Cấu trúc tuyến tính, định chuẩn và metric trên R n
Ta ký hiệu R n là tích Descartes của n tập số thực R, tức là
Do đó, một phần tử của R n có dạng x = (x 1 , x 2 , , x n ) hay còn được gọi là một vectơ trong R n , trong đó mỗi x i là một số thực và được gọi là toạ độ thứ i của x.
Cho hai phần tử x,y ∈ R n thì ta chúng có dạng x = (x 1 , x 2 , , x n );y = (y 1 , y 2 , , y n ) Khi đó ta có: x=y⇔ (x 1 , x 2 , , x n ) = (y 1 , y 2 , , y n ) hay ta có thể viết x=y⇔ x i = y i , ∀i = 1, m.
Cho n = 1 thì ta sẽ có không gian R 1 = R Ta thấy rằng đây chính là tập số thực.
Cho n = 2 thì ta sẽ có không gian R 2 = {(x, y) | x, y ∈ R } Đây là mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes.
Cho n = 3 thì ta sẽ có không gian R 3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R } Đây là không gian ba chiều với hệ toạ độ Descartes.
Tương tự chon = 4thì ta sẽ có không gianR 4 = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) | x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈R }
B Cấu trúc tuyến tính của R n
Cho hai vectơ x= (x 1 , x 2 , , x n ),y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ R n và λ ∈ R Khi đó ta định nghĩa phép cộng hai vectơ và phép nhân ngoài trong R n như sau: x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ) λ.x = (λ.x 1 , λ.x 2 , , λ.x n )
R n cùng với hai phép toán cộng và phép nhân ngoài là một không gian vectơ trên trường số thực.
Ví dụ 1: Cho x= (3, 2, 1),y= (2, 0, 3) ∈R 3 a Tính x+y, 2x+ 5y, 2y−x. b Tìm z∈R 3 sao cho x= 3y− 2z.
2y−x= 2(2, 0, 3) − (3, 2, 1) = (4 − 3, 0 − 2, 6 − 1) = (1, −2, 5) b Giả sử z= (a, b, c) ∈R 3 Theo đề bài ta có x= 3y− 2z
C Tích vô hướng và chuẩn Euclide trên R n Định nghĩa 1 Cho hai vectơ x= (x 1 , x 2 , , x n ),y= (y 1 , y 2 , , y n ) ∈R n , tích vô hướng của hai vectơ là một con số thực, ký hiệu là ⟨x,y⟩ và được xác định bởi
Ví dụ a Trong không gian R 2 Cho hai vector a= (x 1 , x 2 );b= (y 1 , y 2 )
Tích vô hướng của hai vector a,b là:
⟨ab⟩ = x 1 y 1 + x 2 y 2 b Trong không gian R 3 ta có x= (1, 2, 3),y= (5, 4, −4)
Tích vô hướng của hai vector x, y là:
⟨x,y⟩ = 1.5 + 2.4 + 3.(−4) = 1 c Ta có x= (1, 2, 3, 0),y= (−2, −3, 0, 1) ∈ R 4 Tích vô hướng của hai vector x, y là:
⟨x,y⟩ = 1(−2) + 2.(−3) + 3.0 + 0.1 = −8 Mệnh đề 1 : Với mọi x, y, z∈R n và λ ∈R, ta có:
3 ⟨λx,y⟩ = λx 1 y 1 + λx 2 y 2 + + λx n y n = λ ⟨x,y⟩ Định nghĩa 2 Với mỗi x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈R n , chuẩn Euclide của x, ký hiệu là ∥x∥, là số thực xác định bởi:
Ví dụ: a Công thức chuẩn Euclide trong R 2 Với x= (x 1 , x 2 ) ∈R 2 Ta có
⟨x,x⟩ = q x 2 1 + x 2 2 b Công thức chuẩn Euclide trong R 3 Với x= (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈R 3 Ta có
⟨x,x⟩ = q x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 c Công thức chuẩn Euclide trong R 4 Với x= (x, y, z, t) ∈R 4 Ta có
Bổ đề 1 (Bất đẳng thức Bunyakovsky) Với 2n số thực a 1 , a 2 , , a n , b 1 , b 2 , , b n tuỳ ý, ta có:
|a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n | = q a 2 1 + a 2 2 + + a 2 n q b 2 1 + b 2 2 + + b 2 n Dấu "=" xảy ra khi tồn tại λ ∈R sao cho a k = λb k với mọi k = 1, n.
Mệnh đề 2 Với mọi x,y∈R n và λ ∈R, ta có:
≤ (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n ) + (y 1 2 + y 2 2 + + y n 2 ) +p x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n p y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n (Theo bất đẳng thức Bunyakosky)
4 Ta có:∥x∥ = ∥(x-y) +y∥ Áp dụng câu 3 ta được:
D Khoảng cách trong R n Định nghĩa 3 Với mỗi x,y ∈ R n , ta gọi ∥x−y∥ là khoảng cách giữa x và y, ký hiệu là d(x,y).
Mệnh đề 3 Với mọi x,y,z∈R n , ta có:
Ví dụ Trong không gianR 4 chox= (2, 3, 4, 0);y= (−2, −1, 1, 3),z= (1, −3, −4, 0). Tính: a khoảng cách giữa x và y; giữa x và z. b Khoảng cách giữa y và 0.
Bài làm a Ta có x−y= (4, 4, 3, −3) và x−z= (1, 6, 8, 0)
Khoảng cách giữa x và y là: d(x,y) = ∥x−y∥ =p
Khoảng cách giữa x và z là: d(x,z) = ∥x−z∥ =p
101. b Ta có: y-0=(-2,-1,1,3) Khoảng cách giữa y và 0 là: d(y,0) = ∥y∥ =p
Tô pô trên R n
A Hình cầu lân cận Định nghĩa 4 Cho a∈R n và ε > 0, ta gọi: a Tập hợp B(a, ε) = {x ∈R n : ∥ x−a∥ < ε} được gọi là hình cầu mở tâm a bán kính ε. b Tập hợp B(a, ε) = {x ∈R n : ∥ x−a∥ ≤ ε} được gọi là hình cầu đóng tâm a bán kính ε.
Ví dụ: Cho a= (1, 1) ∈R 2 Biễu diễn trong mặt phẳng toạ độ Oxy hình cầu mở B(a, 2) và hình cầu đóng B(a, 2). Định nghĩa 5 Tập con U của R n được gọi là một lân cận của a nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(a, ε) ⊂ U.
Ví dụ:Trong không gianR 2 Ta cóB =
Ta thấy rằng B ⊂R 2 và B((1, 1), ε) ⊂ B khi chọn ε = 1 Do đó B được gọi là một lân cận của (1, 1).
Hình 1.1: Hình cầu mở tâm a=(1,1) và bán kính bằng 2
Hình 1.2: Hình đóng mở tâm a=(1,1) và bán kính bằng 2 Định nghĩa 6. a Ta nói ∅ ̸= D ⊂ R n là tập mở nếuD là lân cận của mọi điểmx∈ D, tức là:
Ta qui ước ∅ là tập mở. b Ta nói M ⊂R n là tập đóng nếu R n \ M là tập mở.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng A =
* Chứng minh B(x, ε) ⊂ A Xét z= (u, v) ∈ B(x, ε) tuỳ ý Khi đó d(z,x) < ε
(x, y) ∈R 2 : x ≥ 0 Chứng minh A là tập đóng.
Bài làm Để chứng minh A là tập đóng thì ta chứng minh R 2 \ A là tập mở.
* Ta chứng minh B(x, ε) ⊂R 2 \ A Xét z= (u, v) ∈ B(x, ε) tuỳ ý Khi đó: p(u − m) 2 + (v − n) 2 < |−m|
Do đó z∈R 2 \ A hay R 2 \ A là tập mở.
C Điểm trong, điểm tụ, điểm cô lập, điểm dính, điểm biên Định nghĩa 7. a Ta nói a là điểm trong của A nếu A là lân cận của a, tức là
∃ε > 0 : B(a, ε) ∈ A. b Ta nói a là điểm tụ của A nếu
∀ε > 0, B(a, ε) ∩ (A \ {a}) ̸=∅ c Ta nói a là điểm cô lập của A nếu a∈ A và:
∃ε > 0 : B(a, ε) ∪ A = {a} d Ta nói a là điểm dính của A nếu
∀ε > 0, B(a, ε) ∩ A ̸=∅ e Ta nói a∈R n là điểm biên của A nếu
Ví dụ 1: Trong không gian R, cho A = (0, 1] ∪ {2} Tìm điểm trong, điểm dính, điểm tụ, điểm biên của A.
Bài làm i Tập hợp các điểm trong của A là {x ∈R : 0 < x < 1}
* Xét 0 < x 0 < 1, chọn r = min {x 0 , 1 − x 0 } Ta thấy rằng B(x 0 , r) ⊂ A Do đóx 0 là điểm trong của A. ii Tập hợp các điểm dính của A là {x ∈R : 0 < x ≤ 1} ∪ {2}
* Chọn 0 < x 0 < 1 Hiển nhiên chứng minh được x 0 là điểm dính của A với mọi ε dương.
* Chọn x 0 = 0 hoặc x 0 = 1 hoặc x 0 = 2 Với mọi ε, ta luôn có B(x 0 , ε) ∩ A ̸=∅ iii Tập hợp tất cả các điểm tụ của A là {x ∈R : 0 ≤ x ≤ 1}
* Chọn 0 ≤ x 0 ≤ 1 Với mọi ε , ta luôn có B(x 0 , ε) ∩ (A \ {x 0 }) ̸=∅ iv Tập hợp tất cả các điểm biên của A là {0, 1, 2}
* Chọn x 0 = 0 hoặc x 0 = 1 hoặc x 0 = 2 Với mọi ε > 0 ta luôn chỉ ra rằng x 0 là điểm biên của A. Định nghĩa 8. a Tập hợp tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A, ký hiệu intA hoặc A ◦ b Tập hợp tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của A, ký hiệu là clA hoặc A. c Tập hợp tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của A, ký hiệu là bdA hoặc ∂A.
(x, y) ∈R 2 : x > 0 Tìm tập hợp tất cả các điểm biên của A.
Bài làm Xét a= (x, y) ∈R 2 Ta kiểm tra các trường hợp sau:
TH1: x > 0, chọn ε 1 = x > 0 Ta dễ dàng chứng minh được B(a, ε 1 ) ⊂ A Ta lại có B(a, ε 1 ) ∩ R 2 \ A
=∅ Do đó a không phải điểm biên của A.
* Xét b= (u, v) ∈ B(a, ε 2 ) tuỳ tý Ta có: d(b,a) < ε 2
Do đó a không phải điểm biên của A.
TH3: x=0, xét ε > 0 tuỳ ý Ta có:
Do đó (0, y) là điểm tụ của A.
(x, y) ∈R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 3 Tìm các điểm trong của A.
Hình 1.4: Các điểm trong của A.
Tập hợp các điểm trong của A là :
* Chứng minh a= (x 0 , y 0 ) ∈R 2 thoả 0 < x 0 < 1 và 2 < y 0 < 3 là điểm trong của A.
+) Chọn ε = min {x 0 , 1 − x 0 , 3 − y 0 , y 0 − 2} > 0 Ta đi chứng minh B(a, ε) ⊂ A. Xét b= (x, y) ∈ B(a, ε) tuỳ ý , ta có: x 0 − ε < x < ε + x 0 y 0 − ε < y < ε + y 0
Sự hội tụ và tính đầy đủ
Giả sử ta có một ánh xạ φ : N ∗ → R n là một dãy trong không gian R n Ta gọi dãy trong R n là dãy điểm Ta ký hiệu ảnh của k ∈ N ∗ qua ánh xạ φ là x k , (x k ∈R n ) và dùng ký hiệu x k k∈
N ∗ Nếu {k l } l∈ N ∗ là dãy tăng các số tự nhiên, tức là k 1 < k 2 < k 3 < < k l < thì ta gọi dãy điểm x k l l∈N ∗ là dãy con của dãy x k k∈N ∗ Định nghĩa 9 Ta nói dãy điểm x k k∈
Mệnh đề 4 Cho dãy điểm x k k∈N ∗ ⊂R n và a∈R n khi đó: k→∞ lim x k =a⇔ lim k→∞ x k −a
= 0. Định lý 1 Cho dãy điểm x k k∈
N ∗ ∈R n , trong đó x k = (x k 1 , x k 2 , , x k n ), với mọi k ∈N ∗ và a= (a 1 , a 2 , , a n ) Khi đó: k→∞ lim x k =a⇔ lim k→∞ x k i = a i , ∀i = 1, n Chứng minh .
+) Giả sử ta có: lim k→∞x k =a
Theo lý kẹp ta suy ra lim k→∞ x k 1 − a 1
= 0 ⇒ lim k→∞ x k 1 = a 1 Chứng minh tương tự ta được:
Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của các dãy sau trong R 2 : a x k = ( 1 k , k 2 + 2k k 2 − 1 ), k ∈N ∗ b y k = ( 1 k 2 , 2k 2 + 4
3 ). c Ta có: lim k→∞ (−1) k không tồn tại
⇒ lim k→∞z k không tồn tại. d Ta có:
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ của các dãy sau trong R 3 : a x k = ( 1 k , k 2 + 2k k 2 − 1 , 1 k 2 ), k ∈N ∗ b y k = ( 4k 2
B Các nguyên lý về tính đầy đủ của R n Định nghĩa 10 Ta nói dãy điểm x k k∈
N ∗ ∈R n là dãy Cauchy ( hoặc dãy cơ bản) nếu:
Định lý 2 (Nguyên lý Cauchy) Dãy điểm x k k∈N ∗ ∈R n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. Định nghĩa 11. a Ta nói tập A ∈R n là bị chặn nếu
N ∗ ∈ R n là bị chặn nếu tập x k : k ∈N ∗ bị chặn, nghĩa là:
∃M > 0 : ∥x∥ ≤ M, ∀k ∈N ∗ Định lý 3 (Nguyên lý Balzano- Weiertrass) Mọi dãy bị chặn trong R n đều chưa một dãy con hội tụ.
C Tập compact Định nghĩa 12 Ta nói tâp A ⊂R n là tập compact nếu mọi dãy điểm trong A đều chứa một dãy con hội tụ tới một điểm thuộc A. Định lý 4 Tập A ⊂R n là tập compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn. §2 Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến
Giới hạn của hàm nhiều biến
Định nghĩa 13 Cho A ⊂R n Ánh xạ f : A −→R x−→ f(x) được gọi là một hàm số n biến xác định trên A.
Trong một số trường hợp ta muốn chỉ rõ n số biến thì ta sẽ viếtf (x 1 , x 2 , , x n ) thay vì viếtf (x) Chẳng hạn, ta sẽ viết hàm số có hai biến làf (x, y)hoặcf (x 1 , x 2 ); hàm số có ba biến thì ta viếtf (x, y, z) hoặc f (x 1 , x 2 , x 3 ).
Chú ý: Khi cho hàm số bởi một biểu thức, ta quy ước tập xác định của một hàm sô là tập hợp tất cả các điểm x∈R n sao cho biểu thức có nghĩa. Định nghĩa 14 Cho A ⊂R n , hàm số f : A →R và a là điểm tụ của A Ta nói f có giới hạn là l ∈R khi x tiến về a nếu:
Khi đó ta viết lim x→a f (x) = l, hoặc f (x) → l khi x→a. Định nghĩa 15 Tương tự như đối với hàm một biến, ta có thể mở rộng khái niệm giới hạn cho trường hợp giới hạn là vô cực như sau:
Ta nói f có giới hạn là +∞ khi xtiến về a nếu:
Ta nói f có giới hạn là −∞ khi x tiến về a nếu:
Mệnh đề 5 Cho A ∈R n , hàm số f : A →R và a là điểm tụ của A. i Nếu f có giới hạn khi x→a thì giơi hạn đó là duy nhất. ii Nếu lim x→a f (x) = l thì lim x→a |f (x)| = |l| iii lim x→a f(x) = 0 ⇔ lim x→a |f(x)| = 0 iv Nếu lim x→a |f(x)| ̸= 0 thì tồn tại lân cận U của a sao cho f (x) ̸= 0, ∀x∈ U ∩ (A \ {a})
Mệnh đề 6 ChoA ∈R n , hàm số f, g : A →Rvà alà điểm tụ củaAvà α, β ∈R. Giả sử f và g có giới hạn khi x→a Ta có: i Hàm số αf + βg cũng có giới hạn khi x→a: x→a lim (αf + βg) (x) = α lim x→a f (x) + β lim x→a g(x). ii Hàm số f g cũng có giới hạn khi x→a và: x→a lim (f g) (x) = lim x→a f(x) lim x→a g(x). iii Nếu lim x→a g (x) ̸= 0 thì tồn tại lân cận U của a sao cho hàm số thương f g xác định trên U ∩ (A \ {a}) x→a lim f g = x→a lim f(x) x→a lim g (x) Định lý 5 (Định lý về mối liên hệ giữa giới hạn hàm và giới hạn dãy) Cho Cho A ∈ R n , hàm số f : A →R và a là điểm tụ của A Khi đó,lim x→a f (x) = l khi và chỉ khi:
N ∗ ⊂ A \ {a}, lim k→∞x k =a và không xảy ra lim x→a f(x k ) = l thì không xảy ra lim x→a f (x) = l. b ∃ x k k∈
N ∗ ⊂ A \ {a} và lim k→∞ f (x k ) không tồn tại thì lim x→a f(x) không tồn tại. c Nếu x k k∈
N ∗ sao cho lim k→∞x k =avà lim k→∞y k =anhưng lim k→∞ f(x k ) ̸= k→∞ lim f (y k ) thì lim x→a f(x) không tồn tại. Định lý 6 (Nguyên lý kẹp giữa) Cho A ⊂R n các hàm số f, g, h : A →R và a là điểm tụ của A Giả sử ta có các điều sau: i Tồn tại lân cận U của a sao cho g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), ∀x∈ U ∩ (A {a}) ii lim x→a g(x) = lim x→a h(x) = l
Ví dụ 1:Tính giới hạn các hàm số sau:
Theo nguyên lý kẹp giữa ta suy ra: lim
Theo nguyên lý kẹp giữa ta suy ra : lim
(x,y,z)→(0,0,0) sin xy x Tập xác định D =
+) lim k→∞ f (x k , y k , z k ) = lim k→∞ sin x k y k z k = lim k→∞ sin
+) lim k→∞ f (u k , v k , w k ) = lim k→∞ sin u k v k w k = lim k→∞ sin
(x,y,z)→(0,0,0) sin xy z không tồn tại.
Sự liên tục của hàm nhiều biến
Định nghĩa 16 Cho A ⊂R n và hàm số f : A →R. a Ta nói hàm f liên tục tại x∈ A nếu:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : [(∀x∈ A, ∥x−a∥ < δ = ⇒ |f (x) − f (a)| < ε)] Nếu f không liên tục tại a thì ta nói f gián đoạn tại a. b Ta nói hàm f liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi a∈ A
∀ε > 0, ∃δ > 0 : [(∀x∈ A, ∥x−a∥ < δ = ⇒ |f (x) − f (a)| < ε)] , ∀x∈ A. c Ta nói hàm f liên tục đều trên A nếu:
Chú ý: Nếu f liên tục đều trên A thì f liên tục trên A. Định lý 7 Nếu a là điểm cô lập của A thì mọi hàm số f : A →R đều liên tục tại a. Định lý 8 Cho A ⊂R n , a∈ A là điểm tụ của A và hàm số f : A →R Khi đó: f liên tục tại a ⇐⇒ lim x→a f (x) = f (a).
Ví dụ 1: Xét sự liên tục của các hàm số sau tại (0,0): a f (x, y) = 1 + xy
Chọn (u k , v k ) = ( 1 k , 1 k )∀k ∈N ∗ +) lim k→∞ (x k , y k ) = (0, 0) +) lim k→∞ (u k , v k ) = (0, 0) +) lim k→∞ f (x k , y k ) = 0 +) lim k→∞ f (u k , v k ) = 1
Suy ra không tồn tại lim
(x,y)→(0,0) f (x, y ) = f (0, 0). Vậy f không liên tục tại (0,0).
Ví dụ 2: Xét sự liên tục của các hàm số sau: a f (x, y) = x 2 + xy − 2y 2 x 2 + y 2 b f(x, y) =
Bài làm a f (x, y) = x 2 + xy − 2y 2 x 2 + y 2 Tập xác định D =R 2 \ {(0, 0)}
Do đó f liên tục trên R 2 b f(x, y) =
Do đó f liên tục trên R 2 \ {(0, 0)}
Do đó không xảy ra lim
(x,y)→(0,0) f (x, y) = f (0, 0) Vậy f không liên tục tại (0,0). c f (x, y) =
Theo nguyên lý kẹp giữa ta suy ra: lim
Do đó f liên tục tại(0,0)
Vậy f liên tục tại trên R 2
Tìm tập hợp các điểm gián đoạn của f.
Ta xét các trường hợp sau:
Do đó f liên tục tại (a, b), b ̸= 0
(x,y)→(0,0) ∥x∥ = 0 theo nguyên lý kẹp ta suy ra: lim
Do đóf liên tục tại (0, 0). Định lý 9 Cho A ⊂ R n là tập compact và f : A → R là hàm số liên tục trên
A Khi đó, f có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên A.
Phép tính vi phân hàm nhiều biến §1 Đạo hàm riêng Định nghĩa 17 Cho A ∈R n , a= (a 1 , a 2 , , a n ) ∈ A 0 và hàm số f : A →R Khi đó ta có giới hạn lim t→0 f (a 1 , a 2 , , a i + t, , a n ) − f(a 1 , a 2 , , a i , , a n ) t nếu tồn tại hữu hạn thì được gọi là đạo hàm riêng theo biến x i của f tại a, ký hiệu ∂f
Trường hợp hàm hai biến f (x, y), thì các đạo hàm riêng cấp 1 tại một điểm (x, y) là:
Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: Để tìm ∂f
∂x, ta lấy đạo hàm theo biến x và xem như y là hằng số. Để tìm ∂f
∂y, ta lấy đạo hàm theo biến x và xem như y là hằng số.
Trường hợp hàm ba biếnf (x, y, z)thì các đạo hàm riêng cấp 1 tại(x, y, z) là:
Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: Để tìm ∂f
∂x, ta lấy đạo hàm theo biến x và xem như y,z là hằng số. Để tìm ∂f
∂y, ta lấy đạo hàm theo biến y và xem như x,z là hằng số. Để tìm ∂f
∂z, ta lấy đạo hàm theo biến z và xem như x,y là hằng số.
Chú ý chung: i Hàm n biến thì có n đạo hàm riêng. ii Khi tính đạo hàm riêng ∂f
(a 1 , a 2 , , a n), ta xem f như hàm một biến x i các biến còn lại là hằng x j = a j với mọi j ̸= j và tính đạo hàm như thông thường.
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tìm đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau: a f (x, y) = x 2 − xy + 2y 2 b f (x, y) = √
Tập xác định D =R 2 Với mọi (x, y) ∈ D, ta có:
Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau : a f (x, y) = x 3 y 3 + x 4 y + y 4 b f(x, y, z) = xy 2 z 5 + y 3 + 4y 5 z 2 + 10x 4 z 3 c f (x, y ) = e x sin y. d f(x, y, z) = e x y ln z.
∂x (x, y, z) = (e xy ln z) ′ x = ye xy ln z.
∂z (x, y, z) = (e xy ln z) ′ z = e xy z Định nghĩa 18 Cho hàm số f(x 1 , x 2 , x n ) có các đạo hàm riêng tại a, vector gradient của f tại a, ký hiệu là −−→ gradf (a) hoặc ∇f (a), là một vector trong R n được xác định bởi
Ví dụ 1: Cho f (x, y) = x 3 + 2y 2 Hãy tính ∇f (x, y), ∇f (1, 0)
Ví dụ 2: Cho f(x, y, z) = e xy ln z Tính ∇f (1, 2, 3)
⇒ ∇f (x, y, z) = (ye xy ln z, x.e xy ln z, e xy z )
Do đó ∇f (1, 2, 3) = (2e 2 ln 3, e 2 ln 3, e 2 ln 3 ). §2 Vi phân của hàm nhiều biến Định nghĩa 19 Cho A ⊂R n , hàm số f : A →R và a∈ A 0 Ta nói k khả vi tại anếu tồn tạiA 1 , A 2 , , A n ∈R sao cho vớih = (h 1 , h 2 , , h n ) ∈R n thoảa+h∈ A f(a+h) − f(a) = A 1 h 1 + A 2 h 2 + + A n h n + ∥h∥ φ(h) trong đó φ(h) là hàm xác định trong một lân cận của 0 thoả lim h→0 φ(h) = 0
Khi đó, đại lượng A 1 h 1 + A 2 h 2 + + A n h n được gọi là vi phân của f tại a và được ký hiệu là df(a)
Mệnh đề 7 Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a.
Mệnh đề 8 Cho A ⊂ R n , a ∈ A 0 và f, g : A → R là hai hàm số khả vi tại a. Khi đó: a Hàm số f ± g cũng khả vi tại a và: d(f ± g)(a) = df (a) ± dg(a) b Hàm số f g cũng khả vi tại a và : d(f g)(a) = g(a)df (a) + f(a)dg(a) c Nếu g(a) ̸= 0 thì f g khả vi tại a và: d f g (a) = g(a)df (a) − f (a)dg(a) g 2 (a) Định lý 10 Nếu f khả vi tại a thì f có đạo hàm riêng tại a và df (a) = ⟨∇f (a),h⟩ = ∂f
Ví dụ 1:Xét sự khả vi của hàm số f (x, y) tại a và tính df (a) (nếu có) trong các trường hợp sau: a f (x, y) = x + 2y và a= (1, 0) b f (x, y) =p
Ta xét giới hạn sau: lim
Do đó f khả vi tại a và df (a) = s + 2t. b f (x, y) =p
Ta xét giới hạn sau: lim
Do đó f không khả vi tại a. c f (x, y ) =p x 2 + y 2 và a= (0, 0)
Do đóf không khả vi tại a. d f (x, y) =
Ta xét giới hạn sau: lim
Do đó f không khả vi tại a=(0,0). e f (x, y) =
Ta xét giới hạn sau: lim
Do đó f không khả vi tại a.
Nhận xét câu e Ta có thể giải quyết bài toán này như sau:
Dễ dàng kiểm tra được lim
(x,y)→(0,0) xy x 2 + y 2 không tồn tại nên f không liên tục tại (0,0) Vậy f không khả vi tại (0,0). §3 Đạo hàm riêng của hàm hợp Định nghĩa 20 Chof (x 1 , x 2 , x n )là một hàm sốnbiến được xác định trên một lân cận củaa= (a 1 , a 2 , , a n )và khả vi tại điểm này.x 1 , x 2 , , x n là các hàm sốm biến, chẳng hạn x 1 = x 1 (t 1 , t)2, , t n ), x 2 = x 2 (t 1 , t 2 , , t n ), , x n = x n (t 1 , t 2 , , t n ) khả vi tại t 0 ∈R n thoả x 1 (t 0 ) = a 1 , x 2 (t 0 ) = a 2 , , x n (t 0 ) = a n
Ví dụ 1: Cho f (x, y) = x.e x y; x = t 2 ; y = 1 t và ω(t) = f(x(t), y(t)) Tính ∂ω
Ngoài ra ta có thể tính bằng cách sau đây Ta có: ω(t) = f (x(t), y(t)) = t 2 e t 2 1 t = t.e t 2 Suy ra ∂ω
Ví dụ 2: Tính đạo hàm riêng của ω biết: f(x, y, z) = ln x + e yz , x = √ t 2 + 1, y = ts, z = t + s và ω(t, s) = f(x(t, s), y(t, s), z(t, s)).
∂s (t, s) = (t + s).e ts(t+s) t + ts.e ts(t+s) §4 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao Định nghĩa 21 (Đạo hàm riêng cấp cao)
Cho a ⊂R n , a∈ A ◦ và hàm số f : A →R Giả sử f có đạo hàm riêng ∂f
∂x i (x) tại mọi x thuộc một lân cận U của a Khi đó, ta có hàm số:
∂x i (x) Đạo hàm riêng theo biến x j của hàm số này tại a (nếu có) được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x i và x j tạia, ký hiệu là ∂
Các đạo hàm riêng cấp cao hơn cũng được định nghĩa theo cách tương tự như trên.
∂x i ∂x i người ta thường dùng ký hiệu ∂
Ví dụ 1: Tính đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau: a f (x, y) = x 5 y 3 − 4x 3 y b f (x, y) = e x sin 2y
Ta có các đạo hàm riêng cấp 1:
Ta có các đạo hàm riêng cấp 2:
Ta có các đạo hàm riêng cấp 1:
Ta có các đạo hàm riêng cấp 2:
Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của f tại điểm (0,0): f (x, y) =
TH 1: Đạo hàm cấp một theo biến x:
0 nếu (x, y ) = (0, 0). Đạo hàm cấp hai:
TH 2: Đạo hàm cấp một theo biến y:
0 nếu (x, y) = (0, 0). Đạo hàm cấp hai:
∂x (0, 0) t = lim t→0 t.(t 2 ) t 2 − 0 t = t t = 1 Định lý 11 (Schwarz) Cho A ⊂R n , a∈ A 0 và hàm số f : A →R Giả sử rằng f có các đạo hàm riêng ∂
∂x 2 ∂x 1 (a) xác định trong một lân cận U của a và liên tục tại a Khi đó:
∂x 2 ∂x 1 (a). Định nghĩa 22 (Vi phân cấp cao)
Cho A ⊂ R n , (a, b) ∈ A 0 và hàm số f : A → R n Giả sử f khả vi tại mọi (x, y) thuộc một lân cận U của (a,b), ta có: df (x, y) = ∂f
Ta xem df (x, y) là hàm hai biến (x, y), trong đó dx, dy là hai hằng số đối với x,y Giả sử ∂f
∂y (x, y) lại có các đạo hàm riêng liên tục trên một lân cận của (a,b) Khi đó, ta có thể lấy vi phândf (x, y)tại (a,b) và ta nhận được vi phân cấp hai của f tại (a,b), ký hiệu là d 2 f (x, y) Hơn nữa ta có: d 2 f (a, b) = d(df )(a, b) = d
∂y 2 )(a, b)dy dy và vì thế: d 2 f(a, b) = ∂ 2 f
Chú ý rằng định lý Schwarz ta có ∂
∂y.∂x (a, b) Để thuận tiện cho việc ghi công thức, ta quy ước ký hiệu như sau:
Ta xem ký hiệu các đạo hàm riêng của f như tích các ký hiệu ∂
∂y )(x, y)dy, ta có thể viết gọn lại như sau: df (x, y) =
∂y dy f (x, y) hoặc có thể viết df (x, y) =
Ta xem các ký hiệu đạo hàm cấp hai là các tích:
2 f và vì thế từ (∗∗) có thể viết là d 2 (a, b) =
Ta cũng có các quy ước tương tự với các đạo hàm riêng cấp cao hơn và cho hàm nhiều biến hơn.
Tổng quát, nếu hàm n biếnf (x 1 , x 2 , , x n ) có các đạo hàm riêng tớin liên tục trong một lân cận của a= (a 1 , a 2 , , a n ) thì f khả vi cấp n tại a và d k (fa) =
∂y 2 dy 2 Đạo hàm riêng cấp 1: ∂f
Do đó: d 2 f (x, y ) = 2y 4 dx 2 + 16xy 3 dxdy + 12x 2 y 2 dy 2
Ví dụ 2: Tính vi phân cấp cao của các hàm số sau: a f (x, y) = x y Tính d 3 f(x, y). b f (x, y) = x 4 y 3 + x 3 + y 4 Tính d 3 f(x, y)
∂y 2 dy 2 Đạo hàm riêng cấp 1:
∂y (x, y) = x y ln x Đạo hàm riêng cấp 2:
Do đó: d 2 f (x, y) = y(y − 1)x y−2 dx 2 + 1 x yx y−1 dxdy + ln x 2 x y 2 dy 2 b f(x, y) = x 4 y 3 + x 3 + y 4
∂y 3 dy 3 Đạo hàm riêng cấp 1:
Sự tồn tại và khả vi của hàm ẩn §1 Hàm ẩn Định nghĩa 23 Cho hàm n + 1 biến F (x 1 , x 2 , , x n , y) xác định trên A ⊂R n+1 và xét phương trình
F (x 1 , x 2 , , x n , y) = 0(1) Hàm số n biến y = f (x 1 , x 2 , , x n ) xác định trên Ω ⊂R n thoả điều kiện:
F (x 1 , x 2 , , x n , f(x 1 , x 2 , , x n )) = 0, ∀(x 1 , x 2 , , x n ) ∈ Ω được gọi là hàm ẩn xác đinh bởi phương trình (1).
1 Xét hàm ba biến F (x, y, z) = x 2 + y − z xác định trên R 3 Ta có:
F (x, y, z) = 0 ⇐⇒ z = x 2 + y Như vậy hàm số z = f(x, y) = x 2 + y thì ta có
Do đó, hàm số z = x 2 + y là hàm ẩn xác định bởi phương trình F (x, y, z) = 0.
2 Xét hàm hai biến F (x, y) = x 2 + y 2 − 1 xác định trên R 2 Ta có:
1 − x 2 là hai hàm ẩn xác định bởi phương trình F (x, y) = 0.
Chú ý: i Phương trình (1) có thể xác định một hoặc nhiều hàm ẩn, hoặc cũng có thể không xác định bất kỳ hàm ẩn nào. ii Công thức tường minh của hàm ẩn được gọi là dạng hiện của hàm ẩn. iii Trên tổng quát, không phải lúc nào ta cũng có thể tìm được dạng hiện của hàm ẩn mặc dù ta có thể chứng minh rằng hàm ẩn đó tồn tại Định lý 12 Cho hàm n + 1 biến F (x 1 , x 2 , , x n , y ) xác định trên A ⊂ R n+1 và (a 1 , a 2 , , a n , b) ∈ A ◦ Giả sử rằng: i F (x 1 , x 2 , , x n , y) = 0. ii Các đạo hàm riêng ∂F
∂y tồn tại và liên tục trên A. iii ∂F
Khi đó, tồn tại lân cận Ω của (a 1 , a 2 , a n ) sao cho phương trình
F (x 1 , x 2 , , x n , y) xác định duy nhất một hàm ẩn y = f (x 1 , x 2 , , x n ) trong Ω, nghĩa là
Hơn nữa, ta có: i f(a 1 , a 2 , , a n ) = b. ii f liên tục trên Ω. iii f có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω và
∂y (x 1 , x 2 , , x n , f(x 1 , x 2 , , x n )) với mọi (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ Ω và với mọi i = 1, n.
Ví dụ 1: Với n = 1 định lý 12 trở thành
Cho hàm 2 biến F (x, y) xác định trên A ⊂R 2 và (a, b) ∈ A ◦ Giả sử rằng i F (x, y) = 0. ii Các đạo hàm riêng ∂F
∂y tồn tại và liên tục trên A. iii ∂F
Khi đó, tồn tại lân cận Ω của a sao cho phương trình
F (x, y) = 0 xác định duy nhất một hàm ẩn y = f (x) trong Ω, nghĩa là
Hơn nữa, ta có: i f(a) = b. ii f liên tục trên Ω. iii f có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω và y = ∂f
Ví dụ 1.1: Cho y = f (x) là hàm ẩn xác định bởi phương trình x 4 + y 4 = 16. Tính f ”(x).
Ta có A ⊂R 2 và f(x) = y là hàm ẩn và ta cũng có (x, y) ∈ A ◦
Từ định lý trên khẳng định sự tồn tại hàm ẩn y = f(x) dựa trên một số điều kiện và không cho ta một công thức đơn giản để tìm được hàm ẩn.
Nếu các giả thiết của định lý được thoả thì ta cũng có thể tính đạo hàm y ′ = f ′ (x) bằng cách lấy đạo hàm 2 vế của F (x, y) = 0 theo biến x, ta được
Ví dụ 1.2: Cho phương trình xy − e x + e y = 0. a Chứng minh rằng phương trình trên xác định duy nhất một hàm ẩny = f(x) trong lân cận của 0. b Tính y ′
Ta có: A =R 2 , 0 ∈ A Do đó F xác định trên A và 0 ∈ A ◦
Do đó tồn tại hàm ẩn y = f(x) trong lân cận của 0. b Tính: y ′ = ∂y
Ví dụ 1.3: Giả sử rằng tồn tại hàm ẩn y = f(x) Tính y ′ khi x 3 + y 3 = 6xy.
Ta lấy đạo hàm hai vế theo biến x của hàm x 3 + y 3 = 6xy Khi đó ta có:
Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm ẩn y = f(x) biết: a y = x + ln y b x 2 − xy + y 3 = 8
* Đạo hàm cấp 1 của hàm ẩn y = f (x):
Cách 1: Đặt F (x, y) = x + ln y − y xác định trên R 2
Lấy đạo hàm 2 vế của y = x + ln y theo biến x, ta được: y ′ = 1 + 1 y y ′
* Đạo hàm cấp hai của hàm ẩn: y” = y y − 1
* Đạo hàm cấp một của hàm ẩn:
Lấy đạo hàm hai vế của x 2 − xy + y 3 = 8 theo biến x, ta được:
* Đạo hàm cấp hai của hàm ẩn: y” = y − 2x
Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm cấp một của hàm ẩn y = f(x) xác định bởi: a x cos y + y cos x = 1 b xe y + ye x − e xy = 0
Lấy đạo hàm 2 vế của x cos y + y cos x = 1 theo biến x, ta được: cos y − y ′ x sin y + y ′ cos x − y sin x = 0
⇒ y ′ = y sin x − cos y cosx − x sin y b xe y + ye x − e xy = 0.
Lấy đạo hàm hai vế của xe y + ye x − e xy = 0 theo biến x, ta được: e y + y ′ xe y + e x y + y ′ e x − ye xy − y ′ xe xy = 0
⇒ y ′ (xe y + e x − xe xy ) = ye xy − ye x − e y
⇒ y ′ = ye xy − ye x − e y xe y + e x − xe xy
Ví dụ 2: Với n=2 định lý 12 trở thành
Cho hàm 3 biến F (x, y, z) xác định trên A ⊂R 3 và (a, b, c) ∈ A ◦ Giả sử rằng i F (x, y, z) = 0 ii Các đạo hàm riêng ∂F
∂z tồn tại và liên tục trên A. iii ∂F
Khi đó, tồn tại lân cận Ω của (a, b) sao cho phương trình
F (x, y, z) = 0 xác định duy nhất một hàm ẩn z = f(x, y) trong Ω, nghĩa là
Hơn nữa, ta có: i f(a, b) = c ii f liên tục trên Ω. iii f có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω và
Ví dụ 2.1: Cho phương trình: x
1 Chứng minh rằng phương trình trên xác định duy nhất một hàm ẩn z = f (x, y), trong lân cận của (4, −1) thoả f(4, −1) = 1.
Do đó F xác định trên A và (4, −1, 1) ∈ A ◦
Do đó tồn tại hàm ẩn z = f(x, y) trong lân cận (4, −1) thoả f (4, −1) = 1.
Hàm ẩn được xác định như sau: z 2 = r−x 2
Ví dụ 2.2: Tính đạo hàm riêng cấp một của hàm z = f (x, y) xác định bởi các phương trình sau: a xy 2 + yz 2 + zx 2 = 3. b x + y + z = e z
Bài làm a Đăt F (x, y, z) = xy 2 + yz 2 + zx 2 − 3
Ta có F xác định trên R 3 và z = f(x, y) là một hàm ẩn của F.
Do đó đạo hàm cấp một của hàm ẩn z = f (x, y) là:
Ta có F xác định trên R 3 và z = f(x, y) là một hàm ẩn của F.
Do đó đạo hàm cấp một của hàm ẩn z = f (x, y) là:
Cho m hàm n+m biến F j (x 1 , x 2 , x n , y 1 , y 2 , , y n ) với j = 1, m, xác định trên
A ⊂R n+m và xét hệ phương trình:
Bộ m hàm số y j = f j (x 1 , x 2 , , x n ) với j = 1, m xác định trên Ω ⊂ R n thoả điều kiện
, ∀(x 1 , x 2 , x n ) ∈ Ω. được gọi là hệ hàm ẩn xác định bởi hệ phương trình (2). Định nghĩa 24 Chom hàmn biến h j (u 1 , u 2 , , u n )với j = 1, mcó các đạo hàm riêng tại c∈R n Ta gọi định thức:
∂u n (c) m×n là hệ số Jacobi của hệ m hàm h 1 , h 2 , , h m đối với n biến u 1 , u 2 , , u n tại c, ký hiệu là ∂(h 1 , h 2 , , h m )
∂(u 1 , u 2 , , u n )(c). Để thuận tiện trong việc trình bày, với x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R m và y = (y 1 , y 2 , y m ) ∈R n ta ký hiệu (x,y:= (x 1 , x 2 , , x n , y 1 , y 2 , , y n ) ∈R m+n Định lý 13 Cho m hàm n+m biến F j (x 1 , x 2 , x n , y 1 , y 2 , , y n ) với j = 1, m, xác định trên A ⊂ R n+m , a= (a 1 , a 2 , , a n ),b = (b 1 , b 2 , , b m ) sao cho (a,b) ∈ A ◦ và ta xét hệ phương trình
Giả sử rằng: i F j (a,b) = 0 với mọi j = 1, m ii Các đạo hàm riêng ∂F j
∂y k với i = 1, n và j, k = 1, m tồn tại và liên tục trên A. iii ∂(F 1 , F 2 , , F m )
Khi đó, tồn tại lân cận Ω của (a 1 , a 2 , , a n ) sao cho hệ phương trình (2) xác định duy nhất hệ hàm ẩn y j = f j (x 1 , x 2 , , x n ) với 1, m trong Ω.
Hơn nữa , ta có với mọi j = 1, m : i f j (a) = b j ii f j liên tục trên Ω. iii f j có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω và
Ví dụ 1: Với n=1, m=2 định lý 13 trở thành
Cho hai hàm 3 biến F (x, y, z), G(x, y, z) xác định trên A ⊂ R 3 , (a, b, c) ∈
A và xét hệ phương trình
Giả sử rằng: i F (a, b, c) = 0 và G(a, b, c) = 0 ii ∂F
∂z tồn tại và liên tục trên A. iii ∂ (F, G)
Khi đó, tồn tại lân cân Ω của (a, b, c) sao cho hệ phương trình (**) xác định duy nhất một hệ hàm ẩn
Hơn nữa ta có: i f(a) = b; g(a) = c. ii y, z liên tục trên Ω. iii y, z có đạo hàm riêng liên tục trên Ω và
Chú ý:Nếu các giả thuyết của Định lý 13 được thoả thì ta cũng có thể tìm đạo hàm y ′ , z ′ bằng cách lấy đạo hàm hai vế của hai phương trình F (x, y, z) =
0, G(x, y, z) = 0 theo biến x Khi đó ta được:
Do đó ta suy ra: y ′ = ∂y
Ví dụ 2: Với m=n=2 biểu định lý 13 trở thành
Cho hai hàm 4 biếnF (x, y, u, v), G(x, y, u, v)xác định trênA ⊂R 4 , (a, b, c, d) ∈ A ◦ , (a= (a, b);b= (c, d)) và xét hệ phương trình
Giả sử rằng: i F (a, b, c, d) = 0 và G(a, b, c, d) = 0. ii ∂F
∂v tồn tại và liên tục trên A. iii ∂(F, G)
Khi đó, tồn tại lân cân Ω của (a, b, c, d) sao cho hệ phương trình (**) xác định duy nhất một hệ hàm ẩn
Hơn nữa ta có: i f(a, b) = c; g(a, b) = d. ii u, v liên tục trên Ω. iii u, v có đạo hàm riêng liên tục trên Ω và
Ví dụ 2.1: Cho u, v là hai hàm của x, y thoả u > 0, 0 ≤ v < 2π,(x, y ) = √
∂x, khi ta biết hệ phương trình sau:
∂v (x, y, u, v) = u cos v liên tục trên lân cận của điểm
(u cos v − x = 0 u sin v − y = 0 xác định duy nhất một cặp hàm ẩn u = u(x, y), v = v(x, y) trong lân cận của
Ví dụ 2.2: Cho u = f (x, y), v = g(x, y) thoả f(0, 1) = 1, g(x, y) = −1 và
(u 3 + xv − y = 0 v 3 + yu − x = 0 Đặt F (x, y, u, v) = u 3 + xv − y và G(x, y, u, v) = v 3 + yu − x.
∂v (x, y, u, v) = 3v 2 liên tục trên lân cận của điểm(0, 1, 1, −1)
(u 3 + xv − y = 0 v 3 + yu − x = 0 xác định duy nhất một cặp hàm ẩn u = f(x, y), v = g(x, y) trong lân cận của (0, 1).
∂y biết u = u(x, y), v = v(x, y) trong trường hợp sau:
Ta có u = u(x, y), v = v(x, y ) là hai hàm ẩn của hệ
Bên cạnh đó ta tính hệ số Jacobi:
Ví dụ 2.4: Cho phương trình
CHứng minh rằng hệ phương trình trên xác định duy nhất một cặp hàm ẩn u = f(x, y), v = g(x, y) trong lân cận của (2, 1).
∂v = x. liên tục trên lân cận của điểm (2, 1, 0, 0)
(xu − yv = 0 yu + xv = 0 xác định duy nhất một cặp hàm ẩn u = f (x, y), v = g(x, y) trong lân cận của (2, 1).