nh x⁄ a trà, cĂc khĂi niằm cỡ bÊn
Cho X và Y là các không gian vector với chiều hữu hạn trên trường R F: X → Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm tất cả các tập con của Y Ta nói F là ánh xạ từ X vào Y nếu với mỗi x ∈ X, F(x) là một tập con của Y Không loài trừ khối nông với một số phần tử x nào đó, F(x) là một tập rỗng.
Ta s‡ thữớng dũng kỵ hiằu F : X Y ” ch¿ F l Ănh x⁄ a trà tł X v o Y
N‚u vợi mỉi x 2 X t“p F (x) ch¿ gỗm úng mºt phƒn tò cıa Y , th… ta nõi
F l Ănh x⁄ ỡn trà tł X v o Y Khi õ, thay cho kỵ hiằu F : X Y ngữới ta sò dửng kỵ hiằu quen thuºc F : X ! Y
V‰ dử 1.1 X†t phữỡng tr…nh a thức x n + a 1 x n 1 + a 2x n 2 + ::: + a n 1x + a n = 0 Trong õ n 2 N l sŁ nguyản dữỡng v a i 2 R (i = 1; 2; :::; n) l cĂc hằ sŁ thỹc Quy t›c cho tữỡng ứng mỉi vector a = (a 1 ; :::; a n ) 2 R n vợi t“p nghiằm, kỵ hiằu bði F (a); cho ta mºt Ănh x⁄ a trà
F : R n C tł khổng gian Euclide R n v o t“p sŁ phức C Theo ành lỵ cỡ bÊn cıa ⁄i sŁ,
F (a) 6= ? vợi mồi a 2 R n v jF (a)j 6 n; 8a 2 R n ; ð õ jF (a)j kỵ hiằu lỹc lữổng cıa t“p hổp F (a): N‚u ta ỗng nhĐt mỉi sŁ phức x = u + iv 2 C vợi c°p sŁ thỹc (u; v) 2 R 2 th… ta cõ Ănh x⁄
K‰ hiằu 1.1 Mi•n hœu hiằu dom F v ỗ thà gr F cıa Ănh x⁄ a trà F i tł X v o
Y tữỡng ứng ữổc xĂc ành b‹ng cĂc cổng thức domF := f x 2 X : F (x) 6= ?g gr F := f(x; y) 2 X Y : y 2 F (x)g
CĂc kỵ hiằu õ cõ nguỗn gŁc tł hai chœ ti‚ng Anh l domain v graph Vợi
F l Ănh x⁄ a trà trong v‰ dử 1.1 ta cõ dom F = R n v gr F = (a; x) 2 R n C : x n + a1x n 1 + a2x n 2 + ::: + an 1x + an = 0 nh x⁄ ngữổc F 1 : Y X cıa Ănh x⁄ a trà F : X Y ữổc xĂc ành bði cổng thức
F 1 (y) = fx 2 X : y 2 F (x)g (y 2 Y ) ành nghắa 1.1 nh x⁄ a trà F : X Y ữổc gồi l õng n‚u gr F l t“p õng trong X Y: nh x⁄ a trà G : X Y ữổc gồi l mºt mð rºng (h⁄n ch‚) cıa Ănh x⁄ a trà F : X
Y n‚u dom F dom G (dom G dom F ) v F (x) = G(x) vợi mồi x 2 dom F (x 2 dom G)
Khi hiểu về bcc Y, nó bao gồm các tập hợp gồm các tập con lỗi, õng và bà ch°n BccY ữổc trang bà hai phép toán, bao gồm phép cộng và phép nhân, với một số lý thuyết khổng lồ trong một không gian nào tuyên tĩnh.
Để xác định độ đo Hausdorff trong không gian metric bcc Y, ta sử dụng công thức D(H) = inf{d > 0 : M N + B Y; NM + B Y} Điều này cho phép chúng ta đánh giá khoảng cách giữa các tập hợp M và N trong không gian bcc Y, từ đó hình thành một cấu trúc chính xác cho không gian này.
— ¥y B Y l qu£ cƒu ìn và, B Y = fy 2 Y :k y k6 1g:
Trong b i vi‚t n y chóng ta s‡ x†t ¡nh x⁄ a trà F : X Y trong tr÷íng hổp F (x) 2 bcc Y; vợi mồi x 2 dom F: i•u n y giúp ta giÊi th‰ch h m a trà F : X Y ữổc x†t dữợi Ơy l mºt h m ỡn trà F : X ! bcc Y:
X†t X v Y lƒn lữổt l khổng gian Łi ngÔu cıa X v Y:
Khi nghiên cứu không gian Banach của các ánh xạ thuần nhất, ta có thể định nghĩa p(y) = p(y) cho mọi y thuộc Y và mọi ϵ > 0 Các ánh xạ này có tính chất liên tục và tuân theo các phép toán lũy thừa, với khái niệm bậc kpk = max{jp(y)j : ||y|| = 1} Một ánh xạ thuần nhất dữ dỡng p: Y → R được gọi là tuyến tính.
‰nh dữợi n‚u nõ l cºng t‰nh dữợi, nghắa l p(y 1 + y 2 ) 6 p(y 1 ) + p(y 2 ) ; 8y 1 ; y 2 2 Y :
CH(Y) là không gian của các ảnh xấp xỉ tuyến tính dữ liệu, trong đó không gian Banach H(Y) bao gồm các ảnh xấp xỉ tuyến tính DCH(Y) = hCH(Y)i là không gian của những ảnh xấp xỉ tuyến tính được gói lại, thể hiện mối quan hệ giữa hai ảnh xấp xỉ tuyến tính dữ liệu Ảnh xấp xỉ thuộc DCH(Y) nếu và chỉ nếu nó có thể được biểu diễn dữ liệu dưới dạng hiểu của hai ảnh xấp xỉ tuyến tính dữ liệu.
‰nh dữợi n‚u vợi bĐt k… x 2 X th… Ănh x⁄ y ! hx; P (y )i ữổc bi”u di„n dữợi d⁄ng hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi.
Vợi mỉi t“p con M 2 bcc Y ta x†t h m tỹa s M (y ) = maxfhy; y i : y 2 Mg h m tỹa n y ch‰nh l ph†p flng cĐu giœa khổng gian metric tuy‚n t‰nh dữợi v nõn lỗi CH(Y ) cıa Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi.
Cho Ănh x⁄ a trà F : X ! bcc Y: nh x⁄ s F : dom F Y ! R ữổc xĂc ành bði s F (x; y ) := maxfhy; y i : y 2 F (x)g ữổc gồi l h m tỹa cıa F: V… t‰nh Łi ngÔu Minkowski nản cõ th” liản k‚t mºt
~ ! bcc Y vợi mºt Ănh x⁄ ỡn trà F~
CH(Y ) ¡nh x⁄ a trà F : X sao cho F (x) = s F (x; :) ; 8x 2 dom F: Do
CH(Y ) DCH(Y ) H(Y ) nản ta cụng cõ th” x†t F ~
T‰nh liản tửc cıa Ănh x⁄ a trà
ành nghắa 1.4 F l nòa liản tửc trản t⁄i x 2 dom F n‚u vợi mồi t“p mð V Y thọa mÂn F (x) V tỗn t⁄i lƠn c“n mð U cıa x sao cho
Nếu F là một hàm liên tục trên miền I, thì F có thể đạt được giá trị cực đại và cực tiểu trong X Điều này có nghĩa là nếu F liên tục trên miền dữ liệu I và đạt được giá trị tại một điểm nào đó, thì tồn tại ít nhất một điểm U trong miền X sao cho F tại điểm U lớn hơn hoặc bằng giá trị tại bất kỳ điểm nào khác trong miền I.
Nếu bạn đang tìm hiểu về liễn tửc dữợi trong lĩnh vực X, hãy chú ý đến các khái niệm cơ bản Liễn tửc t⁄i mồi i”m thuºc dom F có thể được hiểu là yếu tố quan trọng trong việc hình thành liễn tửc dữợi Bên cạnh đó, việc nghiên cứu liễn tửc trản và liễn tửc dữợi t⁄i x cũng đóng vai trò không kém phần quan trọng Nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các loại liễn tửc trong X.
ành nghắa, t‰nh chĐt cỡ bÊn
X†t X v Y l cĂc khổng gian vector cõ sŁ chi•u hœu h⁄n trản trữớng R: ành nghắa 2.1 nh x⁄ a trà A : X ! bcc Y ữổc gồi l
Lữu ỵ r‹ng vợi nhœng h m ỡn trà th… bao h m (1) v flng thức (2) l tữỡng ữỡng nhau Ngo i ra, ta cõ phĂt bi”u dữợi Ơy.
Mằnh 2.1 Cho A: X → bcc Y là một hàm affine Nếu A(x₀) = fy₀g và x₀ thuộc ri(dom A), thì A: X → bcc Y là một ánh xạ affine trên dom A Với ri(dom A) là phần trong tường lửa của dom A Chứng minh: X thuộc x₂ dom A, với x₀ thuộc ri(dom A) và x thuộc dom A.
2 (0; 1); ta cõ x 0 = x + (1 )x: Do A l mºt h m a trà lỗi nản vợi x; x 2 dom A ta ữổc
Suy ra A(x); A(x) là những tập hợp duy nhất một giá trị Vậy thì trong không gian A, A(x) là một giá trị lớn nhất thuộc trong không gian A; do đó, theo lý thuyết trần, A là một ánh xạ tuyến tính affine.
TŒng quĂt, nhœng Ănh x⁄ a trà t⁄o th nh nhœng lợp con cıa lợp cĂc Ănh x⁄ a trà lỗi.
Ta hÂy x†t Ănh x⁄ a trà A : R ! bcc R vợi gr A := f(x; y) : jxj 6 y 6 j xj + 2g:
Khổng khõ ” nh“n thĐy r‹ng l lỗi, những khổng affine Th“t v“y, vợi x 1 ; x 2 2 dom A; 2 [0; 1] ta x†t y 2 A(x 1 ) + (1 )A(x 2 ): Khi õ tỗn t⁄i y 1 2 A(x 1 ); y 2 2 A(x 2 ) sao cho y = y1 + (1 )y 2 6 ( j x 1 j + 2) + (1 )( j x 2 j + 2)
L⁄i cõ jx 1 j 6 y 1 ; jx 2 j 6 y 2 nản j x 1 + (1 )x 2 j 6 jx 1 j + (1 ) jx 2 j 6 y 1 + (1 )y 2 = y:
A khổng affine Th“t v“y, ta cõ jxj 6 1 nản dom A = [ 1; 1]:
Cho s A (: ; :) : X Y ! R l h m tüa cıa ¡nh x⁄ a trà A : X ! bcc Y:
Tł ành nghắa, nhœng t‰nh chĐt cıa cĂc t“p lỗi v h m tỹa, chúng ta cõ nhœng n†t °c trững cho nhœng Ănh x⁄ a trà lỗi, affine.
Mằnh • 2.2 nh x⁄ a trà A : X ! bcc Y l lỗi (affine) n‚u v ch¿ n‚u s A (: ; y ) : X ! R; 8y 2 Y l Ănh x⁄ lêm (affine) trản dom A:
Chứng minh GiÊ sò A : X ! bcc Y l Ănh x⁄ lỗi.
Tł ành nghắa cıa max < y; y > ta suy ra tỗn t⁄i y i 2 A(x ) (i = 1; 2) ” y A(x) i
A( x 1 +(1 )x 2 ) h s A (x 1 ; y ) + (1 )s A (x 2 ; y ) 6 s A ( x 1 + (1 )x 2 ; y ) + i•u n y chứng tọ r‹ng s A (x 1 ; y ) + (1 )s A (x 2 ; y ) 6 s A ( x 1 + (1 )x 2 ; y ) v do õ s A l h m lêm.
Giả sử A là một hàm số affine, khi đó hàm số A có thể được biểu diễn dưới dạng A(x) = Ax + b, với x thuộc tập hợp X và b là một vector trong không gian R Nếu A là hàm số affine thì tồn tại một hàm số A(: ; y) : X → R cho mọi y thuộc Y, thể hiện rằng A là hàm số liên tục và có thể được phân tích theo nghĩa của hàm số affine Do đó, hàm số A có thể được coi là một hàm số affine trên miền A.
Ngữổc l⁄i, giÊ sò s A (: ; y ) : X ! R; 8y 2 Y l Ănh x⁄ lêm trản dom A:
Ta chứng minh A l Ănh x⁄ lỗi.
X†t y 2 A(x 1 ) + (1 )A(x 2 ): Khi õ tỗn t⁄i y 1 2 A(x 1 ); y 2 2 A(x 2 ) sao cho y = y 1 + (1 )y 2 : Ta câ max h y; y i = max
Trong trữớng hổp s A (: ; y ) : X ! R; 8y l Ănh x⁄ affine trản dom A th… max hy; y i = max
Nh“n x†t 2.1 Cho A : X ! bcc Y l mºt ¡nh x⁄ a trà affine v (u; v) thuºc X Y: D„ th§y A 1 : X ! bcc Y ành bði gr A 1 = gr A + (u; v) công l affine Khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt cõ th” giÊ sò 0 2 dom A:
Cho A: X → bcc Y là một ánh xạ affine với 0 ∈ dom A và k ∈ hiền U là bao tuyển tính của dom A Trong trường hợp int(dom A) = ?, ta xác định ánh xạ affine A₁: X → bcc Y, với ánh bì A₁ = A(Px) cho mọi x ∈ X, trong đó P: X → U là ánh xạ chiếu từ X vào U.
