Phân tích bất khả quy trong lý thuyết đồ thị và nghiên cứu hệ số hilbert

Khi R là vành đa thức với hệ số trên một trường, ta vẫn dùng ký hiệu m cho iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R.Luận án tập trung nghiên cứu về chỉ số khả quy của môđun hữu hạn sinh t

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2022

ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY TRONG

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ NGHIÊN CỨU HỆ SỐ HILBERT

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Cho R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Khi R là vành địa phương, ta ký hiệu m là iđêan cực đại duy nhất Khi R là vành đa thức với hệ số trên một trường, ta vẫn dùng ký hiệu m cho iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R.

Luận án tập trung nghiên cứu về chỉ số khả quy của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương và phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị đơn hữu hạn Về chỉ số khả quy, trước hết chúng tôi đặc trưng tính Cohen-Macaulay của môđun hữu hạn sinhM trên vành Noether địa phương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy irM(qM ) và số bội bất khả quy f0(q; M ) với q là iđêan tham số của M Sau đó, chúng tôi đặc trưng tính Cohen-Macaulay cho vành Noether địa phương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy irR(q) và các hệ số Hilbert e1(q), e1(q : m) với q là iđêan tham số của R Về phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để iđêan đơn thức là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh IGs thông qua các bất biến tổ hợp của đồ thị G Sau đó, chúng tôi xác định được một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G Hơn nữa, chúng tôi đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G.

Luận án được chia thành 3 chương Chương 1 dành để nhắc lại những kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án ở những chương sau, gồm: môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng,

hệ số Hilbert và một số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị.

Trong Chương 2, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về lọc chiều và khái niệm hệ g-tham số, đồng thời thông qua hệ g-tham số để đưa ra một điều kiện cần cho M/UM(0)là Cohen-Macaulay, trong đóUM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dimR(M ) Sau đó, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, đồng thời chứng minh hai tính chất mới của chỉ số khả quy và số bội bất khả quy ứng với iđêan g-tham số Cuối cùng, chúng tôi đưa ra hai đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay của các vành Noether địa phương (R,m) và các R-môđun hữu hạn sinh M thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy, số bội bất khả quy và hệ số Hilbert (đặc biệt là hệ số Chern) ứng với iđêan tham số và iđêan m-nguyên sơ.

Trong Chương 3, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để iđêan đơn thức ma là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh IGs thông qua các bất biến tổ hợp của đồ thị G, trong đó ma là iđêan (xai

i | ai > 0)R của R với a = {1, 2}n Áp dụng kết quả trên với s = 2, chúng tôi thu được Định lý chính trong bài báo của J Herzog - T Hibi [32] hoặc N Terai - N.V Trung [56] về điều kiện cần và đủ để depthR(R/IG2) = 0 Sau đó, chúng tôi xác định được một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của G Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của G.

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Tâm

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thứ nhất của tôi - PGS TS Hoàng Lê Trường Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi từ những ngày đầu tiên tập làm nghiên cứu khoa học Thầy đã dạy tôi từ cách phát hiện vấn đề đến cách giải quyết vấn đề nghiên cứu trong Toán học Mặc dù phần lớn thời gian Thầy ở nước ngoài, nhưng Thầy đã luôn quan tâm, động viên, khích lệ và đồng hành cùng tôi trong suốt quá trình tôi học nghiên cứu sinh.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo hướng dẫn thứ hai của tôi - GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô đã dành nhiều tâm sức để truyền thụ cho tôi không chỉ về tri thức toán học mà còn về phương pháp nghiên cứu và cách trình bày một đề tài nghiên cứu khoa học Cô đã tổ chức nhiều hội nghị, khóa học ngắn hạn để bồi dưỡng năng lực Toán học (đặc biệt là Đại số giao hoán) cũng như tạo điều kiện để nghiên cứu sinh chúng tôi được gặp gỡ, giao lưu với nhiều nhà Toán học trong nước và trên thế giới Cô là tấm gương sáng cho lớp học trò chúng tôi phấn đấu noi theo về lòng say mê nghiên cứu khoa học cũng như sự nỗ lực vượt qua khó khăn để đạt tới thành công.

Tôi thực sự là người may mắn vì đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của hai người Thầy: PGS TS Hoàng Lê Trường và GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Thầy Cô không những hết lòng dạy bảo, hướng dẫn tôi hoàn thành khóa học nghiên cứu sinh mà còn trao cho tôi nhiều cơ hội để được làm việc với các nhà khoa học uy tín trong nước và trên thế giới Một lần nữa, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô và sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao, niềm tin của Thầy Cô đã dành cho tôi.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện cho tôi học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Hùng Vương đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo khoa Khoa học Tự nhiên, các thầy cô giáo và đồng nghiệp trong Bộ môn Toán, Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hùng Vương đã quan tâm động viên và giúp đỡ nhiều mặt trong thời gian tôi học nghiên cứu sinh.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Quỹ đổi mới sáng tạo Vingroup đã tài trợ cho tôi học bổng Tiến số - mã số 2020.TS.82 với số tiền là 150 triệu đồng Tôi xin cảm ơn GS TS Nguyễn Tự Cường, GS Marcel Morales, PGS TS Nguyễn Thị Dung, PGS TS Đoàn Trung Cường, PGS TS Phạm Hùng Quý cùng các anh chị em trong nhóm seminar Đại số giao hoán của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã luôn đồng hành cùng tôi, động viên, chia sẻ với tôi trong học tập cũng như trong cuộc sống.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình của mình, đặc biệt là Bố Mẹ hai bên, Chồng và hai con yêu quý, đã luôn khích lệ, hỗ trợ, chia sẻ khó khăn và luôn mong mỏi tôi thành công Đó là nguồn động viên rất lớn, giúp tôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận án này.

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Tâm

Mục lục

Mở đầu 7

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 17

1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 17

1.2 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng 20

2.2 Chỉ số khả quy và số bội bất khả quy 36

2.3 Chỉ số khả quy, hệ số Hilbert và môđun Cohen-Macaulay 44

Chương 3 Phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 59 3.1 Phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức 60

3.2 Phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 63

3.3 Mối quan hệ giữa tập cặp trội tới hạn và thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 73

Kết luận 82

Tài liệu tham khảo 84

Trong suốt luận án, luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Trong trường hợp R là vành địa phương, ta ký hiệu m là iđêan cực đại duy nhất của R Trong trường hợp R là vành đa thức với hệ số trên một trường, ta vẫn dùng ký hiệu m cho iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R.

Một môđun con thực sự N của M là bất khả quy nếu nó không thể viết thành giao của hai môđun con thực sự chứaN Định lý nổi tiếng trong lý thuyết vành và môđun (chứng minh bởi E Noether [66] năm 1921 cho trường hợp M = R) phát biểu rằng mọi môđun con thực sự N của M đều phân tích được thành giao của hữu hạn môđun con bất khả quy và số môđun con bất khả quy xuất hiện trong phân tích bất khả quy thu gọn của N là một bất biến không phụ thuộc vào phân tích mà chỉ phụ thuộc vào N và M Bất biến này được gọi là chỉ số khả quy của N trong M và được ký hiệu làirM(N ) Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến chỉ số khả quy của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương và phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị đơn hữu hạn.

Khi vành cơ sở (R,m) là địa phương với trường thặng dư R/m, chỉ số khả quy cung cấp nhiều thông tin quan trọng về cấu trúc của R và M Năm 1954, D.G Northcott và D Rees [46] đã chứng minh rằng R là vành Gorenstein nếu và chỉ nếu irR(q) = 1 với mọi iđêan tham số q của R Hơn nữa,M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi irM(qM ) = dimR/m(0 :Hd

m(M ) m) với mọi iđêan tham số q của M (xem [47, Định lý 3], [11, Định lý 5.2]) Chú ý rằng, S Endo và M Narita [18] đã xây dựng một vành Noether

địa phương không Cohen-Macaulay R thỏa mãn irR(q) = 2 với mọi iđêan tham số q của R Điều này chứng tỏ rằng tính chất hằng số của irR(q) không đặc trưng vành Cohen-Macaulay Khi M là môđun Buchsbaum, irM(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong m2 (xem [27, 25]) Nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup

irM(qM ) < ∞, trong đó q chạy trên tập các iđêan tham số của M (xem [27]), hơn nữa tồn tại n ∈ N sao cho irM(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong mn (xem [13, 10]) Năm 2013, H.L Trường đã chứng minh rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay dãy thì tồn tại n ∈ N sao cho irM(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số tách q chứa trong mn [58] Gần đây, N.T Cường và P.H Quý [12] đã chứng tỏ rằng irM(qM ) là hằng số với mọi iđêan C-tham số q của M.

