Về nghiệm của một số phương trình diophantine px + (p+6)y = z2 khi p p+6 là các số nguyên tố

Nội dung của chương này đượcviết dựa theo các tài liệu [1, 2].Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số kết quả vềnghiệm của các phương trình Diophantine px+ p + 6y = z2 kh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ QUỐC HUY Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thu Hằng TS Phạm Hồng Nam THÁI NGUYÊN - 2023 i Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Miền nhân tử hóa 4 1.1.1 Miền nguyên 4 1.1.2 Phần tử nguyên tố 7 1.1.3 Miền nhân tử hóa 8 1.2 Vành các số nguyên và vành đa thức 11 1.2.1 Vành các số nguyên 11 1.2.2 Vành đa thức một biến 13 1.2.3 Vành đa thức nhiều biến 16 1.2.4 Nghiệm của đa thức 18 1.3 Phương trình đồng dư 18 1.3.1 Đồng dư thức 19 1.3.2 Một số đồng dư đặc biệt 20 2 Về nghiệm của các phương trình Diophantine px +(p+6)y = z2 khi p, p + 6 là các số nguyên tố 23 2.1 Sơ lược về phương trình Diophantine 23 2.2 Nghiệm của các phương trình Diophantine 61x + 67y = z2 và 67x + 73y = z2 25 2.3 Phương trình Diophantine px + (p + 6)y = z2 khi p, p + 6 là các số nguyên tố và p = 6n + 1 29 2.4 Nghiệm của phương trình 47x + 53y = z2 33 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 1 Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến TS Nguyễn Thu Hằng và TS Phạm Hồng Nam đã hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này Trong quá trình tiếp cận đề tài đến quá trình hoàn thiện luận văn Thầy/Cô luôn tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn Cho đến bây giờ luận văn thạc sĩ của tôi đã được hoàn thành, xin cảm ơn Thầy/Cô đã đôn đốc nhắc nhở tôi Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán - Tin và Phòng Đào tạo của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo Phòng GD Hưng Hà, và trường TH-THCS Lê Danh Phương-Hưng Hà-Thái Bình đã không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn Thái Nguyên, tháng 5 năm 2023 Tác giả Lê Quốc Huy 2 Mở đầu Phương trình Diophantine là một phương trình có dạng f (x1, , xn) = 0 (1) với f là một hàm n biến x1, , xn và n ≥ 2 Trong trường hợp f là một đa thức với hệ số nguyên thì ta nói phương trình (1) là một phương trình Diophantine đại số Một bộ số (a1, , an) ∈ Zn thỏa mãn phương trình (1) được gọi là một nghiệm của phương trình (1) Các nghiên cứu đầu tiên về các phương trình này được nghiên cứu bởi nhà Toán học Diophantus và tiếp tục bởi các nhà toán học Trung Quốc (thế kỷ thứ ba), người Ả Rập (thế kỷ thứ tám đến kỷ thứ mười hai) và được nâng lên một mức độ sâu hơn bởi Fermat, Euler, Lagrange, Gauss, Đến nay chủ đề này vẫn là vấn đề quan trọng trong toán học đương đại và được nhiều nhà Toán học nghiên cứu Bài toán tìm nghiệm hoặc chặn số nghiệm của các phương trình Diophantine đã được nghiên cứu từ lâu và được quan tâm nghiên cứu bởi rất nhiều các nhà Toán học Đã có rất nhiều kết quả được công bố liên quan đến các bài toán này Tuy nhiên, không có một phương pháp chung nào để chỉ ra một phương trình Diophantine đã cho có nghiệm hay có bao nhiêu nghiệm Khoảng trống nguyên tố là hiệu giữa hai số nguyên tố liên tiếp Khoảng trống nguyên tố đã được sử dụng để nghiên cứu các phương trình Dio- phantine có dạng px + qy = z2 với p, q là các số nguyên tố Một mở rộng của phương trình này có dạng px + (p + A)y = z2 với A là một số nguyên, ở đây p + A có thể không cần là số nguyên tố Đã có nhiều kết quả nghiên cứu về phương trình này được công bố gần đây 3 Với A = 6 các tác giả Satish Kumar, Satish Kumar và Hari Kishan đã đưa ra một số kết quả thú vị về nghiệm của các phương trình Diophantine px + (p + 6)y = z2 khi p, p + 6 là các số nguyên tố Luận văn tập trung trình bày một số kết quả về nghiệm của các phương trình Diophantine px + (p + 6)y = z2 khi p, p + 6 là các số nguyên tố và p = 6n + 1 trong các tài liệu [6, 7] Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung sau: Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị dùng để chứng minh cho các kết quả ở Chương 2 Nội dung của chương này được viết dựa theo các tài liệu [1, 2] Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số kết quả về nghiệm của các phương trình Diophantine px + (p + 6)y = z2 khi p, p + 6 là các số nguyên tố và p = 6n + 1 Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [6, 7] 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này là trình bày một số kết quả xoay quanh miền nhân tử hóa, vành đa thức một biến và nhiều biến, đồng dư thức, phục vụ cho chứng minh các kết quả chính 1.1 Miền nhân tử hóa Mục đích của tiết này là trình bày một số kiến thức cơ bản về ước chung lớn nhất, phần tử bất khả quy, phần tử nguyên tố, miền nhân tử hóa (hay miền phân tích duy nhất) Từ đó áp dụng các kết quả cho tương ứng cho vành các số nguyên và vành đa thức 1.1.1 Miền nguyên Định nghĩa 1.1.1 Một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi, một là phép cộng và một là phép nhân được gọi là vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng (ii) Phép nhân trên R là kết hợp, nghĩa là (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ R (iii) Phép nhân là phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với mọi x, y, z ∈ R, ta luôn có (x + y)z = xz + yz và z(x + y) = zx + zy (iv) Tồn tại phần tử 1R sao cho 1Rx = x1R = x, với mọi x ∈ R 5 Thông thường ta luôn kí hiệu 1 cho phần tử đơn vị và 0 cho phần tử không của R Định nghĩa 1.1.2 Một vành R được gọi là vành giao hoán nếu xy = yx, với mọi x, y ∈ R Tiếp theo ta nhắc lại các khái niệm iđêan và vành thương Định nghĩa 1.1.3 Cho R là một vành giao hoán và I là một nhóm con của R đối với phép cộng (i) I được gọi là một iđêan của R nếu RI ⊆ I nghĩa là ax ∈ I với mọi a ∈ R, x ∈ I (ii) Cho I là một iđêan của vành R Ta nói I là một iđêan thực sự của R nếu I = R Cho I là một iđêan của một vành giao hoán R Vì I là nhóm con chuẩn tắc của nhóm của R đối với phép cộng, nên R/I = {x + I | x ∈ R} là nhóm thương với phép cộng các lớp ghép cho bởi (x + I) + (y + I) = (x + y) + I Trên R/I ta xét một quy tắc nhân như sau: với mỗi x + I, y + I ∈ R/I đặt (x + I)(y + I) := xy + I Khi đó ta có định lý sau Định lý 1.1.4 Cho I là một iđêan thực sự của một vành giao hoán R Khi đó R/I là một vành giao hoán với phép nhân được định nghĩa như sau: (x + I)(y + I) = xy + I, ∀x, y ∈ R Chứng minh Trước hết ta chứng minh phép nhân được xác định như trên là có nghĩa, tức là nó không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của lớp ghép Cụ thể, cho a + I = x + I và b + I = y + I, ta cần chỉ ra ab + I = xy + I 6 Thật vậy, theo giả thiết ta có a − x, b − y ∈ I Do đó tồn tại c, d ∈ I sao cho a = x + c và b = y + d Do tính chất phân phối của phép nhân trong R, ta có ab = (x + c)(y + d) = xy + xd + cy + cd, hay ab − xy = xd + cy + cd Rõ ràng xd + cy + cd ∈ I vì I là một iđêan Từ đây suy ra ab − xy ∈ I Dễ thấy lớp ghép 1 + I là phần tử đơn vị đối với phép nhân Việc chứng minh phép nhân định nghĩa như trên có tính chất kết hợp và phân phối với phép cộng các lớp ghép của R/I là dễ dàng dựa vào định nghĩa của các phép toán và tính chất kết hợp, tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong vành R Rõ ràng do R là vành giao hoán nên R/I là một vành giao hoán Định nghĩa 1.1.5 Vành R/I xác định như trên được gọi là vành thương của R đối với iđêan I Tiếp theo là các khái niệm iđêan nguyên tố và iđêan tối đại Định nghĩa 1.1.6 Cho I là một iđêan của một vành giao hoán R (i) I được gọi là iđêan nguyên tố nếu I = R và xy ∈ I thì hoặc x ∈ I hoặc y ∈ I (ii) I được gọi là