Phân tích bất khả quy trong lý thuyết đồ thị và nghiên cứu hệ số hilbert

Khi R là vành đa thức với hệ số trên một trường, ta vẫn dùng ký hiệu m cho iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R.Luận án tập trung nghiên cứu về chỉ số khả quy của môđun hữu hạn sinh t

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2022

ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY TRONG

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ NGHIÊN CỨU HỆ SỐ HILBERT

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Cho R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinhchiều d Khi R là vành địa phương, ta ký hiệu m là iđêan cực đại duy nhất.Khi R là vành đa thức với hệ số trên một trường, ta vẫn dùng ký hiệu mcho iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R.

Luận án tập trung nghiên cứu về chỉ số khả quy của môđun hữu hạnsinh trên vành Noether địa phương và phân tích bất khả quy của lũy thừaiđêan cạnh của đồ thị đơn hữu hạn Về chỉ số khả quy, trước hết chúngtôi đặc trưng tính Cohen-Macaulay của môđun hữu hạn sinhM trên vànhNoether địa phương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy

irM(qM ) và số bội bất khả quy f0(q; M ) với q là iđêan tham số của M.Sau đó, chúng tôi đặc trưng tính Cohen-Macaulay cho vành Noether địaphương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy irR(q) và các

hệ số Hilbert e1(q), e1(q : m) với q là iđêan tham số của R Về phân tíchbất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh, chúng tôi đưa ra một đặc trưng đểiđêan đơn thức là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh IGsthông qua các bất biến tổ hợp của đồ thị G Sau đó, chúng tôi xác địnhđược một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua

sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G Hơn nữa, chúng tôi đưa

ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tậpiđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G

Luận án được chia thành 3 chương Chương 1 dành để nhắc lại nhữngkiến thức cơ bản của Đại số giao hoán làm cơ sở cho việc trình bày nộidung chính của luận án ở những chương sau, gồm: môđun đối đồng điềuđịa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng,

hệ số Hilbert và một số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị.

Trong Chương 2, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về lọc chiều vàkhái niệm hệ g-tham số, đồng thời thông qua hệ g-tham số để đưa ra mộtđiều kiện cần cho M/UM(0)là Cohen-Macaulay, trong đóUM(0) là môđuncon lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dimR(M ) Sau đó, chúng tôi nhắclại một số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, đồngthời chứng minh hai tính chất mới của chỉ số khả quy và số bội bất khảquy ứng với iđêan g-tham số Cuối cùng, chúng tôi đưa ra hai đặc trưngcho tính Cohen-Macaulay của các vành Noether địa phương (R,m) và các

R-môđun hữu hạn sinh M thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy, sốbội bất khả quy và hệ số Hilbert (đặc biệt là hệ số Chern) ứng với iđêantham số và iđêan m-nguyên sơ

Trong Chương 3, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để iđêan đơn thức

ma là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh IGs thông qua cácbất biến tổ hợp của đồ thị G, trong đó ma là iđêan (xai

i | ai > 0)R của Rvới a = {1, 2}n Áp dụng kết quả trên với s = 2, chúng tôi thu được Định

lý chính trong bài báo của J Herzog - T Hibi [32] hoặc N Terai - N.V.Trung [56] về điều kiện cần và đủ để depthR(R/IG2) = 0 Sau đó, chúngtôi xác định được một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnhthông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của G Cuối cùng, chúng tôiđưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thôngqua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của G

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quảviết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trướckhi đưa vào luận án Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưatừng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Tâm

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thứ nhấtcủa tôi - PGS TS Hoàng Lê Trường Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướngdẫn tôi từ những ngày đầu tiên tập làm nghiên cứu khoa học Thầy đã dạytôi từ cách phát hiện vấn đề đến cách giải quyết vấn đề nghiên cứu trongToán học Mặc dù phần lớn thời gian Thầy ở nước ngoài, nhưng Thầy đãluôn quan tâm, động viên, khích lệ và đồng hành cùng tôi trong suốt quátrình tôi học nghiên cứu sinh.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo hướng dẫn thứ hai củatôi - GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô đã dành nhiều tâm sức để truyềnthụ cho tôi không chỉ về tri thức toán học mà còn về phương pháp nghiêncứu và cách trình bày một đề tài nghiên cứu khoa học Cô đã tổ chức nhiềuhội nghị, khóa học ngắn hạn để bồi dưỡng năng lực Toán học (đặc biệt

là Đại số giao hoán) cũng như tạo điều kiện để nghiên cứu sinh chúng tôiđược gặp gỡ, giao lưu với nhiều nhà Toán học trong nước và trên thế giới

Cô là tấm gương sáng cho lớp học trò chúng tôi phấn đấu noi theo về lòngsay mê nghiên cứu khoa học cũng như sự nỗ lực vượt qua khó khăn để đạttới thành công

Tôi thực sự là người may mắn vì đã nhận được sự hướng dẫn tậntình của hai người Thầy: PGS TS Hoàng Lê Trường và GS TS Lê ThịThanh Nhàn Thầy Cô không những hết lòng dạy bảo, hướng dẫn tôi hoànthành khóa học nghiên cứu sinh mà còn trao cho tôi nhiều cơ hội để đượclàm việc với các nhà khoa học uy tín trong nước và trên thế giới Một lầnnữa, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô và sẽ cố gắng hơnnữa để xứng đáng với công lao, niềm tin của Thầy Cô đã dành cho tôi

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, KhoaToán Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọiđiều kiện cho tôi học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học HùngVương đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu Đặc biệt, tôi xinbày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo khoa Khoa học Tự nhiên, các thầy côgiáo và đồng nghiệp trong Bộ môn Toán, Khoa Khoa học tự nhiên, TrườngĐại học Hùng Vương đã quan tâm động viên và giúp đỡ nhiều mặt trongthời gian tôi học nghiên cứu sinh

Tôi xin trân trọng cảm ơn Quỹ đổi mới sáng tạo Vingroup đã tài trợcho tôi học bổng Tiến số - mã số 2020.TS.82 với số tiền là 150 triệu đồng

Tôi xin cảm ơn GS TS Nguyễn Tự Cường, GS Marcel Morales,PGS TS Nguyễn Thị Dung, PGS TS Đoàn Trung Cường, PGS TS.Phạm Hùng Quý cùng các anh chị em trong nhóm seminar Đại số giaohoán của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã luôn đồng hành cùngtôi, động viên, chia sẻ với tôi trong học tập cũng như trong cuộc sống

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong giađình của mình, đặc biệt là Bố Mẹ hai bên, Chồng và hai con yêu quý, đãluôn khích lệ, hỗ trợ, chia sẻ khó khăn và luôn mong mỏi tôi thành công

Đó là nguồn động viên rất lớn, giúp tôi vượt qua khó khăn để tôi có thểhoàn thành luận án này

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Tâm

Mục lục

Mở đầu 7

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 17

1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 17

1.2 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng 20 1.3 Hệ số Hilbert 24

1.4 Một số khái niệm về đồ thị 26

Chương 2 Chỉ số khả quy, hệ số Hilbert và môđun Cohen -Macaulay 30

2.1 Lọc chiều và hệ g-tham số 31

2.2 Chỉ số khả quy và số bội bất khả quy 36

2.3 Chỉ số khả quy, hệ số Hilbert và môđun Cohen-Macaulay 44

Chương 3 Phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 59 3.1 Phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức 60

3.2 Phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 63

3.3 Mối quan hệ giữa tập cặp trội tới hạn và thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 73

Kết luận 82

Tài liệu tham khảo 84

Trong suốt luận án, luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether và

M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Trong trường hợp R là vành địaphương, ta ký hiệu m là iđêan cực đại duy nhất của R Trong trường hợp

R là vành đa thức với hệ số trên một trường, ta vẫn dùng ký hiệu m choiđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R

Một môđun con thực sự N của M là bất khả quy nếu nó không thểviết thành giao của hai môđun con thực sự chứaN Định lý nổi tiếng trong

lý thuyết vành và môđun (chứng minh bởi E Noether [66] năm 1921 chotrường hợp M = R) phát biểu rằng mọi môđun con thực sự N của Mđều phân tích được thành giao của hữu hạn môđun con bất khả quy và sốmôđun con bất khả quy xuất hiện trong phân tích bất khả quy thu gọncủa N là một bất biến không phụ thuộc vào phân tích mà chỉ phụ thuộcvào N và M Bất biến này được gọi là chỉ số khả quy của N trong M vàđược ký hiệu làirM(N ) Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến chỉ sốkhả quy của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương và phântích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị đơn hữu hạn

Khi vành cơ sở (R,m) là địa phương với trường thặng dư R/m, chỉ

số khả quy cung cấp nhiều thông tin quan trọng về cấu trúc của R và M.Năm 1954, D.G Northcott và D Rees [46] đã chứng minh rằng R là vànhGorenstein nếu và chỉ nếu irR(q) = 1 với mọi iđêan tham số q của R Hơnnữa,M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi irM(qM ) = dimR/m(0 :Hd

m (M ) m)với mọi iđêan tham số q của M (xem [47, Định lý 3], [11, Định lý 5.2]).Chú ý rằng, S Endo và M Narita [18] đã xây dựng một vành Noether

địa phương không Cohen-Macaulay R thỏa mãn irR(q) = 2 với mọi iđêantham số q của R Điều này chứng tỏ rằng tính chất hằng số của irR(q)không đặc trưng vành Cohen-Macaulay Khi M là môđun Buchsbaum,

irM(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong m2 (xem [27, 25]).Nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup

q

irM(qM ) < ∞, trong đó qchạy trên tập các iđêan tham số của M (xem [27]), hơn nữa tồn tại n ∈ Nsao cho irM(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong mn (xem[13, 10]) Năm 2013, H.L Trường đã chứng minh rằng nếu M là môđunCohen-Macaulay dãy thì tồn tại n ∈ N sao cho irM(qM ) là hằng số vớimọi iđêan tham số tách q chứa trong mn [58] Gần đây, N.T Cường vàP.H Quý [12] đã chứng tỏ rằng irM(qM ) là hằng số với mọi iđêan C-tham

số q của M

Mục đích thứ nhất của luận án là đặc trưng tính Cohen-Macaulaycủa môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether địa phương (R,m) thôngqua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy irM(qM ) và số bội bất khả quy

f0(q; M ) với q là iđêan tham số của M Ở đây, theo [11, Bổ đề 4.2], hàm

irM(qn+1M ) là đa thức bậcd − 1 khi nđủ lớn và được biểu diễn dưới dạng

trong đó fi(q; M ) là các số nguyên với mọi i Theo H.L Trường [59], sốnguyên dương f0(q; M ) được gọi là số bội bất khả quy củaM ứng với iđêantham số q Năm 2015, N.T Cường, P.H Quý và H.L Trường [11, Định lý5.2] đã chứng minh rằng M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu

với mọi iđêan tham số q của M Vì vậy, một câu hỏi tự nhiên đặt ra lànếu irM(qM ) = f0(q; M ) với mọi iđêan tham số q của M thì M có làCohen-Macaulay không? Trong [59, Định lý 1.1], H.L Trường đã chứngminh rằng nếu R là vành Noether địa phương không trộn lẫn với trườngthặng dư vô hạn, thìR là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi irR(q) = f0(q; R)với mọi iđêan tham số q của R Kết quả chính thứ nhất của luận án là mởrộng kết quả trên của H.L Trường [59, Định lý 1.1] từ vành lên môđunhữu hạn sinh bất kỳ (không cần giả thiết về tính không trộn lẫn) Kết quảnày được công bố trong [55, Định lý 1.2].

Mục đích thứ hai của luận án là đặc trưng tính Cohen-Macaulay chovành Noether địa phương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khảquy irR(q) và các hệ số Hilbert e1(q), e1(q : m) với q là iđêan tham số của

R Nhắc lại rằng, với I là một iđêan của R sao cho`R(M/IM ) < ∞, hàm

`R(M/In+1M ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn, được biểudiễn dưới dạng

trong đó ei(I; M ) là số nguyên với mọi i Ta gọi ei(I; M ) là hệ số Hilbertcủa M ứng với I, số nguyên dương e0(I; M ) được gọi là số bội (Hilbert-Samuel) của M ứng với I Ta ký hiệu ei(I) := ei(I; R)

Lý thuyết bội đã phát triển nhanh chóng và trở thành công cụ quantrọng trong Hình học đại số và Đại số giao hoán Một số lớp môđun đóngvai trò trung tâm trong Đại số giao hoán (Cohen-Macaulay, Buchsbaum,Cohen-Macaulay suy rộng) đều được đặc trưng hoặc định nghĩa thông qua

số bội ứng với iđêan tham số Cấu trúc của môđun M cũng được làm

rõ thông qua tính chất của hệ số Hilbert khác, đặc biệt là hệ số Chern

e1(q; M ) Nhìn chung, ta luôn có e1(q; M ) ≤ 0 với mọi iđêan tham số qcủa M (xem [43, Định lý 3.6]) Theo [41, Định lý 17.3], nếu M là Cohen-Macaulay thìM là không trộn lẫn và ei(q; M ) = 0 với mọi (với một) iđêan

tham số q của M, i = 1, 2, d Ký hiệu UM(0) là môđun con lớn nhấtcủa M có chiều nhỏ hơn d Chú ý rằng UM(0) là giao của các thành phầnnguyên sơ N (p) của môđun con 0 của M sao cho dim(R/p) = d Năm

2008, W.V Vasconcelos [62, 19] đã gọi e1(q; M ) là hệ số Chern của Mứng với q và đặt ra Giả thuyết triệt tiêu của hệ số Chern: Nếu R khôngtrộn lẫn, thì R là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi e1(q) = 0 với một iđêantham số q của R Năm 2010, L Ghezzi, S Goto, J.Y Hong K Ozeki,T.T Phuong, và W.V Vasconcelos [20] đã chứng minh giả thuyết trên làđúng Khi R là trộn lẫn, e1(q) = 0 với một iđêan tham số q của R nếu vàchỉ nếu bR/U

đó bR là đầy đủ m-adic của R (xem [21, Định lý 1.13]) Năm 2010, S Goto

và K Ozeki [22, Định lý 1.1] đã chứng minh rằng vành không trộn lẫnchiều lớn hơn hoặc bằng 2 là Buchsbaum khi và chỉ khi hệ số Chern e1(q)

là hằng số không phụ thuộc vào iđêan tham số q Khi R là trộn lẫn, e1(q)

là hằng số không phụ thuộc iđêan tham số q nếu và chỉ nếu bR/U

b

R(0) làvành Buchsbaum và dim

Mối quan hệ mật thiết giữa tính Cohen-Macaulay và hệ số Chern củaiđêan tham số đã được thể hiện trong lịch sử phát triển của nó Năm 1960,D.G Northcott [48] đã chứng minh rằng nếu R là vành Cohen-Macaulaythì

e0(I) − `R(R/I) ≤ e1(I)

với mọi iđêan m-nguyên sơ I của R Sau đó, S Goto và K Nishida trong[26, Định lý 3.1] đã mở rộng bất đẳng thức trên của D.G Northcott chovành R bất kỳ không nhất thiết Cohen-Macaulay Họ chỉ ra rằng

e0(I) − `R(R/I) ≤ e1(I) − e1(q),trong đó q là một iđêan rút gọn tối tiểu của I Gần đây, H.L Trường [60]

đã chứng minh rằng nếu R là vành Cohen-Macaulay có trường thặng dư

vô hạn thì

irR(q) = e0(I) − `R(R/I) = e1(I) − e1(q)với mọi iđêan tham số q của R, trong đó I = q : m Câu hỏi tự nhiên đặt

ra là nếu irR(q) = e1(q : m) − e1(q) với một iđêan tham số q của R thì

R có là vành Cohen-Macaulay hay không? Câu hỏi trên đã được trả lờimột phần trong [60, Định lý 1.1], ở đó H.L Trường đã chứng minh rằngnếu R không trộn lẫn với chiều d ≥ 2 và có trường thặng dư vô hạn, thì

R là vành Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu irR(q) = e1(q : m) − e1(q) vớimọi iđêan tham số q của R Kết quả chính thứ hai của luận án là mở rộngkết quả của H.L Trường [60, Định lý 1.1] cho vành bất kỳ (không cần giảthiết về tính không trộn lẫn) Kết quả này được công bố trong [55]