Mục đích thứ nhất của luận án là đặc trưng tính Cohen-Macaulay của môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether địa phương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy irM(qM ) và số bội bất khả quy f0(q; M ) với q là iđêan tham số của M Ở đây, theo [11, Bổ đề 4.2], hàm irM(qn+1M ) là đa thức bậcd − 1 khi nđủ lớn và được biểu diễn dưới dạng

trong đó fi(q; M ) là các số nguyên với mọi i Theo H.L Trường [59], số nguyên dương f0(q; M ) được gọi là số bội bất khả quy củaM ứng với iđêan tham số q Năm 2015, N.T Cường, P.H Quý và H.L Trường [11, Định lý 5.2] đã chứng minh rằng M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu

với mọi iđêan tham số q của M Vì vậy, một câu hỏi tự nhiên đặt ra là nếu irM(qM ) = f0(q; M ) với mọi iđêan tham số q của M thì M có là Cohen-Macaulay không? Trong [59, Định lý 1.1], H.L Trường đã chứng minh rằng nếu R là vành Noether địa phương không trộn lẫn với trường thặng dư vô hạn, thìR là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi irR(q) = f0(q; R) với mọi iđêan tham số q của R Kết quả chính thứ nhất của luận án là mở rộng kết quả trên của H.L Trường [59, Định lý 1.1] từ vành lên môđun hữu hạn sinh bất kỳ (không cần giả thiết về tính không trộn lẫn) Kết quả này được công bố trong [55, Định lý 1.2].

Mục đích thứ hai của luận án là đặc trưng tính Cohen-Macaulay cho vành Noether địa phương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy irR(q) và các hệ số Hilbert e1(q), e1(q : m) với q là iđêan tham số của R Nhắc lại rằng, với I là một iđêan của R sao cho`R(M/IM ) < ∞, hàm `R(M/In+1M ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn, được biểu

trong đó ei(I; M ) là số nguyên với mọi i Ta gọi ei(I; M ) là hệ số Hilbert của M ứng với I, số nguyên dương e0(I; M ) được gọi là số bội (Hilbert-Samuel) của M ứng với I Ta ký hiệu ei(I) := ei(I; R).

Lý thuyết bội đã phát triển nhanh chóng và trở thành công cụ quan trọng trong Hình học đại số và Đại số giao hoán Một số lớp môđun đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán (Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng) đều được đặc trưng hoặc định nghĩa thông qua số bội ứng với iđêan tham số Cấu trúc của môđun M cũng được làm rõ thông qua tính chất của hệ số Hilbert khác, đặc biệt là hệ số Chern e1(q; M ) Nhìn chung, ta luôn có e1(q; M ) ≤ 0 với mọi iđêan tham số q của M (xem [43, Định lý 3.6]) Theo [41, Định lý 17.3], nếu M là Cohen-Macaulay thìM là không trộn lẫn và ei(q; M ) = 0 với mọi (với một) iđêan

tham số q của M, i = 1, 2, d Ký hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Chú ý rằng UM(0) là giao của các thành phần nguyên sơ N (p) của môđun con 0 của M sao cho dim(R/p) = d Năm 2008, W.V Vasconcelos [62, 19] đã gọi e1(q; M ) là hệ số Chern của M ứng với q và đặt ra Giả thuyết triệt tiêu của hệ số Chern: Nếu R không trộn lẫn, thì R là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi e1(q) = 0 với một iđêan tham số q của R Năm 2010, L Ghezzi, S Goto, J.Y Hong K Ozeki, T.T Phuong, và W.V Vasconcelos [20] đã chứng minh giả thuyết trên là đúng Khi R là trộn lẫn, e1(q) = 0 với một iđêan tham số q của R nếu và đó bR là đầy đủ m-adic của R (xem [21, Định lý 1.13]) Năm 2010, S Goto và K Ozeki [22, Định lý 1.1] đã chứng minh rằng vành không trộn lẫn chiều lớn hơn hoặc bằng 2 là Buchsbaum khi và chỉ khi hệ số Chern e1(q) là hằng số không phụ thuộc vào iđêan tham số q Khi R là trộn lẫn, e1(q) là hằng số không phụ thuộc iđêan tham số q nếu và chỉ nếu bR/U 2011, S Goto và K Ozeki [24, Định lý 1.1] đã chứng minh rằng vành R chiều lớn hơn hoặc bằng 2 là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi tập {ei(q) | q là iđêan tham số của R} là hữu hạn, với mọi 1 ≤ i ≤ dim(R) Cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay dãy chiều 2 cũng được đặc trưng thông qua hệ số Chern [8, Định lý 4.2] Với chiều lớn hơn 2, tính Cohen-Macaulay dãy của các môđun được đặc trưng thông qua các hệ số Hilbert [8, Định lý 4.5].

Mối quan hệ mật thiết giữa tính Cohen-Macaulay và hệ số Chern của iđêan tham số đã được thể hiện trong lịch sử phát triển của nó Năm 1960, D.G Northcott [48] đã chứng minh rằng nếu R là vành Cohen-Macaulay thì

e0(I) − `R(R/I) ≤ e1(I)

với mọi iđêan m-nguyên sơ I của R Sau đó, S Goto và K Nishida trong [26, Định lý 3.1] đã mở rộng bất đẳng thức trên của D.G Northcott cho vành R bất kỳ không nhất thiết Cohen-Macaulay Họ chỉ ra rằng

e0(I) − `R(R/I) ≤ e1(I) − e1(q),

trong đó q là một iđêan rút gọn tối tiểu của I Gần đây, H.L Trường [60] đã chứng minh rằng nếu R là vành Cohen-Macaulay có trường thặng dư vô hạn thì

irR(q) = e0(I) − `R(R/I) = e1(I) − e1(q)

với mọi iđêan tham số q của R, trong đó I = q : m Câu hỏi tự nhiên đặt ra là nếu irR(q) = e1(q : m) − e1(q) với một iđêan tham số q của R thì R có là vành Cohen-Macaulay hay không? Câu hỏi trên đã được trả lời một phần trong [60, Định lý 1.1], ở đó H.L Trường đã chứng minh rằng nếu R không trộn lẫn với chiều d ≥ 2 và có trường thặng dư vô hạn, thì R là vành Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu irR(q) = e1(q : m) − e1(q) với mọi iđêan tham số q của R Kết quả chính thứ hai của luận án là mở rộng kết quả của H.L Trường [60, Định lý 1.1] cho vành bất kỳ (không cần giả thiết về tính không trộn lẫn) Kết quả này được công bố trong [55].

Mục đích thứ ba của luận án là xác định một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G Ta biết rằng mỗi iđêan bất khả quy là một iđêan nguyên sơ, do đó mỗi phân tích bất khả quy là một phân tích nguyên sơ Trong khi vấn đề phân tích nguyên sơ và dáng điệu tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh đã được nhiều nhà toán học quan tâm và đạt được những kết quả quan trọng, thì phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh lần đầu tiên được chúng tôi nghiên cứu trong [14] và sau đó được M Morales và N.T Dung xem xét trong [15].