Tł ành nghắa cıa A 1 ta cõ dom A 1 = dom A + ker P:
Th“t v“y, x†t y 2 dom A + ker P: Khi õ tỗn t⁄i t 2 dom A; z 2 ker P (suy ra A(t) =6 ?; P (z) = 0) sao cho y = t + z: Ta câ
X†t y 2 dom A 1 : Khi õ A 1 (y) = A(P y) 6= ?: GiÊ sò q 2 A(P y); suy ra
V… q 2 A(z) nản A(z) 6= ? v do õ z 2 dom A; suy ra P (z) = z:
V“y y 2 dom A + kerP: dom A l t“p con lỗi cıa X: V… 8x; y 2 dom A; 8t 2 (0; 1); ta cõ
Nhữ v“y dom A l t“p con lỗi cıa X v ta l⁄i cõ sŁ chi•u cıa X hœu h⁄n nản ri(dom A) 6= ?; do â int(dom A 1 ) 6= ?:
Ngo i ra A 1 l ¡nh x⁄ a trà affine.
Th“t v“y, vợi mồi x; y 2 dom A; 2 [0; 1]; ta cõ
Hỡn nœa, 8x 2 dom A ta cõ P (x) = x nản A 1 (x) = A(x):
V“y A cõ th” mð rºng ‚n mi•n hœu h⁄n m phƒn trong cıa nõ khĂc rỉng, bði ph†p bi‚n Œi affine.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách xác định các điểm trong miền xác định của hàm số A Đặc biệt, chúng ta cần chú ý đến việc kiểm tra điều kiện int(dom A) khác không và xác định xem điểm (0; 0) có thuộc vào đồ thị của A hay không Những khái niệm này rất quan trọng trong việc phân tích tính liên tục và tính khả thi của hàm số trong không gian toán học.
nh x⁄ liản hổp cıa Ănh x⁄ a trà affine
Cho A : X ! bccY l ¡nh x⁄ a trà affine sao cho int(dom A) 6= ? v s A (: ; :) : X Y ! R l h m tüa cıa A:
Theo mằnh • 2.2, 8y 2 Y th… s A (: ; y ) : dom A ! R l affine trản dom A:
Để xác định miền xác định của hàm affine A, ta cần kiểm tra điều kiện \( \text{dom } A \neq \emptyset \) Với mọi \( y \in Y \), có thể liên kết với một ảnh xếp tuyến tính \( A(y) \in X \) sao cho \( s_A(x, y) = s_A(x', y) + x x' A(y) \) với mọi \( x \in \text{dom } A \) và \( x' \) là một hằng số thuộc miền xác định của A.
Để xác định ánh xạ affine A: X → bccY, chúng ta cần xem xét ánh xạ ngược A: Y → X Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của ánh xạ affine Một điều quan trọng là ánh xạ A: Y → X phải là ánh xạ đồng nhất trong khi ánh xạ ban đầu A: X → bccY là ánh xạ affine.
Với B là một toán tử tuyến tính từ X đến Y, ta có thể xác định một tập con compact trong Y Rõ ràng, ánh xạ A từ x đến Bx cộng với Q là một ánh xạ affine Đồng thời, ánh xạ x từ Y đến X cũng là một toán tử tuyến tính, cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa các không gian này.
‰nh l Ănh x⁄ liản hổp cıa B trong trữớng hổp toĂn tò tuy‚n t‰nh ỡn trà.
Th“t v“y, A : x ! Bx + Q l affine, x†t 8x; y 2 dom A; 8 2 [0; 1]: V… B : X ! Y l mºt toĂn tò tuy‚n t‰nh ỡn trà nản
Mằnh 2.3 nh x⁄ liản hổp A : Y ! X cıa Ănh x⁄ a trà affine A : X ! bcc Y l mºt hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi Nghắa l A l Ănh x⁄ thuƒn nhĐt dữỡng, liản tửc v vợi mỉi h thuºc X th… Ănh x⁄ y ! hh; A (y )i cõ th” ữổc bi”u di„n bði hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi.
Hỡn nœa, Ănh x⁄ y ! hh; A (y )i l tuy‚n t‰nh dữợi vợi mỉi h 2 X m x 0 + th
2 dom A vợi x 0 2 dom A v vợi mồi t 0:
CuŁi cũng, Ănh x⁄ y ! hh; A (y )i l tuy‚n t‰nh vợi mỉi h 2 X m x 0 + th 2 dom A vợi x 0 2 dom A v vợi mồi t 2 R:
L§y x 0 2 dom A v> 0 sao cho x 0 + th 2 dom A; 8t 2 (0; ): Ta câ s A (x; y ) = s A (x 0 ; y ) + x x 0 ; A (y ) ; 8x 2 dom A
Khi õ vợi x 0 + th 2 dom A th… s A (x 0 + th; y ) = s A (x 0 ; y ) + hth; A (y )i
Do õ y ! hh; A (y )i cõ th” ữổc bi”u di„n bði hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi.
GiÊ sò h 2 X m x 0 + th 2 dom A vợi x 0 2 dom A v vợi mồi t > 0 V… vợi mỉi x 2 dom A th… Ănh x⁄ y ! s A (x; y ) l cºng t‰nh dữợi nản ta cõ s A (x; y 1 + y 2 ) s A (x; y 1 ) s A (x; y 2 ) 6 0 ; 8y 1 ; y 2 2 Y
V“y, Ănh x⁄ y ! hh; A (y )i l cºng t‰nh dữợi Do õ l tuy‚n t‰nh dữợi.
” chứng minh ỵ cuŁi cıa mằnh •, ta x†t h 2 X m x 0 + th 2 dom A vợi x 0
2 dom A v vợi mồi t 2 R: Trong trữớng hổp n y ta cõ x 0 + th 2 dom A v x 0 + t( h) 2 dom A vợi mồi t 0:
Do õ, cÊ hai Ănh x⁄ y ! hh; A (y )i v y ! h h; A (y )i l tuy‚n t‰nh dữợi V… v“y y ! hh; A (y )i l tuy‚n t‰nh
Mằnh • 2.4 Cho P : Y ! X l Ănh x⁄ ữổc bi”u di„n bði hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n tinh dữợi Khi õ tỗn t⁄i mºt Ănh x⁄ a trà affine A : X ! bcc Y sao cho A = P; vợi A : Y ! X l Ănh x⁄ liản hổp cıa A:
Chứng minh GiÊ sò fe1; e2; :::; emg l mºt cỡ sð cıa X:
V… P : Y ! X l Ănh x⁄nh x⁄ ữổc bi”u di„n bði hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n tinh dữợi nản vợi bĐt k… h 2 X th… Ănh x⁄ y ! hh; A (y )i ữổc bi”u di„n dữợi d⁄ng hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữơi.
Do õ Ănh x⁄ p i (:) : y ! he i ; P (y )i (i = 1; 2; :::; m) ữổc bi”u di„n dữợi d⁄ng hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi.
GiÊ sò p i (:) = p i (:) p i (:) ; i = 1; m , vợi p i (:); p i(:) l cĂc Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi. m
X†t Ănh x⁄ q(:) : y ! =1 ( p i (y )+ p i (y )): Khi õ q(:) l tuy‚n t‰nh dữợi. Ngo i ra, vợi mỉi y 2 Y i P
=1 vợi x 1 ; x 2 ; :::; x m l tồa º cıa x Łi vợi cỡ sð fe 1 ; e 2 ; :::; e m g:
Suy ra, Ănh x⁄ y ! q(y ) + hx; P (y )i l tuy‚n t‰nh dữợi 8x 2 X vợi m
B¥y gií x†t A : X ! bcc Y l mºt ¡nh x⁄ a trà sao cho
X m dom A := fx = x i e i ; jx i j 6 1; i = 1; mg i 1 sA(x; y ) = q(y ) + hx; P (y )i :
Tł mằnh • 2.2 ta cõ A l affine Hỡn nœa, chúng ta cõ ành nghắa mºt Ănh x⁄ liản hổp A = P
V‰ dử 2.2 X†t Ănh x⁄ a trà A : R ! bccR 2 ; ỗ thà cıa A ữổc cho bði gr A := f(x; y) 2 R R 2 : jy 1 j 6 1 x; jy 2 j 6 1 + xg:
= (jy 1 j + jy 2 j) + x ( j y 1 j + jy 2 j) Suy ra, A l Ănh x⁄ a trà affine v Ănh x⁄ liản hổp cıa A l
A : (y 1 ; y 2 ) ! j y 1 j + jy 2 j 2 R: Mằnh • 2.5 Mồi Ănh x⁄ a trà lỗi A : X ! bcc Y vợi dom A = X l affine v cõ th” ữổc bi”u di„n dữợi d⁄ng A(x) = B(x) + A(0); 8x 2 X; vợi B : X ! Y l toĂn tò tuy‚n t‰nh ìn trà duy nh§t.
Chứng minh Trữợc tiản ta cõ nh“n x†t s
Do õ, mỉi y 2 Y Ănh x⁄ lêm x ! s A (x; y ) ữổc l m trºi bði Ănh x⁄ lỗi x ! s A (x; y ); nghắa l , vợi mỉi y 2 Y th… s A (x; y ) 6 s A (x; y ); 8x 2 X:
2 X ; x 2 2 X lƒn lữổt l mºt subgradient tũy t⁄i x 1
6 s A (x; y ) 6 s A (x 2 ; y ) + hx 2 ; x x 2 i ; 8x 2 X Tł bĐt flng thức n y suy ra Ănh x⁄ affine u : x ! hx 2 x 1 ; xi + s A (x 2 ; y ) + s A (x 1 ; y ) + hx 1 ; x 1 i h x 2 ; x 2 i l khổng Ơm trản X.
Suy ra, vợi mỉi x 2 X th… Ănh x⁄ lêm x ! s A (x; y ) ch¿ cõ mºt subgradient. Hỡn nœa, subgradient n y khổng phử thuºc v o x:
Định nghĩa hàm affine A: X → Y là một ánh xạ tuyến tính với miền A = X, trong đó A: Y → X thỏa mãn A(x; y) = s_A(0; y) + ⟨x; A(y)⟩ cho mọi x ∈ X và y ∈ Y Hơn nữa, từ phát biểu cuối cùng của mệnh đề 2.3, ta có thể khẳng định rằng với mọi y ∈ Y, ánh xạ y → ⟨x; y⟩ cũng được xác lập.
A (y )i l tuy‚n t‰nh Do õ, A : Y ! X l toĂn tò tuy‚n t‰nhỡn trà.
BƠy giớ x†t B : X ! Y l toĂn tò tuy‚n t‰nh liản hổp cıa A : Y ! X trong trữớng hổp hx; A (y )i = hBx; y i ; 8y 2 Y ; 8x 2 X:
QuĂ tr…nh tuy‚n t‰nh liản k‚t vợi Ănh x⁄ a trà affine
nh x⁄ a trà R : X ! bbc Y gồi l quĂ tr…nh tuy‚n t‰nh n‚u thọa hai i•u kiằn sau:
(i) R l Ănh x⁄ thuƒn nhĐt dữỡng, nghắa l :
(ii) R câ t‰nh cºng t‰nh:
Ta cõ dom R v gr R lƒn lữổt l nhœng nõn lỗi trong X; X Y: V…
0 2 dom R ( do 0 2 int(dom R) ) v x 2 dom R; 8x 2 dom R; 8 > 0 (do R( x) = R(x) 6= ?:) Suy ra dom R l nân trong X dom R lỗi v… 8x; y 2 dom R; 8t 2 (0; 1); th…
Suy ra tx + (1 t)y 2 dom R: Do õ dom R l nõn lỗi trong X:
Ta câ (0; 0) 2 gr A v (x; y) 2 gr R; 8(x; y) 2 gr A; 8 > 0 v…
8(x; y) 2 gr R ) y 2 R(x) ) y 2 R(x) = R( x); 8 > 0 ) (x; y) = ( x; y) 2 gr R Nản gr R l nõn trong X Y: gr R l lỗi v… vợi mồi (x; y); (u; v) 2 gr R; vợi mồi t 2 (0; 1) ta cõ ty + (1 t)v 2 tR(x) + (1 t)R(u) = R (tx + (1 t)u)
Hìn nœa, b§t k… qu¡ tr…nh tuy‚n t‰nh R : X ! bcc Y công •u l x⁄ a trà affine Th“t v“y, x†t x1; x2 2 dom R; 2 [0; 1]; ta câ
Cho R : Y ! X l mºt Ănh x⁄ liản hổp cıa quĂ tr…nh tuy‚n t‰nh
R : X ! Y: V… dom R l nõn lỗi nản theo mằnh • 2.3 ta cõ vợi mỉi x 2 dom R th… y ! hx; R (y )i l tuy‚n t‰nh dữợi.
Chú ỵ r‹ng 0 2 dom R v s R (0; y ) 0; 8y 2 Y : Do õ tł ành nghắa cıa Ănh x⁄ liản hổp ta cõ s R (x; y ) = s R (0; y ) + hx 0; R (y )i = hx; R (y )i
) hy; y i 6 hx; R (y )i ; 8y 2 R(x) V… v“y, vợi mỉi x 2 dom R ta cõ
Mằnh • 2.6 Cho A : X ! bcc Y l mºt Ănh x⁄ a trà affine Khi õ tỗn t⁄i mºt quĂ tr…nh tuy‚n t‰nh R : X ! bcc Y vợi dom R = 0 + (dom A) v
— Ơy 0 + (dom A) l nõn lêm cıa domA.
Chứng minh rằng cho A: Y ! X là ảnh x⁄ liên hợp của A Đặt dom R = 0 + (dom A) và R(x) = fy 2 Y : hy; y i 6 hx; A (y )ig Với x thuộc dom R, ta có nghĩa ảnh x⁄ thuộc trà R: X ! bcc Y Hiện nhiên R là quĂ trình nh tuyến tính với mọi x thuộc dom A; mọi h thuộc 0 + (dom A); và mọi y thuộc Y; ta có s A (x + h; y ) = s A (x; y ) + s R (h; y).
Mºt v i t‰nh ch§t kh¡c cıa ¡nh x⁄ a trà affine
Nh›c l⁄i, mºt Ănh x⁄ a trà affine F : X ! bcc Y ữổc gồi l lipsit trản t“p Q dom A n‚u tỗn t⁄i mºt sŁ thỹc L Q sao cho vợi mồi x 1 ; x 2 2 Q th…
F (x 1 ) F (x 2 ) + L Q kx 1 x 2 k B Y vợi B Y l quÊ cƒu ỡn và trong Y: L Q ữổc gồi l hằ sŁ lipsit cıa F trản Q:
Mằnh • 2.7 nh x⁄ a trà affine A : X ! bcc Y l lipsit trản mi•n hœu hiằu dom
Chứng minh GiÊ sò A : Y ! X l mºt Ănh x⁄ liản hổp cıa A: V… A l tuy‚n t
‰nh liản tửc nản tỗn t⁄i L 0 sao cho kA (y )k 6 kA k ky k = L ky k ; 8y 2 Y vợi L l hằ sŁ b† nhĐt.
Vợi mồi x 1 ; x 2 2 dom A; 8y 2 Y ; ta cõ sA(x1; y ) sA(x2; y )
0; A (y )i = hx1; A (y )i0; A (y )i = hx2; A (y )i suy ra js A (x 1 ; y ) s A (x 2 ; y )j = jhx 1 ; A (y )i h x 2 ; A (y )ij
Do â sA(x1; y ) 6 sA(x2; y ) + kA k kx1 x2k ky k ; 8x1; x2 2 dom A; 8y 2 Y
M°t kh¡c, h m tüa cıa qu£ cƒu B Y = fy 2 Y :k y k= 1g l s B Y : Y ! R y s y max y; y i = max y; y i ky k
Nản max hy; y i 6 max hy; y i + kA x x
V“y A l lipsit trản dom A vợi hằ sŁ lipsit l
Mằnh • 2.8 nh x⁄ a trà A : X ! bcc Y l liản tửc theo nghắa Hausdorff trản dom A:
Chứng minh Sò dửng flng thức d A x ; A x
Do â d H (A(x 1 ); A(x 2 )) 6 kA k kx 1 x 2 kV“y A l liản tửc theo nghắa Hausdorff trản dom A:
nh x⁄ a trà affine khổng mð rºng ữổc
Chúng ta có thể nói rằng, ảnh xạ trà A: X → Y là khổng thừa mờ rộng nếu không có affine mờ rộng nào khác A Một kết quả được suy ra trực tiếp từ nhận xét 2.2 là miền hẹp hiếu của bất cứ ảnh xạ trà affine nào không thể mờ rộng ra ngoài các phần trong l khẳng định.
Mằnh • 2.9 Vợi bĐt k… Ănh x⁄ a trà affine A : X ! bcc Y vợi int(dom A) 6? th… tỗn t⁄i duy nhĐt mºt mð rºng affine khổng mð rºng ữổc cıa A:
Chứng minh Cho A : Y ! X l mºt Ănh x⁄ liản hổp cıaA: CŁ ành i”m x 0 2 int(dom A) v x†t s^ A : X Y ! R ành bði x; y s x; y s x 0 ; y x x 0 ; A y
Tł ành nghắa cıa A ; vợi mỉi y 2 Y th… Ănh x⁄ s^A(:; y ) :
X ữổc x¡c ành duy nh§t bði mºt mð rºng affine cıa ¡nh x⁄ s A (:; y ) : dom A ! R ‚n to n bº khổng gian X:
Sò dửng mằnh • 2.3, vợi mỉi x 2 X th… Ănh x⁄ s^ A (x; :) : Y ! R l hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi, do õ nõ l Ănh x⁄ thuƒn nhĐt dữỡng v liản tửc ^
X†t ¡nh x⁄ a trà A : X ! bcc Y sao cho g dom A^ = f x
^ ^ v giĂ trà cıa A t⁄i mỉi x 2 dom A ữổc ành bði
Ki”m tra A l mð rºng affine cıa A
(dom A dom A v dom A = dom A; 8x 2 dom A:)
Vợi mồi x 2 dom A th… Ănh x⁄ s A (:; y ) : dom A ! R mð rºng ‚n s^ (:; y ) : X ! R m s^ (:; y ) : X ! R l tuy‚n t‰nh dữợi, do õ x 2 dom A: ^
Tł ành nghắa cıa A(x) ta cõ s A (x; y ) = max h y; y i
) max hy; y i = max hy; y i ; 8x 2 dom A; 8y 2 Y y 2 A b (x) y2A(x)
Ta chứng minh A l mºt Ănh x⁄ a trà affine khổng th” mð rºng ữổc.
X†t B : X ! bcc Y l mºt mð rºng affine cıa A: ^
Chó þ r‹ng B công l mºt mð rºng affine cıa A: Do â
V… vợi mỉi y 2 Y mð rºng affine ‚n to th… ¡nh x⁄ s A (:; y ) : dom A ! R câ duy nh§t mºt n bº khổng gian X nản s x; y s x; y ;
Suy ra, dom B dom A v Ănh x⁄ a trà affine A : X ! bcc Y l khổng mð rºng ữổc.
Trong chứng minh của mành, chúng ta đã chỉ ra tính chất ngẫu nhiên giữa tập hợp các ảnh x⁄ a trà affine từ X vào Y Điều này khẳng định rằng tập hợp các ảnh x⁄ s(:; :) từ X đến Y thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(b) Vợi mỉi x 2 X; Ănh x⁄ s(x; :) : Y ! R l hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi trản Y*.
(c) T“p fx 2 Xjs(x; :) : Y ! Rg l tuy‚n t‰nh dữợi cõ phƒn trong khĂc rỉng.
Nh“n x†t 2.4 Cho A 1 : X ! bcc Y v A 2 : X ! bcc Y l nhœng ¡nh x⁄ a trà affine khổng mð rºng ữổc N‚u tỗn t⁄i mºt t“p mð U dom A 1 \dom A 2 sao cho A 1 (x) = A 2 (x); 8x 2 U th… A 1 (x) = A 2 (x); 8x 2 X ho°c, t÷ìng ÷ìng, gr
Mằnh • 2.10 Vợi mỉi Ănh x⁄ a trà affine A : X ! bcc Y khổng mð rºng ữổc th… mi•n hœu hiằu dom A l mºt t“p õng trong X:
Chứng minh X†t x 2 cl(dom A) ; x 0 2 int(dom A):
V… dom A l t“p lỗi nản int(dom A) l t“p lỗi.
Do mỉi x 2 dom A th… y ! s A (x; y ) l cºng t‰nh dữợi nản s x ; y y s x ; y s x ; y ;
Vợi s^ A (:; y ) : X ! R l affine mð rºng cıa Ănh x⁄ s A (:; y ) : dom A ! R
‚n to n bº khổng gian X: V… vợi mỉi y 2 Y ; Ănh x⁄ s^ A (:; y ) : X ! R l affine, v do õ liản tửc, nản khi t ti‚n v• 1 ta ữổc x t := tx + (1 t)x ! x ) s^ A (x t ; y ) ! s^ A (x; y )
Do â s^ A (x; y 1 + y 2 ) 6 s^ A (x; y 1 ) + s^ A (x; y 2 ) V… t‰nh khổng th” mð rºng ữổc cıa A nản bĐt flng thức cuŁi úng vợi x 2 dom A: V… th‚ cl(dom A) dom A: V“y dom A âng
Mằnh • 2.11 Mỉi Ănh x⁄ a trà affine A : X ! bcc Y vợi mºt mi•n hœu hiằu õng dom A l Ănh x⁄ õng °c biằt, mºt Ănh x⁄ a trà affine khổng mð rºng ữổc l âng.
Chứng minh rằng đồ thị của ánh xạ affine A: X → Y có thể được biểu diễn dưới dạng sau: Gr A = { (x, y) ∈ dom A × Y | y = A(x), x ∈ dom A } Điều này chỉ ra rằng khi dom A là tập hợp các điểm, đồ thị Gr A là giao của nhiều tập hợp Như vậy, ánh xạ affine không thể rộng hơn đồ thị (điều này được suy ra từ định lý 2.10).
Sü kh£ vi Fr†chet
ành nghắa, t‰nh chĐt cỡ bÊn
Không gian vector ảnh chuẩn có chiều hướng trên mặt phẳng R và F: X → bcc Y là một ánh xạ từ X đến Y với điều kiện int(dom F) ≠ ∅ Định nghĩa 3.1 cho biết ánh xạ F: X → bcc Y là khối vi Fréchet tại điểm x₀ ∈ int(dom F) nếu tồn tại một ánh xạ affine A(x₀ | :) : X → bcc Y sao cho x₀ ∈ int(dom A(x₀ | :) và lim d.
H F (x 0 + h); A(x 0 jh) = 0 h!0 khk vợi d H (:; :) l metric Hausdorff trản bccY:
Ràng buộc A(x₀ | j₀) = F(x₀) cho thấy rằng không có một tính toán tổng quát nào có thể xác định ảnh hưởng của affine A(x₀ | j:) mà không có sự đồng nhất Trong trường hợp này, ảnh x₀ là duy nhất và được xác định bởi giới hạn d.
A(x 0 jh) F (x 0 + h) + " khk B Y GiÊ sò A 1 (x 0 j:) : X ! bcc Y ; A 2 (x 0 j:) : X ! bcc Y l hai Ănh x⁄ a trà affine khổng th” mð rºng ữổc, thọa ành nghắa 3.1.
V… t‰nh Łi ngÔu Minkowski nản nhœng bao h m thức cuŁi tữỡng ữỡng vợi bĐt flng thức sau
0 sA 1 x 0 ; h; y sA 2 x 0 ; h; y 6 " khk ky k ; vợi s A i (x ;:;:): (h; y ) max y; y i l h m tüa cıa ¡nh x⁄ a trà
A i (x 0 j:) V… s A i (x 0 ; :; y ) : X ! Y; i = 1; 2 l nhœng ¡nh x⁄ affine v " > 0 tũy ỵ nản suy ra s A 1 x 0 ; h; y = s A 2 x 0 ; h; y ; 8h 2 dom A 1 \ dom A 2 ; 8y 2 Y Do â
Suy ra A 1 (x 0 j:) = A 2 (x 0 j:) trong mºt l¥n c“n cıa Theo nh“n x†t 2.4 ta ữổc A 1 (x 0 j:) = A 2 (x 0 j:) trản X.
Nếu có duy nhất ánh xạ trà affine A(x₀ | j) : X → bcc Y, không thể mở rộng được mà vẫn thỏa mãn nghĩa 3.1, thì ánh xạ gồi l xấp xỉ khê vi Fréchet của ánh xạ trà F : X → bcc Y tại điểm x₀ và ký hiệu là DF(x₀ | j).
Tł mằnh • 2.1, ph†p xĐp x¿ khÊ vi Fr†chet DF (x 0 j:) cıa Ănh x⁄ a trà F :
X ! bcc Y l ¡nh x⁄ affine ìn trà khi F l kh£ vi Fr†chet t⁄i mºt i”m x 0 2 int(dom
Để hiểu rõ hơn về tính khả vi Fréchet của ánh xạ F: X → Y, chúng ta cần xem xét các điều kiện cần thiết cho tính khả vi này Cụ thể, nếu F(x₀) = f(y₀) g(x - c), ta nhận thấy rằng tính khả vi Fréchet của ánh xạ F tại điểm x₀ phụ thuộc vào cách mà các biến đổi trong không gian X ảnh hưởng đến không gian Y Việc phân tích tính khả vi này giúp chúng ta xác định các điều kiện để ánh xạ F có thể được coi là khả vi trong ngữ cảnh toán học cụ thể.
DF (x 0 jh) = F (x 0 ) + F 0 (x 0 )h ; h 2 X vợi DF (x 0 j:) lxĐp x¿ khÊ vi Fr†chet cıa F t⁄i x 0 v F 0 (x 0 ) : X ! Y l ⁄o h m
Fr†chet theo nghắa cŒ i”n cıa F t⁄i x 0 :
Bài viết này trình bày về việc xác định tính khả vi Fréchet của hàm f: X → Y tại điểm x₀, trong đó X và Y là các không gian toán học Hàm f được coi là khả vi Fréchet tại x₀ nếu tồn tại một hàm số f₀ liên tục, cho phép chúng ta viết f(x) gần x₀ dưới dạng một biểu thức tuyến tính cộng với một phần dư Cụ thể, nếu có một hằng số M, ta có thể diễn tả f(h; y) trong không gian X × Y với các điều kiện nhất định, từ đó xác định được đạo hàm của f tại x₀.
— Ơy f 0 (x 0 ) : X ! Y l ⁄o h m Fr†chet theo nghắa cŒ i”n cıa f t⁄i x 0 :
X†t Y vợi quan hằ thứ tỹ " " nhữ sau y 1 6 y 2 , y 2 y 1 2 C Trong õ C l nõn õng lỗi vợi intC 6= ? v C \ ( C) = 0:
X†t [y 1 ; y 2 ] := fy 2 Y : y 1 6 y 6 y 2 g l mºt t“p con lỗi compact trong Y:
Khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt chúng ta cõ th” giÊ sò B Y = [ e; e] vợi e thuºc intC:
X†t t“p mð X v f 1 : ! Y ; f 2 : ! Y l nhœng Ănh x⁄ ỡn trà thọa mÂn f 2 (x 0 ) f 1 (x 0 ) 2 int C; vợi i”m x 0 2 :
X†t Ănh x⁄ a trà F : X ! bcc Y ữổc xĂc ành bði gr F := f(x; y) 2 X Y : x 2 ; f1(x) 6 y 6 f2(x)g l kh£ vi Fr†chet t⁄i x 0 2 : n‚u v ch¿ n‚u ¡nh x⁄ ìn trà f 1 ; f 2 l kh£ vi
Fr†chet theo nghắa cŒ i”n t⁄i x 0 : XĐp x¿ khÊ vi Fr†chet cıa F cõ th” ữổc x¡c ành bði gr DF (x 0 j:) := f(h; y) 2 X Y : h 2 X; f 1 (x 0 ) + f 0 1 (x 0 )h 6 y 6 f 2 (x 0 ) + f 0 2 (x 0 )hg
Trong õ, f 0 1(x 0 ) : X ! Y; f 0 2 (x 0 ) : X ! Y lƒn lữổt l ⁄o h m Fr†chet theo nghắa cŒ i”n cıa f ; f
2 t⁄i x 0 : 1 ành lþ 3.1 N‚u mºt ¡nh x⁄ a trà F : X ! bcc Y kh£ vi Fr†chet t⁄i x 0 2 int(dom F ) th… F liản tửc Haudorff t⁄i i”m x 0 :
V… F : X ! bcc Y khÊ vi Fr†chet t⁄i x 0 2 int(dom F ) nản tỗn t⁄i > 0 sao cho BX dom DF (x 0 j:) \ dom F v d H F (x 0 + h); DF (x 0 jh) 6 " khk ; 8h 2 B X :
V… Ănh x⁄ a trà affine l Lipsit trản mi•n hœu hiằu nản DF (x 0 j:) : X ! Y l lipsit trản dom DF (x 0 j:):
Do õ tỗn t⁄i L > 0 sao cho vợi mồi h 2 dom DF (x 0 j:) ta cõ
DF (x 0 j0) DF (x 0 jh) + L khk B Y Suy ra d H DF (x 0 jh); DF (x 0 j0) 6 L khk ; 8h 2 dom DF (x 0 j:) V… DF (x 0 j0) = F (x 0 ) nản d H F (x 0 + h); F (x 0 ) = d H F (x 0 + h); DF (x 0 j0)
6 d H F (x 0 + h); DF (x 0 jh) + d H DF (x 0 jh); DF (x 0 j0)
Sü kh£ vi cıa ¡nh x⁄ v sü kh£ vi cıa h m tüa cıa nâ
Nghĩa của khái niệm Fréchet được định nghĩa qua hàm số F: X × Y → R, trong đó X là không gian đầu vào và Y là không gian đầu ra Đối với mỗi điểm x₀ trong miền xác định của F, hàm số này thể hiện sự thay đổi của F khi biến đổi x gần x₀ Đặc biệt, nếu tồn tại giới hạn của tỉ số gia tốc khi h tiến gần về 0, thì ta có thể nói rằng F có đạo hàm Fréchet tại điểm x₀.
Để hiểu rõ về hàm số F: X → Y và các yêu cầu liên quan đến giá trị tại x₀ ∈ int(dom F), ta cần xác định hình ảnh s₀ F(x₀; :) của hàm số này Nếu s₀ F(x₀; y) ∈ X, thì hàm số F tại x₀ sẽ có hình ảnh ngược lại s₀ F(x₀; :) : Y → X, cho thấy rằng F là hàm thuần nhất định.
Chứng minh F l khÊ vi y‚u t⁄i x 0 2 int(dom F ); nản vợi mỉi " > 0 tỗn t⁄i Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh s 0 F(x 0 ; y ) 2 X thọa th; s 0 s F (x 0 + th; y ) s F (x 0 ; y ) F (x 0 ; y ) t!0 th lim k k = 0
Chồn k h k= 1; khi õ lim s F (x 0 + th; y ) sF (x 0 ; y ) h; s 0 F ( x 0 ; y = 0 t t!0 D ) E
Suy ra vợi mỉi h 2 X th… Ănh x⁄ y ! h; s 0 F (x 0 ; y ) l giợi h⁄n theo tłng i”m cıa c¡c ¡nh x⁄ thuƒn nh§t d÷ìng.
V v… th‚ y ! h; s 0 F(x 0 ; y ) công l ¡nh x⁄ thuƒn nh§t d÷ìng. ành nghắa 3.3 nh x⁄ a trà F : X ! bcc Y ữổc gồi l R khÊ vi t⁄i x 0 2 int(dom F ); n‚u thọa
6 " khk ky k i•u kiằn (ii) nghắa l giợi h⁄n trong ành nghắa 3.2 l •u vợi y 2 B Y : i•u n y h m ỵ r‹ng, bĐt cứ Ănh x⁄ a trà F : X ! bcc Y n o l R khÊ vi t⁄i x 0 2 int(dom F ); th… giợi h⁄n
Để hiểu rõ về hàm F: X → Y, chúng ta cần xem xét các giới hạn tại điểm x₀ Nếu F(x₀ + h; y) sắp xếp lại thành F(x₀; y) khi h tiến tới 0, điều này cho thấy rằng F có tính liên tục tại x₀ Hơn nữa, nếu x₀ thuộc vào miền nội của miền xác định của F, thì hàm F sẽ có giới hạn tại x₀ Điều này có nghĩa là F sẽ có giá trị ổn định khi h tiến đến 0, tạo điều kiện cho việc xác định tính liên tục và các tính chất khác của hàm số trong không gian R.
H(Y ) l kh£ vi Fr†chet theo nghắa cŒ i”n t⁄i x 0 : Hỡn nœa, ⁄o h m liản hổp s 0 F (x 0 ; :) : Y ! X cıa ¡nh x⁄ a trà F : X ! bcc Y v câ quan hằ vợi nhau bði flng thức
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá mối quan hệ giữa các hàm số và không gian vector Đặc biệt, chúng ta sẽ xem xét các tính chất của hàm F: X → bcc Y tại điểm x₀ thuộc int(dom F) Việc hiểu rõ về miền xác định của hàm số và các ảnh của nó là rất quan trọng trong việc phân tích dữ liệu và ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau Chúng ta cũng sẽ thảo luận về cách mà các hàm này có thể được biểu diễn và ứng dụng trong không gian vector, từ đó giúp nâng cao khả năng phân tích và xử lý thông tin.
DCH(Y ) l kh£ vi Fr†chet theo nghắa cŒ i”n cıa t⁄i x 0 : ành lþ 3.5 nh x⁄ a trà F : X ! bcc Y l kh£ vi t⁄i x 0 2 int(dom F ) n‚u v ch¿ n‚u F l R khÊ vi t⁄i x 0 v ⁄o h m liản hổp s 0 F(x 0 ; :) : Y !
X l Ănh x⁄ ữổc bi”u di„n dữợi d⁄ng hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi.
Chứng minh F : X ! bcc Y l khÊ vi t⁄i x 0 2 int(dom F )
, ~ ! 0 F : dom F DCH(Y ) l khÊ vi Fr†chet theo nghắa cŒ i”n cıa t⁄i x
, ~ ! 0 F : dom F H(Y ) l khÊ vi Fr†chet theo nghắa cŒ i”n cıa t⁄i x
Hàm F: X → bcc Y là khái niệm quan trọng trong toán học, liên quan đến tính khả vi Fréchet tại điểm x₀ Đặc biệt, tính khả vi Fréchet của hàm F tại x₀ có thể được xác định thông qua các đặc điểm của không gian miền của F Nếu miền của F là R và điểm x₀ thuộc miền này, thì tính khả vi Fréchet tại x₀ có thể được mô tả bằng các yếu tố cụ thể trong bức tranh tổng quát.
D E y ! s F (x 0 ; y ) + h; s 0 F (x 0 ; y ) l tuy‚n t‰nh dữợi vợi mồi h thuºc trong lƠn c“n cıa 0:
MŁi quan hằ giœa xĐp x¿ khÊ vi Fr†chet DF (x 0 j:) : X ! bcc Y cıa F t⁄i x 0 v ⁄o h m liản hổp s 0 F (x 0 ; :) : Y ! X l
— Ơy (DF ) (x 0 ; :) : Y ! X l ⁄o h m liản hổp cıa Ănh x⁄ a trà affine DF
Chứng minh )) GiÊ sò Ănh x⁄ a trà F : X ! bcc Y l khÊ vi Fr†chet t⁄i x 0 2 int(dom F ) v DF (x 0 j:) : X ! bcc Y l x§p x¿ kh£ vi Fr†chet cıa F t⁄i x 0 : Sò dửng flng thức d F (x 0 + h ; DF (x 0 h max s (x 0 + h; y ) s (x 0 ; h; y )
H ) j ) = ky k61 F DF v h m tüa s DF (x 0 ; :; :) cıa câ d⁄ng s DF (x 0 0 ; h; y ) = s DF (x 0 ; 0; y ) + h; (DF ) (x 0 ; y ) vợi h 2 dom DF (x j:); y 2 Y : Ta cõ lim max js F (x 0 + h; y ) s F (x 0 ; y ) h; (DF ) (x 0 ; y ) j
Suy ra F l R khÊ vi t⁄i x 0 vợi (DF ) (x 0 ; :) : Y ! X l ⁄o h m liản hổp cıa Ănh x⁄ a trà affine F t⁄i x 0 : Ngo i ra ta cõ
Do â y ! s F (x 0 ; y ) + D h; s 0 F (x 0 ; y )E l h m tüa cıa ¡nh x⁄ a trà affine
DF (x 0 j:) : X ! bcc Y vợi 0 2 int(dom DF (x 0 j:)): h; s 0
V… v“y, y ! s F (x 0 ; y ) + F (x 0 ; y ) l tuy‚n t‰nh dữợi vợi mồi h thuºc trong l¥n c“n cıa 0: vi t⁄i x 0 ¡nh x⁄ y !
() GiÊ sò F l R khÊ 2 int(dom F ) v s F (x 0 ; y ) + h; s 0 (x 0 ; y ) l tuy‚n t‰nh dữợi vợi mồi h thuºc trong lƠn c“n cıa 0: Khi â F ¡nh x⁄
(h; y ) ! s F (x 0 ; y ) + h; s 0 F (x 0 ; y ) l mð rºng affine cıa h m tỹa cıa Ănh x⁄ a trà affine khổng th” mð rºng ữổc A(x 0 ; :) : X ! bcc Y thọa ành nghắa 3.1 v flng thức
Nh“n x†t 3.1 GiÊ sò Ănh x⁄ y ! sF(x 0 ; y )+ h; s 0 F(x 0 ; y ) l tuy‚n t‰nh hổp s 0 x 0 ; : dữợi vợi mồi h thuºc trong lƠn c“n cıa 0 th… ⁄o h m liản F ( ) :
Y ! X l Ănh x⁄ ữổc bi”u di„n dữợi d⁄ng hiằu cıa hai Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh dữợi Khi õ ành lỵ 3.6 cõ th” ữổc phĂt bi”u nhữ sau: Ănh x⁄ a trà
F : X ! bcc Y l kh£ vi Fr†chet t⁄i x 0 2 int(dom F ) n‚u v ch¿ n‚u F l kh£ vi t⁄i x 0 v ¡nh x⁄ y ! sF (x 0 ; y ) + h; s 0 F(x 0 ; y ) l tuy‚n t‰nh dữợi vợi mồi h thuºc trong lƠn c“n cıa 0.
Lu“n vôn  tr…nh b y tữỡng Łi chi ti‚t v• Ănh x⁄ a trà affine, nhœng °c trững v• sỹ khÊ vi Fr†chet cıa Ănh x⁄ a trà thổng qua t‰nh khÊ vi cıa h m tüa.
Lu“n vôn cõ th” dũng l m t i liằu tham khÊo cho cĂc hồc viản cao hồc khi hồc mổn Ph†p t‰nh vi phƠn, GiÊi t‰ch phi tuy‚n,
Việc thực hiện luôn vốn, học viên A hiểu sâu hơn các kiến thức A học trong chương trình Thạc sĩ, biết vận dụng chúng trong học tập và nghiên cứu các lĩnh vực mới và làm quen với nghiên cứu khoa học.