TS NGUYỄN VÃN KHUÊ chủ biên PTS BÙI ĐẮC T Ắ C KHÔNG GIAN TƠPƠ - ĐỘ ĐO VÀ LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH I U Trang 5 LÒI M Ỏ ĐAU \ Tiếp theo hai tập giải tích ì và li vè phép tính vi tíc
Trang 3GS TS NGUYỄN VÃN KHUÊ (chủ biên)
Trang 5LÒI M Ỏ ĐAU
\ Tiếp theo hai tập giải tích ì và li vè phép tính vi tích phân cổ điển, giáo trình này nhàm mục đích trình bày một
số uẩn đè vè tôpô đại cương và sau đó là lý thuyết về độ
do và tích phân Lebesgue Lý thuyết độ đo được trình bày trong mối liên hệ vói cáu trúc tôpô và vì vậy đây không hằn là lý thuyết độ đo thuần túy Điêu này có thề thấy qua định lý quan trọng cớa Alexandrov về tính khả cộng đếm, dược cớa hàm tập hợp chính quy khả cộng hữu hận trên õ - đại số các tập Borel cớa một không gian compac- - Giáo trình gồm 6 chương Các lớp không gian quan trọng trong giải tích như không gian chuẩn tác, không gian
•compac, không gian paracompac dược trình bày trỏng 3 chương đầu Phần còn lại dành cho việc trinh bày lý thuyết
độ đo và tích phân hiện đại Giáo trình này được dùng cho sinh viên năm thứ ba khoa toán các trường Đại học sư phạm và được viết bời PTS Bùi Đác Tắc với sự sáp xếp chinh lý bới GSTS Nguyền Văn Khuê Nội dung cuốn sách
có lẽ không phải chỉ cho sinh viên năm thứ ba khoa toán các trường ĐHSP mà nó sẽ còn rát có ích đối VÓI sinh viên năm cuối đặc biệt là các cao học viên chuyên ngành giải tích Ngoài ra các NCS chuyển ngành giải tích có thè tim tháy à đáy những kiến thức cần thiết cho sụ học tập nghiên cứu cùa minh
Vi dậy là lần đầu xuất bản nên không thế tránh khỏi một số sai lăm thiếu xót rất mong bạn đọc góp ý Nhăn dây chớ biên và tác giả cảm ơn GS TS Phạm Ngọc Thao cùng PGS TS Đặng Hùng Thảng và PTS Lé Mậu Hải vè những ý kiến cho sụ cải tiến cuốn sách này
C h ủ biên GS T S Nguyên Văn Khuê
Tác giả P T S Bui Đác Tác
Trang 7C H Ư Ơ N G I KHÔNG G I A N M E T R I C
Trang 8T h ậ t vậy, cho { xn} là m ó t dãy Côsi trong (X, p) N ế u
chọn 0 < € < a, phải có số n g u y ê n dương nG sao cho
T í n h đủ của k h ô n g gian n à y được suy ra bằng lập l u ậ n
Trang 9\xf - x Ị " | =s E, V n , m > n £
T ứ c l à d ã y t ọ a đ ộ t h ứ i { x Ị 1 } l à d ã y C ô s i t r o n g k h ô n g
g i a n m e t r i c đ ủ R (hoặc C ) Đ ặ t
limxỊ 1 = Xị v à X = ( X ị , x2 , ) n-*oo
Trang 10Thật vậy, cho { f n } là d ã y C ô s i trong M ( X ) ; tức l à với
mọi £ > 0 tổn t ạ i n£ sao cho
/>(fn, fm) í £,.Vn, m > n£
hay là
| fn( x ) - fm( x ) | =s E, Vn, m > n£, V X e X (1)
Theo bất đ ả n g thức này với m ỗ i X e X, d ã y số { fn( x ) }
là Côsi trong R (hoặc trong C), do đó nó h ộ i t ụ Đ ặ t
chính là k h ô n g gian t ấ t cả các d ã y số bị chặn Không gian
này thường được ký hiệu là Ì0 0
8:
Trang 11ví dụ 5 Không gian metric C |a b j các h à m số liên tục
t r ê n đoạn [a,b] là đủ (với metric
PẠĨ, g) F= sup|f(x)-g(x)r
xe[a,b]
Bởi vì m ọ i h à m số liên tục t r ê n t ậ p compac đ ể u bị chặn
n ê n C ja b j là không gian con của M ja bỊ H ơ n nữa metric xét t r ể n C ja bỊ chính là metric c ả m sinh bởi metric t r ê n
M Ị3 b j bởi vậy đ ể chứng minh C ịa b j là đủ ta chỉ cỗn chứng minh r ằ n g C ja b j là đ ó n g t r o n g M [ a bỊ N ế u
{ fn} c c[ a b ] và hội t ụ t h è o metric p đ ế n h à m f e M[a b] t h ì
{f„} hội t ụ đêu đ ế n f t r ê n [a, b] Do đó h à m giới hạn f phải liên tục t r ê n [a, b ] , tức là f G C [a b j Vậy Ca bj đống trong M( a b ]
Chú ý r ằ n g t r ê n c ù n g một tập X khác rỗng có t h ể đ ư a vào nhiều, metric khác nhau K h i đó X có t h ể là đủ đ ố i với metric này n h ư n g l ạ i k h ô n g đủ với metric kia Chẳng h ạ n
t ậ p X t ấ t cả các h à m số liên tục t r ê n đ o ạ n [0,1] là k h ô n g gian metric đủ đối với metric />(f,g)=sup| f(x)—g(x)| (ví dụ 5)
Trang 13Ì Với £ = — t ổ n t ạ i n j sao cho
Vậy X G Bk Vì X là tùy ý, B k + 1 c Bk Theo g i ả t h i ế t
Trang 14metric (X, d) K h i đổ { x n } n bị chặn, tức là tổn tại a e X, r>0 sao cho { x n } c B(a, r ) Theo giả thiết B(a, r) là tập compac, tdựỊ t ạ i d ã y con c { x n } sao cho - » X Suy- r a
Trang 16n ê n m ộ t m ặ t p h ả i có chỉ số nQ đ ể X G E v à do đ ó t h e c
o
(3) X Ệ B n , mát khác từ (2) suy ra X Ể B + 1 D i ề u nà}
m â u t h u ẫ n với t í n h chất X thuộc giao của các t ậ p Bn Vậy
X k h ô n g t h ể b i ể u diễn được d ư ớ i dạng hỗn hợp đ ế m được
của các t ậ p k h ô n g đâu t r ù m ậ t
Định lý 2 Trong k h ô n g gian metric đủ giao của một hẹ
đ ế m được các t ậ p mứ t r ù m ậ t khắp nơi là t ậ p t r ù mật
khắp nơi
Chứng minh Cho { Gn} n là dãy các t ậ p mứ t r ù mật
trong k h ô n g gian metric đủ (X, d) Lấy một p h â n tử tùy ý
Trang 17Theo nguyên lí C ã n t o r t ổ n tại x' E n B ( xn, £n) c n Gn
§4 B Ổ S U N G Đ Ủ
C Ủ A M Ộ T KHÔNG G I A N M E T R I C
Định lí 1 Đối với m ọ i J t h ô n g gian metric X đ ề u t ổ n t ạ i
một không gian metric đủ X có các t í n h chất:
a) X đẳng cự với một k h ô n g gian con Y của X
b) Y t r ù mật trong X
Chứng minh Gọi ổ là lớp t ấ t cả các dãy Cờsi t r o n g
không gian metric (X, d) Cho { xn} , { yn} e Ổ n ế u
l i m d ^ y j = 0 thì ta bảo dãy { xn} t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i d ã y
n—00
{ yn} và viết { xn} ~ { yn} Kí hiệu X là t ậ p t ấ t cả c á c lớp tương đương theo quan hệ vừa định nghĩa K h i đó v ớ i
x,yex và { xn} e X, { yn} G y bao giờ cũng t ổ n t ạ i limdíx^y,^ Thật vậy, ta luôn có
Trang 18-Do đó:
| d ( xn, ynỵ - d ( xm, ym) | =s d ( xn, xm) + d(yn, ym) -» 0 (khi
m, n, - » oo) Vậy { d ( xn, yn) } là dãy Côsi t r o n g R, do đó t ố n
t ạ i limd(xn >yn) H i ể n n h i ê n giới hạn này độc lập với cách
Trang 20d(x n, x) sá c K x ^ x ' p ) + d ( x 'n, x) sỉ — + d ( x 'n , x)
Dinh nghĩa 2:
T a g ọ i k h ô n g g i a n m e t r i c đ ủ t h ỏ a m ã n c á c t í n h c h ấ t a)
v à b i t r o n g đ ị n h lí Ì là b ổ s u n g đ ủ c ủ a k h ô n g g i a n m e t r i c (X, d i
V ả y f là đ ả n g cự g i ữ a X v à X
N h ả n x é t Qua t r ì n h l à m đ ù m ộ t k h ô n g g i a n metric là
18
Trang 21bổ sung vào nó một số phán tử khác Trong một trường hợp riêng để lấp đấy trục số người ta đ ã bổ sung vào không gian các số hữu tỉ t ấ t cả các số vô t i M ộ t điểu
đ á n g lưu ý là nếu lực lượng của tập các phần tử bộ' sung vào không gian metric X (tọc là lực lượng của tập X^X) là hữu hạn hoặc đếm được thì giao cùa họ đ ế m được bất kỳ các tập mở trù mật trong X vẫn còn là một tập t r ù m ậ t trong X Từ đó suy ra r ằ n g tính chất nêu trong định lý 2
§3 chi là điều kiện cẩn song không đủ đ ể một không gian metric là đủ
§5 N G U Y Ê N LÍ Á N H XẠ co
Định nghía 1 Giả sử X là không gian metric với
khoảng cách d Ánh xạ f: X —» X gọi là ánh xạ co nếu tổn
Chứng minh: Cho (X, d) là không gian metric đủ và
f:X—»x là ánh xạ thỏa m ã n điêu kiện
Trang 22d(x*, y*> = d ( f ( x ' i , Hy*)) $ #d(x*, y*)
Vì 0 < tì < Ì n ê n d ( x ' , y*) = 0 vậy x ' = y*
Nhận xét H ệ số tì I rong á n h x ạ co là m ằ t h ằ n g số
k h ô n g p h ụ t h u ằ c v à o t ừ n g c ặ p đ i ể m ( x , y ) Ví d ụ sau đ â y
c h ứ n g t ò r à n g n ế u 0 k h ô n g p h ả i là h ệ số c h u n g cho m ọ i
Trang 24T h ậ t vậy, các điểu kiện đã nêu ở (1) có t h ể v i ế t dưới
Trang 26§6 KHÔNG GIAN M E T R I C KHẢ L I
Định nghía 1 K h ô n g gian metric X gọi là k h ả l i nếu có
m ộ t t ậ p đ ế m được A c X sao cho A = X
Mệnh đè 1 K h ô n g gian con của m ộ t k h ô n g gian metric
k h ả l i là khả l i
Chứng minh Cho F là m ộ t k h ô n g gian con của k h ô n g
gian metric k h ả l i (X, d) Giả sử A = {aJ, a2, } là m ộ t
Trang 27T h ậ t vậy, trong k h ô n g gian C[a,b] xét t ậ p gồm t ỉ t
cà các đa thức với hệ sổ là sò hữu tỉ K h i đó (P Q là t ậ p đếm được Với mọi f G Cfa,b] và với m ọ i £ > 0 cho trước, theo định lý Weierstras t ổ n t ạ i đa thức p = a0 + a j X + + a n x n
sao cho
Trang 28Với m ọ i X = { xn} G Ì1 và với m ọ i £ > 0; bởi vì
X l x J < + 0 0 nên tổn tại n G > 0 sao cho 2 I x J < 2
Trang 29Sau đây c h ú n g xét m ộ t ví dụ v ề k h ô n g gian k h ô n g k h ả
li
Ví dụ 3 Ì0 0
là k h ô n g gian m ê t r i c k h ô n g k h ả l i Trong Ì0 0
Trang 30CHƯƠNG li KHÔNG GIAN TÔPÔ
Cặp (X, C) k h i đó được gọi là k h ô n g gian tôpô
N ế u Cj và C2 là hai tôpô t r ê n X sao cho Cj c &2 ta nói Cj yếu hơn €^ hay C2 m ạ n h hơn Cj và viết Cị si c^
Các ví dụ
Ví dụ 1 Cho X là k h ô n g gian metric với khoảng cách
d N h ớ l ạ i r ằ n g trong một k h ô n g gian metric ta đã định
n g h í a t ậ p "mở" A là tập m à m ọ i đ i ể m X thuộc A đ ề u có
m ộ t hình cấu chứa X nằm t r ọ n trong A K h i đó họ t ấ t cả
các tập "mở" trong không gian metric X là một tôpô t r ê n
X
Ví dụ 2 X là Ì tập k h á c rỗng c = { 0 , X} là một
tôpô t r ê n X Tôpô này gọi là t ô p ô t ấ m thường t r ê n X
28
Trang 31ví dụ 3: H ọ t ấ t cả các t ậ p con của X cũng là một tôpô
t r ê n X Tôpô này gọi là tôpô r ờ i rạc t r ê n X
phần tử vậy Dị n D-> £ c (còn nếu một t r o n g hai t ậ p D ị ,
bằng 0 thì hiển nhiên Dị n D2 = 0 G t ) Vậy c thẩa
mãn tính chất p^
Bây giờ giả sử Dị E c, i e ì và có ít n h ấ t m ộ t chỉ số
i 0 đế X^Djo hữu hạn phấn t ử Khi đó
X \ u Dị = n (XNDj) c X \ D i ( )
ÌGI i e i Vậy X \ u Dị là tập hữu hạn phẩn tử, do đó u D ị S C
i e i i e i (còn nếu D, = 0, Vi G ì thì u D, = 0 e o Vậy c thẩa
m ã n p3
Tính chất Pj là h i ể n nhiên
2 L â n c ậ n v à t ô p ô cho bởi h ệ l â n c ậ n
Định nghĩa 2 Cho (X, Q là một không gian tôpô M ộ t
tập hợp V c X được gọi l à m ộ t lân cận của X nếu t ố n t ạ i
D 6 c sao cho X G D c V Kí hiệu Ỵ x là họ t ấ t cả các
lân cận của X
Ta có nhận xét rằng nếu (X, o là k h ô n g gian tôpô, t h ì
với mọi điểm X e X, họ y, í 0 (bởi vì X e c và X E X
do đó X G Y x ) Từ định nghía, suy ra các tỉnh chất sau:
V ị ) V G yx => V 3 X
v2) V e yx và u D V => u G Ỵx
Trang 32n ê n D G Uy, Vy G D , đ ặ c b i ệ t D G 14 vì X G D T ừ t í n h
c h ấ t V o suy ra V G 14 V ậ y y x c 14
N g ư ợ c l ạ i n ế u u G 14, theo t ỉ n h c h ấ t v 4 , t ố n t ạ i W c U
30
Trang 33sao cho w 3 X và w e Uy, Vy G w. Suy ra w e c và
(ii) được suy ra ngay bằng cách chuyển qua phần bù
Dinh nghía 4 Cho X là một k h ô n g gian tôpô A là một
v n A í* 0 , v v G Ỵ x
Kí hiệu A là tập tất cả các điểm dính cùa A
- Điểm X s X gọi là một đ i ế m tụ cùa A nếu
vnAMx} * 0 , vv G yx
Kí hiệu A' là tập t ấ t cả các đ i ế m tụ của A
Trang 34Dink lí 3 Trong k h ô n g gian tôpô X, tập con A là m
k h i và chỉ khi A = IntA
Chứng minh, Nếu A là tập mở thì h i ể n nhiên A = IntA
Ngược l ạ i , G i ả sử A = IntA, tức là mọi điểm thuộc t
đ ề u là đ i ể m trong của nó Lấy đ i ể m tùy ý X G A, the
định nghĩa có t h ể chọn Dx G c sao cho X £ Dx c A
Chứng minh Giả sử tập A là đóng Cho X G A N ế i
X ế A tốn t ạ i lân cận V của X sao c h o X e V c X\A ( d i
X\A mở) suy ra V n A = 0 , mâu thuẫn vụi giả t h i ế t X Ê A
Vậy A CA Bao hàm thức ngược l ạ i là hiển nhiên Vá' Ã=A
Ngược l ạ i , giá sử r à n g A = A Lấy một phấn tử tùy '
X G x\ A K h i đ ó X í A Từ định nghĩa đ i ể m dính p h ả i c< một lân cận V của X sao cho VnA = 0 Suy ra V c X \ A V i
X là đ i ể m trong của XV A vỉ X là tùy ý nê]
x \ A c l n t ( X \ A) Bao hàm thức ngược lại là hiến nhiên Vá'
Trang 35Định lí 5 Cho X, Y là những k h ô n g gian tôpô K h i đó
á n h xạ f: X -* Y liên tục t r ê n X nếu và chỉ nếu f ~l( D ) là tập mở trong X với mọi tập mở D c Y
Chứng mink Giả sử f là á n h xạ liên tục t r ê n X Cho D
là tập mở tùy ý trong Y N ế u f - ! ( D ) = 0 th ì rJ( D ) mở là hiển nhiên Nếu r ' ( D ) 5* 0 t h i với mọi X €E Ỹ~ l (Đ) t ồ n t ạ i
l â n c ậ n V c ủ a X s a o cho f(V) c D ( b ở i v ì f liên tục t ạ i X
và D là một lân cận của f(x)) Suy ra
X G V c f^fxv) c rHĐ)
tức là X là điểm trong của f " ' ( D ) vỉ X là t ù y ý n ê n r ^ D )
= I n t r ' ( D ) Theo định lí 3 tHD) là mở Ngưổc l ạ i , giả sử
rằng f " ' ( D ) là đóng trong X với mọi t ậ p mở D c Y Lấy
một đ i ể m tùy ý X G X Nếu u là một lân cậh của f(x) thì
In t u là táp mở trong Y và chứa f ( x ) Theo g i ả t h i ế t
Định nghía 6 Cho (X o là một k h ô n g gian tôpô M ộ t
họ con (B c c đưổc gọi là cơ sở đối với tôpô c n ế u mọi
tập D G c đều tổn t ạ i các tập Bị G (B, ì G ì sao cho
* D = U B ị (tập chỉ số ĩ phụ thuộc í ) ) Trong t r ư ờ n g hổp này
iei
ta cũng nói X có cơ sở tôpô (B
Định lí 6 Một họ các tập hổp (B ((B 3 0 ) là cơ sở của một tôpô trên tập X = U { B : B € (B\ khi và chỉ k h i đ ố i với hai tập bất kỳ u , V thuộc họ (B và đ ố i với mọi x e u
n V, tốn t ạ i w G íB sao cho X G w c u n V
Chứng minh Giả sử '3 là cơ sở của một tôpô t r ê n X
Trang 37Id: (A, rị) (X, o
liên tục thì với mọi tập mở D e c, ta phải có A n D e lị
Như vậy CA là tôpô y ế u nhất đảm bảo cho á n h xạ Id liên
tục
b) Tôpô thương Cho X là một không gian tôpô và R là
một quan hệ tương đương trong X Kí hiệu T là tập hợp
t ấ t cả các lớp tương đương theo quan hệ này và <p là á n h
xạ chính tắc cho tương ứng mỗi điểm X G X với lớp t ư ơ n g
đương của nó
Ta gọi 7 là họ t ấ t cả các tập con A c T sao cho
(p~ l (A) là t ậ p mở trong X H ọ jF sẽ thỄa m ã n các tính chất
Pi> P2> P3 trong định nghĩa Ì, §1. T h ậ t vậy, bởi vì
<p-HT) = X và <p~H0) = 0 nên X, 0 G 7 Nếu A, B E ĩ
thì <p HA) và <P~HB) mở, do đó (p'HAnB) = y ' ( A ) níp -1( B )
mở trong X, tức là A n B e í
Cuối c ù n g nếu Aj Ễ ĩ ; ị G ì thì <p~ l (Aị) mở, do đó
tp-HUAị) = U<p-\Aị) mò trong X Suy ra u Àị G 7
i E I i G I • Í G I
Vậy 7 là một tôpô t r ê n X
Ngoài ra nếu 7 là một tôpô khác t r ê n T sao cho á n h
xạ ip: X —* (T, D liên tục thì đối với m ọ i tập D G y ,
<P'HD) phải là t ậ p mở trong X, do đó D G 7; tức là 7*<y
Như vậy f là tôpô mạnh nhất t r ê n X đ ả m bảo cho á n h
xạ <p liên tục Ta gọt tôpô này là tôpô t h ư ơ n g t r ê n T
Không gian (T, 7) gọi là không gian t h ư ơ n g của không
gian tôpô X theo quan hệ tương đương R -và thường được
kí hiệu bởi X/R
• ị
7 T í c h v à tổng c á c k h ô n g gian t ô p ô
a) Tích các không gian tôpỗ Giả sử (X„, C a ), a G A là
những không gian tôpô Trên tích đề các X = Ỵ\ X a xét
Ve
Trang 40thiết các m'etric dn t r ê n không gian X n bị chặn bởi 1 Ta
định nghĩa metric d t r ê n X bởi công thức
Trang 42các không gian tôpô { Xa, a e A } , kí hiệu là ©Xa, còn ánh
xạ ea: Xa —» ©Xa được gọi là ánh xạ nhúng chính tác
§2 KHÔNG G I A N T Ô P Ô L I Ê N T H Ô N G
Định nghía 1 Ta nói không gian tôpô X là liên thông
nếu mọi tập con A vừa đóng vừa mở trong X thì A = 0 hoặc A = X
Tập con Y trong không gian tôpô X gọi là liên thông nếu Y (xét với tôpô cảm sinh) là không gian tôpô liên thông
Định nghía 2 Hai tập con A, B gọi là tách rời nhau
nếu A n B = 0 và Ã n B = 0
Định lí 1 Giả sử A B là những tập con khác rỗng của
tương đương
(i) A , B là hai tập tách rời nhau
(ii) AnB = 0 và A, B là những tập đóng trong không gian (Y, C |Y) (với Y = A u B)
(iii) A n B = 0 và A, B là những tập mở trong không
gian (Ý, CỴ) (với Y = A UB)
Chứng minh (tì) «=> (iii) là hiển nhiên
(i) => Ui) Ta có
à n Y = à n (A u B) = à n A = A Vậy A là tập đóng trong (Y, C| Y)
Hoàn toàn tương tự B là tập đóng trong (Y| C| ý)
40