Với I là iđêan bất kỳ trong vành Noether R, M Brodmann [3] đã chỉ ra rằng tồn tại số nguyên dương s0 để AssR(R/Is) = AssR(R/Is+1)

với mọi s ≥ s0 Ký hiệu astab(I) là số s0 nhỏ nhất có tính chất này và đặt Ass∞R(I) := AssR(R/Is0) Khi I là iđêan đơn thức trong vành đa thức R := K[x1, x2, , xn] của n biến trên trường K, L.T Hoa [36] đã đưa ra một chặn trên cho số astab(I) Với I là iđêan đơn thức không chứa bình phương, N Terai và N.V Trung [56] đã xác định các iđêan nguyên tố liên kết củaR/I2 Độc lập với kết quả trên trong [56], J Herzog và T Hibi [33] đã đưa ra điều kiện cần và đủ để m là iđêan nguyên tố liên kết của R/I2, trong đó m là iđêan cực đại thuần nhất của R Cho IG là iđêan cạnh của một đồ thị đơn G = (V, E) với tập đỉnh V = {x1, x2, , xn} và tập cạnh E, tức là

IG = ({xixj | {xi, xj} ∈ E})R.

Năm 2002, J Chen, S Morey và A Sung [5] đã tìm ra cấu trúc số học của Ass∞R(IG) và một chặn trên của astab(IG) Năm 2012, J Martinez-Bernal, S Morey và R Villarreal [42] đã chỉ ra rằng AssR(R/IGs) ⊆ AssR(R/IGs+1) với mọis ≥ 1(kết quả này chỉ đúng cho iđêan cạnh, không đúng cho trường hợp iđêan đơn thức bất kỳ [44,32]) Với bài toán xác định tập iđêan nguyên tố liên kết của R/IGs, trong trường hợp s = 3, 4, tập AssR(R/IGs) đã được phân loại hoàn toàn bởi H.T.T Hien, H.M Lam, N.V Trung [35, 34] Kết quả đáng chú ý nhất được chứng minh bởi H.M Lam và N.V Trung [38, Định lý 4.4], ở đó họ đã mô tả tập AssR(R/IGs) theo đồ thị G với mọi s ≥ 1.

Để xác định thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh, chúng tôi giới thiệu trong [14] khái niệm tập cặp trội tới hạn Một ghép cặp (matching) của G là một tập cạnh độc lập Một ghép cặp được gọi là tối đại nếu nó có số cạnh lớn nhất trong các ghép cặp của G Số ghép cặp của đồ thị G, ký hiệu bởi ν(G), là số cạnh trong ghép cặp tối đại của G (xem [63]) Một tập cặp trội tới hạn của G là một tập con S của V sao cho mỗi đỉnh của V đều kề với ít nhất một đỉnh của S và ν(G − v) = ν(G) với

mọi đỉnh v của G Đặt m = (x1, x2, , xn)R là iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R.Với mỗi a = (a1, a2, , an) ∈Nn, ký hiệu xa là đơn thức xa1

1 xa2

2 xan

n và ma là iđêan (xai

i | ai > 0)R củaR Ta biết rằng, mỗi iđêan đơn thức I đều có phân tích bất khả quy đơn thức thu gọn (duy nhất, sai khác thứ tự các nhân tử) I = Tr

i=1mbi, trong đó bi ∈ Nn với mọi i Đặt Irr(I) := {mb1, ,mbr} là tập các thành phần bất khả quy của I và

Irrm(I) := {mbi ∈ Irr(I) | rad(mbi) =m}.

Kết quả chính thứ ba của luận án phát biểu rằng tồn tại a ∈ {1, 2}n sao cho ma ∈ S

Irrm(IGs) nếu và chỉ nếu đồ thị G có một tập cặp trội tới hạn Hơn nữa, chúng tôi đã đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G Kết quả này được công bố trong bài báo [14].

Về phương pháp tiếp cận, để chứng minh kết quả chính thứ nhất (đặc trưng tính Cohen-Macaulay của M thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy và số bội bất khả quy khi tính không trộn lẫn của M không được giả thiết trước), chúng tôi khai thác sâu các tính chất của lọc chiều (xem [51, 9, 8]) và các hệ tham số tương thích với lọc chiều (hệ tham số tách giới thiệu bởi P Schenzel [51], d-dãy định nghĩa bởi Huneke [37] và hệ g-tham số giới thiệu bởi H.L Trường [61]), sử dụng mối quan hệ giữa số bội bất khả quy của M và môđun thương trong [59], đồng thời áp dụng các kết quả đã biết về chỉ số khả quy [27, 13, 11, 12] Để thu được kết quả chính thứ hai về đặc trưng vành Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ chỉ số khả quy và hệ số Chern, ngoài việc sử dụng lọc chiều và hệ g-tham số, chúng tôi cần đến công thức tính hệ số Hilbert trong [7, Bổ đề 3.4] và áp dụng kết quả chính thứ nhất Đối với kết quả chính thứ ba về xác định thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh, trước hết chúng tôi nghiên cứu tính chất đặc trưng của thành phần bất khả quy của iđêan đơn thức Sau đó, chúng tôi chuyển một bài toán thuần túy đại số sang ngôn

ngữ tổ hợp và giải quyết vấn đề trong bài toán tổ hợp Đặc biệt, chúng tôi cần đến Định lý cấu trúc Gallai-Edmonds (xem [63, Định lý 1.5.4]) để xác định một số thành phần bất khả quy thông qua sự tồn tại tập cặp trội tới hạn và đặc trưng đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia thành 3 chương Chương 1 nhắc lại những kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án ở những chương sau, gồm: môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, hệ số Hilbert và một số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị.

Chương 2 được trình bày dựa theo bài báo [55] Trong chương này, chúng tôi đưa ra hai đặc trưng mới cho tính Cohen-Macaulay của các vành Noether địa phương (R,m) và các R-môđun hữu hạn sinh M thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy, số bội bất khả quy và hệ số Hilbert (đặc biệt là hệ số Chern) ứng với iđêan tham số và iđêan m-nguyên sơ Trong Mục 2.1, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về lọc chiều và khái niệm hệ g-tham số, đồng thời thông qua hệ g-tham số để đưa ra một điều kiện cần cho M/UM(0) là Cohen-Macaulay Trong Mục 2.2, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, đồng thời đưa ra hai tính chất bổ trợ (Bổ đề 2.2.5, Bổ đề 2.2.10) phục vụ chứng minh kết quả chính trong Mục 2.3 Đặt

r(M ) := sup{irM(qM ) |q là iđêan tham số của M }.

Theo S Goto và N Suzuki [27], r(M ) được gọi là kiểu của M Nhìn chung, kiểu của M là số vô hạn [27, Ví dụ 3.9] và nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì kiểu của M là hữu hạn [27, Định lý 2.1] Kết quả chính thứ nhất của luận án, được trình bày trong phần đầu của Mục 2.3, đặc trưng tính Cohen-Macaulay của môđun M thông qua mối quan hệ

giữa chỉ số khả quy và số bội bất khả quy ứng với iđêan tham số q của M Kết quả này là một mở rộng của [59, Định lý 1.1], ở đó H.L Trường đã chứng minh cho trường hợp M = R với giả thiết R không trộn lẫn.

Đinh lý 2.3.3 Cho d ≥ 2 Các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay.

(ii) r(M ) ≤ f0(q; M ) với mọi iđêan tham số q của M (iii) r(M ) ≤ f0(q; M ) với một iđêan tham số q của M.

Kết quả chính thứ hai của luận án được trình bày ở phần cuối của Mục 2.3 Chúng tôi đặc trưng vành Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy và hệ số Chern ứng với iđêan tham số và iđêan m-nguyên sơ Kết quả này là một mở rộng của [60, Định lý 1.1], ở đó H.L Trường đã chứng minh cho trường hợp R không trộn lẫn.

Định lý 2.3.6 Cho dim(R) ≥ 2 Các mệnh đề sau là tương đương: (i) R là Cohen-Macaulay.

(ii) r(R) ≤ e1(q :m) − e1(q) với mọi iđêan tham số q của R.

(iii) r(R) ≤ e1(q :m) − e1(q) với một iđêan g-tham số q ⊆ m2 của R Chương 3 được trình bày dựa theo bài báo [14] Trong chương này, chúng tôi xác định một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G Trước hết, chúng tôi xét iđêan đơn thức I và đưa ra trong Bổ đề 3.1.2 một tiêu chuẩn kỹ thuật để ma ∈ Irrm(I) (với a ∈ Nn) Sử dụng tiêu chuẩn kỹ thuật trên, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để iđêan đơn thức ma (với a = {1, 2}n) là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh IGs thông qua các bất biến tổ hợp của đồ thị G (xem Định lý 3.2.8) Áp dụng Định

N Terai - N.V Trung [56] hoặc J Herzog - T Hibi [32] về điều kiện cần và đủ để depthR(R/IG2) = 0 Dựa vào Định lý 3.2.8 và Định lý cấu trúc Gallai-Edmonds (xem [63, Định lý 1.5.4], chúng tôi xác định thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G.

Định lý 3.3.7 Các mệnh đề sau là tương đương: (i) Tồn tại a ∈ {1, 2}n thỏa mãn ma ∈ S

Irrm(IGs) (ii) Tồn tại tập cặp trội tới hạn S của G.

Hơn nữa, chúng tôi đã đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G.

Hệ quả 3.3.9 Cho G là đồ thị liên thông sao cho n = 2s + 1 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) xV ∈ mSoc(IGs+1) và xV/xi ∈ mSoc(I/ s

G) với mọi i = 1, , n (ii) m[2] ∈ Irrm(IGs+1) và mi ∈ Irr/ m(IGs) với mọi i = 1, , n.

(iii) G là đồ thị nhân tử tới hạn,

trong đó mSoc(I) := {xa ∈ I | x/ ixa ∈ I với mọi i}, m[2] := (x21, , x2n)R và mi := (x21, , x2i−1, xi, x2i+1, , x2n)R với mọi 1 ≤ i ≤ n.

Khi điều này xảy ra, ta có các khẳng định sau (1) m = IGs+1 : xV.

(2) m ∈ AssR(R/IGt) với mọi t > s + 1 (3) depthR(R/IGt) = 0 với mọi t > s + 1.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt Chương1, luôn giả thiếtRlà một vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh với dimR(M ) = d Chúng tôi ký hiệu L cho những R-môđun không nhất thiết hữu hạn sinh.

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết về môđun đối đồng điều địa phương, môđun Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, hệ số Hilbert (đặc biệt là số bội và hệ số Chern) và một số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các chương sau.

1.1 Môđun đối đồng điều địa phương

Mục này dành để nhắc lại một số kết quả về môđun đối đồng điều địa phương phục vụ cho chứng minh kết quả chính của Chương 2 Khái niệm đối đồng điều địa phương được phát triển bởi A Grothendieck vào những năm 1960 (xem [28]) Lý thuyết đối đồng điều địa phương ngày càng được quan tâm nghiên cứu và trở thành một công cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, đặc biệt là trong Đại số giao hoán.

Cho I là một iđêan của R Hàm tử I-xoắn cho ứng mỗi R-môđun L với môđun con ΓI(L) := S

(0 :L In) của L; và cho ứng mỗi đồng cấu f : L → L0 giữa các R-môđun L, L0 với đồng cấu ΓI(f ) : ΓI(L) → ΓI(L0)

xác định bởi ΓI(f )(x) = f (x) với mọi x ∈ ΓI(L) Với mỗi số tự nhiên n, môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ứng với L được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ n của L với giá I và được ký hiệu là HIn(L).

Lý thuyết môđun đối đồng điều địa phương được quan tâm nghiên cứu theo nhiều chủ đề khác nhau với những thành tựu nổi bật trong suốt quá trình phát triển hơn 50 năm qua Mặc dù vậy, cấu trúc của môđun đối đồng điều địa phương vẫn là yếu tố trừu tượng và bí ẩn Nhìn chung, môđun đối đồng điều địa phương của một môđun hữu hạn sinh không còn là môđun hữu hạn sinh nữa Nó cũng không nhất thiết là môđun Artin Thậm chí chúng ta còn không biết khi nào nó triệt tiêu Trong luận án này, chúng tôi không đề cập đến những thành tựu nêu trên mà chỉ nhắc lại một số kết quả cơ bản về tính triệt tiêu, không triệt tiêu và tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương liên quan đến luận án (xem [4]) Với mỗi R-môđun L, chiều của giá của L, ký hiệu là dim(SuppR(L)), được định nghĩa là cận trên của các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố trong SuppR(L) Chú ý rằng, nếu M là hữu hạn sinh thì dim(SuppR(M )) = dimR(R/ AnnR(M )) = dimR(M ) Khi môđun là Artin và khác 0 thì chiều của giá của nó luôn bằng 0.

Định lý 1.1.1 (Định lý triệt tiêu của Grothendieck) (xem [2, Định lý 6.1.2]) ChoI là một iđêan củaR vàL là một R-môđun Khi đóHIn(L) = 0 với mọi n > dim(SuppR(L)).

Cho L là R-môđun và I là một iđêan của R Một dãy x1, x2, , xr các phần tử của I được gọi là một dãy chính quy độ dài r đối với L (hay một L-dãy chính quy) nếu L 6= (x1, x2, , xr)L và xi không là ước của không đối với môđun L/(x1, x2, , xi−1)L với mọi i = 1, 2, , r Một L-dãy x1, x2, , xr các phần tử trong I được gọi là một L-dãy chính quy cực đại trongI nếu không tồn tại phần tử y ∈ I sao cho x1, x2, , xr, y là

một L-dãy chính quy Với R-môđun hữu hạn sinh M, mỗi dãy chính quy trong I có thể mở rộng thành một dãy chính quy cực đại trong I và các dãy chính quy cực đại trong I đều có độ dài bằng nhau Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M trong I và được ký hiệu là depthR(I, M ) Khi (R,m) là vành địa phương, ta ký hiệu depthR(M ) là độ sâu của M trong iđêan cực đại m Định lý sau đây đặc trưng độ sâu và chiều của môđun hữu hạn sinh thông qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.

Định lý 1.1.2 (xem [2, Định lý 6.1.4]) Cho I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

depthR(I, M ) = min{n | HIn(M ) 6= 0} Nếu giả thiết thêm (R,m) là vành địa phương thì

dimR(M ) = max{n | Hmn(M ) 6= 0} depthR(M ) = min{n | Hmn(M ) 6= 0}.

Cho I là một iđêan của R Hạng số học của I, ký hiệu là ara(I), được định nghĩa như sau

ara(I) := min{r ∈ N0 | ∃x1, x2, , xr ∈ R : rad(x1, x2, , xr) = rad(I)} Chú ý rằng, hạng số học là một khái niệm quan trọng trong Hình học Đại số, nó xác định số siêu mặt tối thiểu để định nghĩa một đa tạp đại số Định lý sau đây, được gọi là Định lý triệt tiêu của Hartshorne, cung cấp một kết quả quan trọng liên quan đến hạng số học của iđêan thông qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.

Định lý 1.1.3 (xem [2, Định lý 8.2.1]) Cho I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

HIn(M ) = 0 với mọi n > ara(I).

Tiếp theo, chúng tôi quan tâm đến tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương.

Định lý 1.1.4 (xem [2, Định lý 7.1.3]) Giả sử (R,m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh với dimR(M ) = d Khi đó

(i) Hmn(M ) là Artin với mọi n ∈ N.

(ii) HId(M ) là Artin với mọi iđêan I của R.

1.2 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Trong mục này, luôn giả sử (R,m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Ký hiệu bR và cM lần lượt là đầy đủ m-adic của R và M.

Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của Toán học như Lý thuyết bất biến, Đại số Tổ hợp, Hình học Đại số Cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay được làm rõ thông qua địa phương hóa, đầy đủ hóa, lý thuyết bội, lý thuyết đối đồng điều địa phương, Ta luôn có bất đẳng thức depthR(M ) ≤ d (xem [4, Mệnh đề 1.2.12]) Khi M = 0 hoặc M 6= 0 và depthR(M ) = d thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Cohen-Macaulay.

Bổ đề 1.2.1 ([41, Định lý 17.3, Định lý 17.5]) Các khẳng định sau là đúng.

(i) Nếu M là Cohen-Macaulay thì dim(R/p) = d với mọi p∈ AssR(M ) (ii) Cho x1, x2, , xi ∈ m là M-dãy chính quy Khi đó M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M/(x1, x2, , xi)M là Cohen-Macaulay.

(iii)M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếuMp làRp-môđun Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppR(M ).

(iv) M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu cM là Cohen-Macaulay.

Theo M Nagata [45], M được gọi không trộn lẫn nếu dim(R/b p) = d với mọi p ∈ Ass

R(M )c Theo Bổ đề1.2.1(i), (iv), nếuM là Cohen-Macaulay thì M là không trộn lẫn.

Cho I là một iđêan của R sao cho `R(M/IM ) < ∞ Khi đó hàm `R(M/In+1M ) trở thành một đa thức khi n đủ lớn, ký hiệu là PM,I(n) Đa thức này cũng được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với I Do đó, tồn tại các số nguyên e0(I; M ) > 0, e1(I; M ), , ed(I; M ) sao cho

Hệ số e0(I; M ) được gọi là số bội của M ứng với iđêan I Số bội e0(I; M ) thường được viết là e(I; M ) Chú ý rằng

dimR(M ) = deg PM,I(n)

= inf{r | x1, , xr ∈ m sao cho `R(M/(x1, , xr)M ) < ∞} Do đó, tồn tại hệ d phần tử (x1, x2, , xd) của m sao cho

`R(M/(x1, x2, , xd)M ) < ∞.

Một hệ như thế được gọi là một hệ tham số của M Một hệ gồm i phần tử (x1, x2, , xi) trong m với i < d được gọi là một phần hệ tham số nếu tồn tại xi+1, , xd ∈ m sao cho (x1, x2, , xd) là hệ tham số của M Chú ý rằng hệ (x1, x2, , xi) các phần tử trong m là một phần hệ tham số của M nếu và chỉ nếu

dimR(M/(x1, x2, , xi)M ) = d − i.

Đặc biệt, phần tử x ∈ m là phần tử tham số của M nếu và chỉ nếu dimR(M/xM ) = d − 1, nếu và chỉ nếu x /∈ p với mọi p ∈ AsshR(M ), trong đó AsshR(M ) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) = d}.

Một iđêan q của R được gọi là iđêan tham số của M nếu q sinh bởi một hệ tham số của M Cho x = (x1, x2, , xd) là một hệ tham số của M và q = (x1, x2, , xd)R là iđêan tham số sinh bởi x Khi đó ta luôn có 0 < e(q; M ) ≤ `R(M/qM ) Bổ đề sau đây cung cấp một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay thông qua hệ tham số.

Bổ đề 1.2.2 (xem [41, Định lý 17.11]) Các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay.

(ii) e(q; M ) = `R(M/qM ) với mọi iđêan tham số q của M (iii) e(q; M ) = `R(M/qM ) với một iđêan tham số q của M (iv) Mọi hệ tham số của M là M-dãy chính quy.

(v) Tồn tại hệ tham số của M là M-dãy chính quy.

Môđun Cohen-Macaulay được đặc trưng thông qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau.

Bổ đề 1.2.3 (xem [2, Hệ quả 6.2.4]) Các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay.

(ii) Hmi(M ) = 0 với mọi i < d.

Với mỗi iđêan tham số q của M, đặt

I(q; M ) = `R(M/qM ) − e(q; M ).

Khi đó I(q; M ) ≥ 0 Theo Bổ đề 1.2.2, M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi I(q; M ) = 0 với mọi iđêan tham số q của M Vì thế năm 1965, D.A Buchsbaum đã giả thuyết I(q; M ) là hằng số không phụ thuộc vào iđêan tham số q của M Giả thuyết này ngay sau đó được W Vogel và J St¨uckrad chỉ ra là không đúng (xem [53]) Họ đã nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết trên và gọi đó là môđun Buchsbaum Tiếp tục phát triển ý tưởng nghiên cứu trên, N.T Cường, P Schenzel và N.V Trung [64] đã chỉ rằng nhìn chung sup I(q; M ) là vô hạn, trong đó

q chạy trên các iđêan tham số của M Từ đó họ nghiên cứu lớp môđun có tính chất sup I(q; M ) < ∞ và gọi nó là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ngày nay lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành quen biết trong Đại số giao hoán và cấu trúc của nó cũng được làm rõ qua địa phương hóa, đầy đủ m-adic, đối đồng điều địa phương,

Định lý 1.2.4 (xem [57, Bổ đề 1.2, Bổ đề 1.6, Bổ đề 1.7]) Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay suy rộng (ii) cM là Cohen-Macaulay suy rộng.

(iii) Mp là Cohen-Macaulay suy rộng với mọi p ∈ SuppR(M ) (iv) `R(Hmi(M )) < ∞ với mọi i < d.

Trong phát biểu Định lý 1.2.4 (iii), chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì Mp là Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppR(M ) \ {m}.

Theo N.V Trung [57], một hệ tham số x = (x1, x2, , xd) của M được gọi là hệ tham số chuẩn tắc nếu I(q; M ) = I(q0; M ), trong đó q = (x1, x2, , xd)R và q0 = (x21, x22, , x2d)R Theo N.T Cường, P Schenzel và N.V Trung [64], một hệ (x1, x2, , xm) các phần tử trong m được gọi là một dãy lọc chính quy của M nếu `R(0 :M/(x1, ,xi−1)M xi) < ∞ với mọi i = 1, 2, m Rõ ràng, mỗi dãy chính quy là một dãy lọc chính quy của M Sau đây là đặc trưng tham số của môđun Cohen-Macaulay suy rộng.

Định lý 1.2.5 (xem [57]) M là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi M có một hệ tham số chuẩn tắc Nếu thêm điều kiện R là vành thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương, thì M là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là dãy lọc chính quy.

1.3 Hệ số Hilbert

Trong mục này, luôn giả sử (R,m) là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m vàM là một R-môđun hữu hạn sinh với dimR(M ) = d Mục này dành để nhắc lại khái niệm và một số tính chất về hệ số Hilbert, đặc biệt là số bội và hệ số Chern.

Cho I là một iđêan của R sao cho `R(M/IM ) < ∞ Khi đó đa thức Hilbert-Samuel PM,I(n) của M ứng với I được biểu diễn dưới dạng

trong đó ei(I; M ) là số nguyên với mọi i Ta gọi ei(I; M ) là hệ số Hilbert của M ứng với I Theo W Vasconcelos [62, 19], hệ số e1(I; M ) được gọi là hệ số Chern của M ứng với I Ta ký hiệu ei(I) := ei(I; R) với i = 0, 1, , d.

Như đã trình bày trong Mục 1.2, các lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đều được đặc trưng hoặc định nghĩa thông qua số bội ứng với iđêan tham số Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về mô tả cấu trúc của vành Noether địa phương trong mối liên hệ với tính triệt tiêu, tính chất hằng số, tính chất bị chặn dưới của các hệ số Hilbert, đặc biệt là hệ số Chern Nhìn chung, ta luôn có e1(q; M ) ≤ 0 với mọi iđêan tham số q của M (xem [43, Định lý 3.6]) Theo Bổ đề 1.2.1 (i), (iv) nếu M là Cohen-Macaulay thì M là không trộn lẫn Hơn nữa, M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi

`R(M/qn+1M ) = `R(M/qM ) n + d d

với mọi (với một) iđêan tham số q củaM (xem [41, Định lý 17.3]), khi và chỉ khi ei(q; M ) = 0 với mọi (với một) iđêan tham số q của M, i = 1, 2, d Ký hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Chú ý

rằng UM(0) là giao của các thành phần nguyên sơ N (p) của môđun con 0 của M sao cho dim(R/p) = d Năm 2008, W.V Vasconcelos [62, 19] đã đưa ra Giả thuyết triệt tiêu của hệ số Chern: Nếu R không trộn lẫn, thì R là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi e1(q) = 0 với một iđêan tham số q của R Năm 2010, L Ghezzi, S Goto, J.Y Hong K Ozeki, T.T Phuong, và W.V Vasconcelos [20] đã chứng minh giả thuyết trên là đúng Khi R là không trộn lẫn, vành Buchsbaum cũng được đặc trưng bởi tính chất của e1(q) Chúng ta nhắc lại các đặc trưng này trong mệnh đề dưới đây (xem [20, Mệnh đề 4.2], [22, Định lý 1.1]).

