Đang tải... (xem toàn văn)
, xnR là iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R vàG = V, E là đồ thị đơn hữu hạn.Một iđêan đơn thức I khác không của R được gọi là bất khả quy đơnthức hay m-bất khả quy nếu I có dạng mb
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– SÙNG THỊ BÍCH NGỌC TẬP CẶP TRỘI TỚI HẠN VÀ PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CHO LŨY THỪA CỦA IĐÊAN CẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– SÙNG THỊ BÍCH NGỌC TẬP CẶP TRỘI TỚI HẠN VÀ PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CHO LŨY THỪA CỦA IĐÊAN CẠNH Ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2023 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp với các luận văn trước đây Các thông tin, tài liệu trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày tháng 6 năm 2023 Học viên Sùng Thị Bích Ngọc Xác nhận Xác nhận Của trưởng khoa chuyên môn Của người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG ii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Thị Dung, giảng viên Trường Đại học Nông Lâm Thái Nguyên Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Trong suốt quá trình làm luận văn, cô đã dành nhiều thời gian và công sức để chỉ bảo hướng dẫn tôi từ những điều nhỏ nhặt nhất đến những vấn đề khó khăn cô vẫn luôn kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tôi để hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo của Khoa Toán, Ban lãnh đạo và Phòng Đào tạo của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi vượt qua các khó khăn trong học tập Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình Thái Nguyên, ngày tháng 6 năm 2023 Học viên Sùng Thị Bích Ngọc iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Iđêan đơn thức và iđêan cạnh 3 1.1.1 Iđêan đơn thức và phân tích bất khả quy 3 1.1.2 Đồ thị 5 1.1.3 Iđêan cạnh và phân tích bất khả quy 7 1.2 Đồ thị nhân tử tới hạn và tập cặp trội tới hạn 10 1.2.1 Đồ thị nhân tử tới hạn 10 1.2.2 Tập cặp trội tới hạn 13 1.2.3 Định lý cấu trúc Gallai-Edmonds 14 2 Phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 17 2.1 Các thành phần bất khả quy có căn là iđêan cực đại 17 2.2 Phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 20 2.3 Mối quan hệ giữa tập cặp trội tới hạn và thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 30 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 39 1 Mở đầu Cho R = K[x1, x2, , xn] là vành đa thức n biến trên trường K, m = (x1, x2, , xn)R là iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R và G = (V, E) là đồ thị đơn hữu hạn Một iđêan đơn thức I khác không của R được gọi là bất khả quy đơn thức (hay m-bất khả quy) nếu I có dạng mb với vectơ khác không b ∈ Nn Một iđêan đơn thức I được gọi là m-bất khả quy nếu I là một iđêan bất khả quy và rad(I) = m Một phân tích bất khả quy đơn thức của I là biểu diễn I thành giao của các iđêan đơn thức bất khả quy và phân tích đó được gọi là thu gọn nếu không có thành phần nào trong giao là bỏ đi được Định lý 3.3.3 và Định lý 3.3.9 trong [10] nói rằng mọi iđêan đơn thức I của R luôn có phân tích bất khả quy đơn thức, hơn nữa, phân tích bất khả quy đơn thức thu gọn là duy nhất Do đó tập Irr(I) các iđêan đơn thức bất khả quy xuất hiện trong phân tích bất khả quy đơn thức thu gọn của iđêan I chỉ phụ thuộc vào I Cho G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh V = {v1, v2, , vn} và tập cạnh E Iđêan cạnh liên kết với G là iđêan IG sinh bởi các đơn thức ứng với các cạnh của G Rõ ràng rằng IG là iđêan đơn thức không chứa bình phương của R Bài toán tìm phân tích bất khả quy của lũy thừa của một iđêan đơn thức luôn là bài toán khó, ngay cả khi iđêan đơn thức đó là iđêan cạnh Mục đích của luận văn là trình bày lại chi tiết bài báo [2] về xác định một số thành phần bất khả quy của lũy thừa của iđêan cạnh thông qua lý thuyết đồ thị 2 Cấu trúc của luận văn gồm 2 chương Chương 1 dành để nhắc lại một số kiến thức cơ sở về iđêan đơn thức và phân tích bất khả quy đơn thức, lý thuyết đồ thị, đồ thị nhân tử tới hạn, tập cặp trội tới hạn, định lý cấu trúc Gallai-Edmond, và các ví dụ minh họa Chương 2 trình bày chi tiết các chứng minh kết quả chính của bài báo [2] Mục 2.1 là tiêu chuẩn kỹ thuật để một iđêan đơn thức m-bất khả quy thuộc tập Irrm(I) (Bổ đề 2.1.1) và chỉ ra mối quan hệ giữa thành phần bất khả quy của iđêan đơn thức và tập các đơn thức đế (Bổ đề 2.1.4) Mục 2.2 là tính chất của thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh IGs , với s ≥ 2 thông qua các bất biến tổ hợp (Định lý 2.2.6) Mục 2.3 dựa vào Định lý 2.2.6 và Định lý cấu trúc Gallai-Edmonds để xác định thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G (Định lý 2.3.5) Phần Kết luận của luận văn tổng kết lại các kết quả đã đạt được 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta luôn ký hiệu A là một vành giao hoán có đơn vị, R = A[x1, , xn] là vành đa thức n biến lấy hệ số trên vành A và m = (x1, , xn)R là iđêan cực đại của vành R Các kiến thức của chương này chủ yếu tham khảo trong [4], [10], [12] 1.1 Iđêan đơn thức và iđêan cạnh 1.1.1 Iđêan đơn thức và phân tích bất khả quy Mục này dành để trình bày về khái niệm iđêan đơn thức, iđêan bất khả quy đơn thức, iđêan đơn thức m-bất khả quy và phân tích bất khả quy đơn thức của iđêan đơn thức Cho vectơ khác không a = (a1, , an) ∈ Nn, ta đặt xa := x1a1 x an và ma := (xiai | ai > 0)R n Định nghĩa 1.1.1 (i) Một iđêan đơn thức trong R là một iđêan của R được sinh bởi các đơn thức theo các biến x1, , xn (ii) Một iđêan đơn thức I khác không của R được gọi là bất khả quy đơn thức nếu I có dạng mb với vectơ khác không b ∈ Nn Một iđêan đơn thức I được gọi là m-bất khả quy nếu I là một iđêan bất khả quy và rad(I) = m (iii) Phân tích bất khả quy đơn thức của một iđêan đơn thức I là một biểu 4 diễn có dạng I = mb1 ∩ ∩ mbr (∗) với các vectơ khác không b1, , br ∈ Nn Một phân tích bất khả quy đơn thức (∗) được gọi là thu gọn nếu không có iđêan nào trong {mb1, , mbr} có thể bỏ đi từ vế phải Để cho gọn, từ giờ trở đi đối với iđêan đơn thức, ta dùng từ "bất khả quy" thay cho từ "bất khả quy đơn thức" và "phân tích bất khả quy" thay cho "phân tích bất khả quy đơn thức" Ta biết rằng, nếu I là iđêan đơn thức thì I có phân tích bất khả quy r thu gọn duy nhất I = mbi Ta ký hiệu Irr(I) := {mb1, , mbr} là tập i=1 các iđêan bất khả quy của I Đặt Irrm(I) := {mbi ∈ Irr(I) | rad(mbi) = m} là tập các iđêan đơn thức m-bất khả quy xuất hiện trong phân tích bất khả quy thu gọn của I Rõ ràng rằng Irrm(I) ⊆ Irr(I) Ví dụ 1.1.2 (i) Cho vành đa thức 3 biến R = A[x, y, z] với iđêan cực đại là m = (x, y, z) Iđêan I = (x3yz2, y4z)R là một iđêan đơn thức vì nó được sinh bởi các đơn thức Iđêan J = (x3, z2)R là bất khả quy vì ta có thể viết J = (x, y, z)(3,0,2), trong đó véc tơ b = (3, 0, 2) ∈ N3 (ii) Cho vành đa thức 2 biến R = A[x, y] với iđêan cực đại là m = (x, y) Iđêan I = (x3, xy2, x2y, y3)R là một iđêan đơn thức có phân tích bất khả quy thu gọn là I = (x, y3)R ∩ (x2, y2)R ∩ (x3, y)R Vì các iđêan bất khả quy trong phân tích bất khả quy thu gọn của I đều có căn là iđêan cực đại nên ta có Irrm(I) = Irr(I) = {(x, y3)R, (x2, y2)R, (x3, y)R} = {(x, y)(1,3), (x, y)(2,2), (x, y)(3,1)} 5 trong đó các véc tơ b1 = (1, 3), b2 = (2, 2), b3 = (3, 1) ∈ N2 (iii) Cho vành R = A[x, y, z] và iđêan I = (x3, x2y, y3z, z3)R Khi đó I có phân tích bất khả quy thu gọn là I = (x3, x2, y3z, z3)R ∩ (x3, y, y3z, z3)R = (x2, y3, z3)R ∩ (x2, z, z3)R ∩ (x3, y, y3, z3)R ∩ (x3, y, z, z3)R = (x2, y3, z3)R ∩ (x2, z)R ∩ (x3, y, z3)R Suy ra ta có Irr(I) = {(x2, y3, z3)R, (x2, z)R, (x3, y, z3)R} = {(x, y, z)(2,,3,3), (x, y, z)(2,0,1), (x, y, z)(3,1,3)} và Irrm(I) = {(x2, y3, z3)R, (x3, y, z3)R} 1.1.2 Đồ thị Định nghĩa 1.1.3 Cho V = {v1, , vn} là một tập hữu hạn Một đồ thị với tập đỉnh V là một cặp G = (V, E), trong đó E là tập cạnh của G Một phần tử v ∈ V là một đỉnh của G Một cạnh {vi, vj} ∈ E thường được viết là vivj (hay vjvi), ta nói vi kề với vj (hay vj kề với vi) Bậc của một đỉnh v trong đồ thị G, ký hiệu là deg(v), là số cạnh đi qua v Một đỉnh v có bậc 0 gọi là đỉnh cô lập, đỉnh có bậc 1 gọi là lá Khuyên là một cạnh nối một đỉnh với chính nó Đồ thị đơn là một đồ thị không có khuyên hoặc cạnh bội Đồ thị G là liên thông nếu với hai đỉnh bất kỳ u, v luôn tồn tại một đường từ u đến v, nghĩa là tồn tại các đỉnh v1, , vk ∈ V sao cho uv1, v1v2, , vkv ∈ E Cho S ⊆ V là tập con của V , đồ thị con cảm sinh là G[S] = (S, E(G[S])), trong đó E(G[S]) = {e = vivj ∈ E | vi, vj ∈ S} Ký hiệu G − S = G[V \ S] Khi S = {v}, đồ thị G \ {v} được viết thành G − v, đó là đồ thị con của G, trong đó v và tất cả các cạnh chứa v đều được bỏ đi