iđêan tối đại nếu tồn tại iđêan J = I chứa I thì J = R Định nghĩa 1.1.7 (i) Một vành giao hoán D được gọi là một miền nguyên nếu ab = 0 thì kéo theo hoặc a = 0 hoặc b = 0 (ii) Một vành giao hoán D được gọi là một trường nếu mọi phần tử khác không đều có nghịch đảo, nghĩa là nếu a = 0 thì tồn tại b ∈ R sao cho ab = 1 Ví dụ 1.1.8 (i) Z, Q, R, C đều là các miền nguyên (ii) Q, R, C đều là trường (iii) Vành các số nguyên Z/4Z modulo 4 không là miền nguyên (iii) Vành các số nguyên Z/nZ modulo n là miền nguyên khi và chỉ khi n là một số nguyên tố 7 Lưu ý rằng trường thì luôn là một miền nguyên Tuy nhiên điều ngược lại là không đúng, ví dụ Z là một miền nguyên nhưng không là trường Kết quả tiếp theo cho ta đặc trưng của miền nguyên và trường Định lý 1.1.9 Cho I là một iđêan của vành R Khi đó các phát biểu sau là đúng: (i) I là nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên (ii) I là tối đại khi và chỉ khi R/I là một trường 1.1.2 Phần tử nguyên tố Trong suốt mục này ta luôn xét D là một miền nguyên Định nghĩa 1.1.10 Cho a, b là hai phần tử của D (i) Cho b = 0 Ta nói b là một ước của a (hay a là bội của b), kí hiệu là b|a, nếu tồn tại q ∈ D sao cho a = bq Nếu b là ước của a thì ta còn nói b chia hết a hoặc a chia hết cho b (ii) Nếu tồn tại q ∈ D để 1 = bq thì ta nói b là ước của đơn vị (iii) Cho 0 = a và 0 = b Ta nói a liên kết b, kí hiệu là a ∼ b, nếu a|b và b|a Nếu a không liên kết với b thì ta kí hiệu a b (iv) Cho b là một ước của a Ta nói b là ước thực sự của a, kí hiệu b || a, nếu b 1 và b a Các ước của a liên kết với 1 hoặc liên kết với a được gọi là các ước tầm thường của a Mệnh đề 1.1.11 Cho 0 = a, b ∈ D Khi đó a liên kết b khi và chỉ khi chúng chỉ sai khác nhau bởi một nhân tử là ước của đơn vị Chứng minh Giả sử a và b là liên kết Khi đó tồn tại c, d ∈ D sao cho a = cb và b = da Suy ra a = cb = cda Do D là miền nguyên và a = 0 nên 1 = cd Vậy cả c và d là ước của đơn vị và do đó a và b chỉ khác nhau một nhân tử là ước của đơn vị Ngược lại, giả sử a = cb với c là một ước của đơn vị Khi đó b|a Do c|1 nên tồn tại d ∈ D sao cho 1 = cd Vì thế ta có ad = b(cd) = b Suy ra a|b Vậy a và b liên kết với nhau Định nghĩa 1.1.12 Cho p ∈ D là một phần tử khác không và khác ước của đơn vị 8 (i) p được gọi là phần tử bất khả quy nếu p không có ước thực sự (ii) p được gọi là phần tử nguyên tố nếu p|ab kéo theo p|a hoặc p|b với mọi a, b ∈ D Trong trường hợp tổng quát, nhìn chung hai khái niệm này không tương đương Tuy nhiên ta có tính chất sau đây Mệnh đề 1.1.13 Mọi phần tử nguyên tố đều bất khả quy Chứng minh Giả sử a|p Khi đó tồn tại b ∈ D để p = ab Suy ra p|ab Do p nguyên tố nên p|a hoặc p|b Nếu p|a thì a ∼ p Nếu p|b thì p ∼ b và do đó p và b chỉ sai khác nhau nhân tử là ước của đơn vị, tức là a là ước của đơn vị Tiếp theo là khái niệm ước chung lớn nhất Định nghĩa 1.1.14 Cho a, b ∈ D Phần tử 0 = d ∈ D được gọi là một ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu (a, b) hoặc gcd(a, b) nếu d là một ước chung của a, b và là bội của mọi ước chung khác của a, b Chú ý rằng với d, d là hai ước chung lớn nhất của a và b, thì tồn tại phần tử khả nghịch u ∈ D sao cho d = d u 1.1.3 Miền nhân tử hóa Định nghĩa 1.1.15 Miền nguyên D được gọi là thỏa mãn điều kiện có ước chung lớn nhất nếu hai phần tử bất kỳ của D không đồng thời bằng 0 đều có ước chung lớn nhất Định nghĩa 1.1.16 Miền nguyên D được gọi là thỏa mãn điều kiện dãy dừng các ước thực sự nếu với mọi phần tử a1, a2, a3, trong D thỏa mãn điều kiện a2|a1, a3|a2, đều phải dừng Tiếp theo là một số tính chất của miền nguyên thỏa mãn điều kiện có ước chung lớn nhất và điều kiện dãy dừng các ước thực sự Bổ đề 1.1.17 Cho D là miền nguyên thỏa mãn điều kiện dãy dừng các ước thực sự Khi đó các phát biểu sau là đúng: