàm và loại trừ

Đồng thời, luận văn cũng trình bày một số ứng dụng trong các bài toán cụ thể, chẳng hạn bài toán đếm số các toàn ánh từ tập [n] đến tập [m], số mất thứ tự và dạng tổng quát của nó, tức l

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS ĐỖ TRỌNG HOÀNG

THÁI NGUYÊN - 2023

Tôi xin cam đoan những nội dung trong luận văn là do sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đỗ Trọng Hoàng Các kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào.

Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.

Hà Nội, ngày 1 tháng 4 năm 2023 Người cam đoan

Nguyễn Văn Vũ

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán Tin -ĐH Khoa học Thái Nguyên đến nay luận văn đã được hoàn thành Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS Đỗ Trọng Hoàng Thầy là người đã tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những giảng viên đã giảng dạy, đồng hành cùng mình tại Khoa Toán Tin Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học của ĐH Khoa học Thái Nguyên đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học cao học tại Trường.

Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè, gia đình tôi, những người đã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua.

Nguyễn Văn Vũ

Lời mở đầu 1

1.1 Các nguyên lý cơ bản của phép đếm 3

1.2 Nguyên lý bao hàm và loại trừ 7

LỜI MỞ ĐẦU

Nguyên lý bao hàm và loại trừ là một công thức đếm rất cơ bản trong các bài toán đếm Giả sử các tập A1, A2, , An là các tập hợp bất kỳ Khi đó, lực lượng của hợp các tập Ai, với 1 ≤ i ≤ n, được tính bởi công thức sau:

Công thức này được gọi là nguyên lý bao hàm và loại trừ Luận văn sẽ trình bày các tính chất của nguyên lý này và dạng tổng quát của nó Đồng thời, luận văn cũng trình bày một số ứng dụng trong các bài toán cụ thể, chẳng hạn bài toán đếm số các toàn ánh từ tập [n] đến tập [m], số mất thứ tự và dạng tổng quát của nó, tức là đa thức quân xe của các bảng, đặc biệt bảng Ferrers, và một số ứng dụng khác.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung của luận văn được chia làm hai Chương Trong Chương 1, chúng tôi trình bày và chứng minh nguyên lý bao hàm và loại trừ dạng kinh điển và dạng tổng quát Chương 2 sẽ trình bày một số ứng dụng của nguyên lý bao hàm và loại trừ Chẳng hạn như việc tìm các số nguyên tố không vượt quá một số tự nhiên cho trước (sàng

Eratosthenes), hay ứng dụng tính hàm Euler và bài toán tìm nghiệm nguyên của một dạng phương trình tuyến tính Một ứng dụng trong lý thuyết trò chơi là bài toán về số mất thứ tự cũng sẽ được trình bày Tổng quát của số mất thứ tự, hàm sinh rất quan trọng liên quan là đa thức quân xe sẽ được nghiên cứu Chúng tôi sẽ nêu cách tính đa thức quân xe của các bảng Ferrers Các vấn đề này được tham khảo trong nhiều tài liệu khác nhau, chẳng hạn [1, 2, 3, 4].

Nguyên lý bao hàm và loại trừ

Trong Chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về quy tắc đếm cơ bản, trình bày các tính chất và dạng tổng quát của nguyên lý bao hàm và loại trừ Kí hiệu [n] = {1, 2, , n} Các kết quả Chương này được tham khảo từ các tài liệu [1, 4].

1.1Các nguyên lý cơ bản của phép đếm

Mục này trình bày một số quy tắc đếm cơ bản như quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Định nghĩa 1.1.1.

1 Một tập hợp A được gọi là hữu hạn có n phần tử nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập hợp [n] Ta viết |A| = n.

2 Nếu tập A không hữu hạn thì ta nói A là vô hạn.

Trong suốt luận văn này, tập hợp chúng tôi đề cập là tập hữu hạn.

Mệnh đề 1.1.2 (Quy tắc cộng) Nếu A và B là hai tập hợp rời

3

nhau, thì

|A ∪ B| = |A| + |B|.

Một cách tổng quát, nếu A1, A2, , An là các tập hữu hạn đôi một rời nhau, tức là Ai ∩ Aj = ∅ với mọi i 6= j, thì

|A1 ∪ A2 ∪ ∪ An| = |A1| + |A2| + · · · + |An|.

Quy tắc cộng còn có thể phát biểu theo một cách khác như sau: Nếu một công việc có thể thực hiện bằng một trong hai phương án loại trừ lẫn nhau Phương án thứ nhất có m cách thực hiện và phương án thứ hai có n cách thực hiện Khi đó, sẽ có m + n cách thực hiện công việc đã cho.

Bổ đề 1.1.3 (Nguyên lý bù trừ) Cho B là một tập con của A Gọi CA(B) là phần bù của B trong A Khi đó,

|A| = |B| + |CA(B)|.

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử A1, A2, , An là các tập hữu hạn bất kỳ Tích Đề-các của các tập A1, A2, , An, kí hiệu là A1×A2×· · ·×An,

Ta có thể hiểu quy tắc nhân theo một cách như sau: Nếu một quá trình có thể thực hiện qua n công đoạn: công đoạn 1 có m1 cách

thực hiện, công đoạn 2 (sau khi thực hiện công đoạn 1) có m2 cách thực hiện, , công đoạn n có mn cách thực hiện Khi đó, để thực hiện công việc đã cho thì cần m1m2· · · mn cách thực hiện.

Định nghĩa 1.1.6 (Tổ hợp chập k của n phần tử) Cho A = của T có k cách chọn đứng ở vị trí đầu tiên Sau đó chọn một phần tử khác của T có k − 1 cách ở vị trí thứ hai, Vậy, số Akn được tính theo công thức sau:

• Hai là, ta có thể chọn phần tử bất kỳ của A trong n cách đầu tiên trong thứ tự, sau đó chọn một phần tử khác theo n − 1 cách để đưa vào vị trí thứ hai, cứ tiếp tục quá trình trên ta được

Akn = n(n − 1) · · · (n − k + 1) = n! (n − k)!.

Định nghĩa 1.1.8 (Hoán vị) Cho A = {a1, , an} Một hoán vị của A là một cách xếp các phần tử của A theo một thứ tự nào đó Nói cách khác, hoán vị là chỉnh hợp chập n của n phần tử Kí hiệu Pn là số các hoán vị của A, và ta có

Pn = Ann = n!.

Định nghĩa 1.1.9 (Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử) Cho A = {a1, , an} Một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử (ai1, , aik), trong đó cho cho phép lấy lặp lại, gọi là chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử Theo quy tắc nhân, số các chỉnh hợp lặp chập k của n

Định nghĩa 1.1.12 (Hoán vị lặp) Hoán vị lặp là một cách xếp mỗi phần tử được ấn định một số lần lặp lại cho trước Ký hiệu P (m1, , mn) là số các hoán vị lặp của các phần tử a1, , an với tham số lặp m1, , mn, và ta có

P (m1, , mn) = n! m1! · · · mn!.

1.2Nguyên lý bao hàm và loại trừ

Nguyên lý bao hàm và loại trừ là một trong những công cụ cơ bản trong toán học tổ hợp và được ứng dụng rộng rãi, chẳng hạn: số phần tử của hợp của hai tập A và B bằng tổng các phần tử trong các tập hợp trừ đi số phần tử trong giao của chúng Đó là,

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Ví dụ 1.2.1 Trong một lớp Toán rời rạc, tất cả các sinh viên đều học chuyên ngành tin học hoặc toán học, hoặc học cả hai Số sinh viên học chuyên ngành tin học (có thể cùng với toán học) là 25; số sinh viên học chuyên ngành toán học (có thể cùng với tin học) là 13 và số sinh viên học cả hai môn tin học và toán học là 8 Hỏi lớp này có bao nhiêu sinh viên?

Giải Gọi A là tập hợp các sinh viên học lớp chuyên ngành tin học và B là tập hợp các sinh viên học lớp chuyên ngành toán học Khi đó A ∩ B là tập hợp các sinh viên trong lớp học chung chuyên ngành toán học và tin học Vì mỗi sinh viên trong lớp học chuyên ngành tin học hoặc toán học (hoặc cả hai), nên số sinh viên trong lớp là

A A ∩ B B

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 25 + 13 − 8 = 30

Hình 1.1: Tập sinh viên trong lớp Toán rời rạc.

Ví dụ 1.2.2 Có bao nhiêu số nguyên dương không quá 1000 chia hết cho 7 hoặc 11?

Giải Gọi A là tập hợp các số nguyên dương không quá 1000 chia hết cho 7 và gọi B là tập hợp các số nguyên dương không vượt quá 1000 chia hết cho 11 Khi đó A ∪ B là tập hợp các số nguyên không vượt quá 1000 chia hết cho 7 hoặc 11 và A ∩ B là tập hợp các số nguyên không vượt quá 1000 chia hết cho cả 7 và 11 Ta biết rằng trong số các số nguyên dương không vượt quá 1000 có b1000/7c số nguyên chia hết cho 7 và b1000/11c chia hết cho 11 Vì 7 và 11 là hai số nguyên tố cùng nhau nên những số chia hết cho cả 7 và 11 là những số chia hết cho 7 · 11 Do đó, có b1000/(11 · 7)c số nguyên dương không vượt quá 1000 chia hết cho cả 7 và 11 Suy ra, ta có

Ví dụ sau cho ta cách tìm số phần tử trong một tập phổ quát hữu hạn nằm ngoài giao của hai tập hợp.

Ví dụ 1.2.3 Giả sử một trường học có 1807 sinh viên năm nhất Trong số sinh viên này có 453 người đang tham gia khóa học về khoa học máy tính, 567 người đang tham gia khóa học về toán học và 299 người đang tham gia các khóa học về cả khoa học máy tính và toán học Hỏi có bao nhiêu người không tham gia một khóa học về khoa học máy tính hoặc toán học?

Giải Để tìm số sinh viên năm nhất không tham gia khóa học về toán học hoặc khoa học máy tính, ta lấy tổng số sinh viên năm nhất trừ đi số đang tham gia khóa học ở một trong hai môn này Gọi A là tập hợp tất cả sinh viên năm nhất tham gia khóa học về khoa học máy tính và gọi B là tập hợp tất cả sinh viên năm nhất tham gia khóa học về toán học Khi đó |A| = 453, |B| = 567 và |A ∩ B| = 299 Số sinh viên năm nhất tham gia một khóa học về khoa học máy tính hoặc toán học là

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 453 + 567 − 299 = 721.

Do đó, có 1807 − 721 = 1086 sinh viên năm nhất không tham gia khóa học về khoa học máy tính hoặc toán học.

Tiếp theo chúng ta sẽ bắt đầu phát triển công thức tính số phần tử trong hợp của một số hữu hạn các tập hợp Công thức này được gọi là nguyên lý bao hàm và loại trừ Xét n tập hợp, trong đó n là số nguyên dương bất kỳ, chúng ta sẽ rút ra một công thức tính số phần tử trong hợp của ba tập hợp A, B và C Ta có |A| + |B| + |C|

đếm số phần tử thuộc một trong ba tập hợp một lần, các phần tử thuộc hai trong số các tập hợp hai lần và các phần tử thuộc cả ba tập hợp ba lần.

Để loại bỏ số phần tử thừa trong nhiều tập hợp, chúng ta trừ đi số các phần tử trong giao của từng cặp tập hợp trong ba tập hợp đó Ta được

|A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Biểu thức này đếm các phần tử xuất hiện ở một trong các tập hợp một lần Một phần tử xuất hiện trong hai tập hợp cũng được tính một lần, bởi vì phần tử này sẽ xuất hiện ở một trong ba giao điểm của hai tập hợp được lấy cùng một lúc Tuy nhiên, những phần tử xuất hiện trong cả ba tập hợp sẽ được tính 0 lần, bởi vì chúng xuất hiện trong ba giao điểm của các tập hợp được lấy hai lần tại một thời điểm.

Để khắc phục điều này, chúng ta thêm số phần tử vào giao của cả ba tập hợp Biểu thức cuối cùng này đếm mỗi phần tử một lần, cho dù nó nằm trong một, hai hay ba tập hợp Như vậy, ta có |A∪B ∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B ∩C|+|A∩B ∩C| Ví dụ sau đây minh họa cho công thức trên.

Ví dụ 1.2.4 Tổng cộng có 1232 sinh viên đã tham gia một khóa học bằng tiếng Tây Ban Nha, 879 sinh viên đã tham gia một khóa học bằng tiếng Pháp và 114 sinh viên đã tham gia một khóa học bằng tiếng Nga Ngoài ra, có 103 người đã tham gia các khóa học

bằng cả tiếng Tây Ban Nha và tiếng Pháp, 23 người đã tham gia các khóa học bằng cả tiếng Tây Ban Nha và tiếng Nga và 14 người đã tham gia các khóa học bằng cả hai ngôn ngữ Pháp và Nga Nếu có 2092 học sinh đã học ít nhất một trong ba thứ tiếng Tây Ban Nha, Pháp và Nga thì có bao nhiêu học sinh đã học cả ba thứ tiếng? Giải Gọi S là tập hợp các sinh viên đã học một khóa học bằng tiếng Tây Ban Nha, F là tập hợp các sinh viên đã học một khóa học bằng tiếng Pháp và R là tập hợp các sinh viên đã học một khóa học bằng tiếng Nga Khi đó đó |S ∩ F ∩ R| = 7 Vậy có 7 sinh viên đã học các khóa học tiếng Tây Ban Nha, tiếng Pháp và tiếng Nga Điều này được minh họa trong Hình 1.2.

Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh nguyên lý bao hàm và loại trừ cho n tập hợp, trong đó n là một số nguyên dương.

Định lý 1.2.5 (Nguyên lý bao hàm và loại trừ) Giả sử A1, A2, , An

Chứng minh Ta chứng minh công thức trên bằng quy nạp theo n Với n = 1, công thức trên hiển nhiên đúng Ta chứng tỏ rằng nó

Từ các đẳng thức trên ta thu được |A1∪A2| = |A1|+|A2|−|A1∩A2| Bây giờ giả sử công thức trong định lý đúng đến bước thứ m và A1, A2, , Am, Am+1 là m + 1 tập hữu hạn bất kỳ đã cho Vì công thức đã được chứng minh cho trường hợp 2 tập hợp, nên

|(A1∪ .∪Am)∪Am+1| = |A1∪ .∪Am|+|Am+1|−|(A1∪ .∪Am)∩Am+1|.

Theo giả thiết quy nạp ta suy ra

Hệ quả 1.2.6 (Công thức Sieve) Cho S là tập hữu hạn Với mỗi 1 ≤ i ≤ n, kí hiệu phần bù của Ai trong S là Ai Khi đó,

Ví dụ 1.2.7 Có bao nhiêu số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7?

Giải Ký hiệu A = {1, 2, 3, , 1000}, A2 = {a ∈ A | a chia hết cho 2}, A3 = {a ∈ A | a chia hết cho 3}, A7 = {a ∈ A | a chia hết cho 7} Khi đó A \ (A2 ∪ A3 ∪ A7) là tập tất cả các số từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết

cho 7 Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có

Ví dụ 1.2.8 (Đề thi tư duy ĐHBKHN 2022) Viện Toán Ứng Dụng và Tin học, ĐHBKHN, công bố điểm thi ba môn Đại số, Giải Tích 1, Giải Tích 2 của một lớp sinh viên, có 108 sinh viên đạt điểm A.

Biết rằng:

• Có 43 sinh viên đạt điểm A môn Giải Tích 1 • Có 32 sinh viên đạt điểm A môn Giải Tích 2 • Có 54 sinh viên đạt điểm A môn Đại số

• Có 09 sinh viên đạt điểm A hai môn Giải Tích 1 và Đại số • Có 08 sinh viên đạt điểm A hai môn Giải Tích 2 và Đại số • Có 03 sinh viên đạt điểm A cả ba môn.

Hãy xác định:

(a) Số sinh viên đạt điểm A hai môn Đại số và Giải Tích 1, nhưng không đạt điểm A môn Giải Tích 2

(b) Số sinh viên chỉ đạt điểm A môn Đại số

(c) Số sinh viên đạt điểm A hai môn Giải Tích 1 và Giải Tích 2 Giải Gọi X, Y, Z lần lượt là tập hợp các sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 1, Giải tích 2 và Đại số Theo đề bài, ta có:

n(X) = 43, n(Y ) = 32, n(Z) = 54,

n (X ∩ Z) = 9; n (Y ∩ Z) = 8; n (X ∩ Y ∩ Z) = 3.

a) Số sinh viên đạt điểm A hai môn Đại số và Giải tích 1 nhưng không đạt điểm A môn Giải tích 2:

n (X ∩ Z \ Y ) = n (X ∩ Z) − n (X ∩ Y ∩ Z) = 9 − 3 = 6.

b) Số sinh viên chỉ đạt điểm A môn Đại số:

Nguyên lý bao hàm và loại trừ có thể tổng quát hóa như sau Xét m vật a1, a2, , am Các vật này tương ứng được gắn với các trọng lượng ω(a1), ω(a2), , ω(am), các phần tử của một vành giao hoán K nào đó Mỗi vật ai đã cho có thể có hay không các tính chất

trong đó M (Pi1, Pi2, , Pik) là tổng trọng lượng của tất cả các vật có các tính chất Pi1, Pi2, , Pik, k = 1, 2, , n.

Gọi M (r) là tổng trọng lượng của tất cả các vật có đúng r tính chất, và Mr là tổng trọng lượng của tất cả các vật có không ít hơn

Chứng minh Trọng lượng của các vật có đúng r tính chất được tính đúng một lần trong tổng Sr và không tham gia vào việc tính các tổng Sr+1, , Sn Vì vậy, trọng lượng của các vật đó tham gia trong

Trọng lượng của các vật có t > r tính chất tính kt
lần trong tổng Sk với k ≥ r Vì vậy, trọng lượng của các vật đó tham gia trong

Trọng lượng của các vật có t < r tính chất không tham gia vào việc tính tổng Sr, , Sn Vì vậy, trọng lượng của các vật đó cũng tham

Nếu ω(a1) = = ω(am) = 1 thì M (r) bằng số các vật có đúng r tính chất trong số các tính chất P1, P2, , Pn đã cho Ký hiệu

Một số ứng dụng

Chương này trình bày một số ứng dụng của nguyên lý bao hàm và loại trừ cho một số vấn đề liên quan đến sàng Eratosthenes, đa thức quân xe của bảng Ferrers.

2.1Về số các số nguyên tố

Sử dụng nguyên lý bao hàm - loại trừ, chúng ta có thể tìm số các số nguyên tố không vượt quá một số nguyên dương xác định với cách lập luận như được sử dụng trong sàng của Eratosthenes Ta có một số nguyên là hợp số khi nó chia hết cho một số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của nó Vì vậy, để tìm số các số nguyên tố không vượt quá, chẳng hạn 100 Trước tiên lưu ý rằng các số nguyên tố vượt quá 100 không có thừa số nguyên tố không vượt quá 10 Vì các số nguyên tố duy nhất không vượt quá 10 là 2, 3, 5 và 7, các số nguyên tố không vượt quá 100 là bốn số nguyên tố này và các số nguyên dương lớn hơn 1 và không vượt quá 100 không chia hết cho 2, 3, 5 hoặc 7 Để áp dụng nguyên lý bao hàm - loại trừ, ta đặt

• P1 là tính chất mà một số nguyên là chia hết cho 2,

22