Chuyen de ptvt

1 HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI BAØI 1 : Giaûi caùc phöông trình sau: 1) Xeùt haøm soá f x  x  x  5  x  7  x 16 14, x  (5 ; +) f'x  1  1  1  1  0 , x  (5 ; +) 2 x 2 x  5 2 x  7 2 x 16  haøm soá f(x) ñoàng bieán treân (5 ; +) (1) Ta laïi coù : f(9) = 0 (2) Töø (1) vaø (2) suy ra phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát x = 9 2) Ta thaáy x2  35  x2  24 neân 5x  4  0  x  4 5   Xeùt haøm soá : f(x) = x2  35  x2  24 ,  x  4 5 f '(x)  2x  2x  x x2  35  x2  24 4  2 x2  35 2 x2  24 x2  35 x2  24  0 , x   ;   5   f(x) laø haøm soá luoân luoân nghòch bieán treân 4/ 5 ;   Ngoaøi ra haøm soá g(x) = 5x – 4 laø haøm soá ñoàng bieán treân R neân cuõng ñoàng bieán treân 4/ 5 ;    Ñoà thò hai haøm soá naøy chæ caét nhau taïi moät ñieåm duy nhaát (1) Maët khaùc, ta coù : f(1) = g(1) = 1 (2) Töø (1) vaø (2) suy ra x = 1 laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình x  0 3) Ñieàu kieän:  0x6 6  x  0 Xeùt haøm soá : f (x)  1  1 vaø g(x)  1  1 4 (2x)3 4 (6  x)3 6  x 2x Ta coù : f '(x)   3  1  3  1  0 , x  (0 ; 6)  haøm soá f(x) giaûm treân khoaûng (0 ; 6) 2 4 (2x)7 4 4 (6  x)7 g '(x)   1  1  0 , x  (0 ; 6)  haøm soá g(x) taêng treân khoaûng (0 ; 6) 2 (6  x)3 (2x)3 Maët khaùc, ta coù : f(2) = g(2) (2  (0 ; 6))  nhaän x = 2 Vaäy x = 2 laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình 4) Ñieàu kieän : x  1 Nhaän xeùt : x = 1 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình Xeùt haøm soá f x  x3  x2  x  34 x 1  3 treân 1;  Ta coù : f 'x  3x2  2x 1 3 3  0,x  (1;  ) 44 x 1 Do ñoù haøm soá ñoàng bieán vaø lieân tuïc treân 1;  Maø f 0  0 neân x  1 laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = 1 2 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x  1 2 5) Ñieàu kieän : 5x3 1  0  x  315  Caùch 1 : Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá Ta coù : *  5x3 1  3 2x 1  x  4  0 i Khi x  315 khoâng thoûa maõn (i) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 2 1 1  Khi x  3 , xeùt haøm soá y  fx  5x 1  2x 1  x  4 treân  3 ;   coù :33 5 5  f'x  15x2 2 1  3 3  1  0 , x   3 ;  2 5x 1 3 2x 1 5  1  Do ñoù haøm soá y = f(x) ñoàng bieán treân  3 ;   vaø f(1) = 0 neân x = 1 laø nghieäm duy nhaát cuûa (i) 5  Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, phöông trình coù nghieäm duy nhaát laø x = 1  Caùch 2 : Söû duïng baát ñaúng thöùc Cauchy vôùi ñieåm rôi x = 1  5x3  1  1  5x3  1 4    Cauchy 1 5x3  3 5x3  32 Ta coù :  22 4 3 2x  1.1.1  Cauchy 2x  1  3 Suy ra : VT*  5x 1  2x 1  x 33 5x3  3 2x  1 x 15x3  20x  13  4 3 12 Maø : 15x  4  3x  4x  7  0  x 1 3  20x  13 3 3x2  3x  7 0  x  1 12 Suy ra : 5x3 1  3 2x 1  x  15x3  20x  13  4 vaø daáu “=” xaûy ra khi x = 1 12 Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, phöông trình coù nghieäm duy nhaát laø x = 1  Caùch 3 : Lieân hôïp khi söû duïng Casio tìm ñöôïc x = 1 laø nghieäm duy nhaát 5x 1x 1 2x 1 *   5x 1  2  2x 1 1 x 1  0  5x2  1  2 3 2x 12  x  2  0  3 2x 1  123  x 1  5x  1 2   1  0  x  1   5x2  1  2 3 2x  12  3 2x  1  1  Do 5x2 5x  1  1  2 3 2x 12 2  1  0 , x   3 2x 1  1 315 Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, phöông trình coù nghieäm duy nhaát laø x = 1 6) Ñieàu kieän : x  0 *  3x2  x  8x 2x2 1  3 2x2 1  3  0 i Xeùt haøm soá fx  3x2  x  8x 2x2 1  3 2x2 1  3 treân [0 ; ) coù : 2 2x2  6x 32x2  6x  8 f'x  