Lý thuyết ước lượng trạng thái các hệ điều khiển
Trong lý thuyết điều khiển, một bộ quan sát trạng thái là một hệ động lực phản ánh dáng điệu của một hệ thống vật lý, nó được thiết kế dựa trên các thông tin đo được của đầu vào và đầu ra của hệ để cung cấp một ước lượng của các trạng thái bên trong của hệ động lực đó Yêu cầu đầu tiên trong việc thiết kế một bộ quan sát trạng thái là trạng thái của bộ quan sát phải hội tụ tới giá trị thực tế của các trạng thái hệ thống Yêu cầu tiếp theo đó là đưa ra các điều kiện để tồn tại bộ quan sát trạng thái. Một số ứng dụng trực tiếp của bài toán quan sát trạng thái bao gồm: sử dụng thông tin trạng thái do ước lượng được để thiết kế điều khiển cho hệ động lực đang xem xét; sử dụng thông tin ước lượng để giải quyết bài toán phát hiện, cô lập và ước lượng các lỗi đường truyền cũng như lỗi cảm biến.
Từ những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự phát triển của bài toán điều khiển thì bài toán quan sát trạng thái cũng được bắt đầu nghiên cứu Trên thực tế, không phải lúc nào ta cũng ước lượng được toàn bộ vectơ trạng thái của hệ điều khiển Mặt khác, nếu ta có thể ước lược được tất cả các thành phần của vectơ trạng thái thì đôi khi ta cũng không sử dụng toàn bộ thông tin ước lượng được Bởi vì khi sử dụng toàn bộ thông tin trạng thái ước lượng thì bậc của bộ quan sát sẽ cao hơn dẫn đến độ phức tạp sẽ tăng lên, các thiết bị tương ứng đi kèm theo phải nhiều hơn, do đó chi phí vận
5 hành sẽ tăng lên Để giảm chi phí, độ phức tạp khi vận hành, ta chỉ cần ước lượng một số thành phần cần thiết của trạng thái mà thôi Tổng quát cho vấn đề này là chỉ cần ước lượng một hàm của biến trạng thái Vì tính ứng dụng hữu hiệu cho nhiều bài toán điều khiển thực tế, nên hướng nghiên cứu về thiết kế quan sát hàm trạng thái cho các hệ điều khiểu chịu tác động của trễ và nhiễu đã thu hút sự quan tâm sâu rộng của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước.
Trên thực tế có nhiều hệ thống mà có nhiều độ trễ xuất hiện ở biến trạng thái cũng như đầu ra Năm 2015, 2016, 2018, 2019, D.C Huong, H Trinh và V.T Huynh (Đại học Deakin, Úc) đã đề xuất một phương pháp mới để nhận được các phép chuyển đổi trạng thái cho một lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiều trễ trong biến trạng thái và thông tin đầu ra Các phép chuyển đổi này có thể được dùng để chuyển các hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ trên về các hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ (trễ trong biến trạng thái và thông tin đầu ra được chuyển về trễ trong thông tin đầu vào và thông tin đầu ra) Với các hệ mới này ta dễ dàng thiết kế được bộ quan sát dạng Luenberger Từ đó ta có thể ước lượng được toàn bộ các biến trạng thái không bị trễ hoặc toàn bộ các biến trạng thái với một độ trễ hoặc một số biến trạng thái không bị trễ và một số biến trạng thái bị trễ Phương pháp này bộc lộ nhiều ưu việt hơn phương pháp của M Hou, P Zitek và R.J Patton Các hệ dương là các hệ động lực mà trạng thái của chúng là không âm đối với bất kỳ điều kiện ban đầu không âm và bất kỳ đầu vào không âm Có rất nhiều hệ thống trong y học, sinh học, cơ học được mô tả bởi hệ dương Đã có nhiều kết quả về thiết kế các bộ quan sát trạng thái với bậc đầy đủ cho các hệ dương Tuy nhiên, chưa có nhiều kết quả về thiết kế bộ quan sát giảm bậc hay bộ quan sát hàm cho lớp các hệ dương Gần đây, năm
2017, H Trinh, D.C Huong, L.V Hien và S Nahavandi đã đề xuất bộ quan sát trạng thái dương cho một lớp hệ tuyến tính dương, có trễ Cũng vậy, các hệ ghép nối bao gồm nhiều hệ con kết nối với nhau thường được dùng để mô tả các hệ thống thực tế phức tạp như hệ thống điện, nước, các hệ có cấu trúc mạng, Trên thực tế cũng đã có một số kết quả về việc thiết kế bộ quan sát trạng thái để ước lượng trạng thái của các lớp hệ dạng này, chẳng hạn, năm 2018, H Trinh và D.C Huong đã thiết kế được bộ quan sát trạng thái cho một lớp hệ ghép nối dương Mặc dù đã có nhiều kết quả về bài toán thiết kế quan sát hàm trạng thái cho các lớp hệ phi tuyến nhưng đối với những hàm phi tuyến chỉ thỏa điều kiện Lipschitz một phía thì các kết quả hiện có không thể áp dụng được Để vượt qua khó khăn này, M.V Thuan, D.C Huong, N.H Sau và Q.T Hà, năm 2019, đã đề xuất phương pháp mới để thiết kế quan sát hàm trạng thái cho các hệ phi tuyến có nhiễu, trong đó hàm phi tuyến chỉ thỏa điều kiện Lipschitz một phía Trong thực tế, việc xác định chính xác thời gian trễ của một hệ thống là rất khó khăn Vì vậy, việc nghiên cứu lớp hệ có trễ biến thiên có ý nghĩa rất quan trọng trong lý thuyết và thực tiễn Năm 2017, D.C Huong và M.V Thuan đã đề xuất một phương pháp giải số để nhận được một phép biến đổi tọa độ, chuyển một lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên về một hệ mới mà độ trễ không xuất hiện trong biến trạng thái, rất thuận tiện cho việc thiết kế bộ quan sát trạng thái dạng Luenberger Ngày nay, các yêu cầu đối với hệ kỹ thuật (giảm độ phức tạp của thiết bị vận hành, hạ bậc điều khiển, chống được các hiện tượng hỏng hóc bất thường, vận hành được cho nhiều hệ thống, tăng độ ổn định của hệ thống, v.v.) ngày càng cao hơn Do đó, việc giải quyết bài toán quan sát hàm trạng thái và áp dụng vào bài toán phát hiện lỗi đường truyền không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn đem lại nhiều tiềm năng ứng dụng trong thực tế với hiệu quả cao và chi phí thấp Liên quan đến vấn đề này, năm 2014, D.C Huong, H Trinh, H.M Tran và T Fernando đã đề xuất một phương pháp mới để thiết kế bộ quan sát nhằm phát hiện lỗi đường truyền trong một lớp hệ động lực tuyến tính có trễ Năm 2013, H Trinh, T Fernando, K Emami, D.C Huong đã giải quyết bài toán phát hiện lỗi cho một số lớp hệ động lực bằng phương pháp thiết kế các bộ quan sát hàm bậc nhất.
Mặc dù đã có nhiều kết quả về bài toán ước lượng trạng thái cho các lớp hệ điều khiển, cho đến nay, các kết quả về bài toán thiết kế các bộ quan sát với sự hỗ trợ của các thuật toán học máy còn rất hạn chế, do đó bài toán này cần được quan tâm nghiên cứu, phát triển hơn nữa.
Học máy
Học máy (Mechine Learning - ML) là một lĩnh vực điều tra nhằm tìm hiểu và xây dựng các phương pháp học, tức là các phương pháp tận dụng dữ liệu để cải thiện hiệu suất trên một số nhiệm vụ Nó được xem như một phần của trí tuệ nhân tạo Các thuật toán học máy xây dựng một mô hình dựa trên dữ liệu mẫu, được gọi là dữ liệu đào tạo, để đưa ra dự đoán hoặc quyết định mà không được lập trình rõ ràng ML có nhiều ứng dụng chẳng hạn như nội suy, dự báo, phân lớp, phân cụm; nhận dạng chữ viết tay, nhận dạng ảnh; phát hiện cấu trúc, các yếu tố tác động, các quy luật; điều khiển thông minh; hỗ trợ ra quyết định; phân tích trong y khoa, nông nghiệp, khoa học xã hội, luật pháp, marketing, phân tích tài chính, v.v.
Theo định nghĩa của tác giả T.Metchell về machine learning như sau: Một chương trình máy tính được gọi là học để thực hiện một nhiệm vụ T từ kinh nghiệm E, nếu hiệu suất thực hiện công việc T của nó được đo bởi chỉ số hiệu suất P và được cải thiện bởi kinh nghiệm E theo thời gian Ví dụ: Một cỗ máy thực hiện chơi cờ (nhiệm vụ T), có thể học từ dữ liệu các ván cờ trước đó hoặc chơi với một chuyên gia (kinh nghiệm E) Khả năng chơi của cỗ máy là tỉ lệ số ván mà nó chiến thắng khi chơi với con người (hiệu suất P).
Tùy thuộc vào phương thức tiếp cận, ML được phân loại như sau:
(i) Học có giám sát (Supervised Learning): Xác định giá trị/nhãn cho dữ liệu mới dựa trên quy luật được phát hiện từ tính chất của tập dữ liệu Giám sát được thể hiện qua giá trị hoặc nhãn của dữ liệu mẫu Vì vậy, tập dữ liệu mẫu để học theo phương pháp này phải có giá trị đầu ra/nhãn đã được xác định trước Các bài toán hồi quy (Regresstion) và phân lớp (Classification) thuộc loại này.
(ii) Học không giám sát (Unsupervised Learning): Tập dữ liệu mẫu để học không có nhãn Học không giám sát kết luận những đối tượng có tính gần giống nhau để suy ra một kết luận, hỗ trợ quyết định, ngoài ra còn phát hiện cấu trúc của tập dữ liệu mẫu Bài toán phân cụm dữ liệu (Clustering) và tìm quy luật kết hợp (Association) thuộc loại này.
(iii) Học bán giám sát (Semisupervised Learning): Tập dữ liệu mẫu của bài toán này, một số có nhãn và một số không có nhãn Kết hợp hai phương thức học có giám sát và không có giám sát.
(iv) Học tăng cường (Reinforcement Learning): Học theo chuỗi các hành vi, từng bước để đạt được kết quả khi thực hiện hoàn tất chuỗi biến đổi Chẳng hạn mô hìnhMarkov ẩn Học tăng cường được ứng dụng trong các trò chơi, điều khiển tự động. Để thực hiện chuyển đổi từ input thành output mong muốn, chúng ta có thể sử dụng các mô hình khác nhau Machine learning có rất nhiều thuật toán khác nhau nhưng phổ biến nhất là các thuật toán như:
(i) Support Vector Machines (SVM): Một thuật toán cố gắng xây dựng một siêu mặt phẳng trong không gian nhiều chiều để phân biệt các đối tượng ở các lớp khác nhau, làm sao cho khoảng cách giữa hai đối tượng khác label gần nhau nhất có khoảng cách cực đại Ý tưởng của thuật toán cực kỳ đơn giản, nhưng mô hình này lại rất phức tạp và có hiệu quả Thực tế, ở một số bài toán, SVM là một mô hình machine learning cho hiệu quả tốt nhất.
(ii) Mô hình xác suất (Probabilistic Models): Các mô hình này cố gắng giải quyết bài toán bằng phân bố xác suất Một thuật toán phổ biến nhất là phân loại Naive Bayes; nó sử dụng lý thuyết Bayes và giả thiết các đặc trưng là độc lập Điểm mạnh của mô hình xác suất là đơn giản nhưng hiệu quả Đầu ra của nó không chỉ là label mà còn đi kèm xác suất thể hiện độ chính xác cho kết quả đó.
(iii) Học sâu (Deep learning): Hiện đang là xu hướng trong machine learning dựa trên các mô hình mạng nơ-ron nhân tạo (Artificial Neural Networks) Mạng nơ-ron có cách tiếp cận kết nối và sử dụng ý tưởng theo cách bộ não con người làm việc. Chúng bao gồm số lượng lớn các nơ-ron liên kết với nhau; được tổ chức thành các lớp (layers) Học sâu liên tục được phát triển với các cấu trúc mới sâu hơn; nó không chỉ cố gắng học mà còn xây dựng các cấu trúc biểu diễn các đặc trưng quan trọng một cách tự động.
Có nhiều loại mạng nơ-ron, với các cấu trúc phù hợp với các loại nhiệm vụ khác nhau.
(i) Mạng nơ-ron cổ điển là mạng kết nối đầy đủ, thường được xác định bằng các perceptron đa lớp (Perceptron là một thuật toán đơn giản, cho phép tìm một ranh giới siêu phẳng cho các bài toán phân lớp nhị phân) Mạng nơ-ron cổ điển được thiết kế bởi Fran Rosenblatt vào năm 1958, chủ yếu được sử dụng cho các bài toán phân lớp nhị phân Có ba loại hàm thường được sử dụng trong mô hình này là: hàm tuyến tính; hàm phi tuyến: gồm có hàm sigmoid, hàm tanh và hàmReLU (Rectified Linear Unit) Kiến trúc mạng nơ-ron cổ điển tương đối đơn giản, phù hợp nhất với các bộ dữ liệu có dạng bảng hoặc những bài toán phân loại, hồi quy có đầu vào là giá trị thực.
(ii) Generative Adversarial Networks (GAN) là lớp mô hình có mục tiêu tạo ra dữ liệu giả giống với thật, tên của mạng được dựa trên kiến trúc gồm hai mạng có mục tiêu đối nghịch nhau: Generator và Discriminator Trong đó, Generator học cách sinh dữ liệu giả để lừa mô hình Discriminator, còn Discriminator lại học cách phân biệt giữa dữ liệu giả và dữ liệu thật Thông qua quá trình huấn luyện thì cả hai mô hình này đều cùng cải thiện được khả năng của mình Một số ứng dụng phổ biến của GAN là: tạo khuôn mặt người, thay đổi độ tuổi khuôn mặt, sinh ảnh vật thể, tạo nhân vật hoạt hình, .
(iii) Mạng nơ-ron tích chập (Convolutional Neural Network – CNN) là một kiến trúc mạng nơ-ron nhân tạo nâng cao, được xây dựng để giải quyết các bài toán phức tạp, đặc biệt là liên quan đến xử lý hình ảnh Tích chập là một khái niệm trong xử lý tín hiệu số nhằm biến đổi thông tin đầu vào qua một phép tích chập với bộ lọc, nhằm trả về đầu ra là một tín hiệu mới Tín hiệu này sẽ giảm bớt những đặc trưng mà bộ lọc không quan tâm, giữ lại những đặc trưng chính và quan trọng nhất Bên cạnh input layer và output layer, mô hình CNN còn có thêm một sampling layer để giới hạn số lượng nơ-ron tham gia vào các layer tương ứng Dựa vào những đặc điểm của mình, các ứng dụng phổ biến nhất của mạng CNN gồm có: nhận diện, phân tích và phân khúc hình ảnh, phân tích video, xử lý ngôn ngữ tự nhiên, .
(iv) Mạng nơ-ron hồi quy (Recurrent Neural Network - RNN): là một thuật toán nổi tiếng Trong các mô hình mạng nơ-ron truyền thống, đầu vào và đầu ra độc lập với nhau, tuy nhiên RNN thực hiện cùng một tác vụ cho tất cả phần tử của một chuỗi với đầu ra phụ thuộc vào cả các phép tính trước đó Vì vậy, mạng RNN có khả năng nhớ các thông tin được tính toán trước đó.
Các thuật toán ML này sử dụng các mô hình, kỹ thuật khác nhau để thực hiện quá trình học tập và thể hiện kiến thức về những gì nó được học Mọi thuật toán ML đều cố gắng đưa ra những giả thiết đơn giản nhất mà có thể đúng với hầu hết các mẫu trong tập dữ liệu huấn luyện. Để xem xét vấn đề chuyển đổi trạng thái kích hoạt sự kiện với sự hỗ trợ của học máy cho các hệ thống phi tuyến chịu nhiễu bên ngoài trong trạng thái và vectơ đầu ra; đầu tiên, phát triển một thuật toán mạng nơ-ron hồi quy (RNN) để dự đoán các hệ thống phi tuyến Thứ hai, thiết kế một cơ chế kích hoạt sự kiện theo thời gian rời rạc và một trình quan sát trạng thái dựa trên cơ chế này cho mô hình RNN Bộ quan sát trạng thái kích hoạt sự kiện theo thời gian rời rạc này làm giảm đáng kể việc sử dụng tài nguyên truyền thông Thứ ba, thiết lập một điều kiện đủ để đảm bảo rằng bộ quan sát trạng thái có thể ước tính một cách mạnh mẽ vectơ trạng thái của mạng nơ-ron hồi quy Cuối cùng, cung cấp một ví dụ minh họa để xác minh giá trị của phương pháp được đề xuất.
Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, thông tin về vectơ trạng thái của hệ thống động lực thường được yêu cầu cho thiết kế điều khiển khi phát hiện lỗi Tuy nhiên, vì lý do kỹ thuật hoặc kinh tế, các vectơ trạng thái thực của hệ thống không có sẵn Do đó, ước lượng trạng thái động học trở thành một ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, từ kỹ thuật điều khiển robot, theo dõi và điều hướng Có nhiều cách tiếp cận trong tài liệu liên quan đến việc thiết kế các quan sát trạng thái cho mục đích xác định thời gian trạng thái Cần lưu ý rằng tất cả các quan sát trạng thái được thiết kế dựa trên các sơ đồ kích hoạt thời gian, tức là, các thiết kế quan sát yêu cầu dữ liệu hệ thống cho mỗi thời điểm lấy mẫu, điều này có thể dẫn đến sự lãng phí tài nguyên truyền thông trong ứng dụng thực tế Để khắc phục nhược điểm này, một số trạng thái kích hoạt sự kiện các quan sát đã được đề xuất để duy trì hiệu suất mong muốn trong khi giảm việc sử dụng các nguồn thông tin liên lạc Cụ thể, một bộ quan sát trạng thái mở rộng do sự kiện kích hoạt đã được đề xuất cho các hệ thống phi tuyến có nhiễu,trong đó các chức năng phi tuyến liên tục có thể phân biệt được, trong khi bộ quan sát trạng thái mạnh mẽ dựa trên cơ chế kích hoạt sự kiện động liên tục đã được xây dựng cho một loại hệ thống phi tuyến trong đó hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz một phía và điều kiện giới hạn bên trong bậc hai Lưu ý rằng các hàm phi tuyến được xây dựng có một số hạn chế, do đó các bộ quan sát trạng thái kích hoạt sự kiện trong các tham chiếu này không thể áp dụng cho các hệ thống phi tuyến nói chung Hơn nữa, vì cơ chế kích hoạt sự kiện động phụ thuộc vào giám sát điều kiện do sự kiện điều khiển, nó có thể gây ra yêu cầu nghiêm ngặt Mặt khác, trong những năm gần đây, học máy đã thu hút rất nhiều sự chú ý nghiên cứu do sự gia tăng các ứng dụng của nó trong nhiều hồ sơ như điều khiển chịu lỗi, điều khiển thời gian thực an ninh mạng và các vấn đề tối ưu hóa với sự phát triển nhanh chóng của các tài nguyên tính toán, các kỹ thuật học máy đã được sử dụng rộng rãi để giải quyết các vấn đề quan trọng như phân loại và hồi quy RNN thuộc về kỹ thuật học máy đã nhận được sự quan tâm đáng kể trong những năm gần đây do những ưu điểm của chúng trong khả năng học tập, tính toán song song, tự động hóa công nghiệp và xấp xỉ hàm Các tác giả đã xem xét việc thiết kế các hệ thống điều khiển dự đoán mô hình cho các quá trình phi tuyến sử dụng một tập hợp các mô hình để dự đoán động lực học phi tuyến Đầu tiên, họ đã đào tạo mô hình RNN bằng cách sử dụng dữ liệu mô phỏng vòng mở rộng để nắm bắt động thái của quy trình trong một vùng hoạt động nhất định sao cho sai số mô hình hóa giữa mô hình RNN và mô hình quy trình phi tuyến thực tế là đủ nhỏ Sau đó, họ sử dụng mô hình RNN làm mô hình dự đoán để trạng thái vòng kín hội tụ đến điểm gốc Tuy nhiên, vấn đề nhiễu bên ngoài trong RNN cũng như việc thiết kế các quan sát trạng thái kích hoạt sự kiện theo thời gian rời rạc cho mô hình dự đoán RNN đã không xem xét.
Các kiến thức liên quan
Định nghĩa 1.3.1 Cho K là một trường, bảng gồmmn phần tửa ij ∈K(i= 1, m, j 1, n) được sắp xếp như sau:
được gọi là một ma trận kích thước m×n trên K Tập hợp các ma trận kích thước m×n trên K được kí hiệu là K m×n
Chú ý 1.3.1 Gọi ma trận được theo định nghĩa trên là A, khi đó:
+ a ij được gọi là phần tử ở cột thứj, dòng thứi của ma trận trên.
+ Vectơ cột thứ j của ma trận A được ký hiệu là A j
+ Vectơ dòng thứ icủa ma trận A được ký hiệu là A i
+ Khi đó ma trận A có thể được viết như sau
AA 1 A 2 ã ã ã A n hoặc ngắn gọn hơn làA = (a ij )∈Km×n.
+ Nếu m = n thì ta gọi A là một ma trận vuông cấp n Khi đó dãy các phần tử a 11 , a 22 , , a nn được gọi là đường chéo chính của A Một ma trận có các phần tử trên đường chéo chính bằng1 và các phần tử còn lại đều bằng0 được gọi là ma trận đơn vị, kí hiệu làI n hay đơn giản là I. Định nghĩa 1.3.2 Cho A ∈ R n×n là một ma trận đối xứng A được gọi là ma trận xác định dương nếu với mọi x ∈R n×1 thì P(x) = x T Ax >0 Tương tự A được gọi là ma trận xác định âm nếu với mọi x ∈ R n×1 thì P(x) = x T Ax 0, ∀x̸= 0. Định nghĩa 1.3.7 Một ma trậnA∈R n×n nửa xác định dương khi và chỉ khi⟨Ax, x⟩ x T Ax≥0, ∀x.
Bổ đề 1.3.1 (Bất đẳng thức tích phân [24]) Cho ma trận R > 0 và hàm khả vi v : [a, b]→R n Ta có bất đẳng thức sau đây:
Bổ đề 1.3.2 (Lồi nghịch đảo[25]) Cho một vô hướng δ∈[0,1], ma trận R >0, S và các vectơ x1, x2, ta có bất đẳng thức sau:
>0 (1.3.5) Định nghĩa 1.3.8 Cho α >0,[a;b]⊂R, định nghĩa tích phân bậc phân thứ Riemann- Liouville [26] cấp α của hàm v : [a;b]→R là
(t−s) α−1 v(s)ds, trong đú hàm Γ(ã) : (0; +∞)→R >0 cú biểu diễn Γ(s) : ∞
0 e −t t s−1 dt, s > 0. Định nghĩa 1.3.9 Đạo hàm phân thứ Caputo [26] cấp α của hàm v(t) được định nghĩa là
(t−τ) −α v(τ)dτ,˙ trong đó v˙ là đạo hàm cấp một của v và α∈(0; 1).
Bổ đề 1.3.3 [27] Cho λ, β là các hằng số và hai hàm số f(t), g(t) Khi đó
Bổ đề 1.3.4 [27] Giả sử f là hàm số liên tục Khi đó
Bổ đề 1.3.5 [28] Nếu 0< α 0và bất đẳng thức đường chéo (1.3.6) đúng nếu và chỉ nếu
≥0, trong đó [S 1 S 2 ] =SU Khi đó, S 2 = 0 khi và chỉ khi S(I−RR ‡ ) = 0 và
≥0 đúng khi và chỉ khi Q−SR ‡ S T ≥0.
Chương 2 Ước lượng trạng thái kích hoạt sự kiện cho một số lớp hệ điều khiển phi tuyến bậc nguyên
Xấp xỉ một số lớp hệ điều khiển phi tuyến bởi các recurrent neural network 17
Xét hệ phi tuyến có nhiễu sau đây: ˙ x(t) = F(x, u, ω) = f(x(t)) +g(x(t))u(t) +h(x(t))ω(t), (2.1.1) x(0) = x 0 , (2.1.2) y(t) = Cx(t), (2.1.3) trong đó t ≥0, x(t) ∈ R n là vectơ trạng thái, u(t) ∈ R m là vectơ đầu vào, y(t) ∈ R p là vectơ đầu ra, ω(t)∈ R ℓ là vectơ nhiễu, f ∈ R n×1 , g ∈ R n×m , h ∈ R n×ℓ là các hàm vectơ và hàm ma trận trơn, C ∈R p×n là ma trận hằng.
Ta cần các giả thiết sau đây:
(H 1 ) Hệ vectơ trạng thái x(t)có chuẩn bị chặn.
D là miền bị chặn, U ={u ∈ R m : u i ∈ [u min i , u max i ], i = 1,2, , m}, W ={ω ∈ R q :
||ω|| ≤ω}¯ và L x , ω¯ là các số dương.
17 Để xấp xỉ hệ phi tuyến (2.1.1), ta xét mô hình RNN như sau: ˙ z(t) = F rnn (z, u, ω) = Az(t) + Θ T y(t), t≥0, (2.1.4) z(0) = x 0 , (2.1.5) ˜ y(t) = Cz(t), (2.1.6) trong đó z(t)∈R n là vectơ trạng thái RNN, u(t)∈R m là vectơ đầu vào, y(t) =h y 1 (t) y 2 (t) y 3 (t) iT
, với σ(ã)là hàm kớch hoạt phi tuyến tớnh, A=diag{−a 1 ,−a 2 , ,−a n } và Θ = h θ 1 θ n i ∈ R (n+m+ℓ)×n (θ i = b i h w i1 w i(n+m+ℓ) iT
), a i > 0, b i là các hằng số, w ij là trọng số kết nối đầu vào thứ j với nơ-ron thứ i , i = 1, , n, j = 1, , n+m+ℓ là các ma trận cần tối ưu hóa trong quá trình huấn luyện. (H 3 ) Các số σ¯ i >0 với i= 1,2, , n thỏa mãn
Bây giờ, phát triển thuật toán RNN[30],[31] để tính được ma trận trọng số tối ưu (a ∗ i , θ i ∗ )sao cho vectơ trạng thái z(t) của RNN với nhiễu ω(t) (ω(t)̸= 0) có thể xấp xỉ được vectơ trạng thái x(t) của hệ phi tuyến(2.1.1) Để làm được điều này, trước tiên ta biểu thị từng trạng thái của hệ (2.1.1) bằng phương trình sau: ˙ x i (t) = −a ∗ i x i (t) +θ i ∗ y i (t) +ν i (t), (2.1.8) trong đó ν i (t) = F i (x, u, ω)−(F rnn ) i (z, u, ω), (2.1.9) với i= 1,2, , n.
Vectơ trọng số tối ưu (a ∗ i , θ i ∗ )được định nghĩa là
(a ∗ i , θ i ∗ ) = arg min a i ,θ i f(a i , θ i ;x, u, ω,y)¯ (2.1.10) trong đó f(a i , θ i ;x, u, ω,y) :=¯ nX N k=1
, (2.1.11) với [x] i là thành phần thứi của vectơxvà N là số lượng mẫu dữ liệu được sử dụng để huấn luyện. Để tăng tính tổng quát của mô hình, từ (2.1.10) ta có thể xét phương trình dưới đây:
(a ∗ i , θ ∗ i ) = arg min a i ,θ i f(a i , θ i ;x, u, ω,y) +¯ λR(a i , θ i ) (2.1.12) trong đó R(a, θ) có thể là ∥(a, θ)∥ 2 2 hoặc ∥(a, θ)∥ 1
Có thể thấyR(a, θ)≤c, c∈R thì bài toán (2.1.12) tương đương với
(a ∗ i , θ ∗ i ) = arg min a,θ f(a, θ;x, u, ω,y),¯ (2.1.13) Trong quá trình thực hiện, thiết lập
2∥X i W i −z i ∥ 2 (2.1.16) Đây là hồi quy tuyến tính bình phương nhỏ nhất mà ta có thể giải bằng thư viện học máy.
Giả sử mô hình RNN (2.1.4) và hệ phi tuyến (2.1.1) thỏa mãn sai số mô hình đủ nhỏ sau:
Kí hiệu e(t) =z(t)−x(t)∈R n , bổ đề sau đây cho ta giới hạn trên của e(t).
Bổ đề 2.1.1 Giả sử (H 2 ) và điều kiện (2.1.17) thỏa mãn Ta có bất đẳng thức:
Ước lượng trạng thái kích hoạt sự kiện cho các recurrent neural network 20
Thiết kế các bộ quan sát kích hoạt sự kiện
Biểu diễn hệ (2.1.4)-(2.1.6) thành dạng dưới đây: ˙ z(t) = Az(t) + Θ z σ(z(t)) + Θ u u(t) + Θ ω ω(t), t≥0, (2.2.1) z(0) = x 0 , (2.2.2) ˜ y(t) = Cz(t), (2.2.3) trong đó h Θ z Θ u Θ ω i
= Θ T Với mục đích làm giảm tần suất giải phóng dữ liệu càng nhiều càng tốt trong khi vẫn đảm bảo hiệu suất ước tính mong muốn, trong mục này, ta xét hệ ETM động như sau: t 0 = 0, t k+1 =t k +ℓ k h,
, (2.2.4) trong đó h là chu kì lấy mẫu, x(t) = z(t)−x(t),ˆ e x (t) = x(t k )−x(t k +ℓh), ℓ ∈ N, α∈(0,∞), Ξ>0, hàm γ(t) thỏa mãn điều kiện ˙ γ(t) = −ξγ(t)−e T x (t)Ξe x (t), (2.2.5) với ξ ∈(0,∞) và γ(0) = 0.
Nhận xét 2.2.1 ETM động trong phần này có thể mô tả như sau: Đầu tiên, cho t 0 = 0 Trong (2.2.4), vì α là một số dương và γ(t)≥0nên thời gian lấy mẫu tiếp theo t k+1 hoàn toàn được xác định.
Dựa vào ETM (2.2.4), ta thiết kế hàm quan sát trạng thái kích hoạt sự kiện để xấp xỉ vectơ trạng thái của RNN (2.2.1)-(2.2.3) như sau: ˙ˆ x(t) = Ax(t) + Θˆ z σ(ˆx(t)) + Θ u u(t) +L(˜y(t k )−Cx(tˆ k )), (2.2.6) với t ∈[t k , t k+1 ), x(t)ˆ ∈R n là xấp xỉ z(t), L là ma trận được thiết kế,{t k } k∈ N là thời gian kích hoạt được xác định như (2.2.4).
Gọi ν k , k ∈N là độ trễ do mạng gây ra (ν k ∈ [0, ν]) Khi đó, [t k +ν k , t k+1 +ν k+1 ) có thể biểu diễn là:
[tk+νk, tk+1+νk+1) =∪ s r=0 Ir, (2.2.7) trong đó Ir = [tk +rh+νk, tk + (r+ 1)h+νk) với r = 0,1,2, , t∗ −1 và It ∗ [t k +t∗h+ν k , t k+1 +ν k+1 ), t∗ = min s∈ N n
. Đặt σzˆ x(t) = σ(z(t))−σ(ˆx(t)), x(t) = z(t)−x(t),ˆ τ(t) = t−tk−rh, t ∈ Ir, ta được hệ sau: x(t) =˙ Ax(t) + Θ z σ zˆ x (t) + Θ ω ω(t)−LCx(t−τ(t))−LCe x (t), (2.2.8) x(s) = x(0), s∈[−h,0], (2.2.9) với t∈[t k +ν k , t k+1 +ν k+1 ).
Điều kiện tồn tại bộ quan sát trạng thái kích hoạt sự kiện
kiện Định lý dưới đây giúp ta tính được ma trận L và cực tiểu λ >0 sao cho
2 ([0,T ]), (2.2.10) với T >0, trong đó x(s) = 0, s∈[−h,0]. Định lý 2.2.1 Giả sử (H 3 ) và bất đẳng thứce ξηh < αξ+1đúng, trong đóξ, α∈(0,∞) và η là số nguyên nhỏ nhất để h ≤ t k+1 −t k ≤ ηh Cho α ∈ {0,1}, β > 0, bất đẳng thức (2.2.10)thỏa mãn nếu tồn tạiP >0, Q>0, R>0, Ξ>0, Z, X, ma trận không suy biến S, λ ω , δ∈(0,∞) sao cho hệ LMI dưới đây là khả thi: min(λ ω ) (2.2.11) với
Ma trận quan sát L được tính bằng công thức:
Chứng minh Đặt ˜e(t) =h x T (t) Rt t−hx T (s)ds iT và xét hàm Lyapunov:
Z t t+η x˙ T (s)Rx(s)dsdη.˙ (2.2.15) Đầu tiên, chứng minhγ(t)≥0với mọit >0 Thật vậy, với mọit∈[t k , t k+1 ), từ (2.2.4) suy ra
Kết hợp (2.2.5), (2.2.16) và (2.2.17) với giả thiết e ξηh < αξ+ 1, ta được d dtγ(t) ≥ −ξγ(t)− 1 αγ(t k )
! γ(t), (2.2.18) hay γ(t)≥0,∀t≥0 Do đó, V(t)≥0với mọi t >0.
Lấy đạo hàmV(t)theo t, ta được
Z t−τ(t) t−h x˙ T (s)Rx(s)ds,˙ (2.2.19) trong đó ζ(t) h ζ1(t) ζ2(t) ζ3(t) ζ4(t) ζ5(t) iT
Từ Bổ đề 1.3.1, ta có
Kí hiệu θ=θ(t) = τ(t) h , từ (2.2.21) và (2.2.22), ta có
Vì Φ>0, từ Bổ đề 1.3.2 suy ra
e x (t), (2.2.26) trong đó S là ma trận không suy biến vàX =SL.
Sử dụng giả thiết (H 3 ) và bất đẳng thức Cauchy [29], ta có
+δσ¯ 2 max x T (t)x(t) (2.2.27) Đặt λ ω =λ 2 Từ phương trình (2.2.21) đến (2.2.26), suy ra
Do đó, bất đẳng thức
V˙(t) +x T (t)x(t)−λ 2 ω T (t)ω(t)0và ∆(θ)0, thu được ETM (2.2.4).
Giai đoạn 3 (Thiết kế bộ quan sát trạng thái thời gian rời rạc):
Bước 1: Kiểm tra giả thiết ở Định lý 2.2.1.
Bước 2: Cho β > 0, giải (2.2.11)-(2.2.13), thu được P >0, Q >0, R >0, Ξ >0, X, ma trận không suy biến S, các vô hướng λ ω , δ, λ và ma trận quan sát L.
Bước 3: Thu được bộ quan sát có dạng (2.2.6).
Ví dụ
Với ví dụ này, kiểm tra giả thiết (H1) và (H2) thỏa mãn trênD={x∈R 4 ||xi| ≤35} với M = 1.2252.10 3 , L x = 8.3666.
Mô hình RNN có dạng (2.2.1)-(2.2.3) xấp xỉ hệ phi tuyến (2.1.1)-(2.1.3), trong đó
Hình 2.1: Biểu diễn của x 1 (t)và z 1 (t)
Hình 2.2: Biểu diễn của x 2 (t)và z 2 (t)
Hình 2.3: Biểu diễn của x 3 (t)và z 3 (t)
Hình 2.4: Biểu diễn của x 4 (t)và z 4 (t)
Hình 2.1-2.4 thể hiện phản hồi của x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t) và z 1 (t), z 2 (t), z 3 (t), z 4 (t) Rõ ràng, RNN có thể xấp xỉ bốn trạng thái của hệ phi tuyến chịu tác động của nhiễu chưa xác định ω(t). Áp dụng thuật toán cho ví dụ.
Với σ¯ 1 = ¯σ 2 = ¯σ 3 = ¯σ 4 = ¯σ max = 1, h = 0.05, α = 0.3, ξ = 0.4, η = 1 thì giả thiết trong Định lý 2.2.1 thỏa mãn.
Tiếp theo, cho α= 0.3, ξ= 0.4, γ(0) = 0, ta được hệ ETM (2.2.4). Ở bước 2 của giai đoạn 3, cho β = 2, ta được
Hình 2.5: Biểu diễn của z 1 (t) và xˆ 1 (t)
Hình 2.6: Biểu diễn của z2(t) và xˆ2(t)
Hình 2.7: Biểu diễn của z 3 (t) và xˆ 3 (t)
Hình 2.8: Biểu diễn của z 4 (t) và xˆ 4 (t)
Hình 2.9: Các thời điểm và khoảng thời gian kích hoạt của (2.2.4): t 0 = 0, t k+1 tk+ℓkh, ℓk = min n
Hình 2.5-2.8 thể hiện phản hồi của z(t) và xấp xỉ x(t) Hình 2.9 biểu diễn cácˆ khoảng thời gian của ETM (2.2.4).
Chương 3 Ước lượng trạng thái kích hoạt sự kiện cho một số lớp hệ điều khiển phi tuyến bậc phân thứ
Thiết kế các bộ quan sát kích hoạt sự kiện
Xét các phương trình hệ thống FONN như sau:
0D t α x(t) = −Ax(t) +W f(x(t)) +Bu(t) +Dω(t), t≥0, (3.1.1) x(0) = ϕ(0), (3.1.2) z(t) = Cx(t), (3.1.3) trong đó x(t) ∈ R n , u(t) ∈ R m , z(t) ∈ R p , ω(t) ∈ R ℓ lần lượt là vectơ trạng thái, vectơ đầu vào, vectơ đầu ra và vectơ nhiễu.f(x(t))
∈R n là hàm nơ-ron kích hoạt, A =diag{a 1 , a 2 , , a n } ∈R n×n là ma trận đường chéo dương, W ∈ R n×n là ma trận trọng số, B ∈ R n×m là ma trận đầu vào, ϕ(0) là điều kiện ban đầu.
,α∈(0,1] Hàm kích hoạt và nhiễu được giả định thỏa mãn
||ω(t)|| ≤ω,¯ ∀t≥0, (3.1.5) với ω¯ là số dương Đầu ra z(t) của hệ (3.1.1)-(3.1.3) được kích hoạt theo thời gian với khoảng thời gian lấy mẫu h > 0 trước khi nó được truyền đến bộ quan sát Đầu ra z(t)sau khi lấy mẫu được biểu diễn quaz(t k h) Từ đó, thiết kế một bộ quan sát trạng thái cho hệ (3.1.1)-(3.1.3) phi tuyến bậc phân thứ, đầu ra z(t k h) sẽ được truyền đến bộ quan sát khi thỏa mãn điều kiện kích hoạt.
Xột chuỗi thời gian truyền tức thời: {t k h} k∈ N (k ∈N, t 0 h = 0< t 1 h 0 sao cho x(s) = 0, s˜ ∈ [−h,0],
2 ([0,T ]) (3.2.1) Định lý 3.2.1 Giả sử điều kiện (3.1.4) và (3.1.5)thỏa mãn Với các số dương h >0,
0 < α < 1, 0 < σ < 1, bất đẳng thức (3.2.1) thỏa mãn với mức tối thiếu λ e z > 0 và λ ω > 0 nếu tồn tại ma trận P > 0, Q > 0, J, X và các số dương λ¯ e z , ¯λ ω , δ 1 , δ 2 sao cho bài toán tối ưu sau đây khả thi: min(σ¯λ e z + (1−σ)¯λ ω ) (3.2.2) với
−g T 5 QAg 1 −g 5 T J Cg 2 −g T 5 J g 3 +g 5 T QDg 4 } +g 1 T [−QA−A T Q+P +ℓ 2 max (δ 1 +δ 2 )]g 1
Chứng minh Xét hàm Lyapunov cho phương trình (3.1.12)-(3.1.13) dưới đây:
Từ Định lý 2[32] và (3.2.4) thì
= ζ T (t)sym(g T 1 P g 5 )ζ(t), (3.2.5) trong đó ζ(t) = h ζ 1 (t) ζ 2 (t) i , ζ 1 (t) =h ˜ x T (t) x˜ T (t−à(t)) e T z (t) iT và ζ 2 (t) = h ω T (t) [ C 0 D t α x(t)]˜ T iT
Cho ma trận không suy biến Q > 0, từ (3.1.12), ta thu được phương trình sau:
Từ bất đẳng thức ma trận Cauchy[29] và điều kiện (3.1.4) thì
Tuy nhiên, với ma trận nửa xác định dương X, ta có bất đẳng thức sau: h α α ζ T (t)Xζ(t)−
Rõ ràng,V(˜x(t)) = ˜x T (t)Px(t)˜ là hàm lồi, khả vi trên R n , V(0) = 0 và λ min (P)||˜x(t)|| 2 ≤V(˜x(t))≤λ max (P)||˜x(t)|| 2
Bằng cách sử dụng Định lý phân thức Razumikhin[33], cho số ϵ >0 tùy ý thỏa mãn ρ= 1 +ϵ >1, bất đẳng thức sau đúng:
V(˜x(t+s))< ρV(˜x(t)), ∀s∈[−h,0], và do đó ρ˜x T (t)Px(t)˜ −x˜ T (t−à(t))Px(t˜ −à(t))>0 (3.2.10)
Kết hợp bất đẳng thức (3.2.5), (3.2.6), (3.2.7), (3.2.8), (3.2.9), (3.2.10) với Bổ đề Schur bổ sung [29], ta được:
−g T 5 QAg 1 −g 5 T J Cg 2 −g 5 T J g 3 +g 5 T QDg 4 }+g T 1 [−QA−A T Q+ρP +ℓ 2 max (δ 1 +δ 2 ) +I]g 1
Vìϵ >0là tham số tùy ý và C 0 D α t V(˜x(t))không phụ thuộc vào ϵ nên ta có thểϵ →0 + và bất đẳng thức (3.2.11) dẫn đến
Do đó, bất đẳng thức (3.2.14) và Ω0, ta có
Từ Bổ đề 1.3.5 và Bổ đề 1.3.4, ta có
(T −τ) −α x˜ T (τ)Px(τ˜ )dτ ≥0, (3.2.19) từ (3.2.17) và (3.2.18), 0 I T 1 C 0 D α T V(˜x(t))≥0 với mọiT ≥0 nên từ (3.2.16) ta suy ra
2 ([0,T ]) (3.2.21) Định lý được chứng minh.
Chú ý 3.2.1 Với phương trình trạng thái phi tuyến tính bậc phân thứ (3.1.10)-(3.1.11), sai số ước lượng x(t) =˜ x(t)−x(t)ˆ thỏa mãn phương trình (3.2.1), trong đóλ e z >0 và λ ω >0 tương ứng là mức kích hoạt sự kiện tối thiểu và mức giảm nhiễu Để giảm sai số ước lượng, λ e z >0 và λ ω >0 càng nhỏ càng tốt, Định lý (3.2.1) trong bài viết này cho phép ta thu được ma trận K và các mức tối thiểu λ e z > 0 , λ ω > 0 Chú ý rằng λ e z và λ ω có thể giảm bằng cách giảm λ¯ e z và λ¯ ω Do đó, cần thiết giải bài toán tối ưu min(σ¯λ e z + (1−σ)¯λ ω ) 34
Bước 1: Kiểm tra điều kiện (3.1.4).
Bước 2: Cho h >0, 0< α 0 và ma trận K.
Bước 3: Cho σ 1 , σ 2 ,σ 3 ,σ 4 , và σ 5 , thu được DETM (3.1.6) và phương trình trạng thái kích hoạt sự kiện theo thời gian rời rạc (3.1.10)-(3.1.11).
Ví dụ
Ví dụ 3.3.1 Xét hệ FONN (3.1.1)-(3.1.3), trong đó α = 0.71 và
Bước 1: Điều kiện (3.1.4) thỏa mãn với ℓ i = 1, với mọi i = 1,2,3 và ℓ max = 1. Bước 2: Cho σ = 0.8, α = 0.71 và h = 0.1, bài toán tối ưu lồi (3.2.2)-(3.2.3) cho ra
Bước 3: Với σ 1 = 0.001, σ 2 = 0.001, σ 3 = 0.002, σ 4 = 0.5 và σ 5 = 0.01, ta thu được hệ DETM (3.1.6) và hệ quan sát kích hoạt sự kiện bậc phân thứ theo thời gian rời rạc có dạng (3.1.10)-(3.1.11) Chọn u(t) = 0.5 sint, ω(t) = 0.01|cost| với mọi t ≥ 0 và x(s) = ˆx(s)
Hình 3.1: Thời điểm và khoảng thời gian kích hoạt sự kiện theo (3.1.6)
Hình 3.2: Biểu diễn của x 1 (t) và xˆ 1 (t)
Hình 3.3: Biểu diễn của x 2 (t) và xˆ 2 (t)
Hình 3.4: Biểu diễn của x3(t) vàxˆ3(t) Hình 3.1 là biểu diễn thời điểm và khoảng thời gian kích hoạt sự kiện của hệ DETM (3.1.6) và Hình 3.2-3.4 thể hiện phản hồi của x(t)và xấp xỉ x(t)ˆ của nó.
Ví dụ 3.3.2 Xét hệ FONN (3.1.1)-(3.1.3), trong đó α = 0.87 và
Bước 1: Kiểm tra điều kiện (3.1.4) thỏa mãn với ℓ i = 1, với mọi i = 1,2,3,4 và
Bước 2:Cho σ = 0.6, α = 0.87và h= 0.2, bài toán tối ưu lồi (3.2.2)-(3.2.3)thu được
Bước 3: Với h = 0.2, σ 1 = 0.002, σ 2 = 0.002, σ 3 = 0.001, σ 4 = 0.4 và σ 5 = 0.05 ta được hệ DETM (3.1.6)hệ quan sát trạng thái kích hoạt sự kiện bậc phân thứ theo thời gian rời rạc dạng (3.1.10)-(3.1.11) Chọn u(t) = sint, ω(t) = 0.06|cost| với mọi t≥0 và x(s) = ˆx(s) T h
Hình 3.5: Thời điểm và khoảng thời gian kích hoạt sự kiện của (3.1.6)
Hình 3.6: Biểu diễn của x1(t) vàxˆ1(t)
Hình 3.7: Biểu diễn của x2(t) vàxˆ2(t)
Hình 3.8: Biểu diễn của x 3 (t) vàxˆ 3 (t)
Hình 3.9: Biểu diễn của x4(t) vàxˆ4(t)Hình 3.5 biểu diễn thời điểm và khoảng thời gian kích hoạt sự kiện của hệ DETM(3.1.6) và Hình 3.6-3.9 hiển thị đường đi của x(t) và xấp xỉx(t)ˆ của nó.
Trong đề án này tôi đã tập trung vào việc thiết kế các bộ quan sát trạng thái kích hoạt sự kiện theo thời gian rời rạc cho các hệ thống phi tuyến với sự hỗ trợ của học máy Cụ thể
Hệ thống phi tuyến được dự đoán bởi một mô hình RNN chịu nhiễu bên ngoài;
Cơ chế kích hoạt sự kiện theo thời gian rời rạc được thiết kế và sử dụng để thiết kế các quan sát trạng thái kích hoạt sự kiện của mô hình RNN;
Quan sát được thời gian kích hoạt sự kiện và có thể giảm việc sử dụng các nguồn thông tin liên lạc trong khi duy trì hiệu suất ước tính mong muốn;
Một điều kiện đủ cho sự tồn tại của bộ quan sát trạng thái kích hoạt sự kiện và ma trận quan sát chưa biết sẽ thu được bằng cách giải một bài toán tối ưu hóa lồi.
Các kết quả trong Chương 3 đã được công bố trên báo Proceedings of the Institu- tion of Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, DOI: 10.1177/09596518221142178 (SCIE, Q2).[26]
Trong đề án này, tôi luôn cố gắng đưa thêm những điều mới, nhưng vì thời gian và kiến thức còn hạn chế cho nên tôi chưa thể nào nói lên hết được nhiều khía cạnh của vấn đề và nhiều thiếu sót là điều không thể tránh khỏi Vì vậy, tôi rất trân trọng những góp ý của quý thầy cô và các bạn để nghiên cứu được hoàn thiện.
[1] K.J Astrom, B Wittenmark.Computer Controlled Systems, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1977.
[2] G.F Franklin, J.D Powel, A Emami-Naeini.Feedback Control of Dynamical Sys- tems, Prentice Hall, Upper Saddle River, 2010.
[3] D Yue, E Tian, Q.-L Han A delay system method for designing event-triggered controllers of networked control systems,IEEE Trans Autom Control,2013,58, 475-481.
[4] Z Fei, C Guan, H Gao Exponential synchronization of networked chaotic delayed neural network by a hybrid event trigger scheme,IEEE Trans Neural Netw Learn. Syst, 2018, 29, 2558-2567.
[5] P Tabuada Event-triggered real-time scheduling of stabilizing control tasks,IEEE Trans Autom Control, 2007, 52, 1680-1685.
[6] T Henningsson, E Johannesson, A Cervin Sporadic event-based control of first- order linear stochastic systems, Automatica,2008, 44, 2890-2895.
[7] A Girard Dynamic triggering mechanisms for event-triggered control, IEEE Trans Autom Control, 2015, 60, 1992-1997.
[8] X You, C.C Hua, X Guan Distributed adaptive event-triggered control for leader-following consensus of multi-agent systems, Asian J Control, 2017, 19, 2155-2164.
[9] P Tallapragada, N Chopra On event triggered tracking for nonlinear systems, IEEE Trans Autom Control, 2013, 58, 2343-2348.
[10] L Xing, C Wen, Z Liu, H Su, J Cai Event-triggered adaptive control for a class of uncertain nonlinear systems,IEEE Trans Autom Control,2017,62, 2071-2076.
[11] W Liu, J Huang Robust practical output regulation for a class of uncertain lin- ear minimum-phase systems by outputbased event-triggered control,Int J Robust Nonlinear Control, 2017,27, 4574-4590.
[12] W Liu, J Huang Event-triggered global robust output regulation for a class of nonlinear systems, IEEE Trans Autom Control, 2017, 62, 5923-5930.
[13] H Li, P Shi, D Yao, L Wu Observer-based adaptive sliding mode control for nonlinear markovian jump systems, Automatica,2015,64, 133-142.
[14] D.C Huong, H Trinh, H.M Tran, T Fernando Approach to fault detection of time-delay systems using functional observers, Electronics Letters, 2014, 50, 1132–1134.
[15] D.C Huong, V.T Huynh, H Trinh Integral outputs-based robust state observers design for time-delay systems,SIAM J Control Optim, 2019, 57, 2214-2239.
[16] A Zemouche and M Boutayeb On LMI conditions to design observers for Lips- chitz nonlinear systems,Automatica J IFAC,2013,49, 585–591.
[17] L M Belmonte, R Morales, A F Caballero, and J A Somolinos A tandem active disturbance rejection control for a laboratory helicopter with variable-speed rotors, IEEE Trans Ind Electron.,, 2016, 63, 6395-6406.
[18] J Arcos-Legarda, J Cortes-Romero, and A Tovar Active disturbance rejection control based on generalized proportional integral observer to control a bipedal robot with five degrees of freedom, Proc 2016 Amer Control Conf, 2016, 3928- 3933.
[19] Y Huang, J Wang, D Shi, L Shi Toward event-triggered extended state observer, IEEE Transactions on Automatic Control,2018, 63, 1842-1849.
[20] J Sijs, M Lazar Event based state estimation with time synchronous updates,IEEE Transactions on Automatic Control,2012, 57, 2650-2655.
[21] Vũ Hữu Tiệp, Machine Learning cơ bản, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2020.
[22] Y.W Wong, P Wang, Z Man, Q Han, J Jin J Zheng On supervised learning of sliding observer, In Gold Coast Convention Centre, 2017, 17-20.
[23] S Almasabi, A Bera, J Mitra Dynamic state estimation aided by machine learn- ing, IEEE Power & Energy Society General Meeting (PESGM), 2019.
[24] Seuret A., F Gouaisbaut Wirtinger-based integral inequality: application to time- delay systems, Automatica, 2013, 49, 2860-2866.
[25] Park P., J.M Ko, C Jeong Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays, Automatica, 2011, 47, 235-238.
[26] Vo Viet Tri, Dinh Cong Huong, Pham Nu Ngoc Diep State estimation problem for fractinal-order neural network using event-triggered state observers, JSCE, 2022.
[27] Vainikko G Which functions are fractionally differentiable, Journal of Analysis and its Applications, 2016, 35, 465-487.
[28] Kilbas A., Srivastava H., Trujillo J.Theory and application of fractional diffrential equations, Elsevier, New York, 2006.
[29] Boyd S., L.E Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, Philadelphia, 1994.
[30] Kosmatopoulos E.B., M.M Polycarpou, M.A Christodoulou, P.A Ioannou High- order neural network structures for identification of dynamical systems, IEEE Transactions on Neural Networks, 1995, 6, 422-431.
[31] Wu Z., A Tran, D Rincon, P.D Christofides Machine learning-based predictive control of nonlinear processes, Part I: Theory AIChE Journal, 2019,65.
[32] Tuan HT., Trinh H Stability of fractional-order nonlinear systems by Lyapunov direct method,IET Control Theory & Applications, 2018, 12, 2417-2422.