Tính tiêu hao mở rộng của mạng nơ ron phân thứ Caputo có nhiễu 17 Trang 3 LỜI NÓI ĐẦUTrong những năm gần đây, mạng nơ ron nhận được sự quan tâm của nhiềunhà khoa học vì những ứng dụng t
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HƯỜNG TÍNH TIÊU HAO MỞ RỘNG CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ CAPUTO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN TS LÊ VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN - 2023 1 Mục lục Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân thứ 6 1.1.1 Tích phân phân thứ 6 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 7 1.2 Một số bổ đề bổ trợ 12 Chương 2 Tính tiêu hao mở rộng của mạng nơ ron phân thứ Caputo 15 2.1 Phát biểu bài toán và một số định nghĩa 15 2.2 Tính tiêu hao mở rộng của mạng nơ ron phân thứ Caputo có nhiễu 17 2.3 Ví dụ số minh họa 27 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong những năm gần đây, mạng nơ ron nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học vì những ứng dụng thiết thực và to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực như xử lý hình ảnh, xử lý tín hiệu, nhận dạng mẫu, chẩn đoán lỗi, liên kết bộ nhớ, các vấn đề tối ưu hóa, v.v [13] Mạng nơ ron phân thứ được giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi Boroomand và Menhaj vào năm 2008 [2] Vì phép tính vi tích phân phân thứ có khả năng mô tả bộ nhớ và các thuộc tính di truyền của mạng tốt hơn so với mạng nơ ron bậc nguyên nên mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học Nhiều kết quả thú vị và sau sắc về mạng nơ ron bao gồm tính ổn định theo nghĩa Lyapunov [16], tính ổn định trong thời gian hữu hạn [15], tính thụ động [4], tính tiêu hao [12], tính đồng bộ hóa [10] đã được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín Mặt khác, như chúng ta đã biết hiệu suất của mạng nơ ron thường được đặc trưng bởi mối quan hệ giữa các tham số đầu vào và đầu ra, đóng một vai trò quan trọng trong nhiều bài toán thực tế Mối quan hệ này thường được thể hiện bằng một trong các biểu diễn sau: hiệu suất L2 − L∞, hiệu suất H∞, tính thụ động, tính tiêu hao Khái niệm tính tiêu hao mở rộng bao gồm các mối quan hệ bên trên như các trường hợp đặc biệt Tính tiêu hao mở rộng đã được áp dụng để nghiên cứu cho một số lớp mạng nơ ron với bậc nguyên [6, 11, 14] Gần đây, M Shafiya và G Nagamani [13] lần đầu tiên nghiên cứu tính tiêu hao mở rộng cho mạng nơ ron phân thứ Caputo có nhiễu Bằng cách sử dụng lý thuyết ổn định Lyapunov 3 kết hợp với kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các tác giả đưa ra một vài tiêu chuẩn cho tính tiêu hao mở rộng cho mạng nơ ron phân thứ Caputo với nhiễu có cấu trúc Luận văn tập trung trình bày một số tiêu chuẩn cho tính tiêu hao mở rộng của mạng nơ ron phân thứ trên cơ sở đọc hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống kết quả bài báo của M Shafiya và G Nagamani [13] Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung sau: Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ Caputo Một số bổ đề bổ trợ được chúng tôi trình bày ở cuối chương Nội dung chính của chương này được viết dựa trên các tài liệu [5, 7, 8, 9] Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính tiêu hao mở rộng của mạng nơ ron phân thứ Caputo Trước hết, chúng tôi phát biểu bài toán và trình bày định nghĩa về tính tiêu hao mở rộng cho mạng nơ ron phân thứ Tiếp theo, trên cơ sở tổng hợp và trình bày lại kết quả của M Shafiya và G Nagamani [13], chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính tiêu hao mở rộng của mạng nơ ron phân thứ có nhiễu khi mạng nơ ron có sự tác động của véc tơ nhiễu đầu vào Ngoài ra, khi không có tác động của nhiễu đầu vào tới mạng nơ ron phân thứ, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag-Leffler toàn cục của mạng nơ ron tương ứng Cuối chương là hai ví dụ số được chúng tôi đưa ra để minh họa cho tính đúng đắn của kết quả lý thuyết Hai ví dụ số này có thể coi là đóng góp mới của luận văn Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Mai Viết Thuận và TS Lê Văn Ngọc Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn này 4 Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau 5 Danh mục ký hiệu Rn không gian véc tơ thực Euclide n chiều x = (x1, , xn) ∈ Rn Rn×r n A = (aij) ∈ Rn×n C([0, ∞), Rn) x = |xi| i=1 không gian các ma trận thực cỡ (n × r) n A = max |aij| 1≤j≤n i=1 không gian hàm liên tục trên [0, ∞) nhận giá trị trong Rn L2([0, ∞), Rm) tập các hàm khả tích bậc hai trên [0, ∞) nhận giá trị trong Rm ACm[a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α t0 It toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm Gamma RL α t0 Dt C Dα, Dα t0 t Γ(x) α số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α 6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ bao gồm tích phân phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo Tiếp đến, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ dùng cho chương hai của luận văn Nội dung của chương này được viết dựa trên các tài liệu [5, 7, 8, 9] 1.1 Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Itαx(t) := 1 t t ∈ (a, b], t0 Γ(α) t0 (t − s)α−1x(s)ds, +∞ trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = tα−1e−t dt, α > 0 0 7 Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước α := I với I là toán t0 It tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau Định lý 1.1 ([8]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi đó, tích phân t0Itαx(t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] Hơn nữa, t0Itαx(t) cũng là một hàm khả tích Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản Ví dụ 1.1 ([8]) (i) Cho x(t) = (t − a)β, ở đây β > −1 và t > a Với bất kì α > 0, chúng ta có t0Itαx(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β, t > a Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt, λ > 0 Với bất kì α > 0, chúng ta có α −α +∞ (λt)α+j , t > 0 t0It x(t) = λ Γ(α + j + 1) j=0 1.1.2 Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([8]) Cho số thực dương α và khoảng đóng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi dn n−α 1 dn t RLDtαx(t) := t0It x(t) = t0 dtn Γ(n − α) dtn (t − s)n−α−1x(s)ds, t0 trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dtn dn là đạo hàm thông thường cấp n 8 Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) 1, nếu t≥0 0, nếu t < 0 f (t) = Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm f (t) là RLDtαf (t) =0 t−α Γ(1 − α) Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau Cho [a, b] là một khoảng đóng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau: ACn[a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b] d D= dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b] Mệnh đề 1.1 ([8]) Không gian ACn[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: n−1 f (t) = t0Itαϕ(t) + ck(t − t0)k, k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck(k = 0, 1, , n − 1) là các hằng số tùy ý và Itαϕ(t) = 1 t t0 (n − 1)! t0 (t − s)n−1ϕ(s)ds 9 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) = f (n)(s), ck = f (k)(t0) (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([8]) Cho α ≥ 0, n = α Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL Dα f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới t0 t dạng sau RL α n−1 f (k)(t0) k−α 1 t f (n)(s)ds Dt f (t) = (t − t0) + t (t − s)α−n+1 t0 Γ(1 + k − α) Γ(n − α) 0 k=0 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2 Hệ quả 1.1 ([8]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì RLDtαf (t) = 1t0 f (t0) t f (s)ds α+ α Γ(1 − α) (t − t0) t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([7]) Cho trước một số thực dương α Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là t0 RLDtα [λf (t) + µg(t)] = λ t0 RLDtαf (t) + µ t0 RLDtαg(t) trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ ACn[a, b] Chứng minh Ta có t0 RLDtα [λf (t) + µg(t)] 1 dn t = Γ(n − α) dtn (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds λ dn = Γ(n − α) dtn t0 t(t − s)n−α−1f (s)ds + µ dn t Γ(n − α) dtn t0 (t − s)n−α−1g(s)ds t0 = λ t0 RLDtαf (t) + µ Rt0LDtαg(t)