Mệnh đề 1.3.1 Cho R là không trộn lẫn với dim(R) ≥ 2 Khi đó

(i) Vành R là Cohen-Macaualay nếu và chỉ nếu e1(q) = 0 với một iđêan tham số q của R.

(ii) Vành R là Buchsbaum khi và chỉ khi e1(q) là hằng số không phụ thuộc vào iđêan tham số q của R.

(iii) Vành R là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi tập {e1(q) | q là iđêan tham số của R} là hữu hạn.

Khi R là trộn lẫn, tính chất triệt tiêu (tính chất hằng số, tính chất bị chặn dưới) của e1(q) không đặc trưng cho vành Cohen-Macaulay (vành Buchsbaum, vành Cohen-Macaulay suy rộng) Lưu ý rằng, vành R thỏa mãne1(q) = 0 với một iđêan tham số q củaRđược gọi là vành Vasconcelos (xem [21]) Khi đó chúng ta có kết quả sau (xem [21, Định lý 1.13], [21, Định lý 3.10] và [24, Định lý 1.1]).

Mệnh đề 1.3.2 Cho R là trộn lẫn với dim(R) ≥ 2 Khi đó (i) VànhR là Vasconcelos nếu và chỉ nếu bR/U

(iii) Tập {e1(q) | q là iđêan tham số của R} là hữu hạn nếu và chỉ nếu chuỗi lũy thừa hình thức trên trường K và I = XR ∩ (Y, Z, W )R Khi đó R không là Cohen-Macaulay (do R là trộn lẫn) Chú ý rằng

dim(R) = 3, R =R, Ub R(0) = XR/I, R/UR(0) ∼= K[[X, Y, Z, W ]]/XR Hơn nữa, R/UR(0) là Cohen-Macaulay và dimR(UR(0)) = 1 Do đó, theo Mệnh đề 1.3.2 (i) R là vành Vasconcelos, tức là e1(q) = 0 với một iđêan tham số q của R.

Năm 2013, N.T Cường S Goto, H.L Trường [8, Định lý 4.2] cũng mô tả cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay dãy chiều 2 thông qua hệ số Chern Với chiều lớn hơn2, tính Cohen-Macaulay dãy của các môđun được đặc trưng thông qua các hệ số Hilbert [8, Định lý 4.5].

Hai bổ đề sau liên quan đến hệ số Hilbert được chúng tôi sử dụng để chứng minh kết quả của luận án.

Bổ đề 1.3.3 ([7, Bổ đề 3.4]) Cho N là một môđun con của M với

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị được dùng trong luận án.

Cho G = (V, E) là một đồ thị với tập đỉnh V và tập cạnh E Một cạnh {u, v} ∈ E thường được viết uv (hay vu), ta nói u kề với v (hay v kề với u) và u kề với cạnh uv (hay v kề với cạnh uv) Cho S ⊆ V, ký hiệu N (S) là tập các đỉnh của V kề với một đỉnh của S Bậc của một đỉnh v trong đồ thị G, ký hiệu bởi deg(v), là số cạnh của G kề với v Khuyên (loop) là một cạnh nối một đỉnh với chính nó Đồ thị đơn là một đồ thị không có khuyên hoặc cạnh bội Một đỉnh bậc không (bậc một) được gọi là đỉnh cô lập (lá) Đồ thị G là liên thông nếu hai đỉnh bất kỳ u, v ∈ V luôn tồn tại một đường từ u đến v, nghĩa là tồn tại x1, x2, , xn ∈ V thỏa mãn ux1, x1x2, , xnv ∈ E Đồ thị con cảm sinh của G trên S, ký hiệu bởi G[S], là một đồ thị với tập đỉnh S và tập cạnh E(G[S]) = {uv ∈ E | u, v ∈ S} Chúng tôi ký hiệu G − S = G[V \ S] Khi S = {v}, đồ thị G − {v} = G[V \ {v}] được viết tắt thành G − v, đó là đồ thị con của G trong đó v và tất cả các cạnh chứa v đều được bỏ đi (xem [63]).

Vớin ≥ 3, chu trìnhCn là đồ thị với tập đỉnh {v1, v2, , vn} và tập cạnh {v1v2, v2v3, , vn−1vn, vnv1} Với n ≥ 2,đồ thị đầy đủ trênnđỉnh là đồ thị Kn với tập đỉnh {v1, v2, , vn} và tập cạnh {vivj | 1 ≤ i < j ≤ n} Một đồ thị hai phần (bipartite graph) là một đồ thị có các đỉnh có thể được chia thành hai tập không giao nhau và thỏa mãn điều kiện mỗi cạnh của đồ thị được nối bởi một đỉnh từ tập này đến một đỉnh thuộc tập kia Ta thường ký hiệu đồ thị hai phần là Bm,n nếu đồ thị có tập đỉnh chia thành hai tập không giao nhau, một tập có m phần tử, một tập có n phần tử, với m, n > 1.

Trong luận án này, chúng tôi luôn xét G = (V, E) là đồ thị đơn hữu hạn.

Một ghép cặp (matching) M của đồ thị G là một tập con của E sao cho hai cạnh bất kỳ củaM đều không có đỉnh chung Ghép cặp gồmscạnh

Hình 1.1: C4, K4 và B2,3.

được gọi làs-ghép cặp Ký hiệuMs

G = {M | M là một s-ghép cặp của G} là tập tất cả các s-ghép cặp Ghép cặp tối đại của G là một ghép cặp chứa số cạnh lớn nhất của G Số ghép cặp của đồ thị G, ký hiệu bởi ν(G), là số cạnh trong ghép cặp tối đại của G Một ghép cặp được gọi là hoàn hảo (perfect matching) nếu mọi đỉnh của G đều kề với một cạnh của ghép cặp Khái niệm đồ thị nhân tử tới hạn (factor-critical) được giới thiệu bởi T Gallai [65] cho đồ thị liên thông G thỏa mãn G − v có ghép cặp hoàn hảo với mọi v ∈ V Một tập trội (dominating set) của đồ thị G là một tập con S ⊆ V thỏa mãn với mọi đỉnh của G không nằm trong S đều kề với ít nhất một đỉnh của S Một tập trội hoàn toàn (total dominating set) của đồ thị G không có đỉnh cô lập là một tập S ⊆ V thỏa mãn mọi đỉnh của G đều kề với một đỉnh trong S (xem [29]) Tập con S ⊆ V được gọi là tập cặp trội (paired dominating set) của G, nếu nó là tập trội của G và đồ thị cảm sinh G[S] có ghép cặp hoàn hảo Kiểu trội này được giới thiệu bởi T.W Haynes và P.J Slater trong [30], [31] và được nghiên cứu trong [50], [52] Một đồ thị G được gọi là ghép cặp tới hạn (matching-critical), nếu với mọi đỉnh v ∈ V ta có ν(G) = ν(G − v) (xem [65]) Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một kiểu khác của tập cặp trội Ta nói rằng tập S ⊆ V là một tập cặp trội tới hạn (critical paired dominating set) của G nếu nó là tập trội hoàn toàn của G và đồ thị cảm sinh G[S] là ghép cặp

tới hạn.

Lưu ý rằng, nếu đồ thị G có ghép cặp hoàn hảo thì G phải có số đỉnh là chẵn và mọi đỉnh của G đều thuộc vào cạnh nào đó của ghép cặp hoàn hảo Nếu G là đồ thị nhân tử tới hạn thì G luôn có số đỉnh là lẻ Theo T Gallai [65], đồ thị G là nhân tử tới hạn nếu và chỉ nếu mọi đỉnh Tập {1, 3}, {1, 3, 5} là những tập trội hoàn toàn của G nhưng tập {1, 4} không là trội hoàn toàn của G.

Hình 1.2: Đồ thị nhân tử tới hạn

(ii) Đồ thị G là nhân tử tới hạn và cũng là ghép cặp tới hạn, vì G là liên thông và ν(G) = ν(G − i) với mọi i = 1, 5.

(iii) Tập cặp trội tới hạn của G là tập {1, 3, 5}.

Chương 2

Chỉ số khả quy, hệ số Hilbert và môđun Cohen - Macaulay

Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R,m) là vành thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương với trường thặng dư vô hạn R/m và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d.

Mục đích chính của chương là đưa ra hai đặc trưng mới cho tính Cohen-Macaulay của các vành Noether địa phương(R,m)và các R-môđun hữu hạn sinh M thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy, số bội bất khả quy và hệ số Hilbert (đặc biệt là hệ số Chern) ứng với iđêan tham số và iđêan m-nguyên sơ.

Trong Mục 2.1, chúng tôi trình bày một số kết quả về lọc chiều và hệ g-tham số, đồng thời thông qua hệ g-tham số để đưa ra một điều kiện cần cho M/UM(0) là Cohen-Macaulay Mục 2.2 dành để nhắc lại một số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, đồng thời đưa ra hai tính chất bổ trợ (Bổ đề 2.2.5, Bổ đề 2.2.10) về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy Cuối cùng, chúng tôi chứng minh kết quả chính của Chương trong Mục 2.3 Nội dung Chương này được trình bày dựa theo bài báo [55].

2.1 Lọc chiều và hệ g-tham số

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về lọc chiều và hệ g-tham số Khái niệm lọc chiều được giới thiệu bởi P Schenzel [51] Sau đó N.T Cường - L.T Nhàn [9] và N.T Cường - S Goto - H.L Trường [8] đã điều chỉnh lại đôi chút định nghĩa này bằng cách bỏ đi những thành phần lặp để thuận tiện hơn cho việc sử dụng Trong luận án này, chúng tôi sử dụng khái niệm lọc chiều được giới thiệu trong [8].

Đặt Λ(M ) = {dim(R/p) | p ∈ AssR(M )} và t := |Λ(M )| Sắp xếp Λ(M ) = {d1, , dt | 0 ≤ d1 < d2 < · · · < dt = d}.

Vì M là Noether nên tồn tại môđun con lớn nhất Di của M thỏa mãn dimR(Di) = di với mọi 1 ≤ i ≤ t Khi đó lọc các môđun con của M

là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của M, trong đó N (p) là môđun con p-nguyên sơ của M Khi đó theo [51, Mệnh đề 2.2] ta có

là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Nếu AssR(M ) = AsshR(M ) thì t = 1 và 0 ( M là lọc chiều của M Nếu AssR(M ) = AsshR(M ) ∪ {m} thì t = 2 và 0 ( Hm0(M ) ( M là lọc chiều của M Đặc

biệt, nếu M là Cohen-Macaulay thì 0 ( M là lọc chiều của M Nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì 0 ( M hoặc 0 ( Hm0(M ) ( M là lọc chiều của M.

Cho D : D0 = 0 ( D1 ( D2 ( · · · ( Dt = M là lọc chiều của M Với mọi 1 ≤ i ≤ t, ta đặt Ci = Di/Di−1 Khi đó ta có mệnh đề sau đây Mệnh đề 2.1.1 (xem [51, Hệ quả 2.3]) Các phát biểu sau là đúng với mọi 1 ≤ i ≤ t.

(i) AssR(M/Di) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) ≥ di+1} (ii) AssR(Di) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) ≤ di}.

(iii) AssR(Ci) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) = di}.

Dựa vào khái niệm lọc chiều ở trên, chúng tôi nhắc lại định nghĩa môđun Cohen-Macaulay dãy Lớp môđun Cohen-Macaulay dãy xuất hiện tự nhiên trong các ứng dụng của Đại số giao hoán vào các bài toán tổ hợp và được giới thiệu đầu tiên bởi R.P Stanley cho trường hợp phân bậc nhằm nghiên cứu vành Stanley-Reisner (các vành này nói chung là trộn lẫn) Sau đó, N.T Cường - L.T Nhàn [9] và P Schenzel [51] nghiên cứu trong trường hợp địa phương.

Định nghĩa 2.1.2 Cho D : D0 = 0 ( D1 ( D2 ( · · · ( Dt = M là lọc chiều của M Ta nói M là Cohen-Macaulay dãy nếu Di/Di−1 là môđun Cohen-Macaulay với mọi i = 1, 2, ,t.

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của iđêan tham số tách và iđêan g-tham số Giả sử D : D0 = 0 ( D1 ( D2 ( · · · ( Dt = M là lọc chiều của M Khái niệm iđêan tham số tách ứng với lọc chiều D được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 2.1.3 (xem [51]) Một hệ tham số (x1, x2, , xd) của M được gọi là tách, nếu

(xj | di < j ≤ d)Di = 0

với mọi 1 ≤ i ≤ t Iđêan tham số q của M được gọi là tách nếu nó sinh bởi một hệ tham số tách.

Nhận xét 2.1.4 (i) Hệ tham số tách luôn tồn tại (xem [51, Bổ đề 2.6]) (ii) Nếu (x1, x2, , xd) là hệ tham số tách của M thì (xn1

1 , xn2

2 , , xnd

d ) là tách với mọi số nguyên n1, n2, , nd ≥ 1 (xem [58, Bổ đề 2.3]).

(iii) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M có lọc chiều 0 ( M và do đó mọi iđêan tham số của M đều là iđêan tham số tách.

Cho x1, x2, , xm là các phần tử của m Ta ký hiệu qi là iđêan (x1, x2, , xi)R với i = 1, , d và quy ước rằng q0 là iđêan không của R Khi đó dãy x1, x2, , xm ∈ m được gọi là d-dãy trên M nếu

qiM :M xi+1xj = qiM :M xj

với mọi 0 ≤ i < j ≤ m (khái niệm d-dãy được giới thiệu bởi C Huneke [37]) Dựa trên khái niệm iđêan tham số tách và d-dãy, H.L Trường [61] đã giới thiệu khái niệm iđêan g-tham số Iđêan này đóng vai trò chìa khóa để chứng minh một trong những kết quả chính của luận án.

Định nghĩa 2.1.5 Hệ tham số tách (x1, x2, , xd) của M được gọi là hệ g-tham số trên M, nếu nó là d-dãy và

Ass(Ci/qjCi) ⊆ Assh(Ci/qjCi) ∪ {m}

với mọi 0 ≤ j ≤ d − 1 và 0 ≤ i ≤ t Iđêan tham số q của M được gọi là iđêan g-tham số nếu nó sinh bởi một hệ g-tham số của M.

Chú ý rằng hệ g-tham số luôn tồn tại [61, Hệ quả 2.8].

Ví dụ 2.1.6 (i) ChoR = K[[X1, X2, , Xd]]là vành chuỗi lũy thừa hình thức trên trườngK Ta có X = (X1, X2, , Xd) là một hệ tham số củaR VìR là Cohen-Macaulay nênX là một hệ g-tham số và (X1, X2, , Xd)R là iđêan g-tham số của R.

(ii) Cho A = R/I, trong đó R = K[[X, Y, Z]] là vành chuỗi lũy thừa hình thức trên trường K và I = XR ∩ (Y, Z)R Ta có dimR(A) = 2 và depthR(A) = 1 nên A không là Cohen-Macaulay Hơn nữa, A có lọc chiều là

0( XR/I ( A.

Do đó A là Cohen-Maccaulay dãy nhưng A không là Cohen-Macaulay suy rộng Hệ (X − Y, Z) là g-tham số của A Do đó (X − Y, Z)R là iđêan g-tham số của A.

(iii) Cho A = R/I, trong đó R = K[[X, Y, Z]]là vành chuỗi lũy thừa hình thức trên trường K và I = XR ∩ (X2, Y, Z)R Ta có dimR(A) = 2 và depthR(A) = 0 Do đó A không là vành Cohen-Macaulay Hơn nữa, lọc chiều của A là

D : 0 ( XR/I ( A.

Do đó A là vành Cohen-Macaulay dãy và A là Cohen-Macaulay suy rộng Hệ (Y, Z) là g-tham số của A Do đó (Y, Z)R là iđêan g-tham số của A.

Cho D : D0 = 0 ( D1 ( D2 ( · · · ( Dt = M là lọc chiều của M Bổ đề sau đây cho ta một điều kiện cần để môđun Ct = M/Dt−1 là Cohen-Macaulay.

Bổ đề 2.1.7 Giả sử (x1, x2, , xd) là một hệ g-tham số trên M với d ≥ 2 Cho 0 ≤ j ≤ d − 2, ký hiệu Nj/qjM là môđun con UM/qjM(0) của M/qjM Nếu M/Nj là Cohen-Macaulay thì Ct = M/Dt−1 là Cohen-Macaulay.

Chứng minh Nếu d = 2 thì N0 = Dt−1 Khi đó Ct = M/N0 là môđun Cohen-Macaulay Giả sử d ≥ 3 Dựa vào tính chất của hệ g-tham số, ta

thấy rằng nếu Bổ đề đúng với j − 1 thì Bổ đề cũng đúng với j Do đó ta chỉ cần chứng minh Bổ đề đúng với j = 1 là đủ Với môđun con L của M, ký hiệu L = (L + xM )/xM với x := x1 và N := N1 Theo định nghĩa của hệ g-tham số, ta có AssR(Ct/xCt) ⊆ AsshR(Ct/xCt) ∪ {m} Vì x là phần tử tham số của M nên x /∈ p với mọi p ∈ AsshR(M ) Theo Mệnh đề 2.1.1

ta có

AssR(Ct) = {p ∈ AssR(M ) | dim(R/p) = d}.

Từ đó AssR(Ct) = AsshR(M ) Do đó x là Ct-chính quy Vì thế để chứng minh Ct là Cohen-Macaulay, ta chỉ cần chứng minh Ct/xCt là Cohen-Macaulay Chú ý rằng Ct/xCt ∼= M/(D

t−1 + xM ) và M/N là môđun Cohen-Macaulay Do đó ta chỉ cần chứng minh N = Dt−1 + xM Ta có N = (N + xM )/xM là môđun con UM/xM(0) của M/xM Do vậy Hm0(M /Dt−1) = N /Dt−1 Vì vậy N /Dt−1 có độ dài hữu hạn Suy ra Hmi(N /Dt−1) = 0 với mọi i > 0 Mặt khác, vì M /N là Cohen-Macaulay chiều d − 1 nên từ dãy khớp

Từ đóxHm1(Ct) = Hm1(Ct) DoAssR(Ct) = AsshR(M )vàRlà vành thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương nênCt là không trộn lẫn Theo

[23, Bổ đề 3.1], Hm1(Ct) là hữu hạn sinh Áp dụng Bổ đề Nakayama ta có

2.2 Chỉ số khả quy và số bội bất khả quy

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, trước hết là một số kết quả về chỉ số khả quy được chứng minh bởi N.T Cường, P.H Quý và H.L Trường trong [11], sau đó chúng tôi chứng minh những tính chất về chỉ số khả quy, số bội bất khả quy được dùng trong luận án.

Một môđun con thực sự N của M là bất khả quy nếu N không thể viết thành giao của hai môđun con của M thực sự chứa N Nhắc lại rằng, mọi môđun con thực sự N của M đều phân tích được thành giao của hữu hạn môđun con bất khả quy (xem [66]) và số môđun con bất khả quy xuất hiện trong phân tích bất khả quy thu gọn của N là một bất biến không phụ thuộc vào phân tích mà chỉ phụ thuộc vào N và M Ở đây, một phân tíchN = Tn

i=1Ni với các Ni bất khả quy được gọi là phân tích bất khả quy thu gọn của N nếu mỗi Ni là không thừa Bất biến này được gọi là chỉ số khả quy của N trong M và được ký hiệu là irM(N ).

Từ khái niệm chỉ số khả quy, bài toán được quan tâm là xác định công thức tính chỉ số khả quy Khi (R,m) là vành địa phương, ta ký hiệu Soc(M ) = (0 :M m) là đế của M Nếu N là môđun con của M sao cho `R(M/N ) < ∞ thì irM(N ) = `R((N :M m)/N ) = dimR/mSoc(M/N ) (xem [11, Nhận xét 2.2]) Đặc biệt, nếu q là iđêan tham số của M thì chỉ số khả quy của môđun con qM của M được cho bởi công thức

irM(qM ) = dimR/m(HomR(R/m, M/qM )) = dimR/mSoc(M/qM ).

Bổ đề sau đây cho ta công thức tính chỉ số khả quy irM(N ) trong trường hợp R không nhất thiết là địa phương và M/N không nhất thiết

trong đó k(p) = Rp/pRp là trường thặng dư của Rp.

Ngoài ra, với bất kỳ p ∈ AssR(M/N ), tồn tại môđun con p-nguyên sơ N (p) của M với irM(N (p)) = dimk(p)Soc(M/N )p sao cho

p∈AssR(M/N )

N (p)

là phân tích nguyên sơ thu gọn của N.

Gần đây, T.N An, T.D Dung, S Kumasiro và L.T Nhan đã xác định được công thức tính irM(N ) qua chuyển phẳng [1] Cấu trúc của M cũng có thể mô tả thông qua tính chất của chỉ số khả quy Năm 1954, D.G Northcott và D Rees [46] đã chứng minh rằng R là vành Gorenstein nếu và chỉ nếu irR(q) = 1 với mọi iđêan tham số q của R Hơn nữa, M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi irM(qM ) = dimR/m(0 :Hd

m(M ) m) với mọi iđêan tham số q của M (xem [47, Định lý 3], [11, Định lý 5.2]) Giá trị rd(M ) := dimR/m(0 :Hd

m(M ) m) được gọi là kiểu Cohen-Macaulay của M Chú ý rằng, S Endo và M Narita [18] đã xây dựng một vành Noether địa phương không Cohen-MacaulayRthỏa mãn irR(q) = 2với mọi iđêan tham số q của R Điều này chứng tỏ rằng tính chất hằng số của irR(q) không đặc trưng vành Cohen-Macaulay Khi M là môđun Buchsbaum, irM(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong m2 (xem [27, 25]) của M Nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì tồn tại n ∈ N sao cho irM(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong mn của M (xem [13, 10]).

Năm 2013, H.L Trường [58] đã chứng minh rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay dãy thì tồn tại n ∈N sao cho irM(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số tách q chứa trong mn của M Năm 2019, N.T Cường và P.H Quý [12] đã chứng tỏ rằng chỉ số khả quy của mọi iđêan C-tham số của M là hằng số Sau đây là một ví dụ về một vành không là Cohen-Macaulay suy rộng nhưng chỉ số khả quyirR(q)là hằng số với mọi iđêan tham số q ⊆ m2 Ví dụ 2.2.2 Chon ≥ 2và Rlà vành địa phương chính quy chiềun+1 với iđêan cực đại(X, Y1, Y2, , Yn)R Giả sử A = R/[XR∩(Y1, Y2, , Yn)R] và m = (X, Y1, Y2, , Yn)A là iđêan cực đại của A Ta có A là vành Noether địa phương chiều n và depthR(A) = 1 Do đó A không là vành Cohen-Macaulay và A không là Cohen-Macaulay suy rộng Tuy nhiên ta luôn có irA(q) = 2 với mọi iđêan tham số q ⊆ m2.

Thật vậy, đặt p = (Y1, Y2, , Yn)A Ta có dimR(A/XA) = n và dimR(A/p) = 1 Do đó vành A không là Cohen-Macaulay suy rộng vì iđêan nguyên tố liên kết XA và p có chiều khác nhau [53, Mệnh đề 16] Giả sử q là iđêan tham số củaAchứa trong m2.Xét dãy khớp cácA-môđun sau:

0 → A/p → A → A/XA → 0..X

Chú ý rằng A/XA ∼= R/XR là A-môđun Cohen-Macaulay chiều n Do q cũng là iđêan tham số củaA/XA nên theo Bổ đề 1.2.2, q sinh bởi một dãy A/XA-chính quy Do đó Tor1A(A/q, A/XA) = 0 Tenxơ dãy khớp trên với A/q ta được dãy khớp

0 → A/p⊗ A/q → A ⊗ A/q → A/XA ⊗ A/q → 0 Bằng cách sử dụng đẳng cấu cơ bản ta thu được dãy khớp

0 → A/(p+q) → A/q → A/(XA +q) → 0.

Tiếp theo, tác động hàm tử HomA(A/m, •) ta thu được dãy khớp 0 → (0 :A/(p+q) m) → (0 :A/q m) → (0 :A/(XA+q) m).