BË GIO DÖC V O TO VIN HN L M KHOA HÅC V CỈNG NGH VIT NAM HÅC VIN KHOA HÅC V CỈNG NGH - - - - - - - *** - - - - - - PHM VN KÝ Lị THUYT TìèNG ẩI TấNG QUT CI TIN f (R) ÈI XÙNG CU V ÙNG DƯNG TRONG VƠ TRƯ HÅC Chuyản ngnh: M số: Vêt lỵ lỵ thuyát v Vêt lỵ toĂn 44 01 03 TM TT LUN N TIN S VT Lị NGìI HìẻNG DN 1: PGS.TS Nguyạn Anh Ký NGìI HìẻNG DN 2: PGS.TS Nguyạn Th Hỗng VƠn H NậI - 2022 Mé U Lỵ chồn à ti Lỵ thuyát tữỡng ối tờng quĂt (GR) ữủc cổng bố nôm 1915 Einstein xƠy dỹng chừ yáu bơng lỵ thuyát và sau nõ  ữủc rĐt nhiÃu thẵ nghiằm kim chựng c biằt, GR ữủc xĂc nhên rỹc rù thảm mởt lƯn nỳa bơng viằc thu ữủc sõng hĐp dăn thới gian gƯn Ơy TrĂi tim cừa GR õ l phữỡng trẳnh Einstein [1, 2] Ôt ữủc tứ Lagrangian 8G Rà Rgà = Tà , c LG = R Phữỡng trẳnh ny cõ th miảu tÊ rĐt tốt cĂc hiằn tữủng xÊy ối vợi vêt th thổng thữớng quy mỉ nhä nh÷ h» m°t tríi Nh÷ng nâ tä khỉng hi»u qu£ mi¶u t£ mët sè hi»n t÷đng kh¡c, °c bi»t l vơ trư nh÷ l, sỹ giÂn n cừa vụ trử ( ữủc cho l liản quan án nông lữủng tối), cĂc vĐn à và vêt chĐt tối, lÔm phĂt vụ trử, hĐp dăn lữủng tỷ, v.v Mởt nhỳng lỵ thuyát ữủc à xuĐt ỡn giÊn nhĐt giÊi quyát vĐn à nông lữủng tối l thảm hơng số vụ trử LG = R − 2Λ, Λ v o Lagrangian â ph÷ìng trẳnh chuyn ởng l [1, 2] 8G Rà Rgµν + Λgµν = − Tµν c Phữỡng trẳnh ny cho thĐy vụ trử ang giÂn n tông tốc, nhiản cụng cỏn nhiÃu nhữủc im lỵ thuyát ny [35] cõ th giÊi quyát cĂc vĐn à  nảu vợi Mởt lỵ thuyát tờng qu¡t hìn Lagrangian LG = f (R), ð â f (R) l mởt hm cừa tensor cong vổ hữợng Phữỡng trẳnh chuyn ởng cho trữớng hủp ny l [46] f ′ (R)Rµν − gµν □f ′ (R) + ∇µ ∇ν f ′ (R) − f (R)gµν = −kTµν , Cơng câ nhi·u mỉ h¼nh mð rëng kh¡c câ thº xem [4, 5] R ð ¥y gồi l lỵ 8G c4 , = à v l thuyát hĐp dăn-f (R) Ngy k= Ôo hm hiằp bián Lỵ thuyát ny ữủc hổm nay, lỵ thuyát ny ang tr thnh vĐn à thới sỹ hĐp dăn, thu hút nhiÃu nh khoa hồc tham gia nghiản cựu v phĂt trin [46]  cõ rĐt nhiÃu mổ hẳnh ữủc ữa nhữ l hay f (R) = R − f (R) = R + λR2 λ Rn , v.v., mội mổ hẳnh cõ th giÊi quyát ữủc mởt số vĐn à no õ, chữa mổ hẳnh no l hon hÊo Mửc ẵch v cĂc kát quÊ Â Ôt ữủc cừa luên Ăn Nghiằm chẵnh xĂc cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) trữớng ối xựng cƯu tắnh  ữủc rĐt nhiÃu bi bĂo nghiản cựu khĂ Ưy ừ, tẳm nghiằm trữớng ối xựng cƯu khổng nhĐt thiát tắnh l rĐt khõ, hƯu hát cĂc trữớng hủp l khổng th Chúng tổi tẳm nghiằm cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) tờng quĂt trữớng ối xựng cƯu tờng quĂt (khổng nhĐt thiát tắnh, cho cÊ chƠn khổng v vêt chĐt) bơng phữỡng phĂp nhiạu loÔn quanh giĂ tr cừa lỵ thuyát hĐp dăn Einstein Sau õ s Ăp dửng cĂc kát quÊ cho mởt số trữớng hủp c biằt Tiáp theo l Ăp dửng cĂc kát quÊ Ôt ữủc vo cĂc b i to¡n chuyºn ëng cõa c¡c h nh tinh v cõa tia sĂng mởt trữớng hĐp dăn trung tƠm Kát quÊ l thu ữủc mởt số hiằu ựng mợi so vợi lỵ thuyát cừa Einstein nh hững cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) cụng ữủc nghiản cựu cho hằ thống SgrA*S2 (siảu hố en tƠm DÊi NgƠn H), trữớng hĐp dăn hằ thống ny l mÔnh hỡn rĐt nhi·u so vỵi h» thèng M°t tríi-Sao thõy, õ cĂc hiằu ựng s th hiằn mÔnh hỡn v cõ khÊ nông o ữủc dng hỡn cĂc thẵ nghiằm tữỡng lai Sõng hĐp dăn cừa mởt trữớng ối xựng cƯu lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) ữủc chúng tổi nghiản cựu (phữỡng trẳnh Einstein khổng th cho hiằu ựng cừa sõng hĐp dăn mởt trữớng ối xựng cƯu) Cuối cũng, Ăp dửng phữỡng phĂp nhiạu loÔn vo miảu tÊ sỹ giÂn n cừa vụ trử Nhỳng kát quÊ ny cƯn ữủc cĂc thẵ nghiằm kim tra tữỡng lai Ănh giĂ tẵnh úng ưn cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) CĐu trúc cừa luên Ăn Chữỡng 1, tờng quan, im qua mởt số lỵ thuyát hĐp dăn-sỷa ời (m rởng) Chữỡng v chữỡng trẳnh by mởt cĂch chi tiát cĂc kát quÊ nghiản cựu cừa chúng tổi  ông trản cĂc tÔp chẵ vêt lỵ [911] Chữỡng tõm tưt cĂc kát qu£ m chóng tỉi ang thüc hi»n v ph¡t triºn nối tiáp cừa chữỡng v 3, th hiằn trin vồng phĂt trin cừa cĂc kát quÊ cừa luên Ăn CHìèNG Tờng quan mởt số lỵ thuyát hĐp dăn m rởng Chữỡng ny giợi thiằu và mởt số lỵ thuyát hĐp dăn m rởng (sỷa ời) cho lỵ thuyát Einstein, cụng nhữ ữu im v nhữủc im cừa chúng 1.1 Lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) R S = Ld4 x vỵi Lagrangian LG = R − 2Λ, thẳ lỵ thuyát hĐp Náu nhữ lỵ thuyát hĐp dăn Einstein tĂc dửng cừa trữớng hĐp dăn ữủc lĐy dữợi dÔng dăn-f (R) Lagrangian cừa trữớng hĐp dăn ữủc m rởng tờng quĂt hỡn dữợi dÔng LG = f (R) Lỵ thuyát ny cõ th giÊi thẵch ữủc cĂc vĐn à nông lữủng tối, vêt chĐt tối, cĂc vĐn à k nguyản lÔm phĂt, v.v Cõ nhiÃu mổ hẳnh  ữủc ữa nhữ f (R) = R + λR2 , f (R) = R + λ R , v.v, mội mổ hẳnh cõ th giÊi thẵch ữủc mởt số hiằn tữủng vêt lỵ m lỵ thuyát Einstein khổng giÊi thẵch ữủc, chữa mổ hẳnh no l hon hÊo 1.2 Lỵ thuyát hĐp dăn tensor-vổ hữợng v Vụ Trử Hồc Lỵ thuyát ny thảm vo cho Lagrangian cừa lỵ thuyát hĐp dăn Einstein mởt trữớng vổ hữợng cụng nhữ cĂc số hÔng liản kát cp Lỵ thuyát ny rĐt hỳu ẵch, cõ th giÊi thẵch ữủc cĂc vĐn à nông lữủng tối, vêt chĐt tối, cĂc vĐn à k nguyản lÔm phĂt, v.v, nhiản nhữủc im chẵnh cừa lỵ thuyát cõ l ch l nguỗn gốc cừa trữớng vổ hữợng 1.3 Trữớng vổ hữợng nhữ l hằ quÊ cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) Nhữ  nõi nhữủc im chẵnh cừa lỵ thuyát hĐp dăn tensor-vổ hữợng l nguỗn gốc cừa trữớng vổ hữợng, vĐn à ny cõ th giÊi quyát ữủc NhiÃu cổng trẳnh nghiản cựu cừa cĂc tĂc giÊ cho thĐy rơng trữớng vổ hữợng l hằ quÊ cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R), tực l trữớng vổ hữợng cõ nguỗn gốc tø ch½nh ë cong cõa khỉng-thíi gian 1.4 Mët số lỵ thuyát hĐp dăn m rởng khĂc Cụng nhữ lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) v lỵ thuyát hĐp dăn tensor-vổ hữợng, cỏn cõ mởt số lỵ thuyát hĐp dăn m rởng khĂc nhữ lỵ thuyát hĐp dăn-f (R, T ), lỵ thuyát hĐp dăn-f (T ), lỵ thuyát hĐp dăn-f (R, LM ), lỵ thuyát Vụ Trử chĐt lọng nhợt, v.v 1.5 Khổng-thới gian cõ ở xoưn, hẳnh thực luên Panatini Thuyát tữỡng ối dũng hẳnh hồc Riemann l h¼nh håc khỉng câ ë xon, ð â dàch chuyn song song theo cĂc hữợng khĂc thẳ cĂc vector (v cĂc tensor) s bián ời nhữ Những mët khỉng-thíi gian câ ë xon, c¡c vector (v cĂc tensor) dch chuyn song song theo cĂc hữợng khĂc s bián ời khĂc Náu nhữ hẳnh thực luên metric sỷ dửng hai iÃu kiằn kiằn õ l iÃu kiằn tữỡng thẵch metric gµν = v i·u ki»n èi xùng Khi khỉng sỷ dửng hai iÃu kiằn trản thẳ cĂc lữủng g v à = l ởc lêp nhau, vẳ thá lĐy bián phƠn chúng l cĂc bián ởc lêp, hẳnh thực luên nhữ thá ữủc gồi l hẳnh thực luên Panatini 1.6 Hẳnh thực luên vierbein viát cĂc phữỡng trẳnh cừa cĂc trữớng vêt lỵ khổng-thới gian cong cõ mởt hẳnh thực rĐt tiằn lủi õ l hẳnh thực luên vierbein Khi miảu tÊ Spin cừa trữớng hĐp dăn dũng hẳnh thực luên ny s ỡn giÊn hỡn rĐt nhiÃu vẳ liản quan ¸n ph²p bi¸n êi Lorentz ành xù 1.7 Khỉng-thíi gian a chiÃu: Lỵ thuyát Kaluza-Klein, mởt sỹ thống nhĐt cừa trữớng hĐp dăn v trữớng iằn tứ Lỵ thuyát Kaluza-Klein mð rëng khỉng thíi gian D-4 sang khỉng thíi gian D-5 (thảm mởt chiÃu loÔi khổng gian) õ cĂc vector iằn tứ trữớng cụng chẵnh l cĂc thnh phƯn cõa c¡c metric gAB mët khỉng-thíi gian chi·u