36Kết luận 39 Trang 3 Mở đầuLượng giác hình cầu là một nhánh của hình học hình cầu liên quan đến mốiquan hệ giữa các hàm lượng giác của các cạnh và góc của đa giác hình cầu đặcbiệt là h
Định lý Cosin cầu
Lượng giác cầu là một lĩnh vực của hình học nghiên cứu về mối quan hệ giữa các hàm lượng giác của các cạnh, góc của đa giác hình cầu (đặc biệt là tam giác hình cầu sau đây ta sẽ gọi tắt là tam giác cầu) được xác định bởi một số đường tròn lớn giao nhau trên hình cầu Lượng giác cầu có tầm quan trọng lớn đối với các tính toán trong thiên văn học, trắc địa và điều hướng.
Trong suốt luận văn, ta xét mặt cầu S có tâm O, bán kính bằng 1 (hay gọi là mặt cầu đơn vị) Xét hai điểm cố định A, B trên mặt cầu, hai điểm này cùng với tâm của mặt cầu xác định một mặt phẳng và thiết diện của mặt cầu với mặt phẳng này được gọi là đường tròn lớn đi qua hai điểm đã cho, hai điểm đó chia đường tròn thành hai cung, cung có độ dài lớn hơn gọi là cung lớn, cung có độ dài bé hơn gọi là cung nhỏ Trừ trường hợp hai điểm A, B cùng với tâm O của mặt cầu thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, O Khi đó AB là đường kính của mặt cầu, hai điểm A, B được gọi làhai điểm cực Hay nói cách khác, thiết diện của mặt cầu bởi một mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếu mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu, và đường tròn nhỏ nếu mặt phẳng không đi qua tâm mặt cầu Do đó, chỉ có thể vẽ một đường tròn lớn qua hai điểm đã cho trên bề mặt của một hình cầu Khi chỉ có thể vẽ một đường tròn lớn đi qua hai điểm đã cho, thì đường tròn lớn đó bị chia không đều tại hai điểm đó; trong chương này chúng ta chỉ nghiên cứu trên cung nhỏ (Hình 1.1).
Hình 1.1: Các đường tròn lớn. Đầu tiên, chúng ta sẽ định nghĩa về tam giác cầu. Định nghĩa 1.1.1 (Tam giác cầu) Ba cung của các đường tròn lớn tạo thành một tam giác được gọi là các cạnh của tam giác cầu; Các góc tạo bởi các cung tại các điểm mà chúng gặp nhau được gọi là các góc của tam giác cầu Các góc của một tam giác cầu được đo trong mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cầu tại giao điểm của các cạnh tạo thành góc.
Trong hình 1.2, giả sử một góc tam diện tạo thành tại O bởi sự giao nhau của ba góc phẳng Gọi AB, BC, CA là các cung của đường tròn lớn; thì ABC là một tam giác cầu, và các cung AB, BC, CA là các cạnh của nó Ký hiệu là∆ ˘ ABC.
Giả sử kẻ Ab là tiếp tuyến với dây cung AB tại A và Ac tiếp tuyến với dây cung AC tại A; thì góc bAc là một trong các góc của tam giác cầu Tương tự,các góc tạo thành tương tự tại B và C là các góc khác của tam giác cầu.
Hình 1.2: Tam giác cầu ABC. Để tránh mâu thuẫn với tam giác đối cực, tam giác được tạo thành bởi các đường tròn lớn giống nhau ở phía đối diện của hình cầu, các cạnh của tam giác cầu sẽ bị giới hạn trong khoảng từ 0 đến π radian Các góc cũng sẽ bị giới hạn trong khoảng từ 0 đến π radian, để chúng vẫn ở bên trong. Để suy ra các công thức cơ bản liên quan đến một tam giác cầu, chúng ta sử dụng lượng giác phẳng trên các mặt phẳng liên quan đến tam giác cầu Ví dụ, các mặt phẳng tiếp tuyến với hình cầu tại một trong các đỉnh của tam giác và các mặt phẳng trung tâm chứa một cạnh của tam giác Trừ khi có đặc điểm khác, khi chiếu lên một mặt phẳng tiếp tuyến với hình cầu, hình chiếu sẽ từ tâm của hình cầu Vì mỗi cạnh của một tam giác cầu đều nằm trong một mặt phẳng đi qua tâm nên hình chiếu của mỗi cạnh lên một mặt phẳng tiếp tuyến là một đoạn thẳng Vì bán kính của hình cầu là 1 nên độ dài của một cung tròn chính là góc của nó.
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: tan α = Cạnh đối
Cạnh kề Cạnh kề= 1 ⇒Cạnh đối= tan(α)
1 + tan 2 (α) = 1 cos α = sec(α). Định lý dưới đây cho chúng ta một hệ thức rất quan trọng trong lượng giác cầu.
Hình 1.3: Mặt phẳng đi qua tâm của hình cầu đơn vị chứa cạnh α Định lý 1.1.2 (Định lý Cosin cầu) Xét một tam giác cầu có các cạnh α, β, γ và góc Γ đối diện với cạnh γ Để tính γ, chúng ta có công thức cos(γ) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) cos(Γ) (1.1)
Chứng minh Chiếu tam giác lên mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cầu tại Γ và tính độ dài hình chiếu của γ theo hai cách khác nhau Đầu tiên, sử dụng Định lý Cosin phẳng trong mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cầu tạiΓ, ta thấy bình phương độ dài hình chiếu của γ là tan 2 (α) + tan 2 (β) − 2 tan(α) tan(β) cos(Γ) (1.2)
Trong khi nếu chúng ta sử dụng Định lý Cosin phẳng trong mặt phẳng chứa đường tròn lớn của γ, chúng ta nhận được bình phương độ dài hình chiếu của γ là sec 2 (α) + sec 2 (β) − 2 sec(α) sec(β) cos(γ) (1.3)
Bằng cách áp dụng Hình 1.3 choα và β, Hình1.4minh họa hai phương pháp tính độ dài hình chiếu của γ lên tiếp tuyến của mặt phẳng tại Γ, tức là, đoạn màu đỏ:
Hình 1.4: Hai cách đo đoạn màu đỏ
Trừ phương trình (1.2) cho phương trình (1.3), ta được:
0 = 2 + 2 tan(α) tan(β) cos(Γ) − 2 sec(α) sec(β) cos(γ).
Từ đây ta thu được cos(γ) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) cos(Γ).
Suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.1.3 Cho tam giác cầu ABΓ với α, β, γ là các cạnh đối diện với các góc tương ứng, ta có sin(α) cos(B ) = cos(β) sin(γ) − sin(β) cos(γ) cos(A).
Chứng minh Mở rộng cạnh γ thành π 2 radian như trong Hình 1.5.
Sử dụng Định lý Cosin cầu, có hai cách tính cos(δ). cos(δ) = cos(α) cos( π
= sin(α) cos(B) (1.5) cos(δ) = cos(β) cos( π
= cos(β) sin(γ) − sin(β) cos(γ ) cos(A) (1.7)
Từ (1.5) và (1.7), chúng ta nhận được hệ quả sin(α) cos(B ) = cos(β) sin(γ) − sin(β) cos(γ) cos(A).
Suy ra điều phải chứng minh.
Tính đối ngẫu giữa xích đạo và cực
Trong mục này, chúng tôi trình bày hai khái niệm rất quan trọng đối với lượng giác cầu là cực và xích đạo Đặc biệt là tính đối ngẫu giữa hai khái niệm này Trong mặt phẳng tam giác chỉ có một góc vuông nhưng trong lượng giác cầu tam giác cầu có nhiều hơn một góc vuông.
Với mỗi một đường tròn trên mặt cầu đường thẳng đi qua tâm là trục của đường tròn đó; các điểm cực của trục được gọi là cực của đường tròn Các cực của một đường tròn lớn cách đều mặt phẳng chứa đường tròn Các cực của một đường tròn nhỏ không cách đều mặt phẳng chứa đường tròn; chúng có thể được gọi tương ứng là cực gần hơn và xa hơn; đôi khi cực gần hơn gọi cho ngắn gọn là cực Một điểm cực của đường tròn cách đều mọi điểm của chu vi đường tròn.
Gọi O là tâm mặt cầu, AB là đường kính bất kỳ của mặt cầu, C là tâm đường tròn, P và P’ là cực của đường tròn Lấy điểm D bất kỳ thuộc chu vi đường tròn; nối CD, OD, PD Khi đó P D = √
P C 2 + CD 2 ; và PC và CD là không đổi, do đó PD là không đổi Giả sử một đường tròn lớn đi qua các điểm P và D; thì dây PD là không đổi, và do đó cung của một đường tròn chắn giữa P và D không đổi với mọi vị trí của D trên đường tròn AB (Hình 1.6) Vì vậy, khoảng
Hình 1.6 cách một cực của đường tròn đến mọi điểm của chu vi đường tròn là không đổi, cho dù khoảng cách đó được đo bằng đường thẳng nối các điểm hay bằng cung của đường tròn lớn bị cắt giữa các điểm. Định nghĩa 1.2.1 Đối với mọi đường tròn lớn, có hai điểm cực đối nhau cách mọi điểm trên đường tròn lớn đó là π 2 radian Hai điểm cực này là hai cực của vòng tròn lớn Ngược lại, cho mỗi cặp điểm đối đỉnh trên một mặt cầu, có một đường tròn lớn, mỗi điểm của chúng cách cặp đó π 2 radian Gọi đường tròn lớn này là đường xích đạo của các điểm đối cực Đường thẳng chứa các cực vuông góc với mặt phẳng chứa xích đạo Do đó,một mặt phẳng đi qua tâm chứa cả hai cực khi và chỉ khi nó vuông góc với mặt phẳng xích đạo Vậy bất kỳ vòng tròn lớn nào chứa một cực đều vuông góc với
Hình 1.7: Tam giác bán nguyệt
BC là một cung của Xích đạo đối với Cực A. đường xích đạo và bất kỳ vòng tròn lớn nào vuông góc với đường xích đạo chứa cả hai cực.
Trong hình 1.7, BAC[ là góc giữa mặt phẳng chứa AB và mặt phẳng chứa
AC Khi nhìn từ trên xuống A, độ dài BC bằng số đo BAC[.
Cung của một đường tròn lớn được vẽ từ một cực của một đường tròn lớn đến bất kỳ điểm nào trong chu vi của nó là một góc phần tư (Hình 1.8).
Gọi P là cực của đường tròn ABC; thì cung PA là một góc phần tư O là tâm của mặt cầu và vẽ PO Khi đó PO vuông góc với mặt phẳng ABC, vì P là cực của ABC nên POA là một góc vuông và cung PA là một góc phần tư. Định nghĩa 1.2.2 (Tam giác bán nguyệt) Một tam giác trong đó một trong các đỉnh là cực của cạnh đối diện được gọi là tam giác bán nguyệt, hay bán nguyệt.
Như đã mô tả ở trên, góc ở cực có cùng số đo với cạnh đối diện Tất cả các cạnh và góc còn lại có số đo π 2 radian.
Bổ đề 1.2.3 (Bổ đề bán nguyệt) Trong một tam giác cầu nếu có hai đại lượng (cạnh, góc) có giá trị π 2 radian thì tam giác đó là bán nguyệt.
Chứng minh Để chứng minh bổ đề ta xét bốn trường hợp sau đây: Tam giác có hai cạnh vuông; Tam giác có hai góc vuông; Tam giác có một cạnh đối và một góc vuông; Tam giác có một cạnh kề và một góc vuông.
Trường hợp 1 (Tam giác có hai cạnh vuông) Giả sử AB và AC đều có độ dài là ( π 2 ) radian Định lý Cosin cầu cho biết cos(BC) = cos(AB) cos(AC) + sin(AB) sin(AC) cos(B AC)b (1.8)
Do đó BAC[ và cạnh đối BC bằng nhau Hơn nữa, cos(AC) = cos(AB) cos(BC) + sin(AB) sin(BC) cos(A BC)b (1.11) cos( π
Vì BC nằm giữa 0 và π radian nên sin(BC) 6=: 0 Do đó, cos ABC[ = 0, hay ABC[ bằng π 2 radian Lập luận tương tự, ACB[ cũng phải là π 2 radian.
Trường hợp 2 (Tam giác có hai góc vuông) Giả sử cả ABC[ và ACB[ đều là góc vuông Theo Định lý Cosin cầu ta có, cos(AC) = cos(AB) cos(BC) + sin(AB) sin(BC) cos(A BC)b (1.14)
= cos(AB) cos(BC) + sin(AB) sin(BC) cos( π
Tương tự, cos(AB) = cos(AC) cos(BC) Thay công thức tính cos(AB) này vào phương trình (1.16), ta được cos(AC) = cos(AC) cos 2 (BC) (1.17)
Trừ hai vế của phương trình (1.17) cho cos(AC) ta được: cos(AC) sin 2 (BC) = 0 (1.18)
VìBC nằm trong khoảng từ 0 đếnπ radian nên sin(BC) 6= 0 Do đó, cos(AC) 0 Suy ra AC bằng π 2 radian Lập luận tương tự, AB cũng bằng π 2 radian Quay lại Trường hợp 1.
Trường hợp 3 (Tam giác có một cạnh đối và một góc vuông) Giả sử cả
ABCb và AC đều có số đo là π 2 radian phương trình (1.16) cho biết cos(AC) = cos(AB) cos(BC).
Thay AC có số đo là π 2 vào ta được:
Do đó, một trong hai cạnh AB hoặc BC phải bằng π 2 radian, và chúng ta quay lại Trường hợp 1.
Trường hợp 4 (Tam giác có một cạnh bên và một góc vuông) Giả sử cả ABC[ và AB đều có số đo là π 2 radian Theo Định lý Cosin cầu ta có: cos(AC) = cos(AB) cos(BC) + sin(AB) sin(BC) cos( ABC).[
Do đó, AC bằng π 2 radian, và chúng ta quay lại Trường hợp 1.
Từ bổ đề trên ta thấy rằng nếu một tam giác cầu có đỉnh là cực của cạnh đối diện là tam giác bán nguyệt Trong phần tiếp theo ta xét trường hợp đặc biệt của tam giác cầu là tam giác có ba đỉnh là các cực tương ứng của cạnh đối diện.
Tam giác đối ngẫu
Trong mục này, chúng tôi trình bày các định lý về góc và cạnh đối ngẫu, định lý cho các góc Các nội dung trình bày được tham khảo từ tài liệu [4]. Định nghĩa 1.3.1 (Tam giác đối ngẫu) Cho tam giác cầu ABC, gọi ∆ A’B’C’ là tam giác có đỉnh là cực của các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng của
∆ABC ở cùng bán cầu với ∆ABC (tức là A 0 nằm cùng phía với A của BC , ).
∆ A’B’C’ là đối ngẫu của ∆ABC.
Hình 1.9: Tam giác đối ngẫu
Như trong Hình 1.9, cho a, b và c lần lượt là các cạnh đối diện với các đỉnh
A, B, C và a’, b’ và c’ là các cạnh đối diện với các đỉnh A’, B’ và C’ Vì các đỉnh A’, B’ và C’ là các cực của a, b và c nên tất cả các cung màu đỏ bằng π 2 radian Theo cách dựng,∆ABC’, ∆AB 0 C và∆A’BC là các tam giác bán nguyệt.Tuy nhiên, theo bổ đề 1.2.3, thì∆A’B’C,∆A’BC’,∆AB’C’ cũng là tam giác bán nguyệt Do đó, các đỉnh của∆ABC là cực của các cạnh của ∆A’B’C’, trong các bán cầu thích hợp Do đó, ∆ABC là đối ngẫu của ∆A’B’C’. Định lý 1.3.2 (Góc và cạnh đối ngẫu) Số đo của một góc trong tam giác cầu và độ dài cạnh tương ứng trong đối ngẫu của nó là bù nhau.
Chứng minh Cho ∆ABC, ∆A’B’C’ là đối ngẫu của nhau như đã dựng ở trên. Theo phép đối ngẫu của cách dựng, ta chỉ cần xét một cạnh và góc tại cực tương ứng của nó, là đỉnh của tam giác đối ngẫu Xét ACBb và c’ trong Hình 1.9 Như đã lưu ý ở trên, ∆A’B’C, ∆AB’C và ∆A’BC là các bán nguyệt Như vậy, A 0 CBb 0 và c’ có cùng kích thước Hơn nữa, A 0 CBb và ACBb 0 là các góc vuông Vì thế, c 0 + A CBb = A 0 CBb 0 + A CBb
Do đó, chúng ta có c’ và ACBb là bù nhau. Áp dụng Định lý Cosin cầu cho đối ngẫu của một tam giác cầu, chúng ta nhận được định lý sau. Định lý 1.3.3 (Định lý Cosin cho các góc) Cho một tam giác cầu có hai góc A và B và cạnh γ giữa chúng, ta có thể tính cosin của góc đối diện là Γ như sau: cos(Γ) = − cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B) cos(γ )
Chứng minh Xét ∆A 0 B 0 Γ 0 , đối ngẫu của ∆ABΓ , với các cạnh α 0 , β 0 và γ 0 Áp dụng Định lý Cosin cầu để tính γ 0 : cos(γ 0 ) = cos(α 0 ) cos(β 0 ) + sin(α 0 ) sin(β 0 ) cos(Γ 0 )
Sử dụng Định lý 1.3.2 để thay mỗi góc và cạnh bằng phần bù của cạnh và góc tương ứng trong tam giác đối ngẫu, ta được; cos(π − Γ) = cos(π − A) cos(π − B) + sin(π − A) sin(π − B) cos(π − γ)
Vì cos(π − x) = − cos(x) và sin(π − x) = sin(x), phương trình trở thành:
− cos(Γ) = cos(A)cos(B ) − sin(A) sin(B) cos(γ) hay cos(Γ) = − cos(A)cos(B) + sin(A) sin(B) cos(γ) Suy ra điều phải chứng minh. Định lý 1.3.4 (Tính đối ngẫu của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp) Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác cầu trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đối ngẫu của nó Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác cầu phụ với bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đối ngẫu của nó.
Hình 1.10: Đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp đối ngẫu
Chứng minh Cho tam giác cầu ABC, như trong hình 1.10, gọi G là tâm của đường tròn nội tiếp và D, E, F là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh BC, AC và AB tương ứng Gọi ∆A 0 B 0 C 0 là đối ngẫu của ∆ABC.
Vì bán kính đường tròn nào cũng vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm nên
GD vuông góc với BC Do đó, nếu chúng ta kéo dài DG, nó đi qua A’, cực của
BC, và DA’ có độ dài π 2 Điều này cũng đúng với các điểm khác của tiếp tuyến.
Do đó, GA’, GB’ và GC’ là phụ với r, bán kính của đường tròn nội tiếp ∆ABC, và do đó chúng bằng nhau Như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng tâm của
∆ABC là tâm của ∆A 0 B 0 C 0 và bán kính của đường tròn nội tiếp ∆ABC là phụ với bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆A 0 B 0 C 0
Tam giác cầu vuông
Giống như trong lượng giác phẳng, nhiều dữ liệu về tam giác cầu có thể được rút ra bằng cách sử dụng tam giác cầu vuông Một trong những định lý quan trọng được trình bày trong mục này đó là Định lý Pitago cầu. Định lý 1.4.1 (Hình chiếu vuông góc) Hình chiếu tam giác vuông lên một mặt phẳng tiếp tuyến với bất kỳ đỉnh nào của nó thì bảo toàn góc vuông.
Chứng minh Trường hợp hình chiếu ở góc vuông là tầm thường Do đó, xét tam giác vuông ABC trong hình 1.11 Dựng tam giác vuông ADC bằng∆ABC,
Hình 1.11 chung cạnh AC Tạo bởi hai góc vuông nên BCDb là góc bẹt Do đó, C nằm trên
BD Gọi B’, C’, D’ là hình chiếu của B, C, D lên các tiếp tuyến của mặt phẳng tại A; Do đó, C’ nằm trên B’D’ Vì ∆ABC bằng ∆ ADC nên ∆ AD’C’ bằng ∆AB’C’ Nghĩa là, AC 0 = AC 0 , AB 0 = tan (AB) = tan (AD) = AD 0 , và B’ACb 0 BACb = DACb = D’ACb 0
Do đó, ACb 0 B 0 = ACb 0 D 0 , do C’ nằm trên B’D’ nên ACb 0 B 0 và ACb 0 D 0 là bù nhau. Như vậy, mỗi góc là một góc vuông. Định lý 1.4.1 nói rằng các góc vuông được bảo toàn khi chiếu một tam giác cầu lên một mặt phẳng tiếp tuyến tại bất kỳ đỉnh nào của tam giác đã cho Hệ quả 1.4.2 cho biết điều gì xảy ra với các kích thước khác của các góc trong một tam giác cầu.
Hệ quả 1.4.2 (Góc chiếu) Cho tam giác cầu chiếu lên một mặt phẳng tiếp tuyến một góc, tang của hình chiếu của một góc khác trong tam giác là tang của góc cầu tương ứng nhân với cosin của cạnh nối các góc.
Chứng minh Xét ∆ABD trong hình 1.11 Từ A, hạ AC vuông góc với BD Xét hình chiếu của ∆ABC lên mặt phẳng tiếp tuyến tại A, ∆ AB’C’ Vì ∆ABC là tam giác vuông nên theo Định lý 1.4.1 ta có ∆ AB’C’ cũng là tam giác vuông. Áp dụng Định lý Cosin cho các góc, ta có: cos(A CB) =b − cos(C AB) cos(b B) + sin(Cb AB) sin(b B) cos(AB)b
Vì ACBb là góc vuông nên cos(A CB) = 0b , phương trình trở thành: cos(C AB) cos(b B) = sin(Cb AB) sin(b B) cos(AB)b Chia cả 2 vế của phương trình cho: cos(C AB) cos(b B)b ta được: tan(C AB) tan(b B) cos(AB) = 1b (1.19) Trong mặt phẳng, CABb =C’ABb 0 , C’ABb 0 phụ với Bb 0 , do đó: tan(C AB) tan(b Bb 0 ) = 1 (1.20)
Kết hợp phương trình (1.19) và phương trình (1.20), ta được: tan( Bb 0 ) = tan( Bb) cos(AB) (1.21)Suy ra điều phải chứng minh.
Trong lượng giác phẳng, Định lý Cosin thường được suy ra từ Định lý Pitago. Ở đây, chúng tôi chứng minh mọi thứ theo cách khác. Định lý 1.4.3 (Định lý Pitago cầu) Cho tam giác cầu vuông có cạnh góc vuông α, β và cạnh huyền γ, ta có quan hệ: cos(α) cos(β) = cos(γ) (1.22)
Chứng minh Trong hình 1.12, Γ là một góc vuông Áp dụng Định lý Cosin cầu, ta nhận được: cos(γ) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) cos(Γ)
= cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) cos( π
Suy ra điều phải chứng minh. Định lý 1.4.4 (Hệ thức lượng trong tam giác cầu vuông) Cho tam giác cầu vuông ABΓ có cạnh góc vuông α và β đối với góc A và B, cạnh huyền γ đối với góc vuông Γ, ta có: sin(A) = sin(α) sin(γ) sin(B) = sin(β) sin(γ) (1.23) cos(A) = tan(β) tan(γ) cos(B) = tan(α) tan(γ) (1.24) tan(A) = tan(α) sin(β) tan(B ) = tan(β) sin(α) (1.25)
Chứng minh Tham khảo hình 1.12 Nếu ta chiếu tam giác lên mặt phẳng tiếp tuyến tại A, ta được ∆AB 0 Γ 0 Theo Định lý 1.4.1, Γ 0 là một góc vuông AB 0 = tan(γ) và AΓ 0 = tan(β) Sử dụng các công thức lượng giác mặt phẳng, chúng ta nhận được: cos(A) = tan(β) tan(γ) (1.26)
Tương tự, ta có: cos(B) = tan(α) tan(γ) (1.27)
Chiếu lên mặt phẳng tiếp tuyến tại Γ, ta được tam giác vuông A 0 B 0 Γ Sử dụng phép chiếu này, các công thức lượng giác phẳng nói rằng: tan(A 0 ) = tan(α) tan(β) Theo hệ quả 1.4.2 ta có: tan(A 0 ) = tan(A) cos(β)
Do đó, ta nhận được: tan(A) = tan(α) sin(β) (1.28)
Tương tự, ta cũng có: tan(B ) = tan(β) sin(α) (1.29)
Nhân phương trình (1.26) và phương trình (1.28), ta được: sinA= tan(α) sin(β) tan(β) tan(γ) (1.30)
= sin(α) sin(γ) cos(γ) cos(α) cos(β) (1.31)
Trong đó bước cuối cùng trong phương trình (1.32) theo Định lý Pytago cầu. Tương tự, ta cũng có, sin B = sin(β) sin(γ) (1.33)
Định lý Sin cầu
Trong mục này, chúng tôi trình bày các định lý, hệ quả về hình cầu được phát triển trên các công thức lượng giác phẳng Nội dung của mục này được tham khảo từ tài liệu số [4]. Định lý 1.5.1 (Định lý Sin cầu) Cho tam giác cầu ABC với các cạnh a và b đối diện với góc A và B, ta có: sin(a) sin(A) = sin(b) sin(B) (1.34)
Chứng minh Như hình 1.13, hạ CD vuông góc lên AB Theo định lý 1.4.4, ta có: sin(A) = sin(h) sin(b) sin(B ) = sin(h) sin(a)
⇒ sin(B ) sin(a) = sin(h) = sin(A) sin(b) Chia 2 vế của phương trình cho sin(A)sin(B), ta được phương trình : sin(a) sin(A) = sin(b) sin(B) Suy ra điều phải chứng minh.
Cho hai cạnh và góc xen giữa của chúng, Định lý Cosin cầu tính cosin của cạnh còn lại Mệnh đề sau đây tính tan của các góc khác.
Mệnh đề 1.5.2 Cho tam giác cầu ABC với các cạnh đối tương ứng a, b, c, ta có: tan(A) = tan(a) sec(b) sin(C) tan(b) − tan(a) cos(C) (1.35)
Chứng minh Theo Định lý Sin cầu: sin(a) sin(A) = sin(c) sin(C) và hệ quả 1.1.3: sin(c) cos(A) = cos(a) sin(b) − sin(a) cos(b) cos(C).
Ta có: tan(A) = sin(A) cos(A)
= sin(a) sin(C) cos(a) sin(b) − sin(a) cos(b) cos(C)
= tan(a) sec(b) sin(C) tan(b) − tan(a) cos(C)Suy ra điều phải chứng minh.
Công thức nửa góc cầu
Cũng giống như trong lượng giác phẳng, lượng giác cầu có các công thức tương tự.
Nhắc lại một số công thức lượng giác sin(u+v)+sin(u−v) = 2 sin(u) cos(v ) sin(x)+sin(y) = 2 sin x + y
2 (1.36) sin(u+v)−sin(u−v ) = 2 cos(u) sin(v) sin(x)−sin(y) = 2 cos x + y
2 (1.37) cos(u+v)+cos(u−v) = 2 cos(u) cos(v) cos(x)+cos(y) = 2 cos x + y
2 (1.38) cos(u−v)−cos(u+v) = 2 sin(u) sin(v) cos(y)−cos(x) = 2 sin x + y
2 (1.39) Các công thức cộng lượng giác: sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v) (1.40) sin(u − v) = sin(u) cos(v) − cos(u) sin(v) (1.41) cos(u + v) = cos(u) cos(v) − sin(u) sin(v) (1.42) cos(u − v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) (1.43) Chia phương trình (1.36) cho phương trình (1.38).Ta được phương trình, sin(x) + sin(y) cos(x) + cos(y) = tan x + y
Công thức nửa góc cầu
Cho tam giác cầu ABC có các cạnh đối diện là a, b và c, sử dụng Định lý Cosin cầu để tính cos (A): cos(A) = cos(a) − cos(b) cos(c) sin(b) sin(c) (1.45)
Sử dụng phương trình (1.45), phương trình (1.39) và đặt s = a+b+c 2 , ta nhận được, sin 2 ( A
= sin(b) sin(c) + cos(b) cos(c) − cos(a)
Tương tự, ta có: cos 2 ( A
= cos(a) − cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c)
Sử dụng phương trình (1.46) và phương trình (1.50) và các phép biến đổi của chúng cho các góc B và C, ta nhận được các đẳng thức dưới đây,
2 ) = s sin(s − a) sin(s − b) sin 2 (s − c) sin(a) sin(b) sin 2 (c) (1.54)
2 ) = s sin(s) sin(s − c) sin 2 (s − b) sin(a) sin(b) sin 2 (c) (1.56)
2 ) = s sin(s) sin(s − c) sin 2 (s − a) sin(a) sin(b) sin 2 (c) (1.58)
2 ) = s sin(s − a) sin(s − b) sin 2 (s) sin(a) sin(b) sin 2 (c) (1.60)
2 ) sin(s) sin(c) (1.61) Định lý 1.6.1 Cho tam giác cầu ABC có các cạnh a, b, c đối diện với góc tương ứng, ta có: cos( A+B 2 ) sin( C 2 ) = cos( a+b 2 ) cos( c 2 ) (1.62) sin( A+B 2 ) cos( C 2 ) = cos( a−b 2 ) cos( c 2 ) (1.63) cos( A−B 2 ) sin( C 2 ) = sin( a+b 2 ) cos( c 2 ) (1.64) sin( A−B 2 ) cos( C 2 ) = sin( a−b 2 ) sin( c 2 ) (1.65)
Chứng minh Chúng ta sử dụng phương trình (1.42) và phương trình (1.37) Ta có thể viết cos( A+B 2 ) dưới dạng: cos( A + B
Sử dụng phương trình (1.40) và phương trình (1.36) Ta có thể viết sin( A+B 2 ) dưới dạng: sin( A + B
Sử dụng phương trình (1.43) và phương trình (1.36) Ta có thể viết cos( A−B 2 ) dưới dạng: cos( A − B
Sử dụng phương trình (1.41) và phương trình (1.37) Ta có thể viết sin( A−B 2 ) dưới dạng: sin( A − B
Hệ quả 1.6.2 Cho tam giác cầu ABC với các cạnh a, b, c đối diện với góc tương ứng, ta có: tan( A + B
= tan( a 2 ) − tan( b 2 ) tan( a 2 ) + tan( b 2 ) (1.69) Chứng minh Chia phương trình (1.63) cho phương trình (1.62) được phương trình (1.66) Chia phương trình (1.65) cho phương trình (1.64) thu được phương trình (1.68).
Hệ quả 1.6.3 Cho tam giác cầu ABC với các cạnh a, b, c đối diện với góc tương ứng, ta có: tan( A−B 2 ) tan( A+B 2 ) = tan( a−b 2 ) tan( a+b 2 ) (1.70)
Chứng minh Chia phương trình (1.68) cho phương trình (1.66) ta được phương trình (1.70).
Kết quả gần đây về Định lý Lexell. Định lý Lexell không được biết đến nhiều; mặc dù tính đơn giản của nó (và thậm chí vẻ đẹp thẩm mỹ) nó không được đề cập trong hầu hết các sổ tay và từ điển toán học Vì vậy, trong chương này, chúng tôi cố gắng sắp xếp nội dung để độc giả làm quen với Định lý Lexell Định lý Lexell là một phép biến đổi của kết quả cơ bản từ hình học phẳng, cho tam giác ABC và bất kỳ điểm X nào trên đường thẳng song song với AB tại C Diện tích tam giác ABX bằng diện tích tam giác ABC Phần 1 chúng tôi trình bày về khái niệm thặng dư cầu Phần
2 trình bày về các công thức tính diện tích tam giác cầu Phần 3 trình bày về đường tròn Lexell; và các trường hợp cơ bản của Định lý Lexell khi các cung Lexell là hình bán nguyệt Phần 4 được dành cho một chứng minh mới về định lý Lexell mà không sử dụng Định lý Girard Một phiên bản cải tiến của Định lý Lexell về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung trên một đường tròn nhỏ được trình bày trong Phần 5 Để chứng minh điều đó, chúng ta sử dụng công thức diện tích (tức là, Định lý Girard) cho một tam giác cầu Các nội dung được trình bày dựa theo tài liệu tham khảo số [4] và tài liệu số [2].
Thặng dư cầu
Ta đã biết, trong tam giác phẳng thông thường tổng các góc bằng π radian.Trong tam giác cầu, tổng các góc lớn hơn π radian Điều này cho chúng ta đến những khái niệm sau đây. Định nghĩa 2.1.1 (Spherical excess) Thặng dư cầu của một tam giác cầu là tổng các góc của nó trừ đi π radian.
Một trong những định lý quan trọng để tính diện tích tam giác cầu liên quan đến thặng dư cầu đó là Định lý Girard Nội dung của định lý được trình bày trong [4]. Định lý 2.1.2 (Định lý Girard) Diện tích tam giác cầu bằng thặng dư cầu của nó.
Biểu thị diện tích của ∆ ˘ ABC đơn giản bằng [ABC].
Chứng minh Xét diện tích giữa hai hình tròn lớn tạo thànhAbcủa∆ ˘ ABC trong Hình 2.1 Nếu Ab là π radian, diện tích của hai hình tròn lớn là 4π đơn vị diện
Hình 2.1 tích (diện tích của hình cầu đầy đủ) Diện tích giữa hai đường tròn lớn như vậy thay đổi tuyến tính với góc tạo bởi hai đường tròn lớn Như vậy, diện tích gấp
Nếu ta xét tất cả các phần tương tự đối với tất cả các góc của ∆ ˘ ABC, chúng ta thấy rằng tất cả mặt cầu bị che, nhưng ∆ABC và tam giác đối của nó bị che
Ta được công thức về diện tích của một tam giác cầu:
[ABC ] = A + B + C − πVậy diện tích tam giác cầu ABC bằng thặng dư cầu của nó.
Diện tích tam giác cầu
Công thức sau đây tính diện tích tam giác cầu tương tự Công thức Heron cho diện tích tam giác phẳng. Định lý 2.2.1 (Công thức L’Huilier): Gọi E là thặng dư cầu ∆ABC và a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng Đặt s= a+b+c 2 Khi đó ta có: tan( E
4 ) Áp dụng hệ quả 1.6.2, ta được: tan( A + B + C − π
4 ) = sin( A+B 2 ) + sin( C−π 2 ) cos( A+B 2 ) + cos( C−π 2 ) sin( A+B 2 ) + sin( C−π 2 ) cos( A+B 2 ) + cos( C−π 2 ) = sin( A+B 2 ) − cos( C 2 ) cos( A+B 2 ) + sin( C 2 ) Theo định lý 1.7.1 ta được: sin( A+B 2 ) − cos( C 2 ) cos( A+B 2 ) + sin( C 2 ) = (cos( a−b 2 ) − cos( c 2 )) cos( C 2 )
(cos( a+b 2 ) + cos( 2 c )) sin( C 2 ) Theo định lý 1.6.1 và các công thức nửa góc cầu (đối với góc C) ta được:
(cos( a+b 2 ) + cos( 2 c )) sin( C 2 ) = 2 sin( s−a 2 ) sin( s−b 2 )
2 cos( s 2 ) cos( s−c 2 ) r sin(s) sin(s − c) sin(s − a) sin(s − b)
2 cos( 2 s ) cos( s−c 2 ) r sin(s) sin(s − c) sin(s − a) sin(s − b) = s sin 2 ( s−a 2 ) sin 2 ( s−b 2 ) cos 2 ( 2 s ) cos 2 ( s−c 2 ) r sin(s) sin(s − c) sin(s − a) sin(s − b) Áp dụng công thức sin x = 2 sin x 2 cos x 2 , ta được: s sin 2 ( s−a 2 ) sin 2 ( s−b 2 ) cos 2 ( s 2 ) cos 2 ( s−c 2 ) r sin(s) sin(s − c) sin(s − a) sin(s − b) = r tan( s
Trong mặt phẳng ta có công thức tính diện tích tam giác vuông là 1 2 ab, trong đó a, b là hai cạnh góc vuông Định lý dưới đây cho ta một công thức gần tương tự đối với tam giác cầu vuông. Định lý 2.2.2 Giả sử ∆ABC là tam giác cầu vuông tại C và các cạnh a, b, c đối diện với góc tương ứng Ta có công thức sau cho diện tích tam giác cầu, E, của ∆ABC: tan( E
Chứng minh Sử dụng phương trình (1.67) của Hệ quả 1.7.2, vớiC = π 2 , ta được: tan( E
Suy ra điều phải chứng minh.
Đường tròn Lexell
Định nghĩa 2.3.1 Cho S là hình cầu đơn vị trong không gian Euclide R 3 có tâm tại gốc tọa độ O, và đối với một điểm X thuộc S, gọi điểm đối cực của X là X 0 Cho tam giác cầu ∆ ˘ ABC trên S, đường tròn đi qua A 0 ,B 0 , C được gọi là đường tròn Lexell của ∆ ˘ ABC với đáy là AB.
Hai điểm A 0 ,B 0 chia đường tròn Lexell thành hai cung mở, được gọi là cung Lexell Lấy hai điểm X, Y bất kì ∈S Ba điểm (X, Y, O) tạo thành một đường tròn lớn Do đó, một đoạn XY là cung ngắn hơn bị chặn bởi X và Y từ một đường tròn lớn Đối với một đường tròn nhỏ Γ trên S, một đoạn nối hai điểm của Γ được gọi là một dây của Γ Nếu một dây của Γ đi qua tâm của nắp hình cầu nhỏ hơn giới hạn bởi Γ, thì dây đó được gọi là đường kính của Γ. Định lý 2.3.2 Đối với ba điểm phân biệt A, B, C trên một đường tròn nhỏ Γ trên S, [ABC 0 ] = π khi và chỉ khi dây AB là đường kính của Γ.
Chứng minh (i) Giả sử AB là đường kính của Γ Gọi CD là một đường kính khác của Γ Khi đó các đoạn thẳng AB và CD có cùng độ dài và A, C, B, D kéo dài là một hình chữ nhật trong R 3 Khi đó A 0 , C 0 , B 0 , D 0 kéo dài một hình chữ nhật đối xứng với hình chữ nhật ACBD theo tâm O của S Trong trường hợp này, tám điểm A, C, B, D,B 0 , D 0 , A 0 , C 0 là một hình hộp chữ nhật nội tiếp trong S ( Hình 2.2).
Hình 2.2: Hình hộp chữ nhật nội tiếp S
Gọi τ là tứ diện có các đỉnh A, B, C 0 , D 0 Nếu kích thước của hình hộp chữ nhật này là w × d × h, thì mỗi mặt của tứ diện τ có độ dài các cạnh là √ w 2 + d 2 ,
√ d 2 + h 2 , √ w 2 + h 2 Do đó bốn mặt của τ đều bằng nhau Tâm O củaS rõ ràng nằm trong τ Bằng cách chiếu các mặt củaτ từ O lên S, ta có bốn mặt của S là
4 tam giác cầu Vì bốn mặt củaτ là bằng nhau nên bốn tam giác cầu cũng bằng nhau Do đó mỗi tam giác hình cầu có diện tích 4π 4 = π, và do đó [ABC ∗ ] = π. (ii) Bây giờ, giả sử rằng AB không phải là đường kính của Γ, chúng ta phải chứng tỏ rằng [ABC 0 ] 6= π Đặt Γ o là đường tròn nhỏ có đường kính AB Khi đó
C / ∈ Γ o Gọi Z là tâm của Γ o, tức là Z là trung điểm của AB Để làm rõ lập luận của chúng ta, chúng ta hãy giả sử rằng C nằm ngoài nắp nhỏ hơn được giới hạn bởi Γ o Gọi C o là giao điểm của ZC và Γ o Khi đó, trên đường tròn lớn chứa ZC, điểmC o 0 nằm giữaZ 0 vàC 0 Do đó, sáu điểm Z, C o, C,Z 0 , C o 0 , C 0 nằm trên đường tròn lớn theo thứ tự tuần hoàn này Do đó C 0 nằm trên C o 0 Z Vì C o 0 Z ⊂ ∆ABC ˘ o 0 , nên điểm C 0 nằm trong ∆ABC o 0 do đó ∆ABC ˘ 0 là một tập con thích hợp của
∆ABC ˘ o 0 Do đó, [ABC 0 ] < [ABC o 0 ], và vì [ABC o 0 ] = π (chứng minh trên), do đó [ABC 0 ] 6= π.
Tương tự, chúng ta có thể xử lý trường hợp khi C nằm bên trong nắp nhỏ hơn giới hạn bởi Γ o
Nhận xét 2.3.3 Một tứ diện trong R 3 được gọi là tứ diện cân nếu bốn mặt của nó đều bằng nhau Từ Định lý 2.3.2 và chứng minh của nó, chúng ta có thể thấy rằng một tứ diện là một tứ diện cân khi và chỉ khi nó nội tiếp trong một hình hộp chữ nhật sao cho mỗi cạnh của nó trở thành một đường chéo của một mặt của hình hộp chữ nhật này Cũng theo đó một tứ diện là một tứ diện cân khi và chỉ khi mỗi cạnh của nó có cùng độ dài với cạnh đối diện với nó.
Nếu [ABC 0 ] = π, thì AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp∆ABC theo Định lý 2.3.2, và do đó có một tứ diện cân ABC 0 D 0 nội tiếp trong S như trong trường hợp (i) của chứng minh Định lý 2.3.2.
Đường cong đơn điệu
GọiN = (0, 0, 1)là cực bắc của S và S = (0, 0, −1)là cực nam củaS Một mặt phẳng vuông góc với trục Oz được gọi là mặt phẳng nằm ngang Một đường cong đơn trên S được gọi là đường cong đơn điệu nếu mọi mặt phẳng nằm ngang cắt đường cong tại nhiều nhất một điểm Gọi pθ là chuyển động quay quanh trục Oz qua góc θ, và gọi c là đường cong đơn điệu trên S nối N và
S Khi đó c ∩ pθ(c) = {N, S} với mọi 0 < θ < 2π Gọi Wc(θ) là phần của S bị quét bằng cách quay c qua góc θ, và đặt [W c(θ)] là diện tích của nó Rõ ràng,
W c(2π) = S và n[W c( 2π n )] = [W c(2π)] = 4π Do đó chúng ta có [W c( 2π n )] = 4π n , và do đó [W c( 2mπ n )] = 2( 2mπ n ) Điều này chứng tỏ rằng nếu θ là bội số hữu tỉ của π thì [W c(θ)] = 2θ Vì [W c(θ)] là một hàm liên tục của θ, chúng ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.4.1 Nếu một đường cong đơn c nối N và S là đơn điệu, thì[W c(θ)] = 2θ với 0 ≤ θ ≤ 2π.
Nếu c là hình bán nguyệt lớn nối X vàX 0 thì phần của S quét c quanh đường thẳng XX 0 qua góc θ được gọi là mặt trăng của góc θ.
Hệ quả 2.4.2 Diện tích hình mặt trăng của góc θ là 2θ.
Bổ đề 2.4.3 Giả sử rằng U ∈ S nằm trên mặt phẳng ngang z = u và V ∈ S nằm trên mặt phẳng z = v, trong đó −1 < u < v < 1 Khi đó, đoạn UV nằm giữa các mặt phẳng z = u, z = v và UV là một đường cong đơn điệu.
Chứng minh Gọi g là đường tròn lớn thu được là giao điểm của S và mặt phẳng UVO Hai mặt phẳng z = u, z = v chia g thành bốn cung và UV là một trong các cung nằm giữa các mặt phẳng z = u, z = v Với mọi t ∈ [u, v], mặt phẳng nằm ngang z = t cắt g tại hai điểm, và chỉ một trong số chúng thuộc UV. Định lý 2.4.4 (Định lý Lexell) Gọi Γ là đường tròn Lexell cho ∆ABC ˘ có đáy là AB, nếu X ∈ Γ nằm trên cùng cung Lexell với C thì [ABX] = [ABC ].
Chứng minh Đặtf (X) = [ABX]vớiX ∈ Γ\{A 0 , B 0 } Chúng ta có thể giả sử rằng đường tròn Lexell Γ nằm trên mặt phẳng nằm ngang z = t (t> 0) Khi đó A 0 ,
B 0 , C, X nằm trên mặt phẳng z = t và A, B, C 0 , X 0 nằm trên mặt phẳng ngang z = −t Gọi c = N XAS là đường cong thu được bằng cách nối các đoạn NX,
XA, AS với nhau Từ bổ đề 2.4.3 dễ dàng theo dõi rằng đường cong c = N XAS là một đường cong đơn điệu Gọi pθ, với 0 < θ < π, là một chuyển động quay quanh trục z sao cho pθ(A) = B, và đặt Y = pθ(X) Theo bổ đề 2.4.1, ta có [W c(θ)] = 2θ.
Lưu ý rằng hai đoạn thẳng AB, XY có cùng độ dài và hai đoạn AX, BY có cùng độ dài Trong trường hợp này, tương tự như trường hợp tam giác phẳng,∆ ˘ ABX và ∆ ˘ YXB là bằng nhau, nghĩa là, có một trục đẳng phương của S ánh xạ ∆ ˘ ABX đến ∆ ˘ YXB Tương tự, ∆ ˘ ABS và ∆ ˘ YXN là bằng nhau Do đó,
Vì đoạn thẳng AB nằm trong hình chóp có tâm S và bán kính SA nên AB ⊂
W c(θ) Tương tự, ta có XY ⊂ W c(θ) Vì không có đoạn nào trong số các đoạn
NX, XA, AS, NY, YB, BS cắt đoạn XB, nên đường cong biên của W c(θ) không bao giờ cắt đoạn XB Do đó XB nằm trong hoặc ngoài W c(θ).
Trong trường hợp này,W c(θ)được chia bởi ba đoạn AB, XY, XB thành bốn tam giác cầu ∆ABS ˘ , ∆ABX ˘ , ∆XY B ˘ , ∆XY N ˘ (Hình 2.3) Do đó [W c(θ)] = 2[ABS] + 2[ABX ] = 2[ABS] + 2f(X) và f (X) = 1 2 [W c(θ)] − [ABS] = θ − [ABS ].
(ii) Trường hợp XB 6⊂ W c(θ) Trong trường hợp này XB nằm ngoài W c(θ) và
Hình 2.4: Trường hợp XB 6⊂ W c(θ) ba tập hợp ∆ ˘ ABX, ∆ ˘ XYB, W c(θ) che phủ S (Hình 2.4) Lưu ý rằng phần
∆ABS ˘ ∪ ∆ ˘ XYN được che phủ kép Do đó,
[ABX] + [XY B] + 2θ = 4π + [ABS ] + [XY N ] và do đó f (X) = (4π+2[ABS]−2θ)
Từ (i) và (ii), tập giá trị của f là {θ − [ABS], 2π + [ABS] − θ}.
Vậy f(X) nhận một trong hai giá trị nếu X và C cùng nằm trên một cung Lexell thì diện tích hai tam giác bằng nhau.
Nhận xét 2.4.5 Nếu cung Lexell chứa X là một cung lớn, thì ta có trường hợp(i); nếu không chúng ta có trường hợp (ii).
Góc giữa tiếp tuyến và dây cung
Gọi XY là một dây cung bất kì của đường tròn nhỏ Γ trên S, và gọi g là đường tròn lớn tiếp xúc với Γ tại X (hoặc Y) Khi đó góc ϕ với 0 < ϕ ≤ π 2 ; tạo bởi g và đoạn XY được gọi là góc tạo bởi dây cung XY và Γ; xem Hình 2.5. Định lý 2.5.1 Gọi Γ là đường tròn Lexell của ∆ABC ˘ với đáy là AB, và gọi ϕ, trong đó 0 < ϕ ≤ π 2 , là góc tạo bởi dây cung A 0 B 0 và Γ Khi đó:
2ϕ nếu cung Lexell chứa C là cung lớn;
2π − 2ϕ nếu cung Lexell chứa C là cung nhỏ;
Hình 2.5: Góc giữa tiếp tuyến và dây cung
Vì định lý này trình bày các giá trị rõ ràng của diện tích các tam giác cầu, và Định lý Lexell cũng theo đó, chúng ta có thể nói rằng định lý này là Phiên bản cải tiến của Định lý Lexell Tuy nhiên, để chứng minh định lý này, chúng tôi sử dụng Định lý Girard cho diện tích các tam giác cầu, trong đó nói rằng nếu một tam giác cầu trên S có các góc trong là α, β, γ thì diện tích của nó là α + β + γ − π.
Chứng minh Vì ∆ ˘ ABC và ∆A ˘ 0 B 0 C 0 là bằng nhau nên ta xét [A 0 B 0 C 0 ] Cho α = C Ab 0 B 0 , β = A 0 Bb 0 C, γ = B 0 CAb 0 i) Đầu tiên chúng ta xem xét trường hợp C nằm trên cung lớn (Hình 2.6).
Gọi Z là tâm đường tròn Lexell Γ Khi đó ta có α + β − γ = 2Z Ab 0 B 0 Vì Z Ab 0 B 0 = π
2 − ϕ, ta có α + β − γ = π − 2ϕ Do đó α + β + γ − π = 2γ − 2ϕ Theo định lý Girard, chúng ta có [CA 0 B 0 ] = α + β + γ − π Vì [CA 0 B 0 ] + [C 0 A 0 B 0 ] là diện tích mặt trăng của góc γ nên ta có [CA 0 B 0 ] + [C 0 A 0 B 0 ] = 2γ theo Hệ quả 2.4.2 Do đó, [A 0 B 0 C 0 ] = 2ϕ.
(ii) Trong trường hợp C nằm trên dây cung nhỏ (Hình 2.7), ta có: α + β − γ = −2Z Ab 0 B 0 , và ϕ + Z Ab 0 B 0 = π 2
Hệ quả 2.5.2 Cho A, C, B, D ∈ S nằm trên một đường tròn nhỏ theo thứ tự tuần hoàn này Khi đó [ABC 0 ] + [ABD 0 ] = 2π.
Chứng minh Gọi ϕ là góc tạo bởi dây cung A 0 B 0 và đường tròn Lexell Vì các đoạn thẳng AB và CD chéo nhau nên các đoạnA 0 B 0 và C 0 D 0 cũng chéo nhau Giả sử cung Lexell chứaC 0 là một cung lớn Khi đóD 0 nằm trên cung nhỏ Theo Định lý 2.5.1, ta có[ABC 0 ] = 2ϕvà[ABD 0 ] = 2π −2ϕ Do đó,[ABC 0 ]+[ABD 0 ] = 2π.
Luận văn với đề tài “Lượng giác cầu và Định lý Lexell’ đã trình bày được những kết quả sau:
1 Trình bày lại những kiến thức cơ bản của lượng giác cầu, các công thức tính các cạnh, góc của tam giác cầu.
2 Trình bày về thặng dư cầu, diện tích của tam giác cầu, Định lý Lexell và một số vấn đề liên quan.