6x  1  8 2x  1  2   2  6x  1   2x 1  2x 1 2x 12 Do : 32x2 – 6x + 8 > 0, x  R neân f’(x) > 0, x  0 Suy ra haøm soá f(x) luoân ñoàng bieán treân [0 ; ) vaø coù f(0) = 0 neân x = 0 laø nghieäm duy nhaát cuûa (i) Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát x = 0 7) Ñieàu kieän : 0  x  4  Xeùt haøm soá fx  x x  x 12 xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân [0 ; 4], coù : f'x  3 x  1  0 , x 0;4, neân f(x) ñoàng bieán treân [0 ; 4] (i) 2 2 x  12  Xeùt haøm soá gx  12 5  x  4  x  xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân [0 ; 4], coù : 1 1   0 , x 0;4, neân g(x) nghòch bieán treân [0 ; 4] (ii) g'x  12   2 5x 2 4x  IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 3 Töø (i), (ii) suy ra f(x) = g(x) coù nghieäm duy nhaát vaø f(4) = g(4) = 12 neân x = 4 laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình (*) Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát x = 4 8) Ñieàu kieän : x  1 2 *   x  22x 1  3 x  2  x  62x 1  3 x  6 4  x  2 2x 1  3 x  6 2x 1  3 4   2x 1  3 x  2  x  6 4 i Do x  2  x  6  0 , x  1 vaø veá phaûi döông neân ñeå phöông trình (i) coù nghieäm thì caàn ñieàu kieän keùo 2 theo laø : 2x 1  3  0  2x 1  3  x  5 1  0 , x > 5 neân f(x) laø 2x 1  Xeùt haøm soá döông fx  2x 1  3 treân nöûa khoaûng (5 ; ) coù : f'x  haøm soá döông ñoàng bieán treân (5 ; ) (1)  Xeùt haøm soá döông gx  x  2  x  6 treân nöûa khoaûng (5 ; ) coù : g' x  1  1  0 , 2 x2 2 x6 x  5 neân g(x) ñoàng bieán treân (5 ; ) (2) x  6  laø haøm soá ñoàng bieán treân (5 ; ) vaø coù Töø (1), (2)  h(x) = f(x).g(x) =  2x 1  3 x  2  h7  4 neân x = 7 laø nghieäm duy nhaát cuûa (i) Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, phöông trình coù nghieäm duy nhaát laø x = 7 9) Ñieàu kieän : x  8 Ñaët t  3 x 1  x  t3 1  8  t  3 7 *  t2  2t  t3  4 t3  7  3t3  28  0  3t3  t2  2t  28  t3  4 t3  7  0 Nhaän thaáy t  3 7 khoâng laø nghieäm neân chæ xeùt t 3 7 ;  Xeùt haøm soá fx  3t3  t2  2t  28  t3  4 t3  7 treân 3 7 ;   coù : 2 2 3 3 t2 t3  4 3 f't  9t  2t  2 3t t  7   0 , t  7 ;   t  7332 0 , t Do ñoù haøm soá f(t) ñoàng bieán treân khoaûng 3 7 ;   Ta laïi coù : f(2) = 0  t = 2  x = 9 laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình Keát luaän : Phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát x = 9 10) Ñieàu kieän : x  1 Do x = 1 khoâng laø nghieäm phöông trình neân ta chæ xeùt x > 0 Luùc ñoù, ta coù : *  3 x  6  x2  x 1  7 1 Xeùt haøm soá fx  3 x  6  x2  x 1 treân (1 ; ), ta coù : f' x  1  2x  1  0 , x > 1 33 x 2 2 x 1  6  haøm soá f(x) ñoàng bieán treân (1 ; ) vaø coù f(2) = 7 neân x = 2 laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình 11) Ñieàu kieän : x 1 Do x = 1 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình neân vôùi x > 1, ta coù : *  2 x 1  33 x  6  x  6 1 x 1 Xeùt haøm soá : fx  2 x 1  3 x  6 treân (1 ; ) ta coù : f'x 3 1 3 1  0 , x > 1 x 1 x 6  f(x) ñoàng bieán treân (1 ; ) Xeùt haøm soá : gx  x  6 treân (1 ; ) coù g' x  2  7  0 , x > 1  g(x) nghòch bieán treân (1 ; ) x 1 x 1 Maët khaùc : f(2) = g(2)  x = 2 laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình 12) Phöông trình xaùc ñònh vôùi moïi x  R Ta thaáy x = 0 laø moät nghieäm cuûa phöông trình IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 4  Xeùt x > 0, chia hai veá phöông trình cho x vaø ñaët t  1 ta ñöôïc phöông trình : x 