Mục đích thứ ba của luận án là xác định một số thành phần bất khảquy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạncủa đồ thị G Ta biết rằng mỗi iđêan bất khả quy là một iđêan nguyên sơ,

do đó mỗi phân tích bất khả quy là một phân tích nguyên sơ Trong khivấn đề phân tích nguyên sơ và dáng điệu tiệm cận của tập iđêan nguyên

tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh đã được nhiều nhà toán học quan tâm

và đạt được những kết quả quan trọng, thì phân tích bất khả quy của lũythừa iđêan cạnh lần đầu tiên được chúng tôi nghiên cứu trong [14] và sau

đó được M Morales và N.T Dung xem xét trong [15]

Với I là iđêan bất kỳ trong vành Noether R, M Brodmann [3] đãchỉ ra rằng tồn tại số nguyên dương s0 để AssR(R/Is) = AssR(R/Is+1)

với mọi s ≥ s0 Ký hiệu astab(I) là số s0 nhỏ nhất có tính chất này vàđặt Ass∞R(I) := AssR(R/Is0) Khi I là iđêan đơn thức trong vành đa thức

R := K[x1, x2, , xn] của n biến trên trường K, L.T Hoa [36] đã đưa ramột chặn trên cho số astab(I) Với I là iđêan đơn thức không chứa bìnhphương, N Terai và N.V Trung [56] đã xác định các iđêan nguyên tố liênkết củaR/I2 Độc lập với kết quả trên trong [56], J Herzog và T Hibi [33]

đã đưa ra điều kiện cần và đủ để m là iđêan nguyên tố liên kết của R/I2,trong đó m là iđêan cực đại thuần nhất của R Cho IG là iđêan cạnh củamột đồ thị đơn G = (V, E) với tập đỉnh V = {x1, x2, , xn} và tập cạnh

tố liên kết của R/IGs, trong trường hợp s = 3, 4, tập AssR(R/IGs) đã đượcphân loại hoàn toàn bởi H.T.T Hien, H.M Lam, N.V Trung [35, 34] Kếtquả đáng chú ý nhất được chứng minh bởi H.M Lam và N.V Trung [38,Định lý 4.4], ở đó họ đã mô tả tập AssR(R/IGs) theo đồ thị G với mọi

s ≥ 1

Để xác định thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh, chúngtôi giới thiệu trong [14] khái niệm tập cặp trội tới hạn Một ghép cặp(matching) của G là một tập cạnh độc lập Một ghép cặp được gọi là tốiđại nếu nó có số cạnh lớn nhất trong các ghép cặp của G Số ghép cặp của

đồ thị G, ký hiệu bởi ν(G), là số cạnh trong ghép cặp tối đại của G (xem[63]) Một tập cặp trội tới hạn của G là một tập con S của V sao cho mỗiđỉnh của V đều kề với ít nhất một đỉnh của S và ν(G − v) = ν(G) với

mọi đỉnh v của G Đặt m = (x1, x2, , xn)R là iđêan cực đại thuần nhấtduy nhất của R.Với mỗi a = (a1, a2, , an) ∈Nn, ký hiệu xa là đơn thức

i=1mbi, trong đó bi ∈ Nn với mọi i ĐặtIrr(I) := {mb1, ,mbr} là tập các thành phần bất khả quy của I và

Irrm(I) := {mbi ∈ Irr(I) | rad(mbi) =m}

Kết quả chính thứ ba của luận án phát biểu rằng tồn tại a ∈ {1, 2}n saocho ma ∈ S

s≥0

Irrm(IGs) nếu và chỉ nếu đồ thị G có một tập cặp trội tới hạn.Hơn nữa, chúng tôi đã đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thịnhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừaiđêan cạnh của đồ thị G Kết quả này được công bố trong bài báo [14]

Về phương pháp tiếp cận, để chứng minh kết quả chính thứ nhất(đặc trưng tính Cohen-Macaulay của M thông qua mối quan hệ giữa chỉ

số khả quy và số bội bất khả quy khi tính không trộn lẫn của M khôngđược giả thiết trước), chúng tôi khai thác sâu các tính chất của lọc chiều(xem [51, 9, 8]) và các hệ tham số tương thích với lọc chiều (hệ tham sốtách giới thiệu bởi P Schenzel [51], d-dãy định nghĩa bởi Huneke [37] và

hệ g-tham số giới thiệu bởi H.L Trường [61]), sử dụng mối quan hệ giữa

số bội bất khả quy của M và môđun thương trong [59], đồng thời áp dụngcác kết quả đã biết về chỉ số khả quy [27, 13, 11, 12] Để thu được kết quảchính thứ hai về đặc trưng vành Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệchỉ số khả quy và hệ số Chern, ngoài việc sử dụng lọc chiều và hệ g-tham

số, chúng tôi cần đến công thức tính hệ số Hilbert trong [7, Bổ đề 3.4]

và áp dụng kết quả chính thứ nhất Đối với kết quả chính thứ ba về xácđịnh thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh, trước hết chúng tôinghiên cứu tính chất đặc trưng của thành phần bất khả quy của iđêan đơnthức Sau đó, chúng tôi chuyển một bài toán thuần túy đại số sang ngôn

ngữ tổ hợp và giải quyết vấn đề trong bài toán tổ hợp Đặc biệt, chúng tôicần đến Định lý cấu trúc Gallai-Edmonds (xem [63, Định lý 1.5.4]) để xácđịnh một số thành phần bất khả quy thông qua sự tồn tại tập cặp trội tớihạn và đặc trưng đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bấtkhả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án đượcchia thành 3 chương Chương 1 nhắc lại những kiến thức cơ bản của Đại

số giao hoán làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án ởnhững chương sau, gồm: môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, hệ số Hilbert và một số kháiniệm liên quan trong lý thuyết đồ thị

Chương 2 được trình bày dựa theo bài báo [55] Trong chương này,chúng tôi đưa ra hai đặc trưng mới cho tính Cohen-Macaulay của các vànhNoether địa phương (R,m) và các R-môđun hữu hạn sinh M thông quamối quan hệ giữa chỉ số khả quy, số bội bất khả quy và hệ số Hilbert (đặcbiệt là hệ số Chern) ứng với iđêan tham số và iđêan m-nguyên sơ TrongMục 2.1, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về lọc chiều và khái niệm hệ

g-tham số, đồng thời thông qua hệ g-tham số để đưa ra một điều kiện cầncho M/UM(0) là Cohen-Macaulay Trong Mục 2.2, chúng tôi nhắc lại một

số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, đồng thời đưa

ra hai tính chất bổ trợ (Bổ đề 2.2.5, Bổ đề 2.2.10) phục vụ chứng minhkết quả chính trong Mục 2.3 Đặt

r(M ) := sup{irM(qM ) |q là iđêan tham số của M }

Theo S Goto và N Suzuki [27], r(M ) được gọi là kiểu của M Nhìnchung, kiểu của M là số vô hạn [27, Ví dụ 3.9] và nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì kiểu của M là hữu hạn [27, Định lý 2.1] Kết quảchính thứ nhất của luận án, được trình bày trong phần đầu của Mục 2.3,đặc trưng tính Cohen-Macaulay của môđun M thông qua mối quan hệ

giữa chỉ số khả quy và số bội bất khả quy ứng với iđêan tham số q của M.Kết quả này là một mở rộng của [59, Định lý 1.1], ở đó H.L Trường đãchứng minh cho trường hợp M = R với giả thiết R không trộn lẫn.

Đinh lý 2.3.3 Cho d ≥ 2 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay

(ii) r(M ) ≤ f0(q; M ) với mọi iđêan tham số q của M

(iii) r(M ) ≤ f0(q; M ) với một iđêan tham số q của M

Kết quả chính thứ hai của luận án được trình bày ở phần cuối củaMục 2.3 Chúng tôi đặc trưng vành Cohen-Macaulay thông qua mối quan

hệ giữa chỉ số khả quy và hệ số Chern ứng với iđêan tham số và iđêanm-nguyên sơ Kết quả này là một mở rộng của [60, Định lý 1.1], ở đó H.L.Trường đã chứng minh cho trường hợp R không trộn lẫn

Định lý 2.3.6 Cho dim(R) ≥ 2 Các mệnh đề sau là tương đương:(i) R là Cohen-Macaulay

(ii) r(R) ≤ e1(q :m) − e1(q) với mọi iđêan tham số q của R

(iii) r(R) ≤ e1(q :m) − e1(q) với một iđêan g-tham số q ⊆ m2 của R

Chương 3 được trình bày dựa theo bài báo [14] Trong chương này,chúng tôi xác định một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêancạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G Trướchết, chúng tôi xét iđêan đơn thức I và đưa ra trong Bổ đề 3.1.2 một tiêuchuẩn kỹ thuật để ma ∈ Irrm(I) (với a ∈ Nn) Sử dụng tiêu chuẩn kỹthuật trên, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để iđêan đơn thức ma (với

a = {1, 2}n) là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh IGs thôngqua các bất biến tổ hợp của đồ thị G (xem Định lý 3.2.8) Áp dụng Định

N Terai - N.V Trung [56] hoặc J Herzog - T Hibi [32] về điều kiện cần

và đủ để depthR(R/IG2) = 0 Dựa vào Định lý 3.2.8 và Định lý cấu trúcGallai-Edmonds (xem [63, Định lý 1.5.4], chúng tôi xác định thành phầnbất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trộitới hạn của đồ thị G

Định lý 3.3.7 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) Tồn tại a ∈ {1, 2}n thỏa mãn ma ∈ S

s>0

Irrm(IGs)

(ii) Tồn tại tập cặp trội tới hạn S của G

Hơn nữa, chúng tôi đã đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồthị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũythừa iđêan cạnh của đồ thị G

Hệ quả 3.3.9 Cho G là đồ thị liên thông sao cho n = 2s + 1 Các mệnh

đề sau là tương đương:

(i) xV ∈ mSoc(IGs+1) và xV/xi ∈ mSoc(I/ s

G) với mọi i = 1, , n

(ii) m[2] ∈ Irrm(IGs+1) và mi ∈ Irr/ m(IGs) với mọi i = 1, , n

(iii) G là đồ thị nhân tử tới hạn,

trong đó mSoc(I) := {xa ∈ I | x/ ixa ∈ I với mọi i}, m[2] := (x21, , x2n)R

và mi := (x21, , x2i−1, xi, x2i+1, , x2n)R với mọi 1 ≤ i ≤ n

Khi điều này xảy ra, ta có các khẳng định sau

(1) m = IGs+1 : xV

(2) m ∈ AssR(R/IGt) với mọi t > s + 1

(3) depthR(R/IGt) = 0 với mọi t > s + 1

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt Chương1, luôn giả thiếtRlà một vành giao hoán Noether

và M là R-môđun hữu hạn sinh với dimR(M ) = d Chúng tôi ký hiệu Lcho những R-môđun không nhất thiết hữu hạn sinh

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết vềmôđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, hệ số Hilbert (đặc biệt là số bội và hệ số Chern) vàmột số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị nhằm thuận tiện choviệc theo dõi các chương sau

1.1 Môđun đối đồng điều địa phương

Mục này dành để nhắc lại một số kết quả về môđun đối đồng điềuđịa phương phục vụ cho chứng minh kết quả chính của Chương 2 Kháiniệm đối đồng điều địa phương được phát triển bởi A Grothendieck vàonhững năm 1960 (xem [28]) Lý thuyết đối đồng điều địa phương ngàycàng được quan tâm nghiên cứu và trở thành một công cụ không thể thiếutrong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, đặc biệt là trong Đại sốgiao hoán

Cho I là một iđêan của R Hàm tử I-xoắn cho ứng mỗi R-môđun

L với môđun con ΓI(L) := S

n≥0

(0 :L In) của L; và cho ứng mỗi đồng cấu

f : L → L0 giữa các R-môđun L, L0 với đồng cấu ΓI(f ) : ΓI(L) → ΓI(L0)

xác định bởi ΓI(f )(x) = f (x) với mọi x ∈ ΓI(L) Với mỗi số tự nhiên

n, môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ứng với L được gọi làmôđun đối đồng điều địa phương thứ n của L với giá I và được ký hiệu là

HIn(L)

Lý thuyết môđun đối đồng điều địa phương được quan tâm nghiêncứu theo nhiều chủ đề khác nhau với những thành tựu nổi bật trongsuốt quá trình phát triển hơn 50 năm qua Mặc dù vậy, cấu trúc củamôđun đối đồng điều địa phương vẫn là yếu tố trừu tượng và bí ẩn Nhìnchung, môđun đối đồng điều địa phương của một môđun hữu hạn sinhkhông còn là môđun hữu hạn sinh nữa Nó cũng không nhất thiết làmôđun Artin Thậm chí chúng ta còn không biết khi nào nó triệt tiêu.Trong luận án này, chúng tôi không đề cập đến những thành tựu nêutrên mà chỉ nhắc lại một số kết quả cơ bản về tính triệt tiêu, không triệttiêu và tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương liên quan đếnluận án (xem [4]) Với mỗi R-môđun L, chiều của giá của L, ký hiệu làdim(SuppR(L)), được định nghĩa là cận trên của các độ dài của các dãyiđêan nguyên tố trong SuppR(L) Chú ý rằng, nếu M là hữu hạn sinhthì dim(SuppR(M )) = dimR(R/ AnnR(M )) = dimR(M ) Khi môđun làArtin và khác 0 thì chiều của giá của nó luôn bằng 0

Định lý 1.1.1 (Định lý triệt tiêu của Grothendieck) (xem [2, Định lý6.1.2]) ChoI là một iđêan củaR vàL là một R-môđun Khi đóHIn(L) = 0với mọi n > dim(SuppR(L))

Cho L là R-môđun và I là một iđêan của R Một dãy x1, x2, , xrcác phần tử của I được gọi là một dãy chính quy độ dài r đối với L (haymột L-dãy chính quy) nếu L 6= (x1, x2, , xr)L và xi không là ước củakhông đối với môđun L/(x1, x2, , xi−1)L với mọi i = 1, 2, , r Một

L-dãy x1, x2, , xr các phần tử trong I được gọi là một L-dãy chính quycực đại trongI nếu không tồn tại phần tử y ∈ I sao cho x1, x2, , xr, y là

một L-dãy chính quy Với R-môđun hữu hạn sinh M, mỗi dãy chính quytrong I có thể mở rộng thành một dãy chính quy cực đại trong I và cácdãy chính quy cực đại trong I đều có độ dài bằng nhau Độ dài chung nàyđược gọi là độ sâu của M trong I và được ký hiệu là depthR(I, M ) Khi(R,m) là vành địa phương, ta ký hiệu depthR(M ) là độ sâu của M trongiđêan cực đại m Định lý sau đây đặc trưng độ sâu và chiều của môđunhữu hạn sinh thông qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điềuđịa phương.

Định lý 1.1.2 (xem [2, Định lý 6.1.4]) Cho I là iđêan của R và M là

R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

depthR(I, M ) = min{n | HIn(M ) 6= 0}

Nếu giả thiết thêm (R,m) là vành địa phương thì

Định lý 1.1.3 (xem [2, Định lý 8.2.1]) Cho I là iđêan của R và M là

R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

HIn(M ) = 0 với mọi n > ara(I)

Tiếp theo, chúng tôi quan tâm đến tính Artin của môđun đối đồng

điều địa phương

Định lý 1.1.4 (xem [2, Định lý 7.1.3]) Giả sử (R,m) là vành địa phương

và M là R-môđun hữu hạn sinh với dimR(M ) = d Khi đó

(i) Hmn(M ) là Artin với mọi n ∈ N.

(ii) HId(M ) là Artin với mọi iđêan I của R

1.2 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay

suy rộng

Trong mục này, luôn giả sử (R,m) là vành Noether địa phương, M

là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Ký hiệu bR và cM lần lượt là đầy đủ

m-adic của R và M

Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm trong

Đại số giao hoán và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của Toán học như

Lý thuyết bất biến, Đại số Tổ hợp, Hình học Đại số Cấu trúc của môđun

Cohen-Macaulay được làm rõ thông qua địa phương hóa, đầy đủ hóa, lý

thuyết bội, lý thuyết đối đồng điều địa phương, Ta luôn có bất đẳng thức

depthR(M ) ≤ d (xem [4, Mệnh đề 1.2.12]) Khi M = 0 hoặc M 6= 0 và

depthR(M ) = d thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay Nếu R là môđun

Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay Sau

đây là một số tính chất cơ bản của môđun Cohen-Macaulay

Bổ đề 1.2.1 ([41, Định lý 17.3, Định lý 17.5]) Các khẳng định sau là

đúng

(i) Nếu M là Cohen-Macaulay thì dim(R/p) = d với mọi p∈ AssR(M )

(ii) Cho x1, x2, , xi ∈ m là M-dãy chính quy Khi đó M là

Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M/(x1, x2, , xi)M là Cohen-Macaulay

(iii)M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếuMp làRp-môđun Cohen-Macaulayvới mọi p ∈ SuppR(M )

(iv) M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu cM là Cohen-Macaulay.

Theo M Nagata [45], M được gọi không trộn lẫn nếu dim(R/b p) = dvới mọi p ∈ Ass

b

R(M )c Theo Bổ đề1.2.1(i), (iv), nếuM là Cohen-Macaulaythì M là không trộn lẫn

Cho I là một iđêan của R sao cho `R(M/IM ) < ∞ Khi đó hàm

`R(M/In+1M ) trở thành một đa thức khi n đủ lớn, ký hiệu là PM,I(n)

Đa thức này cũng được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với I Do

đó, tồn tại các số nguyên e0(I; M ) > 0, e1(I; M ), , ed(I; M ) sao cho

Hệ số e0(I; M ) được gọi là số bội của M ứng với iđêan I Số bội e0(I; M )thường được viết là e(I; M ) Chú ý rằng

dimR(M ) = deg PM,I(n)

= inf{r | x1, , xr ∈ m sao cho `R(M/(x1, , xr)M ) < ∞}

Do đó, tồn tại hệ d phần tử (x1, x2, , xd) của m sao cho

`R(M/(x1, x2, , xd)M ) < ∞

Một hệ như thế được gọi là một hệ tham số của M Một hệ gồm i phần tử(x1, x2, , xi) trong m với i < d được gọi là một phần hệ tham số nếu tồntại xi+1, , xd ∈ m sao cho (x1, x2, , xd) là hệ tham số của M Chú ýrằng hệ (x1, x2, , xi) các phần tử trong m là một phần hệ tham số của

M nếu và chỉ nếu

dimR(M/(x1, x2, , xi)M ) = d − i

Đặc biệt, phần tử x ∈ m là phần tử tham số của M nếu và chỉ nếudimR(M/xM ) = d − 1, nếu và chỉ nếu x /∈ p với mọi p ∈ AsshR(M ),trong đó AsshR(M ) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) = d}

Một iđêan q của R được gọi là iđêan tham số của M nếu q sinh bởimột hệ tham số của M Cho x = (x1, x2, , xd) là một hệ tham số của

M và q = (x1, x2, , xd)R là iđêan tham số sinh bởi x Khi đó ta luôn có

0 < e(q; M ) ≤ `R(M/qM ) Bổ đề sau đây cung cấp một số đặc trưng củamôđun Cohen-Macaulay thông qua hệ tham số

Bổ đề 1.2.2 (xem [41, Định lý 17.11]) Các mệnh đề sau là tương đương:(i) M là Cohen-Macaulay

(ii) e(q; M ) = `R(M/qM ) với mọi iđêan tham số q của M

(iii) e(q; M ) = `R(M/qM ) với một iđêan tham số q của M

(iv) Mọi hệ tham số của M là M-dãy chính quy

(v) Tồn tại hệ tham số của M là M-dãy chính quy

Môđun Cohen-Macaulay được đặc trưng thông qua tính triệt tiêucủa môđun đối đồng điều địa phương như sau

Bổ đề 1.2.3 (xem [2, Hệ quả 6.2.4]) Các mệnh đề sau là tương đương:(i) M là Cohen-Macaulay

(ii) Hmi(M ) = 0 với mọi i < d

Với mỗi iđêan tham số q của M, đặt

I(q; M ) = `R(M/qM ) − e(q; M )

Khi đó I(q; M ) ≥ 0 Theo Bổ đề 1.2.2, M là Cohen-Macaulay khi vàchỉ khi I(q; M ) = 0 với mọi iđêan tham số q của M Vì thế năm 1965,D.A Buchsbaum đã giả thuyết I(q; M ) là hằng số không phụ thuộc vàoiđêan tham số q của M Giả thuyết này ngay sau đó được W Vogel và J.St¨uckrad chỉ ra là không đúng (xem [53]) Họ đã nghiên cứu lớp môđunthỏa mãn điều kiện trong giả thuyết trên và gọi đó là môđun Buchsbaum.Tiếp tục phát triển ý tưởng nghiên cứu trên, N.T Cường, P Schenzel vàN.V Trung [64] đã chỉ rằng nhìn chung sup I(q; M ) là vô hạn, trong đó

q chạy trên các iđêan tham số của M Từ đó họ nghiên cứu lớp môđun

có tính chất sup I(q; M ) < ∞ và gọi nó là môđun Cohen-Macaulay suyrộng Ngày nay lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành quenbiết trong Đại số giao hoán và cấu trúc của nó cũng được làm rõ qua địaphương hóa, đầy đủ m-adic, đối đồng điều địa phương,

Định lý 1.2.4 (xem [57, Bổ đề 1.2, Bổ đề 1.6, Bổ đề 1.7]) Các mệnh đềsau là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay suy rộng

(ii) cM là Cohen-Macaulay suy rộng

(iii) Mp là Cohen-Macaulay suy rộng với mọi p ∈ SuppR(M )

(iv) `R(Hmi(M )) < ∞ với mọi i < d

Trong phát biểu Định lý 1.2.4 (iii), chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulaysuy rộng thì Mp là Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppR(M ) \ {m}

Theo N.V Trung [57], một hệ tham số x = (x1, x2, , xd) của

M được gọi là hệ tham số chuẩn tắc nếu I(q; M ) = I(q0; M ), trong đó

q = (x1, x2, , xd)R và q0 = (x21, x22, , x2d)R Theo N.T Cường, P.Schenzel và N.V Trung [64], một hệ (x1, x2, , xm) các phần tử trong mđược gọi là một dãy lọc chính quy của M nếu `R(0 :M/(x1, ,xi−1)M xi) < ∞với mọi i = 1, 2, m Rõ ràng, mỗi dãy chính quy là một dãy lọc chínhquy của M Sau đây là đặc trưng tham số của môđun Cohen-Macaulaysuy rộng

Định lý 1.2.5 (xem [57]) M là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi

M có một hệ tham số chuẩn tắc Nếu thêm điều kiện R là vành thươngcủa một vành Cohen-Macaulay địa phương, thì M là Cohen-Macaulay suyrộng khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là dãy lọc chính quy

1.3 Hệ số Hilbert

Trong mục này, luôn giả sử (R,m) là một vành Noether địa phươngvới iđêan cực đại m vàM là một R-môđun hữu hạn sinh với dimR(M ) = d.Mục này dành để nhắc lại khái niệm và một số tính chất về hệ số Hilbert,đặc biệt là số bội và hệ số Chern

Cho I là một iđêan của R sao cho `R(M/IM ) < ∞ Khi đó đa thứcHilbert-Samuel PM,I(n) của M ứng với I được biểu diễn dưới dạng

trong đó ei(I; M ) là số nguyên với mọi i Ta gọi ei(I; M ) là hệ số Hilbertcủa M ứng với I Theo W Vasconcelos [62, 19], hệ số e1(I; M ) đượcgọi là hệ số Chern của M ứng với I Ta ký hiệu ei(I) := ei(I; R) với

i = 0, 1, , d

Như đã trình bày trong Mục 1.2, các lớp môđun Cohen-Macaulay,Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đều được đặc trưng hoặc định nghĩathông qua số bội ứng với iđêan tham số Trong mục này, chúng tôi nhắclại một số kết quả về mô tả cấu trúc của vành Noether địa phương trongmối liên hệ với tính triệt tiêu, tính chất hằng số, tính chất bị chặn dưới của các hệ số Hilbert, đặc biệt là hệ số Chern Nhìn chung, ta luôn có

e1(q; M ) ≤ 0 với mọi iđêan tham số q của M (xem [43, Định lý 3.6]).Theo Bổ đề 1.2.1 (i), (iv) nếu M là Cohen-Macaulay thì M là không trộnlẫn Hơn nữa, M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi

rằng UM(0) là giao của các thành phần nguyên sơ N (p) của môđun con

0 của M sao cho dim(R/p) = d Năm 2008, W.V Vasconcelos [62, 19] đãđưa ra Giả thuyết triệt tiêu của hệ số Chern: Nếu R không trộn lẫn, thì R

là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi e1(q) = 0 với một iđêan tham số q của

