Khiđó M, ρ cũng là không gian metric và được gọi là một không gian con củakhông gian metric X, ρ.1.1.2 Sự hội tụĐịnh nghĩa 1.4.. Trong không gian R các số thực với metric thông thườngρx,
Tôpô trên R n
Không gian metric
Định nghĩa 1.1 Cho tập X khác rỗng Hàm ρ : X × X → R được gọi là một metric (hay khoảng cách) trên X nếu các tính chất sau được thoả mãn: i, ρ(x, y) ≥0∀x, y ∈ X ; ρ(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x= y; ii, ρ(x, y) = ρ(y, x)∀x, y ∈ X; iii, ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) +ρ(y, z)∀x, y, z ∈ X. Định nghĩa 1.2 Cặp (X, ρ) xác định như trên được gọi là một không gian metric.
Ví dụ 1.1 Hàm ρ : R×R → R cho bởi ρ(x, y) = |x−y| với x, y ∈ R là một metric trên R.
Ví dụ 1.2 Hàm ρ : R 2 ×R 2 → R cho bởi ρ(x, y) =p
(x 1 −y 1 ) 2 + (x 2 −y 2 ) 2 với x = (x 1 , x 2 );y = (y 1 , y 2 ) ∈ R 2 là một metric trên R 2
Kiểm tra điều kiện iii, với x = (x 1 , x 2 );y = (y 1 , y 2 );z = (z 1 , z 2 ) ∈ R 2 : ρ 2 (x, z) = (x 1 −z 1 ) 2 + (x 2 −z 2 ) 2
Sử dụng bất đẳng thức
(a 2 +c 2 )(b 2 +d 2 ) Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric (X, ρ), M là tập con của X Khi đó (M, ρ) cũng là không gian metric và được gọi là một không gian con của không gian metric (X, ρ).
Sự hội tụ
Định nghĩa 1.4 Giả sử {x n } là dãy trong không gian metric (X, ρ) Ta nói điểm x ∈ X là giới hạn của {x n } nếu n→∞lim ρ(x n , x) = 0 hay ∀ϵ > 0∃n ϵ sao cho ρ(x n , x) < ϵ∀n≥ n ϵ
Khi đó ta nói {x n } hội tụ đến x và kí hiệu lim n→∞ x n = x. Định lý 1.1 Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Chứng minh Giả sử {x n } hội tụ đến x và y khi n→ ∞ Khi đó ∀ϵ∃n 1 , n 2 sao cho ρ(xn, x) < ϵ nếu n ≥ n1, ρ(xn, y) < ϵ nếu n ≥ n2 Vậy với mọi n≥ max{n 1 , n 2 } ta có ρ(x, y) ≤ρ(x n , x) +ρ(x n , y) < 2ϵ
Do ϵ nhỏ tuỳ ý nên x = y (thật vậy, có thể chọn ϵ= ρ(x, y)/2).
Ví dụ 1.3 Trong không gian R các số thực với metric thông thường ρ(x, y) = |x − y|, sự hội tụ của dãy {x n } n theo metric này chính là sự hội tụ của dãy số thực đã được học.
Ví dụ 1.4 Trong không gian R 2 với metric thông thường ρ(x, y) =p
(x 1 −y 1 ) 2 + (x 2 −y 2 ) 2 , dãy {x n } n = {(x n 1 , x n 2 )} n hội tụ đến điểm x = (x 1 , x 2 ) tức là n→∞lim ρ(x n , x) = lim n→∞ q (x n 1 −x1) 2 + (x n 2 −x2) 2 = 0 Điều này tương đương với lim n→∞ x n 1 = x 1 và lim n→∞ x n 2 = x 2
Nhận xét 1.1 Sự hội tụ trong R 2 với metric thông thường là sự hội tụ theo toạ độ Tổng quát, xét không gian R n với metric: ρ(x, y) v u u t n
(x i −y i ) 2 (ta gọi là metric Euclid hay metric thông thường), trong đó x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈ R n Sự hội tụ đối với metric này cũng là sự hội tụ theo toạ độ.
Ta thấy rằng trên một tập khác rỗng có thể trang bị nhiều metric khác nhau Sau này khi xét không gian R n nếu không nói gì thêm ta hiểu là xét với metric Euclid hay metric thông thường.
Tập mở và tập đóng
Định nghĩa 1.5 Ta gọi hình cầu "mở" tâm a bán kính r trong không gian (X, ρ) là tập hợp
Ta gọi hình cầu "đóng" tâm a bán kính r trong không gian (X, ρ) là tập hợp
Ví dụ 1.5 TrongR hình cầu mở tâm a bán kínhr là B(a, r) = (a−r, a+r) (khoảng), hình cầu đóng tâm a bán kính r là B(a, r) = [a−r, a+r] (đoạn).
Ví dụ 1.6 Mô tả hình cầu đóng, mở tâm a bán kính r trong R 2 , R 3 Định nghĩa 1.6 Tập con V ⊂ X được gọi là một lân cận của x 0 nếu tồn tại r > 0 sao cho B(x 0 , r) ⊂ V.
Từ định nghĩa trên suy ra hình cầu B(x 0 , r) cũng là lân cận của x 0 Sau đây ta xét các vị trí tương đối của một điểm và một tập hợp. Định nghĩa 1.7 A là tập con của không gian metric X và x 0 là một điểm trong X. a, Nếu tồn tại r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ A thì x0 được gọi là điểm trong của A Tập tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A và kí hiệu là IntA. b, Nếu B(x0, r)∩A ̸= ∅∀r > 0 thì x0 được gọi là điểm dính của A Tập tất cả các điểm dính của A gọi là bao đóng của A và kí hiệu là A. c, Nếu B(x 0 , r)∩ A \ {x 0 } ̸= ∅∀r > 0 thì x 0 được gọi là điểm tụ của A.
Tập tất cả các điểm tụ của A kí hiệu là A ′ d, Nếu tồn tại r > 0 để B(x 0 , r)∩A = {x 0 } thì x 0 được gọi là điểm cô lập của A. e, Nếu B(x 0 , r)∩A ̸= ∅ và B(x 0 , r)∩ (X \A) ̸= ∅ ∀r > 0 thì x 0 được gọi là điểm biên của A Tập tất cả các điểm biên của A kí hiệu là ∂A.
Ví dụ 1.7 Xét hình cầu đóng đơn vị B(0,1) (tâm 0 bán kính 1) trong R. Tập các điểm trong của hình cầu đóng đơn vị là hình cầu mở B(0,1) {x ∈ R: |x| < 1}.
Tập các điểm dính của hình cầu đóng đơn vị là B(0,1) = {x ∈ R : |x| ≤ 1}. Tập các điểm tụ của hình cầu đóng đơn vị là B(0,1) = {x ∈ R :|x| ≤ 1}. Tập các điểm biên của hình cầu đóng đơn vị là ∂B(0,1) = {−1,1}. Định nghĩa 1.8 Cho X là không gian metric, A ⊂ X Ta nói A là tập mở nếu với mọi điểm x0 ∈ A tồn tại r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ A (hay nói cách khác IntA = A).
Ta nói A là tập đóng nếu X \A là tập mở.
Mệnh đề 1.1 Hình cầu mở là tập mở Hình cầu đóng là tập đóng.
Chứng minh A = B(a, r) là hình cầu mở tâm a bán kính r trong X Lấy x 0 ∈ A và chọn ϵ = r −ρ(a, x 0 ) > 0 Ta sẽ chứng minh rằng B(x 0 , ϵ) ⊂A. Chọn ϵ = r − ρ(a, x 0 ) > 0 Ta sẽ chứng tỏ rằng B(x 0 , ϵ) ⊂ A Lấy x ∈ B(x0, ϵ) ta có: ρ(a, x) ≤ ρ(a, x0) +ρ(x0, x)
Mệnh đề 1.2 a, Giao của hai tập mở là tập mở Giao của một họ hữu hạn các tập mở cũng là tập mở. b, Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở.
Chứng minh a, Giả sử D 1 , D 2 là các tập mở Lấy phần tử tuỳ ý x ∈ D :D1∩D2 Do x ∈ D1 và D1 mở nên tồn tại r1 sao choB(x, r1) ⊂ D1 Tương tự D 2 mở nên tồn tại r 2 sao cho B(x, r 2 ) ⊂ D 2 Chọn r = min{r 1 , r 2 } thì B(x, r) ⊂D 1 ∩D 2 Vậy x là điểm trong của D hay D mở.
Cho họ các tập mởGi, i = 1, , n Ta sẽ chứng minhG = ∩ n i=1 Gi là tập mở. Lấy x ∈ G tuỳ ý, khi đó x ∈ G i ∀i = 1, , n Do G i là mở nên tồn tại r i > 0 sao cho B(x, r i ) ⊂ G i Chọn r 0 = min{r 1 , , r n } suy ra B(x, r 0 ) ⊂ ∩ n i=1 G i Vậy x là điểm trong của G và do đó G mở. b, Cho họ các tập mở G i , i ∈ I (I là tập chỉ số tuỳ ý) Ta sẽ chứng minh
G = ∪ i∈I G i là tập mở Lấy x ∈ G tuỳ ý, khi đó x ∈ G i 0 , i 0 ∈ I Do G i 0 là mở nên tồn tại r >0 sao cho B(x, r) ⊂ Gi 0 Suy ra B(x, r) ⊂ ∪ i∈I Gi Vậy x là điểm trong của G và do đó G mở.
Mệnh đề 1.3 Hợp của một họ hữu hạn các tập đóng là tập đóng Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là tập đóng.
Chứng minh Cho họ các tập đóng G i , i = 1, , n Ta sẽ chứng minh G ∪ n i=1 G i là tập đóng Thật vậy
X \G = X \ ∪ n i=1 Gi = ∩ n i=1 (X \Gi) là mở vì X \G i là mở với mọi i = 1, , n và giao hữu hạn tập mở là tập mở.
Cho họ các tập đóng F i , i ∈ I (I là tập chỉ số tuỳ ý) Ta sẽ chứng minh
F = ∩ i∈I F i là tập đóng Thật vậy
X \F = X \ ∩ i∈I Fi = ∪ i∈I (X \Fi) là mở vì X \ F i là mở với mọi i = 1, , n và hợp tuỳ ý tập mở là tập mở.
Mệnh đề 1.4 Phần trong của A là tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong A.
Chứng minh Từ định nghĩa ta suy ra tập A mở khi và chỉ khi A = IntA.
Ta sẽ chỉ ra phần trong của A là tập mở lớn nhất chứa trong A.
Thật vậy, nếu U là một tập mở chứa trong A thì U ⊂ A= IntA Vậy IntA là tập mở lớn nhất chứa trong A.
Mệnh đề 1.5 Bao đóng của A là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa
A Tập A đóng khi và chỉ khi A = A.
Chứng minh Để chứng minh A là tập đóng ta sẽ chỉ ra X \A là mở Thật vậy, lấy x ∈ X\A, khi đó x /∈ A nên tồn tại r > 0 sao cho B(x, r)∩A = ∅. Chọn y ∈ B(x, r), do B(x, r) mở nên tồn tại r ′ > 0 để B(y, r ′ ) ⊂ B(x, r) suy ra B(y, r ′ )∩ A= ∅ hay y /∈ A Do đó B(x, r) ⊂ X \A Vậy x là điểm trong của X \A nên X \A là mở Vậy A đóng.
Giả sử B đóng và B ⊃A Ta cần chứng minh B ⊃ A hay X \A ⊃X \B. Lấy x ∈ X \B, do X \B là mở nên tồn tại r > 0 để B(x, r) ⊂ X \B Khi đó B(x, r)∩B = ∅ suy ra B(x, r)∩A= ∅ hay x /∈ A hay x ∈ X \A.Mệnh đề 1.6 Một tập con F của không gian metric X là đóng khi và chỉ khi với mọi dãy {x n } ⊂ F, nếu x n → x thì x ∈ F.
Bài tập 1.1 Chứng minh rằng nếu V là lân cận của x 0 thì mọi tập U ⊃ V đều là lân cận của x 0 Ngoài ra, nếu U, V là lân cận của x 0 thì U ∩ V là lân cận của x 0
U là lân cận của x0 nên tồn tại hình cầu B(x0, r1) ⊂ U V là lân cận của x 0 nên tồn tại hình cầu B(x 0 , r 2 ) ⊂ V Không mất tính tổng quát, giả sử r 1 ≤ r 2 , khi đó B(x 0 , r 1 ) ⊂ B(x 0 , r 2 ) ⊂ V Vậy B(x 0 , r 1 ) ⊂ U ∩ V hay
Bài tập 1.2 Trong không gian metric X chứng minh rằng hai điểm bất kì đều tách được bởi hai lân cận rời nhau, tức là với mọi cặp điểm x, y ∈
X, x ̸= y, tồn tại các lân cận U, V của x, y tương ứng sao cho U ∩V = ∅. Chọn r1 = r2 = ρ(x, y)/3 Khi đó xét 2 hình cầu mở B(x, r1) và B(y, r2).
Ta thấy B(x, r 1 )∩B(y, r 2 ) = ∅ vì giả sử tồn tại a ∈ B(x, r 1 )∩B(y, r 2 ) thì ρ(x, y) ≤ ρ(a, x) +ρ(a, y) < 2ρ(x, y)/3, mâu thuẫn.
Bài tập 1.3 ChoA ⊂ R n Chứng minh rằng ∂A = A\IntA và A = A∪∂A.
Bài tập 1.4 Chứng minh rằng trong R n bao đóng của hình cầu mở là hình cầu đóng.
Bài tập 1.5 Xét hình cầu mở đơn vị B(O,1) (tâm (0,0) bán kính 1) trong
R 2 Tìm tập các điểm trong, điểm dính, điểm biên, điểm tụ.
Tập các điểm trong của hình cầu mở đơn vị là hình cầu mở B(0,1) {(x, y) ∈ R 2 : p x 2 +y 2 < 1}.
Tập các điểm dính của hình cầu mở đơn vị là B(0,1) = B(0,1) = {(x, y) ∈
Tập các điểm tụ của hình cầu mở đơn vị là B ′ = B(0,1) = {(x, y) ∈ R 2 : px 2 +y 2 ≤ 1}.
Tập các điểm biên của hình cầu mở đơn vị là ∂B(0,1) = {(x, y) ∈ R 2 : px 2 +y 2 = 1}.
Bài tập 1.6 Tìm tập hợp A trong R sao cho tập điểm dính của A khác với tập điểm tụ của A.
Chuẩn trên không gian vectơ
Định nghĩa 1.9 Cho E là một không gian vectơ trên trường vô hướng K (K là R hoặc C) Một chuẩn trờn E là một hàm số ∥ ã ∥ : E → R sao cho với mọi x, y ∈ E và α ∈ K đều thoả mãn các tiên đề sau: i, ∥x∥ ≥ 0; ∥x∥ = 0 nếu và chỉ nếu x = 0; ii, ∥αx∥= |α|∥x∥; iii, ∥x+ y∥ ≤ ∥x∥+ ∥y∥. Định nghĩa 1.10 Một không gian vectơ E được trang bị một chuẩn trên đó được gọi là một không gian định chuẩn.
Ví dụ 1.8 Hàm độ lớn của vectơ trong R-kgvt R 3 thoả mãn các tiên đề chuẩn Thật vậy, với v = (v1, v2, v3) ∈ R 3 ta có:
Kiểm tra tiên đề ii,
Kiểm tra tiên đề iii,
Ta gọi chuẩn này là chuẩn Euclid.
Metric sinh bởi chuẩn
Định nghĩa 1.11 Cho E là một khụng gian vector với chuẩn ∥ ã ∥ Khi đó (E, ρ) là một không gian metric với ρ : E ×E →R (x, y) 7→ ∥x−y∥ là metric sinh bởi chuẩn.
Vậy mỗi không gian định chuẩn đều là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn.
Trong không gian định chuẩn E sự hội tụ của dãy phần tử {x n } n ⊂ E đến phần tử x ∈ E có nghĩa là ρ(x n , x) = ∥x n −x∥ → 0 khi n→ ∞ Khi đó ta nói dãy {x n } n hội tụ theo chuẩn đến x.
Một số tính chất của chuẩn sẽ được phát biểu trong định lý sau: Định lý 1.2 Cho E là không gian vector trên trường K với chuẩn ∥.∥. Cho {x n } và {y n } là các dãy trong E lần lượt hội tụ tới x và y thuộc E và {α n } là các dãy trong K hội tụ tới α thuộc K Khi đó: a, |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x−y∥; b, lim n→∞ ∥x n ∥ = ∥x∥; c, lim n→∞ (xn +yn) =x+y; d, lim n→∞ α n x n = αx.
Từ định lý này ta thấy chuẩn là một hàm liên tục.
Ví dụ 1.9 Không gian vectơ thực n-chiều R n là một không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi
X i=1 x 2 i , trong đó x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn Euclid trong R n Metric sinh ra bởi chuẩn này trùng với metric Euclid trong R n : ρ(x, y) v u u t n
Sau đây, nếu không có gì đặc biệt, khi nói đến chuẩn trong R n ta hiểu đó là chuẩn Euclid Khái niệm tập bị chặn trong không gian định chuẩn được hiểu như sau: Định nghĩa 1.12 Một tập A trong không gian định chuẩn E được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho ∥x∥ ≤ M với mọi x ∈ A. Định nghĩa 1.13 Dãy phần tử {x n } n ⊂ E được gọi là dãy bị chặn nếu các phần tử của dãy lập thành một tập hợp bị chặn trong E. Định lý 1.3 (Bolzano-Weierstrass) Trong không gian R n mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ.
Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp n = 2 Trường hợp tổng quát ta làm tương tự.
Giả sử {x k } k = {(x k 1 , x k 2 )} k là dãy bị chặn trong R 2 , tức là tồn tại M > 0 sao cho
Suy ra |x k 1 | ≤ ∥x k ∥ < M∀k ≥ 1 Vậy dãy số thực {x k 1 } k bị chặn Theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass trong R, dãy {x k 1 }k có chứa dãy con {x k 1 l }l hội tụ đến giới hạn a 1 ∈ R Tương tự, dãy {x k 2 l } l chứa dãy con {x k 2 lm } m hội tụ đến giới hạn a 2 ∈ R Vậy dãy {x k lm } m = n x k 1 lm , x k 2 lm o m là dãy con của {x k } k hội tụ đến (a 1 , a 2 ) ∈ R 2
Chuẩn tương đương
Có thể tồn tại nhiều chuẩn trên cùng một không gian Ví dụ trên R 2 ta có
(x1) 2 + (x2) 2 b, ∥(x 1 , x 2 )∥ 1 = |x 1 |+ |x 2 |. Định nghĩa 1.14 Cho E là không gian vector và ∥.∥ 1 và ∥.∥ 2 là 2 chuẩn trên E Ta nói chuẩn ∥.∥ 2 tương đương với chuẩn ∥.∥ 1 nếu tồn tại M, m >0 sao cho với mọi x ∈ E m∥x∥ 1 ≤ ∥x∥ 2 ≤M∥x∥ 1
Bổ đề 1.1 Cho ∥.∥ 1 ,∥.∥ 2 ,∥.∥ 3 là 3 chuẩn trên không gian vector E Giả sử ∥.∥ 2 tương đương với ∥.∥ 1 và ∥.∥ 3 tương đương với ∥.∥ 2 Khi đó a, ∥.∥ 1 tương đương với ∥.∥ 2 b, ∥.∥ 3 tương đương với ∥.∥ 1 Định lý 1.4 Hai chuẩn bất kì trên R n tương đương với nhau.
Bài tập 1.7 Trên không gian R 2 ta trang bị các chuẩn sau:
∥x∥ ∞ = max{|x 1 |,|x 2 |}. a, Kiểm tra lại các tiên đề chuẩn đối với 3 chuẩn này. b, Dùng định nghĩa chứng minh rằng 3 chuẩn này đôi một tương đương với nhau.
2∥x∥ 1 ≤ ∥x∥ 2 ≤ ∥x∥ 1 Bài tập 1.8 Cho ∥.∥ 1 ,∥.∥ 2 là 2 chuẩn tương đương trên không gian vector
E Dãy {x n } là một dãy trong X Chứng minh rằng {x n } hội tụ đến x trong không gian (E,∥.∥ 1 ) nếu và chỉ nếu {x n } hội tụ đến x trong không gian (E,∥.∥ 2 ).
Nguyên lý Cauchy
Định nghĩa 1.15 Một dãy điểm {x k } k trong không gian R n được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi ϵ > 0 cho trước tồn tại k 0 sao cho với mọi k, l ≥k 0 ta có ∥x k −x l ∥ < ϵ. Định lý 1.5 Dãy {x k } k ⊂R n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản.
Chứng minh a, Điều kiện cần: Giả sử dãy {x k } k ⊂ R n hội tụ đến a ∈ R n Theo định nghĩa với mọi ϵ > 0 cho trước tồn tại k 0 sao cho ∥x k −a∥ < ϵ 2 với mọi k > k0 Khi đó với mọi k, l > k0 ta có
Vậy {x k } k là dãy cơ bản. b, Điều kiện đủ: Ngược lại giả sử {x k } k = {(x 1,k , x 2,k , , x n,k )} k là dãy cơ bản trongR n Khi đó với mọi ϵ > 0tồn tại k 0 sao cho ∥x k −x l ∥< ϵ với mọi k, l > k 0 Từ các bất đẳng thức |x i,k −x i,l | ≤ pPn i=1(x i,k −x i,l ) 2 < ϵ với mọi k, l > k0, i = 1,2, , n, ta suy ra với mỗi i cố định, dãy số thực {x i,k } k là dãy cơ bản Theo nguyên lý Cauchy trongRtồn tại lim k→∞ x i,k = a i , i1,2, , n Đặt a = (a 1 , , a n ) Vì sự hội tụ trong R n là sự hội tụ theo toạ độ nên dãy {x k } k hội tụ đến a trong không gian R n
Tập compact
Định nghĩa 1.16 Một tập A ⊂ R n được gọi là tập compact nếu mọi dãy điểm {x k } k ⊂A đều có dãy con {x k l } l hội tụ đến một giới hạn thuộc A. Định lý 1.6 Tập A ⊂ R n là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn.
Chứng minh a, Điều kiện cần: Giả sử A là tập compact và {x k } k là một dãy phần tử củaA sao cho x k →a Ta sẽ chứng minh a ∈ A Vì A compact nên theo định nghĩa dãy {x k } k có chứa dãy con {x k l } l hội tụ đến giới hạn thuộc A Ta có: a = lim k→∞xk = lim l→∞xk l ∈ A.
Giả sử phản chứng A không bị chặn Khi đó với mỗi p∈ N ∗ tồn tại x p ∈ A sao cho ∥x p ∥> p Vì A là tập compact nên dãy {x p } ⊂ A sẽ chứa dãy con x p q sao cho x p q → b ∈ A khi q → ∞ Do tính liên tục của chuẩn ta có
∥x p q ∥ → ∥b∥, mâu thuẫn với ∥x p q ∥ > p q với mọi q ∈ N ∗ Vậy A bị chặn. b, Điều kiện đủ: Giả sử A ⊂ R n là tập đóng và bị chặn, {x k } k là dãy phần tử bất kì của A Khi đó {x k } k là dãy bị chặn Theo định lý Bolzano-Weierstrass dãy{x k } k có chứa dãy con{x k l } l sao cho{x k l } l → akhil → ∞.
Vì A là tập đóng nên a ∈ A Vậy A là tập compact.
Nguyên lý Cantor
Định nghĩa 1.17 Cho tập hợp bị chặn A ⊂ R n Ta gọi số d(A) sup x,y∈A ∥x−y∥ là đường kính của A.
Dãy các tập hợp bị chặn {A k } k ⊂R n được gọi là lồng nhau và thắt lại nếu
A 1 ⊃ A 2 ⊃ ⊃ A k ⊃ và d(A k ) →0 khi k → ∞. Định lý 1.7 (Cantor) Trong không gian R n mọi dãy các tập hợp compact không rỗng lồng nhau và thắt lại đều có điểm chung duy nhất.
Chứng minh Giả sử {A k } k ⊂ R n là dãy các tập compact không rỗng sao cho
Với mỗi k ∈ N ∗ ta lấy một phần tử a k ∈ A k , phần tử này tồn tại vì
Ak ̸= ∅ Dãy {a k } k bị chặn vì {a k } k ⊂ A1 và A1 là tập bị chặn Vì vậy tồn tại dãy con {a k l } l của {a k } k sao cho a k l → a khi l → ∞ Ta sẽ chứng minh a ∈ ∩ ∞ k=1 A k Thật vậy, với mỗi s ∈ N ∗ cố định ta có k s ≥ s, vì thế với mọi p ∈ N ∗ ta có ks+p ≥ s + p > s, do đó ak s+p ∈ Ak s+p ⊂ As.
Từ đó a = lim l→∞ a k l = lim p→∞ a k s+p ∈ A s (vì A s là tập đóng) Điều này đúng với mọi s ∈ N ∗ Vậy a ∈ ∩ ∞ s=1 A s Ta còn phải chứng minh a chung này là duy nhất Thật vậy, giả sử tồn tại a ′ ∈ ∩ ∞ s=1 A s Khi đó ta có
0 ≤ ∥a −a ′ ∥ ≤ d(A s ) → 0 khi s → ∞ Từ đó suy ra ∥a− a ′ ∥ = 0 hay a = a ′
Hàm liên tục trên R n
Hàm vectơ n biến
Định nghĩa 1.18 Cho A ⊂R n Ánh xạ f : A →R p được gọi là hàm vectơ n biến với miền xác định là A và với giá trị trong R p
Ví dụ 1.10 Nếu p = 1 tức là f : A→ R thì ta có hàm số n biến.
Cho f : A ⊂ R n → R p Khi đó với mỗi x ∈ A, f(x) là một phần tử của R p Kí hiệu f 1 (x), , f p (x) là các toạ độ của f(x) ∈ R p , tức là f(x) = (f 1 (x), , f p (x)) Như vậy mỗi hàm vectơ f xác định p hàm thành phần f i : A → R, i = 1, , p.
Ngược lại, nếu cho p hàm g i : A → R, i = 1, , p thì ta có thể xác định hàm g : A → R p bằng cách đặt g(x) = (g 1 (x), , g p (x)), x ∈ A Kí hiệu g = (g1, , gp). Định nghĩa 1.19 Hàm f : A ⊂R n →R p gọi là bị chặn trên A nếu f(A) là tập bị chặn trong R p , tức là nếu tồn tại M > 0 sao cho ∥f(x)∥ ≤ M với mọi x∈ A.
Nhận xét 1.2 Từ định nghĩa ta suy ra f = (f 1 , , f p ) là bị chặn nếu và chỉ nếu các hàm fi, i = 1, , p là bị chặn.
Giới hạn của hàm vectơ
Định nghĩa 1.20 Cho hàm vectơ f : A ⊂ R n →R p và điểm a là điểm tụ của tập A Ta nói rằng hàm f tiến đến giới hạn b ∈ R p khi x tiến đến a nếu với mọi ϵ > 0 cho trước tồn tại δ >0 sao cho với mọi x ∈ A thoả mãn
Khi đó ta viết lim x→a f(x) = b. Định lý 1.8 Giả sử A⊂ R n , a là điểm tụ của A và f : A →R p Khi đó: a, lim x→a f(x) = b khi và chỉ khi với mọi dãy {x k } k ⊂ A\ {a}, x k →a khi k → ∞ ta có lim k→∞ f(x k ) =b. b, Nếu tồn tại giới hạn limx→af(x) thì giới hạn đó là duy nhất. c, Hàm f : A ⊂ R n → R p có giới hạn tại a khi và chỉ khi với mọi ϵ > 0 cho trước tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, x ′ ∈ A thoả mãn 0< ∥x−a∥< δ,0< ∥x ′ −a∥ < δ ta có ∥f(x)−f(x ′ )∥< ϵ. Định lý 1.9 Giả sử A ⊂ R n , a là điểm tụ của A và f, g : A → R p Giả sử tồn tại giới hạn lim x→a f(x) và lim x→a g(x) Khi đó: x→alim(αf(x) + βg(x)) =α lim x→af(x) +β lim x→ag(x)∀α, β ∈ R. Trong trường hợp p= 1 thì lim x→a f(x).g(x) = lim x→a f(x).lim x→a g(x) và nếu lim x→a g(x) ̸= 0 ta có lim x→a f g(x) (x) = lim lim x→a f (x) x→a g(x).
Ta sẽ xét mối liên hệ giữa giới hạn của hàm vectơ với giới hạn của các hàm thành phần: Định lý 1.10 Cho f : A ⊂ R n → R p , f = (f 1 , , f p ) và b = (b 1 , , b p ).Khi đó lim x→a f(x) = b khi và chỉ khi lim x→a f i (x) = b i , i = 1, , p.
Chứng minh Theo định lý trên lim x→a f(x) = b khi và chỉ khi với mọi dãy {x k } k ⊂ A \ {a}, x k → a khi k → ∞ ta có lim k→∞ f(x k ) = b Vì sự hội tụ trong R p là sự hội tụ theo toạ độ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi lim k→∞ f i (x k ) = b i , i = 1, , p Điều này tương đương với lim x→a f i (x) b i , i = 1, , p Ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.11 Xét f : A ⊂ R 2 → R, f(x, y) = x y (x > 0, y ∈ R) Giả sử a > 0, b ∈ R Tìm lim(x,y)→(a,b)f((x, y)).
Với mọi dãy {x k } → a,{y k } → b khi k → ∞ thì {(x k , y k )} → (a, b). f(x k , y k ) = x k y k = e ln x k yk = e y k ln x k →e b ln a = a b Vậy lim(x,y)→(a,b)f((x, y)) = a b (theo định lý trên).
Ví dụ 1.12 Tìm lim(x,y)→(0,0) xy x 2 +y 2 Xét {( k 1 , k 1 )} → (0,0) và {( 2 k , k 1 )} → (0,0) khi k → ∞. f( k 1 , 1 k ) 1 k 2
Vậy lim k→∞ f( k 1 , k 1 ) = 1 2 ̸= 2 5 = lim k→∞ f( 2 k , 1 k ), suy ra không tồn tại lim(x,y)→(0,0) xy x 2 +y 2
Ví dụ 1.13 Tìm lim(x,y)→(0,0) x 2 y x 2 +y 2 Nếu x = 0(y ̸= 0) hoặc y = 0(x ̸= 0) thì | x 2 x +y 2 y 2 | ≤ 1 2 |x| Nếu x ̸= 0, y ̸= 0 thì ta cũng có
Ta có |x| ≤ p x 2 +y 2 Khi đó với mọi ϵ > 0 tồn tại δ = 2ϵ sao cho mọi (x, y) ∈ R 2 thoả mãn 0 < ∥(x, y)∥ = p x 2 + y 2 < δ ta có |f(x, y)| ≤ 1 2 |x|< ϵ Vậy lim(x,y)→(0,0) x 2 y x 2 +y 2 = 0.
2ϵ sao cho với mọi (x, y) ∈ R 2 , 0 < ∥(x, y)∥ = p x 2 +y 2 < δ thì |f(x, y)| ≤ |x|+|y| < ϵ.
Hàm liên tục
Định nghĩa 1.21 Cho tập A ⊂ R n Hàm vector f : A → R p được gọi là liên tục tại a ∈ A nếu với mọi ϵ > 0 cho trước tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x∈ A,∥x−a∥ < δ ta có ∥f(x)−f(a)∥ ≤ ϵ.
Ta có thể phát biểu theo ngôn ngữ lân cận như sau: Định nghĩa 1.22 Hàm f : A ⊂ R n → R p gọi là liên tục tại a nếu với mọi lân cận V của f(a) tồn tại lân cận U của a sao cho f(U ∩A) ⊂ V.
Nhận xét 1.3 Nếu a ∈ A ′ thì f liên tục tại a khi và chỉ khi limx→af(x) f(a) Ngoài ra ta cũng có f : A → R p liên tục tại a khi và chỉ khi với mọi dãy {x k } ⊂ A, x k → a ta đều có f(x k ) →f(a) khi k → ∞. Định nghĩa 1.23 Hàm f : A ⊂ R n → R p gọi là liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi điểm a ∈ A. Định nghĩa 1.24 Hàm f : A ⊂ R n → R p gọi là liên tục đều trên A nếu với mọi ϵ > 0 tồn tại δ (chỉ phụ thuộc vào ϵ) sao cho với mọi x, x ′ ∈ A thoả mãn ∥x−x ′ ∥ < δ ta đều có ∥f(x)−f(x ′ )∥< ϵ.
Sau đây là một số tính chất của hàm vector liên tục:
1, Cho các tập A ⊂ R n , B ⊂ R m Nếu hàm f : A → B liên tục tại a và g : B → R p liên tục tại b = f(a) thì hàm hợp g◦f :A → R p liên tục tại a.
2, Giả sử f, g : A ⊂ R n → R p là những hàm liên tục tại a ∈ A Khi đó αf +βg cũng liên tục tại a (α, β ∈ R).
3, Hàm f = (f1, , fp) : A ⊂ R n → R p liên tục tại a khi các hàm thành phần f 1 , , f p liên tục tại a.
Các tính chất của hàm liên tục trên tập compact và trên tập liên thông
tập liên thông Định lý 1.11 Cho hàm f : A ⊂ R n → R p liên tục trên A Nếu A là tập compact trong R n thì f(A) là tập compact trong R p
Chứng minh Giả sử {y k } là dãy phần tử bất kì trong f(A) Với mỗi k ∈ N tồn tại x k ∈ A sao cho f(x k ) = y k Do A compact nên dãy {x k } ⊂ A có dãy con {x k l } sao cho x k l → a ∈ A khi l → ∞ Do f liên tục tại a nên f(xk l ) → f(a) ∈ f(A) khi l → ∞ Vậy dãy {y k } ⊂ f(A) có chứa dãy con {y k l } = {f(x k l )} hội tụ về f(a) ∈ f(A) khi l → ∞ nên f(A) là tập compact.
Hệ quả 1.1 Nếu f : A ⊂ R n → R p là hàm liên tục trên A và A là tập compact trong R n thì f(A) là tập bị chặn trong R p Định lý 1.12 Nếu hàm f : A ⊂ R n → R liên tục trên A và A là tập compact trong R n thì hàm f đạt được cận trên đúng và cận dưới đúng trênA.
Chứng minh Dof(A)bị chặn (theo hệ quả trên) nên tồn tạiM = sup x∈A f(x) và m = inf x∈A f(x) Theo định nghĩa của cận trên đúng tồn tại {x k } ⊂ A sao cho lim k→∞ f(xk) = M Do A compact nên dãy {x k } sẽ chứa dãy con {x k l } → a ∈ A Lại có f liên tục tại a nên lim l→∞ f(x k l ) = f(a) ∈ f(A). Vậy M = f(a) ∈ f(A) Trường hợp cận dưới đúng chứng minh tương tự. Định lý 1.13 Nếu hàm f : A ⊂ R n → R p liên tục trên A và A là tập compact trong R n thì hàm f liên tục đều trên A.
Chứng minh Giả sử phản chứng rằng f liên tục trên A nhưng không liên tục đều trên đó Khi đó tồn tại ϵ > 0 sao cho với mọi δ k = 1 k (k ∈ N ∗ ) tồn tại x k , x ′ k ∈ A thoả mãn ∥x k −x ′ k ∥ < 1 k nhưng ∥f(x k )−f(x ′ k )∥ ≥ ϵ Vì A compact, dãy {x k } có dãy con {x k l } hội tụ về a ∈ A khi l → ∞ Lại có
Từ đó suy ra x ′ k l →a khi l → ∞ Do f liên tục tại a nên
Vậy f liên tục đều trên A. Định nghĩa 1.25 Tập hợp A⊂ R n gọi là liên thông đường nếu hai điểm bất kì a, b ∈ A đều nối được với nhau bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong A, tức là tồn tại một hàm liên tục φ : [α, β] ⊂ R→ A sao cho φ(α) =a, φ(β) =b. Định lý 1.14 Giả sử hàm f : A ⊂ R n → R liên tục trên A và A là tập liên thông đường Cho a và b là hai điểm của A sao cho f(a) ̸= f(b) Khi đó với bất kì λ nằm giữa f(a) và f(b) tồn tại c ∈ A sao cho f(c) = λ.
Chứng minh Do A là tập liên thông đường, tồn tại một hàm liên tục φ : [α, β] ⊂ R → A sao cho φ(α) = a, φ(β) = b Khi đó hàm hợp g f ◦φ : [α, β] → R là hàm số liên tục trên đoạn [α, β] Giả sử λ là số nằm giữa g(α) = f(a) và g(β) = f(b) Theo định lý giá trị trung gian tồn tại ξ ∈ [α, β] sao cho g(ξ) = λ hay f(φ(ξ)) = λ Đặt c = φ(ξ) ∈ A ta có f(c) =λ.
Hàm liên tục theo từng biến
Định nghĩa 1.26 Hàm f : A ⊂ R n → R p được gọi là liên tục theo biến xi tại điểm a = (a1, , an) nếu với mọi ϵ >0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x i ∈ A i := {x i ∈ R|(a 1 , , a i−1 , x i , a i+1 , , a n ) ∈ A} thoả mãn |x i −a i | < δ ta đều có ∥f(a 1 , , a i−1 , x i , a i+1 , , a n )−f(a 1 , , a n )∥ < ϵ.
Nhận xét 1.4 Nếu f liên tục tại a = (a1, , an) thì f liên tục theo từng biến tại a Tuy nhiên ta không có khẳng định ngược lại Thật vậy, xét hàm f(x, y)
Tại (0,0) hàm f liên tục theo từng biến x và y, tuy nhiên f không liên tục theo cả 2 biến tại (0,0).
Giới hạn lặp
Ta vừa xét một loại giới hạn gọi là giới hạn bội, tức là khix = (x 1 , , x n ) → a = (a 1 , , a n ) hay đồng thời các biến x i → a i , i = 1, , n Tuy nhiên còn một loại giới hạn nữa, gọi là giới hạn lặp, là khi các xi lần lượt tiến đến ai theo thứ tự nào đó. Để minh hoạ ta xét trường hợp hàm f : A ⊂ R 2 → R Giả sử (a, b) ∈ R 2 là điểm tụ của A Ta kí hiệu với mỗi y cố định Ay = {y ∈ R|(x, y) ∈ A}.
Như vậy với mỗi y cố định f(x, y) là hàm xác định trên A y Lấy a là điểm tụ của A y Xét x→alimf(x, y) = φ(y).
Gọi B := {y ∈ R|lim x→a f(x, y) = φ(y) tồn tại} Lấy b là điểm tụ của B.
Khi đó giới hạn lim y→b φ(y) nếu tồn tại được gọi là giới hạn lặp và kí hiệu là: limy→blim x→af(x, y).
Tương tự ta định nghĩa được giới hạn lặp x→alimlim y→bf(x, y).
Nhận xét 1.5 Không kết luận được lim x→a lim y→b f(x, y) = lim y→b lim x→a f(x, y)
Ví dụ 1.15 Xét hàm số f : (0,+∞)×(0,+∞) → R, f(x, y) = x−y+x x+y 2 +y 2
Khi đó limx→0lim y→0f(x, y) = lim x→0lim y→0 x−y +x 2 +y 2 x+y = lim x→0 x+x 2 x = 1. y→0limlim x→0f(x, y) = lim y→0lim x→0 x−y +x 2 +y 2 x+ y = lim y→0 y 2 −y y = −1.
Do |xsin 1 x | ≤ |x|∀x ̸= 0 nên lim x→0 |xsin x 1 | = 0 suy ra lim x→0 xsin 1 x = 0. limy→0lim x→0f(x, y) = lim y→0lim x→0 xsin x 1 +y x+y = lim y→0 y y = 1. x→0limlim y→0f(x, y) = lim x→0 xsin x 1 x = lim x→0sin1 x.
2 đều tiến đến 0 khin → ∞ Tuy nhiên sin( x 1 n) = 0∀n và sin( y 1 n) = 1∀n nên lim n→∞ sin( x 1 n) ̸= lim n→∞ sin( y 1 n), suy ra không tồn tại lim x→0 sin 1 x b, Xét f(x, y) = xsin 1 y (y ̸= 0). limy→0lim x→0f(x, y) = lim y→0lim x→0xsin 1 y = lim y→00 = 0. limx→0lim y→0f(x, y) = lim x→0lim y→0xsin1 y. Với mỗi x ̸= 0 cố định sẽ không tồn tại lim y→0 xsin 1 y (chứng minh giống câu a) Do vậy không tồn tại lim x→0 lim y→0 f(x, y). Định lý 1.15 Giả sử A, B ⊂R, a ∈ A ′ , b ∈ B ′ và f : A×B →R p Nếu: a, lim(x,y)→(a,b)f(x, y) = l b, với mỗi y ∈ B tồn tại giới hạn hữu hạn lim x→a f(x, y) thì tồn tại giới hạn lặp lim y→b lim x→a f(x, y) và lim
(x,y)→(a,b)f(x, y) = lim y→blim x→af(x, y). Định lý 1.16 Giả sử A, B ⊂R, a ∈ A ′ , b ∈ B ′ và f : A×B →R p Nếu: a, lim(x,y)→(a,b)f(x, y) = l b, với mỗi y ∈ B tồn tại giới hạn hữu hạn lim x→a f(x, y) c, với mỗi x ∈ A tồn tại giới hạn hữu hạn lim y→b f(x, y) thì tồn tại giới hạn lặp lim y→b lim x→a f(x, y), lim x→a lim y→b f(x, y) và lim
(x,y)→(a,b)f(x, y) = lim y→b lim x→af(x, y) = lim x→alim y→bf(x, y).
Nhận xét 1.6 Tuy nhiên ngay cả khi 2 giới hạn lặp tồn tại và bằng nhau ta cũng không thể suy ra sự tồn tại của giới hạn bội (trường hợp R 2 ta còn gọi là giới hạn kép) Thật vậy, xét: f(x, y) = xy x+y.
Ta có lim y→0 lim x→0 f(x, y) = lim x→0 lim y→0 f(x, y) = 0, nhưng giới hạn bội không tồn tại Xét 2 dãy {(x n , y n ) = ( n 1 , n 1 )} và {(x ′ n , y n ′ ) = ( n 1 , n 1 3 − 1 n )}. f(xn, yn) = x n y n x n +y n = 1/n 2
1/n 3 = 1 n −n → −∞ khi n → ∞. nênlim n→∞ f(x n , y n ) ̸= lim n→∞ f(x ′ n , y n ′ ), suy ra không tồn tạilim(x,y)→(0,0)f(x, y). Bài tập 1.9 Tính giới hạn
Ta có x→0lim y→2 sinxy x = lim x→0 y→2 sinxy xy y
Bài tập 1.10 Xét sự tồn tại giới hạn a,
Bài tập 1.11 Tính giới hạn lặp x→0limlim y→0(x+y) sin 1 xsin 1 y và lim y→0lim x→0(x+y) sin 1 x sin1 y. Bài tập 1.12 Cho hàm số f(x, y) = x sin
1 x +y x+y Chứng minh rằng tồn tại giới hạn lặp lim y→0 lim x→0 f(x, y) nhưng không tồn tại lim x→0 lim y→0 f(x, y). Bài tập 1.13 Cho hàm số f(x, y) = (x+ y) cos(x+y) sin(x−y) a, Tính lim y→0 lim x→0 f(x, y) và lim x→0 lim y→0 f(x, y). b, Chứng minh không tồn tại giới hạn kép lim(x,y)→(0,0)f(x, y).
Bài tập 1.14 a, Xét tính liên tục của hàm số f(x, y)
0 nếu |x|+|y| = 0. b, Xét tính liên tục của hàm số f(x, y)
Bài tập 1.15 Xét tính liên tục của hàm số f(x, y)
sin x sin y xy nếu xy ̸= 0
1 nếu xy = 0 theo hai biến (x, y) và theo từng biến tại các điểm (0,0), (1,0) và (0,1). Bài tập về nhà:
Bài 1: Tìm giới hạn khi (x, y) → (0,0) của các hàm số sau: a, f(x, y) = xarctan x y b, f(x, y) = x x 3 2 +y +y 3 2 c, f(x, y) = 1+x y 2 2 +y 2 (1−cosy). d, f(x, y) = x 2 −xy+y x α y β 2 , trong đó (α, β) ∈ R 2
Bài 2: Khảo sát sự liên tục của hàm sau: f(x, y)
Phép tính vi phân trên R n
Đạo hàm và vi phân cấp một
Định nghĩa
Định nghĩa 2.1 Cho U ⊂ R n là tập mở Hàm f : U → R m được gọi là khả vi tại điểm a = (a 1 , , a n ) ∈ U nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính
∥h∥ R n = 0, tức là ∀ϵ > 0∃δ > 0 sao cho ∀h,∥h∥ < δ ta có
Ngoài ra người ta cũng có thể dùng cách viết ∥f(a+h)−f(a)−A(h)∥ o(∥h∥). Ánh xạ tuyến tính A được gọi là đạo ánh hay đạo hàm của hàm vector f và được kí hiệu là Df(a) hoặc f ′ (a). Định nghĩa 2.2 Nếu f khả vi tại mọi điểm a ∈ U thì ta nói f khả vi trong U.
Nhận xét 2.1 Trong trường hợp f : R → R thì A là ánh xạ tuyến tính
R→ R cho bởi A(h) =f ′ (a).h. Định lý 2.1 Cho U ⊂R n mở và f : U ⊂ R n → R m khả vi tại a ∈ U Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính A : R n →R m sao cho
∥f(a+h)−f(a)−A(h)∥ = o(∥h∥), tức là ∀ϵ > 0∃δ > 0 sao cho ∀h,∥h∥ < δ ta có
Chứng minh Giả sử A 1 , A 2 là 2 ánh xạ tuyến tính thoả mãn Đặt B A 1 −A 2 Khi đó cho trước ϵ > 0 sẽ tồn tại δ > 0 sao cho ∀h,∥h∥ < δ ta có
Với x ∈ R n bất kì tồn tại M > 0 để ∥x∥ M < δ Khi đó
Do ϵ bé tuỳ ý nên ∥B( ∥x∥ x )∥= 0∀x ̸= 0, suy ra B = 0.
Nhận xét 2.2 Ta có thể viết ánh xạ tuyến tính là Ax thay vì A(x). Mọi ánh xạ tuyến tính A : R n → R m đều liên tục Hơn nữa tồn tại hằng số C > 0 sao cho ∥Ax∥ ≤ C∥x∥∀x ∈ R n Định lý 2.2 Cho f : U ⊂ R n → R m khả vi tại a ∈ U Khi đó f liên tục tại a.
Chứng minh Dof khả vi tại anên tồn tại ánh xạ tuyến tính A : R n →R m sao cho ∀ϵ > 0 tồn tại δ > 0 để ∀h,∥h∥ < δ ta có
Cho h → 0 thì ∥h∥ → 0, khi đó do A tuyến tính nên A liên tục và h→0lim∥f(a+h)−f(a)−A(h)∥= lim h→0∥f(a+h)−f(a)∥ = 0. Định lý 2.3 (Quy tắc lấy đạo hàm hàm hợp) Giả sử U là một tập mở trong R n , hàm f :U →R m khả vi tại x 0 ∈ U, V là một tập mở chứa f(U), hàm g : V → R p khả vi tại f(x 0 ) Khi đó ánh xạ F = g ◦f : U → R p khả vi tại x0 và
Chứng minh Đặt y 0 = f(x 0 ), A = f ′ (x 0 ), B = g ′ (y 0 ) và k = f(x 0 + h)− f(x0) Khi đó
Do g khả vi tại y 0 nên với mọi ϵ tồn tại δ sao cho với mọi k,∥k∥ < δ thì
Lại có do f khả vi tại x0 nên với ϵ cho trước tồn tại δ1 sao cho với mọi h,∥h∥ < δ 1 thì ∥k −A(h)∥ = ∥f(x 0 + h) −f(x 0 )− A(h)∥ < ϵ∥h∥ Ta có
∥k∥ ≤ ∥k −A(h)∥+ ∥A(h)∥ ≤ (∥A∥+ ϵ)∥h∥ Do đó ∃δ 2 để nếu ∥h∥ < δ 2 thì ∥k∥ < δ Vậy lấy δ ′ = min{δ 1 , δ2} thì
Đạo hàm riêng
Ta sẽ tìm đạo hàm theo mỗi biến của hàm số nhiều biến số Giả sửe 1 , , e n là cơ sở chính tắc trong không gianR n , U là tập mở trong R n và f :U →R, x = (x1, , xn) ∈ U. Định nghĩa 2.3 Giới hạn limt→0 f(x+te i )−f(x) t nếu tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f tại x hay đạo hàm riêng theo biến x i của hàm f tại x và kí hiệu là D i f(x) hay ∂x ∂f i(x).
Nhận xét 2.3 Nếu f có tất cả các đạo hàm riêng Dif(x), i = 1, , n tại mọi điểm x ∈ U và các đạo hàm riêng này là các hàm liên tục trên U thì ta nói f ∈ C 1 (U).
Ví dụ 2.1 Nếu f :U ⊂ R 2 → R và x = (x 1 , x 2 ) ∈ U thì
Nhận xét 2.4 Khi tính đạo hàm riêng của f theo một biến nào đó ta xem các biến khác là hằng số và áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến đã biết.
Ví dụ 2.2 Cho f(x, y) = x 2 y thì ∂f ∂x (x, y) = 2xy, ∂f ∂y (x, y) = x 2
Nhận xét 2.5 Nhận thấy hàm f trong ví dụ trên có cả hai đạo hàm riêng theo hai biến x, y tại (0,0) nhưng f không khả vi tại (0,0) (do f không liên tục tại (0,0)).
Ta có hai định lý quan trọng sau: Định lý 2.4 Cho U là tập mở trong R n và f : U → R Nếu f khả vi tại a ∈ U thì f có đạo hàm riêng theo mọi biến tại a và
(a)h i , trong đó h = (h 1 , , h n ) ∈ R n Định lý 2.5 Cho U là tập mở trong R n và f : U → R Nếu f có các đạo hàm riêng D 1 f(x), , D n f(x) trong một lân cận nào đó của a (a 1 , , a n ) ∈ R n và các đạo hàm riêng này liên tục tại a thì hàm f khả vi tại a và
(a)h i Định nghĩa 2.4 Ta gọi đại lượng Pn i=1Dif(a)hi là vi phân toàn phần của hàm f tại a và kí hiệu df(a) n
Ta cũng kí hiệu df(a) n
Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa 2.5 Cho U ⊂ R n mở, a ∈ U, x ∈ R n và f : U → R, v = (v 1 , , v n ) ∈ R n Nếu hàm g : t 7→ f(a+ tv) khả vi tại t = 0 thì g ′ (0) được gọi là đạo hàm của f theo hướng v tại a, kí hiệu là ∂f ∂v (a), hay f v ′ (a) hoặc D v f(a):
Ví dụ 2.4 Giả sử e 1 , , e n là cơ sở chính tắc trong R n Khi đó
(a). Định lý 2.6 Nếu f khả vi tại a thì f có đạo hàm theo mọi hướng tại a và
Nhận xét 2.6 Ta có đẳng thức D αv f(a) =αD v f(a).
Ta không có đẳng thức D v 1 +v 2 f(a) = D v 1 f(a) +D v 2 f(a) Tuy nhiên khi f khả vi tại a thì đẳng thức này được thoả mãn.
Công thức số gia hữu hạn
Định nghĩa 2.6 Một đoạn trong R n với hai đầu mút a, b ∈ R n là tập hợp [a, b] = {(1−t)a+tb|0 ≤t ≤ 1}. Định lý 2.7 Giả sử U ⊂ R n là tập mở, [a, b] là một đoạn trong U và f : U → R là một hàm khả vi trên U Khi đó tồn tại c ∈ [a, b] sao cho f(b)−f(a) = Df(c)(b−a) = Pn i=1
Các phép tính về đạo ánh
Định lý 2.8 Cho U ⊂R n mở và f, g :U → R Nếu f, g khả vi tại a ∈ U thì ta có các công thức sau: a, D(f +g)(a) a) +Dg(a). b, D(f.g)(a) = g(a)Df(a) +f(a)Dg(a). c, Nếu g(a) ̸= 0 thì D( f g )(a) = g(a)Df(a)−f (a)Dg(a) g 2 (a)
Biểu diễn đạo hàm bởi ma trận
Định lý 2.9 Giả sử U ⊂ R n mở, f = (f 1 , , f m ) : U → R m và a ∈ U.Ánh xạ f khả vi tại a khi và chỉ khi mỗi hàm thành phần fi khả vi tại a.Khi đó Df(a) = (Df 1 (a), , Df m (a)).
Mỗi hàm Df i (a) có ma trận là (D 1 f i (a), , D n f i (a)) nên ma trận của ánh xạ tuyến tính Df(a) : R n → R m là
Ma trận này được gọi là ma trận Jacobi của hàm f tại a, kí hiệu là J f (a). Khi m = n ma trận này là một ma trận vuông và định thức của nó được gọi là Jacobian của f tại a, kí hiệu là detJ f (a) = D(f 1 , , f n )
Đạo hàm riêng của hàm hợp
Cho các tập mở U ⊂ R n , V ⊂ R m và các ánh xạ f : U → V khả vi tại a ∈ U, g : V → R khả vi tại b = f(a) Theo định lý về đạo hàm hàm hợp, ánh xạ g ◦ f khả vi tại a và D(g ◦ f)(a) = Dg(b) ◦Df(a) Do vậy
J g◦f (a) = Jg(b).Jf(a) Với f = (f1, , fm) ta viết đẳng thức này dưới dạng ma trận như sau:
, ở đây y = (y 1 , , y m ) ∈ R m Thực hiện phép nhân ma trận ta có
So sánh các phần tử của hai ma trận ta có công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp sau:
Ví dụ 2.5 Cho f : U ⊂ R 3 → V ⊂R 3 cho bởi f(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), t(x, y, z)).
Cho hàmg : V → Rthì ta có hàmh = g◦f = g(u(x, y, z), v(x, y, z), t(x, y, z)). Khi đó
Ứng dụng của khái niệm đạo hàm
Cho U ⊂R n mở, f :U → R, a, h ∈ R n Nếu f khả vi tại a và ∥h∥ đủ nhỏ ta có công thức tính xấp xỉ f(a+h) ≈f(a) + n
∂x i (a)h i b, Khảo sát cực trị của hàm số nhiều biến: Định nghĩa 2.7 ChoU ⊂ R n mở, f : U → R Điểm a ∈ U được gọi là cực trị địa phương của hàm f nếu tồn tại r > 0 sao cho hình cầu B(a, r) ⊂U và với mọi x ∈ B(a, r) hiệu f(x)−f(a) có dấu không đổi.
Nếu f(x)−f(a) ≤ 0 với mọi x ∈ B(a, r) thì a được gọi là điểm cực đại của hàm f.
Nếu f(x) −f(a) ≥ 0 với mọi x ∈ B(a, r) thì a được gọi là điểm cực tiểu của hàm f. Định lý 2.10 (Fermat) Cho U ⊂ R n mở Nếu f : U → R là hàm khả vi tại a và a là điểm cực trị của f thì ∂x ∂f i(a) = 0, i = 1,2, , n Do đó
Hàm ngược và hàm ẩn
Định lý 2.11 Cho U ⊂ R n mở Giả sử f : U → R n , f ∈ C 1 (U), a ∈ U và detJf(a) ̸= 0 Khi đó tồn tại một tập mở V chứa a và một tập mở W chứa f(a) sao cho ánh xạ f : V → W có ánh xạ ngược liên tục f −1 : W → V khả vi với mọi y ∈ W và thoả mãn
Nhận xét 2.7 Hàm ngược f −1 có thể tồn tại ngay cả trong trường hợp detJ f (a) = 0, tuy nhiên khi đó f −1 không thể khả vi tại f(a). Định lý 2.12 Giả sử U là tập mở trong R n ×R m và f = (f1, , fm) :
Giả sử M là ma trận vuông cấp m
Khi đó nếu detM ̸= 0 thì tồn tại một tập mở A ⊂ R n chứa a và một tập mở B ⊂ R m chứa b sao cho đối với bất kì x ∈ A có duy nhất g(x) ∈ B thoả mãn điều kiện f(x, g(x)) = 0 và hàm g : A →B là khả vi.
Nhận xét 2.8 Khi đã biết hàm g khả vi thì ta có thể tính được các đạo hàm riêng của nó Thật vậy, từ các hệ thức fi(x, g(x)) = 0, i = 1, , m với g = (g 1 , , g m ) bằng cách lấy đạo hàm riêng theo biến thứ j cả hai vế đẳng thức đó ta được
Vì detM ̸= 0 nên hệ m phương trình đó có thể giải được đối với Djgk(x).
Ví dụ 2.6 Giả sử u = u(x, y) và v = v(x, y) là các hàm ẩn của hai biến x, y xác định bởi F(x, y, u, v) = 0 và G(x, y, u, v) = 0, trong đó F, G :
R 2 ×R 2 → R là các hàm khả vi liên tục trong một tập mở nào đó và det
̸= 0 thì các hàm u(x, y) và v(x, y) cũng là những hàm khả vi trong một tập mở
V nào đó trong R 2 và các đạo hàm riêng của nó tính được từ hệ thức
Xem ∂u ∂x và ∂x ∂v là các ẩn của hệ trên thì do hệ tuyến tính trên có định thức khác 0 nên ta xác định được ∂u ∂x và ∂x ∂v Tương tự ta tính được ∂u ∂y và ∂v ∂y
Ví dụ 2.7 Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z = f(x, y) xác định bởi phương trình F = sinxy +z+ e z = 0.
Đạo hàm và vi phân cấp cao
Đạo hàm riêng cấp cao
Giả sửU là tập mở trong R n và a ∈ U Giả sử f :U →R là hàm số sao cho
Dif(x) tồn tại với mọi x ∈ U Ta có ánh xạ Dif : U →R, x 7→ Dif(x). Nếu hàm số D i f có đạo hàm theo biến thứ j tại a (tức là nếu tồn tại
D j (D i f)(a)) thì đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f tại a theo các biến thứ i và j (hay theo các biến xi và xj) và được kí hiệu bởi
Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa đạo hàm riêng các cấp cao hơn.
Ví dụ 2.8 Cho f(x1, x2, x3) = x 2 1 +x 3 2 +x1x2x3 Ta có
Ta có định lý quan trọng sau: Định lý 2.13 (Schwarz) Giả sử U ⊂ R n là tập mở, a ∈ U, f : U → R.
Nếu ∂x ∂ 2 f i ∂x j(x) và ∂x ∂ 2 f j ∂x i(x) tồn tại trên U và liên tục tại a thì ta có
Nhận xét 2.9 Nếu f :U →R (U ⊂ R n là tập mở) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp k trong U thì ta nói rằng f ∈ C k (U) Khi đó thứ tự của các chỉ số i 1 , , i l (l ≤ k) trong D i 1 i l f(x), x ∈ U không quan trọng.
Đạo hàm và vi phân cấp hai
Cho tập mở U ⊂ R n , f : U → R, a ∈ U Giả sử f ∈ C 2 (U) Khi đó với h = (h 1 , , h n ) và với k = (k 1 , , k n ) ta có n
∂x i ∂x j (a)hikj là một dạng song tuyến tính trên R n ×R n , có ma trận là ma trận vuông ∂ 2 f
1≤i,j ≤n. Ánh xạ song tuyến tính từ R n ×R n → R xác định bởi ma trận này được gọi là đạo ánh hay đạo hàm cấp hai của f tại a, kí hiệu là D 2 f(a) hay f ′′ (a) Theo giả thiết các đạo hàm riêng cấp hai liên tục, do đó ∂x ∂ 2 f i ∂x j(a) ∂ 2 f
∂x j ∂x i (a), tức là ma trận của đạo ánh là một ma trận đối xứng, đạo ánh cấp hai là một ánh xạ song tuyến tính đối xứng từ R n ×R n →R.
Nếu lấy k = h thì biểu thức
∂x i ∂x j (a)h i h j được gọi là vi phân cấp hai của f tại a, kí hiệu là d 2 f(a) Kí hiệu h i = dx i thì vi phân cấp hai được viết dưới dạng d 2 f(a) n
Công thức Taylor đối với hàm nhiều biến
Giả sử U là tập mở trong R n , a ∈ U và f : U → R Kớ hiệu T a (ã) là toỏn tử
∂x i (a), ở đây a = (a 1 , , a n ) và kớ hiệu T a k (ã) là luỹ thừa hỡnh thức
Ví dụ 2.10 Với n= 2 ta có
∂x i 1 ∂x k−i 2 (a). Định lý 2.14 Công thức Taylor: Giả sử U là tập mở trong R n , a ∈ U và r > 0 sao cho B(a, r) ⊂ U Cho f ∈ C k (U), khi đó với mọi x ∈ B(a, r) tồn tại ξ ∈ [a, x] sao cho f(x) = f(a) + 1
(k−1)!T a k−1 (f) + 1 k!T ξ k (f). Định lý 2.15 Giả sử U là tập mở trong R n , a ∈ U và hàm f : U → R thuộc lớp C 2 (U) Khi đó với h ∈ R n , ∥h∥ đủ nhỏ ta có f(a+h) =f(a) +Df(a)h+ 1
Cực trị hàm nhiều biến
Cực trị tự do
Cho U là tập mở trong R n và hàm f : U → R Ta cần tìm cực trị địa phương của hàm f Nếu a ∈ U là điểm cực trị địa phương của hàm f thì a phải thoả mãn điều kiện Df(a) = 0, nói cách khác a phải là nghiệm của hệ phương trình
∂x i (x 1 , , x n ) = 0 (i = 1,2, , n). Đó là điều kiện cần của cực trị Để tìm điều kiện đủ ta sử dụng công cụ đạo hàm và vi phân cấp hai. Để xét cực trị tự do (không có thêm điều kiện) của hàm số, ta cần xét dấu của dạng toàn phương d 2 f(a), trong đó a là điểm dừng của f.
- Nếu d 2 f(a) là dạng toàn phương xác định dương thì a là điểm cực tiểu của f.
- Nếu d 2 f(a) là dạng toàn phương xác định âm thì a là điểm cực đại của f.
- Nếu d 2 f(a) là dạng toàn phương đổi dấu, tức là tồn tại k 1 , k 2 ∈ R sao cho d 2 f(a)(k 1 , k 1 ) > 0 và d 2 f(a)(k 2 , k 2 ) < 0 thì a không phải là điểm cực trị của f.
Nhắc lại lý thuyết về dạng toàn phương: Định nghĩa 2.8 Dạng toàn phương φ trên R n được gọi là xác định dương nếu φ(x) > 0 với mọi x ∈ R n , x ̸= 0.
Sau đây là 2 phương pháp hay sử dụng:
Phương pháp 1: dùng trong trường hợp hàm 2 biến
- Nếu A > 0 và AC −B 2 > 0 thì dạng toàn phương xác định dương và f đạt cực tiểu tại a.
- Nếu A < 0 và AC −B 2 > 0 thì dạng toàn phương xác định âm và f đạt cực đại tại a.
- Nếu AC−B 2 < 0 thì dạng toàn phương không xác định dấu, a không là cực trị của f.
- Nếu AC −B 2 = 0 ta chưa đủ điều kiện để kết luận.
Ví dụ 2.11 Tìm cực trị của hàm f(x) = x 3 +y 3 −3xy.
Ta có các điểm dừng của f là (0,0) và (1,1).
- Tại điểm (0,0) ta có A = 0, B = −3, C = 0 và AC −B 2 = −9 < 0 nên
(0,0) không là điểm cực trị của f.
- Tại điểm (1,1) ta có A = 6, B = −3, C = 6 và AC −B 2 = 27 > 0 nên
(1,1) là điểm cực tiểu của f. Điều cần lưu ý ở đây là ta có một tiêu chuẩn khác để xét dấu của dạng toàn phương gọi là tiêu chuẩn Sylvester: cho M là ma trận đối xứng n×n,
∆ 1 ,∆ 2 , ,∆ n là các định thức con chính của M Khi đó:
- M xác định dương nếu và chỉ nếu ∆ 1 > 0,∆ 2 > 0, ,∆ n > 0.
-M xác định âm nếu và chỉ nếu (−1) 1 ∆ 1 > 0,(−1) 2 ∆ 2 > 0, ,(−1) n ∆ n > 0. Để ý rằng dấu của dạng toàn phương và dấu của ma trận của nó là giống nhau Khi đó ta sẽ viết ma trận của dạng toàn phương trong ví dụ trên:
Tại (1,1), ma trận có dạng
Ta xét các định thức con chính của ma trận: ∆ 1 = 6 > 0,∆ 2 = 27 > 0 do vậy ma trận xác định dương, suy ra dạng toàn phương xác định dương. Tuy nhiên tại (0,0) ta không dùng được tiêu chuẩn này vì khi đó ma trận có dạng
Khi đó ∆1 = 0 ta chưa thể kết luận gì, vì tiêu chuẩn Sylvester chỉ cho ta biết khi nào ma trận xác định âm hoặc xác định dương, những trường hợp còn lại ta chưa biết.
Phương pháp 2: dùng trong trường hợp hàm 3 biến
Ta sẽ dùng một tiêu chuẩn khác liên quan đến giá trị riêng của ma trận dạng toàn phương.
Nhận xét 2.10 Ma trận đối xứng M xác định dương nếu mọi giá trị riêng của nó đều dương, xác định âm nếu mọi giá trị riêng của nó đều âm, không xác định dấu nếu nó có ít nhất một giá trị riêng dương và một giá trị riêng âm.
Ta cần phải cẩn thận trong trường hợp ma trận chỉ có giá trị riêng dương và 0, khi đó phép thử của ta không sử dụng được (tương tự trong trường hợp chỉ có giá trị riêng âm và 0).
Lại xét ví dụ trên: tại (0,0) ma trận có dạng
Các giá trị riêng là nghiệm của phương trình λ 2 −9 = 0, tức là ta có 2 giá trị riêng 3 và −3 Theo ghi nhớ trên thì ma trận không xác định dấu, vậy
(0,0) không là điểm cực trị.
Ví dụ 2.12 Tìm cực trị của hàm f(x, y, z) = x 2 y +yz+ 32x−z 2
Ta tìm được điểm dừng a = (2,−8,−4) Khi đó d 2 f(a)(h, h) = ∂ 2 f
∂z∂x(a)h 3 h 1 , trong đó h = (h1, h2, h3) Ma trận dạng toàn phương là
Trong trường hợp này ma trận này là
Các giá trị riêng là nghiệm của phương trình P(λ) = 0, P(λ) là đa thức đặc trưng của ma trận Ta có P(λ) = λ 3 + 18λ 2 + 15λ−48 = 0, phương trình này không có nghiệm đẹp nên ta sử dụng định lý giá trị trung gian.
Do P(−3) > 0, P(0) < 0 nên phương trình có nghiệm giữa −3 và 0, đó là giá trị riêng âm Do P(2)> 0, P(0) < 0 nên phương trình có nghiệm giữa
2 và 0, đó là giá trị riêng dương Theo ghi nhớ thì hàm số không có cực trị. Trong trường hợp này ta cũng không sử dụng tiêu chuẩn Sylvester.
Ví dụ 2.13 Trong trường hợp ma trận dạng toàn phương là
Ta có thể sử dụng tiêu chuẩn Sylvester để kết luận dạng toàn phương xác định âm, do ∆ 1 = −2 < 0,∆ 2 = 3 > 0,∆ 3 = −4 < 0, phù hợp với tiêu chuẩn này.
Cực trị có điều kiện 51 2.4.3 Phương pháp 1: đưa về bài toán tìm cực trị tự do 52
Cho tập mở U ⊂ R 2 và hàm f : U → R Ta xét bài toán tìm cực trị của hàm f khi các biến x, y thoả mãn phương trình φ(x, y) = 0.
Ta nói rằng tại điểm (x 0 , y 0 ) ∈ U thoả mãn điều kiện φ(x 0 , y 0 ) = 0 hàm f có cực đại tương đối (tương ứng cực tiểu tương đối) nếu tồn tại một lân cận V ⊂ U của (x 0 , y 0 ) sao cho f(x, y) ≤ f(x 0 , y 0 ) (tương ứng f(x, y) ≥ f(x 0 , y 0 )) với mọi (x, y) ∈ V thoả mãn điều kiện φ(x, y) = 0 Điểm (x 0 , y 0 ) gọi là điểm cực trị ràng buộc của hàm f(x, y), còn điều kiện φ(x, y) = 0 gọi là điều kiện ràng buộc của bài toán.
2.4.3 Phương pháp 1: đưa về bài toán tìm cực trị tự do
Nếu trong một lân cận của điểm(x0, y0) từ hệ thức φ(x, y) = 0 ta xác định được hàm số y = y(x) thì rõ ràng f(x 0 , y(x 0 )) là cực trị địa phương của hàm một biến g(x) =f(x, y(x)) Trong trường hợp này bài toán cực trị có điều kiện được đưa về bài toán tìm cực trị tự do của hàm g(x).
Ví dụ 2.14 Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = p
Phương pháp 2: phương pháp nhân tử Lagrange
Trong trường hợp ta không đưa được bài toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị tự do thì ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange. Định lý 2.16 Giả sử U là tập mở trong R 2 , f :U →R và (x 0 , y 0 ) là điểm cực trị của hàm f với điều kiện φ(x, y) = 0 Hơn nữa, giả sử rằng a, Các hàm số f(x, y) và φ(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm (x 0 , y 0 ). b, ∂φ ∂y (x 0 , y 0 ) ̸= 0.
Khi đó tồn tại một số λ sao cho nó cùng với x 0 và y 0 tạo thành nghiệm của hệ phương trình sau (các biến là λ, x, y):
∂y(x, y) + λ ∂φ ∂y (x, y) = 0 φ(x, y) = 0. Định lý trên cho ta điều kiện cần của cực trị có điều kiện ĐặtΦ(x, y, λ) f(x, y) +λφ(x, y) (hàm này gọi là hàm Lagrange) Ta sẽ xét xem khi nào có cực đại hoặc cực tiểu Với (x, y) thoả mãn φ(x, y) = 0 ta có Φ(x, y, λ 0 )−Φ(x 0 , y 0 , λ 0 ) =f(x, y) +λ 0 φ(x, y)−(f(x 0 , y 0 ) + λ 0 φ(x 0 , y 0 ))
Vậy nếu (x 0 , y 0 ) là điểm cực trị của hàm Φ(x, y, λ 0 ) thì (x 0 , y 0 ) cũng là điểm cực trị của hàm f(x, y) với điều kiện φ(x, y) = 0 Ta sẽ tìm cực trị của hàm Φ(x, y, λ 0 ).
Lấy vi phân hai vế ràng buộc φ(x, y) = 0 ta được
∂y 2 (x0, y0, λ0)dy 2 trong đó dx và dy liên hệ với nhau bởi hệ thức
Tính dy theo dx rồi thay vào d 2 Φ(x 0 , y 0 , λ 0 ) ta có d 2 Φ(x 0 , y 0 , λ 0 ) =G(x 0 , y 0 , λ 0 )dx 2
Từ đó ta suy ra a, Nếu G(x 0 , y 0 , λ 0 ) > 0 thì (x 0 , y 0 ) là điểm cực tiểu có điều kiện. b, Nếu G(x0, y0, λ0) < 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện.
Ví dụ 2.15 Tìm cực trị hàm u = xy+yz nếu x 2 +y 2 = 2, y+z = 2, x >
Xột ∂L ∂x = y+2λx = 0, ∂L ∂y = x+z+2λy+à = 0, ∂L ∂z = y+à = 0, x 2 +y 2 −2 0, y+z−2 = 0 Giải ra ta được λ = −1 2 , à = −1, x = y = z = 1 (để ý điều kiện x, y, z > 0) Sau đó ta tính các vi phân cấp hai ∂ ∂x 2 L 2 = ∂ ∂y 2 L 2 = 2λ, ∂x∂y ∂ 2 L 1, ∂y∂z ∂ 2 L = 1, ∂ ∂z 2 L 2 = ∂x∂z ∂ 2 L = 0.
Ta có d 2 L = 2λ(dx 2 + dy 2 ) + 2dxdy+ 2dydz = −dx 2 −dy 2 + 2dxdy + 2dydz. Đến đây ta không viết ma trận của dạng toàn phương giống như trong bài toán cực trị tự do mà ta phải quan tâm đến các điều kiện ràng buộc, xuất hiện từ việc vi phân 2 vế ràng buộc ban đầu.
Với x = y = 1 ta có dx = −dy, suy ra d 2 L(1,1,1,− 1 2 ,−1) = −dx 2 −dy 2 −2dy 2 −2dz 2 = −dx 2 −3dy 2 − 2dz 2 < 0 Vậy (1,1,1) là điểm cực đại địa phương.
0 nếu x 2 + y 2 = 0. a, Xét tính liên tục của f tại (0,0).
(x,y)→(0,0) xy px 2 +y 2 = 0 = f(0,0). Vậy f liên tục tại (0,0). b, Tính các đạo hàm riêng.
0 x = 0. c, Xét tính khả vi của f(x, y) tại (0,0).
Giả sử f(x, y) khả vi tại (0,0) Khi đó với h = (h 1 , h 2 )
Lại có ∀ϵ > 0∃δ >0 sao cho ∀h,∥h∥ < δ thì
Xét {h n = ( n 1 , n 1 )} thì h → 0 khi n → ∞ Tuy nhiên với n đủ lớn thì
√2 n suy ra ϵ ≥ 1 2 , mâu thuẫn với ϵ bé tuỳ ý Vậy f không khả vi tại (0,0).
Bài 1: Xét ánh xạ f : R 3 →R 3 cho bởi f(r, θ, φ) = (rcosθsinφ, rsinθsinφ, rcosφ).
Tính ma trận Jacobi của f và định thức của ma trận này tại (1,0,0). Bài 2: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f(x, y) = x 2 y +x√ y. Bài 3: Tính ∂x∂y ∂ 2 f (0,0) và ∂y∂x ∂ 2 f (0,0) của hàm f(x, y)
Bài 4: Tìm vi phân toàn phần của các hàm z = sin(x 2 +y 2 ).