2 t2  t  4  2  33 2t 1  4t2  4t  9 1 Ñaët u  3 2t 1 , khi ñoù phöông trình (1) trôû thaønh : u6  15  2  3u  u6  8  3u  u6  8  u6 15  2  0 2 Xeùt haøm soá fu  3u  u6  8  u6  15  2 treân R Ta thaáy neáu u < 0 thì f(u) < 0 neân ta chæ caàn xeùt u > 0 Khi ñoù f'u  3  3u 5 1   1   0 vôùi moïi u > 0 Do ñoù f(u) laø haøm ñoàng bieán treân (0 ; )  u6  8 u6  15  Maø f(1) = 0 neân u = 1 laø nghieäm duy nhaát cuûa (2) Töø ñoù ta tìm ñöôïc x = 1  Xeùt x < 0, laøm töông töï nhö treân ta coù phöông trình : u6  8  3u  u6  15  2  0 vôùi u < 1 Xeùt haøm soá gu  u6  8  3u  u6  15  2 vôùi u < 1 Ta coù : g'u  3u 5 6  1 1    3  0 vôùi moïi u < 1 Neân g(u) > g(1) = 2 6  u  8 u  15  Vaäy x = 0, x = 1 laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho 13) Ñieàu kieän : 8 – 3x2  0 Khi ñoù phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi : x3  3x 1  2  x  2  x  8  3x2  0  x 1x  x 1 4x2  x 1  0  x  x 1 x  1  4  2 2  2   0 1  2  x  8  3x 2  2  x  8  3x  Ta chöùng minh phöông trình x  1  4  0 2 voâ nghieäm 2  x  8  3x2 Xeùt haøm soá fx  2  x  8  3x2 vôùi x   8 ; 8   3 3 Ta coù : f'x  1  2 3x ; f'x  0  x   2 ; f   2   6  4 6 8  3x 3  3 3 f   8   2  8  0 , f   8   2  8  0  3 3  3 3 Suy ra : 0  fx  6  4 6 3 Do ñoù : x  1  1 fx  1  83  1 6  4 6  0 Neân phöông trình (2) voâ nghieäm 3 Töø ñoù suy ra phöông trình (1)  x2 – x – 1  x  1  5 2 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x  1  5 2 BAØI 2 : Giaûi caùc bất phöông trình sau : 1) Ñieàu kieän : –2  x  4  Caùch 1 : Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá Xeùt haøm soá f x  2x3  3x2  6x 16  4  x treân [–2 ; 4] ta coù : f 'x  3x2  x 1  1  0,x  (2 ; 4) 2x3  3x2  6x 16 2 4  x Suy ra haøm soá f(x) luoân ñoàng bieán treân [–2 ; 4] Maët khaùc, ta coù: f(x) > f(1) = 2 3  x > 1 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 5 Keát luaän : Giao vôùi ñieàu kieän, taäp nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho laø S = [–2 ; 4]    Caùch 2 : Söû duïng kyõ thuaät nhaân löôïng lieân hôïp 2x3  3x2  6x 16  4  x  2 3  2x3  3x2  6x 16  3 3   3  4  x  0  2x3  3x2  6x 11  x 1  0  (x 1)(2x2  5x 11)  x 1  0 2x3  3x2  6x 16  3 3 3  4  x 2x3  3x2  6x 16  3 3 3  4  x   5 2 63  2 x       4 8  1 0  (x 1)  x – 1 > 0  x > 1  2x3  3x2  6x  16  3 3 3  4  x     0,x[2 ; 4] Keát luaän : Giao vôùi ñieàu kieän, taäp nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho laø S = [–2 ; 4] 2) Ñieàu kieän : 1  x  3 2 2 Xeùt haøm soá fx  3 3  2x  5 1 3  2x  6 treân  ;  2x 1 2 2 Ta coù : f'x  3 5 1 3 1 3  3  2  0 vôùi moïi x   ;  Do ñoù haøm f(x) nghòch bieán treân  ;  3  2x  2x 1 2 2 2 2 Ta thaáy f(1) = 0 neân baát phöông trình töông ñöông vôùi f(x)  f(1)  x  1 Keát hôïp ñieàu kieän ta suy ra nghieäm cuûa baát phöông trình laø : 1  x  3 2 3) Ñieàu kieän : x   1 3 Baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi : 3 1 3x 1  1  x  2  0 3 1  Xeùt haøm soá fx  3x 1  1 x  2 treân ñoaïn  ;  3  Ta coù : f'x  3 2 1  1   31  x  0 vôùi moïi x   ;   Do ñoù haøm soá ñoàng bieán treân  ;  2 3x  1 3  3  Maët khaùc, ta thaáy f(1) = 0 neân suy ra (1)  f(x)  0  x  1 Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình laø : x  1  Trong nhieàu tröôøng hôïp haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân D nhöng ta chæ chöùng toû ñöôïc f ñôn ñieäu treân khoaûng K  D, ñeå vaän duïng ñöôïc tính ñôn ñieäu cuûa f trong giaûi phöông trình f(x) = c (töông öùng baát phöông trình) chuùng ta coù theå nhaän xeùt x  K hoaëc phaân chia caùc tröôøng hôïp x  K, x  K 4) Ñieàu kieän : x  2 Khi ñoù BPT ñaõ cho töông ñöông vôùi :  x  2  3x  2 x2  x  2 0 3  22  x  x  2x 1  0  x  2 2  x  1  0 1 x  2  3x  2  x  2  3x  2  Xeùt haøm soá fx   2  x  1 vôùi x  2 x  2  3x  2 3 1 3 2 2  Ta coù : f' x  1 x  2 3x  2 2  0 vôùi moïi x  Do ñoù haøm f(x) ñoàng bieán treân  ;   x  2  3x  2  3 3  2 5 3 2 Suy ra : fx  f     0 vôùi moïi x  Suy ra baát phöông trình (1)  x – 2  0  x  2 3 3 2 3 Keát hôïp ñieàu kieän, ta coù nghieäm cuûa baát phöông trình laø : 2  x  2 3 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 6 BAØI 3 : Giaûi caùc phöông trình sau : x  0 x2  1) Ñieàu kieän : x  1  0 xx  2  0 Nhaän xeùt x = 2 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình do ñoù x > 2 Ta coù: (*)  x   x  1  (x 1)  (x 1) 12 2 Ñaët u  x  1 (do x  2)  u  u2 1  v  v2 1  f (u)  f (v) v  x 1  1 (do x  2) Xeùt haøm ñaëc tröng f t  t  t2 1 vôùi t  (1 ; +)  f 't  1 2t  t2 1  t  0 , t > 1  f(t) laø haøm ñoàng bieán t > 1 2 t2 1 t2 1 Do ñoù : f u  f v  u  v  x  1  x  3  5 loaïi  3 5 x  x 1  2 x 2 2 x  x  2x 1  3 5 nhaän  x   2 2) Taäp xaùc ñònh : D = R *  2x3  3x  1  3 2x3  3x  1  x2  2  3 x2  2  3 2x3  3x 3  3 2x3  3x 1  3 x2  3  3 x2  2  f3 2x3  3x 1 f3 x2  2 1 1 2 Xeùt haøm soá f(t) = t3 + t treân R coù f’(t) = 3t2 + 1 > 0, t  R     Do ñoù haøm soá f(t) luoân ñoàng bieán treân R (2) Töø (1), (2) suy ra : f 3 2x3  3x  1  f 3 x2  2  3 2x3  3x  1  3 x2  2  2x3  x2  3x 1  0  2x  1x2  x 1  0  x   1  x  1  5 2 2 Keát luaän : Caùc nghieäm caàn tìm cuûa phöông trình laø x   1 , x  1  5 2 2 3) Ñieàu kieän : x  2 u  x2  2x  0 2 u  x2  2x  0 2 2 Ñaët   v  u  3x  x  2 Hoaëc ñaët:   u  u  v  v  f (u)  f (v) v  x  2  0 v  x  2  0 Khi ñoù (1)  x2  2x  x2  2x  x  2  x  2  u  u  v  v  f u  f v Xeùt haøm ñaëc tröng : ft  t  t vôùi t  0 f 't  1 1  0 t  0  f(t) laø haøm ñoàng bieán t  0 2t Do ñoù : fu  fv  u  v  3x  x2  2  0  x  1 loaïi Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x = 2 x  2 nhaän 4) Ñieàu kieän : x   1 2 Ta coù : 4x3  x  (x 1) 2x 1  0 (nhaân theâm cho 2 do thaáy trong caên coù 2x + 1)  8x3  2x  (2x  2) 2x 1  0  (2x)3  2x  [(2x 1) 1] 2x 1  (2x)3  2x   2x 1  2x 1 3 (1) Ñaët u  2x  0   u3  u  v3  v  f (u)  f (v) v  2x 1  0 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 7 Xeùt haøm ñaëc tröng : f t  t3  t vôùi t  0  f 't  2t2 1  0 , t  0  f(t) laø haøm ñoàng bieán t  0 x  0   1 5 Do ñoù : f u  f v  u  v  2x  x  0 x  0  x  1 5 2x 1   2  2 2 x 2 2x 1  4x 4x  2x 1  0  x  1 5  2 Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x  1 5 4  Chuù yù : Coù theå phaân tích nhö sau : 4x3  x  (x 1) 2x 1  0  8x3  2x  (2x  2) 2x 1  0  2x[(2x)2 1]  2x 1  2x 1 1 2  5) Ñieàu kieän : x  1 9 *   9x 1  2 9x 1  2x 1  22x 1  f 9x 1 f2x 1 133 Xeùt haøm soá f(t) = t3 + 2t treân R coù f’(t) = 3t2 + 2 > 0, t  R Do ñoù haøm soá f(t) luoân ñoàng bieán treân R (2) Töø (1), (2)  f 9x 1  f2x 1  9x 1  2x 1  x  13  137 8 Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, phöông trình coù nghieäm laø x  13  137 8 6) Ñieàu kieän : x  5/2 *  2x  2x   5  2x   5  2x  f2x  f 5  2x  133 Xeùt haøm soá f(t) = t3 + 2t treân R coù f’(t) = 3t2 + 2 > 0, t  R Do ñoù haøm soá f(t) luoân ñoàng bieán treân R (2) Töø (1), (2)  f2x  f 5  2x   5  2x  2x  x  21 1 4 Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, nghieäm phöông trình ñaõ cho laø x  21 1 4 u  3 x 1 u3  x 1 u3 1  x  2 3 u3 1  3 x  2  7)   3 2  3 2  33 33  u 1  u  v 1  v  f (u)  f (v) v  3 2x2 v  2x v 1  2x 1  3 v3 1  3 2x2 1 Xeùt haøm ñaëc tröng : f t  3 t3 1  t vôùi t f 't  t2 1  0 , t  f(t) laø haøm ñoàng bieán t 3 (t3 1)2 x  0  x 1  1 5 Do ñoù : f u  f v  u  v  2x2  x 1   x  1 5 1  2 x x    2  2  1 5 x   2 Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x = 1  x   1 2 8) Ñieàu kieän : 5x  x2  0  x(5  x)  0  0  x  5 Ta coù : (x 1)3  (5x  x2)3  3 5x  x2  3(x 1)  3 5x  x2  (5x  x2)3  (x 1)3  3(x 1) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 8 Ñaët u  5x  x2  0  3u  u3  3v  v3  f (u)  f (v) v  x 1  0 Xeùt haøm ñaëc tröng : f t  3t  t3 vôùi t > 0 f 't  3  3t2  0 , t > 0  f(t) laø haøm ñoàng bieán t > 0 x  1 1  x 1  1 x  1  1 x  Do ñoù : f u  f v  u  v  5x  x  x 1  02  2  x   2  5x  x  x  2x 1 2x  3x 1  0  2 22  x 1 x  1 Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x = 1  x  1 2 9) Ñieàu kieän : 3x + 1  0  x   1 3 Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi : x  3  x  1  3x  1 3x 1  3x  1 1  x 1  x 1   3x 1  3x 1 *3 3 Xeùt haøm soá f(t) = t3 + t treân R Ta coù : f’(t) = 3t2 + 1 > 0 vôùi moïi t  R Do ñoù haøm f(t) ñoàng bieán treân R Suy ra : *  fx  1  f 3x  1 x  1  3x  1  x2  x  0  x  0 x  1 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 0, x = 1 10) Taäp xaùc ñònh : D = R *  2x3  3x  1  3 2x3  3x  1  x2  2  3 x2  2  3 2x3  3x 3  3 2x3  3x 1  3 x2  3  3 x2  2  f3 2x3  3x 1 f3 x2  2 1 1 2 Xeùt haøm soá f(t) = t3 + t treân R coù f’(t) = 3t2 + 1 > 0, t  R     Do ñoù haøm soá f(t) luoân ñoàng bieán treân R (2) Töø (1), (2) suy ra : f 3 2x3  3x  1  f 3 x2  2  3 2x3  3x  1  3 x2  2  2x3  x2  3x 1  0  2x  1x2  x 1  0  x   1  x  1  5 2 2 Keát luaän : Caùc nghieäm caàn tìm cuûa phöông trình laø x   1 , x  1  5 2 2 11) 2x 12  4x2  4x  4 3x2  9x2  3 0  2x 12  2x 12  3    3x2      3x2  3   u  2x  1  u2  u  3 v2  v  3  f(u) = f(v).2 2 Ñaët  v  3x Xeùt haøm ñaëc tröng : ft  t2  t2  3, t  R f 't  2  t2  3  t2  0 , t  f(t) laø haøm soá luoân luoân ñoàng bieán t t2  3 Do ñoù : f(u) = f(v)  u = v  2x + 1 = 3x  x   1 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = –1/5 5 12) Taäp xaùc ñònh : D = R Do x = 0 khoâng laø nghieäm neân xeùt x  0 Chia hai veá (*) cho x3  0 ta ñöôïc : *  2  10  2 17  3 8  23 2 5 1 i xx x x IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 9   Ñaët 1 3 3 y  , (y  0) thì i  8y3 17y 10y  2  23 5y2  1  2y   22y  1  3 5y2 5y2 1 1 1  23 x    f2y 1  f 3 5y2 1   Xeùt haøm soá f(t) = t3 + 2t coù f’(t) = 3t2 + 2 > 0, t  R neân f(t) taêng treân R vaø coù : f2y 1  f 3 5y2 1  2y 1  3 5y2 1  8y3 17y2  6y  0  y8y2 17y  6  0  y = 0 (loaïi) hoaëc y  17  97 16  x  1  17  97 y 12 Keát luaän : Caùc nghieäm caàn tìm cuûa phöông trình laø x  17  97 16 x  1  x2  x  1  0 13) Ñieàu kieän :  2x  4x2  2x  1  0 Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi : x 1 x 1 x 1  x 1 1  2x  2x  2x  2x 1 12 2 u  x 1 2 2 Ñaët   u  u  u  u 1  v  v  v  v 1  f(u) = f(v) v  2x   Xeùt haøm soá ft  t  t  t2  t 1 treân taäp xaùc ñònh Ta coù : f't  1  t  t2  t  1 '  1  2 t2  t  1  2t 1 2 t  t2  t 1 4 t  t2  t 1 t2  t 1 Ñeå yù raèng : 2 t2  t  1  2t 1  4t2  4t  4  2t 1  2 2t 1  3  2t 1  2t 1  2t 1  0 Suy ra f’(x) > 0 vôùi moïi x thuoäc taäp xaùc ñònh Do ñoù haøm soá ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh Khi ñoù (1)  f(x + 1) = f(2x)  x + 1 = 2x  x = 1, thoûa maõn ñieàu kieän Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 1 14) *  x2  x  2  x2  x  x2 1  f x2  x  2  f x2  x  x2 1 1 1 4x2  x  2 1 4x2  x 0  x2  x  2  4 1 17 Ñieàu kieän :  2  1  x  ( 1,561552813) 0  x  x  4 2 (Baám maùy ta thaáy phöông trình coù 1 nghieäm x = 1 Khi ñoù ta xeùt haøm soá ta xeùt caùc giaù trò khaùc 1) u  x2  x  2 u v Ñaët  2    f(u) = f(v) v  x  x 1 4u 1 4 v u  0 u  0 Ñieàu kieän :   0u4 4  u  0 u  4 Xeùt haøm soá ft  t treân [0 ; 4] coù : f't  1 4  t   t   2 1  0 , t  (0 ; 4) 1 4t  2 t 2 4  t  1 4  t   haøm soá f(t) ñoàng bieán treân [0 ; 4] x2  x  2  x2  x fx2  x  2 fx2  x fx2  x  2 fx2  x 0  Neáu x  [1 ; 1)   2  2  2 x 1  0 x 1  0 x 1  0  (1) voâ nghieäm khi x  [1 ; 1)  1 17  x2  x  2  x2  x fx2  x  2 fx2  x fx2  x  2 fx2  x 0  Neáu x 1;  2  2  2  2  x 1  0 x 1  0 x 1  0  IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 10  (1) voâ nghieäm khi x 1; 1  17   2 Thöû tröïc tieáp thaáy x = 1 thoûa  x = 1 laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình Chuù yù:  Vôùi x  [1 ; 1) Do haøm soá ñoàng bieán neân x2  x  2  x2  x  f x2  x  2  f x2  x  1 17   Do haøm soá ñoàng bieán neân x  x  2  x  x  f x  x  2  f x  x22 2 2   Vôùi x  1; 2  x  1 15) Ñieàu kieän :  x  13 Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi : x  2 x 1  2 3 2x 1  3 3 3 3 33  x 1 x 1  x 1  2x 1 2x 1   x 1  x 1   2x 1  2x 1 1 Xeùt haøm soá f(t) = t3 + t vôùi t  R Ta coù : f’(t) = 3t2 + 1 > 0 vôùi moïi t  R Suy ra haøm soá f(t) ñoàng bieán treân R Khi ñoù 1  f x 1 f3 2x 1 x 1  3 2x 1 1 1 x   12 x  0 x   x     2  2  x  0   1 5 x   1 5 x  2 x 13  2x 12 x 3  x2  x  0   2 Ñoái chieáu ñieàu kieän ta ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø x = 0 vaø x  1 5 2 16) Taäp xaùc ñònh : D = R  Caùch 1 : Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá Phaân tích : *  8x3  12x 2  5x  3x  2  3 3x  3  3 3x  2  8x3  12x 2  8x  2  3 3x  3  3 3x  2 2 2  Vôùi phöông trình 8x3 12x2  8x  2 , baám maùy ta ñöôïc nghieäm x   1 2  8x3  12x 2  8x  2    1 8x2  8x  4  (2x  1)(4x 2  4x  2)  (2x  1)(2x  1)2  1 x  2 Ta coù: *  8x3  12x 2  5x  3x  2  3 3 3 3x  2  (2x 1)3  (2x 1)  3 3 3 3x  2 (1) 3x  2 3x  2 Xeùt haøm soá f(t) = t3 + t treân R coù f’(t) = 3t2 + 1 > 0, t  R  f(t) ñoàng bieán treân R (2) Töø (1), (2)  3 3x  2  2x 1  8x3 – 12x2 + 3x + 1 = 0  x = 1  x  1  3 4 Vaäy phöông trình ñaõ cho coù ba nghieäm : x  1 x  1  3  x  1  3 4 4 3 2 8x3 12x2  5x  y 8x3 12x2  5x  y  Hoaëc: Ñaët y  8x 12x  5x , ta coù:   3 3x  2  y 3x  2  y 3   y3  y  8x3 12x2  8x  2  (2x 1)(4x2  4x  2)  (2x 1)(2x 1)2 1 (2x 1)3  (2x 1)  Caùch 2 : Söû duïng phöông phaùp ñaët aån phuï ñöa veà heä Xeùt haøm soá f(x) = 8x3 – 12x2 + 5x coù f’(x) = 24x2 – 24x + 5 vaø coù f”(x) = 48x – 24 = 0  x  1 neân coù pheùp 2 ñaët aån phuï : 2y 1  3 3x  2 ñeå ñöa veà heä phöông trình vaø lôøi giaûi nhö sau : IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 16 0  x 1 4 Do 1  x  3   0  3  x  4 Xeùt haøm soá f t  t2  2  t treân [0 ; 4] coù f 't  t  t  0,t  (0 ; 4) 2 t2  2 2 t Do ñoù f(t) ñoàng bieán treân (0 ; 4] vaø coù f(x – 1) > f(3 – x)  x – 1 > 3 – x  x > 2 Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, taäp nghieäm baát phöông trình