Nguyên lý dirichlet và ứng dụng trong lý thuyết ramsey

được phát triểnmạnh, nhất là khi máy tính điện tử ra đời.Ngày nay, lý thuyết tổ hợp được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khácnhau như lý thuyết số, lý thuyết xác suất, lý thuyết mật mã

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN THỊ DIỄM MY NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT RAMSEY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định − Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN THỊ DIỄM MY NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT RAMSEY Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp 8460113 Mã số : Người hướng dẫn: PGS.TSKH HUỲNH VĂN NGÃI Bình Định − Năm 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn "Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong lý thuyết Ramsey" là do bản thân thực hiện theo logic riêng dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH Huỳnh Văn Ngãi Các nội dung và kết quả sử dụng trong luận văn đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, tháng 11 năm 2023 Tác giả Phan Thị Diễm My i Mục lục Một số ký hiệu iii Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Các kỹ thuật đếm cơ bản 3 1.2 Nguyên lý quy nạp 5 1.3 Xác suất của biến cố 5 1.4 Cơ sở lý thuyết đồ thị 7 2 Nguyên lý Dirichlet 12 2.1 Nguyên lý Dirichlet 12 2.2 Một số ứng dụng và dạng bài tập liên quan đến nguyên lý Dirichlet 15 2.2.1 Ứng dụng trong số học 15 2.2.2 Ứng dụng trong dãy số 18 2.2.3 Ứng dụng trong hình học 20 3 Lý thuyết Ramsey và một số ứng dụng 27 3.1 Định lý Ramsey trong lý thuyết đồ thị 27 3.1.1 Định lý Ramsey cho đồ thị hai màu 29 3.1.2 Định lý Ramsey cho trường hợp tổng quát 32 3.2 Định lý kiểu Ramsey trên tập số tự nhiên 34 3.2.1 Định lý Schur 34 3.2.2 Định lý Van der Waerden 38 3.2.3 Định lý Rado 43 3.3 Một số bài toán ứng dụng 57 ii Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 iii Một số ký hiệu • R: Tập số thực • N: Tập số tự nhiên • Z: Tập hợp các số nguyên • Rn: Không gian vectơ n chiều • Pn: Hoán vị của n phần tử • Akn: Chỉnh hợp chập k của n • Cnk: Tổ hợp chập k của n • Ω: Không gian mẫu • χ: Tập hợp các số nguyên dương • E: Phương trình tuyến tính • r(E, s): Số nguyên nhỏ nhất 1 Lời mở đầu Trong lịch sử phát triển của nhân loại có rất nhiều bài toán cổ và những hình vẽ từ thời xa xưa để lại Từ những bài toán cổ ấy hình thành nên một tư duy mới, đó là tư duy tổ hợp Và lý thuyết tổ hợp được hình thành từ giai đoạn đó (thế kỷ XVII) Một số công trình nghiên cứu nổi tiếng của các nhà toán học như Pascal, Euler, Fermat, Leibnitz, được phát triển mạnh, nhất là khi máy tính điện tử ra đời Ngày nay, lý thuyết tổ hợp được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, lý thuyết xác suất, lý thuyết mật mã, hình học hữu hạn, Do sự phong phú của các luật phân bố được áp dụng trên nhiều đối tượng nên các bài toán có nội dung phong phú và ứng dụng nhiều trong đời sống như: bố trí lịch làm việc, một cách xếp hình, một mạch điện, một công thức hóa học, Tổ hợp đã được đưa vào giảng dạy ở chương trình phổ thông, đại học và sau đại học Chính vì các khái niệm trừu tượng và đa dạng các bài toán khó nên nó lại là một bộ môn tương đối khó với học sinh, sinh viên và cả học viên Các bài toán liên quan đến tổ hợp thường xuyên góp mặt trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế, Olympic sinh viên của các trường và thường thuộc dạng bài tập khó và rất khó Như đã biết, nguyên lý Dirichlet và nguyên lý Ramsey là hai nguyên lý cơ bản của tổ hợp, có rất nhiều ứng dụng khác nhau; không những trong những vấn đề tổ hợp sơ cấp; mà còn trong nhiều lĩnh vực tổ hợp hiện đại Nói một cách không hình thức; hai nguyên lý trên cho ta biết rằng, với những cấu trúc tổ hợp có số lượng phần tử đủ lớn thì tồn tại cấu trúc con có tính chất đủ "tốt" (tồn tại đồ thị đầy đủ đơn sắc, hay cấp số cộng đơn sắc) Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu hai nguyên lý này; và một số ứng dụng để giải những bài toán tổ hợp sơ cấp, thường xuất hiện trong các bài thi học sinh giỏi ở phổ thông Ngoài mục lục, danh mục các ký hiệu, phần mở đầu và phần kết luận, nội dung của luận văn được chúng tôi trình bày trong ba chương 2 Chương 1 Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho các chương sau của luận văn Chương 2 Nội dung chính của chương này là tìm hiểu về các phiên bản của nguyên lý Dirichlet và những áp dụng trong giải toán tổ hợp Chương 3 Nội dung chính của chương này là tìm hiểu một số tính chất, định lý về lý thuyết Ramsey và những vấn đề tổ hợp sơ cấp liên quan Dưới sự hướng dẫn của thầy Huỳnh Văn Ngãi, tôi chọn đề tài luận văn:"Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong lý thuyết Ramsey" Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học và tận tình của PGS.TSKH Huỳnh Văn Ngãi Tôi xin chân thành cảm ơn thầy đã nhận lời hướng dẫn tôi làm luận văn này Mặc dù bản thân đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những góp ý thẳng thắn của quý thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp khóa 23 đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu thực hiện đề tài Bình Định, tháng 11 năm 2023 Học viên thực hiện Phan Thị Diễm My 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị như: các kỹ thuật đếm cơ bản, nguyên lý quy nạp, xác suất của biến cố, cơ sở của lý thuyết đồ thị, làm cơ sở tiền đề để người đọc có thể dễ dàng nắm bắt được nội dung của các chương sau Tuy nhiên, chúng tôi chỉ trình bày chứng minh của các kết quả thường được sử dụng trong các chương sau, còn các kết quả chưa được chứng minh độc giả có thể dễ dàng tìm thấy trong mục tài liệu tham khảo [2], [3], [4] 1.1 Các kỹ thuật đếm cơ bản Định nghĩa 1.1.1 (Quy tắc cộng) Giả sử có k công việc T1, T2, , Tk Các công việc này có thể làm tương ứng bằng n1, n2, , nk cách và giả sử không có hai công việc nào có thể làm đồng thời Khi đó số cách để làm một trong k công việc trên là n1 + n2 + + nk Định nghĩa 1.1.2 (Quy tắc nhân) Giả sử một công việc nào đó được tách thành k phân đoạn để thực hiện T1, T2, , Tk Giả sử ở phân đoạn T1 có n1 cách để thực hiện, với mỗi cách thực hiện phân đoạn Ti−1 có ni cách thực hiện phân đoạn Ti, i = 2, , k Khi đó tổng số cách thực hiện công việc ban đầu là n1.n2 nk Định nghĩa 1.1.3 (Hoán vị) Một hoán vị của n là một cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự nào đó 4 Áp dụng Quy tắc nhân, ta nhận được số tất cả các hoán vị của n là Pn = n(n − 1)(n − 2) 1 = n! Định nghĩa 1.1.4 (Chỉnh hợp) Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n) là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho Áp dụng Quy tắc nhân, ta nhận được số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ank = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = n! (n − k)! Nhận xét 1.1.1 Một chỉnh hợp chập n của n là một hoán vị của n phần tử Định nghĩa 1.1.5 (Tổ hợp) Một tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho Áp dụng Quy tắc nhân và khái niệm chỉnh hợp, ta nhận được số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk = n! k!(n − k)! Nhận xét 1.1.2 Ta có thể định nghĩa một tập con k phần tử của tập n phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n Từ đó suy ra số tất cả các tập con k phần tử của một tập có n phần tử là Cnk Định nghĩa 1.1.6 (Chỉnh hợp lặp) Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử (k ≥ 0) là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử không nhất thiết khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho Áp dụng Quy tắc nhân, ta nhận được số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n là A¯kn = nk Định nghĩa 1.1.7 (Tổ hợp lặp) Một tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử không nhất thiết khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho Số tất cả các tổ hợp lặp chập k của n là C¯kn = Cn+k−1 k