R Năm 2010, L Ghezzi, S Goto, J.Y Hong K Ozeki, T.T Phuong, vàW.V Vasconcelos [20] đã chứng minh giả thuyết trên là đúng Khi R làkhông trộn lẫn, vành Buchsbaum cũng được đặc trưng bởi tính chất của

e1(q) Chúng ta nhắc lại các đặc trưng này trong mệnh đề dưới đây (xem[20, Mệnh đề 4.2], [22, Định lý 1.1])

Mệnh đề 1.3.1 Cho R là không trộn lẫn với dim(R) ≥ 2 Khi đó

(i) Vành R là Cohen-Macaualay nếu và chỉ nếu e1(q) = 0 với một iđêantham số q của R

(ii) Vành R là Buchsbaum khi và chỉ khi e1(q) là hằng số không phụ thuộcvào iđêan tham số q của R

(iii) Vành R là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi tập {e1(q) |

q là iđêan tham số của R} là hữu hạn

Khi R là trộn lẫn, tính chất triệt tiêu (tính chất hằng số, tính chất

bị chặn dưới) của e1(q) không đặc trưng cho vành Cohen-Macaulay (vànhBuchsbaum, vành Cohen-Macaulay suy rộng) Lưu ý rằng, vành R thỏamãne1(q) = 0 với một iđêan tham số q củaRđược gọi là vành Vasconcelos(xem [21]) Khi đó chúng ta có kết quả sau (xem [21, Định lý 1.13], [21,Định lý 3.10] và [24, Định lý 1.1])

Mệnh đề 1.3.2 Cho R là trộn lẫn với dim(R) ≥ 2 Khi đó

(i) VànhR là Vasconcelos nếu và chỉ nếu bR/U

(iii) Tập {e1(q) | q là iđêan tham số của R} là hữu hạn nếu và chỉ nếub

R không là Cohen-Macaulay (do R là trộn lẫn) Chú ý rằng

dim(R) = 3, R =R, Ub R(0) = XR/I, R/UR(0) ∼= K[[X, Y, Z, W ]]/XR.Hơn nữa, R/UR(0) là Cohen-Macaulay và dimR(UR(0)) = 1 Do đó, theoMệnh đề 1.3.2 (i) R là vành Vasconcelos, tức là e1(q) = 0 với một iđêantham số q của R

Năm 2013, N.T Cường S Goto, H.L Trường [8, Định lý 4.2] cũng

mô tả cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay dãy chiều 2 thông qua hệ sốChern Với chiều lớn hơn2, tính Cohen-Macaulay dãy của các môđun đượcđặc trưng thông qua các hệ số Hilbert [8, Định lý 4.5]

Hai bổ đề sau liên quan đến hệ số Hilbert được chúng tôi sử dụng

để chứng minh kết quả của luận án

Bổ đề 1.3.3 ([7, Bổ đề 3.4]) Cho N là một môđun con của M vớidimR(N ) = d0 < d Khi đó

q và mIn = mqn với mọi n ∈ Z

1.4 Một số khái niệm về đồ thị

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm liên quan trong

lý thuyết đồ thị được dùng trong luận án

Cho G = (V, E) là một đồ thị với tập đỉnh V và tập cạnh E Mộtcạnh {u, v} ∈ E thường được viết uv (hay vu), ta nói u kề với v (hay

v kề với u) và u kề với cạnh uv (hay v kề với cạnh uv) Cho S ⊆ V,

ký hiệu N (S) là tập các đỉnh của V kề với một đỉnh của S Bậc củamột đỉnh v trong đồ thị G, ký hiệu bởi deg(v), là số cạnh của G kề với

v Khuyên (loop) là một cạnh nối một đỉnh với chính nó Đồ thị đơn làmột đồ thị không có khuyên hoặc cạnh bội Một đỉnh bậc không (bậcmột) được gọi là đỉnh cô lập (lá) Đồ thị G là liên thông nếu hai đỉnhbất kỳ u, v ∈ V luôn tồn tại một đường từ u đến v, nghĩa là tồn tại

x1, x2, , xn ∈ V thỏa mãn ux1, x1x2, , xnv ∈ E Đồ thị con cảm sinhcủa G trên S, ký hiệu bởi G[S], là một đồ thị với tập đỉnh S và tập cạnhE(G[S]) = {uv ∈ E | u, v ∈ S} Chúng tôi ký hiệu G − S = G[V \ S].Khi S = {v}, đồ thị G − {v} = G[V \ {v}] được viết tắt thành G − v, đó

là đồ thị con của G trong đó v và tất cả các cạnh chứa v đều được bỏ đi(xem [63])

Vớin ≥ 3, chu trìnhCn là đồ thị với tập đỉnh {v1, v2, , vn} và tậpcạnh {v1v2, v2v3, , vn−1vn, vnv1} Với n ≥ 2,đồ thị đầy đủ trênnđỉnh là

đồ thị Kn với tập đỉnh {v1, v2, , vn} và tập cạnh {vivj | 1 ≤ i < j ≤ n}.Một đồ thị hai phần (bipartite graph) là một đồ thị có các đỉnh có thể đượcchia thành hai tập không giao nhau và thỏa mãn điều kiện mỗi cạnh của

đồ thị được nối bởi một đỉnh từ tập này đến một đỉnh thuộc tập kia Tathường ký hiệu đồ thị hai phần là Bm,n nếu đồ thị có tập đỉnh chia thànhhai tập không giao nhau, một tập có m phần tử, một tập có n phần tử,với m, n > 1

Trong luận án này, chúng tôi luôn xét G = (V, E) là đồ thị đơn hữuhạn

Một ghép cặp (matching) M của đồ thị G là một tập con của E saocho hai cạnh bất kỳ củaM đều không có đỉnh chung Ghép cặp gồmscạnh

Hình 1.1: C4, K4 và B2,3.

được gọi làs-ghép cặp Ký hiệuMs

G = {M | M là một s-ghép cặp của G}

là tập tất cả các s-ghép cặp Ghép cặp tối đại của G là một ghép cặp chứa

số cạnh lớn nhất của G Số ghép cặp của đồ thị G, ký hiệu bởi ν(G), là

số cạnh trong ghép cặp tối đại của G Một ghép cặp được gọi là hoàn hảo(perfect matching) nếu mọi đỉnh của G đều kề với một cạnh của ghép cặp.Khái niệm đồ thị nhân tử tới hạn (factor-critical) được giới thiệu bởi T.Gallai [65] cho đồ thị liên thông G thỏa mãn G − v có ghép cặp hoàn hảovới mọi v ∈ V Một tập trội (dominating set) của đồ thị G là một tập con

S ⊆ V thỏa mãn với mọi đỉnh của G không nằm trong S đều kề với ítnhất một đỉnh của S Một tập trội hoàn toàn (total dominating set) của

đồ thị G không có đỉnh cô lập là một tập S ⊆ V thỏa mãn mọi đỉnh của

G đều kề với một đỉnh trong S (xem [29]) Tập con S ⊆ V được gọi làtập cặp trội (paired dominating set) của G, nếu nó là tập trội của G và

đồ thị cảm sinh G[S] có ghép cặp hoàn hảo Kiểu trội này được giới thiệubởi T.W Haynes và P.J Slater trong [30], [31] và được nghiên cứu trong[50], [52] Một đồ thị G được gọi là ghép cặp tới hạn (matching-critical),nếu với mọi đỉnh v ∈ V ta có ν(G) = ν(G − v) (xem [65]) Trong luận ánnày, chúng tôi nghiên cứu một kiểu khác của tập cặp trội Ta nói rằng tập

S ⊆ V là một tập cặp trội tới hạn (critical paired dominating set) của Gnếu nó là tập trội hoàn toàn của G và đồ thị cảm sinh G[S] là ghép cặp

tới hạn.

Lưu ý rằng, nếu đồ thị G có ghép cặp hoàn hảo thì G phải có sốđỉnh là chẵn và mọi đỉnh của G đều thuộc vào cạnh nào đó của ghép cặphoàn hảo Nếu G là đồ thị nhân tử tới hạn thì G luôn có số đỉnh là lẻ.Theo T Gallai [65], đồ thị G là nhân tử tới hạn nếu và chỉ nếu mọi đỉnh

v ∈ V, ta có ν(G) = ν(G − v) và G là liên thông Do đó, đồ thị ghép cặptới hạn là đồ thị thỏa mãn mọi thành phần liên thông của nó đều là đồthị nhân tử tới hạn

Ví dụ 1.4.1 Cho G là đồ thị có tập đỉnh V = {1, 2, 3, 4, 5} (xem Hình

1.2) Khi đó

(i) Ta có ν(G) = 2 Tập các 2-ghép cặp có 6 phần tử:

M2G = {(12, 35), (12, 34), (12, 45), (13, 45), (15, 23), (15, 34), (23, 45)}.Tập {1, 3}, {1, 3, 5} là những tập trội hoàn toàn của G nhưng tập {1, 4}không là trội hoàn toàn của G

Chương 2

Chỉ số khả quy, hệ số Hilbert và

môđun Cohen - Macaulay

Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R,m) là vành thương củamột vành Cohen-Macaulay địa phương với trường thặng dư vô hạn R/m

và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d

Mục đích chính của chương là đưa ra hai đặc trưng mới cho tínhCohen-Macaulay của các vành Noether địa phương(R,m)và các R-môđunhữu hạn sinh M thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy, số bội bấtkhả quy và hệ số Hilbert (đặc biệt là hệ số Chern) ứng với iđêan tham số

và iđêan m-nguyên sơ

Trong Mục 2.1, chúng tôi trình bày một số kết quả về lọc chiều và

hệ g-tham số, đồng thời thông qua hệ g-tham số để đưa ra một điều kiệncần cho M/UM(0) là Cohen-Macaulay Mục 2.2 dành để nhắc lại một sốkết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, đồng thời đưa

ra hai tính chất bổ trợ (Bổ đề 2.2.5, Bổ đề 2.2.10) về chỉ số khả quy và

số bội bất khả quy Cuối cùng, chúng tôi chứng minh kết quả chính củaChương trong Mục 2.3 Nội dung Chương này được trình bày dựa theo bàibáo [55]

2.1 Lọc chiều và hệ g-tham số

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về lọc chiều và hệ

g-tham số Khái niệm lọc chiều được giới thiệu bởi P Schenzel [51] Sau

đó N.T Cường - L.T Nhàn [9] và N.T Cường - S Goto - H.L Trường [8]

đã điều chỉnh lại đôi chút định nghĩa này bằng cách bỏ đi những thànhphần lặp để thuận tiện hơn cho việc sử dụng Trong luận án này, chúngtôi sử dụng khái niệm lọc chiều được giới thiệu trong [8]

Đặt Λ(M ) = {dim(R/p) | p ∈ AssR(M )} và t := |Λ(M )| Sắp xếpΛ(M ) = {d1, , dt | 0 ≤ d1 < d2 < · · · < dt = d}

Vì M là Noether nên tồn tại môđun con lớn nhất Di của M thỏa mãndimR(Di) = di với mọi 1 ≤ i ≤ t Khi đó lọc các môđun con của M

D : D0 = 0 ( D1 ( D2 ( · · · ( Dt = Mđược gọi là lọc chiều của M Giả sử

p∈Ass R (M )

N (p)

là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của M, trong đó N (p)

là môđun con p-nguyên sơ của M Khi đó theo [51, Mệnh đề 2.2] ta có

biệt, nếu M là Cohen-Macaulay thì 0 ( M là lọc chiều của M Nếu M làCohen-Macaulay suy rộng thì 0 ( M hoặc 0 ( Hm0(M ) ( M là lọc chiềucủa M.

Cho D : D0 = 0 ( D1 ( D2 ( · · · ( Dt = M là lọc chiều của M.Với mọi 1 ≤ i ≤ t, ta đặt Ci = Di/Di−1 Khi đó ta có mệnh đề sau đây.Mệnh đề 2.1.1 (xem [51, Hệ quả 2.3]) Các phát biểu sau là đúng vớimọi 1 ≤ i ≤ t

(i) AssR(M/Di) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) ≥ di+1}

(ii) AssR(Di) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) ≤ di}

(iii) AssR(Ci) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) = di}

Dựa vào khái niệm lọc chiều ở trên, chúng tôi nhắc lại định nghĩamôđun Cohen-Macaulay dãy Lớp môđun Cohen-Macaulay dãy xuất hiện

tự nhiên trong các ứng dụng của Đại số giao hoán vào các bài toán tổhợp và được giới thiệu đầu tiên bởi R.P Stanley cho trường hợp phân bậcnhằm nghiên cứu vành Stanley-Reisner (các vành này nói chung là trộnlẫn) Sau đó, N.T Cường - L.T Nhàn [9] và P Schenzel [51] nghiên cứutrong trường hợp địa phương

Định nghĩa 2.1.2 Cho D : D0 = 0 ( D1 ( D2 ( · · · ( Dt = M là lọcchiều của M Ta nói M là Cohen-Macaulay dãy nếu Di/Di−1 là môđunCohen-Macaulay với mọi i = 1, 2, ,t

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại định nghĩa và một số tính chất củaiđêan tham số tách và iđêan g-tham số Giả sử D : D0 = 0 ( D1 ( D2 (

· · · ( Dt = M là lọc chiều của M Khái niệm iđêan tham số tách ứng vớilọc chiều D được định nghĩa như sau

Định nghĩa 2.1.3 (xem [51]) Một hệ tham số (x1, x2, , xd) của Mđược gọi là tách, nếu

(xj | di < j ≤ d)Di = 0với mọi 1 ≤ i ≤ t Iđêan tham số q của M được gọi là tách nếu nó sinhbởi một hệ tham số tách

Nhận xét 2.1.4 (i) Hệ tham số tách luôn tồn tại (xem [51, Bổ đề 2.6]).(ii) Nếu (x1, x2, , xd) là hệ tham số tách của M thì (xn1

1 , xn2

2 , , xnd

d )

là tách với mọi số nguyên n1, n2, , nd ≥ 1 (xem [58, Bổ đề 2.3])

(iii) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M có lọc chiều 0 ( M và do

đó mọi iđêan tham số của M đều là iđêan tham số tách

Cho x1, x2, , xm là các phần tử của m Ta ký hiệu qi là iđêan(x1, x2, , xi)R với i = 1, , d và quy ước rằng q0 là iđêan không của

R Khi đó dãy x1, x2, , xm ∈ m được gọi là d-dãy trên M nếu

qiM :M xi+1xj = qiM :M xjvới mọi 0 ≤ i < j ≤ m (khái niệm d-dãy được giới thiệu bởi C Huneke[37]) Dựa trên khái niệm iđêan tham số tách và d-dãy, H.L Trường [61]

đã giới thiệu khái niệm iđêan g-tham số Iđêan này đóng vai trò chìa khóa

để chứng minh một trong những kết quả chính của luận án

Định nghĩa 2.1.5 Hệ tham số tách (x1, x2, , xd) của M được gọi là

hệ g-tham số trên M, nếu nó là d-dãy và

Ass(Ci/qjCi) ⊆ Assh(Ci/qjCi) ∪ {m}với mọi 0 ≤ j ≤ d − 1 và 0 ≤ i ≤ t Iđêan tham số q của M được gọi làiđêan g-tham số nếu nó sinh bởi một hệ g-tham số của M

Chú ý rằng hệ g-tham số luôn tồn tại [61, Hệ quả 2.8]

Ví dụ 2.1.6 (i) ChoR = K[[X1, X2, , Xd]]là vành chuỗi lũy thừa hìnhthức trên trườngK Ta có X = (X1, X2, , Xd) là một hệ tham số củaR.

VìR là Cohen-Macaulay nênX là một hệ g-tham số và (X1, X2, , Xd)R

là iđêan g-tham số của R

(ii) Cho A = R/I, trong đó R = K[[X, Y, Z]] là vành chuỗi lũy thừahình thức trên trường K và I = XR ∩ (Y, Z)R Ta có dimR(A) = 2 vàdepthR(A) = 1 nên A không là Cohen-Macaulay Hơn nữa, A có lọc chiềulà

D : 0 ( XR/I ( A

Do đó A là vành Cohen-Macaulay dãy và A là Cohen-Macaulay suy rộng

Hệ (Y, Z) là g-tham số của A Do đó (Y, Z)R là iđêan g-tham số của A

Cho D : D0 = 0 ( D1 ( D2 ( · · · ( Dt = M là lọc chiều của

M Bổ đề sau đây cho ta một điều kiện cần để môđun Ct = M/Dt−1 làCohen-Macaulay

Bổ đề 2.1.7 Giả sử (x1, x2, , xd) là một hệ g-tham số trên M với

d ≥ 2 Cho 0 ≤ j ≤ d − 2, ký hiệu Nj/qjM là môđun con UM/qjM(0)của M/qjM Nếu M/Nj là Cohen-Macaulay thì Ct = M/Dt−1 là Cohen-Macaulay

Chứng minh Nếu d = 2 thì N0 = Dt−1 Khi đó Ct = M/N0 là môđunCohen-Macaulay Giả sử d ≥ 3 Dựa vào tính chất của hệ g-tham số, ta

thấy rằng nếu Bổ đề đúng với j − 1 thì Bổ đề cũng đúng với j Do đó tachỉ cần chứng minh Bổ đề đúng với j = 1 là đủ Với môđun con L của M,

ký hiệu L = (L + xM )/xM với x := x1 và N := N1 Theo định nghĩa của

hệ g-tham số, ta có AssR(Ct/xCt) ⊆ AsshR(Ct/xCt) ∪ {m} Vì x là phần

tử tham số của M nên x /∈ p với mọi p ∈ AsshR(M ) Theo Mệnh đề 2.1.1

ta có

AssR(Ct) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) = d}

Từ đó AssR(Ct) = AsshR(M ) Do đó x là Ct-chính quy Vì thế để chứngminh Ct là Cohen-Macaulay, ta chỉ cần chứng minh Ct/xCt là Cohen-Macaulay Chú ý rằng Ct/xCt ∼= M/(D

t−1 + xM ) và M/N là môđunCohen-Macaulay Do đó ta chỉ cần chứng minh N = Dt−1 + xM Ta

có N = (N + xM )/xM là môđun con UM/xM(0) của M/xM Do vậy

Hm0(M /Dt−1) = N /Dt−1 Vì vậy N /Dt−1 có độ dài hữu hạn Suy ra

Hmi(N /Dt−1) = 0 với mọi i > 0 Mặt khác, vì M /N là Cohen-Macaulaychiều d − 1 nên từ dãy khớp

0 → N /Dt−1 → M /Dt−1 → M /N → 0

ta suy ra Hmi(M /Dt−1) = 0 với mọi i = 1, , d − 2 Do đó

Hmi(M/(Dt−1+ xM )) = 0với mọi i = 1, , d − 2 Lại vì x là Ct-chính quy nên ta có dãy khớp

[23, Bổ đề 3.1], Hm1(Ct) là hữu hạn sinh Áp dụng Bổ đề Nakayama ta có

Cohen-2.2 Chỉ số khả quy và số bội bất khả quy

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết về chỉ sốkhả quy và số bội bất khả quy, trước hết là một số kết quả về chỉ số khảquy được chứng minh bởi N.T Cường, P.H Quý và H.L Trường trong[11], sau đó chúng tôi chứng minh những tính chất về chỉ số khả quy, sốbội bất khả quy được dùng trong luận án

Một môđun con thực sự N của M là bất khả quy nếu N không thểviết thành giao của hai môđun con của M thực sự chứa N Nhắc lại rằng,mọi môđun con thực sự N của M đều phân tích được thành giao của hữuhạn môđun con bất khả quy (xem [66]) và số môđun con bất khả quy xuấthiện trong phân tích bất khả quy thu gọn của N là một bất biến khôngphụ thuộc vào phân tích mà chỉ phụ thuộc vào N và M Ở đây, một phântíchN = Tn

i=1Ni với các Ni bất khả quy được gọi là phân tích bất khả quythu gọn của N nếu mỗi Ni là không thừa Bất biến này được gọi là chỉ sốkhả quy của N trong M và được ký hiệu là irM(N )

Từ khái niệm chỉ số khả quy, bài toán được quan tâm là xác địnhcông thức tính chỉ số khả quy Khi (R,m) là vành địa phương, ta ký hiệuSoc(M ) = (0 :M m) là đế của M Nếu N là môđun con của M sao cho

`R(M/N ) < ∞ thì irM(N ) = `R((N :M m)/N ) = dimR/mSoc(M/N )(xem [11, Nhận xét 2.2]) Đặc biệt, nếu q là iđêan tham số của M thì chỉ

số khả quy của môđun con qM của M được cho bởi công thức

irM(qM ) = dimR/m(HomR(R/m, M/qM )) = dimR/mSoc(M/qM )

Bổ đề sau đây cho ta công thức tính chỉ số khả quy irM(N ) trongtrường hợp R không nhất thiết là địa phương và M/N không nhất thiết

trong đó k(p) = Rp/pRp là trường thặng dư của Rp

Ngoài ra, với bất kỳ p ∈ AssR(M/N ), tồn tại môđun con p-nguyên

sơ N (p) của M với irM(N (p)) = dimk(p)Soc(M/N )p sao cho

p∈AssR(M/N )

N (p)

là phân tích nguyên sơ thu gọn của N

Gần đây, T.N An, T.D Dung, S Kumasiro và L.T Nhan đã xác địnhđược công thức tính irM(N ) qua chuyển phẳng [1] Cấu trúc của M cũng

có thể mô tả thông qua tính chất của chỉ số khả quy Năm 1954, D.G.Northcott và D Rees [46] đã chứng minh rằng R là vành Gorenstein nếu

và chỉ nếu irR(q) = 1 với mọi iđêan tham số q của R Hơn nữa, M làCohen-Macaulay khi và chỉ khi irM(qM ) = dimR/m(0 :Hd

m (M ) m) với mọiiđêan tham số q của M (xem [47, Định lý 3], [11, Định lý 5.2]) Giá trị

rd(M ) := dimR/m(0 :Hd

m (M ) m) được gọi là kiểu Cohen-Macaulay của M.Chú ý rằng, S Endo và M Narita [18] đã xây dựng một vành Noether địaphương không Cohen-MacaulayRthỏa mãn irR(q) = 2với mọi iđêan tham

số q của R Điều này chứng tỏ rằng tính chất hằng số của irR(q) khôngđặc trưng vành Cohen-Macaulay Khi M là môđun Buchsbaum, irM(qM )

là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong m2 (xem [27, 25]) của M.Nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì tồn tại n ∈ N sao cho irM(qM )

là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong mn của M (xem [13, 10])

Năm 2013, H.L Trường [58] đã chứng minh rằng nếu M là môđun Macaulay dãy thì tồn tại n ∈N sao cho irM(qM ) là hằng số với mọi iđêantham số tách q chứa trong mn của M Năm 2019, N.T Cường và P.H Quý[12] đã chứng tỏ rằng chỉ số khả quy của mọi iđêan C-tham số của M làhằng số Sau đây là một ví dụ về một vành không là Cohen-Macaulay suyrộng nhưng chỉ số khả quyirR(q)là hằng số với mọi iđêan tham số q ⊆ m2.

Cohen-Ví dụ 2.2.2 Chon ≥ 2và Rlà vành địa phương chính quy chiềun+1 vớiiđêan cực đại(X, Y1, Y2, , Yn)R Giả sử A = R/[XR∩(Y1, Y2, , Yn)R]

và m = (X, Y1, Y2, , Yn)A là iđêan cực đại của A Ta có A là vànhNoether địa phương chiều n và depthR(A) = 1 Do đó A không là vànhCohen-Macaulay và A không là Cohen-Macaulay suy rộng Tuy nhiên taluôn có irA(q) = 2 với mọi iđêan tham số q ⊆ m2

Thật vậy, đặt p = (Y1, Y2, , Yn)A Ta có dimR(A/XA) = n vàdimR(A/p) = 1 Do đó vành A không là Cohen-Macaulay suy rộng vìiđêan nguyên tố liên kết XA và p có chiều khác nhau [53, Mệnh đề 16].Giả sử q là iđêan tham số củaAchứa trong m2.Xét dãy khớp cácA-môđunsau:

0 → A/p → A → A/XA → 0..XChú ý rằng A/XA ∼= R/XR là A-môđun Cohen-Macaulay chiều n Do qcũng là iđêan tham số củaA/XA nên theo Bổ đề 1.2.2, q sinh bởi một dãyA/XA-chính quy Do đó Tor1A(A/q, A/XA) = 0 Tenxơ dãy khớp trên vớiA/q ta được dãy khớp

0 → A/p⊗ A/q → A ⊗ A/q → A/XA ⊗ A/q → 0

Bằng cách sử dụng đẳng cấu cơ bản ta thu được dãy khớp

0 → A/(p+q) → A/q → A/(XA +q) → 0

Tiếp theo, tác động hàm tử HomA(A/m, •) ta thu được dãy khớp

0 → (0 :A/(p+q) m) → (0 :A/q m) → (0 :A/(XA+q) m)