laø x  (2 ; 3] 2) Taäp xaùc ñònh : D = R *  x 1 x2  2x  5  1 4x x2  1  2x  x 1 x  2  4  1  2x2 x2 1 1 1  x 1. x 12  4 1  2x. 2x2  4 1  fx 1  f2x   Xeùt haøm soá ft  t t2  4 treân R coù f't  t2  1  1  t2  0 , t  R t2 1 Do ñoù f(t) ñoàng bieán treân R vaø coù f(x – 1)  f(2x)  x – 1  2x  x  1 Keát luaän : So vôùi ñieàu kieän, taäp nghieäm baát phöông trình laø x  ( ; 1] (u – 2)(u2 + u + 4) = 0  u = 2  x = 9 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 9 CHUÙC CAÙC EM THAØNH COÂNG IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 1 CHUYEÂN ÑEÀ 1 : PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG  Phöông phaùp vaän duïng löôïng lieân hôïp BAØI 1 : Giaûi caùc phöông trình vaø baát phöông trình sau : 1) Ñieàu kieän : x  5 3 Ta coù : 10x 1  3x  5  9x  4  2x  2  10x 1  9x  4  3x  5  2x  2  0  ( 10x 1  9x  4)( 10x 1  9x  4)  ( 3x  5  2x  2)( 3x  5  2x  2)  0 10x 1  9x  4 3x  5  2x  2  x3  x3  1 1   0  (x  3)  0 10x 1  9x  4 3x  5  2x  2  10x 1  9x  4 3x  5  2x  2   x – 3 = 0 Do 1 1 5   0, x    x = 3 10x 1  9x  4 3x  5  2x  2 3  2) Ñieàu kieän : x  2/3 Phöông trình  9   (4x 1)  (3x  2)   x  3  9   x  3   x  3  9  4x 1  3x  2  4x 1  3x  2   4x  1  3x  2  Bình phöông hai veá vaø giaûi ra ta coù nghieäm x = 6 3) Ñieàu kieän : 2  x  2 (1)  2x  4  2 2  x  6x  4  6x  4  6x  4  x  32  x2  4 2x  4  2 2  x x2  4  2x  4  2 2  x  x2  4 * Bình phöông hai veá phöông trình (*) vaø chuyeån veá ta coù : 4 2x  42  x  x2  2x  8 Do x2 + 2x – 8  0  x  4 Keát hôïp ñieàu kieän ta coù x = 2 (thoûa) Vaäy nghieäm laø x  3 vaø x = 2 x  2 2 4) Ñieàu kieän : x  0 1  3  4 x2  x  x x2  x  x  3 1  4  x2  x  x x x x x x2  x  x  4 x2  x  4x  x2  x  x  3 (do x  0) 2 3x  3  0 x  1  5 x  x  3x  3   2 2  2 25x  x  3x  3 25x  25x  9x 18x  92 x  1 x  1 nhaän  nhaän  x  1  x  1 x2  3x  2   2   9  x  9 16x  7x  9  0  x  16  16  Vaäy nghieäm laø x = 1  x = 9 x2  5x  3  16 5) Ta coù : (*)  2x + 1 = (2x + 1)    x2  5x  3  x2  3x  2 1 2x 1  0   2 2 2x 1  0  x  5x  3  x  3x  2 1  0 (**)  Coäng veá vôùi veá phöông trình (*) vaø (**)  x2  5x  3  x 1  x   2 3  2x + 1 = 0  x   1 2 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 2  Thöû laïi : Ta thaáy x   1 ; x   2 ñeàu laø nghieäm cuûa (*) 2 3 6) Ñieàu kieän : 4x + 1  0 vaø 3x – 2  0 suy ra x  2 Töø ñoù x + 3 > 0 3 Ta coù : 1  x  3  x  3  4x 1  3x  2  x  3 4x 1  3x  2  5 0 5  4x 1  3x  2  5 do x + 3 > 0 Phöông trình cuoái cuøng coù theå giaûi baèng caùch bình phöông hai veá hoaëc so saùnh giaù trò cuûa veá traùi vôùi 5 khi 2  x  2 vaø x > 2 ñeå tìm thaáy nghieäm duy nhaát laø x = 2 3 Thöû laïi ta thaáy phöông trình (1) coù moät nghieäm laø x = 2 7) Ñieàu kieän : x  0 Nhaân hai veá cuûa phöông trình vôùi bieåu thöùc : 2x2  3x  5  2x2  3x  5 1  2x2  3x  5  2x2  3x  5  3x 2x2  3x  5  2x2  3x  5  6x  3x 2x2  3x  5  2x2  3x  5 (2)  Tröôøng hôïp 1 : x = 0 thoûa (2) Thöû laïi : 0  0  5  0  0  5  0 (ñaúng thöùc sai)  x = 0 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho  Tröôøng hôïp 2 : x  0 , chia hai veá cuûa phöông trình cho x, ta coù : 2x2  3x  5  2x2  3x  5  2 (3) Töø (1) vaø (3), ta coù : 2  3x  0  2 x   2 x    3 22 2x  3x  5  2  3x   2 2  3   x = 4 (nhaän) 42x  3x  5  4 12x  9x  2 x  4 nhaän  x  16  x  4 loaïi  Vaäy nghieäm laø x = 4 3x2  5x  1  0 2 x  2  0 8) Ñieàu kieän :  2 (a) x  x  1  0 x2  3x  4  0  *   3x2  5x 1  3x2  3x  3  x2  2  x2  3x  4 0   2x  4  3x  6  0 3x2  5x  1  3x2  3x  3 x2  2  x2  3x  4  x  2 2 2 3   0  3x  5x  1  3x  3x  3 x  2  x  3x  4 2 2 2  x  2  3  0 (1)   2 3x2  3x  3 x2  2  x2  3x  4  3x2  5x  1   3  0 , x xaùc ñònh  (1) voâ nghieäm 3x2  3x  3 x2  2  x2  3x  4 Do 2 3x2  5x  1  Thay x = 2 vaøo (a) thì (a) luoân thoûa, do ñoù x = 2 laø nghieäm cuûa (*) 9) Ñieàu kieän : x  0 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 3 *  4x2 1  3x  x 1 0  2x 12x 1  2x 1  0 3x  x  1  2x 1 2x  1  1   0  2x 1  0  x  1 3xx1 2 0 , x0 Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát x  1 2 3x2  5x  1  0 x   2 2   5  13 x  10) Ñieàu kieän : x  2  0 x2  x  1  0  6 2  3x2  5x  1  3x2  3x  3  x2  2  x2  3x  4  4  2x  3x  6 3x2  5x 1  3x2  3x  3 x2  2  x2  3x  4  2 3   (x  2) 2 2 2   0 2  3x  5x 1  3x  3x  3 x  2  x  3x  4  2 3 x   2 3x2  5x 1  3x2  3x  3  0 vôùi  5  13  (x  2)  0 vì 2 2 x  2  x  3x  4 x  6 x2 x   2  Keát hôïp vôùi ñieàu kieän, ta ñöôïc : 5  2 6 x2 11) Ñieàu kieän : x  5  2x  9  3  0 3x  5  4x 3 2x 9 3  5 2x 9 3 3 2  2x 3x  5  4x  3 2x  9  3 15  5 2x  9    2x  9  3 2x  9  3  3x  5  4x  3  5  7x 8  2 3x  54x  3  25  2 12x2  29x 15  33  7x 5  x  33 5 33 3  x 5  7  3 7  x3 3 412x2  29x 15  33  7x 2 x2  346x  1029  0   12) Ta coù: (*)  1 21  4x  x2  0 (1) 2 x 1 21 4x  x 1 Chuù yù raèng x2 – 4x + 21 > 0 x  R (do ’ = 4 – 21 < 0) Vì leõ ñoù (vaø do 1 + 21 4x  x2 > 0 x  R) ta coù : 1   x2  4x  20  0  x2  4x  20  0 (2) x 1 x 1 Laïi do x2 – 4x + 20 > 0 x  R (do ’ = 4 – 20 < 0) neân (2)  x + 1 < 0  x < 1 Nghieäm cuûa baát phöông trình laø : x < –1 13) Ñieàu kieän : 1 x  0  x  1 x  1  1  x  4  baát phöông trình luoân ñuùng  TH1 : khi  x  4  0 Do ñoù : x 1; 4 laø moät taäp nghieäm cuûa baát phöông trình  TH2 : khi x  4 : IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG 4 x  4 x  4 x  4  x1 1 x  2  2 Baát phöông trình     x1  1  x      x  4    x  4 1  1  x   x  42 1 1 x 1 1 x   1 1  x  x  4 x  4 x  4 x  4        x 4 ; 8 1  2 1  x  1  x  x  4  1  x  3 1  x  9 x  8 Keát hôïp hai tröôøng hôïp ta coù taäp nghieäm cuûa baát phöông trình laø x 1; 8 BAØI 2 : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 3x  5  x  5  3x  1x  5  0 1) Ñieàu kieän :  1  x  6 3x  1  4 1  6  x 3 *   3x 1  4 1 6  x  3x2 14x  5  0   x  53  1  3x  1  0  3x  1  4 1  6  x  Ta coù : x   1 ;6  3  1  3x  1  0  3  3x  1  4 1  6  x (1)  x = 5 (thoûa ñieàu kieän) Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát x = 5 2) Ñieàu kieän : x  1 Khi ñoù phöông trình   5x 1  2 3 9  x  2  2x2  3x  5 5  5x 1  1  x  x 12x  5 5x 1  2 3 9  x2  23 9  x  4 x  1 thoûa maõn ñieàu kieän    5  1  2x  5 *  5x 1  2 3 9  x2  23 9  x  4  Phöông trình (*) voâ nghieäm vì VP (*) > 5, VT (*) < 5 2 Vaäy phöông trình coù nghieäm x = 1 3) Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi x  2 x2  4x  7  2 3 x x2  3  2 3 0  x  2 x2  4x  3  x x2 1  6x  1  0 x2  4x  7  2 x2  3  2  x  1 2  x  2x  3  2 xx 1  6  0  x  4x  7  2 x  3  2   x  1x2  5x  8  x2  4x  7  x2  x  2  x2  3  4  0  x  1 x2  4x  7  2 x2  3  2   4) Ta coù: (*)  x3  2x 1  5  x2  21  5  x3  2x  4  x2  4 x2  21  5      (x  2)(x2  2x  2)  (x  2)(x  2)  (x  2)x2  2x  2  x  2   0 x2  21  5  x2  21  5  (x  2) x2  2x  2 x2  21  5  x  2  0    2 2 2  (x  2)x 2x2x21  5x9x 8  0  x = 2 Vaäy nghieäm laø x = 2  0  0 0 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG