Bài tiểu luận kết thúc học phần giải tích 3 sự tồn tại và khả vi của hàm ẩn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG KHOA SƯ PHẠM VÀ KHOA HỌC CƠ BẢN

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN 21TIỀN GIANG, NĂM 2023

Trong tiểu luận này, chúng tôi trình bày về sự khả vi và liên tục của hàm ẩn Trước khi nguyên cứu về hàm ẩn thì chúng tôi sẽ đưa ra một số nội dung kiến thức cơ sở để bạn đọc có thể hiểu và dễ dàng nắm bắt những nội dung trọng tâm của bài tiểu luận Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu về không gian Rn, Tô pô và hàm liên tục trên Rn, sự hội tụ và tính đầy đủ trên không gian này Sau đó chúng tôi sẽ trình bày về phép tính vi phân hàm nhiều biến, đạo hàm của hàm nhiều biến thực tại một điểm được hiểu theo đúng bản chất của nó Đó là ánh xạ tuyến tính xấp xỉ hàm đã cho trong lân cận của điểm đó, định nghĩa về đạo hàm riêng và đạo hàm riêng của hàm hợp Và cuối cùng chúng tôi sẽ trình bày về khái niệm hàm ẩn, sự tồn tại và khả vi của hàm ẩn, cách tính đạo hàm của hàm ẩn Song với đó chúng tôi còn đưa ra định nghĩa, sự tồn tại và khả vi của hệ hàm ẩn.

Bài tiểu luận gồm 3 chương:

1 Không gian Rn, Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến 2 Phép tính vi phân hàm nhiều biến.

3 Sự tồn tại và khả vi của hàm ẩn.

Trong quá trình thực hiện bài tiểu luận này, Chúng tôi đã nhận được nhiều sự hướng dẫn và hỗ trợ từ TS Đặng Hải Long Chúng tôi xin chân thành cảm ơn thầy về sự đóng góp ý kiến và chỉnh sửa cho tiểu luận này Do tiểu luận được xây dựng trong thời gian ngắn và khả năng của tôi còn hạn chế nên khó tránh khỏi những sai sót Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý từ quý thầy cô, bạn bè và người đọc.

Đỗ Vũ Nhật An

Mục lục

1Không gian Rn, Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến3

§1Không gian Rn .3

1.1Cấu trúc tuyến tính, định chuẩn và metric trên Rn .3

1.2Tô pô trên Rn .8

1.3Sự hội tụ và tính đầy đủ 14

§2Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến 17

2.1Giới hạn của hàm nhiều biến 17

2.2Sự liên tục của hàm nhiều biến 22

2Phép tính vi phân hàm nhiều biến28 §1Đạo hàm riêng 28

§2Vi phân của hàm nhiều biến 32

§3Đạo hàm riêng của hàm hợp 36

§4Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao 38

Chương 1

Không gian R n , Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến

Do đó, một phần tử của Rn có dạng x = (x1, x2, , xn) hay còn được gọi là một vectơ trong Rn, trong đó mỗi xi là một số thực và được gọi là toạ độ thứ i

Cho n = 2 thì ta sẽ có không gian R2 = {(x, y) | x, y ∈R} Đây là mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes.

Cho n = 3 thì ta sẽ có không gian R3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈R} Đây là không gian ba chiều với hệ toạ độ Descartes.

Tương tự chon = 4thì ta sẽ có không gian R4 = {(x1, x2, x3, x4) | x1, x2, x3, x4∈R}.B Cấu trúc tuyến tính của Rn

Cho hai vectơ x = (x1, x2, , xn),y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn và λ ∈ R Khi đó tađịnh nghĩa phép cộng hai vectơ và phép nhân ngoài trong Rn như sau:

ˆ b-a= (−1, 0, 2, −3) − (1, 2, 3, 4) = (−2, −2, −1, −7) C Tích vô hướng và chuẩn Euclide trên Rn

Định nghĩa 1 Cho hai vectơ x= (x1, x2, , xn),y= (y1, y2, , yn) ∈Rn, tích vô hướng của hai vectơ là một con số thực, ký hiệu là ⟨x,y⟩ và được xác định bởi

⟨x,y⟩ = x1y1+ x2y2+ + xnyn Ví dụ

a Trong không gian R2 Cho hai vector a= (x1, x2);b= (y1, y2) Tích vô hướng của hai vector a,b là:

⟨ab⟩ = x1y1+ x2y2 b Trong không gian R3 ta có x= (1, 2, 3),y= (5, 4, −4)

Tích vô hướng của hai vector x, y là:

Ví dụ Trong không gian R4cho x= (2, 3, 4, 0);y= (−2, −1, 1, 3),z= (1, −3, −4, 0).

Định nghĩa 4 Cho a∈Rn và ε > 0, ta gọi:

a Tập hợp B(a, ε) = {x ∈Rn : ∥x−a∥ < ε} được gọi là hình cầu mở tâm a bán

Ví dụ: Trong không gian R2 Ta cóB =(x, y) ∈R2 : (x − 1)2+ (y − 1))2≤ 3 Ta thấy rằng B ⊂R2 và B((1, 1), ε) ⊂ B khi chọn ε = 1 Do đó B được gọi là một lân cận của (1, 1).

B Tập mở, tập đóng.

Hình 1.1: Hình cầu mở tâm a=(1,1) và bán kính bằng 2

a Ta nói a là điểm trong của A nếu A là lân cận của a, tức là

Ví dụ 1: Trong không gian R, cho A = (0, 1] ∪ {2} Tìm điểm trong, điểm dính, điểm tụ, điểm biên của A.

Bài làm

i Tập hợp các điểm trong của A là {x ∈R: 0 < x < 1}

* Xét0 < x0< 1, chọn r = min {x0, 1 − x0} Ta thấy rằng B(x0, r) ⊂ A Do đóx0 là điểm trong của A.

ii Tập hợp các điểm dính của A là {x ∈R: 0 < x ≤ 1} ∪ {2}

* Chọn 0 < x0 < 1 Hiển nhiên chứng minh được x0 là điểm dính của A với mọi ε dương.

* Chọn x0 = 0 hoặc x0= 1 hoặc x0 = 2 Với mọi ε, ta luôn có B(x0, ε) ∩ A ̸=∅ iii Tập hợp tất cả các điểm tụ của A là {x ∈R: 0 ≤ x ≤ 1}

* Chọn 0 ≤ x0≤ 1 Với mọi ε , ta luôn có B(x0, ε) ∩ (A \ {x0}) ̸= ∅ iv Tập hợp tất cả các điểm biên của A là {0, 1, 2}

* Chọn x0 = 0 hoặc x0 = 1 hoặc x0 = 2 Với mọi ε > 0 ta luôn chỉ ra rằng x0 là điểm biên của A.

Định nghĩa 8.

a Tập hợp tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A, ký hiệu

Xét a= (x, y) ∈R2 Ta kiểm tra các trường hợp sau:

TH1: x > 0, chọn ε1 = x > 0 Ta dễ dàng chứng minh được B(a, ε1) ⊂ A Ta lạicó B(a, ε1) ∩ R2\ A
=∅ Do đó a không phải điểm biên của A.

Vậy ∂A = {(0, y) : y ∈ R}.

Ví dụ 2: Cho A =(x, y) ∈R2: 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 3 Tìm các điểm trong của A.

Bài làm

Hình 1.4: Các điểm trong của A.

Tập hợp các điểm trong của A là :

1.3 Sự hội tụ và tính đầy đủ

Giả sử ta có một ánh xạ φ : N∗ → Rn là một dãy trong không gian Rn Ta gọi dãy trong Rn là dãy điểm Ta ký hiệu ảnh của k ∈ N∗ qua ánh xạ φ là xk, (xk ∈Rn) và dùng ký hiệuxk

Nếu {kl}l∈N∗ là dãy tăng các số tự nhiên, tức là k1 < k2 < k3 < < kl < thì ta gọi dãy điểmxkl

l∈N∗ là dãy con của dãyxk

k∈N∗ Định nghĩa 9 Ta nói dãy điểmxk

k∈N∗ hội tụ tới a∈Rn nếu Định lý 1 Cho dãy điểmxk

k∈N∗ ∈Rn, trong đó xk = (xk1, xk2, , xkn), với mọi

B Các nguyên lý về tính đầy đủ của Rn

Định nghĩa 10 Ta nói dãy điểmxk

k∈N∗ ∈Rn là dãy Cauchy ( hoặc dãy cơ bản) nếu:

∀ε > 0, ∃k0 ∈N∗: ∀k, l > k0 =⇒ xk−xl < ε
Định lý 2 (Nguyên lý Cauchy) Dãy điểmxk

k∈N∗ ∈Rn hội tụ khi và chỉ khi

Định lý 3 (Nguyên lý Balzano- Weiertrass) Mọi dãy bị chặn trong Rn đều chưa một dãy con hội tụ.

C Tập compact

Định nghĩa 12 Ta nói tâp A ⊂Rn là tập compact nếu mọi dãy điểm trong A đều chứa một dãy con hội tụ tới một điểm thuộc A.

Định lý 4 Tập A ⊂Rn là tập compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.

§2Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến

2.1 Giới hạn của hàm nhiều biến Định nghĩa 13 Cho A ⊂Rn Ánh xạ

f : A −→R

x−→ f (x) được gọi là một hàm số n biến xác định trên A.

Trong một số trường hợp ta muốn chỉ rõ n số biến thì ta sẽ viếtf (x1, x2, , xn) thay vì viếtf (x) Chẳng hạn, ta sẽ viết hàm số có hai biến làf (x, y)hoặcf (x1, x2); hàm số có ba biến thì ta viếtf (x, y, z) hoặc f (x1, x2, x3).

Chú ý: Khi cho hàm số bởi một biểu thức, ta quy ước tập xác định của một hàm sô là tập hợp tất cả các điểm x∈Rn sao cho biểu thức có nghĩa.

Định nghĩa 14 Cho A ⊂Rn, hàm số f : A →R và a là điểm tụ của A Ta nói f có giới hạn là l ∈R khi x tiến về a nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : [∀x∈ A, (0 < ∥x−a∥ < δ =⇒ |f (x) − l| < ε)] Khi đó ta viết lim

x→af (x) = l, hoặc f (x) → l khi x→a.

Định nghĩa 15 Tương tự như đối với hàm một biến, ta có thể mở rộng khái niệm giới hạn cho trường hợp giới hạn là vô cực như sau:

ˆ Ta nói f có giới hạn là +∞ khi x tiến về a nếu:

∀K > 0, ∃δ > 0 : [∀x∈ A, (0 < ∥x−a∥ < δ =⇒ f (x) > K)] ˆ Ta nói f có giới hạn là −∞ khi x tiến về a nếu:

∀K > 0, ∃δ > 0 : [∀x∈ A, (0 < ∥x−a∥ < δ =⇒ f (x) < −K)] Mệnh đề 5 Cho A ∈Rn, hàm số f : A →R và a là điểm tụ của A i Nếu f có giới hạn khi x→a thì giơi hạn đó là duy nhất.

ii Nếu lim iv Nếu lim

x→a|f (x)| ̸= 0 thì tồn tại lân cận U của a sao cho f (x) ̸= 0, ∀x∈ U ∩ (A \ {a})

Mệnh đề 6 ChoA ∈Rn, hàm số f, g : A →R và a là điểm tụ của Avà α, β ∈R.Giả sử f và g có giới hạn khi x→a Ta có:

ii Hàm số f g cũng có giới hạn khi x→a và: lim

x→a(f g) (x) = lim

x→af (x) lim

x→ag(x) iii Nếu lim

x→ag(x) ̸= 0 thì tồn tại lân cận U của a sao cho hàm số thương f

Định lý 5 (Định lý về mối liên hệ giữa giới hạn hàm và giới hạn dãy) Cho Cho A ∈ Rn, hàm số f : A → R và a là điểm tụ của A Khi đó,lim

k→∞f (xk) không tồn tại thì lim

x→af (x) không tồn tại.

x→af (x) không tồn tại.

Định lý 6 (Nguyên lý kẹp giữa) Cho A ⊂Rn các hàm số f, g, h : A →R và a là điểm tụ của A Giả sử ta có các điều sau:

i Tồn tại lân cận U của a sao cho

2.2 Sự liên tục của hàm nhiều biến

Định nghĩa 16 Cho A ⊂Rn và hàm số f : A →R. a Ta nói hàm f liên tục tại x∈ A nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : [(∀x∈ A, ∥x−a∥ < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε)] Nếu f không liên tục tại a thì ta nói f gián đoạn tại a.

b Ta nói hàm f liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi a∈ A

∀ε > 0, ∃δ > 0 : [(∀x∈ A, ∥x−a∥ < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε)] , ∀x∈ A c Ta nói hàm f liên tục đều trên A nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : [(∀x,y∈ A, ∥x−y∥ < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ε)] Chú ý: Nếu f liên tục đều trên A thì f liên tục trên A.

Định lý 7 Nếu a là điểm cô lập của A thì mọi hàm số f : A →R đều liên tục tại a.

Định lý 8 Cho A ⊂Rn,a∈ A là điểm tụ của A và hàm số f : A →R Khi đó:f liên tục tại a ⇐⇒ lim

Vậy f không liên tục tại (0,0).

Ví dụ 2: Xét sự liên tục của các hàm số sau:

(x,y)→(0,0)f (x, y) không tồn tại.Do đó không xảy ra lim

(x,y)→(a,b)f (x, y) = f (a, b), ∀(a, b) ∈ D Vậy f liên tục tại trên R2.

Định lý 9 Cho A ⊂ Rn là tập compact và f : A → R là hàm số liên tục trênA Khi đó, f có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên A.

∂y, ta lấy đạo hàm theo biến x và xem như y là hằng số.

ˆ Trường hợp hàm ba biếnf (x, y, z)thì các đạo hàm riêng cấp 1 tại(x, y, z)

i Hàm n biến thì có n đạo hàm riêng ii Khi tính đạo hàm riêng ∂f

(a1, a2, ,an), ta xem f như hàm một biến xi các biến còn lại là hằng xj = aj với mọi j ̸= j và tính đạo hàm như thông

Định nghĩa 18 Cho hàm số f (x1, x2, xn) có các đạo hàm riêng tại a, vectorgradient của f tại a, ký hiệu là −−→gradf (a) hoặc ∇f (a), là một vector trong Rn

§2Vi phân của hàm nhiều biến

Định nghĩa 19 Cho A ⊂Rn, hàm số f : A → R và a∈ A0 Ta nói k khả vi tại a nếu tồn tạiA1, A2, , An ∈R sao cho với h = (h1, h2, , hn) ∈Rn thoả a+h∈ A

Mệnh đề 7 Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a.

Mệnh đề 8 Cho A ⊂ Rn,a ∈ A0 và f, g : A → R là hai hàm số khả vi tại a.

Do đó f không khả vi tại a.

ˆ Nhận xét câu e Ta có thể giải quyết bài toán này như sau: Dễ dàng kiểm tra được lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = lim

x2+ y2không tồn tại nên f không liên tục tại (0,0) Vậy f không khả vi tại (0,0).

Định nghĩa 20 Chof (x1, x2, xn)là một hàm sốnbiến được xác định trên mộtlân cận của a= (a1, a2, , an)và khả vi tại điểm này.x1, x2, , xn là các hàm sốm

Ví dụ 2: Tính đạo hàm riêng của ω biết: f (x, y, z) = ln x + eyz, x =√

§4Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

Định nghĩa 21 (Đạo hàm riêng cấp cao)

Cho a ⊂Rn,a∈A◦ và hàm số f : A →R Giả sử f có đạo hàm riêng ∂f

Đạo hàm riêng theo biến xj của hàm số này tại a (nếu có) được gọi là đạo hàmriêng cấp hai theo biến xi và xj tại a, ký hiệu là ∂

Định lý 11 (Schwarz) Cho A ⊂Rn,a∈ A0 và hàm số f : A →R Giả sử rằng Định nghĩa 22 (Vi phân cấp cao)

Cho A ⊂ Rn, (a, b) ∈ A0 và hàm số f : A → Rn Giả sử f khả vi tại mọi (x, y) thuộc một lân cận U của (a,b), ta có:

∂y(x, y) lại có các đạo hàm riêng liên tục trên một lân cận của (a,b) Khi đó, ta có thể lấy vi phândf (x, y) tại (a,b) và ta nhận được vi phân cấp hai của f tại (a,b), ký hiệu là d2f (x, y) Hơn nữa ta có:

Để thuận tiện cho việc ghi công thức, ta quy ước ký hiệu như sau: ˆTa xem ký hiệu các đạo hàm riêng của f như tích các ký hiệu ∂

ˆTa cũng có các quy ước tương tự với các đạo hàm riêng cấp cao hơn và cho hàm nhiều biến hơn.

Tổng quát, nếu hàm n biếnf (x1, x2, , xn) có các đạo hàm riêng tớin liên tụctrong một lân cận của a= (a1, a2, , an) thì f khả vi cấp n tại a và

d3f (x, y) = 24xy3+ 6 + 3 36x2y2
+ 3 (12xy) + 6x2+ 24y = 24xy3+ 108x2y2+ 6x2+ 36xy + 24y + 6.

i Phương trình (1) có thể xác định một hoặc nhiều hàm ẩn, hoặc cũng có thể không xác định bất kỳ hàm ẩn nào.

ii Công thức tường minh của hàm ẩn được gọi là dạng hiện của hàm ẩn iii Trên tổng quát, không phải lúc nào ta cũng có thể tìm được dạng hiện của ii f liên tục trên Ω.

iii f có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω và

ii f liên tục trên Ω.

iii f có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω và

ˆ Từ định lý trên khẳng định sự tồn tại hàm ẩn y = f (x) dựa trên một số điều kiện và không cho ta một công thức đơn giản để tìm được hàm ẩn. ˆ Nếu các giả thiết của định lý được thoả thì ta cũng có thể tính đạo hàm

y′ = f′(x) bằng cách lấy đạo hàm 2 vế của F (x, y) = 0 theo biến x, ta được

a Chứng minh rằng phương trình trên xác định duy nhất một hàm ẩny = f (x) trong lân cận của 0.

* Đạo hàm cấp hai của hàm ẩn:

Lấy đạo hàm 2 vế của x cos y + y cos x = 1 theo biến x, ta được: cos y − y′x sin y + y′cos x − y sin x = 0

⇒ cos y + y′(cos x − x sin y) − y sin x = 0 ⇒ y′(cos x − x sin y) = y sin x − cos y

ii f liên tục trên Ω.

iii f có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω và

1 Chứng minh rằng phương trình trên xác định duy nhất một hàm ẩn z = f (x, y), trong lân cận của (4, −1) thoả f (4, −1) = 1.

Do đó tồn tại hàm ẩn z = f (x, y) trong lân cận (4, −1) thoả f (4, −1) = 1.Hàm ẩn được xác định như sau: z2 =

Bộ m hàm số yj = fj(x1, x2, , xn) với j = 1, m xác định trên Ω ⊂ Rn thoả điều

được gọi là hệ hàm ẩn xác định bởi hệ phương trình (2).

Định nghĩa 24 Cho m hàm n biếnhj(u1, u2, , un)với j = 1, mcó các đạo hàm riêng tại c∈Rn Ta gọi định thức:

Định lý 13 Cho m hàm n+m biến Fj(x1, x2, xn, y1, y2, , yn) với j = 1, m, xácđịnh trên A ⊂ Rn+m,a= (a1, a2, , an),b = (b1, b2, , bm) sao cho (a,b) ∈A◦ và ta

Khi đó, tồn tại lân cận Ω của (a1, a2, , an) sao cho hệ phương trình (2) xác định duy nhất hệ hàm ẩn yj = fj(x1, x2, , xn) với 1, m trong Ω.

Hơn nữa , ta có với mọi j = 1, m : i. fj(a) = bj.

ii. fj liên tục trên Ω.

iii. fj có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω và

Hơn nữa ta có: i. f (a) = b; g(a) = c ii. y, z liên tục trên Ω.

iii. y, z có đạo hàm riêng liên tục trên Ω và

Chú ý: Nếu các giả thuyết của Định lý 13 được thoả thì ta cũng có thể tìmđạo hàm y′, z′ bằng cách lấy đạo hàm hai vế của hai phương trình F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 theo biến x Khi đó ta được:

ii. u, v liên tục trên Ω.

iii. u, v có đạo hàm riêng liên tục trên Ω và

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thừa Hợp (2007) Giải tích tập 3 NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thừa Hợp (2008) Giải tích tập 1 NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê (chủ biên), Phạm Ngọc Thao- Lê Mậu Hải- Nguyễn Đình

Sang Toán cáo cấp Giải tích một biến tập I (A1) NXB Giáo dục.

[4] Phạm Hoàng Luân(Chủ nhiệm) - Lê Minh Triết-Phan - Trung Hiếu - Hoàng Đức Thắng (2015).Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến Đại học Sài Gòn [5] Huỳnh Thế Hùng (2006).Giáo trình Giải tích III ĐHKH Huế.

⋄ Website

[1 ] https://elearning.tcu.edu.vn

[2 ] http://khoacoban.tnut.edu.vn/download/toan3/Giai