Nhữ vêy, sau lĐy bián phƠn tĂc dửng ta s thu ữủc phữỡng trẳnh Kaluza-Klein thống nhĐt giỳa trữớng hĐp dăn v iằn tứ ị tững ny cụng cõ thº mð rëng cho c¡c t÷ìng t¡c kh¡c º cõ mởt trữớng thống nhĐt tĐt cÊ cĂc tữỡng tĂc CHìèNG Nghiằm nhiạu loÔn cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) trữớng ối xựng cƯu v mởt số ựng dửng 2.1 Nghiằm nhiạu loÔn cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) trữớng ối xựng cƯu Náu Lagrangian cừa trữớng hĐp dăn l LG = R v cừa vêt chĐt l LM , thẳ ta thu ữủc phữỡng trẳnh Einstein Náu lĐy Lagrangian cừa trữớng hĐp dăn l LG = f (R), thẳ ta ữủc phữỡng trẳnh hĐp dăn-f (R) [46] f ′ (R)Rµν − gµν □f ′ (R) + ∇µ ∇ν f ′ (R) − f (R)gµν = kTà Náu lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) ch khĂc biằt so vợi lỵ thuyát Einstein (khi R) mởt lữủng nhọ, cõ th viát f (R) (2.1) f (R) = dữợi dÔng f (R) = R + h(R), (2.2) h(R) l mởt hm vổ hữợng cừa tensor vổ hữợng R v l mởt tham số cho h(R) v Ôo hm cừa nõ rĐt nhọ so vợi R Chúng ta thu ữủc phữỡng Ơy trẳnh nhiạu loÔn cho phữỡng trẳnh Einstein 1 Rµν − δ µν R − λkh′ (kT )(T µν − δ µν T ) − δ µν h(kT ) 2 µ E ′ µ E ′ −λδ ν □ h (kT ) + λ∇ ∇ν h (kT ) = kT , (2.3) Nhữ vêy  thỹc hiằn phữỡng phĂp nhiạu loÔn bêc mởt, â h′ (kT ) = ∂h(kT ) ∂(kT ) v ch số tensor metric gà E cĂc Ôo hm hiằp bián cõ nghắa l cĂc ữủc lĐy theo nghiằm cừa phữỡng trẳnh Einstein 2.1.1 Nghiằm ối xựng cƯu chƠn khổng BƠy giớ xem xt trữớng hĐp dăn ữủc gƠy bi mởt nguỗn hĐp dăn cõ b¡n k½nh R0 , b¡n k½nh n y câ thº phư thuëc v o thíi gian, R0 = R0 (t) Do x²t cĂc nghiằm chƠn khổng nản cõ th bọ qua số hÔng Ăp suĐt Tực l cõ thº l§y T ≈ T 00 , â ta s thu ữủc nghiằm ối xựng cƯu chƠn khổng l kc2 M g00 (r, t) =1 − 4πr Z λ r + h(kT 00 ) + kT 00 h′ (kT 00 ) r′2 dr′ 2r 2 M λh′′ (kT 00 ) ∂ + α(t), r ∂t [R0 (t)]3 kc2 M g11 (r, t) = − − 4πr Z r λ + h(kT 00 ) + kT 00 h′ (kT 00 ) r′2 dr′ 2r )−1 2 ′′ M λh (kT ) ∂ + α(t) , r ∂t [R0 (t)]3 (2.4) (2.5) g22 = −r2 , (2.6) g33 = −r2 sin2 θ (2.7) Trong â 3k c2 R0 (t) α(t) = 256π [ξ(t)]4 arcsin[ξ(t)R0 (t)] ξ(t)R0 (t) o p 2 − + 2[ξ(t)R0 (t)] − [ξ(t)R0 (t)] −3/2 × − [ξ(t)R0 (t)]2 , (2.8) vỵi ξ (t) = kM c2 4π[R0 (t)]3 (2.9) B¥y gií, chóng ta ¡p dưng nhỳng cổng thực tờng quĂt  thu ữủc vo mởt sè tr÷íng hđp °c bi»t a) Tr÷íng hđp f (R) = R − 2λ (mỉ h¼nh I): ta câ h(R) = −2, â Trong tr÷íng hđp n y chóng h(kT 00 ) = −2, h′ (kT 00 ) = v c¡c cỉng thùc tø (2.4) ¸n (2.7) câ thº tẵnh ữủc dng l g00 (r, t) = − λr2 kc2 M − , 4πr (2.10) g11 (r, t) = −1 1− kc2 M 4πr − λr , (2.11) g22 = −r2 , (2.12) g33 = r2 sin2 (2.13) Chúng ta nhên thĐy nghiằm nhiạu loÔn mổ hẳnh ny trũng vợi nghiằm chẵnh xĂc, õ cõ th xem nhữ hơng sè vơ trư Λ b) Tr÷íng hđp f (R) = R + λR , b > (mỉ h¼nh II): b v Nhữ vêy, h(R) = Rb h (R) = bRb−1 , h′′ (R) = b(b − 1)Rb−2 , c¡c cæng thùc (2.4) (2.7) trð th nh Z kc2 M λ(b + 1)k b Ro (t) b ′2 ′ g00 =1 − + [T ] r dr 4πr 2r 2 M λ b−2 b−2 ∂ α(t), (2.14) + b(b − 1)k (T ) r ∂t [Ro (t)]3 ( g11 = − λ(b + 1)k b kc2 M + 1− 4πr 2r Z Ro (t) b [T 00 ] r′2 dr′ λ ∂ M + b(b − 1)k b−2 (T 00 )b−2 r ∂t [Ro (t)]3 )−1 2 α(t) , (2.15) g22 = −r2 , (2.16) g33 = −r2 sin2 θ (2.17) Suy ra, kc2 [M − λM1 (t) − λM2 (t)] g00 (r, t) = − , 4πr −1 g11 (r, t) = , (t)−λM2 (t)] − kc [M −λM4πr (2.18) (2.19) g22 = −r2 , (2.20) g33 = −r2 sin2 θ (2.21) ð ¥y 4π (b + 1)c2b (kM )b M1 (t) = 1−b 2b+1 b , kc π [Ro (t)]3b−3 (2.22) 2b−4 b−2 h ∂ M ∂t [Ro (t)]3 (3kM ) 4π b(b − 1)c M2 (t) = kc (4π)b−2 [Ro (t)]3b−6 c) Tr÷íng hđp f (R) = R 1+ε nhä Trong tr÷íng hđp n y λh′′ (R) = ε(ε + 1)Rε−1 (mỉ h¼nh III) i2 α(t) (2.23) ε l h¬ng sè vỉ cịng λh′ (R) = (1 + ε)Rε − 1, : Ð ¥y λh(R) = R1+ε − R v Tữỡng tỹ tẳm ữủc cĂc tensor metric l kc2 [M − λM1 (t) − λM2 (t)] g00 (r, t) = − , 4πr −1 g11 (r, t) = , (t)−λM2 (t)] − kc [M −λM4πr (2.24) (2.25) g22 = −r2 , (2.26) g33 = −r2 sin2 θ (2.27) vỵi 4π (ε + 2)6ε (kc2 M )ε+1 λM1 (t) = −M + , kc (8π)(ε+1) [Ro (t)]3ε i2 h M ε−1 ∂ α(t) ε(ε + 1)(3kc M ) ∂t [Ro (t)]3 4π λM2 (t) = kc (4π)ε−1 [Ro (t)]3ε−3 (2.28) (2.29) Chúng ta thĐy rơng, vẵ dử xem (2.18) hay (2.24), cĂc tensor metric ối xựng cƯu lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) khĂc biằt so vợi lỵ thuyát Einstein hai số hÔng cuối Náu nguỗn hĐp dăn n hay co lÔi mởt cĂch ỗng dÔng cho văn giỳ ữủc ối xựng cƯu (cõ nghắa bĂn kẵnh phư thc v o thíi gian), th¼ c¡c tensor metric s³ phử thuởc vo thới gian, phữỡng trẳnh Einstein nhữ  nâi khỉng thº cho hi»u ùng n y 2.1.2 Nghi»m nhi¹u loÔn tờng quĂt é trản, nghiằm chƠn khổng  ữủc tẳm cho hm f (R) tờng quĂt v mởt số trữớng hủp c biằt Mửc ny tẳm nghiằm bĐt cự Ơu khổng ch chƠn khổng Bản vêt chĐt, khổng th cõ u(r, t) = v(r, t), õ phÊi giÊi quyát vĐn · n y theo mët c¡ch kh¡c Chóng ta thu ÷đc c¡c tensor metric têng qu¡t l r λ g00 (r, t) = exp r′ g11 (r′ , t) − ′2 + kT 11 − h(kT ) r ∞ 1 −λk(T 11 + T )h′ (kT ) − λβ(r′ , t) − ′ dr′ , r Z (2.30) g11 (r, t) = − − r Z r λ kT 00 − h(kT ) T ′ )h (kT ) ′2 ′ −1 ′ −λ∇i ∇E h (kT ) r dr , i − λk(T 00 − (2.31) g22 = −r2 , (2.32) g33 = −r2 sin2 θ (2.33) 2.2 Chuyºn ëng tr÷íng èi xùng cƯu cừa lỵ thuyát-f (R) Trong mửc ny s Ăp dửng nhỳng nghiằm  Ôt ữủc vo bi toĂn chuyn ởng trữớng ối xựng cƯu, vẵ dử nh÷, sü chuyºn ëng cõa h nh tinh quay quanh tr÷íng èi xùng c¦u cõa mët ngỉi (câ thº l mët ngỉi thỉng th÷íng, neutron, hè en, v.v) Trữớng ối xựng cƯu ny khổng nhĐt thiát l tắnh, b¡n k½nh cõa ngỉi câ thº nð hay co lÔi theo thới gian é Ơy ch xem xt nhỳng mổ hẳnh thọa mÂn iÃu kiằn h(0) = 0, tùc l h(kT 00 ) = chƠn khổng (vẵ dử, nhỳng mổ hẳnh II v III thọa mÂn iÃu kiằn ny mổ hẳnh I thẳ khổng) Vợi nhỳng mổ hẳnh ny, cĂc tẵch phƠn cĂc cổng thực (2.4) (2.7) ch lĐy bĂn kẵnh R0 (t) cừa ngổi sao, tứ Ơy ta cõ th viát lÔi chúng l kc2 [M M1 (t) − λM2 (t)] g00 (r, t) = − , 4πr −1 g11 (r, t) = , (t)−λM2 (t)] − kc [M −λM4πr (2.34) (2.35) g22 = −r2 , (2.36) g33 = −r2 sin2 θ, (2.37) â 2π[Ro (t)]3 0 ′ M1 (t) = h(kT ) + kT h (kT ) , 0 3kc2 2 4π ′′ ∂ M M2 (t) = h (kT 00 ) α(t) kc ∂t [Ro (t)]3 (2.38) (2.39) °t Mf (t) = M − λM1 (t) − λM2 (t), 10 (2.40) Mf câ thº xem nh÷ l mët khèi l÷đng hi»u dưng cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) CƯn ỵ rơng Mf l mët h m cõa thíi gian c£ khối lữủng M l mởt hơng số, trữớng hủp ny xÊy bĂn kẵnh cừa ngổi trung tƠm n hay cõ lÔi (bĂn kẵnh thay ời theo thới gian), iÃu ny cõ th dăn án nhỳng hiằn tữủng vêt lỵ thú v cõ th ữủc tranh luên Ơu õ thới gian tợi Trong lỵ thuyát tữỡng ối hàp,  biát phữỡng trẳnh HamiltonJacobi cừa mởt hÔt chuyn ởng tỹ khổng thới gian ph¯ng l g µν ð â m v S ∂S ∂S = m2 c2 , µ ν ∂x ∂x (2.41) lƯn lữủt l khối lữủng v tĂc dửng cừa hÔt [1] Khi mởt hÔt chuyn ởng ch dữợi tĂc dửng cừa lỹc hĐp dăn, ta cõ th coi nhữ hÔt chuyn ởng tỹ khổng-thới gian cong, vẳ vêy cĂc Ôo hm thữớng phÊi ữủc thay bơng Ôo hm hiằp bián Những S l mởt hm vổ hữợng ( Ôo hm hiằp bián bơng Ôo hm thữớng), phữỡng trẳnh (2.41) văn giỳ nguyản dÔng khổng-thới gian cong Chúng ta giÊi phữỡng trẳnh ny cho trữớng hủp mởt hnh tinh chuyn ởng trữớng hĐp dăn ối xựng cƯu cừa mởt ngổi Vẳ hnh tinh chuyn ởng mët m°t ph¯ng i qua t¥m cõa ngỉi trung tƠm, nản cõ th chồn hằ tồa ë cho m°t ph¯ng l θ= π Cuối ta thu ữủc mối liản hằ giỳa cĂc tồa ở cỹc cừa qu Ôo hnh tinh l à/r2 dr Z φ= v 2 u f (t) u 1+ GM 2c2 r H(t) −m2 c2 u GM u 1− f2 (t) [ c ] 2c r t h i − GMf (t) −4 1+ (2.42) µ2 r2 2c2 r 2.2.1 Chuyºn ëng cõa h nh tinh trữớng hĐp dăn cừa mởt ngổi cừa lỵ thuyát-f (R) Chúng ta bƠy giớ xt chuyn ởng cừa mởt hnh tinh trữớng hĐp dăn ối xựng cƯu cừa mởt ngổi Náu viát Hamiltonian dữợi dÔng H(t) = E(t) + mc2 , [trong â E(t) (2.43) bao gỗm cÊ ởng nông v thá nông cừa hnh tinh trữớng hĐp dăn], thẳ ta ữủc gõc quay tinh sai cừa hnh tinh lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) l 6πm2 G2 Mf2 (tk ) ∆φe (k) = c2 à2 11 (2.44) Ơy l gõc quay tinh sai ữủc tẵnh toĂn theo lỵ thuyát hĐp dăn-f (R), thĐy giĂ tr ny  hiằu chnh cho giĂ trà Einstein mët l÷đng 6πm2 G2 {λ2 [M1 (tk ) + M2 (tk )]2 − 2λM [M1 (tk ) + M2 (tk )]} δφe (k) = , c2 µ2 (2.45) hay −12πm2 G2 λM [M1 (tk ) + M2 (tk )] δφe (k) ∼ = c2 µ2 (2.46) bä qua lữủng nhọ tứ bêc hai tr lản Náu trữớng hĐp dăn l tắnh, e ) e (v l mởt hơng số (xem minh hồa Hẳnh 2.1 ) Những náu trữớng khổng Hẳnh 2.1: Trong trữớng tắnh, cÊ re v ∆φ khỉng thay êi theo thíi gian, nh÷ng câ mët sü hi»u ch¿nh cho gi¡ trà cõa Einstein t÷ìng ựng tắnh (vẵ dử bĂn kẵnh cừa ngổi n hay co lÔi) e (v e ) s thay êi theo thíi gian, v s³ câ nhúng hi»u ùng mợi so vợi lỵ thuyát Einstein: khổng ch cõ sỹ hiằu chnh cho tinh sai cừa qu Ôo ữủc tẵnh theo (2.44) v (2.45), m chi·u d i cõa c¡c tröc Elip cơng thay êi theo thíi gian (xem minh håa Hẳnh 2.2) 12 Hẳnh 2.2: Trong trữớng khổng tắnh, c£ re v ∆φ thay êi theo thíi gian, khỉng nh÷ gi¡ trà cõa Einstein ln khỉng êi theo thíi gian 2.2.2 ÷íng truy·n cõa tia s¡ng tr÷íng èi xựng cƯu cừa mởt ngổi cừa lỵ thuyát-f (R) Trong lỵ thuyát hĐp dăn-f (R), gõc lằch cừa Ănh sĂng cụng nhữ gõc quay tinh sai  tranh luên trản, mởt trữớng ối xựng cƯu tắnh cõ mởt sỹ hiằu chnh hơng số cho lỵ thuyát Einstein (trong õ khối lữủng cừa nguỗn hĐp dăn M lỵ thuyát Einstein ữủc thay thá bi khối lữủng hiằu dửng lỵ thuyát hĐp dăn f (R)), Mf trữớng ối xựng cƯu khổng tắnh thẳ số hÔng hi»u ch¿nh s³ thay êi theo thíi gian 2.3 Líi bẳnh Lỵ thuyát tữỡng ối tờng quĂt (GR) cừa Einstein l mởt lỵ thuyát xuĐt sưc, v  ữủc rĐt nhi·u th½ nghi»m kiºm chùng th nh cỉng rüc rï Tuy nhiản, nhữ  nõi, nõ cỏn nhiÃu vĐn à nhữ l sỹ giÂn n cừa vụ trử (hay nông lữủng tối), sỹ lÔm phĂt cừa vụ trử, mởt số vĐn à lỵ thuyát hĐp dăn lữủng tỷ, v.v Lỵ thuyát hĐp dăn-f (R)  ữủc à xuĐt giÊi quyát cĂc vĐn à õ Khi õ phữỡng trẳnh Einstein ữủc thay thá bi phữỡng trẳnh (2.1) cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) Phữỡng trẳnh ny ch cõ th giÊi ữủc dng cĂc trữớng ối xựng cƯu tắnh, ối vợi trữớng ối xựng cƯu khổng tắnh 13 viằc giÊi nõ l rĐt khõ khôn Hiằn theo nhữ hiu biát cừa chúng tổi thẳ chữa cõ bi bĂo no cõ th tẳm nghiằm chẵnh xĂc cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) cho trữớng khổng tắnh Vẳ vêy trữớng hủp ny phÊi giÊi phữỡng trẳnh theo cĂc phữỡng phĂp gƯn úng bơng cĂch Ăp t nhỳng i·u ki»n n o â Trong b i n y chóng tỉi ¢ giÊi gƯn úng phữỡng trẳnh theo phữỡng phĂp nhiạu loÔn ×u iºm cõa ph÷ìng ph¡p n y l c¡c nghi»m thu ữủc s khổng xuĐt hiằn thảm bĐt kẳ mởt tham số mợi no (vẵ dử nhữ cĂc hơng số tẵch phƠn), tham số nhĐt xuĐt hiằn l tham số nhiạu loÔn m õ  ữủc ữa vo tứ Ưu Vẳ vêy ta cõ th Ăp dửng nhúng nghi»m thu ÷đc v o c¡c b i to¡n cư thº Ôt ữủc nhỳng kát quÊ cử th (ró rng) nhơm kim tra lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) (nhữ cĂc b i to¡n chuyºn ëng cõa c¡c h nh tinh, ¡nh s¡ng, v c¡c b i to¡n kh¡c sau n y, ) K¸t qu£ nghiằm nhiạu loÔn cừa hm f (R) tờng quĂt cho mởt trữớng ối xựng cƯu tờng quĂt (khổng nhĐt thiát tắnh, khổng ch cho chƠn khổng) l (2.30) (2.33), nghiằm tÔi chƠn khổng s l (2.4) (2.7), tứ Ơy mởt số trữớng hủp c biằt  ữủc tẵnh toĂn cử th hỡn Sau õ qu Ôo chuyºn ëng cõa c¡c h nh tinh cơng nh÷ ÷íng chuy·n cừa Ănh sĂng  ữủc tẵnh toĂn mởt cĂch chi tiát cho lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) Kát quÊ l c¡c gâc quay tinh sai hay gâc l»ch cõa tia sĂng cõ mởt sỹ hiằu chnh cho lỵ thuyát Einstein Náu trữớng ối xựng cƯu tắnh thẳ cĂc Ôi lữủng ch l sỹ hiằu chnh cho lỵ thuyát Einstein và ở lợn Những trữớng ối xựng cƯu khổng tắnh, ngo i sü hi»u ch¿nh cho gi¡ trà Einstein v· ë lợn nõ cỏn mởt số hiằu ựng mợi m lỵ thuyát Einstein khổng th cõ õ l cĂc Ôi lữủng s thay ời theo thới gian, vẵ dử nhữ gõc quay tinh sai cõa h nh tinh c¡c chu k¼ kh¡c s³ kh¡c nhau, c¡c trưc cõa Elip cơng thay ời ở di theo thới gian ( ối vợi lỵ thuyát Einstein tĐt cÊ cĂc Ôi lữủng nhữ gõc quay tinh sai, ë d i tröc Elip, gâc l»ch cõa tia sĂng, v.v, chúng luổn l hơng số) Nguyản nhƠn cừa cĂc hiằn tữủng ny l, giÊi phữỡng trẳnh Einstein thẳ nghiằm Ôt ữủc l cĂc tensor metric luổn trÔng thĂi dứng (khổng phử thuởc vo thới gian), cỏn giÊi phữỡng trẳnh f (R) nghiằm thu ữủc l cĂc tensor metric s khổng phÊi trÔng thĂi dứng m nâ phư thc v o thíi gian Tø ¥y ta thĐy nh lỵ Birkhoff cõ th b phĂ vù lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) iÃu ny cõ th gƠy cĂc hiằu ựng thú v hỡn, vẵ dử nhữ bĂn kẵnh cừa mởt nguỗn hĐp dăn n hay co lÔi theo thới gian thẳ nõ cõ khÊ nông bực xÔ sõng hĐp dăn theo lỵ thuyát hĐp dăn-f (R), hiằu ựng ny khổng th cõ lỵ thuyát Einstein vẳ lỵ thuyát Einstein mởt trữớng ối xựng cƯu tÔi chƠn khổng luổn trÔng thĂi dứng v khổng th bực xÔ sõng hĐp dăn Sõng hĐp dăn cừa mởt trữớng ối xựng cƯu cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) chúng tổi s tranh luên chi tiát hỡn 14 chữỡng sau cừa luên Ăn ny Nhỳng kát quÊ Â Ôt ữủc cõ th cho ta cĂch thực kim tra lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) Nhữ  nõi, theo phữỡng phĂp nhiạu loÔn ny, ta chựng minh ữủc cĂc nghiằm lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) và hẳnh thực giống vợi cĂc nghiằm lỵ thuyát Einstein, õ khối lữủng cừa nguỗn hĐp dăn M Mf = M M1 (t)M2 (t) (trong trữớng hđp têng qu¡t nâ phư thc v o thíi gian) Theo (2.39) thẳ M2 = náu trữớng tắnh, õ khèi l÷đng hi»u dưng trð th nh Mf = M − M1 Nhữ 6G2 m2 (M M1 )2 vêy, tứ (2.44) chóng ta câ ∆φ = hay c2 µ2 r c2 µ2 λM1 = M − ∆φ (2.47) 6πG2 m2  ữủc thay bi mởt khối lữủng hiằu dửng t µ2 GM m2 ch½nh v e = a(1 − e2 ) vo phữỡng trẳnh (2.47), õ, a l ở di bĂn trửc l tƠm sai cừa qu Ôo Elip [1], chóng ta thu ÷đc r λM1 = M − c2 M a(1 − e2 )∆φ 6πG (2.48) c = 299792458m/s; G = 10 6.67259×10−11 kg −1 m3 s−2 ; 2GM c2 = 2.95325008×10 m; a = 5.7909175×10 m; e = 0.20563069; ∆φobs = 2π(7.98734 ± 0, 00037) × 108 radian/revolution, tẵnh ữủc sỹ hiằu chnh M1 cho M l Sỷ dửng cĂc dỳ liằu gƯn Ơy cõa Sao Thõy [7]: λM1 = 11.866507 × 1024 kg (2.49) M = 1.988919 ì 1030 kg ữủc hiằu chnh λM1 = 5.966309 × 10−6 = 0.0005966309 % M (2.50) Cõ nghắa l khối lữủng cừa Mt Trới giÊm mởt lữủng Nõ khĂ nhọ so vợi khối lữủng Mt Trới hiằu ựng l cõ th o Ôc (xem dữợi) TĐt cÊ cĂc kát quÊ ny cừa (cĂc hm f (R) l ởc lêp vợi cĂc mổ hẳnh khĂc ữủc hiằu chnh cho mởt giĂ tr nhiản c¡c gi¡ trà f (R) λM1 λ s³ phö thuëc v o tøng mỉ h¼nh f (R) f (R) λM1 ) Tuy cư thº (ùng vỵi h m cư thº) Vỵi i·u kiằn nhiạu loÔn h(R) R h(T ) 15 theo (2.2), chóng ta câ 8πG T, c4 (2.51) ho°c cho T ≈ T 00 , λh(T 00 ) ≪ Vỵi T 00 = M c2 3 π[R0 ] R0 (trong â v M 8πG T c4 (2.52) lƯn lữủt l bĂn kẵnh v khối lữủng cừa nguỗn hĐp dăn) thu ữủc h Tứ Ơy ta thĐy h 6GM c2 [R0 ]3 (2.53) l rĐt nhọ, h 26 ì 1024 , õ bĂn kẵnh Mt Trới R0 = 6.957 ì 108 m (2.54) ữủc sỷ dửng (số liằu ny lĐy trản wikipedia.org) Chú ỵ rơng sỹ tữỡng thẵch giỳa (2.50) v (2.53) phử thuởc vo tứng mổ hẳnh ữủc chồn Vẵ dử, ta xt mổ hẳnh f (R) = R + λRb , vỵi b = 2, â, h(R) = R2 , v theo (2.53) th¼ (2.55) λ ph£i thäa m¢n i·u ki»n c2 [R0 ]3 λ≪ 6GM (2.56) Thay cĂc số liằu  ữa vo Ơy ta ữủc 0.380053 ì 1023 h (R) = 2R Sỷ dửng hẳnh (2.55) vợi b = Ôt Tứ Ơy, cụng thĐy 78.4989635 ì 10 cho mổ = 0.1511677 ì 1018 , (2.57) (2.49) vợi M1 = ữủc (2.58) v nõ tữỡng thẵch vợi (2.57), nhữ vêy phũ hủp vợi quan sĂt Tứ Ơy cõ = ∆φf (R) − ∆φGR = − 0.1906π × 10−11 radian/revolution Ta th§y λ (2.59) khỉng ph£i ln nhä, m nâ phử thuởc vo tứng mổ hẳnh ữủc h(R) cho λh(R) l nhä thäa m¢n (2.55) ta chån b > rĐt nhọ thẳ ta s chồn, tực nõ phử thuởc vo viằc chồn hm iÃu kiằn nhiạu loÔn Vẵ dử vợi mổ hẳnh 16 thu ữủc cụng rĐt nhọ Chng hÔn nhữ náu ta chồn b 1011 thẳ 1029 é trản  Ăp dửng cĂc kát quÊ Ôt ữủc vo hằ thống Sao ThõyM°t Tríi º thu ÷đc gi¡ trà λ cõa mổ hẳnh f (R) = R+R2 bơng cĂch sỷ dửng cĂc giỳ liằu quan sĂt tữỡng ối chẵnh xĂc cừa Sao Thừy BƠy giớ Ăp dửng kát quÊ vứa tẳm ữủc cừa mổ hẳnh ny vo tẵnh toĂn cho mởt trữớng hĐp dăn dăn mÔnh hỡn rĐt nhiÃu, tứ õ cung cĐp cĂc kát quÊ tiản oĂn lỵ thuyát cho cĂc thẵ nghiằm tữỡng lai nhơm kim tra lỵ thuyát hĐp dăn- f (R) õ l trữớng hĐp dăn ữủc gƠy bi Sgr A*, mởt siảu hố en nơm tƠm cừa Thiản h cừa (DÊi NgƠn H) ỗng thới xt chuyn ëng cõa mët ngỉi S2 quay quanh si¶u hè en Sgr A* Tùc l vai trá cõa Sao Thõy bƠy giớ ữủc thay bơng S2 chuyn ởng quanh "mt trới" Sgr A* Vợi Sgr A* cõ khối lữủng v bĂn kẵnh lƯn lữủt l M = 4.31 ì 106 M⊙ = 8.57 × 1036 kg , 13 l a = 0.123 arcsec = 14.7 × 10 m v R0 = 22 × 109 m, v c¡c sè li»u cõa S2 e = 0.88 [8] Tứ Ơy ta dng tẵnh ữủc sỹ khĂc biằt và giĂ tr cừa tinh sai cừa S2 tẵnh theo lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) v tẵnh theo lỵ thuyát hĐp dăn Einstein l S2 δφS2 = ∆φS2 f (R) − ∆GR = − 0.94 ì 106 radian/revolution, (2.60) vợi S2 radian/revolution GR = 1.15114 ì 10 ữủc tẵnh bi GR, v radian/revolution S2 f (R) = 1.1502 ì 10 ữủc tẵnh bi mổ hẳnh f (R) = R+R2 bơng cĂch sỷ dửng  Ôt ữủc (2.58) tứ hằ thống Sao Thừy-Mt Trới Ta thĐy sỹ khĂc biằt giỳa lỵ thuyát f (R) vợi lỵ thuyát Einstein trữớng hủp h» S2-Sgr A* l lỵn hìn nhi·u so vỵi h» Sao Thừy-Mt Trới, v nhữ vêy nõ cõ khÊ nông o Ôc hỡn (vợi iÃu kiằn nhỳng khõ khôn và php o bi cĂc lỵ khĂc náu cõ ữủc loÔi trứ) Trong trữớng hủp tờng quĂt, sỹ khĂc biằt giỳa hai lỵ thuyát GR v f (R) l rĐt nhọ nõ văn cõ th o ữủc náu cõ cĂc cổng nghằ o Ôc chẵnh xĂc, vẵ dử nhữ cừa LIGO vợi ở chẵnh xĂc nản tợi 17 1020 CHìèNG Kim tra lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) Trong chữỡng ny, gõc quay tinh sai qu Ôo cừa S2 quay quanh Sgr A* ữủc tẵnh theo gƯn úng bêc cao hỡn Lỵ thuyát hĐp dăn ối vợi cĂc mổ hẳnh f (R) f (R) ữủc kim tra kh¡c m ch÷a ÷đc xem x²t [9] Ð Ơy, mởt số mổ hẳnh Ôi diằn ữủc xem xt v méi tr÷íng hđp, gâc quay tinh sai q Ôo ữủc tẵnh toĂn cho cĂc hằ thống hĐp dăn M°t Tríi-Sao Thõy v Sgr A*-S2 º nâ câ thº ữủc so sĂnh vợi giĂ tr ữủc quan sĂt bi mởt thẵ nghiằm (trong tữỡng lai) 18 CHìèNG Mởt số vĐn à khĂc cừa phữỡng phĂp nhiạu loÔn cho thĐy trin vồng phĂt trin cừa phữỡng phĂp nhiạu loÔn m luên Ăn  thỹc hiằn v Ôt ữủc mởt số kát quÊ nhữ  trẳnh bƯy Trong chữỡng ny chúng tổi giợi thiằu cĂc kát quÊ Â Ôt ữủc và cĂc cổng viằc liản quan ang lm tiáp theo 4.1 Nghiằm nhiạu loÔn cừa lỵ thuyát hĐp dăn f (R) Vơ trư FLRW Khi thüc hi»n ph÷ìng phĂp nhiạu loÔn cho vụ trử, bơng cĂch thỹc hiằn nhiạu loÔn quanh lỵ thuyát Einstein (lỵ thuyát GR cõ hơng số vụ trử ) Chúng tổi  Ôt ữủc nghiằm nhiạu loÔn tờng quĂt, tữớng minh, cõ th dũng cho bĐt kẳ mổ hẳnh f (R) no CĂc nghiằm nhiạu loÔn ny  hiằu chnh (cÊi tián) cho GR, vẵ dử nhữ tham số Hubble ny s phử thuởc v o thíi gian t H GR l mët h¬ng số thẳ lúc phũ hủp vợi sỹ tián trin cõa vơ trư V º minh håa, chóng tỉi ¢ thỷ Ăp dửng nghiằm nhiạu loÔn thu ữủc cho mổ h¼nh f (R) = R − 2Λ + λR2 , kát quÊ cho thĐy rơng mổ hẳnh ny cõ th miảu tÊ ữủc sỹ nối tiáp cừa ba k nguyản vụ trử (k nguyản lÔm phĂt, k nguyản bực xÔ v k nguyản ngy (vĐn à nông lữủng tối)) Tực l lỵ thuyát f (R) nhiạu loÔn cõ thº l mët thû nghi»m tèt º mi¶u t£ Vơ trử 4.2 Sõng hĐp dăn cừa trữớng ối xựng cƯu cừa lỵ thuyát hĐp dănf (R) GiÊi phữỡng trẳnh Einstein kát quÊ cho thĐy rơng, tÔi chƠn khổng metric cừa mởt trữớng ối xựng cƯu luổn cõ th ữa và dÔng khổng phử thuởc vo thới gian [1, 2] iÃu ny cõ nghắa l tÔi chƠn khổng mởt trữớng ối xựng cƯu luổn trÔng thĂi dứng CĂc kát quÊ ny ữủc th hiằn qua nh lỵ Birkhoff Nhữ vêy phữỡng trẳnh Einstein cho thĐy rơng mởt trữớng ối xựng cƯu khổng th bực xÔ sõng hĐp dăn Tuy nhiản nh lỵ Birkhoff cõ th b phĂ vù 19 lỵ thuyát hĐp dăn-f (R), cĂc metric ối xựng cƯu cừa lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) văn phử thuởc vo thới gian Kát quÊ mởt bi bĂo gƯn Ơy cừa chúng tổi [9], bơng phữỡng phĂp nhiạu loÔn  giợi thiằu quy luêt cừa sỹ phử thuởc vo thới gian cừa metric ối xựng cƯu lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) iÃu ny cõ nghắa l lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) mởt trữớng ối xựng cƯu văn cõ khÊ nông bực xÔ sõng hĐp dăn Trữớng hđp n y ÷đc ¡p dưng mët ngỉi èi xựng cƯu vợi bĂn kẵnh n hay co lÔi theo thíi gian Do â mët ngỉi qu¡ trẳnh tián hõa văn cõ khÊ nông bực xÔ nông lữủng dữợi dÔng sõng hĐp dăn, v iÃu ny b ngôn cĐm phữỡng trẳnh Einstein tứ nh lỵ Birkhoff Trong b i n y chóng tỉi ti¸p tưc ph¡t triºn nhỳng kát quÊ Â Ôt ữủc [9], bơng cĂch Ăp dửng nhỳng kát quÊ ny vo nghiản cựu và sỹ bực xÔ sõng hĐp dăn cừa mởt trữớng ối xựng cƯu lỵ thuyát hĐp dăn-f (R) Vợi viằc xem xt sỹ bực xÔ nông lữủng sõng hĐp dăn cừa mởt ngổi ối xựng cƯu vợi bĂn kẵnh n hay co lÔi theo thới gian Văn bơng phữỡng phĂp nhiạu loÔn, kát quÊ Â Ôt ữủc cổng suĐt bực xÔ sõng hĐp dăn cừa trữớng ối xựng cƯu Mởt kát quÊ quan trồng cụng ữủc tẳm thĐy l, náu mởt ngổi sửp ờ tr thnh mởt hố en thẳ nõ cõ khÊ nông bực xÔ nguỗn nông lữủng dữợi dÔng sõng hĐp dăn rĐt mÔnh Kát quÊ cừa sỹ bực xÔ ny l mối liản hằ giỳa nông lữủng sõng hĐp dăn  bực xÔ vợi bĂn kẵnh cuối cừa hố en ữủc giợi thiằu 20 ... thẳ cĂc vector (v cĂc tensor) s bián ời nhữ Những mởt khổng-thới gian cõ ë xon, c¡c vector (v c¡c tensor) dàch chuyºn song song theo cĂc hữợng khĂc s bián ời khĂc Náu nhữ hẳnh thực luên... khỉng sû dưng hai i·u ki»n trản thẳ cĂc lữủng g v à = l ởc lêp nhau, vẳ thá lĐy bián phƠn chúng l cĂc bián ởc lêp, hẳnh thực luên nhữ thá ữủc gồi l hẳnh thực luên Panatini 1.6 Hẳnh thực luên... miảu tÊ Spin cừa trữớng hĐp dăn dũng hẳnh thực luên ny s ỡn giÊn hỡn rĐt nhiÃu vẳ liản quan án php bián ời Lorentz nh xự 1.7 Khổng-thới gian a chiÃu: Lỵ thuyát Kaluza-Klein, mởt sỹ thống nhĐt