Cũng giống như trong lượng giác phẳng, lượng giác cầu có các công thức tương tự.
Nhắc lại một số công thức lượng giác
sin(u+v)+sin(u−v) = 2 sin(u) cos(v) sin(x)+sin(y) = 2 sinx+y
2 cosx−y
2 (1.36) sin(u+v)−sin(u−v) = 2 cos(u) sin(v) sin(x)−sin(y) = 2 cosx+y
2 sinx−y
2 (1.37) cos(u+v)+cos(u−v) = 2 cos(u) cos(v) cos(x)+cos(y) = 2 cosx+y
2 cosx−y
2 (1.38) cos(u−v)−cos(u+v) = 2 sin(u) sin(v) cos(y)−cos(x) = 2 sinx+y
2 sinx−y
2 (1.39) Các công thức cộng lượng giác:
sin(u+v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v) (1.40) sin(u−v) = sin(u) cos(v)−cos(u) sin(v) (1.41) cos(u+v) = cos(u) cos(v)−sin(u) sin(v) (1.42) cos(u−v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) (1.43) Chia phương trình (1.36) cho phương trình (1.38).Ta được phương trình,
sin(x) + sin(y)
cos(x) + cos(y) = tanx+y
2 (1.44)
Công thức nửa góc cầu
Cho tam giác cầu ABC có các cạnh đối diện là a, b và c, sử dụng Định lý Cosin cầu để tính cos (A):
cos(A) = cos(a)−cos(b) cos(c)
sin(b) sin(c) (1.45)
Sử dụng phương trình (1.45), phương trình (1.39) và đặt s = a+b+c2 , ta nhận được,
sin2(A
2) = 1−cos(A)
2 (1.46)
= sin(b) sin(c) + cos(b) cos(c)−cos(a)
2 sin(b) sin(c) (1.47)
= cos(b−c)−cos(a)
2 sin(b) sin(c) (1.48)
= sin(s−b) sin(s−c)
sin(b) sin(c) (1.49)
Tương tự, ta có:
cos2(A
2) = 1 + cos(A)
2 (1.50)
= cos(a)−cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c)
2 sin(b) sin(c) (1.51)
= cos(a)−cos(b+c)
2 sin(b) sin(c) (1.52)
= sin(s) sin(s−a)
sin(b) sin(c) (1.53)
Sử dụng phương trình (1.46) và phương trình (1.50) và các phép biến đổi của chúng cho các góc B và C, ta nhận được các đẳng thức dưới đây,
(1)
sin(A
2) sin(B 2) =
s
sin(s−a) sin(s−b) sin2(s−c)
sin(a) sin(b) sin2(c) (1.54)
= sin(C
2)sin(s−c)
sin(c) (1.55)
(2)
sin(A
2) cos(B 2) =
s
sin(s) sin(s−c) sin2(s−b)
sin(a) sin(b) sin2(c) (1.56)
= cos(C
2)sin(s−b)
sin(c) (1.57)
(3)
cos(A
2) sin(B 2) =
s
sin(s) sin(s−c) sin2(s−a)
sin(a) sin(b) sin2(c) (1.58)
= cos(C
2)sin(s−a)
sin(c) (1.59)
(4)
cos(A
2) cos(B 2) =
s
sin(s−a) sin(s−b) sin2(s)
sin(a) sin(b) sin2(c) (1.60)
= sin(C
2)sin(s)
sin(c) (1.61)
Định lý 1.6.1. Cho tam giác cầu ABC có các cạnh a, b, c đối diện với góc tương ứng, ta có:
cos(A+B2 )
sin(C2) = cos(a+b2 )
cos(c2) (1.62)
sin(A+B2 )
cos(C2) = cos(a−b2 )
cos(c2) (1.63)
cos(A−B2 )
sin(C2) = sin(a+b2 )
cos(c2) (1.64)
sin(A−B2 )
cos(C2) = sin(a−b2 )
sin(c2) (1.65)
Chứng minh. Chúng ta sử dụng phương trình (1.42) và phương trình (1.37). Ta có thể viết cos(A+B2 ) dưới dạng:
cos(A+B
2 ) = cos(A
2) cos(B
2)−sin(A
2) sin(B 2)
= sin(C
2)sin(s)−sin(s−c) sin(c)
= sin(C
2)2 cos(a+b2 ) sin(2c) sin(c)
= sin(C
2)cos(a+b2 ) cos(2c) .
Sử dụng phương trình (1.40) và phương trình (1.36). Ta có thể viết sin(A+B2 ) dưới dạng:
sin(A+B
2 ) = sin(A
2) cos(B
2) + cos(A
2) sin(B 2)
= cos(C
2)sin(s−b) + sin(s−a) sin(c)
= cos(C
2)2 cos(a−b2 ) sin(2c) sin(c)
= cos(C
2)cos(a−b2 ) cos(2c)
Sử dụng phương trình (1.43) và phương trình (1.36). Ta có thể viết cos(A−B2 ) dưới dạng:
cos(A−B
2 ) = cos(A
2) cos(B
2) + sin(A
2) sin(B 2)
= sin(C
2)sin(s) + sin(s−c) sin(c)
= sin(C
2)2 sin(a+b2 ) cos(c2) sin(c)
= sin(C
2)sin(a+b2 ) sin(c2) .
Sử dụng phương trình (1.41) và phương trình (1.37). Ta có thể viết sin(A−B2 ) dưới dạng:
sin(A−B
2 ) = sin(A
2) cos(B
2)−cos(A
2) sin(B 2)
= cos(C
2)sin(s−b)−sin(s−a) sin(c)
= cos(C
2)2 cos(c2) sin(a−b2 ) sin(c)
= cos(C
2)sin(a−b2 ) sin(2c) .
Hệ quả 1.6.2. Cho tam giác cầu ABC với các cạnh a, b, c đối diện với góc tương ứng, ta có:
tan(A+B
2 ) tan(C
2) = cos(a−b2 )
cos(a+b2 ) (1.66)
= 1 + tan(a2) tan(2b)
1−tan(a2) tan(2b). (1.67) tan(A−B
2 ) tan(C
2) = sin(a−b2 )
sin(a+b2 ) (1.68)
= tan(a2)−tan(b2)
tan(a2) + tan(b2) (1.69) Chứng minh. Chia phương trình (1.63) cho phương trình (1.62) được phương trình (1.66). Chia phương trình (1.65) cho phương trình (1.64) thu được phương trình (1.68).
Hệ quả 1.6.3. Cho tam giác cầu ABC với các cạnh a, b, c đối diện với góc tương ứng, ta có:
tan(A−B2 )
tan(A+B2 ) = tan(a−b2 )
tan(a+b2 ) (1.70)
Chứng minh. Chia phương trình (1.68) cho phương trình (1.66) ta được phương trình (1.70).
Chương 2
Kết quả gần đây về Định lý Lexell.
Định lý Lexell không được biết đến nhiều; mặc dù tính đơn giản của nó (và thậm chí vẻ đẹp thẩm mỹ) nó không được đề cập trong hầu hết các sổ tay và từ điển toán học. Vì vậy, trong chương này, chúng tôi cố gắng sắp xếp nội dung để độc giả làm quen với Định lý Lexell. Định lý Lexell là một phép biến đổi của kết quả cơ bản từ hình học phẳng, cho tam giác ABC và bất kỳ điểm X nào trên đường thẳng song song với AB tại C. Diện tích tam giác ABX bằng diện tích tam giác ABC. Phần 1 chúng tôi trình bày về khái niệm thặng dư cầu. Phần 2 trình bày về các công thức tính diện tích tam giác cầu. Phần 3 trình bày về đường tròn Lexell; và các trường hợp cơ bản của Định lý Lexell khi các cung Lexell là hình bán nguyệt. Phần 4 được dành cho một chứng minh mới về định lý Lexell mà không sử dụng Định lý Girard. Một phiên bản cải tiến của Định lý Lexell về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung trên một đường tròn nhỏ được trình bày trong Phần 5. Để chứng minh điều đó, chúng ta sử dụng công thức diện tích (tức là, Định lý Girard) cho một tam giác cầu. Các nội dung được trình bày dựa theo tài liệu tham khảo số [4] và tài liệu số [2].